Lenguaje algebraico

1 Llamando n a un número cualquiera, traduce a lenguaje algebraico lossiguientes enunciados:

a) La mitad de n.

b) La mitad de n menos cuatro unidades.

c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n.

d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n.

2 Utiliza el lenguaje algebraico para expresar:

a) Un múltiplo cualquiera de cinco.

b) Un múltiplo cualquiera de dos.

c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos.

d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre cinco.

3 Completa, con una expresión algebraica, la casilla que va emparejada a n:

3n�1

a) b) – 4

c) d) 2 · (n + 3)n – 42

n2

n2

a) 5 · k b) 2 · k

c) 2k + 1 d) 5k + 3

1 2 3 4 10 n

4 7 10 13 31 ?

1

4 Escribe una ecuación para cada enunciado y trata de encontrar, en cadacaso, el número que cumple la condición expresada:a) Si a cierto número, x, le restas 20 y doblas el resultado, obtienes 10.b) El triple de un número, x, coincide con el valor obtenido al sumarle

10 unidades.c) La mitad de un número coincide con el valor que se obtiene

al restarle 11.

6 Demuestra que la suma de dos pares consecutivos nunca es múltiplo de 4.Dos pares consecutivos son de la forma 2x y 2x � 2:

2x � 2x � 2 � 4x � 2

4x es múltiplo de 4, pero no 2. Por tanto, 4x � 2 no es múltiplo de 4.

7 Demuestra que la suma de tres números naturales consecutivos es igualal triple del mediano.

8 Demuestra que la suma de tres números impares consecutivos siemprees múltiplo de 3.Los números son

Es múltiplo de 3.

9 Demuestra que si a cualquier número le sumamos tres, después dupli-cas el resultado, restas uno, vuelves a duplicar y restas el cuádruplo del núme-ro, obtienes siempre 10, sea cual sea el número inicial.

a) 2(x – 20) = 10

2x – 40 = 10 → 2x = 50 → x = 25

b)3x = x + 10

2x = 10 → x = 5

c) = x – 11

x = 2x – 22 → x = 22

x2

x + (x – 1) + (x + 1) = 3x

Mediano → xAnterior → x – 1Posterior → x + 1

2x + 1, 2x + 3 y 2x + 5:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 6x + 9 = 3 (2x + 3)

[(x + 3) · 2 – 1] · 2 – 4x = (2x + 6 – 1) · 2 – 4x = 4x + 10 – 4x = 10

2

Operaciones con monomios

10 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:

11 Reduce:

12 Quita paréntesis y reduce:

a) 5x2 b) x

c) –7xy d) a5

e) a2b4 f ) – a3b3

a) 2 b) 1

c) 2 d) 5

e) 6 f ) 6

12

34

34

a) 6x b) 7x2

c) 5x – 1 d) 2x2 + 2x

e) 2x2 – 2 f ) x + 3

a) 3x + 2x + x b) 5x2 + 2x2

c) 3x – 5 + 2x + 4 d) x2 + x + x2 + x

e) 3x2 – x2 + 5 – 7 f ) 3x + x2 – 2x – x2 + 3

a) (x – 1) – (x – 5) = x – 1 – x + 5 = 4

b) 2x + (1 + x) = 2x + 1 + x = 3x + 1

c) 5x – (3x – 2) = 5x – 3x + 2 = 2x + 2

d) (3x – 4) + (3x + 4) = 3x – 4 + 3x + 4 = 6x

e) (1 – x) – (1 – 2x) = 1 – x – 1 + 2x = x

f ) (2 – 5x) – (3 – 7x) = 2 – 5x – 3 + 7x = 2x – 1

a) (x – 1) – (x – 5) b) 2x + (1 + x)

c) 5x – (3x – 2) d) (3x – 4) + (3x + 4)

e) (1 – x) – (1 – 2x) f ) (2 – 5x) – (3 – 7x)

