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7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
1/118
Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.
0111 87,36)75,0(tanarc
4
3tan ===
0222 13,53)333,1(tanarc
3
4tan ===
0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o
2o
1x =+=
212
121 F75,0F
8,0
F6,0F06,0F8,0F ===+
0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o
2o
1y =++=
000.128,0F6,0F 21 =+
Colocando-se a fora F1na expresso acima, tem-se:
N600.925,1
000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+
N200.7F9600x75,0F 11 ==
2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.
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000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=
N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=
N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===
Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.
0H:0F Ax ==
000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=
N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===
N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===
2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).
0H:0F bx ==
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000.1V0000.1V:0F bby ===
m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===
Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.Dado: s= 77 kN/m
3
A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo
transversal:
2mm000.3300x62x100x6A =+=
Ou:2326 m10x0,3m)10(000.3A ==
m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===
0H0F Ax == L.qVV0F BAy =+=
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Ento: N20790,9x231VV BA ==+
02
L.L.qL.V0M AB ==
2
LqV
2
LqV
BA
==
N5,10392
0,9x231VV BA ===
2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.
Dado: s= 77 kN/m3
0H0F Bx ==
N20790,9x231L.qV0F By ====
m.N5,93552
qLM0M
2
L.L.q0M
2
BBo ===+=
Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora
resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser
usada para mais nada.
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Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura.
Dados: 1 = 2= 25,4 mm
rea dos cabos 1 e 2:
2
21
2
21 mm7,506AA)7,12(AA ====
Tenso normal nos cabos 1 e 2:
2
2
1
11 mm/N48,4
)mm(7,506
)N(2,269.2
A
F===
2
2
2
22 mm/N36,7
)mm(7,506
)N(8,730.3
A
F===
2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo.
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2= 20,0 mm
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21
o
2
o
1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+=
0000.5)45(senF)45(senF:0F o
2
o
1y =+=
N1,3536FF000.5707,0F2 211 ===
Tenso normal nas barras 1 e 2:
2
2
1
11 mm/N8,28
)25,6(
1,3536
A
F=
==
2
2
2
22 mm/N3,11
)10(
1,3536
A
F=
==
3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo
transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida= 20 mm
866,0FF0)30cos(FF:0F 21o
21x ==+=
N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o
2y ==+=
N300.43F866,0.)000.50(F 11 ==
Tenso normal nas barras 1 e 2:
2
2
1
11 mm/N0,245
)5,7(
300.43
A
F=
==
2
2
2
22 mm/N2,159
)10(
000.50
A
F=
==
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4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e
largurabconstante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da
fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N
2
mm/N44,4415x12
000.8
A
F
===
2
Engaste mm/N67,2625x12
000.8
A
F===
5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os
diagramas de fora normal e de tenso normal.
Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal
Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a
ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer
parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x):
representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.
xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===
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xA
Ax
A
)x(N=
==
Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F =
30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o
alongamento da barra de 2,0 mm.
2
2 mm/N1,61
)5,12(
000.30
A
F=
==
310x5,2)mm(800)mm(0,2
LL ===
2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao
linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro
externo igual a 16 cm.
P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P ===
68,030
3027,50
L
LL
L
L
i
if
i
=
=
=
=
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Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20
mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente,
determinou-se a deformao linear especfica longitudinal ooo
L /3= . Calcule a
tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.
2
2x mm/N1,19
)10(
000.6
A
F=
==
003,01000
3/3 ooo
xL ====
mm5,4L1500.10x0,3LLL
Lx
3xxx
x
xx ===
=
yyyy
yy LL
L
L=
=
ddL yy ==
43xy
x
y10x5,710x0,3x25,0 ===
=
mm015,020x10x5,7d 4
==
2) Calcule o volume final da barra do problema anterior.
Vi: volume inicial da barra; Vf: volume final da barra32
iii mm9,238.471500.1x)10(LAV ===
32
fff mm9,943.471)5,41500(x4
)015,020(LAV =+
==
3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===
Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um
ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e
comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:
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a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P);
b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y);
c) a tenso ltima (U);
4
30.
4
DR.A
222
=
== = 2mm86,706
a) MPa15,14mm/N15,1486,706
000.10P
2P ===
b) MPa98,16mm/N98,1686,706
000.12Y2Y ===
c) MPa29,28mm/N29,2886,706
000.20U
2U ===
Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema
anterior.
= .
310x75,3mm800
mm3LL ===
3
2
10x75,3
mm/N15,14
=
= 2mm/N3,773.3=
MPa3,773.3:Ou = Ou: GPa77,3=
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2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao
aplicar-se a tenso normal x= 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da
placa: = 120 GPa; = 0,36
Lei de Hooke: = xx =
9
6x
x10x120
10x81=
= 4x 10x75,6
=
mm405,0600x10x75,6LL
L 4x
x
xx ==
=
mm405,600405,0600LFab =+=
Coeficiente de Poisson ():
x
y
= xy = =
410x75,6x36,0 = 410x43,2
mm1458,0600x10x43,2LL
L4
yy
yy ==
=
mm8542,5991458,0600LFcd ==
3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal
circular. Sendo dados d1= 8,0 mm; d2= 12,0 mm; 1= 70 GPa e 2= 120 GPa, calcule:
a) o valor do ngulo sabendo que 1= 2;
b) valor da tenso normal nas duas barras;
c) a deformao linear especfica das duas barras.
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===
sen
PF0PsenF0F 22y
=== cossenPF0cosFF0F 121x
a)2
2
1
121
A
F
A
F==
36
1
16
cos
)6(
sen
P
)4(
sen
cosP
22 =
=
o61,633616cosarc =
=
b)2
o
o
1
11
)4(
)61,63(sen
)61,63(cosP
A
F
== = 2mm/N2,145
16
896,0
4444,0x81,9x1500
=
=
=
==
36
8958,0
81,91500
)6(
)61,63(sen
P
A
F
2
o
2
22
2mm/N2,145
c) Lei de Hooke: =
3123
2
1111 10x074,2)mm/N(10x70
)mm/N(2,145 ===
3223
2
2222 10x21,1)mm/N(10x120
)mm/N(2,145 ===
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Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular,
tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104
N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:
a) o dimetro da barra;
b) a tenso normal.
a) mm1,6RR10x205
6000x105,2
AE
LFL
23
4
=
==
Ento: d = 12,2 mm
b)2
2
4
mm/N5,85)1,6(
10
A
F=
==
2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo.
Dados: 1 = 2= 25,4 mm; L1= L2= 3,5 m; 1= 2= 70 GPa
mm22,07,50610x70
3500x2,2269L
AE
LFL
31
11
111 =
==
mm37,07,50610x70
3500x8,3730L
AE
LFL
31
22
222 =
==
3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo.
