Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt

8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt

1/117

Bài giảng Lý thuyết đồ thị


2/117

Đồ thị (graph) là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnhvà các cạnh nối các đỉnh đó.

Đồ thị được ký hiệu là G = (V, E), trong đó: V là tập đỉnh (vertex), E V V là tập hợp các cạnh (edge).

HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 2

1

2

3


3/117

CÁC LOẠI ĐỒ THỊ



4/117

HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến

Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

4


5/117

Một đơn đồ thị (simple graph) G = (V, E) gồm mộttập không rỗng V và một tập cạnh E là các cạnhkhông sắp thứ tự của các đỉnh phân biệt.


1

2

3


6/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

6


7/117

Một đa đồ thị (multigraph) G = (V, E) gồm một tậpcác đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới{{u, v} | u, v V, u v}. Các cạnh e1, e2 được gọi làcạnh song song (parallel) (hay cạnh bội (multiple))nếu f(e1) = f(e2).



8/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

8


9/117

Một giả đồ thị (pseudo graph) G = (V, E) gồm mộttập đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới{{u, v} | u, v V}.Một cạnh là khuyên (loop) nếu f(e) = {u, u} = {u} vớimột đỉnh u nào đó.


9


10/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

10


11/117

Một đồ thị có hướng (directed graph hoặc digraph)G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh E làcác cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. Cáccạnh ở đây còn được gọi là cung (arc).



12/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

12


13/117

Một đa đồ thị có hướng (directed multigraph)G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, tập các cạnh Evà một hàm f từ E tới {(u, v) | u, v V}.

Các cạnh e1 và e2 là các cạnh bội nếu f(e1) = f(e2).



14/117

Loại Cạnh Có cạnh bội? Có khuyên?

Đơn đồ thị Vô hướng Không Không

Đa đồ thị Vô hướng Có Không

Giả đồ thị Vô hướng Có Có

Đồ thị có hướng Có hướng Không Có

Đa đồ thị có hướng Có hướng Có Có



15/117

Chỉ làm việc với đồ thị có tập đỉnh và tập cạnh hữuhạn. Thuật ngữ Đồ thị được ngầm hiểu là Đồ thị hữuhạn.



16/117

CẠNH KỀ, ĐỈNH KỀ, BẬC



17/117

Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G đượcgọi là kề hay liền kề (adjacent) (hay láng giềng(neibor)) nếu {u, v} là một cạnh của G.

Nếu e = {u, v} thì e được gọi là cạnh liên thuộc(incident) với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi

là cạnh nối (connect) các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút (endpoint)

của cạnh {u, v}.



18/117

Bậc (degree) của một đỉnh trên đồ thị vô hướng làsố các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại mộtđỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Người ta kýhiệu bậc của đỉnh v là deg(v).


18


19/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

3

6

5

3

5

19


20/117

Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng có e cạnh. Khiđó:

Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnhcó bậc bằng 7?


V v

ve )deg(2

20


21/117

Định nghĩa hàm f từ E x V tới {0, 1, 2… } trong đó: f(e, v) = 1 nếu e có 2 đỉnh phân biệt và v là một trong 2đỉnh này.

f(e, v) = 2 nếu e là một khuyên và v là đỉnh của khuyênnày, và

f(e, v) = 0 nếu v không phải là đỉnh thuộc cạnh e.

Do vậy, với cạnh e E bất kỳ, ta cósuy ra được từ định nghĩa.


V v

ve f 2),(

21


22/117

Do vậy:


V v

E e

V v E e E e V v E e

E e V v E e

v E

ve f v

ve f ve f E

ve f

)deg(2

),()deg(:cóTa

),(),(22

),(2

22


23/117

Định lý: Một đồ thị vô hướng có số lượng đỉnh bậclẻ là một số chẵn.

Chứng minh: Giả sử V1, V2 tương ứng là tập các đỉnh bậc chẵn và

tập các đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng G = (V, E). Khiđó:

Vì deg(v) là chẵn với mọi v V1, nên tổng đầu tiêntrong vế phải phải là số chẵn, nên tổng còn lại cũngphải là số chẵn. Vì tất cả các số hạng của tổng này là

số lẻ, nên suy ra số các số hạng của nó phải là sốchẵn. [đpcm]


1 2

)deg()deg()deg(2V v V vV v

vvve

23


24/117

Khi (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G, thì u đượcgọi là nối tới v và v được gọi là nối từ u. Đỉnh u đượcgọi là đỉnh đầu (initial vertex), đỉnh v gọi là đỉnh cuối(terminal hoặc end vertex) của cạnh (u, v).

