Kartografija 1 - PRVI Kolokvijum-Sasa

Проф. др Драгољуб Секуловић Картографија 1 ПРВИ КОЛОКВИЈУМ

1. ДЕФИНИЦИЈА КАРТОГРАФИЈЕ

Реч картографија је сложеница од грчке речи лист папира, повеља, карта (charta) и пишем, цртам (grafein). Податак да се реч картографија први пут спомиње уз реч географија и хорографија изгравирана на једном геодетском инструменту из 1576. године није тачан (Harley,1987). Реч је сковао 1839. Manuel Francisco de Barros e Sousa, португалски научник, са значењем проучавање старих карата. Реч је уско примењена на картографију уопште, у значењу које се употребљава и данас, а појављује се у многим европским језицима у другој половини 19. века. Картографија је наука о логици, методици и техници конструкције, израде и тумачења карте и других картографских форми које треба да пробуде просторно исправну представу о стварности. Она се не бави само приказивањем конкретних објеката, већ и апстрактних појава у простору, наравно уколико се оне могу представити према картографским принципима. Научно истраживање адекватних средстава за приказивање иде далеко испред области геодетских обухватљивих објеката и обухвата изванредно велики број појава у простору. У вези са овим могу се повући веома битне везе и паралеле са географијом – Arnberger, E., 1966. Картографија је наука о одржавању и истраживању појава у природи и друштву – њиховог размештаја, особина, узајамне повезаности и промена у времену – посредством картографског приказа као просторних сликовно – знаковних модела (Sališčev, K. A., 1982.).Међународна картографска асоцијација дала је дефиницију која гласи: Картографија је свеукупност истраживања и радова (научних, уметничких и техничких) која почињу са обрадом резултата непосредних посматрања или раније добијених извора, који се изводе при пројектовању и изради карата и других форми приказивања, а такође и при њиховом коришћењу.

НОВИЈЕ ДЕФИНИЦИЈЕ КАРТОГРАФИЈЕ ОД СТРАНЕ Међународне картографске асоцијације (International Cartographic Association) гласе:

1. Картографија је организација и комуникација географски повезаних информација у графичкој или дигиталној форми. То може укључити сва стања података спремљених за презентацију и коришћење.

2. Картографија укључује све нивое прикупљања, презентовања и коришћења информација о геопростору, географским објектима и процесима.

3. Картографија је презентација и интелектуална апстракција географске стварности, са тежњом ка комуницирању у сврху или за сврхе преноса релевантних географских података на крајњи производ – карту, који може бити визуелни или дигитални.

Комисија за Теоријску картографију Међународне картографске асоцијације предложила је неколико дефиниција Картографије (2003.):

1. Картографија у временском друштву је систем различитих манифестaционих форми доминантних у прављењу и коришћењу (употреби) традиционалних и виртуелних картосемиотских мoдела реалнoсти и имaгинaцијe.

2. Картографија је научна дисциплина која ради са картама, картирањем, коришћењем карата и корисницима карата.

3. Картографија је научна дисциплина која обухвата картирање, концепцију, продукцију, ширење и проучавање карата.

, (1983.)Велибор Јовановић Математичка картографија 1


2. ДЕФИНИЦИЈА КАРТЕ

Постоје различите дефиниције појма карта. Не постоји ни једна која је прихваћена у читавом свету или бар од већине карографа. Ни Међународна картографска асоцијација (International Cartographic Association – ICA) ни њена Комисија за Теоријску картографију (Commission for Theoretical Cartographi) немају јединствено утврђену дефиницију карте, било да је она у аналогном или електронском (дигиталном) облику. Реч карта потиче од латинске речи “chartа” која је имала првобитно значење: писмо, саопштење, повељаизвештај, исправа. Тек од XIV века та реч се употребљава у данашњем смислу. Овде су дате неколико дефиниције које на најбољи начин одржавају суштину карте као модела стварности (било да се ради о аналогном дводимензионалном или дигиталном, данас већ, четвородимензионалном моделу – са четвртом димензијом временом).

Географска карта је слика већег или мањег дела Земљине површине у којој су дужинске, површинске и просторне прилике, геофизичке, културне и историјске чињенице графички прегледно приказане, тако да је омогућено правилно оцртавање и одмеравање свих приказаних објеката– Eckert, M. 1921. године.

Исти аутор даје и краћу дефиницију “Карта је слика Земље или једног већег или мањег дела њене површине.”

Географским картама називају се умањени, уопштени, математички одређени прикази Земљине површине на равни, који показују размештај, структуру и везе различитих природних и друштвених појава, изабраних и карактеристичних сагласно намени свакеконкретне карте – Салишчев, К. А. 1959.

Последњу и најбољу дефиницију дао је (Салишчев) 1971. године и гласи “Географским картама називамо умањене, математички одређене, уопштене сликовно-знаковне приказе Земљине површине на равни који показују размештај, структуру и везе различитих природних и друштвених појава, одабраних и карактеристичних у односу на намену сваке конкретне карте”.

Под географском картом разуме се у одређеном односу смањена, математички конструисана и уопштена слика целе Земљине површине или њених појединих делова, на равни, која на посебан графички начин приказује распоред, стање и међусобне односе разних објеката и природних и друштвених појава, одабрани сходно намени – Petеrca, M. и други, 1974.

Географска карта је специфичним знацима нацртана, умањена, генералисана и по одређеном математичком закону на равни конструисана слика целе Земљине површине или неког њеног дела, која указује на географски размештај и узајамне односе одређених природних и друштвених објеката, појава и чињеница – Павишић, Н., 1976.

Све карте су размерни прикази Земље или другог небеског тела, урађени према геометријским правилима са генералисањем симболичким представама реалности. Иако две карте могу бити веома различите оне ће имати много више заједничког једна са другом него са било којом другом не графичком формом комуникација – Robinsон, A. S., 1978.

У савременој Картографији картама се називају умањене, уопштене условно-знаковне представе Земље, других небеских тела или небеске сфере, конструисане по математичком закону и које показују размештај, својства и везе различитих природних и социо-економских објеката и појава – Берљант, А. М., 1985.



У Оксфордском географском речнику дата је дефиниција: Карта је картографска представа специфично изабраних просторних информација. Информација је пренета кроз представе конструисане симболима – Maynew, S., 1997.

Британска картографска асоцијација (British Cartographic Association – BCA) дефи нише карту на следећи начин: Карта је холистичка презентација и интелектуална (мисаона) апстракција географске стварности, која намерава да буде комуникативна за намену или намене, преносећи релевантне географске податке у крајњи продукт који је визуелни,дигитални или додирни.

Карта је представа Земље (или неке друге планете) која користи одређену математичку процедуру на површи или чешће на равни. Одређеније, карта је графичка и/или координантна представа, најчешће на равној површини и са успостављеним размером, природних и других појава на површини, њихових просторних веза и односа, на делу или на целој површини планете – Arlinghaus, S. L., 2000.

Комисија за Теоријску Картографију Међународне картографске асоцијације (Commission for Theoretical Cartography of International Cartographic Association – ICA) дала је 2002. године неколико дефиниција карте :

1. Карта је представа географски размерног простора или појаве, означена за коришћење када су просторне везе примарно релевантне и одсликава селектоване појаве или карактеристике изабране кроз креативне напоре њених аутора, а које подлежу наметнутим правилима за избор озакоњеним у алатима за аутоматску производњу.

2. Карта је симболичка (графичка) слика неке веома комплексне природне или другесредине, представљајући, у сагласности с тополошком структуром оригинала, елементе изабране у зависности од поштовања детерминишућих одредница.

3. Карта је просторно – временски семиотички (традиционални и виртуелни) модел стварних и/или фиктивних објеката и појава на Земљи, другим планетама и у Космосу.

4. Карта је објекат који садржи и обухвата серију географских елемената, произведених у процесу картирања. Објекти картирања могу бити реални и виртуелни, једноставни или комплексни.

ЗАКЉУЧАК: Карта је условно математички смањен, генералисан и конструисан сликовно - знаковни модел одређене просторне целине у аналогном или дигиталном облику.

3. ОПШТА ПОДЈЕЛА КАРТОГРАФИЈЕ

Савремена картографија разликује :

1. Општу картографију, 2. Математичку картографију или картографске пројекције, 3. Практичну картографију, 4. Тематску картографију,5. Метакартографију.

Општа картографија изучава основна својства географских карата, елементе садржаја и начине његовог приказивања (кључ картографских знакова). Разрађује и изучава и друге проблеме од општег значаја за израду карата (картографско генералисање, примјена аутоматизације у картографији). У овом дијелу се такође изучава историја развоја карата и картографије уопште.



Математичка картографија се бави изучавањем тзв. математичке основе карте, коју чине : геодетска основа (геодетске и астрономске тачке које се користе за израду карте), картографска пројекција и размјер. У овом дијелу се највећи простор посвећује теорији картографских пројекција (пресликавања), односно начинима рачунања и конструкције картографских мрежа (слике меридијана и паралела). Изучава се и начин коришћења геодетске основе у процесу израде карата, као и методи свођења картографких материјала у јединствен систем координата. Посебан дио математичке картографије је картометрија, гдје се изучавају начини коришћења карата, посебно мјерење дужина, углова и површина на картама. У математичкој картографији понекад се издваја тзв. геодетска картографија, у оквиру које се изучавају картографске пројекције које се примјењују на главне геодетске задатке – премјер већих подручја (државних територија) и, с тим у вези, за обраду података мјерења и срачунавања координата тригонометријских тачака и уопште геодетске основе.

Практична картографија изучава проблеме везане за састављање и обликовање садржаја карата : израду и састављање карата из података добијених на основу фотограметријског и топографског (графичког) премјера, као и састављање разноврсних општегеографских карата на основу постојећих (готових) карата. У оквиру практичне картографије посебну цјелину чини област репродукције (умножавања) карата.

Тематска картографија изучава принципе израде тематских карата, одређује специфичности приказа тематског садржаја карте и изналажење најбољег односа између овог и осталог садржаја (општегеографске основе).

Метакартографија разматра опште изражајне могућности карте и картографског приказа. Бави се теоријским основама картографије као научне дисциплине и има за циљ да обједини све њене дијелове у логичну цјелину, утврђујући истовремено њену позицију у гносеолошком систему наука.

4. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЦИ МАТЕМАТИЧКЕ КАРТОГРАФИЈЕ

Математички закони израде карата предвиђају двије опције за прелаз од физичке површине Земље на њен графички приказ у равни. У првој од њих се прелази са физичке површи Земље на условну (математичку) површ елипсоида (или лопте), односно на нивоску површ средњег мора, замишљено продужену испод континената – тзв. геоид. Овај прелаз остварује се ортогоналним пројицирањем тачака физичке површи, линијама управним на математичку површ Земље, а одређује га и условљава мрежа тачака геодетске основе. У другој фази остварује се прелаз са површи елипсоида или лопте на раван, односно пресликавање њихових глатких, закривљених површи у раван карте, на основу одређених математичких закона. Овим законом (картографском пројекцијом) дефинише се функционална веза (однос) између координата тачака на елипсоиду (или лопти) и њима одговарајућих координата у равни. Пресликане тачке геодетске основе и пресјечне тачке координатних линија омогућују конструисање одговарајуће картографске мреже, односно мреже координатних линија у равни карте неопходне за нанаошење осталог садржаја карте. Пошто се закривљене површ елипсоида или лопте не могу развити у раван, њихово приказивање прате неизбјежне деформације, чији се распоред и износи могу одредити ако се познаје функција (закон) пресликавања. При изражавању проблема које разматра и изналажењу њихових аналитичких рјешења, математичка картографија се ослања на поставке многих математичких дисциплина као што су равна и сферна тригонометрија, диференцијална геометрија, диференцијални и интегрални рачун, методе нумеричке анализе и др. У новије вријеме све чешће се примјењује метода математичке статистике и теорија информација. Такође



је наглашена употреба савремених рачунских средстава. Виша геодезија и геодетска астрономија обезбедјују информације о облику и величини Земље, координате тачака геодетске основе, координате астрономских тачака. Географија и друге дисциплине за чије потребе се израђују карте уско су повезане са Математичком картографијом. Развој математичке картографије је текао паралелно са развојем израде карата и картографијом уопште, као и развојем других наука и техничких дисциплина. Почеци математичке картографије су прије око 2500 година. Примена више математике - пре око 250 година. Неки проблеми су решени тек пре неколико деценија, а и данас се продубљују и усавршавају.

МАТЕМАТИЧКА КАРТОГРАФИЈА изучава:

Математичку основу карте :

- Геодетску основу (геодетске, астрономске, референтне тачке),- Картографске пројекције.- Размеру.

Картометрију :

- Коришћење карата - мерење дужна, површина и углова на карти.

Геодетску картографију :

- Картографске пројекције за реализацију главних геодетских задатака,- Проблем премера државне територије,- Срачунавање координата тригонометријских тачака.

Два главна картографска задатка – ПРАВИ и ОБРНУТИ

ПРАВИ ЗАДАТАК МАТЕМАТИЧКЕ КАРТОГРАФИЈЕ :

- Установити експлицитне облике функција пресликавања (трансформације) елипсоида на раван, - Функције (изразе) карактеристика пројекције (деформације).

ОБРНУТИ КАРТОГРАФСКИ ЗАДАТАК :

На основу познатих облика функција пресликавања обртног елипсоида на раван установити изразе за инверзно пресликавање - са равни на обртни елипсоид.

Поред проналажења и изучавања картографских пројекција, задатак математичке картографије је и да установи КРИТЕРИЈУМЕ ИЗБОРА и КВАЛИТЕТА ПРОЈЕКЦИЈА. Начине пресликавања обртног елипсоида и сфере, или делове ових површи, на раван називамо картографским пројекцијама, а научну дисциплину која се овом проблематиком бави Математичком картографијом.



5. ИСТОРИЈАТ РАЗВОЈА МАТЕМАТИЧКЕ КАРТОГРАФИЈЕ

Развој математичке картографије, чији се главни дио односи на теорију картографских пројекција, текао је паралелно са развојемизраде карата и картографије уопште. Развој бројних наука иницирао је све шире захтјеве за израдом разноврсних карата што је изискивало повећавање броја картографских пројекција и усавршавање математичке основе карте. Може се рећи да се човјек бави проблемима картографског пресликавања око 2500 година. У задњих 250 година примењују се поставке више математике. Неки проблеми математичке основе карата интензивно се обрађују тек у назад неколико деценија. Према томе може се закључити да се ова област истраживања може још увијек сматрати отвореном.

Карактеристични периоди развоја математичке картографије :

ПРВА ЕТАПА : Прву етапу чине картографски цртежи. Период у коме се вјеровало да је Земља равна плоча.

ДРУГА ЕТАПА : Друга етапа почиње открићем првих картографских пројекција (из групе перспективних азимутских пројекција) које датирају још из античког периода и приписују се старогрчким научницима, који су их предложили за астрономске и друге карте. У овој етапи картографија па са њом и математичка картографија попримају обиљежја научно заснованих дисципина. Предуслов за ово и даљи развој мат.картографије су следећа достигнућа античке науке :

Сазнање да је Земља крива површ. Ово мишљење најприје је утврђено међу ученицима грчког научника Питагоре са острва Самос, 6 вијек пне.

Први докази о Земљи као лопти потичу од Аристотела (384 – 322 г.пне.), који сматра да је дужина меридијана 400 000 стадија, односно 63 200 km и заступа тезу о геоцентричности свемира.

Одређивање дужине меридијана и утврђивање радијуса Земљине лопте. Ове вриједности знатно тачније од Аристотела утврдио је Ератостен из Кирене (276 – 194 г.пне.), чувени астроном, географ и управник александријске библиотеке. Димензије земље Ерастотен одређује мјерењем меридијанског лука између Сијене и Александрије у Египту. Његови резултати се знатно приближавају данашњим вриједностима. По Ератсостену дужина меридијана износи 252 000 стадија или 39 186 km. (Према елипсоиду WGS84 дужина меридијана је 20 003,9 km.)

Израда првог Земљиног глобуса приписује се Кратесу из Малоса (2 вијек пне.). Приједлог да се положај тачака на површи Земљине лопте утврђују географским

координатама – ширином и дужином, који потиче од Хипараха (160 – 125 г.пне.).

Најстарија картографска пројекција (гномонска или централна), приписује се Талесу из Милета (639 – 548 г.пне.), а коришћена је за карту звјезданог неба. Затим слиједи ортографска пројекција коју је предложио Аполоније из Перга (262 – 190 г.пне.), па стереографска пројекција коју је Хипарх користио за израду своје географске карте. Хипарх је такође разрадио ортографску перспективну пројекцију, као и просту конусну пројекцију и указао на метод састављања карата на основу астрономских тачака.

Даљи развој античке картографије односи се на период старог Рима, када она доживљава свој врхунац. Из тог периода најзначајни су радови александријског математичара Клаудијуса Птоломеја (90 – 168 г.пне.) познатог по дјелу „Географија“ у чијем завршном дијелу предлаже



двије нове картографске пројекције које се примјењују и данас. То су тзв. еквидистантна конусна пројекција – Птоломеја и еквивалентна конусна пројекција – Птоломеја чија је главна својства, много вијекова касније, искористио за разраду своје пројекције француски географ Боне. Птоломеј је описао и начин конструисања картографске мреже за постојећу цилиндричну, стереографску и ортографску пројекцију.

ОВО ЈЕ ПРЕЈАКО >.< ! => Надаље, током периода од готово 13 вијекова, све до проналсака штампарије Јоханеса Гутенберга (1440.), готово да се ништа значајније није догађало када је у питању сазнање о величини и облику Земље и о начину приказивања њене површи у равни. :D

У XVI вијеку познати холандски картограф Герхард Кремер – Меркатор (1512 – 1594) објавио је своју конформну цилиндричну пројекцију која се и данас примјењује за израду поморских и ваздухопловних карата. У овом периоду се примјењују еквидистантне азимутне пројекције, стереорафске, псеудоконусне и др.

ТРЕЋА ЕТАПА : Трећу етапу карактеришу интензивни радови на премјеру земљишта, односно изради крупноразмјерних топографских карата. За стварање геодетске основе премјера, у то вријеме, већ се примјењује поступак тријангулације који је предложио холандски научник Вилбренд Снелијус (1615), као и метод астрономског одређивања географских координата. Топографске карте овог периода се израђују у попречној еквидистантној цилиндричној пројекцији Касини – Солднера, односно псеудоконусној Боновој пројекцији. На разради теорије картографских пројекција у XVIII и XIX вијеку радио је и велики број стручњака из различитих области, посебно математичара. Ламбертови радови су значајни за развој теорије конформног пресликавања. Ојлер се бавио теоријом еквивалентних пројекција, и предложио нову еквивалентну конусну пројекцију. Такође се бавио пресликавањем лопте на раван. Лагранж се везује за општу теорију велике групе тзв. кружних конформних пројекција, као и уопште теорије конформног пресликавања једне површи на другу. Велики освајачки ратови у XIX вијеку значајно су утицали на убрзан развој картографије. У овоме периоду битно је истаћи радове њемачког научника Карла Фридриха Гауса (1777 – 1855), који је ријешио проблем опште теорије конформног пресликавања једне површи на другу и у оквиру тога пресликавање елипсоида на лопту. Gausova конформна попречно-цилиндрична пројекција (Gaus-Krigeрovа) је најпре примењена на мрежу триангулације града Hanoverа, и данас се користи у многим земљама као основна пројекција државног премера. Пред крај XIX вијека француски географ Тисо дефинитивно уобличио општу теорију деформација. Предложио је и тзв. компензивну пројекцију (оптималан распоред пратећих деформација) која има велики значај при избору пројекције најмањих могућих деформација за картографисање релативно малог дијела Земљине површи.

6. ОСНОВНА ЗНАЊА О ОБЛИКУ И ВЕЛИЧИНИ ЗЕМЉЕ

Под физичком површи Земље подразумјева се површ која одваја тврди и течни површински дио Земље од њене атмосфере. На овој површи налазе се тачке геодетске основе (тригонометријска, полигонска и нивелманска мрежа – основа премјера) и на њој се врше мјерења везана за премјер земљишта и остали радови везани за прикупљање података о одређеном простору. Физичка површ Земље, због велике неправилности и сложености, не може се математички изразити. Прво се морају све тачке и мјерени подаци свести ортогоналним пројицирањем (нормалама) на површ неког правилног геометријског тијела довољно блиског Земљи по облику и димензијама и затим је пресликати на раван. За рјешавање основног задатка картографије (састављање и израда карата) мора се познавати облик и величина Земље. До тих података долази се на основу



геодетских, астрономских и гравиметријских мјерења и мјерења помоћу вјештачких сателита. Питање одређивања облика и величине Земље разматра виша геодезија.