3

13 Opera y reduce:

Operaciones con polimonios

14 Reduce las siguientes expresiones:

15 Quita paréntesis y reduce:

a) 14x2 b) 3x3

c) –6x3 d) 3x3

e) x2 f ) 2x

g) –3x4 h) 2x2

a) 2x · 7x b) 12x · x2

c) 2x · 3x · (–x) d) (–5x) · (– x2)e) x8 : x6 f ) 6x4 : 3x3

g) (–6x5) : (2x) h) ( x4) : ( x2)13

23

35

14

a) 2x2 – 2x + 8 b) x + 2

c) 3x2 – 8x + 2 d) x2 + 2x – 18

a) 2 – 5x2 + 7x2 – 2x + 6 b) (x + 1) – (x – 1) + x

c) (2x2 – 3x – 8) + (x2 – 5x + 10) d) (2x2 – 3x – 8) – (x2 – 5x + 10)

a) (5x2 – 6x + 7) – (4x2 – 5x + 6) = 5x2 – 6x + 7 – 4x2 + 5x – 6 = x2 – x + 1

b) (x2 – 4x – 5) + (x2 + 3x – 1) = x2 – 4x – 5 + x2 + 3x – 1 = 2x2 – x – 6

c) (2x2 – 5x + 3) + (3x2 + 5x) + (x2 + x – 3) =

= 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x + x2 + x – 3 = 6x2 + x

d) (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x) = x2 – 4 + x + 5 – x2 + x = 2x + 1

a) (5x2 – 6x + 7) – (4x2 – 5x + 6)

b) (x2 – 4x – 5) + (x2 + 3x – 1)

c) (2x2 – 5x + 3) + (3x2 + 5x) + (x2 + x – 3)

d) (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x)

4

16 Reduce:

17 Considera los polinomios:

18 Completa las casillas vacías:

a) (2x2 – 5x + 6) – 2(x2 – 3x + 3) = 2x2 – 5x + 6 – 2x2 + 6x – 6 = x

b) 2(5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4) = 10x2 – 8x + 4 – 8x2 + 7x – 4 = 2x2 – x

c) 3(x – 2) – 2(x – 1) – (x + 1) = 3x – 6 – 2x + 2 – x – 1 = –5

d) 2(x2 – 1) + 4(2x – 1) – 11x = 2x2 – 2 + 8x – 4 – 11x = 2x2 – 3x – 6

a) (2x2 – 5x + 6) – 2(x2 – 3x + 3)

b) 2(5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4)

c) 3(x – 2) – 2(x – 1) – (x + 1)

d) 2(x2 – 1) + 4(2x – 1) – 11x

A = x3 – 5x + 4, B = 3x2 + 2x + 6 y C = x3 – 4x – 8

Calcula:

a) A + B b) A – B

c) A – C d) B + C

e) A + B + C f ) A – B – C

a) A + B = x3 + 3x2 – 3x + 10 b) A – B = x3 – 3x2 – 7x – 2

c) A – C = –x + 12 d) B + C = x3 + 3x2 – 2x – 2

e) A + B + C = 2x3 + 3x2 – 7x + 2 f ) A – B – C = –3x2 – 3x + 6

a) x2 + – 9 b) – 5x2 – 6x +

+ + 2x + + 2x3 – 3x2 + – 8

4x2 + 8x – 2 5x3 – – 2x – 1

a) x2 + 6x – 9 b) 3x3 – 5x2 – 6x + 7

0

000

000

3x2 + 2x + 7 2x3 – 3x2 + 4x – 8

4x2 + 8x – 2 5x3 – 8x2 – 2x – 1

5

19 Calcula:

20 Calcula:

21 Completa las casillas vacías:

9x3 + 15x2 – 18x 2x4 + 5x3 – 3x2 + x

9x3 + 0 – 43x + 30 2x4 + 9x3 + 7x2 – 5x + 2

a) 3x · (x3 – 2x + 5) = 3x4 – 6x2 + 15x

b) (x + 2) · (x – 5) = x2 – 5x + 2x – 10 = x2 – 3x – 10

c) (x2 – 2) · (x2 + 2x – 3) = x4 + 2x3 – 3x2 – 2x2 – 4x + 6 = x4 + 2x3 – 5x2 – 4x + 6

d) (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1) = x5 – 3x4 + x3 – 5x4 + 15x3 – 5x2 + x2 – 3x + 1 =