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2= 20 mm; L1= 1,0 m; L2= 2,0 m; 1= 205 GPa; 2= 120 GPa
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mm14,07,12210x205
1000x1,3536L
AE
LFL
31
11
111 =
==
mm19,02,31410x120
2000x1,3536L
AE
LFL
31
22
222 =
==
Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da
fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa
mm18,2280010x70
1800x000.250
80010x70
3600x000.80
80010x70
5400x000.200
AE
LFH
333
n
1i ii
ii =
+
== =
2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo
dados: 1= 14 mm; 2= 8 mm; 1= 2= 70 GPa, calcule:
a) a tenso normal nas duas barras;
b) o alongamento da barra.
a) 221 mm9,153)7(A == ;22
2 mm3,50)4(A ==
21 mm/N98,51
9,153
8000== ; 22 mm/N64,59
3,50
3000==
b) mm91,19,15310x70
2000x000.5
9,15310x70
2000x000.3
3,5010x70
500x000.3L
333 =
+
+
=
3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados:
A = 7,1 x 104
m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m
3
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A tenso normal mxima ocorre no apoio:
266
4mx m/N10x22,010x63,55x300.44
10x1,7
000.4L
A
F+=+=+=
MPa85,5m/N10x85,5 26
mx ==
Clculo do alongamento:
E2
L
AE
LFL
2+=
O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:
m10x61,410x41,110x120x2
544300
10x1,710x120
0,3x000.4L
64
9
2
49mx
+=
+
=
mm146,0m10x46,1L 4
mx ==
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Exerccios do item 3.3: 1): Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o
deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P.
Dados: P = 15.000 N; 1= 2= 205 GPa; 1= 2= 2 x 104m2
Diagrama de corpo livre:
055cosF55cosF0F o
1o
1x =+=
0PF55senF.20F 2o
1y =+=
De onde: 1,64 F1+ F2 = P (1)
Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra
equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
11o
2211
11o
22
22 LF35cosLFAE
LF35cos
AE
LF==
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Clculo do comprimento da barra 1: L1cos35o = L2
m44,2L35cos
0,2L 1o1
==
Da equao de compatibilidade:
121o
2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2)
Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se: 1,64 F1+ 1,49 F1 = P
N4792F000.15F13,3 11 ==
F2= 7.140 N
Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::
MPa96,2310x2
4792
A
F14
1
11 ===
MPa70,3510x2
7140
A
F24
2
22 ===
Clculo do deslocamento verticaldo ponto de aplicao da fora P:
mm35,0V10x2x10x205
000.2x7140
AE
LFLV
4922
222 ====
Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A,suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal
nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A.
Dados: L1= L2; 1= 70 GPa; 2= 205 GPa; 1= 2= 5 x 104m2
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0PFFV0F 21Ay =++= (1)
0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=
De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2)
Temos duas equaes independentesda esttica e trs incgnitas. O Problema umavez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
2121 LL2d4
L
d2
L=
=
9
2
9
1
22
22
11
11
10x205
F
10x70
F2
AE
LF
AE
LF2 ==
De onde: F2 = 5,86 F1 (3)
Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:
Px3F86,5x4Fx2 11 =+
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25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N
F2 = 40.080,1 N
Clculo da tenso normal nos cabos:
MPa68,1310x5
6,6839
A
F14
1
11 ===
MPa16,8010x5
6,080.40
A
F24
2
22 ===
Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):
N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=
Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e
solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.
0HFH0F BAx =+= (1)
O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o
deslocamento que o apoio retirado est impedindo.
Colocando-se o apoio retirado, tem-se:
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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Compatibilidade dos deslocamentos:
L
a.FH
EA
L.H
EA
a.FLL B
B21 ===
L
b.FH)aL(
LF
L
a.F
LLF
L
a.FFHHFH AABA =====
Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1e
F2. Calcule:
a) as reaes nos apoios indeformveis A e B;
b) a tenso normal no meio da barra.
Dados: F1= 2.000 N; F2= 3.500; Aseo transversal= 200 mm2
Superposio dos efeitos:
N6,384.16,2
8,1x000.2
L
b.FH 1
1A === N4,615
6,2
8,0x000.2
L
a.FH 1
1B ===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
21/118
N7,8076,2
6,0x500.3
L
b.FH 2
2A === N3,692.2
6,2
0,2x500.3
L
a.FH 2
2B ===
N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=
N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=
Clculo da tenso normal no meio da barra:
F = fora normal axial no meio da barra
F = H+ F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N
Ou: F = HB+ F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N
Ento:
MPa1,7:oumm/N1,7200
1,423.1
A
F 2====
Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule
as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N.
Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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Chamando de Fca fora absorvida pelo concreto e Fsa fora absorvida pelas barras de
ao, tem-se:
N000.300FF sc =+
O problema uma vez hiperesttico. Sabendo-se que a fora F aplicada atravs de
uma placa rgida, os dois materiais (ao e concreto) tem o mesmo encurtamento:
sc LL =
2
s
2
c
ss
ss
cc
cc
84x205
F
)84000.90(x26
F
AE
LF
AE
LF
=
=
De onde: Fc = 14,07 Fs
Ento: 14,07 Fs + F
s= 300.000 N F
s = 19.907,1 N
Fc = 300.000 19.907,1 = 280.092,9 N
Clculo da tenso normal:
2
2c mm/N14,384000.90
9,092.280=
=
2
2s mm/N75,24
84
1,907.19=
=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
24/118
Exerccios do item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a
temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis calcule a
tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C.
Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6
/oC
Retirando-se o apoio B, tem-se:
Compatibilidade dos deslocamentos
TF LL =
TLEA
FL=
TE =
30x10x7,11x10x205 69
=
26 m/N10x95,71=
Ou: compresso= 71,95 MPa
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
25/118
Exerccio 2): A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual
a 25 C. Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na
barra quando a temperatura descer para 60C.
Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6
/oC; L = 4,0 m
Compatibilidade dos deslocamentos: TF LL =
TLEA
FL
=
TE =
85x10x6,21x10x70 69
=
26 m/N10x52,128=
Ou: trao= 128,52 MPa
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
26/118
Exerccio 3): Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C
o apoio B se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel. Dados: = 70 GPa;
= 21,6 x 10 6
/oC; L = 4,0 m
T3
F L10x3L =+
TL10x3EAFL 3 =+
TL10x3E
L 3=+
85x4x10x6,2110x310x70
4x 639
=+
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
27/118
33
9 10x310x344,7
10x70
4x =
26 m/N10x02,76=
Ou: trao= 76,02 MPa
4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a
temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a
temperatura subir para 100 C. Dados: 1= 2= 205 GPa; 1= 2= 12 x 106/
oC; 1
= 600 mm
2
;
2= 300 mm
2
TLTLL 2211T +=
82x400x10x1282x500x10x12L 66T
+= = 0,8856 mm
22
2
11
1F
AE
FL
AE
FLL +=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
28/118
300x10x205
400xF
600x10x205
500xFL
33F += = 1,0569 x 10
5. F
LF= LT
ento: 1,0569 x 10 5
. F = 0,8856
F = 83.791,4 N
Clculo da tenso normal:
2
11 mm/N7,139
600
4,791.83
A
F===
Ou: 1 = 139,7 MPa
2
22 mm/N3,279
300
4,791.83
A
F===
Ou: 2 = 279,3 MPa
5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura
igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na
barra quando a temperatura for igual a:
a) 10 C; b) 70 C; c) 105 C;
Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6/oC
a)
= 0,0
b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
29/118
Portanto, a barra no vai encostar no apoio B, ento: = 0,0
c) mm5,2mm0,480x500.2x10x20L 6T >==
2compresso33F
mm/N4210x70
500.2x5,1
A10x70
500.2xFL =
==
6) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a fora F = 0 e a
temperatura igual a 15 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule as
reaes HAe HBquando for aplicada a fora F = 27.000 N e a temperatura subir para
40 C. Dados: = 120 GPa; que = 9,4 x 10 6
/oC; A = 125 mm
2
mm17,325x000.2x10x4,9125x10x120500.1x000.27TL
EAFLLLL 6
3TF1 =+=+=+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
30/118
mm17,1LHB =
N775.8H17,1
125x10x120
000.2xHmm17,1
EA
LHB
3
BB===
N225.18HN000.27HH ABA ==+
7) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a
5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir
para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica
insignificante.
Dados: 1= 23 x 106/oC; 2= 12 x 10
6/oC
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
31/118
mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===
mm49,045x900x10x12TLLT 6
222 ===
290
x
30
49,093,0
290
x
30
LTLT 21=
=
mm25,4290.30
44,0x
30
44,0
290
x===
mm74,425,449,0d =+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
32/118
8) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma
temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o
mesmo comprimento.
Dados: Alumnio= 21,6 x 106/
oC; S= 11,7 x 10
6/oC
SAL LT005.35LT000.35 +=+
TL005.35TL000.35 SSALAL +=+
Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+
T410,0005.35T756,0000.35 +=+
000.35005.35T410,0T756,0 =
C45,14T5T346,0 o==
C45,36T45,1422T o=+=
Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:
mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=
mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6
S =+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
33/118
Exerccios do item 4.2: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia que ocorre na cola.
MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2
000.20AF 26mm ====
Ou:
MPa5,2mm/N5,2100x40x2
000.20
A
F 2mm ====
2) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia
no cabo da luminria abaixo.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
34/118
2m2m
mm/N7,7110x
500.22
A
F=
==
2
m2m
mm/N5,2927x
000.45
A
F=
==
3) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a
tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25
kg.
Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio
de momentos fletores.
050xF800xP0MA ==
N924.3F50xF800x81,9x25 ==
Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
35/118
2
m2mmm/N1,78
4x14,3
924.3
A
F===
Exerccio do item 4.4: Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule:
a) a tenso cisalhante mdia;
b) o deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.
Dados: = 87,5 GPa; = 0,25
a) ==50x160
000.112
A
Fm
2m mm/N14=
b)
=
= 8080
tg
Lei de Hooke no cisalhamento: = G
GPa35G)25,01(2
5,87)1(2
EG =+
=+
=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
36/118
.rad10x4)mm/N(10x35
)mm/N(14
G
4
23
2
==
=
mm032,010x4x804
==
Exerccios do item 4.5: 1) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao
abaixo. Dados: F = 35.000 N; d = 19,05 mm
Neste caso n = 4 e nA= 1 (corte simples)
2md2md
mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4
000.35
A
F===
2) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.
Dados: F = 200.000 N;2
__
mm/N95=
Para este problema: n = 8 e nA= 1 (corte simples)
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
37/118
mm15,9R)R(x14,3x1x8
000.20095
A
F2md
===
Portanto: d = 18,3 mm
3) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal
nas chapas. Dado: d = 12 mm
1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1
2md2md
mm/N1,22)6(x14,3x1x6
000.15
A
F===
2mm/N50100x3
000.15
A
F===
2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2
2md2md
mm/N1,22)6(x14,3x2x6
000.30
A
F===
2mm/N50
100x6
000.30
A
F===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
38/118
Exerccios do item 5.4: 1) Para o eixo abaixo calcule:
a) a tenso de cisalhamento mxima;
b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;
c) o deslocamento horizontal do ponto c.
Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.
a)J
r.T=
( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832
DD32
J =
=
=
MPa01,5:oumm/N01,52,270.8
9x600.4mx
2mx ===
b) .rad10x42,72,270.8x10x60
800x600.4
GJ
TL 33
===
c)
mm067,010x42,7x9x99
tg 3
===
=
Exerccio 2: Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de
toro indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro
relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25
GPa.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
39/118
J
r.T= onde:
444 mm3,592.613J5032
D32
J =
=
=
MPa67,1:oumm/N67,13,592.613
25x000.41mx
2mx ===
GJ
TL=
.rad10x194,3
3,592.613x10x25
000.2x000.63
3,592.613x10x25
500.3x000.22 3
33B
==
Resposta: .rad10x194,3 3B
= (no sentido de 63.000 N.mm)
Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo
transversal B em relao ao engaste indeformvel A.
Dado: d1= 100 mm; d2= 60 mm; G 1= G 2 = 30 GPa.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
40/118
461
441 mm10x82,9J100
32D
32J =
=
=
462
442 mm10x27,1J60
32
D
32
J =
=
=
Clculo de mx:J
r.T=
21mx61mx
mm/N43,010x82,9
50x84230==
22mx62mx
mm/N73,010x27,1
30x15730==
Resposta: mx= 0,43 MPa
Clculo de B:
GJTL=
636363B 10x82,9x10x30
000.5x730.15
10x27,1x10x30
000.1x730.15
10x82,9x10x30
000.2x500.68++=
.rad10x14,1 3
B
=
Obs.: converso de radianos para graus:
==
o3
Bo 180x10x14,1
:ento180.rad1 = 0,065
Exerccio 4) Sendo =G 30 GPa calcule para o eixo de seo circular:
a) a tenso de cisalhamento mxima;
b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;
c) o deslocamento horizontal do ponto c.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
41/118
a)J
r.T= , onde:
444 m10x57,1J20,032
J =
=
MPa66,63:oum/N10x66,6310x57,1
10,0x000.100mx
26
4mx ===
b)4949
10x57,1x10x30
5,1x000.100
10x57,1x10x30
00,1x000.100
GJ
TL
+==
.rad10x06,1 3B
= (ou: 0,61)
m10x06,110x06,1x10,0x10,010,0
tg 43 ====
Exerccio 5) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5
MPa. Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm
calcule o valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo
transversal onde est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42
GPa.