Најбољу апроксимацију облика и величине Земље представља тзв. еквипотенцијална нивоска површ, која одговара површи средњег нивоа океана и мора у стању релативне равнотеже, замишљено продужена испод континената. Ова површ је, по дефиницији, у свакој својој тачки управна на правац силе теже, а тијело које она ограничава њемачки научник Листинг назвао је геоид 1873. године. Геоид је веома погодан за изучавање поља силе Земљине теже, али је његова површ такође неправилна и математички се не може изразити у цјелини. Иако је геоид глатка површ, због нерегуларног распореда и густина земљаних маса, има низ таласа (ундулација), па није симетричан у односу на обртну осу. Површ геоида није довољно позната јер се не располаже подацима о пољу гравитације за велике дијелове Земље. То је разлог што се при одређивању тачака физичке површи Земље као референтна површ користи тзв. површ обртног елипсоида на коју се ортогонално пројектују тачке. Параметри овог елипсоида, његов смјештај и орјентација у Земљином тијелу треба да што више одговарају тоталном геоиду, па се у процесу њиховог одређивања постављају одговарајући услови. Увијек су присутни услови да се обртна оса елипсоида и Земље поклапају, као и да се геометријски центар елипсоида подудара са центром Земљине теже. Ако се овим условима дода захтјев за једнакошћу запремина елипсоида и геоида, као и услов да је збир квадрата одстојања између површина геоида и елипсоида једнака минимуму, такав елипсоид представља тзв. општи или средњи Земљин елипсоид. У савременој геодетској пракси користи се велики број елипсоида чији су параметри одређени у разним временским епохама и на темељу различитих података. Сваки од њих је најбоље рјешење за одређено подручје Земље, односно најприкладнији су геоиди и на њима као референц – елипсоидима је извршена обрада и срачунавање координата тачака тригонометријских мрежа. За потребе ових рачунања морају се сва угловна и линијска мјерења са физичке површи Земље свести (редуковати) ортогоналним пројицирањем на површ одабраног референц – елипсоида. Због непознавања односа између површина геоида и елипсоида, резултати ових мјерења су пројицирани вертикалама на површ геоида и у даљим рачунањима коришћени као да се односе на површ елипсоида – тзв. метода развијања. На овај начин се у резултате мјерења уносе извјесне грешке, али су оне испод графичке тачности карте. Графичку тачност карте одређује гранична тачност цртања која приближно износи 0,15 mm што заивсно од размјере карте поприма различите износе. Примјена разних елипсоида при обради и рачунању националних тригономертијских мрежа, а посебно веике разлике у њиховој орјентацији узроковане грешкама мјерених података и дугим утицајима, често отежавају обједињено коришћење нумеричких и графичких података и материјала и изискују додатни посао око успостављања тзв. геодетско – картографског континуитета. У питању је низ операција којима се омогућава међусобно уклапање и обједињавање разнородних тријангулација срачунатих на различитима елипсоидима. У неким случајевима, посебно за картографске потребе, умјесто елипсоида може се узети површ Земљине лопте. Примјењују се поједностављене елипсоидне формуле све док је разлика у добијеним резултатима у границама графичке тачности карте. Ријеч је о картографисању мањих дијелва Земљине површине у релативно крупним размјерама, односно цијеле Земље у веома ситном размјеру при изради атласних и других карата.



7. ЕЛЕМЕНТИ ЗЕМЉИНОГ ОБРТНОГ ЕЛИПСОИДА

У геодезији се под обртним Земљиним елипсоидом подразумјева геометријско тијело које настаје обртањем елипсе око њене мале осе, за коју се предпоставља да се поклапа са осом Земље. Земљин елипсоид има следеће карактеристичне линије (равни) и тачке : центар елипсоида О, обртна оса PNPS чије се крајње тачке називају полови (сјеверни и јужни). Равни које пролазе кроз обртну осу називају се меридијанске равни и оне површ елипсоида сјеку дуж сличних елипса – меридијанске елипсе. Половине меридијанских елипси, од пола до пола, називају се меридијанске полуелипсе или меридијани. Аналогно овоме постоје и меридијанске полуравни ограничене меридијаном и обртном осом. Равни управне на обртну осу сијеку површ елипсоида по круговима који се називају паралелни кругови или паралеле. Раван која је управна на обртну осу и која пролази кроз центар елипсоида назива се екваторијална раван. Она пресјеца елипсоид по највећем паралелном кругу који се назива екватор.

Pregledno :

1. центар елипсоида,2. обртна оса,3. полови,4. меридијанске равни,5. меридијанске елипсе,6. меридијанске полуелипсе,7. меридијани,8. паралелни кругови - паралеле,9. екваторијална раван - екватор.

Полазећи од величина мале и велике полуосе елипсоида изводи се низ једниачина које повезују поједине елементе елипсоида. У геодетској пракси уобичајено је следеће обиљежавање :

а – велика (екваторијална) полуоса елипсоида, односно елипсе, b – мала (поларна) полуоса, α – спљоштеност, e – први бројни ексцентрицитет, e’ – други бројни ексцентрицитиет.

Први бројни ексцентрицитет :

Други бројни ексцентрицитет :

Спљоштеност меридијанске елипсе :



Друга спљоштеност елипсе :

Преко 100 елипсоида је до данас срачунато. У нашој земљи се користе параметри Беселовог елипсоида одређени 1841. од стране њемачког научника Фридриха Вилхелма Бесела (користи се и у Њемачкој, Аустрији, Швајцарској, Холаднији, Грчкој и др.) Међународна геодетска и геофизичка унија је 1924. године усвојила Хајфордов елипсоид као међународни (користи се у САД, Аргентини, Данској, Финској, Белгији, Италији и др.). На њему је изравната европска тригонометријска мрежа а одредио га је 1909. год. амерички геодета Џон Филмор Хајфорд. На XIV засједању Међународне геодетске и геофизичке уније у Луцерну 1967. год. елипсоид Красовског (Одредио га 1940. од. руски геодета Феодози Николајевич Красовски) препоручен је као најсавременији „геодетски референц – систем 1967“.

Ако површ елипсоида пресјечемо равнима које пролазе кроз нормалу на елипсоид у некој тачки, настају криве линије које називамо нормалним пресјецима. Кроз нормалу сваке тачке може се поставити бесконачно много равни и свака од њих има одговарајући нормални пресјек. Између безброј нормалних пресјека постоје два, међусобно управна, тзв. главни нормални пресјеци. То су следећи пресјеци :

1. Пресјек по меридијану или меридијански пресјек, који образује раван у којој лежи обртна оса елипсе.

2. Попречни нормални пресјек или пресјек по првом вертикалу, који образује раван управна на раван меридијана, односно тачке.

Сви остали пресјеци су коси нормални пресјеци.

Једначина радијуса кривине меридијанског пресјека (М) :

ГРЕШКА НА СЛАЈДОВИМА, ТРЕБА ДА БУДЕ (1-е2sin2ϕ)3

Једначина радијуса кривине пресјека по првом вертикалу (N) :

Конвергенција меридијана у равни је угао у равни између тангенте на меридијану у датој тачки и паралеле са x осовином у тој истој тачки. Дирекциони угао линије у некој тачки је угао у равни између праве паралелне са x осовином која пролази кроз дату тачку и пројекцију линије.

Полупречник по меридијану : ε2 = а2 – b2

Кренувши од једначине елипсе диференцирањем и сређивањем израза добијамо да је :

и

Ови изрази се користе за доказивање горе наведених једначина :



и

Полупречници кривине меридијана и кривине пресека по првом вертикалу, за две карактеристичне тачке :

Једначина полупречника кривине нормалног пресека, произвољно узетог азимута α , гласи:

Средњи полупречник кривине је једнак геометријској средини полупречника кривина по меридијану и првом вертикалу у заданој тачки Т елипсоида:

Средњи полупречник кривине омогућава да се релативно мали део површи Земље разматра као део површи лопте полупречника РО у средњој тачки тог дела површи на елипсоиду. Полупречник кривине по меридијану је најмањи, а полупречник по првом вертикалу је највећи од свих нормалних пресека.

Мењеова теорема:

"Ако се кроз тачку површи проведу два пресека од којих је један нормалан, а други кос пресек и при том у разматраној тачки ови пресеци имају заједничку тангенту, онда је полупречник кривине косог пресека једнак производу полупречника кривина нормалног пресека и косинуса угла који заклапају равни тих двају пресека".

Већ је истакнуто да се при приказивању Земљине површи на карти, у некој од картографских пројекција, Земља сматра елипсоидом одредјених димензија, што се посебно односи на израду тзв. крупноразмерних и средњеразмерних карата (топографске, прегледне топографске и друге карте). Медјутим, у неким случајевима, на пример , при изучавању картографских пројекција и конструкције картографских мрежа за ситноразмерне карте, може сеспљоштеност Земљиног елиспоида занемарити и Земља сматрати лоптом одговарајућег радијуса. Радијус Земљине лопте одредјује се на неколико начина. Навешћемо решења која се у математичкој картографији најчешће примењују.



Полупречник Земљине лопте може се, такодје, одредити и као аритметичка средина три полуосе обртног е липсоида :

8. ПАРАМЕТРИЗАЦИЈА ОБРТНОГ ЕЛИПСОИДА (ПОВРШИ)

Једначина меридијанске елипсе изражена координатама X и Y гласи :

Њеним диференцијацирањем добија се :

Како се угао φ који образује нормала на елипсоид у тачки Т са позитивним правцем осовине добија по формули:

Сређивањем израза добија се да су :

Пошто располажемо параметарским једначинама меридијанске елипсе, можемо једноставном заменом доћи до одговарајућих параметарских једначина елипсоида, односно до експлицитних облика функција :

У ту сврху потребно је најпре изнаћи једначине које повезују координате у правоуглом просторном систему и одговарајуће правоугле координате у равни меридијанске елипсе, односно координате изразити у виду функција координата .Са слике може се директно писати:

Коначно слиједе изрази :

Њима се даје веза између правоуглих просторних координата (x, y, z) и географских координата (φ,λ). То су тзв. параметарске једначина елипсоида, у којима се као параметри, појављују географска ширина φ и географска дужина λ .



Веома су значајне за наша даља разматрања, јер ћемо се њима користити у вези са применом опште теорије пресликавања на површ елипсоида.

9. КРИВОЛИНИЈСКИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ

Координатни систем је дефинисан именом, јединицама које користи, смером и редоследом оса, а чини скуп условљених фиксних линија које служе за једнозначно одређивање положаја тачке у некој равни, математички заданој кривој површи или у простору уопште. Сам положај тачке се изражава линијским, угловним или линијско-угловним величинама – координатама у односу на координатни почетак који се поставља у пресеку одговарајућих координатних линија или равни. За картографију су значајни они координатни системи који се односе на криву површ Земљиног елипсоида (сфериода) односно Земљине лопте (сфере) и раван карте.

