Jos´e Augusto M. Ferreira - mat.uc.ptferreira/MetMatFis.pdf · M´etodos Matematicos da F´ısica : Textos de Apoio J.A.Ferreira 3 Exemplo 1.1 A equacao de Laplace Δu := Xn i=1

Jose Augusto M. Ferreira

Metodos Matematicos da Fısica

Textos de Apoio

Departamento de Matematica

Faculdade de Ciencias e Tecnologia

Universidade de Coimbra

2009-2010

As notas que a seguir apresentamos constituem a base teorica do curso de umsemestre de Metodos Matematicos da Fısica que desde o ano lectivo 2005-2006ate 2009-2010 tenho leccionado no Departamento de Matematica da Faculdade deCiencias e Tecnologia da Universidade de Coimbra.

O curso mencionada e leccionado do Mestrado em Matematica.Ao longo dos anos lectivos referidos estas notas foram corrigidas tendo os alunos

- aos quais agradeco - um papel fundamental nesta tarefa.

Conteudo

Capıtulo 1 - Introducao 2

1.1 Alguns conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Alguns modelos envolvendo EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Condicoes inicial e de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Problema bem posto. Alguns conceitos da teoria de estabilidade . . 131.5 Classificacao das EDPs de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 EDPs homogeneas e EDPs nao homogeneas- Princıpio de Duhamel . 231.7 Alguns problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Bibliografia 29

Metodos Matematicos da Fısica : Textos de Apoio J.A.Ferreira 2

Capıtulo 1 - Introducao

1.1 Alguns conceitos basicos

Definicao 1.1 A igualdade

F (x1, . . . , xn, u,∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn,∂2u

∂x21, . . . ) = 0, (1.1)

em que F e uma funcao dada que depende das variaveis independentes xi, i =1, . . . , n, de u e das suas derivadas parciais, chamamos equacao diferencial comderivadas parciais para a funcao u(x1, . . . , xn).

A funcao u diz-se solucao da equacao (1.1) num domınio Ω de IRn se verifica aigualdade anterior no domınio referido.

A mais elevada ordem das derivadas parciais que ocorre em (1.1) chamamosordem da equacao diferencial (1.1).

A equacao diferencial (1.1) diz-se linear se (1.1) e linear em u e nas suas de-rivadas parciais, (1.1) diz-se quase linear se e apenas linear relativamente as deri-vadas parcias de maior ordem podendo, neste caso, os coeficientes dependerem dasvariaveis independentes, de u e das derivadas parciais de menor ordem.

Um grande numero de fenomenos mecanicos, fısicos, biologicos ou economicos,sao modelizados matematicamente utilizando Equacoes com Derivadas Parciais -EDPs - estando a compreensao de tais fenomenos intrinsecamente ligada ao estudodas propriedades das solucoes destas equacoes. O desenvolvimento tecnologico surge,assim, dependente dos avancos neste domınio da Analise sobretudo no tocante a umcerto tipo de industrias - aeronautica, petrolıfera, nuclear - em que os fenomenos saomodelizados utilizando equacoes com derivadas parciais, e a simulacao exprimental edispendiosa, pouco flexivel ou, em determinados casos limite, de realizacao complexa.

Consideramos seguidamente alguns exemplos de EDPs:


Exemplo 1.1 A equacao de Laplace

Δu :=n∑

i=1

∂2u

∂x2i= 0 em Ω,

em que Ω ⊆ IRn, e certamente a equacao com a maior gama de aplicabilidade. A Δchamamos operador de Laplace e a solucao da equacao de Laplace e chamada funcaoharmonica ou funcao potencial.

Recordemos que se u e uma funcao definida em Ω ⊆ IRn, com valores em IR, entaoo gradiente de u, grad(u), e definido por

grad(u) =

n∑

j=1

∂u

∂xjej = (

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn)

e tambem e denotado por ∇u.Se u e uma funcao vectorial definida de Ω ⊆ IRn em IRn, a divergencia de u, div(u),

e definida por

div(u) = ∇.u =

n∑

j=1

∂uj∂xj

.

Atendendo as definicoes anteriores temos

Δu = div grad(u).

Exemplo 1.2 A solucao da equacao de difusao, tambem designada equacao docalor,

∂u

∂t= c2Δu em (t0, T )× Ω,

em que Ω ⊆ IRn, representa por exemplo, para n = 1, a concentracao de uma substanciaa evoluir num tubo, e, para n = 2, representa, por exemplo, a temperatura de uma placaque foi sujeita a um aquecimento inicial.

Exemplo 1.3 A solucao da equacao da onda

∂2u

∂t2= c2Δu em Ω,

em que Ω ⊆ IRn, representa, por exemplo, o deslocamento de uma membrana em IRn

ou, para n = 1, o deslocamento de uma corda vibrante.


Em alguns exemplos simples, a construcao da solucao da EDPs pode ser feitafacilmente. Ilustramos seguidamente algumas dessas situacoes.

Exemplo 1.4 Determinemos a solucao u(x, y) da EDPs

∂2u

∂x2= 0.

Integrando em relacao a x, obtemos

∂u

∂x= g1(y),

em que g depende apenas de y. Integrando novamente vem

u(x, y) = xg1(y) + g2(y).

As funcoes g1 e g2 deverao ser determinadas de acordo com condicoes auxiliares quecomplementam a EDPs.

Exemplo 1.5 A determinacao da solucao de uma EDPs pode tambem ser feitaatendendo a interpretacao geometrica. Consideremos a equacao

a∂u

∂x+ b

∂u

∂y= 0.

A derivada direccional de u em relacao ao vector v = (a, b) e nula e tem-se

Dvu = 0,

isto e, a variacao de u na direccao de v e constante, ou ainda,

u(x, y) = Const, (x, y) : bx− ay = c.

Tomemos para valor de u(x, y) na recta referida o valor f(c) para alguma funcao f.Entao temos

u(x, y) = Const. = f(c) = f(bx− ay).

Logo uma solucao da EDPs e

u(x, y) = f(bx− ay).

Exemplo 1.6 Um outro processo de determinar a solucao da EDPs do exemploanteriordada e considerar a seguinte mudanca de variaveis

{

x′ = ax+ byy′ = bx− ay.


