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Mathematiques - ECS1
3
Nombres complexes
Lycee La Bruyere30 avenue de Paris78000 Versailles
c©2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
3 Nombres complexes
3.1 Objectifs
Notation algébrique d’un nombre complexe,partie réelle et partie imaginaire.Conjugué d’un nombre complexe.
On donnera l’interprétation géométrique d’unnombre complexe.
Notation exponentielle. Module, argument.Formules d’Euler et de Moivre.
Brève révision de la trigonométrie.Formules donnant cos(a + b) et sin(a + b).Les racines n-èmes de l’unité pourront êtreétudiées comme exemples d’utilisation de lanotation exponentielle.
3.2 Ensemble des nombres complexes
3.2.1 Le plan complexe
� Plan complexe. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct (O,−→i ,−→j ), à tout
point M(a, b) on associe le nombre complexe z = a + bi
Réciproquement, à tout nombre complexe z = a+bi on peut faire correspondre le pointM du plan de coordonnées (a, b) ou le vecteur −→u de coordonnées (a, b).
On dit que z est l’affixe du point M ou du vecteur −→u et que M (ou −→u ) est l’image dunombre complexe z.
<e(z)
=m(z)
b
a
a + bi
O
On a donc une correspondance entre l’ensemble C des nombres complexes et l’en-semble des points du plan ou des vecteurs du plan
ϕ : R2 −→ C(a, b) 7−→ a + bi
Le plan ainsi utilisé pour représenter géométriquement les nombres complexes seraappelé plan complexe.
2
3.2 Ensemble des nombres complexes � 3
� Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe.
Définition 1. Soit z = a + bi un nombre complexe.
Les nombres a et b s’appellent respectivement la partie réelle et la partie imagi-naire du nombre complexe z. On les note<e(z) et =m(z).
Si<e(z) = 0, on dit que le nombre complexe z est imaginaire pur.
— Un nombre complexe z est réel si et seulement si =m(z) = 0.
— Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si<e(z) = 0.
� Axe réel et axe imaginaire. L’axe (O,−→i ) du plan complexe est appelé axe réel et l’axe
(O,−→j ), axe imaginaire.
� Forme cartésienne d’un nombre complexe.
Définition 2. L’écriture a + bi d’un nombre complexe z s’appelle forme cartésienne dez.
Cette écriture est unique : en effet, si a + bi = a′ + b′i alors a − a′ = (b′ − b)i et enélevant au carré chaque membre, on obtient (a − a′)2 + (b′ − b)2 = 0. Une somme de réelspositifs n’est nulle que si chacun des termes de cette somme est nul, donc a − a′ = 0 etb′ − b = 0, donc a = a′ et b = b′.
3.2.2 Opérations dans C
� addition de deux nombres complexes : Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Lenombre complexe z1 + z2 est déterminé par l’égalité
z1 + z2 = (<e(z1) +<e(z2)) + (=m(z1) + =m(z2))i
� multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel : Soient λ ∈ R et z ∈ C.Le nombre complexe λz est déterminé par
λz = λ<e(z) + (λ=m(z))i
� définition de la multiplication : Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Le nombrecomplexe z1 × z2 est déterminé par l’égalité
z1 × z2 = (<e(z1)<e(z2) − =m(z1)=m(z2)) + (<e(z1)=m(z2) +<e(z2)=m(z1))i
Exercice 1. Exprimer en fonction de x, y, x′, y′ les parties réelles et imaginaires desnombres complexes : A = (x + yi)(x′ + y′i), B = (x + yi)3, C = (y + xi)(x + yi).
3.2.3 Conjugaison. Module
� Conjugué d’un nombre complexe.
4 � Nombres complexes
Définition 3. Le conjugué du nombre complexe z = a + bi est le nombre complexea − bi et est noté z.
Proposition 1. Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.
Proposition 2. Soit z, z′ deux nombres complexes. Alors
z + z′ = z + z′, zz′ = z z′, zn = zn,( zz′
)=
z
z′.
Proposition 3. Pour tout z ∈ C,
<e(z) =z + z
2, =m(z) =
z − z2i
Exemple 1. Mettre sous forme cartésienne le nombre3 + 6i3 − 4i
.
Exercice 2. Discuter, suivant les réels a, b, c, les solutions de l’équation az+bz+c = 0.
�Module d’un nombre complexe.
Proposition 4. Soit z = a + bi un nombre complexe. Alors
zz = a2 + b2.