КООРДИНАТЕ НА ЕЛИПСОИДУ :

а) Систем географских координата на елипсоиду

Под географском ширином (ϕ) тачке Т подразумјева се угао који образује нормала N на површ елипсоида, у тачки Т, са равни екватора. Географска ширина једнака је углу који нормала заклапа са великом осом елипсоида лежећом у равни меридијана исте тачке. Ширине се рачунају на сјевер и југ од екваторске равни од 0° до 90° тако да постоје сјеверне и јужне географске ширине.

Географска дужина (λ) тачке Т је угао који заклапају равни нултог или почетног (гриничког) меридијана и меридијана тачке Т. Географска дужина се рачуна источно и западно од почетног меридијана од 0° до 180°, тако да се разликују источне и западне дужине.

Систем географских координата има универзалан карактер – односи се на цијелу Земљу, па је веома подесан за ријешавање низа задатака више геодезије и практичних геодетских задатака. Све припадајуће величине могу се срачунати са великом тачношћу помоћу релативно једноставних формула. Координатне линије система (меридијани и паралеле) директно се односе на елипсоид, тако да омогућују добијање јединствене картографске мреже за састављање карата разних подручја Земље.



б) Систем поларних елипсоидних координата

За пол система бира се тачка на површи елипсоида са познатим географским координатама ϕ и λ. Меридијан исте тачке узима се за почетни правац – поларну осу. Угао α је тзв. географски азимут или краће азимут и њиме се на елипсоиду утврђује положај правца, а мјери се од почетног меридијана у правцу казаљке на сату.

в) Систем правоуглих елипсоидних координата X и Y

Положај тачке Т одређује се дужинама двије криве линије апсцисом X = О1T1 и ординатом Y = Т Т1. Ордината Y је најкраће растојање (геодетска линија) између тачака Т и Т1.



г) Правоугли просторни координатни систем X, Y, Z

д) Систем геоцентричних координата

Положај тачке Т се одређује геоцентричном ширином ψ тј. углом који радијус вектор ϕ одговарајуће тачке заклапа са равни екватора, односо са великом осом елипсе. Геоцентричне дужине се рачунају исто као и географске.

ђ) Систем координата са редукованом ширином



КООРДИНАТНИ СИСТЕМИ НА ЛОПТИ :



10. НОРМАЛНИ ПРЕСЈЕЦИ НА ОБРТНОМ ЕЛИПСОИДУ

Ако површ елипсоида пресјечемо равнима које пролазе кроз нормалу на елипсоид у некој тачки, настају криве линије које називамо нормалним пресјецима. Кроз нормалу сваке тачке може се поставити бесконачно много равни и свака од њих има одговарајући нормални пресјек. Између безброј нормалних пресјека постоје два, међусобно управна, тзв. главни нормални пресјеци. То су следећи пресјеци :

1. Пресјек по меридијану или меридијански пресјек, који образује раван у којој лежи обртна оса елипсе.

2. Попречни нормални пресјек или пресјек по првом вертикалу, који образује раван управна на раван меридијана, односно тачке.

Сви остали пресјеци су коси нормални пресјеци.

Једначина радијуса кривине меридијанског пресјека (М) :

ГРЕШКА НА СЛАЈДОВИМА, ТРЕБА ДА БУДЕ (1-е2sin2ϕ)3

Једначина радијуса кривине пресјека по првом вертикалу (N) :

Конвергенција меридијана у равни је угао у равни између тангенте на меридијану у датој тачки и паралеле са x осовином у тој истој тачки. Дирекциони угао линије у некој тачки је угао у равни између праве паралелне са x осовином која пролази кроз дату тачку и пројекцију линије.

Полупречник по меридијану : ε2 = а2 – b2

Кренувши од једначине елипсе диференцирањем и сређивањем израза добијамо да је :

и

Ови изрази се користе за доказивање горе наведених једначина :

и

Полупречници кривине меридијана и кривине пресека по првом вертикалу, за две карактеристичне тачке :



Једначина полупречника кривине нормалног пресека, произвољно узетог азимута α , гласи:

Средњи полупречник кривине је једнак геометријској средини полупречника кривина по меридијану и првом вертикалу у заданој тачки Т елипсоида:

Средњи полупречник кривине омогућава да се релативно мали део површи Земље разматра као део површи лопте полупречника РО у средњој тачки тог дела површи на елипсоиду. Полупречник кривине по меридијану је најмањи, а полупречник по првом вертикалу је највећи од свих нормалних пресека.

Мењеова теорема:

"Ако се кроз тачку површи проведу два пресека од којих је један нормалан, а други кос пресек и при том у разматраној тачки ови пресеци имају заједничку тангенту, онда је полупречник кривине косог пресека једнак производу полупречника кривина нормалног пресека и косинуса угла који заклапају равни тих двају пресека".

11. ИЗОМЕТРИЈСКА ПАРАМЕТРИЗАЦИЈА ОБРТНОГ ЕЛИПСОИДА И ЛОПТЕ

Мрежа произвољних параметарских линија разбија површ, уопште узимајући, на низ бесконачно малих паралелограма. Аналогно томе, код ортогоналне параметарске мреже, настају бесконачно мали правоугаоници. Наиме, пошто e и g , уопште узимајући, нису једнаки, то ће се и при једнаким прираштајима координата (du=dv) добити различите дужине лукова- страна елементарних паралелограма, тј. Ова тзв. неизометричка мрежа може се, у принципу, увођењем нових параметара трансформисати у мрежу координатних линија која уз једнаке прираштаје разбија површ на бесконачно мале квадрате.



Нека је на пример, систем :

x = f1 (u,v)

y = f2 (u,v)

z = f3 (u,v)

један ортогоналан неизометрички систем, тј. f=0, а за фундаменталне величине из 2.20 важи однос: e≠g . Уведимо сада нове функције η(u) и μ(v) и поставимо услов да коефицијенти e и g у вези са функцијама η и μ задовољавају услов:



12. ЕЛЕМЕНТИ ЗЕМЉИНЕ ЛОПТЕ

Већ је истакнуто да се при приказивању Земљине површи на карти, у некој од картографских пројекција, Земља сматра елипсоидом одредјених димензија, што се посебно односи на израду тзв. крупноразмерних и средњеразмерних карата (топографске, прегледне топографске и друге карте). Медјутим, у неким случајевима, на пример , при изучавању картографских пројекција и конструкције картографских мрежа за ситноразмерне карте, може се спљоштеност Земљиног елиспоида занемарити и Земља сматрати лоптом одговарајућег радијуса. Радијус Земљине лопте одредјује се на неколико начина. Навешћемо решења која се у математичкој картографији најчешће примењују. Радијус лопте која има исту запремину (волумен) као и Земљин елипсоид дефинише се изразом :

која следи једноставно из једначина за запремину елипсоида (Vе) и лопте (Vl) :

Ако се, пак, радијус Земљине лопте одређује на принципу еквивалентног пресликавања, односно уз услов да је њена површина једнака површини обртног елипсоида, биће:

Међутим, ако се задржимо на члановима са е до друге потенције, онда добијамо следеће :

Полупречник Земљине лопте може се, такодје, одредити и као аритметичка средина три полуосе обртног е липсоида :

Коначно, при изради карата у веома ситним размерама, чак и за релативно велико подручје, може се Земља апроксимирати лоптом полупречника R=6.370 km, односно R=6.371 km.Вредности полупречника Земљине лопте срачунате по наведеним једначинама, на основу одговарајућих параметара за елипсоид Besсеla, Hayforda и Krasovskog , наведене су у табели :



13. ZADACI OPŠTE TEORIJE KARTOGRAFSKOG PRESLIKAVANJA

U opštoj teoriji preslikavanja razmatraju se različite površi definisane, najčešće, krivolinijskim neizometričkim koordinatama. S tim u vezi, za tretirane probleme neophodno je i dovoljno - što se može zaključiti i iz dosadašnjeg izlaganja – uzajamno preslikavajuće površi zadati odgovarajućim metričkim, odnosno prvim kvadratnim formama, u kojima su fundamentalne veličine neprekinute i dva puta diferencirajuće funkcije krivolinijskih koordinata. Ipak, pri razradi novih zakona preslikavanja i kada je potrebno, između postojećih, izabrati zakon koji bi bio najpodesniji, s obzirom na konkretne zahteve i uslove preslikavanja, nastaje niz pitanja čije razrešavanje iziskuje dobro poznavanje originalne i projekcione površi. Dodaju li se tome promene na površima do kojih može doći u toku preslikavanja, jasno je da se na zadatak preslikavanja i njegovo matematičko izražavanje mora gledati šire, tj. kao na istraživanje unutar kojeg se, osim neposrednih jednačina preslikavanja, razrađuju i matematički formulišu i druga pitanja vezana za tzv. unutarnju geometriju površi (njihovu strukturu i, uopšte, razna pomeranja, transformacije i druge promene na njima). U svakom slučaju, produbljavanje i izučavanje pojedinih pitanja teorije preslikavanja i razmatranje specijalnih vidova preslikavanja iziskuje da se od opštih krivolinijskih koordinata pređe na konkretne sisteme koordinata na odnosnim površima, nastojeći da usvojene koordinate imaju sva svojstva bitna za suštinu istraživanih problema (sa geometrijskog i drugih stanovišta) i da istovremeno omogućavaju što jednostavnije izlaganje i izražavanje ustanovljenih odnosa i zakona. U matematičkoj kartografiji razrađuju se zakoni preslikavanja, (kartografskog preslikavanja) krive površi Zemljinog elipsoida ili lopte, direktno na ravan ili na druge površi koje se mogu razviti u ravan (bočne površi cilindra ili konusa). Imajući u vidu ranija izlaganja treba, dakle, razlikovati dve originalne površi - elipsoid i loptu i tri projekcione površi - ravan, cilindar i konus. Podsetićemo samo na činjenicu da se fizička (topografska) površ Zemlje kao vrlo nepravilna, ne može koristiti direktno za računske svrhe, pa je radi lakše razrade izraza preslikavanja neophodno Zemlju aproksimirati sa površi pravilnog geometrijskog tela. Prvo približenje za takvo telo, koje se primenjuje u matematičkoj kartografiji, jeste Zemljina lopta, a drugo tačnije približuje Zemljin elipsoiđ, odnosno obrtni elipsoid. Može se reći da je krajnji cilj kartografskog preslikvanja dvodimenzionalan prikaz Zemljine površi na ravni - list papira. Ako se pri tome ima u vidu napred opisani tok izrade karata i njegova matematička zasnovanost, jasno je da matematička kartografija tretira drugu etapu ovog procesa - prelaz sa površi elipsoida (ili lopte) na ravan. S tim u vezi treba podsetiti na to da je posredi preslikvanje glatkih površi geometrijskih tela, koje se uvek svodi na prikaz odgovarajućih koordinatnih linija sa njih, odnosno njihovih karakterističnih (presečnih i dr.) tačaka. U tu svrhu potrebno je, pre svega, obezbediti mogućnost izražavanja položaja tačaka elipsoida (ili lopte) u nekom od koordinatnih sistema na ravan. Matematički, ovo znači razradu odgovarajućih jednačina kojima se definiše analitička zavisnost između koordinata tačaka na površi elipsoida (lopte) i koordinata korespondentnih tačaka na ravni. Što se tiče ovih poslednjih, po pravilu je reč o sistemu pravouglih ili polarnih koordinata na ravni. Ukoliko se zadržimo na pravouglim koordinatama na ravni (X,Y) i ako se položaji tačaka na elipsoidu ili lopti izražavanju parametarskim krivama Φ, λ, onda se uzajamna uslovljenost koordinata izražava jednačinama :