= x5 – 8x4 + 16x3 – 4x2 – 3x + 1

a) 3x · (x3 – 2x + 5) b) (x + 2) · (x – 5)

c) (x2 – 2) · (x2 + 2x – 3) d) (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)

a) 2x2 – x + 3 b) x3 – 2x2 – 5x – 1

2x – 5 x2 – 3x – 2

– 10x2 + 5x – 15 – 2x3 + 4x2 + 10x + 2

4x3 – 2x2 + 6x – 3x4 + 6x3 + 15x2 + 3x4x3 – 12x2 + 11x – 15 x5 – 2x4 – 5x3 – x2

x5 – 5x4 – x3 + 18x2 + 13x + 2

a) – x + 3× –

– + – 15– 2x2 +

– 12x2 + – 000

00

00

00

0 b) – – – 1× – –

– + + + 2– + + + 3x

x5 – 2x4 – 5x3 – x2

– – + + + 000000

000

000

000

000

3x – 5 x + 2

– 15x2 – 25x + 30 4x3 + 10x2 – 6x + 2

a) 3x2 + 5x – 6 b) 2x3 + 5x2 – 3x + 1

a) 3x2 + 5x – 6 b) 2x3 + 5x2 – 3x + 1× 3x – 5 × x + 2

� �

� �

6

22 Reduce:

24 Calcula:

25 Opera y reduce:

a) x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x) = 5x2 – 4x – 2x2 + 2x = 3x2 – 2x

b) (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2 = 2x3 + x2 – x3 + x2 = x3 + 2x2

c) (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1) = 3x2 + 3x – x – 1 – 2x2 + x – 2x + 1 = x2 + x

d) (2x – 3) (x + 1) – (x2 – x – 4) = 2x2 + 2x – 3x – 3 – x2 + x + 4 = x2 + 1

e) (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x) = 2x2 + 3 – 2x – 2x2 + 2 + 2x = 5

a) x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x)

b) (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2

c) (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1)

d) (2x – 3) (x + 1) – (x2 – x – 4)

e) (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x)

a) 3x – 2 b) 2x2 – 3x + 1

c) x3 + 5x – 6 d) 2x2 + 5x

e) x2 – 3x + 4 f ) x2 – 2x + 3

a) (15x – 10) : 5 b) (12x2 – 18x + 6) : 6

c) (x4 + 5x2 – 6x) : x d) (2x4 + 5x3) : x2

e) (2x3 – 6x2 + 8x) : 2x f ) (5x3 – 10x2 + 15x) : 5x

a) 12x2 : (6x · 2x) = 12x2 : 12x2 = 1

b) (12x2 : 6x) · 2x = 2x · 2x = 4x2

c) (24x3) : [(4x2) : (2x)] = 24x3 : 2x = 12x2

d) [(24x3) : (4x2)] : (2x) = 6x : 2x = 3

e) [x3 – (x3 – x2)] : x2 = (x3 – x3 + x2) : x2 = x2 : x2 = 1

f ) (18x2) : [6 – 3(3x + 2)] = 18x2 : (6 – 9x – 6) = 18x2 : (–9x) = –2x

p y

a) 12x2 : (6x · 2x) b) (12x2 : 6x) · 2x

c) (24x3) : [(4x2) : (2x)] d) [(24x3) : (4x2)] : (2x)

e) [x3 – (x3 – x2)] : x2 f ) (18x2) : [6 – 3(3x + 2)]

7

Productos notables y extracción de factor común

26 Calcula sin hacer la multiplicación y, luego, comprueba multiplicando:

27 Transforma cada expresión en un cuadrado:

28 Extrae factor común en estas sumas:

a) (x + 6)2 b) (8 + a)2

c) (3 – x)2 d) (ba – 3)2

e) (x + 4) · (x – 4) f ) (y – a) (y + a)

g) (2x – 3)2 h) (3a – 5b)2

i ) (3x – 5)2 j ) (2x + 1) · (2x – 1)