Temos∂u

∂x=

∂u

∂x′∂x′

∂x+

∂u

∂y′∂y′

∂x= a

∂u

∂x′+ b

∂u

∂y′.

De igual modo∂u

∂y= b

∂u

∂x′− a

∂u

∂y′

Assim,

a∂u

∂x+ b

∂u

∂y= (a2 + b2)

∂u

∂x′.

Deste modo, com

v(x′, y′) = u(ax′ + by′

a2 + b2,ax′ − by′

a2 + b2)

a EDPs∂v

∂x′= 0,

e equivalente a EDPs inicial. Observamos que uma solucao desta ultima equacao e

v(x′, y′) = f(y′),

isto e,u(x, y) = f(bx− ay).

1.2 Alguns modelos envolvendo EDPs

1. Equacao de transporte Consideremos um gas que percorre um tubo em quecada seccao transversal tem area igual a unidade. Pretendemos determinar avelocidade e a densidade do gas em cada ponto do tubo em cada instante,v(P, t), �(P, t). Admitamos que, em cada seccao transversal, as propriedadesdo gas como a densidade e a velocidade sao constantes. Assim, as propriedadesem estudo, sao iguais nos pontos (x, 0, 0) e (x, y, z). Atendendo a este facto,determinemos v(x, t) e �(x, t). Entao a massa de gas entre os pontos x1 e x2no instante t e dada por

∫ x2

x1

�(x, t)dx.

Admitamos ainda que as paredes sao impermeaveis e que a evolucao do gas notubo ocorre apenas devido ao transporte. Deste modo, a variacao de massaque ocorre em cada instante e apenas originada pelo fluxo. Atendendo a quev(x, t) representa a velocidade do fluido em x no instante t, entao o fluxo demassa em x no instante t e dada por

�(x, t)v(x, t).


Consideremos a variacao da massa que ocorre no sector definido por x1 ex2.Temos

d

dt

∫ x2

x1

�(x, t)dx.

Por outro lado, comparando o fluxo nos pontos (x1, t) e (x2, t), vem

d

dt

∫ x2

x1

�(x, t)dx = �(x1, t)v(x1, t)−�(x2, t)v(x2, t) = −∫ x2

x1

∂

∂x(�(x, t)v(x, t))dx.

Consideremos o intervalo de tempo [t1, t2]. Obtemos

∫ t2

t1

d

dt

∫ x2

x1

�(x, t)dxdt =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

∂�

∂tdxdt,

e portanto vem

∫ t2

t1

∫ x2

x1

∂�

∂tdxdt = −

∫ t2

t1

∫ x2

x1

∂

∂x(�v)dxdt.

Atendendo a arbitrariedade de [t1, t2]× [x1, x2], concluımos

∂�

∂t+

∂

∂x(�v) = 0. (1.2)

A equacao (1.2) e chamada equacao de conservacao de massa. Em geral aequacao anterior deve ser resolvida em conjunto com as equacoes da con-servacao do momento e da energia :

∂

∂t(�v) +

∂

∂x(�v2 + p) = 0, (1.3)

∂E

∂t+

∂

∂x(v(E + p)) = 0 (1.4)

em que p denota a pressao e E a energia do gas.

Se considerarmos a variavel dependente

u(x, t) =

⎡

⎣

��vE

⎤

⎦ ,

entao o sistema (1.2), (1.3) , (1.4) e equivalente a equacao

∂u

∂t+

∂

∂xf(u) = 0 (1.5)


em que

f(u) =

⎡

⎣

�v�v2 + pv(E + p)

⎤

⎦ =

⎡

⎢

⎣

u2u2

2

u1+ p

u2(u3 + p)/u1

⎤

⎥

⎦.

No caso particular de f(u) = cu, a equacao estabelecida e chamada equacaode transporte.

2. Equacao de difusao Consideremos uma solucao constituıda por um solventee um soluto em difusao num tubo impermeavel. Admitamos que nao ocorrereaccao entre os constituıntes da solucao e que cada seccao transversal temarea constante e igual a unidade. Mais ainda, suponhamos que em cada seccaotransversal do tubo a concentracao e constante e o o soluto evolui da regiaode maior concentracao para a regiao de menor concentracao sendo a difusaoregida pela lei de Fick. Esta lei estabelece que o fluxo de soluto e proporcionalao gradiente da concentracao.

Consideremos um sistema de eixos tal que as extremidades do tubo tem ab-cissas 0 e ℓ. Denotemos por u(x, t) a concentracao de soluto em x no intantet. Se j(x, t) denota o fluxo em (x, t), entao

j(x, t) = −k∂u

∂x,

em que k representa uma constante positiva chamada coeficiente de difusao.Seja M(t) a concentracao de substancia no sector de tubo definido por x1 ex2. Entao

M(t) =

∫ x2

x1

u(x, t)dx,

e a varicao no instante t da quantidade de substancia no referido sector e iguala

dM

dt=

∫ x2

x1

∂u

∂tdx.

Por outro lado, a mesma variacao e tambem dada por

j(x1, t)− j(x2, t) = k(−∂u

∂x(x1, t) +

∂u

∂x(x2, t))

= k

∫ x2

x1

∂2u

∂x2dx.

Concluımos entao∫ x2

x1

∂u

∂tdx = k

∫ x2

x1

∂2u

∂x2dx,


e portanto∫ t2

t1

∫ x2

x1

(

∂u

∂t− k

∂2u

∂x2

)

dx dt = 0.

Atendendo a arbitrariedade de [x1, x2]× [t1, t2], obtemos

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2em (0, ℓ) × (0,+∞).

A equacao anterior e designada equacao de difusao. Notemos que, atendendoao significado fısico, e necessario considerar no modelo matematico condicoesadicionais que surgem naturalmente no modelo fısico. Assim, admitindo queo tubo tem comprimento ℓ e supondo que as paredes do tudo sao isoladas e aconcentracao nestas e, em cada instante, conhecida temos

u(0, t) = g1(t), u(ℓ, t) = g2(t), t > 0. (1.6)

Estas condicoes sao usualmente chamadas condicoes de fronteira. Mais ainda,admitindo que no instante inicial e conhecida a distribuicao da concentracaode soluto, podemos especificar

u(x, 0) = f(x), x ∈ (0, ℓ).