Izrazi predstavljaju tzv. opšte jednačine kartografskih projekcija, odnosno kartografskog preslikavanja, One su u punoj analogiji sa opštim jednačinama transformacije (2.30) i predstavljaju njihovu aplikaciju na površi sa kojima se operiše u procesu kartografskog preslikavanja. Jednačinama 2.112 se, uz neprekidnost i jednoznačnost funkcija F1 i F2 u granicama preslikane oblasti, obezbeđuje i uslov da svakoj tački originalne površi sa koordinatama (Φ, λ) odgovara samo jedna tačka ravni, položajno



određena koordinatama (Х,У) - i obratno. Zbog toga se ovako uspostavljen odnos između dve površi i naziva odnosom "po tačkama" ili "tačka sa tačkom". Drugim recima, kartografskim preslikavanjem, kao i

drugim preslikavanjima, matematički se formira odnos "po tačkama" – u našem slučaju, između površi Zemljinog elipsoida ili lopte sa jedne, i ravni sa druge strane. Prikaz površi Zemljinog elipsoida i lopte ili njihovih delova na ravni, naziva se kartografska projekcija, projekcija karte, ili kraće projekcija, a sam postupak preslikavanje ili projiciranje. Preslikana (projicirana) mreža koordinatnih linija sa elipsoida ili lopte naziva se kartografskom mrežom i ona predstavlja jedan od matematičkih elemenata, koji služi kao osnova za sastavljanje i izradu bilo koje geografske karte, odnosno za nanošenje i pravilan geografski smeštaj ostalog sadržaja karte. Kako se za utvrđivanje položaja tačaka na Zemljinom elipsoidu i lopti koriste geografska koordinatna mreža meridijana i paralela, to se pod kartografskom mrežom, odnosno projekcijom može smatrati bilo kakva mreža linija na nekoj ravni koja predstavlja jednoznačno i recipročno preslikanu mrežu meridijana i paralela. Ovo je svojevrsno izražavanje pojma kartografska projekcija i kartografsko preslikavanje uopšte. Treba uočiti da se izrazi "preslikavanje" i "projiciranje" koriste ravnopravno - kao sinonimi - premda se, strogo uzimajući, njihova izvorna značenja razlikuju. Sam prikaz (projekcija) može se, naime, ostvariti ne samo matematičkim, već i čisto geometrijskim postupkom. Poznato je da se u geometriji, odnosno u nacrtnoj geometriji (na primer pri konstrukciji perspektivnih slika) tačke tela projiciraju na ravan ili neku drugu površ divergentnim (konusnim) ili paralelnim (cilindričnim) snopom zraka. Pri geometrijskom načinu, projekcija, dakle, nastaje, u pravom smislu te reci, geometrijskim projiciranjem prostorne slike (mreže koordinatnih linija) na ravan, najčešće centralnim projiciranjem, odnosno postupcima linearne perspektive. Kartografska mreža, u ovom slučaju, može se dobiti grafičkim konstruktivnim radnjama, ili u kombinaciji sa matematičkim operacijama. Matematički postupak zasniva se na primeni nekog od zakona preslikavanja, tj. prostornu sliku sa originalne površi i njen prikaz na ravni povezuje odgovarajući matematički zakon preslikavanja, koji čini skup formula razvijenih polazeći od наведеног izraza i priređenih za praktična računanja. Kartografska mreža konstruiše se, u ovom slučaju, grafičkim postupcima na osnovu koordinata potrebnog broja karakterističnih tačaka mreže. Strogo uzimajući treba, dakle, praviti razliku između izraza preslikavanje i projiciranje. Međutim, veoma je mali broj kartografskih projekcija koje se mogu ostvariti geometrijskim postupcima - projiciranjem, dok se u isto vreme sve projekcije mogu matematički formulisati i izraziti odgovarajućim zakonom preslikavanja. Stoga se u kartografskoj praksi oba izraza godinama upotrebljavaju kao sinonimi, podrazumevajući uvek matematički formulisane zakone preslikavanja. Stoga i nema posebnog razloga da se pravi razlika između navedenih termina, pa će oni kasnije u tekstu biti ravnopravno primenjivani, osim u nekim slučajevima, kada će to biti posebno istaknuto. Pri razradi bilo kog konkretnog zakona kartografskog preslikavanja zadovoljavaju se određeni, unapred zadani uslovi. Pri tome, svaki skup novih uslova rezultira u poseban zakon preslikavanja, pa se može razviti potencijalno neograničen broj ovakvih zakona. Ipak, već pomenuti principi preslikavanja kao dominirajući, uz još neke (o njima će biti reči kasnije), uslovili su broj od oko dve stotine do sada predloženih projekcija razređenih za razne svrhe, ali samo nekoliko desetina njih karakteriše česta praktična primena. Treba napomenuti da se zadatak razvijanja opšte teorije kartografskih projekcija i iznalaženje novih zakona preslikavanja u matematičkoj kartografiji, ne može smatrati definitivno okončanim. Ovo tim pre što su mnoga postojeća rešenja bila uslovljena tekućim nivoom razvoja pratećih naučnih disciplina, osobito sa područja matematike i u isto vreme za njihovu računsku obradu primenjivana su sredstva neuporedivo slabijih mogućnosti i kapaciteta modernih elektronskih računara i drugih sredstava kojima se u novije vreme raspolaže. Na taj način, jedan od zadataka matematičke kartografije, u savremenim uslovima, odnosi se na usavršavanje nekih projekcija, a u oblasti istraživanja novih projekcija osobito na razvijanje metoda u kojima će se koristiti savremena dostignuća računarske tehnike. S druge strane, poslednjih godina problemi kartografskog preslikavanja proširuju se i na druge površi, kao na primer, pri kartografisanju površi Meseca, drugih planeta itd. Sve ovo navodi na



razmišljanja o potrebi da se u matematičkoj kartografiji izučavaju i problemi preslikavanja proizvoljnih površi, odnosno površi složenije nego što su doskora tretirane. U neku ruku, moglo bi se reći da nastaju vreme i potreba za razvojem matematičke kartografije proizvoljnih površi. U svakom slučaju, kada je u pitanju preslikavanje površi elipsoida ili lopte na ravan, treba podsetiti na to da oni ne pripadaju grupi površi koje se mogu razviti na ravan (v. 3.93), zbog čega je svaka kartografska projekcija i uopšte preslikavanje Zemlje ili njenih delova na ravan praćeno većim ili manjim deformacijama dužina, površina ili uglova. Kvalitativno i kvantitativno istraživanje deformacija čini posebno poglavlje matematičke kartografije, tzv. teoriju deformacija, o čemu će detaljnije biti govora u IV poglavlju knjige.

14. LINEARNA RAZMJERA, LINEARNA DEFORMACIJA

Pri sračunavanju kartografskih projekcija, površ obrtnog elipsoida ili lopte prethodno se zamišljeno smanjuje u nekom, unapred zadanom odnosu i potom prikazuje na ravan. Stalan odnos smanjivanja:

(4.5)

naziva se glavni (opšti) odnosno nominalan razmer, ili, prosto razmer karte i obično se uočljivo ispisuje na karti. Jasno je da se može postupiti i drugačije - prvo preslikati Zemljin elipsoid na ravan, tako reći u prirodnoj veličini, a zatim sve elemente slike smanjiti u skladu sa glavnim razmerom. Dobijaju se, naravno, isti rezultati. Glavni razmer je jedan od matematičkih elemenata karte i bitno utiče na postupke njene izrade. Treba uočiti da se glavnim razmerom izražava odnos smanjivanja linijskih elemenata (dužina), otuda naziv "razmer linijskih -elemenata". Brojilac izraza 4.5 odnosi se na jedinicu dužine, što znači da jednoj jedinici na karti odgovara M dužinskih jedinica na elipsoidu. Isto tako, M se naziva "brojni razmer", "imenilac" ili "faktor" razmera. Glavnim razmerom je uslovljen i odnos smanjivanja površina i izražava se kvadratom odgovarajućih linijskih elemenata odnosno, R2 . (Neka je, na primer, na karti naznačen glavni razmer R = 1 : 500.000, što znači da su dužine smanjene za 500.000 puta, a površine za 500.0002= 250.000.000.000 puta. Isto tako, odsečku od 1 cm na karti na elipsoidu odgovara odsečak od 5 km, a površini od 1 cm na karti površina od 25 km na elipsoidu). Zbog neminovnih deformacija, koje prate svako preslikavanje zakrivljenih površi na ravan, glavni razmer ostaje sačuvan samo na onim tačkama odnosno linijama slike gde nema deformacije dužina. U ostalim tačkama i pravcima na karti glavni razmer se ne može sačuvati, pa se pojavljuju manja ili veća odstupanja od zamišljenog odnosa smanjivanja. Prema tome, glavnim razmerom se izražava samo željeni ili optimalni odnos smanjivanja. Stvarno, pak, prisutnost deformacija različitih po veličini i na raznim mestima karte ima za posledicu promenljivost razmera, idući ne samo iz tačke u tačku već i u raznim pravcima oko iste tačke. Promenljivost razmera predstavlja glavni nedostatak karte. Zbog nje su neki delovi karte tačnija, a drugi manje tačna slika Zemljine površi, pa se kvalitet projekcije ili karte može ocenjivati, pored ostalog, na osnovu reda veličina koji dostižu promene linearnog razmera. Bilo bi, dakle, veoma značajno da se raspolaže njihovim iznosima, odnosno da se vrednosti linearnog razmera, za željene tačke i pravce, mogu sračunati po odgovarajućim formulama. Ovi problemi razmatraju se detaljnije u matematičkoj kartografiji. Tako se, polazeći od opšte teorije preslikavanja površi (v.pogl.3.7) linearnim razmerom (modulom), ili, kraće, razmerom smatra granična vrednost (limes) odnosa beskonačno male duži u projekciji i odgovarajuće duži na površi Zemljinog elipsoida ili lopte, kada imenilac toga odnosa (razlomka) teži nuli. Prema toj definiciji слиједи :