Cạnh e = (u, v) được gọi là đi từ đỉnh u tới đỉnh v

hoặc đi ra đỉnh u vào đỉnh v.



25/117

Trong đồ thị có hướng, bậc vào (in-degree) của đỉnhv, ký hiệu là deg-(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v.

Bậc ra (out-degree) của đỉnh v, ký hiệu là deg+(v) làsố các cạnh có đỉnh đầu là v.(Một khuyên sẽ góp thêm 1 đơn vị vào bậc vào và 1

đơn vị vào bậc ra của đỉnh chứa khuyên)



26/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

d- = 2, d+ = 1

d- = 4, d+ = 1

d- = 2, d+ = 3

d- = 2, d+ = 4

d- = 1, d+ = 2

26


27/117

Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó:


V vV v

E vv )(deg)(deg

27


28/117

Đỉnh treo (pendant vertex) là đỉnh có bậc bằng 1.

Đỉnh cô lập (isolated vertex) là đỉnh có bậc bằng 0.



29/117


Tiền Giang

Trà Vinh

Vĩnh Long

Đồng Tháp

Cần Thơ

Phú Quốc

29


30/117

MỘT SỐ ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT



31/117

Đồ thị đầy đủ (complete graph) n đỉnh, ký hiệu là Kn,

là một đơn đồ thị chứa đúng một cạnh nối mỗi cặpđỉnh phân biệt.



32/117

Đồ thị chính quy (regular graph) là đơn đồ thị màbậc của mọi đỉnh đều bằng nhau.

Nếu bậc của các đỉnh là n, thì đồ thị này được gọi làn – chính quy (n – regular).



33/117


2 – chính quy

3 – chính quy

4 – chính quy

33


34/117


35/117

Một đơn đồ thị G được gọi là đồ thị phân đôi(bipartite graph) nếu tập các đỉnh V có thể phân làmhai tập con không rỗng, rời nhau V1 và V2 sao chomỗi cạnh của đồ thị nối một đỉnh của V1 với một đỉnhcủa V2.



36/117



37/117

Đồ thị C6

và K3

có phải là các đồ thị phân đôi? Giảithích.


1 2

3

45

6

1

2

3

37


38/117

Đồ thị phân đôi đầy đủ (complete bipartite graph)Km,n là đồ thị có tập đỉnh được phân thành hai tậpcon tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có một cạnhgiữa 2 đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập connày và đỉnh thứ hai thuộc tập con kia.



39/117



40/117

ĐỒ THỊ CON –ĐỒ THỊ BỘ PHẬN



41/117

Đồ thị con (subgraph) của đồ thị G = (V, E) là đồ thịH = (W, F) trong đó W V và F E.

Đồ thị H là con của đồ thị G được gọi là đồ thị bộphận (spanning subgraph) của G khi W = V.



42/117


1 2

3

45

6

1

3

45

6

1 2

3

45

6

42


43/117


44/117

1. Cho G là một đồ thị đơn, vô hướng có số đỉnh n > 3.Chứng minh G có chứa 2 đỉnh cùng bậc.

Hướng dẫn:

Giả sử có 1 đỉnh bậc 0 đỉnh có bậc lớn nhất còn lạichỉ là n – 2. Vậy các đỉnh có thể có bậc là 0.. n-2.

Nếu không có đỉnh bậc 0 các đỉnh có thể có bậc là1, 2… n-1.

Do vậy theo Dirichlet, phải có ít nhất 2 đỉnh cùng bậc.



45/117

2. Có thể tồn tại đồ thị đơn có 15 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 5 hay không?

Hướng dẫn

Không thể vì 15 (số đỉnh) x 5 (bậc) là một số lẻ. Điềunày trái với định lý bắt tay.