Définition 4. La quantité zz est toujours positive et on appelle module de z la quantité√zz qui est notée |z|.
Lorsque z = a + bi, on a donc |z|2 = zz = a2 + b2 et |z| =√
a2 + b2.
Proposition 5. Soient z et z′ deux nombres complexes. Alors
(1) |zz′| = |z| × |z′|,
(2)∣∣∣∣∣ zz′
∣∣∣∣∣ =|z||z′|
(lorsque z′ , 0),
(3) |z + z′| ≤ |z| + |z′| (inégalité triangulaire).
Corollaire 1. Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Pour tous nombres complexes z1, z2, . . . , zn,
(1)∣∣∣∣ n∏
i=1
zi
∣∣∣∣ =
n∏i=1
|zi|
3.2 Ensemble des nombres complexes � 5
(2)∣∣∣∣ n∑
i=1
zi
∣∣∣∣ ≤ n∑i=1
|zi| (inégalité triangulaire)
Proposition 6. Pour tout z ∈ C, |z| = |z|.
Proposition 7. Pour tout z ∈ C,∣∣∣<e(z)
∣∣∣ ≤ |z| et∣∣∣=m(z)
∣∣∣ ≤ |z|
Remarque 1. On a l’équivalence :<e(z) = |z| si et seulement si z ∈ R+.
Exercice 3. Montrer que quelques soient les nombres complexes u, v ∈ C,
|u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2).
Exercice 4. Soit (a, b) ∈ R2. Résoudre l’équation : |z| + z = a + bi.
3.2.4 Argument d’un nombre complexe. Notation exponentielle.
�Argument d’un nombre complexe. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct(0,−→i ,−→j ), à tout nombre complexe z non nul, on peut associer l’angle orienté (
−→i ,−−→OM) où
M est l’image de z.
Si θ ∈ R est une mesure de cet angle orienté alors tout réel de la forme θ + 2kπ, k ∈ Z
est aussi une mesure de l’angle orienté.
Réciproquement, si θ′ ∈ R est une autre mesure de l’angle orienté il existe k ∈ Z tel
que θ′ = θ + 2kπ.
Deux nombres réels x et x′ tels qu’il existe m ∈ Z tel que x′ = x + 2mπ sont dits
congrus modulo 2π et on note x ≡ x′[2π].
6 � Nombres complexes
x
y
−1 1
−1
1
cos θ
sin θU(w)
θ I
J
O
Définition 5. On appelle argument de z , 0 et on note arg(z) une mesure quelconquede l’angle orienté (
−→i ,−−→OM) où M est l’image de z.
Le nombre complexe w =z|z|
est de module 1 et son image U est donc situé sur le
cercle trigonométrique. Comme les vecteurs−−→OM et
−−→OU sont colinéaires de même sens, les
angles orientés (−→i ,−−→OM) et (
−→i ,−−→OU) sont égaux. Il existe donc k ∈ Z tel que
arg(w) = arg(z) + 2kπ.
� Forme trigonométrique et notation exponentielle. Si θ = arg(z) alors θ est aussi unargument de w et le point U a pour coordonnées (cos θ, sin θ). On peut donc écrire w =
cos θ + (sin θ)i de sorte que z = |z|(cos θ + (sin θ)i) où θ est un argument de z.
Définition 6. L’écriture précédente du nombre complexe z
z = |z|(cos θ + (sin θ)i)
où θ est un argument de z, s’appelle la forme trigonométrique ou polaire de z.
Important 1. Un nombre complexe est caractérisé par son module et par l’un de ses argu-ments.
Théorème 1. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ontmême module et si leurs arguments sont congrus modulo 2π.
Etant donné deux nombres complexes z et z′,
z = z′ ⇐⇒{
|z| = |z′|arg(z) ≡ arg(z′)[2π].
3.2 Ensemble des nombres complexes � 7
Remarque 2. Un argument de z désignera l’une quelconque de ces mesures, alors que l’ar-gument de z désigne la classe de toutes les mesures de l’angle orienté. Parmi toutes cesmesures, il en existe une et une seule dans tout intervalle de la forme [a, a + 2π[ où a est unnombre réel.
Pour a = 0, la mesure de l’angle orienté (−→i ,−−→OM) comprise dans l’intervalle [0, 2π[
s’appelle l’argument principal de z.