Esta condicao e chamada condicao inicial.

O problema diferencial

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, x ∈ (0, ℓ), t > 0,

u(0, t) = g1(t), u(ℓ, t) = g2(t), t ≥ 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, ℓ].

(1.7)

e chamado problema diferencial com condicoes inicial e de fronteira.

Se admitirmos que as extremidades do tubo estao isoladas, entao o fluxo e nuloem x = 0 e em x = ℓ. Logo atendendo a que o fluxo e dado pela Lei de Fick,as condicoes (1.6) sao substituıdas por

∂u

∂x(0, t) =

∂u

∂x(ℓ, t) = 0, t > 0.

Observamos que poderıamos ter o lado esquerdo isolado e, na extremidadedireita, o fluxo ser proporcional a concentracao. Neste caso obterıamos

∂u

∂x(0, t) = 0, k

∂u

∂x(ℓ, t) + �u(ℓ, t) = 0, t > 0.


Como vemos, as condicoes para as extremidades surgem naturalmente no con-texto fısico e, como veremos posteriormente, determinam o comportamento dasubstancia em difusao. O problema diferencial (1.7) e modificado de conside-rando as condicoes para as extremidades.

O problema diferencial (1.7) foi estabelecido supondo que o coeficiente dedifusao k e independente da variavel espacial. E de salientar que a propriedadede difusao das particulas do soluto podem depender do ponto onde a difusaoocorre. Neste caso, a constante k dependera certamente de x tendo-se k(x) ea equacao de difusao e substituıda por

∂u

∂t=

∂

∂x

(

k∂u

∂x

)

, x ∈ (0, ℓ), t > 0.

A equacao de difusao foi estabelecida assumindo que a solucao nao apresentamovimento. Suponhamos agora que ha movimento da solucao, da esquerdapara a direita, com velocidade v. Neste caso, a concentracao em cada ponto eem cada instante, depende da difusao e do movimento. Assim, no fluxo temosque considerar duas contribuicoes:

j(x, t) = jF (x, t) + jv(x, t)

em que

jF (x, t) = −k∂u

∂x(x, t), jv(x, t) = vu(x, t).

Deste modo somos conduzidos a equacao diferencial

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2− v

∂u

∂x,

usualmente designada equacao de conveccao-difusao.

E frequente em fenomenos de difusao a ocorrencia de reaccao com a conse-quente producao ou consumo da substancia em difusao. Neste caso a reaccaoe determinante na variacao instantanea da massa tendo-se

M ′(t) =

∫ x2

x1

∂2u

∂x2(x, t) dx+

∫ x2

x1

r(x, t) dx,

em que

∫ x2

x1

r(x, t) dx representa a massa produzida ou consumida no sector

circular definido por x1 e x2 no instante t. Assim a equacao de difusao apresentamais um termo

∂u

∂t(x, t) = k

∂2u

∂x2(x, t) + r(x, t), x ∈ (0, ℓ), t > 0.

Numa grande variedade de fenomenos de reaccao, o termo reactivo r dependenao linearmente da concentracao u obtendo-se uma equacao quase linear.


3. Equacao da corda vibrante Consideremos uma corda de densidade inde-pendente do tempo, com as extremidades fixas e que apresenta movimento.Suponhamos que este movimento decorre apenas no plano vertical (plano xoy)e que sobre cada ponto da corda e apenas exercida uma forca de tensao. Maisainda, admitamos que a forca anterior apresenta a direccao da tangente a cordae a forca gravitacional e negligenciavel.

Consideremos o sistema de eixos de tal modo que o eixo das abcissas contema corda quando esta esta em repouso e a origem coincidindo com uma dasextremidades. Pretendemos determinar a posicao de cada ponto da corda emcada instante t, isto e, para x ∈ (0, ℓ) pretendemos determinar (x, u(x, t)).

Seja �(x) a densidade da corda no ponto da corda de abcissa x. Consideremosdois pontos P e Q sobre a corda de abcissas x e x + Δx respectivamente,e sejam � e � as amplitudes dos angulos que os vectores das tensoes T (P ) eT (Q) fazem com −e1 e e1 respectivamente ({e1, e2} representa a base canonicade IR2). Atendendo a que os pontos da corda nao apresentam deslocamentona horizontal, entao as componentes horizontais das tensoes em P e Q devemcancelar, isto e,

cos(�)∥T (Q)∥ = cos(�)∥T (P )∥ = ∥T∥, (1.8)

e na direccao vertical temos duas forcas de componentes verticais

sen(�)∥T (Q)∥ e − sen(�)∥T (P )∥. (1.9)

Seja M a massa do arco de corda PQ. Entao

M =

∫

PQ

�(s) ds.

Suponhamos que � e contınua. Pelo torema do valor medio para integrais vem

M = �(�(x))Δs

em que �(x) ∈ (x, x+Δx). Tomemos

Δs ≃ Δx,

e admitamos que∂2u

∂t2e contınua em (0, ℓ). Desta ultima hipotese concluımos

que a aceleracao do arco pode ser dada por∂2u

∂t2(�(x), t) em que �(x) ∈ (x, x+

Δx).

Notemos que a forca resultante e igual ao produto da massa pela aceleracao(Segunda Lei de Newton), isto e,

sen(�)∥T (Q)∥ − sen(�)∥T (P )∥ = �(�(x))Δx∂2u

∂t2(�(x), t). (1.10)


Conjugando (1.8) com (1.10), obtemos

tg(�) − tg(�) =�(�(x))Δx

T

∂2u

∂t2(�(x), t), (1.11)

ou ainda

1

Δx

(

∂u

∂x(x+Δx, t)− ∂u

∂x(x, t)

)

=�(�(x))

T

∂2u

∂t2(�(x), t). (1.12)

Desta ultima igualdade, tomando limite quando Δx → 0, vem finalmente

c2∂2u

∂x2=

∂2u

∂t2(x, t), x ∈ (0, ℓ), t > 0. (1.13)

em que c2 =T

�(x).

A equacao (1.13) e chamada equacao da corda vibrante ou da onda (das ondas).

Notemos que atendendo a que as extremidades estao fixas ao eixo das abcissas,entao

u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, t ≥ 0.