46/117

3. Trong một buổi chiêu đãi, mọi người bắt tay nhau.Chứng tỏ rằng tổng số người được bắt tay với một sốlẻ người khác là một số chẵn. Giả sử không ai tự bắttay mình

Hướng dẫn

Chứng minh tương tự định lý số đỉnh bậc lẻ của đồ thị



47/117

4. Vẽ các đồ thị:a. K 7 b. K 1,8c. K 4,4



48/117

5. Các đồ thị sau đây có bao nhiêu cạnh?a. K n b. K m,n

Hướng dẫn Kn có số cạnh là C(2, n) = n(n-1)/2.

Km,n có số cạnh là mn.



49/117

6. Đồ thị sẽ có bao nhiêu cạnh nếu nó có các đỉnh bậc 4, 3, 3, 2,

2? Vẽ một đồ thị như vậy.

Hướng dẫn

Tổng số bậc đỉnh của đồ thị là 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14,

vậy đồ thị này có 7 cạnh (nếu tồn tại đồ thị).


ca

e d

b

49


50/117

7. Có tồn tại đồ thị đơn chứa năm đỉnh với các bậc sauđây? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó.a. 3, 3, 3, 3, 2

b. 1, 2, 3, 4 ,5

c. 1, 1, 1, 1, 1d. 1, 2, 1, 2, 1

e. 2, 1, 0, 2, 1

Hướng dẫn

a, e). Có.b, c, d). Không thể (vì có số đỉnh bậc lẻ là một số lẻ).


ca

e d

b

ca

e d

b

50


51/117

8. Một buổi tiệc có 6 người tham dự. Chứng minh rằngcó 3 người từng cặp quen nhau hoặc 3 ngườikhông quen nhau.

Hướng dẫn

Theo dirichlet, chắc chắn phải có 1 ngườiquen/không quen với 3 người bất kỳ trong nhóm.Giả sử người đó là A và 3 người kia là B, C và D. Nếu trong số 3 người đó, có 1 cặp quen nhau Bài

toán được giải vì có 3 người từng quen nhau. Nếu không có 3 người không quen nhau.



52/117

9. Các đồ thị sau đây có phải là đồ thị phân đôikhông?

Hướng dẫn Đồ thị bên trái: có. Đồ thị bên phải: không.



53/117

ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU



54/117

Các đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là đẳngcấu (isomorphic) nếu có hàm song ánh f từ V1 lên V2sao cho các đỉnh u và v là liền kề trong G1 nếu vàchỉ nếu f(u) và f(v) là liền kề trong G2 với mọi u, vtrong V1. Hàm f như vậy được gọi là một đẳng cấu.



55/117


Đồ thị G1 và G2 là đẳng cấu với nhau: f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d e1 = E1, e2 = E2…

1

3

2

4

a

b c

d

e1

e2

e3

e4e5

e6

E1 E2

E3

E4

E5

E6

55


56/117

Để xác định xem các đồ thị là đẳng cấu hay không làrất khó khăn!

Để chứng minh 2 đồ thị là đẳng cấu, cần đưa ra mộtquan hệ tương đương (đẳng cấu) giữa 2 đồ thị này.

Để chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, chỉ ra

chúng không có chung một tính chất mà các đồ thịđẳng cấu phải có.



57/117

Hai định lý sau đây sẽ giúp chúng ta xác định sựđẳng cấu của hai đồ thị (đã gán nhãn): Định lý 1: Hai đồ thị là đẳng cấu với nhau khi và chỉ

khi các đỉnh của nó có thể được gán nhãn sao cho matrận kề tương ứng là giống nhau.

Định lý 2: Hai đồ thị được gán nhãn G1 và G2 với haima trận kề tương ứng là A1 và A2 đẳng cấu với nhaukhi và chỉ khi tồn tại ma trận hoán vị P sao cho

P A1 PT = A2


Ghi chú: Ma trận hoán vị là một ma trận có được bằng cách hoán vị các hàng và/hoặc cột của một ma trận đơn vị n x n. Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và cột chỉ có 1 phần tử có giá trị '1', các phần tử còn lại có giá trị '0'.

57


58/117

Xét hai đồ thị G1 và G2 được gán nhãn như bêndưới và hai ma trận kề tương ứng:


21

4 3

da

b c

1 2 3 4

1 0 1 0 1

2 1 0 1 0

3 0 1 0 1

4 1 0 1 0

a b c d

a 0 0 1 1

b 0 0 1 1

c 1 1 0 0

d 1 1 0 0

58


59/117

Xét ma trận hoán vị

Ta có:

Vậy G1 và G2 đẳng cấu với nhau theo ánh xạ: 1

a,2 c, 3 b và 4 d.