k) ( – x)2l ) (x2 + y)2

a) x2 + 12x + 36 b) 64 + 16a + a2

c) 9 – 6x + x2 d) (ba)2 – 6ba + 9

e) x2 – 16 f ) y2 – a2

g) 4x2 – 12x + 9 h) 9a2 – 30ab + 25b2

i) 9x2 – 30x + 25 j) 4x2 – 1

k) – x + x2 l) x4 + 2x2y + y243

49

23

a) (x + 3)2 b) (x – 5)2

c) (x + 1)2 d) (x + )2

e) (2x – 1)2 f ) (3x – 2)2

12

a) x2 + 6x + 9 b) x2 – 10x + 25

c) x2 + 2x + 1 d) x2 + x +

e) 4x2 – 4x + 1 f ) 9x2 – 12x + 4

14

a) 5a + 5b – 5c b) 3a – 4ab + 2ac

c) x2 + 2x d) 2x – 4y

e) 3x + 6y + 9 f ) 6x2 – 3x2 + 9x3

8

29 Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes paradescomponer en factores las siguientes expresiones:

a) 5 (a + b – c ) b) a (3 – 4b + 2c )

c) x (x + 2) d) 2 (x – 2y)

e) 3 (x + 2y + 3) f ) 3x2 (2 – 1 + 3x)

g) 3x (1 – 2x + 3x2) h) x2 (1 – 10x2 + 2x6)

i) 2ab (3a + 2b) j) xy (x – y)

k) 5x2 (3x2 + x + 2) l) 2xy (5x2y – x + 2y3)

g) 3x – 6x2 + 9x3 h) x2 – 10x4 + 2x8

i) 6a2b + 4ab2 j) x2y – y2x

k) 15x4 + 5x3 + 10x2 l) 10x3y2 – 2x2y + 4y4x

a) x 2 + 2xy + y2 b) 4a2b4 – 4ab2 + 1

c) 4x2 – 4x + 1 d) 3x3 – 3x

e) 6x2 – 9x3 f ) 5x2 + 10x + 5

g) 4x2 – 25 h) 16x6 – 64x5 + 64x4

i) 5x4 + 10x3 + 5x2 j) x4 – x2

k) 3x2 – 27 l) 3x3 – 18x2 + 27x

m) x4 – 1 n) x4 – 2x2 + 1

a) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

b) 4a2b4 – 4ab2 + 1 = (2ab2 – 1)2

c) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2

d) 3x3 – 3x = 3x (x2 – 1) = 3x (x + 1) (x – 1)

e) 6x2 – 9x3 = 3x2 (2 – 3x)

f ) 5x2 + 10x + 5 = 5 (x + 1)2

g) 4x2 – 25 = (2x + 5) (2x – 5)

h) 16x6 – 64x5 + 64x4 = 16x4 (x2 – 4x + 4) = 16x4 (x – 2)2

i) 5x2 + 10x + 5 = 5 (x + 1)2

j) x4 – x2 = x2 (x2 – 1) = x2 (x + 1) (x – 1)

5x4 + 10x3 + 5x2 � 5x2(x2 + 2x + 1) � 5x2(x + 1)2

9

30 Saca factor común en el numerador y en el denominador y despuéssimplifica:

k) 3x2 – 27 = 3 (x2 – 9) = 3 (x + 3) (x – 3)

l) 3x3 – 18x2 + 27x = 3x (x2 – 6x + 9) = 3x (x – 3)2

m) x4 – 1 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

n) x4 – 2x2 + 1 = (x2 – 1)2 = [(x – 1) (x + 1)]2 = (x – 1)2 (x + 1)2

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)x2y – x3y 2

x2y 2x2 + x

2x3 + 2x2

x3 – x5x2 – 5

a2 + ab + ab2 + ab + b

3x3 – x2

x3 + 2x2x3 + x2

2x3 – 3x2

5x2 + 10xx + 2

4 – 6x6x2 – 9x3

a) = =

b) = = 5x

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = =

g) = =

h) = = 1 – xyy

x2y (1 – xy)x2y2

x2y – x3y 2

x2y 2

12x

x (x + 1)2x2 (x + 1)

x2 + x2x3 + 2x2

x5

x (x2 – 1)5 (x2 – 1)

x3 – x5x2 – 5

ab

a (a + b + 1)b (b + a + 1)

a2 + ab + ab2 + ab + b

3x – 1x + 2

x2 (3x – 1)x2 (x + 2)

