Métodos y Técnicas

de integración

G. Edgar Mata Ortiz

El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.

Resolución individual de problemas

En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.

Las técnicas de integración

Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.

Las técnicas de integración

Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.

Las técnicas de integración

En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de:

Fracciones

Parciales

Fracciones ParcialesEsta técnica se basa en la suma de fracciones algebraicas. Consiste en invertir el proceso:En la operación directa se obtiene el resultado de sumar dos o más fracciones.En las fracciones parciales se conoce el resultado de la suma y se desea determinar cuáles fueron las fracciones que lo produjeron.

Como en los ejemplos anteriores, no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración.

Ejemplo:

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 =

Ejemplo:

𝒙𝟑 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)

El primer paso consiste en factorizar el denominador.

න−3𝑥 − 1

𝒙𝟑 − 𝒙𝑑𝑥 =

= 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

Ejemplo:

Las fracciones parciales son:

න−3𝑥 − 1

𝒙𝟑 − 𝒙𝑑𝑥 =

𝑨

𝒙+

𝑩

𝒙 + 𝟏+

𝑪

𝒙 − 𝟏Factores:𝒙𝒙 + 𝟏(𝒙 − 𝟏)

Los numeradores de estas fracciones no los conocemos, será necesario determinarlos.

Ejemplo:

La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales

න−3𝑥 − 1

𝒙𝟑 − 𝒙𝑑𝑥 =

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨

𝒙+

𝑩

𝒙 + 𝟏+

𝑪

𝒙 − 𝟏

Factores:𝒙𝒙 + 𝟏(𝒙 − 𝟏)

Efectuamos la suma indicada en el lado derecho del signo de igual

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨

𝒙+

𝑩

𝒙 + 𝟏+

𝑪

𝒙 − 𝟏

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨

𝒙+

𝑩

𝒙 + 𝟏+

𝑪

𝒙 − 𝟏

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

Vamos a tomar esta expresión para obtener

los valores de A, B y C

Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan.

−𝟑𝒙 − 𝟏 =(𝒙𝟑 − 𝒙)(𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan.

−𝟑𝒙 − 𝟏 =(𝒙𝟑 − 𝒙)(𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

Ejemplo: Se agrupan términos semejantes

Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los términos independientes.

−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩+ 𝑪 𝒙𝟐 + −𝑩+ 𝑪 𝒙 − 𝑨

Con la finalidad de igualar término por término, en este paso se considera que la expresión del lado izquierdo del signo igual, al no tener término cuadrático es cero equis cuadrada.

𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩+ 𝑪 𝒙𝟐 + −𝑩+ 𝑪 𝒙 − 𝑨

Ejemplo: Se igualan los coeficientes

Los coeficientes de equis cuadrada:

𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩+ 𝑪 𝒙𝟐 + −𝑩+ 𝑪 𝒙 − 𝑨

𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎

Los coeficientes de equis: −𝑩 + 𝑪 = −𝟑

Los términos independientes: −𝑨 = −𝟏

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de 3 ecuaciones

con 3 incógnitas (3x3)Ejemplo: El sistema de ecuaciones obtenido puede resolverse

por cualquiera de los numerosos métodos existentes.

𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑

−𝑨 = −𝟏

Explicaciones y ejemplos acerca de estos métodos pueden encontrarse en:

http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/solving-cramers-method-determinants.html

http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/gauss-jordan-3-ecuaciones.html

http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/5-tips-on-cramer-method.html

http://licmata-math.blogspot.mx/2013/11/linear-equation-systems-problem-solving.html

http://licmata-math.blogspot.mx/2011/10/formato-gauss-jordan-3x3.html

Sistemas de 2 ecuaciones

con 2 incógnitas (2x2)Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.

𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟏 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 ∴

𝑩 + 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑

−𝑨 = −𝟏 ∴ 𝑨 = 𝟏

En este caso el sistema de ecuaciones puede simplificarse gracias a que la tercera ecuación nos proporciona directamente el valor de una de las incógnitas: A.

El valor de A es uno, y al sustituirla en la primera ecuación obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de 2 ecuaciones

con 2 incógnitas (2x2)Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.