F12T =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
42/118
44mm75,2035J12
32J =
=
N9,918F75,2035
6F125,32
J
r.Tmx =
===
Clculo do ngulo de toro:75,2035x10x42
5009,91812GJTL
3==
.rad064,0= (ou: 3,7)
Exerccios do item 5.5:1) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo
prismtico e tem seo transversal circular.
TTT0M BA =+=
O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da
compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:
JGa.T
GJTL
B ==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
43/118
Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B
JG
L.TB|B =
Compatibilidade dos deslocamentos:
JG
L.TBB
|B = JG
a.T=
L
a.TTB =
Da equao de equilbrio:
===La.TTTTT BA T
LL
La.T
L
b.TT)aL(
L
TT AA ==
Exerccio 2) Calcule as reaes nos engastes indeformveis do eixo abaixo.
Superposio dos efeitos:
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
44/118
m.N9,1428,2
4,0x000.1Tm.N1,857
8,2
4,2x000.1T
1B
1A ====
m.N3,7148,2
0,1x000.2Tm.N7,285.1
8,2
8,1x000.2T
2B
2A ====
m.N6,928.18,2
8,1x000.3Tm.N4,071.1
8,2
0,1x000.3T
3B
3A ====
m.N8,6424,071.17,12851,857TA =+=
m.N2.357.16,19283,7149,142TB =+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
45/118
Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima que ocorre no eixo abaixo. Os
engastes A e B so indeformveis.
Dados: G1= G2; D = 100 mm; d = 50 mm; = 4,0 x 107N.mm
TTT0M BA =+=
Retirando-se o apoio B, tem-se:
D
B
JG
2000.T
GJ
TL==
Colocando-se o apoio B:
d
B
D
BB|B
JG
3000.T
JG
2000.T
JG
L.T+==
Compatibilidade dos deslocamentos:
= |
BB
d
B
D
B
D JG
3000.T
JG
2000.T
JG
2000.T+=
Clculo de :JeJ dD
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
46/118
464
D mm10x82,932
)100(J =
=
( ) 4644d mm10x20,95010032
J =
=
=610x82,9
2000.T6
B
6
B
10x20,9
3000.T
10x9,82
2000.T+
=T67,203 mm.N10x38,15TT75,529 6
BB =
mm.N10x62,24TTTT 6
ABA ==
Clculo de mx:J
r.T=
6
6
1mx10x82,9
50x10x62,24= = 125,36 N/mm2
6
6
2mx10x20,9
50x10x38,15= = 83,59 N/mm
2
Resposta: mx= 125,36 MPa
Exerccio do item 5.6: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo
vazada de parede fina com espessura t constante.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
47/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
48/118
Diagramas de esforos internos (Momento fletor e fora cortante)
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
49/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
50/118
2
qx
2
x.qx)x(M
2
==
(se o sistema de referncia for colocado na extremidade livre)
qx)x(V =
2
qx
2
qLx.qL
2
qxMx.V)x(M
222
BB ==
(Se o sistema de referncia colocado no engaste)
qxqLqxV)x(V B +=+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
51/118
L
b.PVA =
L
a.PVB =
L
baPa.VM Amx == Ou:
L
baPb.VM Bmx ==
LMVA =
LMVB =
aL
Ma.VM A1 == b
L
Mb.VM B2 ==
M)ba(L
Mb
L
Ma
L
MMM 21 =+=+=+
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
52/118
L
MVA =
L
MVB =
2
L.qVV BA == 8L.qM2
mx =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
53/118
21Amx L.PL.VM ==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
54/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
55/118
2
xqx.V)x(M
2
A = )Lx0( 1
2
21
1A1 L.P
2
LqL.V)L(M ==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
56/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
57/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
58/118
Exerccios do item 6.3: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos
KeJ,I .
Esforos internosna seo transversal que contm os trs pontos:
M = 15.000 N.m e V = 5.000 N
443
Z m10x8,112
30,0x08,0I ==
Clculo da tenso normal ():
ZI
y.M=
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26I4I
==
=
010x8,1
)0(x000.15J4J
=
=
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26K4K ===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
59/118
Clculo da tenso cisalhante ():
ZI.b
Q.V=
010x8,1x08,0
0x000.54I
==
MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0
075,0x15,0x08,0x000.5 254J
===
010x8,1x08,0
0x000.54K ==
2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual a 10 cm e
altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e, no
meio da viga e no engaste. Dado: P = 30.000 N
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
60/118
No meio da viga tem-se os seguintes esforos internos (ou esforos solicitantes):
M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m
V = 30.000 N
453
Z m10x8125,212
15,0x10,0I ==
MPa200m/N10x20010x8125,2
)075,0(x000.75 265tmx
==
=
MPa200m/N10x200
10x8125,2
)075,0(x000.75 265cmx
==
=
MPa3m/N10x310x8125,2x10,0
)0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx ===
No engaste da viga tem-se os esforos internos:
M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m
V = 30.000 N
443
Z m10x3021,112
25,0x10,0I ==
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264tmx
==
=
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264tmx
==
=
MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0
)0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx ===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
61/118
3) Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior
tenso cisalhante.
N000.27VV0F BAY =+=
09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+=
N9,076.14VB =
02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB == N1,923.12VA =
443
Z m10x998,612
36,0x18,0I ==
MPa34,4m/N10x34,410x998,6
18,0x3,892.16 264tmx
===
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MPa34,4m/N10x34,410x998,6
)18,0(x3,892.16 264cmx
==
=
MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0
09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx ===
4) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical.
Calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior tenso cisalhante.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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N500.12VV0F BAY =+=
09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++= N000.8VB =
00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+=
N500.4VA =
Clculo do momento de inrcia IZ:
4433
Z m10x25,212
30,0x10,0
12
h.bI ===
Clculo das tenses normais extremas:
264
Zm/N10x0,6
10x25,2
15,0x000.9
I
y.M===
MPa0,6Tmx = MPa0,6Cmx =
Clculo de mx:
ZIb
Q.V=
25
4mx m/N10x0,3
1025,2x10,0
)075,0x15,0x10,0(x000.6==
5) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical.
Calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior tenso cisalhante.
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65/118
2
3e m/N5,698.917
10x373,1
)14,0(.x000.9=
=
2
3f m/N2,297.704.1
10x373,1
)26,0(.x000.9==
2
3g m/N0,799.611
10x373,1
)14,0(.x000.6=
=
2
3h m/N1,198.136.1
10x373,1
)26,0(.x000.6=
=
MPa70,1Tmx = MPa14,1Cmx =
Clculo de mx:
23mx m/N8,705.147
10x373,1x15,013,0x26,0x15,0x000.6 ==
6) A viga abaixo est solicitada pela fora P atuando no plano de simetria vertical.
Calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior tenso cisalhante.
Clculo das coordenadas do centride:
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0z_
=
mm73,82800.8
000.728
20x2402x100x20
110x20x2402x50x100x20y_
==
+
+=
+
+= 2x)5073,82(x100x20
12
100x20I
23
Z
4623
mm10x348,11)1027,37(x20x24012
20x240=+
Clculo das tenses normais extremas:
2
6tmx mm/N39,273
10x348,11
73,82x000.500.37==
2
6cmx mm/N16,123
10x348,11
)27,37(x000.500.37=
=
Clculo de mx:
2
6mx mm/N54,710x348,11x40
)2x365,41x20x73,82(x000.25==
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Conveno de sinais para os momentos fletores yz MeM :
Exerccios item 6.7:1) Uma viga em balano com 4,0 m de comprimento est solicitada por
duas foras: F1(vertical) e F2(horizontal). Calcule na seo transversal do engaste as tenses
normais extremas e o ngulo () que a L. N. forma com o eixo z.
Dados: F1= 15.000 N; F2= 27.000 N
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Momentos fletores na seo transversal do engaste Mye Mz:
m.N000.108000.27x4Fx4M 2y ===
m.N000.60000.15x4Fx4M 1z ===
My negativo porque comprime o sentido positivo do eixo z.
Mz negativo porque comprime o sentido positivo do eixo y (comprime em baixo).
A linha neutra do momento fletor Mycoincide com o vetor momento porque o eixo y um eixo
principal de inrcia (ZY=0).
A linha neutra do momento fletor Mzcoincide com o vetor momento porque o eixo z um eixoprincipal de inrcia (ZY=0).
12
30,0x20,0I
3
z= 44
z m10x5,4I =
12
20,0x30,0I
3
y= 44y m10x0,2I =
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m.N113.12M18MsenM yo
y ==
Outra forma de calcularem-se os momentos fletores yz MeM : decompondo-se a fora P
No engaste tm-se os seguintes momentos fletores:
m.N281.37M0,472sen800.90,4PM zo
yz ===
m.N113.12M0,472cos98000,4PM yo
zy ===
= x z
z
I
y.M
y
y
I
z.M+
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7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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Exerccio sobre flexo de viga constituda de dois materiais (item 6.8): A viga abaixo
composta por madeira (150 mm x 250 mm) e por uma lmina de ao (150 mm x 10 mm).
Calcule as tenses normais mximas no ao e na madeira.
Dados: s= 205 GPa; M= 10,25 GPa
2025,10
205
E
En
m
s===
Clculo das coordenadas do centride colocando-se o sistema de referncia na face superior:
mm78,182103000150250
255103000125.150250y_
=+
+=
Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z do centride:
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23
z )12578,182(25015012
250150I +
=
23
)522,77(10300012
103000+
+
46z mm10x23,477I =
Clculo do momento fletor mximo:
mm.N10x254
000.5x000.20
4
LPM 6mx ==
=
Clculo das tenses normais mximas: = zI
y.M
2
6
6
M mm/N58,91023,477
)78,182(1025=
=
2
6
6
S mm/N90,80201023,477
)22,77(1025=
=
Exerccio sobre flexo de viga de concreto armado (item 6.9): Calcule a tenso normal
mxima no concreto e nas barras de ao da viga abaixo. A armadura constituda de duasbarras de ao com dimetro = 30 mm.
Dados: s= 205 GPa; C= 13,667 GPa
15667,13
205
E
En
c
s===
mN000.708
8x750.8
8
LqM
22
mx ==
=
23232S m10x4137,1)1015(2R2A
===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
75/118
Seo equivalente (seo homogeneizada):
Clculo da coordenada_
y do centride:
+= 1
nA
bd21
b
nAy
s
s_
+
=
110x4137,115
5,025,021
25,0
10x4137,115y
3
3_
de onde: m219,0y
_
=
Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z:
2__
s
3__
)yd(nA12
yb4I +=
43233
m10x55,2)219,050,0(10x4137,11512
)219,0(25,04I =+
=
Clculo da tenso normal no concreto e nas barras de ao:
= zI
y.M
MPa01,61055,2
)219,0(000.703C
=
=
MPa71,115151055,2
)281,0(000.703S
=
=
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Clculo das tenses normais extremas:
23Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 ==
23Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x375,91,2503
=
mm133,3310x375,9
1,25y
3 =
=
Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no engaste. Calcule
tambm a tenso de cisalhamento mxima.
Seo transversal do engaste:
Mz= 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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z
z
I
yM
A
F
+=
12
5,0x25,0
y23600
5,0x0,25
150.000
3
=
y10x06,910x1,266
=
Clculo das tenses normais:
MPa06,1)25,0(10x06,910x1,266
f ==
MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x06,910x1,2066=
m13,010x06,9
10x1,2y
6
6
=
=
Clculo de mx:ZIbQV
=
2
3mxm/N000.96
10x604,2x25,0
0,125x0,25x0,25x8.000 ==
Exerccio 3) Um pilar est solicitado por uma fora de compresso F = 25.000 N. Calcule:
a) as tenses normais extremas;
b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.
