MATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. Probabilidades ?· Todos los problemas proceden del ... Construimos el…

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  • MATEMTICAS 2 BACH. CC. SS. 4 de abril de 2006 Probabilidades 1) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A/ B) = 0.35.

    a) Cul es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? (2 puntos) b) Cul es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? (2 puntos)

    2) En una agrupacin musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupacin estn jubilados. a) Cul es la probabilidad de que un componente de la agrupacin, elegido al azar,

    est jubilado? (2 puntos) b) Sabiendo que un componente de la agrupacin, elegido al azar, est jubilado

    cul es la probabilidad de que sea mujer? (2 puntos) 3) En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son va-

    rones y, de stos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las nias nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recin nacido entre los 200 citados. a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. (1 punto) b) Si el recin nacido que se elige tiene los ojos azules, cul es la probabilidad de

    que sea un varn? (1 punto)

  • Examen 4/04/06 Soluciones Prof. R.Mohigefer Pgina 1

    Soluciones Todos los problemas proceden del conjunto de exmenes propuestos para Selectividad de los aos 2.003 a 2.005 1) Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A/ B) = 0.35.

    a) Cul es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? (2 puntos) El suceso Al menos uno de ellos es el suceso unin (su verificacin requiere que suceda A B o ambos a la vez): AB. Sabemos que: P(AB) = P(A)+P(B)P(AB)

    Como los sucesos son independientes, P(A/B)=P(A)=0,35. Tambin conocemos P(B)=0,05.

    Por la frmula de la probabilidad condicionada, P(A/B) = )(

    )(BP

    BAP

    P(AB) = P(A/B)P(B) = 0,350,05 = 0,0175 Segn todo lo anterior: P(AB) = 0,35+0,050,0175 = 0,3825 b) Cul es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? (2 puntos) Nos piden la probabilidad de que suceda A y, a la vez (es decir, interseccin), que no suceda B (es decir, que suceda BC): P(ABC). Si A y B son independientes, tambin lo son A y BC (discutiremos esto ms abajo). Es decir, P(A/BC)= P(A). Por tanto, usando la definicin de probabilidad condicio-nada: P(ABC) = P(A/BC)P(BC) = P(A)P(BC) = P(A)(1P(B)) = 0,35(10,05) = 0,3325 Retomamos la discusin aplazada. Si A y B son independientes, la verificacin de B no influye en la de A. Por tanto, la no verificacin de B tampoco. Luego A y BC son, igualmente, independientes. Pero podemos demostrarlo con rigor. El suceso BC/A consiste en, sabiendo con seguridad que A se ha verificado, que no se cumpla B. Su suceso contrario es, entonces, B/A porque, en nuestra situacin, seguimos sabiendo con seguridad que A se ha verificado. Como la probabilidad de un suceso ms la de su contrario suman 1: P(BC/A)+ P(B/A) = 1 P(BC/A) = 1P(B/A) = 1P(B) = P(BC) porque sabemos que A y B son independientes, por lo que P(B/A)=P(B). Pues bien:

    P(A/BC) =)(

    )(C

    C

    BPBAP =

    )()(

    C

    C

    BPABP =

    )()()/(

    C

    C

    BPApABP =

    )()()(

    C

    C

    BPApBP = P(A)

    Luego A y BC son, tambin, independientes, como queramos demostrar.

    2) En una agrupacin musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupacin estn jubilados. a) Cul es la probabilidad de que un componente de la agrupacin, elegido al azar,

    est jubilado? (2 puntos) ste es un problema tpico de probabilidad total. Hay dos experiencias aleatorias sucesivas: escoger un componente al azar y anotar su sexo (H=hombre M=mujer). A continuacin, una vez conocido el sexo, anotar si est jubilado (J) o no lo est (JC). Construimos el correspondiente diagrama en rbol (adjunto). Tenemos en cuenta para ello que, en cada situacin, todas las probabilidades de las distintas po-sibilidades deben sumar 1. Por ejemplo, en la situa-cin de partida, todas las probabilidades son H M.

    0,4

    0,6

    H

    M

    0,3

    0,7

    J

    JC

    0,2

    0,8

    J

    JC

  • Examen 4/04/06 Soluciones Prof. R.Mohigefer Pgina 2

    Por tanto, si el 60% de los componentes son M, el resto (los H) constituyen el 40%. Igualmente, en la situacin de tener escogida una persona que es H, como el 30% estn jubilados, los no jubilados (JC) son el 70%. Etc. Entonces, la probabilidad de cada rama terminal del rbol es el producto de las pro-babilidades de las distintas ramas recorridas desde el punto origen (a la izquierda) hasta dicho punto terminal. Y eso es as por la definicin de probabilidad condicio-nada. Por ejemplo, calculemos la probabilidad de la primera rama terminal (la pri-mera J). Cuando llegamos ah es porque hemos escogido una persona que ha sido, en primer lugar, H y, adems, J. O sea: P(JH) = P(J/H)P(H) = 0,30,4 = 0,12 Pues bien, una vez explicado cmo se construye el rbol y cmo funciona, para ave-riguar la probabilidad de escoger a un jubilado, por el teorema de la probabilidad to-tal, sumamos las probabilidades de las distintas terminales donde aparece J: P(J) = P(J/H)P(H) + P(J/MP(M) = 0,30,4 + 0,20,6 = 0,24 b) Sabiendo que un componente de la agrupacin, elegido al azar, est jubilado

    cul es la probabilidad de que sea mujer? (2 puntos) Y ste es un problema tpico de probabilidades a posteriori (Frmula de Bayes):

    P(M/J) = J)(

    J)M(P

    P = J)(

    M)J(P

    P = J)(

    M)(J/M)(P

    pP = 24,0

    6,02,0 = 0,5

    3) En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son va-

    rones y, de stos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las nias nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recin nacido entre los 200 citados. a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. (1 punto) Este problema se puede enfocar igual que el anterior, aunque despus lo haremos de otra forma. Construimos el correspondiente diagrama en rbol (V=varn; M=mujer;

    A=tener los ojos azules; AC=no tener los ojos azules), teniendo en cuenta los datos del problema, la frmula de probabilidad de Laplace y las indicaciones dadas en el problema anterior. Entonces, por el Teorema de la Probabilidad Total (suma de todas las ramas terminales en las que apare-ce A):

    P(A) = P(A/V)P(V) + P(A/M)P(M) = 10521

    200105 +

    9538

    20095 =

    20059 = 0,295

    De otra forma: El problema puede enfocarse mediante una tabla de contingencia. En primer lugar, ponemos los datos que nos da el problema (tabla de la izquierda) y, a continuacin, considerando los totales, rellenamos los datos que nos faltan (tabla fi-nal, de la derecha):

    200105

    20095

    V

    M

    10521

    10584

    A

    AC

    9538

    9557

    A

    AC

    A AC Total V 21 105M 38

    Total 200

    A AC Total V 21 84 105 M 38 57 95

    Total 59 141 200

  • Examen 4/04/06 Soluciones Prof. R.Mohigefer Pgina 3

    Segn los datos de la tabla completa, por Laplace, obtenemos el mismo resultado que antes:

    P(A) = 20059 = 0,295

    b) Si el recin nacido que se elige tiene los ojos azules, cul es la probabilidad de

    que sea un varn? (1 punto) Abordando el problema por la forma del esquema en rbol, por la Frmula de Ba-yes:

    P(V/A) = (A)

    A)V(P

    P = (A)

    V)(A/V)(P

    PP =

    20059

    200105

    10521

    =

    2005920021

    = 5921 = 0,3559

    Y por tablas de contingencia:

    P(V/A) = 5921 = 0,3559

    porque, de entre los 59 nios con ojos azules, 21 son varones, segn vemos en la tabla de contingencia.

  • MATEMTICAS 2 BACH. CC. SS. 15 de mayo de 2002 Probabilidades 1) Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las

    proporciones 30%, 20% y 50% respectivamente. En cada enfermo slo se presenta una de estas 3 causas. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalizacin en el 20% de los casos si est provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) Cul es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad

    no necesite hospitalizacin? (1,5 puntos) b) Si un enfermo est hospitalizado, cul es la probabilidad de que la causa sea A? (1,5 puntos)

    2) En una poblacin normal con varianza conocida se ha tomado una muestra de tama-o 49 y se ha calculado su media: x =4,2. Determine la varianza de la poblacin sa-biendo que el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional es (3.64, 4.76). (3 puntos)

    3) Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son P(A)= 2/3 y P(B)= . a) Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? Por qu? (1,5 puntos) b) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P(AB) (1,5 p) c) Suponiendo que AB = E, calcule P(AB). (1 punto)

  • Examen 15/05/02 Soluciones Prof. R.Mohigefer Pgina 1

    Soluciones 1) Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las

    proporciones 30%, 20% y 50% respectivamente. En cada enfermo slo se presenta una de estas 3 causas. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalizacin en el 20% de los casos si est provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) Cul es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad

    no necesite hospitalizacin? (1,5 puntos) Como en el problema 2 del examen anterior, construi-mos el rbol de probabilidades, teniendo en cuenta que la suma de las probabilidades de todas las posibilidades de cada situacin deben sumar 1, resultando el esque-ma de la izquierda. Por el Teorema de la probabilidad total, sabemos que l