Mais ainda, atendendo a que podemos determinar a posicao da corda no ins-tante inicial, podemos especificar u(x, 0), isto e,

u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, ℓ].

Notamos que no instante inicial podemos especificar a velocidade da corda,

sendo portanto conhecida∂u

∂t(x, 0),

∂u

∂t(x, 0) = v(x), x ∈ [0, ℓ].

O problema diferencial

c2∂2u

∂x2=

∂2u

∂t2(x, t), x ∈ (0, ℓ), t > 0,

u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, t ≥ 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, ℓ],

∂u

∂t(x, 0) = v(x), x ∈ [0, ℓ],

(1.14)

e chamado problema de condicoes inicial e de fronteira para corda vibrante.


E de realcar que se admitirmos que sobre a corda actua uma outra qualquerforca apenas com componente vertical, entao a EDPs de (1.14) e substituıdapor

c2∂2u

∂x2+ F (x, t) =

∂2u

∂t2(x, t)

em que F (x, t) = c2G(x, t) e G representa a componente vertical da referidaforca.

1.3 Condicoes inicial e de fronteira

Observamos que em alguns dos modelos matematicos estabelecidos surgiramdiferentes tipos de condicoes: inicial e de fronteira. A condicao inicial surge, emgeral, quando a EDPs envolve a variavel tempo e diz respeito a solucao no instanteem que se inicia a contagem deste. Pode ser dada indicando a solucao no instanteinicial, como no caso da equacao de difusao, e a sua derivada relativamente ao tempo,como no caso da equacao da onda. Um problema diferencial envolvendo apenascondicoes iniciais e chamado problema de condicoes (condicao) iniciais (inicial) outambem problema de Cauchy.

A indicacao da solucao na fronteira do domınio, como nos modelos matematicosja considerados, definem condicoes fundamentais para o modelo. Estas condicoes saochamadas condicoes de fronteira. O problema envolvendo EDPs e apenas condicaode fronteira diz-se problema de condicao de fronteira. Se alem das condicao de fron-teira, o problema apresenta condicao (condicoes) inicial (iniciais), entao o problemadiferencial e chamado problemas de condicoes iniciais (inicial) de fronteira.

Exemplo 1.7 Problema com condicoes iniciais

c2∂2u

∂x2(x, t) =

∂2u

∂t2(x, t), x ∈ IR, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ IR,

∂u

∂t(x, 0) = g(x), x ∈ IR.

(1.15)

Se o domınio espacial e subsituıdo por um intervalo (a, b), entao a equacao com deri-vadas parciais e complementada, como vimos anteriormente, com condicoes, para u, nafronteira e passamos a ter um problema com condicos iniciais e de fronteira.

Exemplo 1.8 Problema com condicao de fronteira

Δu(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ (a, b) × (c, d),

u(a, y) = g1(y), u(b, y) = g2(y) y ∈ [c, d],

u(x, c) = f1(x), u(x, d) = f2(x), x ∈ [a, b].

(1.16)


Exemplo 1.9 Seja Ω um domınio (aberto) de IRn de fronteira ∂Ω suave ¨ -admite plano tangente em cada ponto da fronteira. Os problemas seguintes apresentamapenas condicoes para a fronteira.

1.Δu(x) = f(x), x ∈ Ω,

∂u

∂�(x) = g(x), x ∈ ∂Ω,

(1.17)

2.Δu(x) = f(x), x ∈ Ω,

�(x)∂u

∂�(x) + �(x)u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω,

(1.18)

em que � e � sao funcoes definidas em ∂Ω.

Os exemplos anteriores ilustram os diversos tipos de condicoes de fronteira. Estascondicoes podem ser classificadas do modo seguinte:

1. Primeiro tipo ou de Dirichlet - homogenea ou nao homogenea - a solucaoe especificada na fronteira,

2. Segundo tipo ou de Neumann - a derivada relativamente a normal unitariaexterior ao domınio e especificada na fronteira,

3. Terceiro tipo ou de Robin - e especificada uma combinacao linear dasolucao e da derivada relativamente a normal na fronteira.

Observamos que num problema podem surgir varios tipos de condicoes. Por exem-plo, se ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2, poderemos ter

u(x) = f(x), x ∈ Γ1,∂u

∂�(x) = g(x), x ∈ Γ2.

1.4 Problema bem posto. Alguns conceitos da teoria de estabili-

dade

Dado um modelo matematico envolvendo EDPs, condicao inicial e ou condicaode fronteira, e desejavel que tal problema tenha uma solucao unica. Mais ainda,atendendo a que em geral dos dados do problema - obtidos por medicao - sao cons-truıdas as expressoes que definem as condicoes, pretende-se que o problema seja talque pequenos erros nas expressoes consideradas nao influenciem determinantementea solucao. Mais especificamente, seja S o espaco das solucoes de um determinado pro-blema de condicao (oes) inicial (ais) e Si o espaco das condicoes iniciais. Pretende-seque

∀� > 0∃� > 0 : ∀g ∈ B�(f) =⇒ ug ∈ B�(uf ).


Por uf e ug denotamos as solucoes do problema em estudo para a condicoes iniciaisf e g respectivamente. As bolas B�(f) e B�(uf ) sao definidas relativamente asnormas em Si e S respectivamente. Se um problema diferencial apresenta ultimapropriedade, entao diz-se um problema estavel.

Estas consideracoes levam-nos ao conceito de problema bem posto.

Definicao 1.2 Um problema diferencial com condicao inicial e ou de fronteiradiz-se bem posto se

1. tem uma solucao unica,

2. e estavel.

A definicao das condicoes auxiliares - condicao de fronteira, condicao inicial -num problema diferencial pode levar facilmente a um problema mal posto.

Exemplo 1.10

⎧

⎨

⎩

∂2u

∂x2= 0, (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1)

u(x, 0) = u(x, 1) = 2, x ∈ (0, 1)

u(0, y) = u(1, y) = y y ∈ [0, 1].

Da equacao diferencial vem

u(x, y) = xg(y) + f(y).

Considerando agora as condicoes u(0, y) = u(1, y) = y y ∈ [0, 1], obtemos u(x, y) =f(y) = y. Mas, atendendo a u(x, 0) = u(x, 1) = 2, x ∈ (0, 1), obtemos uma impos-sibilidade. Logo o problema nao e bem posto.