(4.7)



gde je c linearni razmer, ds beskonačno mala duž na površi elipsoida (lopte), a dS slika linijskog elementa (duži) ds u ravni projekcije. Treba uočiti da se u teorijskim razmatranjima obično uzima da se elipsoid (lopta) preslikava u prirodnoj veličini. Drugim recima, smatra se da je glavni razmer jednak jedinici (R=l:l), što za izučavanje deformacija nema nikakvog značaja, jer glavni razmer, kao matematički elemenat karte, samo reguliše odnos smanjivanja i ne utiče na kvalitet preslikavanja, odnosno ne može izmeniti karakter pratećih deformacija. Оvako sračunat razmer, za razliku od glavnog razmera, nema obeležje odnosa smanjivanja, ali se njime neposrednije iskazuju postojeće deformacije dužina. Drugim recima, razmer c može poslužiti kao mera kojom se izražava deformacija dužina. Polazeći od toga, linearnom deformacijom ili deformacijom dužina (dc) smatraćemo odstupanje razmera c od jedinice, tj . :

Deformacija dužina može biti veća od nule, jednaka nuli, ili manja od nule, zavisno od iznosa linearnog razmera u zadanoj tački. Ako vrednost za c iz 4.7 uvrstimo u 4.8. dobija se:

Brojilac ovog izraza je tzv. apsolutna deformacija dužina, a izraz u celini je neimenovan broj, kojim se izražava odnos ukupne deformacije prema respektivnoj dužini, odakle i naziv za dc - relativna deformacija. U nekim slučajevima podesno je deformaciju dužina izraziti u procentima: (c-1)100% ili u promilima (c-1)1 .000‰. Treba naglasiti da deformacije dužina obično ne prelaze granice grešaka merenja na karti, pa se pri upotrebi karata, u praksi, zanemaruju, osim u specijalnim slučajevima. Ovo se posebno odnosi na projekcije koje se koriste za izradu krupnorazmernih karata. Međutim, na kartama veoma sitnih razmera, koje obuhvataju velike delove Zemlje, pa i čitavu Zemlju, mogu se duž pojedinih pravaca kartografske mreže pojaviti velike deformacije dužina. Da bi se i ove karte mogle upotrebljavati za odredjivanje rastojanja sa tačnošću koja zadovoljava praktične potrebe, primenjuju se odgovarajući nomogrami razmera i deformacija, na osnovu kojih se u podatke preuzete sa karata uvode neophodne popravke.

15. OPŠTA JEDNAČINA LINEARNE RAZMJERE



Na osnovu 4.22, nije teško zaključiti da je razmer, u principu, promenljiva veličina i to funkcija triju promenljivih: od kojih prve dve (ϕ , λ) definišu položaj tačke, a treća položaj pravca, azimutom (α) , tj. : c = c (ϕ , λ, α ).

16. LINEARNA RAZMJERA U PRAVCU MERIDIJANA (m) I PARALELA (n)

Polazeći od jednačine 4.22, odredićemo razmer na parametarskim linijama, tj . razmer u pravcu meridijana: m = cλ , kada je α =0° , i razmer duž paralela: n=cϕ , kada je α =90° . Tako će biti :

17. OPŠTA JEDNAČINA LINEARNE RAZMJERE U FUNKCIJI m, n I Ѳ



СЛИКА 4.1

Ugao koji u projekciji zaklapaju meridijani i paralele (sl. 4.1) obeležili smo simbolom θ. Umesto njega često se koristi ugao ε (sl. 4.2) po odnosu :

Pošto se meridijani i paralele na površi elipsoida seku pod uglom od 90°, (f=0), znači da ε, u stvari, predstavlja deformaciju ovog ugla, nastalu u procesu preslikavanja. Vrednost θ odredićemo na osnovu jednačina 2.11 i 2.14, koje prethodno treba prevesti u oblik tako da se odnose na ravan projekcije, tj. :

Ovaj ugao očitavamo u istom pravcu kao i azimut. Jasno je da će sinθ biti uvek pozitivan, tj. θ može da bude u prvom ili drugom kvadrantu. U kome će se kvadrantu nalaziti, zavisi od F, što jasno proizilazi iz 4.26. Tako će za F>0 biti o<θ<90°, dok će za F<0 biti 90°<θ<l80°. Konačno, kada je F=0, tj. pri ortogonalnosti kartografske mreže, očigledno da je θ=90°. Kada iz 4.26 sračunamo :

i dobijenu vrednost zajedno sa 4.23, odnosno 4.24 uvrstimo u 4.22, dobićemo:

tzv. opštu jednačinu razmera izraženog na osnovu razmera po meridijanu i paraleli (m i n) i ugla (θ) koji zaklapaju njihove slike.

18. GLAVNI PRAVCI



U svakoj tački elipsoidne površi postoje dva medjusobno upravna pravca, koji se i u projekciji seku pod pravim uglom, za koje je karakteristično da duž njih linijski razmer poprima ekstremne iznose. Drugim recima, na elipsoidnoj površi uvek se može konstruisati mreža ortogonalnih krivih linija, koja će i u ravni projekcije predstavljati ortogonalnu mrežu sa navedenom osobinom.

Ovu mrežu, nazvaćemo mrežom glavnih krivih, dok se tangente glavnih krivih na eliposidu, kao i tangente krivih dobijenih njihovim preslikavanjem, nazivaju glavnim pravcima. Uobičajeno je, pri tome, da se pravac duž koga se dobija maksimalni iznos linijskog razmera (α) naziva prvi glavni pravac, dok je pravac sa minimalnim iznosom linijskog razmera (b) drugi glavni pravac.

Ako je sistem na originalnoj površi ortogonalan, tj. f=0,

Ako se preslikavanjem i na projekcionoj površi dobija ortogonalan sistem, tj. f=F=0

Postojanje mreže glavnih linija može se dokazati geometrijskim postupkom, kako je to svojevremeno izveo M.A.Tis

Krive linije l1 i l2 na originalnoj površi (sl. 4.3) seku se u tački T pod pravim uglom, a odgovarajuće linije u projekciji l‘1 i l'2 u tački T' pod kosim uglom β' , s jedne, i tupim uglom α' , s druge strane. Tangente


a2=12

eG−2 fF+gEeg−f 2

+12 √(eG−2 fF+gE

eg−f 2 )2

−4EG−F2

eg− f 2

b2=12

eG−2 fF+gEeg−f 2

−12 √(eG−2 fF+gE

eg−f 2 )2

−4EG−F2

eg−f 2

a2=12 (Ee +

Gg )+1

2 √(Ee −Gg )

2

+4F2

eg

b2=12 (Ee +G

g )−12 √(Ee −G

g )2

+4F2

eg

a2= Ee

i b2=Gg


krivih su AB i CD, odnosno A'B' i C'D'. Pretpostavimo sada da sistem ABCD na originalnoj površi rotira oko tačke T za ugao od 90°, tako da β predje u položaj BTC. Ovo će izazvati odgovarajuću rotaciju na slici, pri čemu β' prelazi u ugao α', tj. menja se iz oštrog ugla u tupi ugao.

Pošto je preslikavanje neprekinuto, sigurno postoji takav međupoložaj sistema ABCD kome pri preslikavanju odgovara, takođe, ortogonalni sistem a'b'c'd' tj. pravi ugao aTc, preslikava se ponovo u pravi ugao a‘T'c'. Primenimo li ovo razmatranje na niz tačaka jedne i druge površi, očigledno je da će obe površi biti prekrivene dvema uzajamno korespondentnim ortogonalnim mrežama. Prema tome, pravilo o mrežama glavnih krivih, zvano prvo pravilo Tisoa, glasi da pri bilo kojem regularnom preslikavanju jedne pravilne površi na drugu postoji uvek barem jedna, a ako preslikavanje nije konformno, onda samo jedna ortogonalna mreža na originalnoj površi, čija će slika na drugoj površi biti, takodje, ortogonalna. Pri konformnom preslikavanju nema deformacije uglova, tj. u svakoj tački površi je ω=0, pa postoji bezbroj uzajamno odgovarajućih ortogonalnih mreža na obe površi. Ipak je samo jedna među njima mreža sa ekstremnim iznosima linijskog razmera.

19. ELIPSA DEFORMACIJA

Teorija deformacija po Tisou, u osnovi, objašnjava da se elementarni krug na površi elipsoida, načelno uzimajući, preslikava na ravan kao jedna elipsa, osim u specijalnom slučaju ako su obe površi (ili njihovi delovi) medusobno paralelne, u kom slučaju će krug ostati krug željenog razmera. Elementi elipse vezani su sa odgovarajućim elementima kruga formulama, tzv. afine transformacije. Zamislimo na površi elipsoida beskonačno mali krug radijusa r = ds, sa centrom u zadanoj tački A (ja , λa). Ovaj krug, zbog elementarne površine, možemo smatrati ravnim, tj. kao da se nalazi u ravni koja elipsoid tangira ,tački A

Položaj neke tačke C kruga biće odreden apscisom AD=dX i ordinatom AB=dY, pretpostavljajući pri tome da se AD nalazi u pravcu meridijana, a AB u pravcu paralele.

U našem slučaju glavni pravci se ne poklapaju sa meridijanima i paralelama, pa se preslikani meridijani i paralele neće seći pod pravim uglom, t j . θ ≠ 90°, tako da ćemo u projekciji imati kosougli koordinatni sistem xy. Položaj preslikane tačke C' odreduju se kosouglim koordinatama A'D' =dx i A'B'=dy.Možemo pisati:

odnosno

odakle je:

44 [1]


A ' BAB

=dydy

=n

dy=ndYdx=ndX


Jednačina beskonačno malog kruga, nastalog rotacijom tačke C oko a, biće:

[2]

Kretanje tačke C na elipsoidu, s obzirom na zakone preslikavanja, izazvaće i kretanje odgovarajuće tačke C u projekciji. Nas interesuje kriva u projekciji koju opisuje tačka C' , jer je ova kriva, očigledno, slika kruga zadanog sa 2.