Dados: a = 40 mm; b = 30 mm
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
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7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
80/118
Outra forma de calcularem-se :MeM yz
mm.N10x0,1)mm(40x)N(000.25a.PM 6z ===
mm.N000.750)mm(30x)N(000.25b.PM y ===
O momento fletor Mz positivo (traciona o sentido positivo do eixo y)
O momento fletor My positivo (traciona o sentido positivo do eixo z)
y
y
z
z
I
zM
I
yM
A
F
+
+=
12
120x200
z750000
12
200x120
y10x1
200x120
25000
33
6
+
+=
z10x6,2y10x25,11,04 22 ++=
a)
)60(10x6,2)100(10x25,11,0422
f ++=
MPa85,3N/mm3,85 2f ==
)60(10x6,2)100(10x25,11,04 22g ++=
MPa77,1N/mm1,772
g
==
b) Linha neutra: = 0
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
81/118
z10x6,2y10x25,11,040 22 ++=
Para y = 0:
mm40zz10x6,204,1 2 ==
Para z = 0:
mm2,83yy10x25,104,1 2 ==
o3,6408,2
)mm(40
)mm(2,83tan ===
Exerccio 4) Um pilar, de seo transversal circular, est solicitado por uma fora de compresso F =
200.000 N. Calcule:
a) as tenses normais extremas;
b) a posio da linha neutra.Dados: a = 80 mm; b = 60 mm
M = 200.000 (N) x 100 (mm) = 2,0x 107N.mm
Existem infinitos eixos de simetria passando pelo centride de uma rea circular. Todos estes eixos so
eixos principais de inrcia. Desta forma o eixo z pode ser girado at encontrar a direo do vetor momento
M.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
82/118
'z
'z
I
'yM
A
F
+=
A fora F negativa (compresso) e o momento fletor Mz negativo (porque comprime o sentido positivo
do eixo 'y ).
64)300(
'y10x0,2
150
200.000
4
7
2
=
'y10x03,52,832
=
a)
22f mm/N71,4)150(10x03,52,83 ==
22g mm/N4,10)150(10x03,52,83 ==
b)
'y10x03,52,830 2=
mm3,56'y =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
83/118
Exerccios sobre ncleo central (item 7.2):1) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal circular,
na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao
(compresso).
nA = rea do ncleo central:222
n mm5,196325RA ===
tA = rea total do pilar: 222t mm9,415.31100RA ===
totalreada%25,6A0625,09,415.31
5,1963
A
An
t
n ===
2) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal retangular, na qual uma fora de compresso (trao)
pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).
nA = rea do ncleo central:2
n mm000.52x2
100x50A ==
tA = rea total do pilar:2
t mm000.90600x150A ==
totalreada%56,5A0556,0000.90
000.5
A
An
t
n ===
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
84/118
Exerccios do item 8.4: 1) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo do ponto A;
d) a deflexo do ponto d.
1 soluo:Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:
)x(M)x(vIE ||
=
)Lx0(x.P)x(M =
x.P)x(vIE ||
+=
1
2|
C2
xP)x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v|
=
2
PLC0C
2
LP)L(vIE
2
11
2|
==+=
a)2
PL
2
xP)x(vIE
22|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
23
C2
xPL
6
xP)x(vIE +=
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
3
PL
2
PL
6
PLC0C
2
LPL
6
LP)L(vIE
333
22
23
=+==+=
b)3
PL
2
xPL
6
xP)x(vIE323
+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
85/118
c)3
PL
2
0PL
6
0P)0(vIE
323
+=
IE3
PLv)0(v
3
A ==
d)
( )
3
PL
2
)2L(PL
6
2LP
)2L(vIE
323
+=
3333
PL48
)16121(
3
PL
4
PL
48
PL)2/L(EIv
+=+=
EI48
PL5v)2/L(v
3
d ==
2 soluo:Colocando-se o sistema de referncia no engaste:
PVePLM:apoiodeaesRe BB ==
)Lx0(x.PPLxVM)x(M BB +=+=
)x(M)x(vIE ||
=
x.PPL)x(vIE ||
=
1
2|
C2
xPxPL)x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)0(v | =
0C0C2
0P0PL)0(vIE 11
2|
==+=
a)2
xPxPL)x(vIE
2|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
32
C6
Px
2
xLP)x(vIE +=
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)0(v =
0C0C00)0(vIE 22 ==+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
86/118
b)6
Px
2
xLP)x(vIE
32
=
c)3
32
PL)6
13(
6
PL
2
LPL)L(vIE
==
IE3PLv)L(v
3
A ==
d)( ) 3
3332
PL)48
16(
48
PL
8
PL
6
)2/L(P
2
2LLP)2L(vIE
===
EI48
PL5v)2/L(v
3
d ==
2) Sendo = constante, determine:a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo do ponto A;
d) a deflexo do ponto d.
)Lx0(2
qx)x(M
2
=
2
qx)x(vIE
2||
+=
1
3| C
6
qx)x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =
6
qLC0C
6
Lq)L(vIE
3
11
3|
==+=
a)6
qL
6
xq)x(vIE
33|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
34
C6
xqL
24
xq)x(vIE +=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
87/118
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
8
qL
6
qL
24
qLC0C
6
LqL
24
Lq)L(vIE
444
22
34
=+==+=
b)
8
qL
6
xqL
24
xq)x(vIE
434
+=
c)8
qL
6
0qL
24
0q)0(vIE
434
+=
IE8
qLv)0(v
4
A ==
d)8
qL
6
)3/L(qL
24
)3/L(q)3/L(vIE
434
+=
4444
qL1944
)2431081(
8
qL
18
qL
1944
qL)3/L(EIv
+=+=
EI243
qL17
EI1944
qL136v)3/L(v
44
d ===
3) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;c) a deflexo mxima;
d) a rotao nos apoios.
)Lx0(2
qxx
2
qL
2
qxxV)x(M
22
A ==
2
qxx
2
qL)x(vIE
2||
+=
1
32|
C6
qxx
4
qL)x(vIE ++=
21
43 CxC
24
qxx
12
qL)x(vIE +++=
Condies de contorno (ou condies de extremidades):
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
88/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
89/118
4) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo no meio do vo;
d) a deflexo mxima;
6
qLV0
3
L
2
qLLV0M AAB
===
3
qLV0
3
L2
2
qLLV0M BBA
===
)Lx0(L6
qxx
6
qL
L6
qxxV)x(M
33
A ==
L6
qxx
6
qL)x(vIE
3||+=
1
42|
CL24
qxx
12
qL)x(vIE ++=
21
53
CxCL120
qxx
36
qL)x(vIE +++=
Condies de contorno (ou condies de extremidades):
0)0(v = e 0)L(v =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
90/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
91/118
5) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante.
Dados:
= 120 GPa; q = 80.000 N/m
4333
m10x083,2I12
)5,0(20,0
12
hbI
=
==
EI
qL00652,0v
4
mx =
m10x3,110x083,2x10x120
)5(x000.80x00652,0v 3
39
4
mx
==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
92/118
6) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo mxima;
d) a deflexo do ponto de aplicao da fora P.