Vejamos seguidamente como podemos concluir que certos problemas diferenciaisnao sao estaveis. Seja L um operador diferencial linear e consideremos o problemanao homogeneo

Lu = f em Ω,

com condicoes nao homogeneas inicial (iniciais) e (ou) de fronteira. Seja u1 a solucaodeste problema. Admitamos que perturbamos as condicoes nao homogeneas (inici-ais e (ou) de fronteira). Seja u2 a solucao perturbada. Entao v = u1 − u2 veri-fica a equacao homogenea e condicoes inicial(iniciais) e (ou) de fronteira que saoperturbacoes das correspondentes condicoes homogeneas. Assim, se a desvios ”pe-quenos”das condicoes auxiliares corresponde uma perturbacao ”pequena”da solucaohomogenea, concluımos que o problema diferencial e estavel. Atendendo a este


facto, para estudar a estabilidade da equacao diferencial linear com condicoes naohomogeneas iremos considerar o correspondente problema homogeneo.

Consideremos a EDPs de segunda ordem de coeficientes constantes

A∂2u

∂x2+ 2B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+E

∂u

∂y+ Fu = 0, x ∈ IR, y ∈ (0,+∞), (1.19)

as condicoes iniciais homogeneas

u(x, 0) = 0, x ∈ IR,∂u

∂y(x, 0) = 0, x ∈ IR. (1.20)

Determinemos condicoes para �(k) tais que a funcao

uk(x, y) = a(k)exp(ikx + �(k)y), (1.21)

para k ∈ ZZ, seja solucao de (1.19).A funcao (1.21) e solucao de (1.19) se e so se

C�(k)2 + (2Bki+ E)�(k) + (−k2A+Dik + F ) = 0 . (1.22)

Assim, a condicao (1.22) e necessaria e suficiente para que uk seja solucao daEDPs (1.19).

Suponhamos que a(k), k ∈ ZZ, e uma sucessao limitada e

limk→+∞(−∞)

ℛe(�(k)) = +∞. (1.23)

Definamos

a(k) =1

�(k)2, k ∈ ZZ.

Entao

∣uk(x, 0)∣ =1

∣�(k)∣2 , ∣∂uk∂y

(x, 0)∣ = 1

∣�(k)∣ . (1.24)

Atendendo a (1.23), podemos escolher k tal que

∣uk(x, 0)∣ ≃ 0 e ∣∂uk∂y

(x, 0)∣ ≃ 0. (1.25)

Por outro lado, atendendo ainda a (1.23) e a escolha de a(k), temos

limk→+∞(−∞)

∣uk(x, y)∣ = limk→+∞

1

∣�(k)∣2 eℛe(�(k))y = +∞, y > 0.

Deste modo, determinamos uma solucao uk do problema perturbado com condicoesiniciais que sao quase nulas mas tal que ∣uk(x, y)∣ e arbitrariamente grande paray > 0.

Provamos o seguinte resultado:


Teorema 1.1 Seja �(k), k ∈ ZZ, tal que

�(k)2C + (2Bki+ E)�(k) + (−Ak2 +Dki+ F ) = 0.

Se ℛe(�(k)) → +∞ quando k → +∞(−∞), entao o problema de Cauchy associadoa equacao diferencial (1.19), e mal posto.

Consideremos novamente �(k) definido por (1.22) e uk(x, y), k ∈ ZZ, defindas por(1.21). Observamos que se a(k), k ∈ ZZ, e limitada, e

1. se ℛe(�(k)) < 0, para todo k ∈ ZZ, entao

limy→+∞

∣uk(x, y)∣ = limy→+∞

∣a(k)∣eℛe(�(k))y = 0,

2. se ℛe(�(k)) > 0, para algum k, entao

limy→+∞

∣uk(x, y)∣ = limy→+∞

∣a(k)∣eℛe(�(k))y = +∞,

3. se ℛe(�(k)) ≤ 0, entao para k tal que ℛe(�(k)) = 0 temos

∣uk(x, y)∣ = ∣a(k)∣,

e, para k tal que ℛe(�(k)) < 0, temos

limy→+∞

∣uk(x, y)∣ = 0,

4. se ℛe(�(k)) = 0, para todo k ∈ ZZ, entao

∣uk(x, y)∣ = ∣a(k)∣,

As consideracoes anteriores levam-nos a seguinte definicao:

Definicao 1.3 Seja �(k), k ∈ ZZ, tal que

�(k)2C + (2Bki+ E)�(k) + (−Ak2 +Dki+ F ) = 0.

1. Ao supremo de ℛe(�(k)) quando k ∈ ZZ, chamamos ındice de estabilidade e edenotado por !.

2. Se ℛe(�(k)) < 0 para todo k ∈ ZZ, entao a EDPs (1.19) diz-se estritamenteestavel.

3. Se ℛe(�(k)) > 0 para algum k ∈ ZZ, entao a EDPs (1.19) diz-se estritamenteinstavel (ou apenas instavel).


4. Se ℛe(�(k)) = 0 para todo k ∈ ZZ, entao a EDPs (1.19) diz-se neutralmenteestavel e conservativa.

5. Se ℛe(�(k)) < 0 e apenas para um numero finito de k ∈ ZZ se tem ℛe(�(k)) =0, entao a EDPs (1.19) ) diz-se dissipativa.

Vejamos seguidamente que se a EDPs e instavel, entao o problema de Cau-chy que lhe esta associado e mal posto. Seja k tal que Re(�(k)) > 0. Entaolim

y→+∞∣uk(x, y)∣ = +∞. No entando, considerando

∣a(k)∣ = ∣ �

�(k)∣ ≃ 0,

obtemos para uk condicoes iniciais quase nulas e, no entanto, uk e um grande ”des-vio”da solucao nula. Logo o problema de Cauchy associado a EDPs nao e bemposto.

Considerando o conceito de ındice de estabilidade temos o seguinte resultado:

Teorema 1.2 1. Se ! < 0 entao a EDPs (1.19) e estritamente estavel,

2. Se ! > 0 entao a EDPs (1.19) e instavel.

Exemplo 1.11 A equacao

− 2∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+ 2�

∂u

∂y= 0, � ≥ 0,

e neutralmente estavel e e dissipativa para � > 0. Se � = 0, entao a equacao anterior eneutralmente estavel e conservativa.