Pour t ∈ R, on note eit le nombre complexe cos t + (sin t)i : c’est l’exponentiellecomplexe.
� La formule d’Abraham de Moivre 1
Proposition 8. Formule de Moivre.
(1) Pour tout n ∈ N, et tout t ∈ R, (cos t + (sin t)i)n = cos nt + (sin nt)i.
(2) On a (cos t + (sin t)i)−1 =1
cos t + (sin t)i= cos(−t) + (sin(−t))i de sorte que la
formule précédente est vraie pour tout n ∈ Z.
Si z est un nombre complexe non nul et si θ est un de ses arguments alors la formetrigonométrique de z s’écrit donc aussi z = |z|eiθ.
La forme trigonométrique d’un nombre complexe fournit le module et un argument dece nombre complexe : si z = r(cos t + (sin t)i) où r ∈ R, r > 0 et θ ∈ R alors |z| = r et θ estun argument de z.
Soit θ et θ′ deux réels. On a alors :
eiθeiθ′ =(cos θ + (sin θ)i)(cos θ′ + (sin θ′)i)=(cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′) + (cos θ sin θ′ + cos θ′ sin θ)i= cos(θ + θ′) + (sin(θ + θ′))i=ei(θ+θ′)
Proposition 9. Soit z, z′ deux nombres complexes non nuls s’écrivant sous forme trigo-nométrique z = |z|eiθ, z′ = |z′|eiθ′ . Alors
zz′ = |z||z′|ei(θ+θ′),zz′
=|z||z′|
ei(θ−θ′).
Conséquence . Soient z, z′ ∈ C, z , 0, z′ , 0 et n ∈ N∗.
arg(zz′) ≡ arg(z) + arg(z′) [2π],
arg( zz′
)≡ arg(z) − arg(z′) [2π]
arg(zn) ≡ n arg(z) [2π]arg(z) ≡ − arg(z) [2π].
1. Abraham de Moivre, 1667-1751. Il quitte la France pour Londres à l’âge de huit ans lors de la révocation de l’éditde Nantes en 1685. Il se lie avec Newton et Halley. Ses travaux portent surtout sur la trigonométrie mais commence vers1709 à étudier les probabilités à partir des travaux de Huygens et MontMort. Son traité Doctrines of chances, paru en 1716,est resté la référence en calcul des probabilité jusquà la parution en 1812 de celui de Laplace , Théorie analytique desprobabilités.
8 � Nombres complexes
Exercice 5. Soient u =
√6 − i
√2
2et v = 1 − i. Calculer le module et un argument de u
et v. En déduire le module et un argument de w =uv
.
Exercice 6. Soit z le nombre complexe1 + i
√3
1 + i. Dire en justifiant si chacune des affir-
mations est vraie ou fausse.
(a)(
1z12
)=
164
(b) z30 = 215
(c) (iz)15 ∈ R
(d) pour tout k ∈ N∗, z12k ∈ R
3.2.5 Exemples et applications
� Formules d’Euler. 2
Proposition 10. Pour tout θ ∈ R
cos(θ) =eiθ + e−iθ
2, sin(θ) =
eiθ − e−iθ
2i.
2. Leonhard Euler, 1707-1783. Fils d’un pasteur élève de Jakob Bernoulli, il fait de brillantes études de philosophieet reçoit des cours particuliers de Johann Bernoulli. Il part à St Petersbourg en 1727, où il obtient (sur recommandation deDaniel Bernoulli) une chaire de philosophie naturelle en 1730 et la chaire de mathématiques (abandonnée par D. Bernoulli)en 1733. Il perd l’oeil droit à cause du climat rude du pays en 1735. En 1741, il est nommé directeur de la section mathéma-tiques et physique à l’académie des sciences de Berlin et Frederick II dira : « J’ai ici un gros cyclope de géomètre. . . ilne reste plus qu’un oeil à notre homme, et une courbe nouvelle, qu’il calcule à présent, pourrait le rendre aveugletout à fait. » En 1732, il montre que le nombre de Fermat F5 = 225
+ 1 et le nombre de Mersenne M31 = 231 − 1ne sont pas premiers. Il prouve la généralisation du (petit) théorème de Fermat : si a et m sont premiers entre euxalors aφ(m) − 1 est divisible par m où φ(m) est le nombre d’entiers naturels inférieurs à m qui sont premiers avec m(φ est dite fonction d’Euler). Il note e la base du logarithme népérien : « ubi e denotat numerum, cuius logarithmushyperbolicus est 1 » (Mechanica, 1736). En 1738, il montre le théorème de Fermat pour les valeurs n = 3, 4. Eulerapporte une contribution principale à l’évolution de la notion de fonction : il est le premier à regarder une fonctioncomme la donnée d’une courbe dans un repère possédant un unique point d’intersection avec les droites verticaleset développa les deux points de vues en parallèle. Il développe l’idée de Johann Bernouilli selon laquelle la trigo-nométrie est une branche de l’analyse et montre que les fonctions sin, cos et exp sont reliées par la formule quiporte son nom :
cos(θ) + sin(θ)i = eiθ.