3x3 – x2

x3 + 2x2

x + 12x – 3

x2 (x + 1)x2 (2x – 3)

x3 + x2

2x3 – 3x2

5x (x + 2)x + 2

5x2 + 10xx + 2

23x2

2 (2 – 3x)3x2 (2 – 3x)

4 – 6x6x2 – 9x3

10

31 Descompón en factores los numeradores y los denominadores, tenien-do en cuenta los productos notables, y después simplifica:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) 3x2 + 3x + 3x3 + x2 + x

3x4 – 9x2

x2 – 3

2x4 – 2x3

4x4 – 4x2

2x + 14x2 + 4x + 1

2x2 – 8x + 2

x2 – y2

x2 – 2xy + y2

x2 – 4x2 – 4x + 4

x2 + 2x + 1x2 – 1

a) = =

b) = =

c) = =

d) = = = 2 (x – 2)

e) = =

f ) = = = =

g) = = 3x2

h) = = 3x

3 (x2 + x + 1)x (x2 + x + 1)

3x2 + 3x + 3x3 + x2 + x

3x2 (x2 – 3)x2 – 3

3x4 – 9x2

x2 – 3

x2 (x + 1)

x (x – 1)2 (x + 1) (x – 1)

x (x – 1)2 (x2 – 1)

2x3 (x – 1)4x2 (x2 – 1)

2x4 – 2x3

4x4 – 4x2

12x + 1

2x + 1(2x + 1)2

2x + 14x2 + 4x + 1

2 (x + 2) (x – 2)x + 2

2 (x2 – 4)(x + 2)

2x2 – 8x + 2

x + yx – y

(x + y) (x – y)(x – y)2

x2 – y2

x2 – 2xy + y2

x + 2x – 2

(x + 2) (x – 2)(x – 2)2

x2 – 4x2 – 4x + 4

x + 1x – 1

(x + 1)2

(x + 1) (x – 1)x2 + 2x + 1

x2 – 1

11

33 Calcula la suma de los 50 primeros números naturales:

34 Completa la tabla siguiente:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50

S = 50 + 49 + 48 + 47 + … + 2 + 1

2S = 51 + 51 + 51 + 51 + … + 51 + 51

2S = 50 · 51 = 2 550 → S = 1275

1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50

SUMANDOS CÁLCULO TOTAL

1 1

2 1 + 2

3 1 + 2 + 3

4 1 + 2 + 3 + 4

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5

… …

10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (10 · 11) : 2 55

50 1 + 2 + 3 + … + 50

n 1 + 2 + 3 + … + n

… …

(50 · 51) : 2 1 275

n(n + 1) : 2 (n2 + n) · 2

(5 · 6) : 2 15

(4 · 5) : 2 10

(3 · 4) : 2 6

(2 · 3) : 2 3

1 1

SUMANDOS CÁLCULO TOTAL

1 1

2 1 + 2

3 1 + 2 + 3

4 1 + 2 + 3 + 4

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5

… …

10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (10 · 11) : 2 55

50 1 + 2 + 3 + … + 50

n 1 + 2 + 3 + … + n

12

35 En esta figura formada por tres rectángulos elementales, se pueden apreciar 6 rectángulos de diferentes tamaños.

¿Cuántos rectángulos de diferentes tamañoshay en una figura formada por cuatro rec-tángulos elementales?

¿Y si son cinco los rectángulos elementales? ¿Y si son seis?… ¿Y si son n ?

• Figura con 4 rectángulos elementales:

Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10

ántos rectángulos de diferentes tamañosen una figura formada por cuatro rectán-

l l ?