Ako iz 1 odredimo dX i dY i uvrstimo u 2, dobićemo

Odnosno [3]

Jednačina [3]predstavlja elipsu pri čemu su mds i nds tzv. spregnuti dijametri elipse. Prema tome beskonačno mali krug na površi elipsoida preslikaće se u projekciji kao elipsa, koja se naziva naziva elipsa deformacija. Ako uzmemo da je radijus kruga ds=1 onda će jednačina 3 poprimiti oblik:

[4]

Izvedena jednačina, ima uslovan karakter, jer se u njoj operiše beskonačno malim veličinama. Medutim, znatan deo Zemljine površi (konačne veličine) može smatrati ravnim i može se povećavati ukoliko se zadovoljavamo manjom tačnošću i obrnuto.

Definitivan oblik jednačine elipse deformacija ce biti:

[5]

Ako mreža meridijana i paralela ostaje ortogonalna i u projekciji, onda će, uz uslov da se prvi glavni pravac poklapa sa meridijanom, biti: m=a i n=b, tako da Jednačina 5 poprima oblik:

[6]

Elipsa se može smatrati afinom slikom odgovarajućeg kruga, iz tog sledi da se preslikavanjem, izmedu originala i slike, u okolišu tačke, uspostavlja afin odnos, karakterističan za tzv. afinu transformaciju.

20. VEZA IZMEĐU RAZMERA PO GLAVNIM PRAVCIMA (a, b), RAZMERA (m, n) I UGLA (θ)


dX 2+dY 2=ds2

dx2

m2ds2+ dy 2

n2ds 2=1

dx2

m2+ dy 2

n2=1

x2

m2+ y2

n2=1

x2

a2+ y2

b2=1


Pošto se u praksi, gotovo redovno, daju formule za razmere u pravcu meridijana i paralele (m i n), prikazaćemo kako se na osnovu njih iz ugla θ, koji u projekciji zaklapaju meridijani i paralele, mogu sračunati a i b. U tu svrhu treba primeniti tzv. Apolonijeve teoreme. Prema prvoj teoremi, suma kvadrata spregnutih dijametara elipse jednaka je sumi kvadrata njenih poluosi, tj:

a2+b2=m2+n2 [1]

Druga Apolonijeva teorema glasi: površina tangentnog paralelograma elipse nad njenim dijametrima jednaka je konstanti, odnosno površini tangentnog paralelograma nad poluosama elipse, tj.:

ab=m n sin θ [ 2]

Ako obe strane izraza (2) pomnožimo sa ±2 i dobijeni rezultat najpre dodamo, a zatim odbijemo od (1), dobićemo jednačine:

kojima se definiše veza između razmera duž glavnih pravaca i na parametarskim linijama. Na osnovu njih se lako izvode sledeći izrazi za računanje a i b:

U slučaju kada je θ=90o, biće:

Odnosno sabiranjem i oduzimanjem gornjih jednačina dobijamo

a=m

b=n, kada je m>n

ili a=n;

b=m, kada je n>m

Prema tome, kada meridijani i paralele čine ortogonalnu mrežu i u projekciji, razmeri m i n dostižu ekstremne iznose. Pri tome će biti a=m i b=n, što zavisi od orjentacije elipse odnosno od položaja glavnih pravaca.

21. .........


A ' BAB

=dydy

=n

a+b=√m2

+n2

+2mnsinθ=Aa−b=√m

2+n2−2mnsinθ=B

a=12

( A+B )

b=12

( A−B )

(a+b )2=m2+n2+2mn=(m+n )2

(a−b )2=m2+n2−2mn=(m−n )2


22. RAZMER I DEFORMACIJA POVRŠINA

Pod razmerom površina p, koji se pojavljuje pri regularnom preslikavanju jedne površi na drugu, podrazumevamo odnos površina odgovarajućih elementarnih figura na slici i originalnoj površi definisan izrazom:

[1] u kome su dP i dp površine odgovarajuće elementarne figure na slici i originalnoj površi. Pod elementarnim figurama možemo smatrati beskonačno male paralelograme čije su strane elementarni luci parametarskih krivih (sl. 1)

Površine elementarnih paralelograma zadane su jednačinama:

[2]Tako ćemo dobiti:

[3]

Kako prva dva razlomka, na desnoj strani, predstavljaju razmere po parametarskim linijama možemo pisati:

[4]

za f=0, odnosno ω=90o biće:

2[5]Jednačinu (4) izrazićemo pomoću fundamentalnih veličina. U tu svrhu iskoristićemo napred izvedenu jednačinu (6), za površinu paralelograma dp na originalnoj površi:

[6]Analogno tome, jednačina za površinu paralelograma na površi slike je:

[7]


p=dPdp

dp=dsudsv sinωdP=dSudSv sin θ

p=dSu

dsu

dSv

dsv

sin θsinω

p=cu cvsin θsinω

p=cu cv sinθ

dp=√eg−f 2dudv

dP=√EG−F2 dudv


tako da će biti:

[8]

dakle na osnovu (7) i (9), sledi 10.74)

a2b2=EG−F2

eg−f 22[[9 10

Razmer površina jednak je, dakle, proizvodu glavnih razmera.Primenimo li izraz 8 na nač slučaj, tj. kad uzmemo da je za originalnu površ – elipsoid f=0, onda će biti:

odnosno, s obzirom na 12,

e=M 2

f=0g=N 2 cos2 ϕ 12 13

Poslednji izraz(13) predstavlja opštu jednačinu razmera površina, za slučaj preskilavanja elipsoida. Odgovarajuća jednačina za Zemljinu loptu biće:

[14]

Na sličan način imajući u vidu 15 i 16, transformisaćemo jednačinu 10 tako da poprima sledeći oblik 17:

[15]

ε=θ−90 [16]

[17]

Jednačinu p=ab dobićemo i na sledeći način. Primenimo li opštu jednačinu za razmer površina (1) na elementarni krug i elipsu kao njegovu sliku, dobićemo:

[18]

s obzirom na to da je ds=1, biće konačno: p=ab.

Odstupanje razmera površina od jedinice nazivamo deformacija površina:

[19]


p=√EG−F2

√eg−f 2

p=ab

p=√EG−F2

√eg=

H

√eg

p= HMN cos ϕ

= HMr

p= H

R2 cos ϕ

ab=mn sinθ

p=ab=mnsin θ=mnsin ε

p=dPdp

= abπ

ds2 π

dp=p−1


Zavisno od vrednosti razmera p, deformacija površina može biti veća od nule, jednaka nuli, ili manja od nule. (Za p=1 tj. kada je preslikavanje ekvivalentno, nema deformacije površina).

Ako u 19 uvedemo 1, dobija se:

[20]

tzv. jednačina relativne deformacije površina, a njen brojnik (dP-dp) predstavlja apsolutni iznos deformacije površina.Deformacija površina, pogodno je kao i deformacije dužina, izraziti u procentima (p-1)100 o/o , ili u promilima (p-1)1000 o/oo.

23. DEFORMACIJA UGLOVA

Odnos linijskih elemenata slike i originalne površi nazvali smo linijskim razmerom, odnosno razmerom dužina. Slično tome smo odnos površina odgovarajućih figura u projekciji i na originalnoj površi nazvali razmerom površina. Sada ćemo razmotriti odnos između elementarnog ugla (dA) na slici i odgovarajućeg ugla (dα) na originalnoj površi, prema izrazu: dA/dα, koji je promenljive veličine, jer se A, zbog deformacija stalno menja, tako da će dA, samo u specijalnim slučajevima sa dα dati jedinicu. Ovaj izraz, na svoj način, govori o deformacijama kojima podležu uglovi u procesu preslikavanja, pa se uslovno može smatrati njihovim pokazateljem, jer naziv „razmer uglova“ očigledno nema smisla. Pri tome treba imati u vidu da su u pitanju elementarne (diferencijalno male)veličine uglova (dα i dA). Ako se, pak, operiše njihovim konačnim (realnim) veličinama, onda ćemo deformaciju ugla dobiti kao razliku između iznosa odnosnog ugla u projekciji i na originalnoj površi, tj. u našem slučaju, po formuli: (α-A) ili (A-α). ednačinu za odnos uglova dA/dα potražićemo uzimajući da se parametarske linije poklapaju sa glavnim pravcima, tako da je f=F=0, što za naša razmatranja ne predstavlja nikakvo sužavanje problema. Jedino treba uošiti da α i A odgovaraju azimutu, odnosno uglu koji određuje položaj (orjentaciju) nekog pravca u sistemu parametarskih linija, što je u skladu i sa dosadašnjim izlaganjima i usvojenim načinom obeležavanja. U opštem, pak, slučaju to je ugao koji proizvoljan pravac na originalnoj površi, odnosno slici, zaklapa sa jednim od glavnih pravaca (obično sa pravcem maksimalnog linijskog razmera).

Polazeći od F = 0 dobijamo jednačine :

Iz jednačine može se zaključiti proizvod odnosa uglova dA/dα i kvadrata linijskog


dp=dP−dpdp


razmera c2 u bilo kom pravcu oko tačke jeste konstantna vrednost (ab), koja, s obzirom na 2.72, predstavlja razmer površina u istoj tački.

Najveću i najmanju vrednost odnosa dA/dα odredićemo na osnovu 2.78 i odgovarajućih ekstremnih iznosa linijskog razmera (cmax=a i cmin=b), tj:

Jednačina za odgovarajući azimut (Am) u projekciji je :

Maksimalna deformacija ugla data je izrazom :

Maksimalna deformacija azimuta ω/2=(α-A)max dobija se kada je sin (α+A) =1, odnosno kada η poprimi neku od vrednosti: 45o, 135o, 225o, 315o, ili što je isto, kada je (α+A)=90 o,90 o ... itd, a njena jednačina izgleda:

Ako se pođe od izraza :

dobija se :

što znači da je razmer linijskih elemenata, duž pravaca čiji azimut ima maksimalne deformacije jednak.