Il remarqua qu’en retranchant ln n aux sommes partielles 1 +12
+ . . . +1n
de la série harmonique divergente, ladifférence approchait une valeur limite ≈ 0.577216, appelée maintenant costante d’Euler et notée γ. En géométrieélémentaire, il découvre que le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit pour un trianglesont alignés sur une droite (droite d’Euler d’un triangle). Il prouve aussi que pour un polyhèdre, on a la relationS + F = A + 2 où S est le nombre de sommets, F le nombre de faces, et A le nombre d’arêtes. En cherchant
à interpoler la factorielle, il introduit la fonction ∆(x) =
∫ 1
0(− ln t)xdt qu’ Adrien Marie Legendre (1752-1833)
modifiera par le changement de variable y = − ln t pour obtenir la fonction Γ d’Euler
Γ(x) = ∆(x − 1) =
∫ +∞
0yxe−ydy.
3.2 Ensemble des nombres complexes � 9
�Module et argument de 1 + eiθ, 1 − eiθ et eiα + eiβ où θ, α, β sont des nombres réels.
1 + eiθ = ei θ2 (e−i θ2 + ei θ2 ) = 2 cosθ
2ei θ2
Discussion :
— si cos( θ2 ) > 0 alors le module de 1 + eiθ est 2 cos( θ2 ) et un argument estθ
2,
— si cos( θ2 ) < 0 alors le module de 1 + eiθ est −2 cos( θ2 ) et un argument est π +θ
2,
— si cos( θ2 ) = 0 alors 1 + eiθ = 0.
Pour 1 − eiθ, il suffit de remarquer que
1 − eiθ = 1 + ei(π+θ)
et d’utiliser ce qui précède.
La même technique de factorisation donne
eiα + eiβ = ei α+β2 (ei α−β2 + ei −α+β
2 ) = 2 cosα + β
2ei α+β
2
et la discussion est identique.
�Module et argument de nombres complexes remarquables
1 + i =√
2ei π4 , −1 + i =√
2ei 3π4
√3 + i = 2ei π6 , −
√3 + i = 2ei 5π
6
−2i = 2e−i π2
3.2.6 Applications à la trigonométrie
�Calcul de cos(nθ). La méthode est la suivante : on écrit cos(nθ) = <e ((cos(θ) + i sin(θ))n)puis on ne garde dans le développement de (cos(θ) + i sin(θ))n que les termes ayant unecontribution réelle.
Proposition 11. Soit a un nombre réel.
cos(2a) = 2 cos2(a) − 1 = 1 − 2 sin2(a) = cos2(a) − sin2(a)sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
tan(2a) =2 tan(a)
1 − tan2(a)
� Formules d’addition.Retenir les for-mules pour l’ar-gument a + b.Les autres s’ob-tiennent en sub-stituant −b à b.
10 � Nombres complexes
Proposition 12. Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos(a). cos(b) − sin(a). sin(b)cos(a − b) = cos(a). cos(b) + sin(a). sin(b)sin(a + b) = sin(a). cos(b) + sin(b). cos(a)sin(a − b) = sin(a). cos(b) − sin(b). cos(a)
tan(a + b) =tan(a) + tan(b)
1 − tan(a). tan(b)
tan(a − b) =tan(a) − tan(b)
1 + tan(a). tan(b)
Pour obtenir la formule pour sin(a − b), on écrira
sin(a − b) = Im(ei(a−b))= Im(eiae−ib))= Im((cos a + i sin a)(cos b − i sin b))= Im((cos a cos b − sin a sin b) + i(sin a cos b − sin b cos a))= sin a cos b − sin b cos a
� Transformation de produits en sommes. Les formules d’Euler permettent de linéa-riser les expressions faisant intervenir des produits de la forme cos(ax) sin(by) comme dessommes de cosinus et de sinus sans aucun terme produit. Par exemple le produit cos(ax) sin(by)devient
cos(ax) sin(by) =
(eiax + e−iax
2
) (eiby − e−iby
2i
)=
eiax+iby + e−iax+iby − eiax−iby − e−iax−iby
4i
=eiax+iby − e−iax−iby
4i+
e−iax+iby − eiax−iby
4i=
12
sin(ax + by) −12
sin(ax − by)
et s’exprime comme somme de deux sinus.