3 de un módulo

2 de dos módulos

1 de tres módulos

4 rectángulos de 1 módulo

3 rectángulos de 2 módulos

2 rectángulos de 3 módulos

1 rectángulo de 4 módulos

13

• Figura con 5 rectángulos elementales:

Total: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

• Figura con n rectángulos elementales:

Tendrá, en total:

5 rectángulos de 1 módulo

4 rectángulos de 2 módulos

3 rectángulos de 3 módulos

2 rectángulos de 4 módulos

1 rectángulo de 5 módulos

,n · (n – 1)

2n 2 – n

2 n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 2 + 1 = = rectángulos

14

e n g u a j e a l g e b r a i c o

1 Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraicapara cada uno de los siguientes enunciados:

a) El triple de x.

b)La mitad de su anterior.

c) El resultado de sumarle tres unidades.

d)La mitad de un número tres unidades mayor que x.

e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades.

f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x.

a) 3x b) c) x + 3

d) e) 3 · (x + 5) f ) 3x + 5

2 Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series:

a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ?

b)3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ?

c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ?

d)4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ?

a) an = 2n b) bn = 2n + 1 c) cn = 5n d) dn = 5n – 1

3 Copia y completa las casillas vacías.

4 El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4.Escribe los cinco primeros términos de dicha serie.

an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21

1 2 3 4 5 … n

1 3 6 10 15 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

2 –7 –22 –43 –70 … 5 – 3n2

1 2 3 4 5 … n

10 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

–22 … 5 – 3n2

x + 32

x – 12

L

15

5 El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión:

an =

Calcula los términos a5, a9 y a15.

an = 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22

6 Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula

a =

completa la tabla.

7 Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraica-mente:

a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.

b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.

c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y enNavidad.

a) 0,8x

b) x + 0,8x 8 1,8x

c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x

8 Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados:

a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado,obtienes el triple de dicho número.

b)Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes laedad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge.

Edad de Jorge ÄÄ8 x

Edad del padre ÄÄ8 x + 33

a) = 3x

b) 3x + 5 = x + 33

x + 152

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a 0 2 4 3 6

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a

3b + 2c5

3n – 12

3n – 12

16

o n o m i o s

9 Copia y completa.

10 Opera.

a) 2x + 8x b)7a – 5ac) 6a + 6a d)15x – 9xe) 3x + x f ) 10a – ag) a + 7a h)2x – 5xi) 9x + 2x j) 9a – 9a

a) 2x + 8x = 10x b) 7a – 5a = 2a

c) 6a + 6a = 12a d) 15x – 9x = 6xe) 3x + x = 4x f ) 10a – a = 9ag) a + 7a = 8a h) 2x – 5x = –3x

i) 9x + 2x = 11x j) 9a – 9a = 0

11 Reduce.

a) 3x + y + 5x b)2a + 4 – 5ac) 7 – a – 5 d)3 + 2x – 7

e) 2x + 3 – 9x + 1 f ) a – 6 – 2a + 7

g) 8a – 6 – 3a – 1 h)5x – 2 – 6x – 1

a) 3x + y + 5x = 8x + y b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4

c) 7 – a – 5 = –a + 2 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4

e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1

g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3

M O N O M I O 8a2—xy3 a3b

C O E F I C I E N T E 82—3

1

PA RT E L I T E R A L a xy a3b

G R A D O 1 2 4

M O N O M I O 8a2—xy3

C O E F I C I E N T E 1

PA RT E L I T E R A L a3b

G R A D O

M

17

12 Quita paréntesis y reduce.

a) x – (x – 2) b)3x + (2x + 3)

c) (5x – 1) – (2x + 1) d)(7x – 4) + (1 – 6x)

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1)

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)

a) x – (x – 2) = 2

b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3

c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2

d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x

f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3

h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2

13 Opera y reduce.

a) 5x · 2 b)6x : 2

c) 3x · 4x d)12x : 3x

e) x · 6x f ) x2 : x

g) x2 · x3 h)x5 : x2

i) 3x · 5x3 j) 15x6 : 5x4

k) (–2x2) · (–3x4) l) (–20x8) : 5x7

m) x3 · (–3x3) n) x2 : (–2x3)