Seguidamente estudamos o comportamento de uk, k ∈ ZZ, quando considera-mos perturbacoes nas condicoes iniciais. Seja �(k), k ∈ ZZ, como anteriormente, esubstituam-se as condicoes

u(x, 0) = a(k),∂u

∂y(x, 0) = �(k)a(k)

por

u(x, 0) = a(k) + �(k),∂u

∂y(x, 0) = �(k)a(k) + �(k) = �(k)(a(k) +

�(k)

�(k))

em que �(k) = �(k)�(k). Seja uk a correspondente solucao. Temos

∣uk(x, y)− uk(x, y)∣ = ∣�(k)∣eRe(�(k))y .


Se ! ≤ c entao∣uk(x, y)− uk(x, y)∣ ≤ C∣�(k)∣

quando y ∈ [0, Y ]. Assim se perturbacao dos dados e pequena e c < 0, entao con-cluımos que a correspondente perturbacao das solucoes e inferior a perturbacao dosdados. Por outro lado, se c > 0 entao a perturbacao das solucoes e limitada.

Pode-se demonstrar que:

Teorema 1.3 Se o ındice de estabilidade e inferior a um constante C entao oproblema de Cauchy para a EDPS (1.19) e bem posto.

1.5 Classificacao das EDPs de segunda ordem

Consideremos a equacao diferencial de segunda ordem em apenas duas variaveisindependentes x e y

A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = G . (1.26)

Associemos a EDPs anterior a seguinte equacao algebrica

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (1.27)

que representa uma conica que tem a seguinte classificacao:

1. elipse se B2 − 4AC < 0,

2. parabola se B2 − 4AC = 0,

3. hiperbole se B2 − 4AC > 0.

As designacos anteriores induzem, de modo natural, as mesmas designacoes paraa EDPs (1.26). Diremos que a equacao anterior e

1. elıptica se B2 − 4AC < 0,

2. parabolica se B2 − 4AC = 0,

3. hiperbolica se B2 − 4AC > 0.

Exemplo 1.12 A equacao da onda

−c2∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

e uma equacao hiperbolica pois B2 − 4AC = −4(−c2) > 0.


Exemplo 1.13 A equacao de Laplace

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

e uma equacao elıptica pois B2 − 4AC = −4 < 0.

Exemplo 1.14 A equacao do calor

−c2∂2u

∂x2+

∂u

∂y= 0

e uma equacao parabolica pois B2 − 4AC = 0.

Notemos que na caracterizacao dada tem apenas papel de relevo as derivadasde maior ordem. A parte de uma EDPs envolvendo as derivadas de maior ordem edesignada parte principal da EDPs (ou do operador diferencial associado a EDPs).A parte restante e chamada parte nao principal.

Seguidamente consideramos as designacoes anteriores em funcao dos valoresproprios de uma matriz simetrica associada a equacao diferencial. Definamos ooperador diferencial

∂x :=

⎡

⎢

⎣

∂

∂x∂

∂y

⎤

⎥

⎦.

Entao a EDPs (1.26) e equivalente a

∂tx

[

A B/2B/2 C

]

∂xu+ [DE]∂xu+ Fu = g (1.28)

A equacao anterior e chamada forma matricial da EDPs (1.26). Vejamos seguida-mente os valores proprios � da matriz

[

A B/2B/2 C

]

.

Temos

� =1

2

(

(A+ C)+√

(A+ C)2 + (B2 − 4AC))

.

Logo

1. se B2 − 4AC = 0, entao a matriz tem o valor proprio nulo e o outro valorproprio real,

2. se B2− 4AC < 0, entao a matriz tem dois valores proprios reais com o mesmosinal,


3. se B2 − 4AC > 0, entao a matriz tem dois valores prorios reais com sinalcontrario.

A classificacao que foi dada anteriormente pode ser facilmente estendida a EDPsde segunda ordem envolvendo n variaveis independentes atendendo ao comporta-mento dos valores proprios de uma matriz cujas entradas sao os coeficientes dasderivadas de segunda ordem.

Consideremos a equacao diferencial

n∑

i=1

n∑

j=1

aij∂2u

∂xi∂xj+

n∑

j=1

aj∂u

∂xj+ a0u = g (1.29)

em que aij = aji. Sejam

∂x =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

∂

∂x1∂

∂x2. . .∂

∂xn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

, A = [aij ], B = [ai].

A matriz A e real simetrica e portanto e diagonalizavel, isto e, existe uma matrizortogonal S (S−1 = St) tal que

S−1AS = D

em que D e a matriz diagonal dos valores proprios de A.1

Matricialmente, a EDPs (1.29) e reecrita na forma

∂txA∂xu+Bt∂xu+ a0u = g, (1.30)

ou ainda,∂txS(S

tAS)St∂xu+BtSSt∂xu+ a0u = g.

Atendendo a que StAS = D, a equacao anterior e equivalente a

(St∂x)tD(St∂xu) +BtS(St∂xu) + a0u = g.

1A matriz S e construıda a partir dos vectores proprios de A considerando a normalizacao dos

vectores obtidos com o Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt: Se os vectores vj , j =

1, . . . , r, sao linearmente independentes em IRn, entao os vectores

u1 = v1, ui = vi −i−1∑

k=1

vtiuk

∥uk∥2uk, i = 2, . . . , r,

sao linearmente independentes e ortogonais dois a dois.


Consideremos, na equacao anterior, a mudanca de variavel y = Stx.Atendendo a∂yv(y) = St∂xu(Sy), obtemos

∂tyD∂yu(Sy) +BtS∂yu(Sy) + a0u(Sy) = g(Sy).

Observamos que na ultima equacao obtida nao figuram derivadas mistas. Diz-se quea EDPs (1.29) esta na forma canonica.

Definicao 1.4 1. Se os valores proprios de A tem todos o mesmo sinal, entaoa EDPs (1.29) diz-se elıptica.

2. Se os valores proprios de A sao todos nao nulos e um deles tem sinal diferentedos restantes, entao a EDPs (1.29) diz-se hiperbolica,.