Proposition 13. Soit a et b deux nombres réels.
cos a cos b =12
[cos(a + b) + cos(a − b)]
sin a sin b =12
[cos(a − b) − cos(a + b)]
sin a cos b =12
[sin(a + b) + sin(a − b)]
Exercice 7. Soit z ∈ C∗. On suppose qu’il existe θ ∈ R tel que z +1z
= 2 cos θ. Montrer
que pour tout n ∈ N∗, zn +1zn = 2 cos nθ.
3.2 Ensemble des nombres complexes � 11
Exercice 8. Linéariser cos2 x sin3 x puis cos4(2x) et déterminer une primitive des fonc-tions x 7→ cos2 x sin3 x et x 7→ cos4(2x).
� Calcul de cosn θ ou sinn θ. Exposons la méthode. On écrit cosn θ = <e((
eiθ + e−iθ
2
)n)puis on regroupe après développement de
(eiθ + e−iθ
2
)n
les termes de la forme (ei`θ + e−i`θ).
Par exemple,
24 cos4 θ = <e((eiθ + e−iθ)4)= e4iθ + e−4iθ + 4(e2iθ + e−2iθ) + 6= 2 cos 4θ + 8 cos 2θ + 6
donc cos4 θ =18
cos 4θ +12
cos 2θ +38
� Autres formules
Proposition 14.
cos p + cos q = 2 cosp + q
2cos
p − q2
cos p − cos q = −2 sinp + q
2sin
p − q2
sin p + sin q = 2 sinp + q
2cos
p − q2
sin p − sin q = 2 sinp − q
2cos
p + q2
� Formules sommatoires. On considère, pour a ∈ R et θ ∈ R, les expressions S =La méthode està retenir.
n∑k=0
sin(a + kθ) et C =
n∑k=0
cos(a + kθ) qu’on cherche à simplifier, c’est à dire à les exprimer
sans symbole∑
:
C + iS =
n∑k=0
cos(a + kθ) + in∑
k=0
sin(a + kθ)
=
n∑k=0
cos(a + kθ) + i sin(a + kθ)
=
n∑k=0
ei(a+kθ)
=
n∑k=0
eiaeikθ
= eian∑
k=0
(eiθ)k
Discussion :
— si eiθ = 1, c’est à dire, si θ est un multiple entier de 2π alors C + iS = (n + 1)eia doncC = (n + 1) cos a et S = (n + 1) sin a
12 � Nombres complexes
— sinon,
C + iS = eia e(n+1)θ − 1eiθ − 1
= eia e(n+1)θ
2 (2i sin( (n+1)θ2 ))
ei θ2 2i sin θ2
=sin((n + 1) θ2 ))
sin( θ2 ))ei(a+n θ
2 )
donc
C =sin((n + 1) θ2 ))
sin( θ2 ))cos (a + n
θ
2) et S =
sin((n + 1) θ2 ))
sin( θ2 ))sin (a + n
θ
2).
3.3 Equations du second degré dans C
3.3.1 Racines carrées d’un nombre complexe non nul
� Problème. Étant donné un nombre complexe a ∈ C non nul, existe t-il des nombrescomplexes z tels que z2 = a ?
Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement |z| =√|a| et arg(z2) =
arg(a)[2π] donc arg(z) =12
arg(a)[π]. Ainsi, si z vérifie z2 = a alors |z| =√|a| et il
existe k ∈ Z tel que arg(z) =12
arg(a) + kπ, c’est à dire qu’il existe k ∈ Z tel que
z =√|a|ei( 1
2 θ0+kπ), où θ0 est un argument de a. Réciproquement, tout nombre complexez de la forme
√|a|ei( 1
2 θ0+kπ) avec k ∈ Z vérifie z2 = a. En effet,
(√|a|ei( 1
2 θ0+kπ))2 = |a| e2i( 12 θ0+kπ) = |a| eiθ0 e2ikπ = a
Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème. Pour k ∈ Z, posons zk =√|a|ei( 1
2 θ0+kπ). On vient de voir que tous les nombres zk pour k ∈ Z vérifie z2k = a. A quelle
condition deux de ces nombres sont-ils égaux ? Soient m, n deux entiers relatifs :
zm = zn ⇐⇒√|a|ei( 1
2 θ0+mπ) =√|a|ei( 1
2 θ0+nπ)
⇐⇒ eimπ = einπ
⇐⇒ ei(m−n)π = 1⇐⇒ m − n pair
Par conséquent, deux tels nombres complexes ayant des indices de même parité sont égaux,et comme z1 = −z0, il n’y a que deux solutions au problème initial opposées l’une de l’autre.
Théorème et définition 1. Etant donné un nombre complexe a non nul, il existe deuxnombres complexes z tels que z2 = a. Ces deux nombres complexes ont pour module√|a| et pour arguments respectifs,
12
arg(a) et12
arg(a) + π. Ils sont opposés l’un del’autre et sont appelés les racines carrées du nombre complexe a.
Exemple 2. a =√
3 + i = 2ei π6 a pour racines carrées√
2ei π12 et −
√2ei π
12
� Recherche algébrique. Le théorème ci-dessus précise des arguments pour les racinescarrées à condition de connaître explicitement un argument du nombre complexe a dont oncherche les racines carrées.
3.3 Equations du second degré dans C � 13
Il arrive souvent que les arguments d’un nombre complexes ne soient pas directementaccessibles et une recherche algébrique est alors bien adaptée à la recherche de racinescarrées.
Exposons la méthode.
On suppose donné le nombre complexe a sous la forme X + iY avec Y , 0 (sinon a estréel et le problème devient trivial). On cherche les racines carrées sous la forme z = x + iyoù (x, y) ∈ R2.
(x + iy)2 = X + iY ⇐⇒ x2 − y2 = X et 2xy = Y,
⇐⇒
x2 − y2 = X
xy =Y2
x2 + y2 =√
X2 + Y2 (équation des modules)
⇐⇒
x2 =
12
(X +√
X2 + Y2)
y2 = −12
(X −√
X2 + Y2)
xy =Y2
Introduisons ε(Y) le signe de Y : ε(Y) = 1 si Y > 0 et ε(Y) = −1 si Y < 0, et posons
x0 =
√12
(X +√
X2 + Y2), y0 = ε(Y)
√12
(√
X2 + Y2) − X.
Les deux racines carrées de a cherchées sont alors x0 + iy0 et −x0 − iy0.
Exemple 3. Cherchons les racines carrées de −3 − 4i en suivant la métode ci dessus. Oncherche donc x et y tels que
(x + iy)2 = −3 − 4i⇐⇒
x2 − y2 = −3xy = −2x2 + y2 =
√32 + 42 = 5
⇐⇒
x2 = 1y2 = 4xy = −2
⇐⇒
{x = 1y = −2 ou
{x = −1y = 2
Les racines carrées de −3 − 4i sont donc 1 − 2i et −1 + 2i.
Exercice 9. Trouver les racines carrées des nombres complexes suivants 3 + 4i, 5 +
12i, 9 + 40i et 4ab + 2(a2 − b2)i où a et b sont des nombres réels.
Exercice 10. En calculant les racines carrées du nombre complexe√
3+i de deux façons,déterminer les valeurs de cos
π
12et sin
π
12.
3.3.2 Equations du second degré dans C
� Problème. Étant donnés tros nombres complexes a, b, c avec a , 0, l’équation az2 + bz +
c = 0 a-t-elle des solutions dans C ?
14 � Nombres complexes
On peut écrire
az2 + bz + c = a(z +
b2a
)2
+ c −b2
4a
donc
az2 + bz + c = 0⇐⇒ a(z +
b2a
)2
+ c −b2
4a= 0
⇐⇒
(z +
b2a
)2
=b2 − 4ac
4a2 .
Si b2 − 4ac = 0 alors l’équation az2 + bz + c = 0 possède une unique solution qui est−b2a
.