24. JEDNAČINE KARTOGRAFSKIH PROJEKCIJA

Do sada smo za izražavanje položaja tačaka na projekcionoj ravni primenjivali sistem pravouglih Dekartovih koordinata. Međutim, često je mnogo podesnije primeniti polarne koordinate. Pri tome se polarna osa sistema postavlja u pravcu srednjeg, tzv. osnog meridijana projekcije. (na slici 4.13 - pravac OP). Položaj tačke T određuju polarne koordinate :



U projekcijama za koje se koristi polarni koordinatni sistem paralele se obično preslikavaju kao krugovi odnosno kružni lukovi, koji mogu biti koncentrični, tj. sa zajedničkim središtem u tački pola polarnih koordinata (P), ili ekscentrični sa središtima razmeštenim na polarnoj osi (OP). Poluprečnici paralela u projekciji zadani su opštom jednačinom:ρ=f1(φ), pošto ρ zavisi samo od geografske širine tačke, kod je λ=const. Polarni ugao δ zavisi i odširine i dužine tj. δ=f2 (φ, λ). Što se tiče elementa q, kojim se određuje položaj centra paralela prema koordinatnom početku (O) pravouglih koordinata (x, y), njegova veličina može biti konstantna (q=const.), kod koncentričnih krugova (paralela) promenljiva i, takođe, zavisi samo od φ, tj. q=f3(φ). (Nije teško iz slike konstatovati da se pomoću q obezbeđuje veza polarnih i pravouglih koordinata i da q nije ništa drugo do poluprečnik tzv. najjužnije paralele koju osa y tangira u tački O.) Na taj način, opšte jednačine kartografskih projekcija u polarnim koordinatama biće:

ρ=f1(φ)

δ=f2 (φ, λ) (4.70)

q=f3(φ)

Izrazi 4.70 nisu ništa drugo do specijalan slučaj jednačina 4.2, koji se odnosi na tzv. projekcije sa kružnim paralelama. Na osnovu slike 4.13 lako se određuju jednačine za prelaz od polarnih koordinata na pravougle koordinate :

Ove će nam jednačine pomoći da dođemo do izraza za m, n, p, θ, ε u polarnim koordinatama. U tu svrhu mora se izvršiti odgovarajuća transformacija izraza 4.12 i 4.14 kojima su zadane fundamentalne veličine E, F, G i H. Za to ćemo najpre, na osnovu 4.71 i imajući u vidu 4.70, odrediti parcijalne izvode:

gde su:

Na osnovu 4.72 i 4.73 odnosno 4.14 biće :



Sličnim postupkom se dobija :

Prednji izrazi odnose se na projekcije sa paralelema u vidu ekscentričnih krugova. Ako se paralele preslikavaju kao koncentrični krugovi (q=const. odnosno qφ=0) tada će jednačine 4.74, 4.75, 4.76 poprimiti sledeći oblik:

Napred izvedene jednačine odnose se na površ elipsoida. Da bi se dobile analogne formule za površ Zemljine lopte, u njima treba radijuse krivina M i N zameniti radijusom lopte, odnosno r=Ncos φ sa r= Rcos φ.

25. KLASIFIKACIJA KARTOGRAFSKIH PROJEKCIJA

Pod klasifikacijom kartografskih projekcija podrazumevamo njihovu sistematizaciju po vrstama, a na osnovu najbitnijih zajedničkih karakteristika. Osnovu klasifikacije čine naučno zasnovani kriterijumi, koji u isto vreme, moraju biti jasni i što jednostavniji. Dajući sistematski pregled kartografskih projekcija, klasifikacija olakšava njihov izbor za obradu i sastavljanje najraznovrsnijih karata, imajući istovremeno i odgovarajući značaj u didaktičkom smislu. U matematičkoj kartografiji se danas najčešće primenjuju dve naučno zasnovane klasifikacije projekcija, odnosno dva osnovna kriterijima za klasifikaciju, i to:

karakter pratećih deformacija preslikavanja i oblik tzv. normalnih mreža meridijana i paralela.

Ovima se, ponekad, dodaje dopunski kriterijum klasifikacije, na primer:

način korišćenja projekcija pri izradi karata.



26.KLASIFIKACIJA PROJEKCIJA PREMA KARAKTERU DEFORMACIJA :

A) ISTOUGLE ILI KONFORMNE (ORTOMORFNE) PROJEKCIJE

Pomoću formula 4.62 i 4.64 nije teško utvrditi da se jednakost uglova u projekciji i originalnoj površi, za neku tačku, obezbedjuje ako je a=0, odnosno kada je a=b. Ako se jednakost obezbedi u svim tačkama slike imamo konformno ili istouglo preslikavanje, pri čemu je, očigledno: ω=0, θ = 90° odnosno ε = 0.U bilo kojoj tački istouglog preslikavanja indikatrisa je krug, tj. linearan razmer ostaje isti (konstantan) u svim pravcima oko zadane tačke, što se može izraziti odnosom :

ili, s obzirom na jednačine za razmer površina:

(Jednačina 4.78, u stvari, predstavlja eksplicitan oblik jednačine 2.102, kojom se uslov konformnog preslikavanja izražava u opštem vidu. Doista, 2.102 se lako transformiše u oblik 4.78, ako se imaju u vidu jednačine 2.104, odnosno 2.42, 2.43 i 2.61.).Osim naziva konformne (istougle) projekcije, često se sreće i naziv ortomorfne projekcije, što znači da se ovim preslikavanjem obezbedjuje sličnost beskonačno malih figura - tzv. lokalna sličnost. Treba, medjutim, obratiti pažnju na sledeće: pojmom istouglost označava se jednakost apsolutnih vrednosti uglova tj. ne vodi se računa o tome da li je možda nastupilo pomeranje odnosno rotacija uglova, dok konformnost znači jednakost uglova uz očuvanje njihovih predznaka, tj. ima se u vidu i njihova eventualna rotacija. Otuda je, strogo uzimajući, svako konformno preslikavanje istouglo, ali zato svako istouglo preslikavanje ne mora biti konformno - osim, teorijski, samo za beskonačno male figure . Razmotrićemo još jedan oblik jednačina kojima se izražava konformno preslikavanje elipsoida, u stručnoj literaturi poznato kao Koši-Rimanove (A.Cauchy, B.Riemann) diferencijalne jednačine. Da bi postojala jednakost uglova a i A, odnosno a=A, prema izrazu 4.66 :



Ako iz prvog izraza nađemo rešenje za yλ i uvrstimo ga u drugu jednačinu, nakon sređivanja se dobija:

Sličnim postupkom, tj. kada iz prve jednačine odredimo xλ, i uvrstimo ga u drugu i izraz sredimo, biće :

Kako vidimo, za xλ i yλ dobili smo po dva rešenja sa jednakim apsolutnim iznosima i suprotnim predznacima, što je posledica činjenice da je druga jednačina kvadratna. Od dobijenih rešenja iskoristidemo ona dva koja daju pozitivnu vrednost za H. Pošto je prema 4.14: H=xφ yλ - yφ xλ ,očigledno je da će prednji zahtev biti zadovoljen ako su:

Samo pod tim uslovom, ugao θ, koji zaklapaju meridijani i paralele u projekciji, biće u granicama 0<θ<180°, što jedino i ima realan smisao za preslikavanje. Naime, prema 4.28 je tg θ=H/F. Da bi θ bilo u navedenim granicama, brojilac razlomka, tj. H, mora biti uvek pozitivan, a imenilac može biti pozitivan ili negativan. (Podsetimo na to da smo zaključak u vezi sa H formirali i pri razmatranjima u II poglavlju, u vezi sa jednačinom 2.12). Prema tome, da bi postojala jednakost A=α, ili, što je isto, za konformno preslikavanje elipsoida na ravan, nužno je i dovoljno da budu zadovoljene napred navedene jednačine, koje u razvijenom obliku izgledaju:

Ovo su tzv. Koši-Rimanove diferencijalne jednačine i njima se izražava uslov konformnog preslikavanja elipsoida na ravan.

B) ISTOPOVRŠINSKE (EKVIVALENTNE) PROJEKCIJE

Ekvivalentne (homalografske) projekcije očuvavaju površine figura i zadovoljavaju uslov :

koji smo, na svoj način, već izrazili jednačinama 2.108 i 2.109 u poglavlju 2.4.10. Drugim recima, ako je razmer površine jednak jedinici u svakoj tački slike (projekcije), onda veličina cele, pa dakle i konačne površine, ostaje očuvana - nedeformisana. Iz 4.81 proizilazi sledeći odnos između linearnih razmera u glavnim pravcima:



Iz jednačina 4.82 očigledno je da nikako ne može biti a=b, što je prema 4.78 uslov konformnog preslikavanja. Drugim rečima, apsolutno je nemoguće da jedna projekcija bude u isto vreme i konformna i ekvivalentna.

Ako se imaju u vidu jednačine 4.64 i 4.82, onda se računanje deformacije uglova, kod ekvivalentnih projekcija, najlakše provodi po izrazima :

C) USLOVNE (PROIZVOLJNE) PROJEKCIJE

Kod ovih projekcija postoje istovremeno i deformacije uglova i deformacije površina. Ipak, iz veoma velike grupe uslovnih (proizvoljnih) projekcija izdvaja se grupa tzv. Ekvidistantnih (istodužinskih) projekcija, kod kojih je linearan razmer uzduž jednog od glavnih pravaca konstantan i jednak jedinici, tj. ili a=1, ili b=1. Izrazi za računanje deformacije površina (p) i uglova (ω) pojednostavljuju se i izgledaju: kada je a = 1, biće:

Zaključujemo da ekvidistntne projekcije po karakteru i iznosu deformacija zauzimaju mesto između konformnih i ekvivalentnih projekcija. Deformacije površina u ovim projekcijama su manje nego kod konformnih, dok su deformacije uglova, opet, manje nego kod ekvivalentnih projekcija. To je razlog da se ekvidistantne projekcije, ponekad, nazivaju projekcijama srednjih deformacija.

27. KLASIFIKACIJA KARTOGRAFSKIH PROJEKCIJA PREMA OBLIKU NORMALNIH MREŽA MERIDIJANA I PARALELA.

Pod kartografskom mrežom, u duhu ranijeg izlaganja (pogl. 2.5), podrazumevamo svaku preslikanu mrežu koordinatnih linija sa elipsoida i lopte. To mogu biti meridijani i paralele sistema geografskih koordinata na elipsoidu ili lopti iz poglavlja 3.3.1 i 3.6.1 ili mreže sastavljene od vertikala i almukantarata,



kao koordinatne linije sistema polarnih (azimutnih) koordinata na lopti iz poglavlja 3.6.2. Ako kartografsku mrežu čine meridijani i paralele, onda se ona obično naziva osnovnom kartografskom mrežom, ili tzv. geografskom mrežom karata. Normalna kartografska mreža, pak, jeste mreža koordinatnih linija, koja u određenoj projekciji ima najprostiji izgled od svih mogućih, tj. ima oblik karakterističan za datu projekciju ili grupu projekcija. Ako za osnovu klasifikacije uzmemo izgled paralela i meridijana normalne mreže, projekcije se mogu svrstati u sledeće grupe (autor ove klasifikacije je prof. Kavrajski,1930).




Documents

Kartografija 1 - PRVI Kolokvijum-Sasa