3. Se um ou mais valores proprios de A e nulo, entao a EDPs (1.29) diz-separabolica.

4. Se dois ou mais valores proprios tem o mesmo sinal e os dois ou mais restantestem sinal contrario, entao a EDPs (1.29) diz-se ultra-hiperbolica.

Se a dimensao da matriz A e inferior ou igual a tres, entao as tres primeirasdesignacoes esgotam todas as possibilidades para os valores proprios. Se a dimensaoda matriz A e maior ou igual a quatro, entao as tres primeiras designacoes naoesgotam todas as possibilidades. Atendendo a este facto, surge naturalmente aquarta designacao. As equacoes ultra-hiperbolica sao as menos comuns nas diversasaplicacoes.

Consideremos agora a EDPs (1.29) em que os coeficientes sao funcao da variavelindependente. Suponhamos que existe S ortogonal tal que StA(x)S = D(x) emque D(x) e um matriz dos valores proprios. Procedendo como anteriormente, somosconduzidos a uma equacao do tipo

n∑

j=1

�j(z)∂2v

∂z2j+

n∑

j=1

(∂�j

∂zj+ b(z))

∂v

∂zj+ c0(z)v(z) = g

sendo a classificacao dada em subconjuntos de IRn. Podemos ter uma EDPs quee de um tipo, num determinado subconjunto de IRn, e de outro tipo num outrosubconjunto.

Exemplo 1.15 Classifiquemos a EDPs

∂2u

∂x21+ 2(1 + cx2)

∂2u

∂x2∂x3= 0 .

Comecemos por reescrever a EDPs na forma matricial. Notemos que a EDPs e equiva-lente a

∂2u

∂x21+

∂

∂x2(1 + cx2)

∂u

∂x3+

∂

∂x3(1 + cx2)

∂u

∂x2− c

∂u

∂x3= 0


e portanto temos∂txA∂xu+B∂xu = 0

em que

∂x =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

∂

∂x1∂

∂x2∂

∂x3

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

, A =

⎡

⎣

1 0 00 0 (1 + cx2)0 (1 + cx2) 0

⎤

⎦ , B = [0 0 − c].

Os valores e vectores proprios de A sao

�1 = 1, v1 = (1, 0, 0)

�2 = 1 + cx2, v2 = (0,1√2,1√2)

�3 = −(1 + cx2), v3 = (0,1√2,− 1√

2)

Logo a equacao diferencial e

1. parabolica se x2 = −1c, (c ∕= 0),

2. hiperbolica se x2 > −1ce se x2 < −1

c, (c ∕= 0)

3. hiperbolica se c = 0.

Facamos a reducao da EDPs dada a sua forma canonica. Seja S a matriz ortogonaldos vectores proprios. Definamos

z = Stx.

Consideremos a mudanca de variavel z = Stx. Logo ∂z = St∂x e Sz = x. A EDPs eequivalente a EDPs

∂tzD∂zv(z) +BS∂zv(z) = 0

em que v(z) = u(Sz) e

D =

⎡

⎣

1 0 00 (1 + cx2) 00 0 −(1 + cx2)

⎤

⎦ =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

1 0 0

0 (1 +c√2(z2 + z3)) 0

0 0 −(1 +c√2(z2 + z3))

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

.

Deste modo a ultima EDPs e equivalente a

∂2v

∂z21+ (1 +

c√2(z2 + z3))

∂2v

∂z22− (1 +

c√2(z2 + z3))

∂2v

∂z33+

√2

2(∂v

∂z2− ∂v

∂z3) = 0.


1.6 EDPs homogeneas e EDPs nao homogeneas- Princıpio de Duha-

mel

O estudo da estabilidade foi feito para EDPs homogeneas. No entanto existeuma relacao muito estreita entre a solucao de uma EDPs homogenea e a sua versaonao homogenea.

Consideremos a equacao diferencial nao homogenea

∂2u

∂t2+ Lu(x, t) = g(x, t), x ∈ Ω, t > 0, (1.31)

ou∂u

∂t+ Lu(x, t) = g(x, t), x ∈ Ω, t > 0, (1.32)

com condicoes inicial e/ou de fronteira homogeneas e em que L e um operadordiferencial linear envolvendo apenas derivadas parciais relativamente as componentesde x.

Consideremos agora a versao homogenea da EDPs (1.31), isto e, g(x, t) = 0.Fixemos � ≥ 0 e seja v(x, t) a solucao de

∂2v

∂t2+ Lv(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > �, (1.33)

em que as condicoes de fronteira, a existirem, sao as mesmas que as consideradaspara u, e as condicoes iniciais sao:

1.

v(x, �) = 0,∂v

∂t(x, �) = g(x, �)

se a EDPs e hiperbolica,

2.v(x, �) = g(x, �)

se a EDPs e parabolica.

Atendendo a que a solucao do problema com g = 0 depende do instante inicial �,representamos esta solucao por v(x, t; �) e supomos que e suficientemente regular.Definamos

u(x, t) =

∫ t

0v(x, t; �) d�.

Seja

G(y, x, t) =

∫ y

0v(x, t; �) d�.

Entaou(x, t) = G(t, x, t),


e portanto∂u

∂t(x, t) =

∂G

∂y(t, x, t)

dy

dt+

∂G

∂t(t, x, t)

= v(x, t; t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t; �) d� .

Por outro lado

Lu(x, t) =

∫ t

0Lv(x, t; �) d�

ev(x, t) = g(x, t).

Logo

∂u

∂t+ Lu(x, t) = v(x, t; t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t; �) d� +

∫ t

0Lv(x, t; �) d�

= g(x, t) +

∫ t

0(∂v

∂t(x, t; �) + Lv(x, t; �)) d�

= g(x, t).

Relativamente a condicao inicial temos

u(x, 0) = 0.


Teorema 1.4 Seja L um operador diferencial linear envolvendo apenas deriva-das espaciais, � ≥ 0 e v(x, t; �) a solucao de

∂v

∂t+ Lv = 0, x ∈ Ω, t > �,

v(x, �) = g(x, �), x ∈ Ω,

suficientemente regular, entao

u(x, t) =

∫ t

0v(x, t; �) d�, t ≥ 0, x ∈ Ω

verifica∂u

∂t+ Lu = g(x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = 0, x ∈ Ω.