𝑩 + 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Los métodos empleados en la resolución de sistemas 3x3 también pueden emplearse en sistemas de 2x2, sin embargo, frecuentemente resulta más sencillo emplear otros métodos:

Método de Reducción

Método de Sustitución

Método de Igualación

Método Gráfico

Sistemas de 2 ecuaciones

con 2 incógnitas (2x2)Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.

𝑩 + 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

En este ejemplo, debido a los coeficientes de las ecuaciones es conveniente aplicar el:

Método de Reducción o de suma y resta

Se elige este método porque al sumar las dos ecuaciones, se eliminará la incógnita B, obteniéndose una sencilla ecuación de primer grado con una incógnita (C), de la que se despeja y obtiene el valor de C.

Sistemas de 2 ecuaciones

con 2 incógnitas (2x2)Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.

𝑩 + 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de Reducción o de suma y resta

𝑩+ 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑

𝟐𝑪 = −𝟒

𝑪 =−𝟒

𝟐∴

Obtenemos el valor de la incógnita C

𝑪 = −𝟐

Sistemas de 2 ecuaciones

con 2 incógnitas (2x2)Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.

Método de Reducción o de suma y resta

𝑩+ 𝑪 = −𝟏

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑

𝟐𝑪 = −𝟒

𝑪 =−𝟒

𝟐∴

𝑪 = −𝟐

El valor de la incógnita C, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema de 2x2 y se despeja la incógnita faltante (B).

𝑩 + 𝑪 = −𝟏 → 𝑩 − 𝟐 = −𝟏 → 𝑩 = −𝟏 + 𝟐

𝑩 = 𝟏

Sistemas de 3 ecuaciones

con 3 incógnitas (3x3)Ejemplo: No olvidemos que todo este proceso fue realizado

para determinar los valores de las tres incógnitas que conforman el sistema original.

𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎

−𝑩 + 𝑪 = −𝟑

−𝑨 = −𝟏

Las soluciones fueron:

𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏

Sistemas de 3 ecuaciones

con 3 incógnitas (3x3)Ejemplo: Significado de las soluciones del sistema de 3x3

Las soluciones fueron:

𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏

Estas soluciones son los numeradores de las fracciones parciales planteadas para descomponer la fracción propia que se desea integrar

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 =

Ejemplo: Ahora conocemos los numeradores de las fracciones parciales.

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝑨

𝒙+

𝑩

𝒙 + 𝟏+

𝑪

𝒙 − 𝟏

−𝟑𝒙 − 𝟏

𝒙𝟑 − 𝒙=𝟏

𝒙+

𝟏

𝒙 + 𝟏+

−𝟐

𝒙 − 𝟏

Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales.

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 = න

𝟏

𝒙+

𝟏

𝒙 + 𝟏+

−𝟐

𝒙 − 𝟏𝑑𝑥

= න1

𝑥𝑑𝑥 + න

1

𝑥 + 1𝑑𝑥 + න

−2

𝑥 − 1𝑑𝑥

= න𝑑𝑥

𝑥+ න

𝑑𝑥

𝑥 + 1− 2න

𝑑𝑥

𝑥 − 1

Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales.

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 = න

𝟏

𝒙+

𝟏

𝒙 + 𝟏+

−𝟐

𝒙 − 𝟏𝑑𝑥

= න1

𝑥𝑑𝑥 + න

1

𝑥 + 1𝑑𝑥 + න

−2

𝑥 − 1𝑑𝑥

= න𝑑𝑥

𝑥+ න

𝑑𝑥

𝑥 + 1− 2න

𝑑𝑥

𝑥 − 1

= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝑙𝑛𝐶

Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos podemos simplificar el resultado.

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 = න

𝟏

𝒙+

𝟏

𝒙 + 𝟏+

−𝟐

𝒙 − 𝟏𝑑𝑥

= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝑙𝑛𝐶

= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝑙𝑛𝐶

= ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2𝐶

= ln 𝐶𝑥 𝑥 + 1

𝑥 − 1 2

Solución del problema:

El objetivo de las fracciones parciales es expresar una fracción propia que no puede integrarse directamente, en sus fracciones parciales que sí pueden integrase con alguna de las fórmulas básicas de integración.

න−3𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝐶

𝑥 𝑥 + 1

𝑥 − 1 2