1000

0010

0100

0001

P

21

0011

0011

11001100

1000

0010

01000001

0101

1010

01011010

1000

0010

01000001

A P PA T

59


60/117

Để chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, ta chỉ cầnđưa ra ví dụ phản chứng.

Để chứng minh 2 đồ thị là đẳng cấu, cần phải chỉ rama trận hoán vị P.

(Có đến n! hoán vị khác nhau với đồ thị n đỉnh, dovậy, bài toán xác định 2 đồ thị đẳng cấu có độ phứctạp rất lớn!)



61/117


ca

e d

b

zx

v t

y

61


62/117


ba

d c

e f

h g

ts

v u

w x

z y

62


63/117

BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ



64/117

Đỉnh Các đ ỉnh k ề

a b, e

b a, c

c b, d, e

d c, e

e a, d


ca

e d

b

64


65/117

Đỉnh đ ầu Đỉnh cuối

1 2, 3, 4, 6

2 3

34 3

5

6 3


1 2

3

45

6

65


66/117

Giả sử G = (V, E) trong đó V = {v1, v2, …}, |V| = n.

Ma trận kề (Adjacency Matrix) A (hay AG) của G làmột ma trận 0-1 cấp nxn có phần tử aij tại dòng i, cột

j bằng 1 nếu vi và v j kề nhau và bằng 0 nếu vi và v jkhông kề nhau.



67/117

a b c d e

a 0 1 0 0 1

b 1 0 1 0 0c 0 1 0 1 1

d 0 0 1 0 1

e 1 0 1 1 0


ca

e d

b

67


68/117


1 2

3

45

6

1 2 3 4 5 6

1 0 1 1 1 0 1

2 0 0 1 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 1 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 1 0 0 0

68


69/117

1 2 3 4

1 1 1 0 1

2 1 1 2 0

3 0 2 1 2

4 1 0 2 0


21

4 3

69


70/117

Giả sử G = (V, E) trong đó: V = {v1, v2, …}, |V| = n. E = {e1, e2, …}, |E| = e.

Ma trận liên thuộc (incidence matrix) M của G là mộtma trận 0-1 kích thước nxe có phần tử aij tại dòng i,

cột j bằng 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh vi và bằng 0nếu cạnh e j không nối với đỉnh vi.



71/117

1 2 3 4 5 6

a 1 0 1 0 0 0

b 1 1 0 0 0 0

c 0 1 0 1 0 1

d 0 0 0 1 1 0

e 0 0 1 0 1 1

(a, b) (b, c) (a, e) (c, d) (d, e) (c, e)


ca

e d

be1 e2

e3e4

e5

e6

71


72/117

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1

2 0 1 1 1 1 0 0 0 0

3 0 0 0 1 1 1 1 1 0

4 0 0 0 0 0 0 1 1 1

(1) (1, 2) (2) (2, 3) (2, 3) (3) (3, 4) (3, 4) (1, 4)


21

4 3

e1

e2e3

e5e4

e6

e7

e8

e9

72


73/117

Danh sách kề

Cách 1: int ke[MAX][MAX]; int soDinhKe[MAX];

Cách 2: list ke[MAX];



74/117

Ma trận kề & Ma trận liên thuộc int a[MAX][MAX];



75/117

Chọn lựa cách biểu diễn nào là phù hợp?



76/117

1. Hãy biểu diễn các đồ thị sau đây bằng 3 cách biểu

diễn đã học. Liệu có thể biểu diễn được?


21

4 3

21

4 3

5

76


77/117

2. Hãy biểu diễn các đồ thị sau bằng các cách biểu

diễn đã họca) K4b) K1,4c) C4d) K2, 3



78/117

3. Hãy vẽ các đồ thị vô hướng cho bởi ma trận kề sau:


1 3 2

3 0 4

2 4 0

1 2 0 1

2 0 3 0

0 3 1 1

1 0 1 0

0 1 3 0 4

1 2 1 3 0

3 1 1 0 1

0 3 0 0 2

4 0 1 2 3

78


79/117

4. Hãy mô tả hàng và cột của ma trận kề của đồ thị

tương ứng với đỉnh cô lập.5. Các đơn đồ thị với ma trận kề sau đây có đẳng cấu

không?


