TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA ESFERA (LIMON) Y EN CLINDRO (HOT DOG)

I. OBJETIVOS

Determinar la curva de penetracin de calor en un cuerpo de geometra cilndrica en un bao de agua caliente. Calculo de la conductividad trmica del alimento a partir de las propiedades determinadas en los aparatos anteriores.

II. FUNDAMENTO TERICOLos objetos con dimensiones finitas con paraleleppedos, cilindros, etc; se deben considerar como interseccin de dos o ms cuerpos de dimensiones finitas. As un cilindro finito est formado por la interseccin de un cilindro de longitud infinita y de radio finito y de una lamina de caras paralelas de espesor igual a la altura del cilindro y de largo y de ancho infinitos.La regla de Newman relaciona las variables adimensionales de temperaturas de cilindro finito con la de la lmina y el cilindro infinito de acuerdo con la expresin.(1)Donde: = temperatura adimensional en un punto del cilindro finito. = temperatura adimensional en un punto del cilindro infinito. = temperatura adimensional en un punto de la lmina infinita.Siendo:=

Donde: = temperatura del Bao (es constante).T = temperatura medida en cada instante en un punto de cilindro finito.Temperatjura inicial del bote del alimento.

El estudio de transmisin de calor es importante ya que muestra la base sobre la que operan varios de esos procesos. Es el proceso por el que se intercambia energa en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que estn a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante conveccin, radiacin no conduccin. Aunque estos tres procesos pueden tener lugar simultneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a travs de la pared de una casa fundamentalmente por conduccin, el aguade una cacerola situada sobre un quemador de gas se calienta en gran medida por conveccin, y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiacin.

Figura 1. Casos de Transmisin de Calor por Conduccin, Radiacin, y Conveccin.

Conduccin No EstacionariaCuando un sistema conduce energa en estado no-estacionario aparece una nueva variable independiente: el tiempo. Por lo tanto an en el caso ms simple de conduccin unidireccional la ecuacin a resolver ser a derivadas parciales.Existen numerosos sistemas de inters prctico que operan en estas condiciones y la resolucin del balance microscpico de energa interna permite realizar clculos de tiempos de enfriamiento o calentamiento en muchsimas aplicaciones de la industria.Por ejemplo: templado de metales "curado" de plsticos y gomas esterilizacin de alimentos.

1.1.1. Conduccin En Sistemas Finitos Sin Efectos De ExtremosLa solucin de medio semi-infinito es vlida para tiempos lo suficientemente pequeos como para que el flujo calrico no "se entere" que el slido se acaba.Sin embargo existen numerosos sistemas de utilidad prctica en los cuales los tiempos de tratamiento son lo suficientemente largos como para que la solucin de medio semi-infinito no resulte adecuada. Resulta entonces necesario resolver la misma expresin del balance microscpico de energa interna pero con condiciones de contorno propias de un medio finito. Vamos a considerar las tres formas geomtricas ms simples con conduccin unidireccional: Placa plana infinitamente larga y ancha Cilindro infinitamente largo Esfera Las dimensiones infinitas se suponen para que se cumpla adecuadamente la suposicin de flujo unidireccional. Es posible lograr el mismo efecto si las reas laterales de los cuerpos se encuentran trmicamente aislados. Se analizarn sistemas finitos que se sumergen en baos de temperatura constante.

a. Conduccin transitoria en placa plana

Supongamos una placa de dimensiones tales o aislada de tal manera que slo pueda existir flujo calrico en la direccin "x". Esta placa posee una temperatura uniforme e igual a T0 y en el instante t=0 se sumerge en un fluido de distinta temperatura Tf.

Figura 2. Conduccin Transitoria en Placa

El balance microscpico de energa interna adoptando a la placa como volumen de control y las correspondientes condiciones inicial y de contorno resultan:

Para facilitar la resolucin se realiza la siguiente adimensionalizacin:

Por lo tanto el balance y las condiciones quedan de la siguiente manera:

Donde ha surgido una agrupacin adimensional proveniente de la adimensionalizacin de las condiciones de contorno llamada nmero de Biot:

Representa una relacin entre los mecanismos de transferencia de energa por conduccin dentro del slido con la transferencia en la interfase slido-fluido por conduccin-conveccin.Ambos mecanismos se encuentran en serie y por lo tanto el proceso total estar controlado por el ms lento. As, si: o sea que la velocidad de transferencia de energa en la interfase del lado del fluido es elevada la temperatura en la interfase slido-fluido tender a Tf.El mtodo utilizado para resolver el balance microscpico de energa interna con las condiciones de contorno apropiadas es el de separacin de variables. Para ello se buscan dos funciones de cada una de las variables independientes tal que multiplicadas generen la funcin buscada de la variable dependiente:

La expresin analtica del perfil de temperaturas viene dada por una serie de Fourier de la forma:

Otras geometras

De manera anloga a la descripta se han obtenido las soluciones para conduccin unidireccional en estado no estacionario en cilindros infinitamente largos y en esferas. La longitud caracterstica es el radio "R" y las soluciones se encuentran graficadas de igual manera que para la placa plana. Modelo de BiotMide la posicin desde el centro del alimento. Relaciona los coeficientes convectivos y conductivos.El fsico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuacin que permite calcular el campo magntico B creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B es el vector campo magntico existente en un punto P del espacio, ut es un vector unitario cuya direccin es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posicin donde se encuentra el elemento dl. ur es un vector unitario que seala la posicin del punto P respecto del elemento de corriente, m0/4pi = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

III. MTODO ANALTICOSe usan las ecuaciones analticas aproximadas. Se sabe que una vez transcurrido el periodo de induccin (mayor a 10 minutos), se pueden despreciar los trminos de la serie a partir del segundo. En el caso de que adems exista una agitacin elevada, se pude considerar que el modelo de Biot tiende a valores muy altos, y por lo tanto su inversa m, tiende a cero (m=0). Por lo que las ecuaciones de la lmina infinita y el cilindro infinito quedan reducidas a:(2)(3)

Donde: = tiempo adimensional par el cilindro infinito= tiempo adimensional para la lamina infinitan = posicin relativa (posicin donde medimos la temperatura) = funcin de Bessel de 1 especie y orden 0.

En este caso se efecta la medida de la temperatura en el centro geomtrico del cilindro por lo que r = 0 y por tanto:

En la que:r = longitud de transporte es decir, la distancia desde el eje central del cilindro a un punto cualquiera, en el caso del cilindro o distancia desde el plano central de la lmina a un punto cualquiera en el caso de la lmina, cuando el calentamiento se realiza por las dos caras.

Para el cilindro:

Para la lmina:

(Lmina del espesor de la lmina es decir la mitad de la altura del bote)Sabiendo adems que:Cos 0 =1

Las ecuaciones (2) y(3) quedarn:(4)(5)Sustituyendo en la ecuacin (1)(6)Como el tiempo adimensional:

Siendo = difusividad trmica, tendremos que:

Sustituyendo en la ecuacin (6):

Tomando logaritmos decimales y reagrupando trminos:

Representando log , debe aparecer una recta de:Ordenada en el origen = log (2.040)Pendiente = En esta expresin se despeja el valor de la difusividad trmica (), ya que el resto de valores son conocidos. Las medidas de rc y a s en metros y la difusividad en m2/s.

CLCULO DE LA CONDUCTIVIDAD TRMICA:Una vez determinada la difusividad trmica del tomate es posible determinar su conductividad trmica ya que ambas estyan relacionadas mediante la siguiente frmula:

Donde: = conductividad trmica = densidad = calor especifico

Para aplicar esta relacin ser necesario determinar previamente la densidad del tomate triturado y su calor especifico cuya metodologa y clculos se describen en el apartado Material y mtodos.

IV. MATERIAL Y MTODOS

4.1. MATERIAL

Limn Hog dog agua Termocupla Sensor de temperatura Termmetro Cronmetro Vernier Cuchillo

4.2. MTODOS

En la presente practica se tuve como objetivo principal la determinacin de la temperatura en el centro del producto analizado que consista en realizar un pequeo orificio exactamente en el centro de una de las caras planas del limn y hog dog por donde se introduce el sensor de temperatura de forma que la punta de del sensor quede exactamente situada en el centro geomtrico del limn y el hog dog.Una vez lleno de agua la termocupla, se conecta a la red situando el controlador de temperatura a 60C. Alcanzada una temperatura constante en el bao, se introduce cuidadosamente el slido en l, empezando a tomar el tiempo a partir de ese momento. Previamente se habr tomado nota de la temperatura del bao () que se mantendr constante durante todo el experimento y de la temperatura inicial del bote (T0).Posteriormente y con una frecuencia de un 30 seg. se van efectuando lecturas de la temperatura en el centro, para luego observar los cambios. Es muy importante mantener la sonda termomtrica en el centro geomtrico de bote durante todo el experimento ya que de lo contrario los datos obtenidos no sern vlidos.Hay que procurar durante todo el experimento que el nivel del agua se mantenga unos dos centmetros por encima del slido.

V. RESULTADOS Y DISCUSIONESTRANSFERENCIA DE CALOR EN EL LIMONComo se explic en la metodologa se tomaron las temperaturas del alimento cada 30 segundos, y para llegar a nuestro objetivo final se averiguo la densidad y la conductividad trmica segn la bibliografa. Los resultados se muestran en el siguiente cuadro: TABLA 1: TEMPERATURAS DEL LIMONt (s)T (C)

035

3035.4

6037

9039

12040.8

15042.6

18044.4

21045.7

24047

27048.3

30049.5

33050.5

CUADRO 1. DATOS PARA ANALISIS EL LIMONDATOS

Ta60C

Ti35C

Densidad1000Kg/m3

Cp3850J/kg C

T0S

Dc0.0202M

K0.49W/m.C

H50W/m2.C

R0.0202M

Con la ayuda de estos datos, nos fue posible calcular el nmero de biot y el valor de mBi =2.06122449

M =0.48514851

Como se ve el nmero de Biot est en el rango 0,1 < Nbiot