Trecho 1: )2/Lx0(0)x(M =
0)x(vIE || =
1|
C)x(vIE =
21 CxC)x(vIE +=
Trecho 2: )2/Lx0(Px)x(M =
xP)x(vIE ||
=
3
2|
C2
Px)x(vIE +=
43
3
CxC6
Px)x(vIE ++=
Condies de contorno:
Para x = L/2 do trecho 2: v|(L/2) = 0 e v(L/2) = 0
8
PLC0C
2
)2/L(P)2/L(vIE
2
33
2|
==+=
0C)2/L(8
PL
6
)2/L(P
)2/L(vIE 4
23
=+=
24
PLC
16
PL
48
PLC
3
4
33
4 =+=
3 condio de contorno:
Em funo da continuidade da linha elstica:
2Trecho
|
1Trecho
| )0(vIE)2/L(vIE =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
93/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
94/118
3
PL
2
xPL
6
xP)x(vIE
323
+=8
qL
6
xqL
24
xq
434
++
3
PL
2
0PL
6
0P)0(vIE
323
+=8
qL
6
0qL
24
0q
434
++
IE8qL
IE3PLv)0(v
43
A +==
vlido o princpio da superposio dos efeitos para o clculo de flechas.
8) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.
Trecho 1: )2/Lx0(x2
P)x(M =
x2
P)x(vIE
||=
12|
Cx
4
P)x(vIE +=
213
CxCx12
P)x(vIE ++=
Condies de contorno:
Para x = L/2: v| (L/2) = 0
16
PLC0C)2/L(
4
P)2/L(vIE
2
112|
==+=
Para x = 0: v(0) = 0
0C0C016
PL
012
P
)0(vIE 22
23
==++=
Ento: )2/Lx0(x16
PLx
12
P)x(vIE
23
+=
Clculo da deflexo no meio do vo:
3332
3PL
96
)31(
32
PL
96
PL)2/L(
16
PL)2/L(
12
P)2/L(vIE
+=+=+=
IE48
PL)2/L(v
3
=
9) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do mdulo de
elasticidade da viga abaixo. IE = constante.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
95/118
IE48
PLv
3
mx =
443
z m10x375,312
30,015,0I
=
=
4
3
10x375,3E48
)4,6(26000006,0
=
29 m/N10x12,70E =
ou: GPa12,70E =
10) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo devida ao peso prprio. A viga de ao e
tem seo transversal em forma I .
Dados: s= 77 kN/m3; z= 4,16x10
5m4; s= 205 GPa; IE = constante.
A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:
2mm000.3300x62x100x6A =+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
96/118
Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==
m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===
m10x31,210x16,4x10x205x384
9x231x5
IE384
qL5v
3
59
44
mx
===
11) Sendo IE = constante determine a deflexo mxima e a rotao nos apoios.
xL
MxV)x(M
A
==
xL
M)x(vIE || =
1
2| C
L2
xM)x(vIE +=
21
3
CxCL6
Mx)x(vIE ++=
Condies de contorno: v(0) = 0 e v(L) = 0:
0C0C0CL60M)0(vIE 221
3
==++=
6
MLC0LC
L6
ML)L(vIE 11
3
==+=
Ento:6
ML
L2
xM)x(vIE
2|
+=
x6
ML
L6
Mx)x(vIE
3
+=
A deflexo mxima ocorre onde v|(x) = 0
06
ML
L2
xM)x(vIE
2|
=+=
L58,03
Lx
6
L2x
6
L
L2
x
222
2
====
23
ML064,0)L58,0(6
ML
L6
)L58,0(M)L58,0(vIE =+=
EI
ML064,0v)L58,0(v
2
mx==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
97/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
98/118
Exerccios do item 8.6: 1) Construa os diagramas de esforos internos (momento fletor e
fora cortante) da viga abaixo. = constante.
0LqVV0F BAY =+=
0MLV2
LLq0M BBA =+=
Vamos retirar o apoio A (a viga fica isosttica) e determinar o deslocamento que este apoio
est impedindo:
Colocando-se o apoio A
Compatibilidade dos deslocamentos:
8
Lq3V
EI8
qL
EI3
LVA
43A ==
As outras duas reaes so obtidas com as equaes de equilbrio:
8
Lq5V
8
qL3LqVLqV BAB ===
8
qLML
8
qL5
2
qLM
2
B
2
B =+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
99/118
Com o sistema de referncia com origem no apoio A, tem-se:
)Lx0(xqV)x(Ve2
qxxV)x(M A
2
A ==
O momento fletor mximo positivo ocorre onde V(x) = 0:
q8
qL3
q
Vx0xqV AA ===
8
L3x=
128
qL9
2
)8L3(q)8L3(
8
qL3)8L3(MM
22
mx ===
2) Determine a fora (F) de trao na mola. = constante.
Retirando-se a mola da viga:
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
100/118
A mola aplica uma fora F na viga em sentido contrrio da fora P:
Compatibilidade dos deslocamentos:EI3
PL
EI3
FL 3
M
3
=+
Lei de Hooke para molas:MkF
=
EI3
PL
k
F
EI3
FL 33
=+
Multiplicando a expresso acima por IE3 :
33PL
k
FIE3FL =+ 33 PL
k
EI3LF =
+
De onde:
k
EI3L
PL
F 3
3
+
=
Anlise de casos extremos:
Se: == FIE 0
Se: == F0IE P
Se: == Fk P
Se: == F0k 0
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
101/118
Exerccios sobre flambagem:1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados:
BC= 120 GPa; LBC= 4,0 m.
Clculo da carga crtica do pilar BC:
( )2fl
min2
CRL
IEP
=
43
min mm500.11212
30x50I ==
mm40004000x0,1LKLfl ===
( ) N5,327.84000
112500x10x120
P 2
32
CR =
=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
102/118
A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do
pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.
2) Resolva o problema anterior considerando que o pilar BC est engastado no ponto C.
Clculo da carga crtica do pilar BC:
( )2fl
min2
CRL
IEP
=
mm28004000x7,0LKLfl ===
( )N9,994.16
2800
112500x10x120P
2
32
CR =
=
CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.
3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com
dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
103/118
o60)5,0(cosarc
69,0
345,0cos ===
P155,160sen
PF0senFP0F
o22Y===+=
==+= cosFF0cosFF0F 2121X
P5775,060cos)P155,1(F o
1 ==
Clculo da carga crtica da barra 2:
( )2fl
min2
CRL
IEP
=
4944
min m10x485,264
)015,0(
64
DI
=
=
=
m69,069,0x0,1LKLfl ===
( )N560.10
69,0
10x485,2x10x205P
2
992
CR =
=
Para que ocorra flambagem da barra 2: F2= Pcr, ento:
N9,142.9P560.10P155,1 ==
4) A trelia abaixo formada por quatro barras de ao com seo transversal circular.