Si b2 − 4ac , 0, appelons ω et −ω les racines carrées complexe de b2 − 4ac. Dans cecas,
az2 + bz + c = 0⇐⇒(z +
b2a
)2
=
(ω
2a
)2
⇐⇒
(z +
b2a−ω
2a
) (z +
b2a
+ω
2a
)= 0
⇐⇒ z =−b − ω
2aou z =
−b + ω
2a
Définition 7. La quantité b2 − 4ac s’appelle discriminant du trinôme aX2 + bX + c.
� Cas où a, b, c sont réels.
— Si ∆ = b2 − 4ac > 0 alors ω et −ω sont réels et l’équation az2 + bz + c = 0 possèdedeux solutions réelles distinctes qui sont
−b −√
∆
2aet−b +
√∆
2a
— Si ∆ = b2 − 4ac = 0 alors l’équation az2 + bz + c = 0 possède une seule solution
réelle :−b2a
— Si ∆ = b2 − 4ac < 0 alors ∆ = (i√−∆)2 et l’équation az2 + bz + c = 0 possède deux
solutions complexes distinctes conjuguées qui sont
−b − i√−∆
2aet−b + i
√−∆
2a
Exemple 4. Soit à résoudre l’équation z2 − 2(2 + i)z + (6 + 8i) = 0. Le discriminant dutrinôme associée est ∆ = (2(2 + 2i))2 − 4(6 + 8i) = 4(−3 − 4i) = (2(1 − 2i))2. Les solutionsde l’équation sont donc
2(2 + i) − 2(1 − 2i)2
= 1 + 3i et2(2 + i) + 2(1 − 2i)
2= 3 − i.
Exercice 11. Résoudre l’équation z2 − (5 − 14i)z − 2(12 + 5i) = 0.
3.3 Equations du second degré dans C � 15
3.3.3 Racines n-èmes d’un nombre complexe non nul où n ≥ 2.
� Problème. Étant donné un nombre complexe a ∈ C non nul, existe t-il des nombresCette sectionest à la limitedu programme.Elle n’est pasexigible mais ilest profitable decomprendre laméthode.
complexes z tels que zn = a ?
On reprend la démarche adoptée pour le cas des racines carrées.
Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement |z| =n√|a| et arg(zn) =
arg(a)[2π] donc arg(z) =1n
arg(a)[2πn
]. Ainsi, si z vérifie zn = a alors |z| =
n√|a| et
il existe k ∈ Z tel que arg(z) =1n
arg(a) +2kπn
, c’est à dire qu’il existe k ∈ Z tel que
z =n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn ), où θ0 est un argument de a.
Réciproquement, tout nombre complexe z de la forme n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn ) avec k ∈ Z vérifie
zn = a. En effet,
( n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn ))n = |a| eni( 1
n θ0+ 2kπn ) = |a| eiθ0 e2ikπ = a
Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème.
Pour k ∈ Z, posons zk =n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn ). On vient de voir que tous les nombres zk pour
k ∈ Z vérifie znk = a. A quelle condition deux de ces nombres sont-ils égaux ? Soient m,m′
deux entiers relatifs :
zm = z′m ⇐⇒n√|a|ei( 1
n θ0+ 2mπn ) =
n√|a|ei( 1
n θ0+ 2m′πn )
⇐⇒ e2imπ
n = e2im′π
n
⇐⇒ e2i(m−m′ )π
n = 1⇐⇒ il existe ` ∈ Z, m − m′ = `n
Par conséquent, si la différence des indices m−m′ est multiple de n, les nombres complexeszm, z′m sont égaux.
Si les deux indices m,m′ sont tels que 0 ≤ m < m′ ≤ n − 1 (c’est à dire tous deuxcompris entre 0 et n − 1 mais distincts) il est impossible pour m − m′ d’être un multipleentier de n et donc zm et z′m sont distincts. Les nombres complexes z0, z1, . . . , zn−1 sont doncdes solutions deux à deux distinctes de l’équation zn = a. Il y a donc au moins n solutions.
Soit un indice k ∈ Z. Par division euclidienne, il existe un quotient q ∈ Z et un reste ravec 0 ≤ r ≤ n − 1 tel que k = nq + r. On a alors
zk =n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn )
=n√|a|ei( 1
n θ0+2(nq+r)π
n )
=n√|a|ei( 1
n θ0+ 2rπn +2qπ)
=n√|a|ei( 1
n θ0+ 2rπn )
= zr
On vient de montrer que tout nombre complexe solution est égal à l’un des nombres com-plexes z0, z1, . . . , zn−1 et il y a donc au plus n solutions à l’équation zn = a. Par suite, il y ena exactement n.