No que diz respeito a EDPs hiperbolica temos

v(x, t; t) = 0,∂v

∂t(x, t; t) = g(x, t),

e ainda

∂2u

∂t2+ Lu(x, t) =

∂

∂t

(

v(x, t; t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t; �) d�

)

+

∫ t

0Lv(x, t; �) d�

=∂

∂tv(x, t; t) +

∫ t

0(∂2v

∂t2(x, t; �) + Lv(x, t; �)) d�

= g(x, t).

Mais ainda,

u(x, 0) = 0,∂u

∂t(x, 0) = v(x, 0; 0) = 0.


Teorema 1.5 Seja L um operador diferencial linear envolvendo apenas deriva-das espaciais, � ≥ 0 e v(x, t; �) a solucao de

∂2v

∂t2+ Lv = 0, x ∈ Ω, t > �,

v(x, �) = 0, x ∈ Ω,

∂v

∂t(x, �) = g(x, �), x ∈ Ω,

suficientemente regular, entao

u(x, t) =

∫ t

0v(x, t; �) d�, t ≥ 0, x ∈ Ω

verifica∂2u

∂t2+ Lu = g(x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = 0, x ∈ Ω,

∂u

∂t(x, 0) = 0, x ∈ Ω.


Nos resultados anteriores consideramos EDPs nao homogenas. No entanto, re-lativamente as condicoes de fronteira consideramos apenas condicoes homogeneas.Vejamos seguidamente como podemos relacionar as solucao de um problema comcondicao de fronteira nao homogeneas com a solucao do correspondente problemacom condicao de fronteira homogenea.

Seja u a solucao do problema diferencial

∂u

∂t+ Lu = 0, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ Ω,

u(x, t) = ℎ(x, t), x ∈ ∂Ω.t ≥ 0

Seja v(x, t) suficientemente regular tal que v(x, t) = ℎ(x, t) para x ∈ ∂Ω e t ≥ 0.Consideremos a solucao do seguinte problema

∂w

∂t+ Lw = −(

∂v

∂t+ Lv), x ∈ Ω, t > 0,

w(x, 0) = −v(x, 0) + f(x), x ∈ Ω

w(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.

Entaou = w + v

e solucao do problema inicial.Suponhamos agora que problema diferencial apresenta derivada de segunda or-

dem em relacao a t e tem as condicoes iniciais

u(x, 0) = f(x),∂u

∂t(x, 0) = g(x), x ∈ Ω

e a condicao de fronteirau(x, t) = ℎ(x, t), x ∈ ∂Ω.

Se v(x, t) (suficientemente regular) definida em Ω×[0,+∞) e tal que v(x, t) = ℎ(x, t)para x ∈ ∂Ω e w(x, t) e solucao do problema diferencial

∂2w

∂t2+ Lw = −(

∂2v

∂t2+ Lv), x ∈ Ω, t > 0,

w(x, 0) = −v(x, 0) + f(x), x ∈ Ω,∂w

∂t(x, 0) = −∂v

∂t(x, 0) + g(x), x ∈ Ω,

w(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.

entao v + w e solucao do problema inicial.


1.7 Alguns problemas

1. Considere o problema de Cauchy

Δu = 0, x ∈ IR, y > 0, u(x, 0) = 0,∂u

∂y(x, 0) =

sen(nx)

n, x ∈ IR.

Mostre que u(x, y) =sℎ(ny)sen(nx)

n2para x ∈ IR e y ≥ 0 e solucao do problema

dado. Mostre que o problema de Cauchy considerado nao e bem posto.

2. Determine a solucao do problema

3uy + uxy = 0, x ∈ IR, y > 0,u(x, 0) = e−3x, uy(x, 0) = 0, x ∈ IR.

O problema de Cauchy anterior e bem posto?

3. Estude a estabilidade das seguintes EDPs em funcao dos parametros envolvidos

(a) uxx + utt + �u = 0,

(b) cuxx + ut = 0,

(c) utt − uxx + u = 0

(d) utt − 2uxx + 2�ut = 0, � > 0.

O problema de Cauchy associado e bem posto?

4. Considere a EDPs

∂3u

∂t3− 2

∂3u

∂x2∂t+

∂2u

∂t2− c2

∂2u

∂x2= 0

e as funcoes uk(x, , t) anteriormente utilizadas. Determine a relacao para �(k)e estude a estabilidade. (Note que se a3 > 0, a1 > 0 e a1a2 > a3 entaoP (�) = �3 + a1�

2 + a2�+ a3 tem zeros com parte real negativa.)

5. (a) Mostre que a EDPs

∂2u

∂x2+ 2

√2∂2u

∂x∂y+ 3

∂u

∂x− ∂u

∂y+ 2u = 0

e hiperbolica e determine a sua forma canonica. Considere a trans-formacao

v(z1, z2) = exp(�z1 + �z2)w(z1, z2)

e determine � e � de modo a eliminar as derivadas de primeira ordem.


(b) Determine as regioes onde a EDPs de Tricomi

uxx + xuyy = 0

e elıptica, parabolica ou hiperbolica. Reduza a EDPs anterior a sua formacanonica.

(c) Mostre que a EDPs

3ux1x1− 2ux1x2

+ 2ux2x2− 2ux2x3

+ 3ux3x3+ 5ux2

− ux3+ 10u = 0

e elıptica mostrando que os valores proprios da matriz A sao �1 = 1, �2 =3 e �3 = 4. Determine a sua forma canonica.

(d) Classifique a EDPs

∂2u

∂x2+ 2

∂2u

∂x∂y+

∂2u

∂y2+ 2

∂2u

∂z2− (1 + xy)u = 0.

(e) Reduza a EDPs

uxx + 3uyy − 2ux + 24uy + 5u = 0

a EDPsuxx + uyy + cv = 0

considerando a mudanca de variavel

u = vexp(�x+ �y).

Documents

Jos´e Augusto M. Ferreira - mat.uc.ptferreira/MetMatFis.pdf · M´etodos Matematicos da F´ısica : Textos de Apoio J.A.Ferreira 3 Exemplo 1.1 A equacao de Laplace Δu := Xn i=1