0 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 0 11 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 11 1 1 0

79


80/117

6. Các đồ thị sau đây có đẳng cấu?


a)

b)

80


81/117

7. Các đồ thị sau đây có đẳng cấu?


a)

b)

81


82/117

ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH



83/117

Đường đi (path) (độ dài n) từ u tới v trong một đồ thị

vô hướng là một dãy các cạnh e1, e2 … en của đồ thịsao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2}… f(en) = {xn-1,xn}, với x0 = u và xn = v.

Khi đồ thị là đơn ta ký hiệu đường đi này bằng dãy

các đỉnh x0, x1, … xn.



84/117

Đường đi được gọi là chu trình (cycle/circuit) nếu nó

bắt đầu và kết thúc tại một đỉnh (nghĩa là u = v). Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không đi

qua cùng một cạnh quá một lần.



85/117

{a, b, c, e, d} là một đườngđi độ dài 4.

{a, b, e, d} không là đườngđi.

{a, b, c, e, a} là một chutrình.

{c, e, d, e, c} không phải làmột đường đi đơn.


ca

e d

b

85


86/117

Nếu 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, nó sẽ có các chu

trình có cùng độ dài k vói nhau, trong đó k > 2.

(Điều này suy ra Nếu điều kiện trên không thỏa,nghĩa là 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau)



87/117


a

f b

e c

d

1

6 2

5 3

4a

f b

e c

1

5 2

4 3

87


88/117

LIÊN THÔNG



89/117

Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông

(connected) nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnhphân biệt của đồ thị.

Ngược lại, đồ thị này được gọi là không liên thông(disconnected).



90/117



91/117

Một đồ thị không liên thông sẽ bao gồm nhiều đồ thị

con liên thông, các đồ thị con này được gọi là cácthành phần liên thông (connected component).



92/117


a b

c

k l

g

d e

h

i j

f

92


93/117

Định lý: Nếu một đồ thị G (không quan tâm liên

thông hay không) có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, chắc chắnsẽ có một đường đi nối 2 đỉnh này.

Chứng minh:

TH1: G liên thông: rõ ràng có đường nối 2 đỉnh bậclẻ này (do định nghĩa của đồ thị liên thông).

TH2: G không liên thông: các thành phần liên thôngcủa G là một đồ thị. Do đó, theo định lý về số đỉnhbậc lẻ, 2 đỉnh này phải thuộc về cùng một thànhphần liên thông. Do vậy, phải có đường nối.



94/117

Số cạnh tối đa của một đơn đồ thị không liên thông

G gồm n đỉnh và k thành phần là:


2

)1)(( k nk n

94


95/117

Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh (strongly

connected) nếu có đường đi từ a tới b và từ b tới avới mọi cặp đỉnh a và b của đồ thị.

Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu (weaklyconnected) nếu có đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của

đồ thị vô hướng nền. Đồ thị có hướng được gọi là liên thông một phần

(unilaterally connected) nếu với mọi cặp đỉnh a, bbất kỳ, có ít nhất một đỉnh đến được đỉnh còn lại.



96/117


1 2

3

4

5

1 2

3

4

5

96


97/117

Đỉnh khớp (cut vertex/ articulation point) của một đồ

thị vô hướng là đỉnh mà nếu xóa đỉnh này khỏi đồ thịvà các cạnh nối đến nó thì số thành phần liên thôngcủa đồ thị sẽ tăng thêm.

Cạnh cầu (bridge) của một đồ thị vô hướng là cạnh

mà nếu xóa đi khỏi đồ thị thì số thành phần liênthông của đồ thị sẽ tăng thêm.

Đồ thị song liên thông (biconnectivity) là đồ thị khôngchứa đỉnh khớp.



98/117



99/117

Khả năng liên thông (connectivity) hay khả năng liên

thông đỉnh (vertex connectivity) (G) của một đồ thịlà tập có lực lượng nhỏ nhất các đỉnh mà khi xóacác đỉnh này đi đồ thị không còn liên thông nữa.

Một đồ thị G được gọi là k – liên thông (k–

connectivity) hay k – liên thông đỉnh (k-vertex-connectivity) khi (G) ≥ k.