Todas as barras tm o mesmo dimetro = 30 mm e mdulo de elasticidade =205
GPa. Calcule:
a) a tenso normal na barra CD;
b) o alongamento da barra AC;
c) investigue se a barra AB ir flambar.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
104/118
N4800H06,5x12004,1xH0M DDB===
N4800H0HH0F BDBX===
Diagrama de corpo livre do n A:
o57,26)5,0(tanarc
8,2
4,1tan
===
N8,2682F01200senF0F ACACY ===
==+= cosFF0FcosF0F ACABABACX
N2400)57,26(cos8,2682F o
AB ==
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
105/118
Diagrama de corpo livre do n B:
BABBCBBCABXHFcosF0HcosFF0F ==++=
N4,683.2)57,26(cos
400.2800.4)2400(cosFBC =
==
0senFV0F BCBY=+=
N1200)57,26(sen)4,2683(V o
B ==
Portanto, VD= 0.
a) 2CD2CD
CDCD mm/N79,6
154800
AF =
==
b) m10x79,5)015,0(10x205
13,3x8,2682
AE
LFL
5
29ACAC
ACACAC
=
==
c) Clculo da fora crtica da barra AB:
444
min mm8,3976064
)30(
64
DI =
=
=
mm56005600x0,1LKLfl ===
( )N3,565.2
5600
8,39760x10x205
L
IP
2
32
2fl
min2
CR =
=
=
FAB= 2.400 N < PCR = 2.565,3 N, portanto, a barra AB no ir flambar.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
106/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
107/118
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
108/118
3_
Z mm000.86436012020AyQ ===
3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do
centride.
3
_
Z mm000.400.2120200100AyQ ===
Demonstrao do teorema dos eixos paralelos
2|ZZ a.AII +=
2|YY b.AII +=
= A2|
|Z
dA)y(I
[ ] ++=+= A2|2|
A
2|Z dAaay2)y(dA)ay(I
++= A A A2|2|
Z dAadAya2dA)y(I
O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride
nulo, ento: =A
|
0dAy
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
109/118
2|ZZ a.AII +=
4) Para a rea abaixo, determine:
a) o momento de inrcia IZ
b) o momento de inrcia IY
a) ==2b
2b
2h
2h
2
A
2Z dzdyydAyI
=
2h
2h
3
Z3
yI
2b
2bz
=
2
b
2
b
8
h
8
h
3
1 33
12
hbIb8
h
8
h
3
1I3
Z
33
Z =
+=
b) ==2b
2b
22h
2hA
2Y dzzdydAzI
=
2h
2hY yI
2b
2b
3
3
z
12
bh 3
=
5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
110/118
= A2
Z dAyI onde: drrddA =
== senryr
ysen
= drrd)rsen(I 2
Z
= er
ir
2
0
23 dsendrr
( )
=
2
0
er
ir
4
Z cossen2
1
4
rI
)( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen2
2
1
4
rrI
4i
4e
Z
=
) )4
rrI2
2
1
4
rrI
4i
4e
Z
4i
4e
Z
=
=
Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:
=
4
i
4
eZ
2
D
2
D
4I
=
16
D
16
D
4
4i
4e
[ ]4i
4eZ DD64I
=
Particularizando para seo cheia (Di= 0):
64
DI
4e
Z
=
Observaes: 1) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma
rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam
pelo centride so iguais.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
111/118
2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J )
I usado na flexo
J usado na toro
64
DII
4
YZ
== (para seo circular cheia)
222 yzr +=
+=+== A A A2222
A
2 dAydAzdA)yz(dArJ
ZY IIJ +=32
D
64
D
64
D 444 =
+
=
6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo
horizontal (Z) do centride.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
112/118
Clculo das coordenadas do centride:
0z_
=
21
_
22
_
11A_
AA
yAyA
A
ydAy
+
+==
10,0x80,020,0x50,0
55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0
+
+=
m383,018,0
069,0y_
==
Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:
=_y m217,0
18,0
039,0
10,0x80,020,0x50,0
35,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0==
+
+
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
113/118
Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:
Clculo de IZusando-se o teorema dos eixos paralelos:
2|ZZ a.AII +=
23
23
Z )133,0(x5,0x2,0
12
5,0x2,0)167,0(x1,0x8,0
12
1,0x8,0I +++=
43Z m10x15,6I
=
7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y
( YI ).
4333
Y m10x6,412
20,0x50,0
12
80,0x10,0I
=+=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
114/118
Exerccios sobre eixos principais de inrcia: 1) Calcule os momentos de inrcia
centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.
Clculo das coordenadas do centride:
=
==
n
1i
i
n
1i
i
_
i_
A
yA
y
2,767,122,767,122,767,12
)4,25(2,767,1235,62,767,121,382,767,12y_
++
++= = 6,35 mm
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
115/118
=
==
n
1i
i
n
1i
i
_
i_
A
zA
z
2,767,122,767,122,767,12
)25,95(2,767,128,502,767,1235,62,767,12z_
++
++= = 50,8 mm
+
=
12
2,767,12I
3
Z
2)75,31(2,767,12 +
+
12
7,122,76 3
4Z
23
mm7,612.900.2I)75,31(2,767,1212
2,767,12=+
+
=
12
7,122,76I
3
Y 2)45,44(2,767,12 +
+
12
2,767,12 3
4Y
23
mm0,401.318.4I)45,44(2,767,1212
7,122,76=+
+=0I YZ )45,44()75,31(2,767,12 45,4475,312,767,120 ++
4YZ mm7,518.731.2I =
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
116/118
Clculo de 1, 2, 1e 2
2
ZY
2
ZYYZ
1 I2
II
2
II
I +
+
+=
= 6.431.514 mm
4
2ZY
2
ZYYZ2 I
2
II
2
III +
+= = 787.499,5 mm
4
Y1
ZY1
II
Itg
= = 52,27
=
2Y
ZY2
II
Itg = 37,73
2) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais
de inrcia.
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
117/118
Clculo das coordenadas do centride:
2,767,122,767,122,767,12
1,382,767,1285,692,767,121,382,767,12y_
++
++= = 48,68 mm
2,767,122,767,122,767,12
25,952,767,128,502,767,1235,62,767,12z_
++
++= = 50,8 mm
+
+
= 2)1,3868,48(2,767,12
122,767,12I 2
3
Z
4Z
23
mm6,889.599.1I)35,652,27(2,767,1212
7,122,76=+
+
+
= 2)35,61,38(2,767,12
12
7,122,76I 2
3
y
4y
3
mm6,359.445.2I12
2,767,12=
7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105
118/118
O produto de inrcia zy igual a zero (a rea possui um eixo de simetria), ento os
eixos Z e Y so os eixos principais de inrcia.
y o maior momento de inrcia = 1
z o menor momento de inrcia = 2
3) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia principais.
41033
Z mm10x97,112
400x300
12
800x500I ==
4933
300x400500x800