ñ) x · x2 o) x : x3

a) 5x · 2 = 10x b) 6x : 2 = 3xc) 3x · 4x = 12x2 d) 12x : 3x = 4

e) x · 6x = 4x2 f ) x2 : x = 3x

g) x2 · x3 = x5 h) x5 : x2 = x3

i) 3x · 5x3 = 15x4 j) 15x6 : 5x4 = 3x2

k) (–2x2) · (–3x4) = 6x6 l) (–20x8) : 5x7 = –4x

m) x3 · (–3x3) = –4x6 n) x2 : (–2x3) = –

ñ) x · x2 = o) x : x3 = 9x2

16

32

x3

323

12

15x

25

43

14

34

23

16

32

23

12

25

43

14

34

23

18

o l i n o m i o s

14 Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x3 + 3x2 + 2x – 6 b)4 – 3x2

c) 2x5 – 4x2 + 1 d)7x4 – x3 + x2 + 1

a) Grado 3. b) Grado 2.

c) Grado 5. d) Grado 4.

15 Reduce.

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 b)3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 d)5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 = 2x2 – 3x – 4

b) 3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1 = x2 + 7x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 = x3 + 4x2 – 6xd) 5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4 = 6x3 – 7x2 – x + 3

16 Quita paréntesis y reduce.

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3)

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) d)(3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x)

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x2 – 3x – 2

b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3) = 4x2 – 2x + 3

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) = 2x2 – 2x + 9

d) (3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x) = 4x2 – 8x – 3

17 Copia y completa.

18 Considera los polinomios siguientes:

A = 3x3 – 6x2 + 4x – 2 B = x3 – 3x + 1 C = 2x2 + 4x – 5

Calcula.

a) A + B b)A + B + C c) A – Bd)B – C e) A + B – C f ) A – B – C

a) A + B = 4x3 – 6x2 + x – 1 b) A + B + C = 4x3 – 4x2 + 5x – 6

c) A – B = 2x3 – 6x2 + 7x – 3 d) B – C = x3 – 2x2 – 7x + 6

e) A + B – C = 4x3 – 8x2 – 3x + 4 f ) A – B – C = 2x3 – 8x2 + 3x + 2

2x3 – 3x2 + 4x – 8+ 4x3 + 5x2 – 5x – 2

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ 2x2 + 4x – 1

5x2 – x – 6

■■x3 – 3x2 + ■■x – 8+ 4x3 + ■■x2 – 5x – ■■

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ ■■x2 + ■■x – ■■

5x2 – x – 6

P

19

19 Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo:

• (–x2) · (4x3 – 7x2 – x + 9) =

= 4x3 · (–x2) – 7x2 · (–x2) – x · (–x2) + 9 · (–x2) =

= –4x5 + 7x4 + x3 – 9x2

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2)

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1)

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1)

d)x2 · (5x2 + 3x + 4)

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2)

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x + 4

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1) = –8x2 + 20x + 4

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1) = 3x4 – 4x3 – 6x2 – x

d) x2 · (5x2 + 3x + 4) = 5x4 + 3x3 + 4x2

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2) = –2x4 + 4x3 – 6x2 – 4x

20 Reduce.

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2)

b)5(x – 2) – 2(2x + 1)

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5)

d)4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1)

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3)

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4

b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x2 – 8x – 13

d) 4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1) = 5x2 – 23x + 9

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3) = 3x2 – 14x + 9

21 Multiplica.

a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5)

c) (2x + 3) · (3x – 4) d)(x + 1) · (x2 + x + 1)

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)

a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x2 – 5x + 3

b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x2 – 17x + 10

c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x2 + x – 12

d) (x + 1) · (x2 + x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) = 4x3 – 8x2 + 7x – 2

f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1) = 3x4 – 4x3 + 11x2 + 13x + 2

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3) = 2x5 – 9x4 + 26x2 + 6x – 9

20

22 Resuelto en el libro de texto.

23 Calcula.

a) (x2 + 1) · (x – 2) b) (2x2 – 1) · (x2 + 3)

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) d)(x2 + 2) · (x3 – 3x + 1)

a) (x2 + 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2

b) (2x2 – 1) · (x2 + 3) = 2x4 + 5x2 – 3

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) = 6x4 – 9x3 – 4x2 + 10x – 6

d) (x2 + 2) · (x3 – 3x + 1) = x5 – x3 + x2 – 6x + 2

24 Opera como en el ejemplo.

• (x2 + 3) · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) + 3 · (x2 – 1) =