Như vậy, một đồ thị đầy đủ Kn, theo định nghĩa sẽ có(G) = n – 1.

Đồ thị song liên thông chính là đồ thị 2 – liên thông.

Ghi chú: đọc là kappa.



100/117

1. Mỗi danh sách các đỉnh sau đây có tạo nên đường

đi trong đồ thị đã cho hay không? Đường đi nào làđường đi đơn? Đường đi nào là chu trình? Độ dàicủa các đường đi?a) a, e, b, c, d

b) a, e, a, d, b, c, a

c) e, b, a, d, b, ed) c, b, d, a, e, c


ca b

d e

100


101/117

2. Hãy tìm thành phần liên thông mạnh của các đồ thị

có hướng sau:


ca b

f e d

ca b

h g f

d

e

101


102/117

3. Các đồ thị sau đây có phải là đồ thị song liên thông?

a) K3b) K4c) K2,3d) C5



103/117

CÁC PHÉP DUYỆT ĐỒ THỊ



104/117

Depth First Search

Nguyên lý: Khởi từ một đỉnh, đi theo các cạnh(cung) xa nhất có thể. Trở lại đỉnh sau của cạnh xanhất, tiếp tục duyệt như trước cho đến đỉnh cuốicùng.



105/117


a b

c

g

d e

h f

1 2

3

4

5 6

78

105


106/117

procedure DFS(v)

begin

ThămĐỉnh(v);

chưaXét[v] = false;

for u Kề(V) do

if chưaXét[u] then

DFS(u);

end



107/117


a b

c

g

d e

h f

1 2

3

4

5 6

78

ChưaXét[ ] a b c d e f g H

Khởi tạo T T T T T T T T

Thăm lần 1 F T T T T T T T

Thăm lần 2 F F T T T T T T

Thăm lần 3 F F F T T T T T

Thăm lần 4 F F F T T T F T

Thăm lần 5 F F F F T T F T

Thăm lần 6 F F F F F T F TThăm lần 7 F F F F F F F T

Thăm lần 8 F F F F F F F F

F: Đỉnh hiện tạiF: Đỉnh chọn đ ược ở bướck ế tiếp.

107


108/117

Chương trình chính

BEGIN

for v V do

chưaXét[v] = true;

for v V do

if chưaXét[v] then

DFS(v);//BFS(v)

END.



109/117

Breadth First Search

Ý tưởng: Đỉnh “gần” ưu tiên thăm trước



110/117


a b

c

g

d e

h f

1 2

3

4

5 7

86

110


111/117

procedure BFS(v)

beginQUEUE = ;QUEUE v; // Kết nạp v vào QUEUEchưaXét[v] = false;

while QUEUE do

p

QUEUE;ThămĐỉnh(p);

for u Kề(p) doif chưaXét[u] then

QUEUE u;chưaXét[u] = false;

end;



112/117


ChưaXét[ ] a b c d e f g H

Khởi tạo T T T T T T T T

Thăm lần 1 F T T T T T T TThăm lần 2 F F T T T T T T

Thăm lần 3 F F F T T T T T

Thăm lần 4 F F F T T T F T

Thăm lần 5 F F F F T T F T

Thăm lần 6 F F F F T T F FThăm lần 7 F F F F F T F F

Thăm lần 8 F F F F F F F F

F: Đỉnh hiện tạiF: Đỉnh chọn đ ược ở bướck ế tiếp.

a b

c

g

d e

h f

1 2

3

4

5 7

86

112


113/117

VÍ DỤ MINH HỌA



114/117


115/117

Yêu cầu

Khi khảo sát các đảo ở một vùng biển, người ta ghikết quả khảo sát lại thành một bản đồ nhị phân trongđó số 0 cho biết biển và số 1 là đất liền. Một đảochính là một miền liên thông 4 các số 1 trên bản đồ.Từ một bản đồ cho trước, hãy đếm số lượng đảocủa vùng biển.



116/117

Từ một đồ thị vô hướng, liên thông cho trước, liệu có

thể định hướng lại thành đồ thị có hướng liên thôngmạnh?

(định lý: Đồ thị vô hướng liên thông là định hướngđược khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhấtmột chu trình)



117/117

Documents

Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt