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Repaso general
Fracciones parciales
Representar una fracción de polinomios como una sumatoria de fracciones más simples con polinomios de menor grado:
Típicamente buscamos por algo de este tipo:
P (x)
Q(x)=
a1
x+ b1+ . . .+
ak
x+ bk.
P (x)
Q(x)=
kX
i=1
pi(x)
qi(x).
Raíces con multiplicidad
Si r es una raíz de Q(x) que tiene multiplicidad k > 1, habrá una fracción en el desarrollo de sumatoria para cada (x - r)i para i ∈ [1, k].
Octave
Chequen la función residue.
Cuenta con otras manipulaciones útiles de polinomios además de esa.
Convolución
f(t) · g(t) = g(t) · f(t) =Z t
0f(t� ⌧)g(⌧) d⌧
Análisis complejo
Parte real y/o parte imaginaria
Variable: s = σ + j ω (no olviden que j2 = -1)
Función: G(s) = Gx + jGy
Magnitud: √(Gx2 + Gy2)
Ángulo: tan-1(Gy/Gx)
Complejo conjugado: G(s) = Gx - jGy
Función exponencial
Una de sus múltiples definiciones:
e
x = 1 + x+x
2
2!+
x
3
3!+ . . . =
1X
i=0
x
i
i!
Más series de potencias
cos ✓ = 1� ✓2
2!
+
✓4
4!
� ✓6
6!
+ . . . =
1X
i=0
(�1)
i ✓2i
(2i)!
sin ✓ = ✓ � ✓3
3!
+
✓5
5!
� ✓7
7!
+ . . . =
1X
i=0
(�1)
i ✓2i+1
(2i+ 1)!
“Magia”
cos ✓ + j sin ✓ =
1X
i=0
(j✓)i
i!
Teorema de Euler
cos ✓ + j sin ✓ = ej✓
cos ✓ � j sin ✓ = e�j✓
Más “magia”
cos ✓ =
12 (e
j✓+ e�j✓
)
sin ✓ =
12 (e
j✓ � e�j✓)
Función analítica
Definida dentro de una región específica del plano complejo.
Se requiere que G(s) y todas las D[G(s)] existen para cualquier punto complejo dentro de esa región.
Aquí D[G(s)] es la (primera) derivada de G(s).
Derivada
D[G(s)] = G0(s) =d
dsG(s) = lim
�s!0
G(s+�s)
�s
El acercamiento al cero puede tomar lugar por una cantidad infinita de trayectorias en el plano complejo.Nos concentramos en dos maneras: en paralelo al eje real (Δs = Δσ) o en paralelo al eje imaginario (Δs = jΔω). Si estos dos son iguales (dentro de una región), la derivada existe (en esa región) y es única para cualquier Δs = Δσ + jΔω.
Condiciones Cauchy-Riemann
Ojo, son derivadas parciales...
@Gx
@� = @Gy
@!
@Gy
@� = @Gx
@!
Para la existencia de una derivada única.
Practicar
Sin libro, sin internet. Con un compañero.
Chequen en qué parte(s) del plano complejo aplican las condiciones Cauchy-Riemann para G(s) = (s + 1)-1.
¿Cuál es la derivada?
Singularidad
Un punto donde una función compleja no es analítica.
Los demás son puntos ordinarios.
Aquellas singularidades donde la función y/o su derivada tiende a infinito es un polo.
Aquellas singularidades donde la función es igual a cero se llaman, pues, ceros.
Multiplicidad de ceros
(lim s → -p G(s) = ∞ ⋀ |G(s)(s + p)n | ≠ ∞) ⇒
(s = -p es un polo de orden n)
Si n = 1, el polo es simple.
Practicamos más
Búsquen los ceros y sus órdenes para
donde K es una constante.
G(s) =K(s+ 2)(s+ 10)
s(s+ 1)(s+ 5)(s+ 15)2
Ecuaciones diferenciales
Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos, 1994.
Sistemas dinámicos
Comportamiento descrito como función de tiempo.
Tiempo continuo:
Ecuaciones diferenciales.
Tiempo discreto:
Mapas iteradas (= ecuaciones de diferencia).
Ordinaria vs. parcial
Si hay una sola variable cuyas derivadas aparecen en la ecuación diferencial, es una ecuación ordinaria; se usa típicamente el símbolo d para la derivada.
Un punto encima de una variable indica su derivada en el tiempo:
Si hay derivadas de más de una variable, es una ecuación diferencial parcial; se utiliza otro símbolo por lo general para distinguir, ∂.
x = x
d
dt
=dx
dt
.
Sistema típico
x1 = f1(x1, . . . , xn),...
xn = fn(x1, . . . , xn).
El sistema es lineal si todas las fi(...) lo son.
Condición inicial
La solución siempre es referente a una condición inicial, o sea, el estado del sistema cuando t = 0, desde el cual se comienza el comportamiento dinámico.
Ocupamos conocer/fijar los valores de todas las funciones fi(t) para t = 0.
Espacio de fases
La “curva” formada por el avance de tiempo se conoce como una trayectoria.
Ya que cualquier punto podría ser un punto inicial, las trayectorias posibles definen un espacio que se conoce como el espacio de fases del sistema.
La cantidad de variables n es la dimensión del sistema.
Solución
Analítica:
Matemáticamente derivar la función de tiempo desde la descripción del sistema.
Numérica:
Calcular una solución con algoritmos específicos de solución numérica para rastrear una trayectoria sin conocer la solución analítica.
Euler, Runge-Kutta, etc.
Primer orden
Una sola variable, n = 1;
Por lo general separamos la derivada de la variable e integramos para resolver este tipo de ecuaciones.
La constante de integración se resuelve a partir de las condiciones iniciales.
x = f(x).
Forma matricial
Para órdenes mayores a uno, la representación matricial de sistemas lineales es útil y común:
x = Ax.
Ahora las trayectorias mueven en híperplanos;no son fáciles de visualizar para n > 2.
Campo vectorial
En muchas ocasiones es fácil, informativo y suficiente visualizar las trayectorias (o calcularlos a través de métodos numéricos) en vez de resolver el sistema tal cual.
Determinamos para una rejilla de puntos la dirección y velocidad de desplazamiento.
Puntos estables e inestables.