= x3 – x2 + 3x2 – 3 = x3 + 2x2 – 3

a) (x + 1) · (x2 + 4) b) (x3 + 1) · (x2 + 5)

c) (x2 – 2) · (x + 7) d)(x3 – 3x + 5) · (2x – 1)

a) (x + 1) · (x2 + 4) = x3 + x2 + 4x + 4

b) (x3 + 1) · (x2 + 5) = x5 + 5x3 + x2 + 5

c) (x2 – 2) · (x + 7) = x3 + 7x2 – 2x – 14

d) (x3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x4 – x3 – 6x2 + 13x – 5

25 Reduce.

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1)

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2)

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2)

d)(4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12)

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1) = 5x + 1

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x2 + 5x – 10

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2) = 3x2 – 8x + 7

d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12) = 2x2 – 4x – 3

26 Resuelto en el libro de texto.

27 Realiza las divisiones siguientes:

a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 c) (3x2 – x) : xd)(4x3 – 8x2) : 2x e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x f ) (12x3 + 9x2) : 3x2

a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3 b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1

c) (3x2 – x) : x = 3x – 1 d) (4x3 – 8x2) : 2x = 2x2 – 4x

e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x = 2x2 – x + 3 f ) (12x3 + 9x2) : 3x2 = 4x + 3

21

r o d u c t o s n o t a b l e s y e x t r a c c i ó n d e f a c t o r c o m ú n

28 Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

a) 3x + 3y + 3z b)2x – 5xy + 3xzc) a2 + 3a d)3a – 6be) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x2 + 12x3

g) 9a + 6a2 + 3a3 h)2a2 – 5a3 + a4

a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z )

b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z )

c) a2 + 3a = a (a + 3)

d) 3a – 6b = 3(a – 2b )

e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z )

f ) 4x – 8x2 + 12x3 = 4x (1 – 2x + 3x2)

g) 9a + 6a2 + 3a3 = 3a (3 + 2a + a2)

h) 2a2 – 5a3 + a4 = a2(2 – 5a + a2)

29 Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los pro-ductos notables.

a) (x + 3)2 b) (3 + a)2

c) (2 – x)2 d)(a – 6)2

e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2

g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5)

a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2

c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36

e) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2

g) (x – 5) · (x + 5) = x2 – 25 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x2 – 25

30 Resuelto en el libro de texto.

31 Descompón en factores.

a) x2 – 6x + 9 b)x3 – 9xc) 3x2 + 6x + 3 d)2x3 – 12x2 + 18xe) x4 – x2 f ) 4x2 + 4x + 1

a) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3)

b) x3 – 9x = x (x2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3)

c) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1)

d) 2x3 – 12x2 + 18x = 2x · (x2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3)

e) x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x + 1) · (x – 1)

f ) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)

P

22

32 Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, sim-plifica.

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

33 Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, sim-plifica.

a) b)

c) d)

e) f )

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = = 3(x + 1)5x

3(x + 1)2

5x (x + 1)3x2 + 6x + 3

5x2 + 5x

1x – 3

2x (x – 3)2x (x – 3)2

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x + 15x

(x + 1)2

5x (x + 1)x2 + 2x + 15x2 + 5x

1x – 1

3(x + 1)3(x + 1)(x – 1)

3x + 33x2 – 3

5x + 3

5(x + 3)(x + 3)2

5x + 15x2 + 6x + 9

x + 3x – 3

(x + 3)(x – 3)(x – 3)2

x2 – 9x2 – 6x + 9

3x2 + 6x + 35x2 + 5x

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x2 + 2x + 15x2 + 5x

3x + 33x2 – 3

5x + 15x2 + 6x + 9

x2 – 9x2 – 6x + 9

x – 1x2

2x (x – 1)2x3

2x2 – 2x2x3

23x

2x (x + 5)3x2(x + 5)

2x2 + 10x3x3 + 15x2

1x + 2

xx (x + 2)

xx2 + 2x

23

2(x + 1)3(x + 1)

2x + 23x + 3

2x2 – 2x2x3

2x2 + 10x3x3 + 15x2

xx2 + 2x

2x + 23x + 3

23