Théorème et définition 2. Etant donné un nombre complexe a non nul et un entiern ≥ 2, il y a exactement n nombres complexes z tels que zn = a. Ces nombres sontappelés les racines n-èmes du nombre complexe a. Ce sont les nombres complexes
zk =n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn )
où k est un entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1 et θ0 un argument de a.
16 � Nombres complexes
Remarque 3. Si n ≥ 3 et Mk est l’image du nombre complexe zk =n√|a|ei( 1
n θ0+ 2kπn ) pour
0 ≤ k ≤ n−1 alors les n points M0,M1, . . . ,Mn−1 sont les sommets successifs d’un polygonerégulier à n côtés inscrit dans le cercle de centre O et de rayon n√
|a|.
� Cas particulier pour a = 1 : racines n-èmes de l’unité. Si a = 1 les n racines n-èmesde 1 sont appelées racines n-èmes de l’unité. Ce sont les nombres complexes e
2ikπn où k est
un entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1.
Exemple 5. Cas simples : n = 2, 3, 4.
— R2(1) = {−1, +1}
— R3(1) = {1, j, j2} avec j = e2iπ3 .
— R4(1) = {−1,+1,−i,+i}
1
i
−1
−i
j
j2
1
w = e2iπ7
w2
w3
w4
w5
w6
� Méthode de recherche des racines n-èmes d’un nombre complexe a non nul. Soita ∈ C, a , 0 : a = |a| eiθ, θ ∈ R. Posons z0 =
n√|a|ei θn .
zn = a⇐⇒ zn = zn0
⇐⇒
(zz0
)n
= 1
⇐⇒ il existe λ racine n−eme de l′unite tel que z = z0λ
Pour obtenir toutes les racines n-ème de a, il suffit de multiplier l’une d’entre elles partoutes les racines n-èmes de l’unité.
3.4 Exercices. � 17
Exemple 6. Cherchons les racines quatrièmes de 3+4i. Pour obtenir une racine particulière,il suffit de chercher z0 ∈ C tel que z2
0 = 3 + 4i puis à nouveau de chercher z1 ∈ C tel quez2
1 = z0. On a vu précédemment que (2 + i)2 = 3 + 4i, on prendra donc z0 = 2 + i. Effectuonsensuite une recherche algébrique pour obtenir une racine carrée de 2 + i. On cherche doncx et y tels que
x2 − y2 = 2
x2(−y2) = −14
xy > 0
x2 et −y2 sont donc les solutions de l’équation t2−2t−14
= 0. Celle ci possède2 −√
52
et2 +√
52
comme solution, donc x2 =2 +√
52
et y2 =
√5 − 22
. Comme le produit xy doit
être strictement positif, on peut prendre z1 =
√2 +√
52
+ i
√√
5 − 22
. Les autres racines
quatrièmes de 3 + 4i sont alors −z1, iz1,−iz1.
3.4 Exercices.
�Manipulations algébrique des nombres complexes.
Exercice 12. Déterminer les nombres réels x et y tels que
(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i
Exercice 13. Déterminer les nombres réels x, y, z et t tels que les deux égalités ci-dessoussoient simultanément vérifiées :
(1 + i)x + (1 + 2i)y + (1 + 3i)z + (1 + 4i)t = 1 + 5i(3 − i)x + (4 − 2i)y + (1 + i)z + 4it = 2 − i
Exercice 14. Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes suivants
(1 + 2i)6, (1 + 2i)5 − (1 − 2i)5
Exercice 15. Etablir l’égalité ci-dessous(cos
π
7+ i sin
π
7
) 1 − i√
32
(1 + i) =√
2(cos
5π84
+ i sin5π84
)
18 � Nombres complexes
Exercice 16. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
A =1 + i tanα1 − i tanα
, B =(1 − i)5 − 1(1 + i)5 + 1
, C =(1 + i
√3)7
3 +√
3i
Exercice 17. On pose j =−1 + i
√3
2= e
2iπ3 .
— Calculer j2 et j3.
— Développer, réduire et simplifier (a + b j + c j2)(a + b j2 + c j).
— Développer, réduire et simplifier (a + b)(a + b j)(a + b j2).
Exercice 18. Montrer que, pour tout z ∈ C,
(z + 1)(z + j)(z + j2) = (1 + z)(1 + jz)(1 + j2z).
où j désigne le nombre complexe e2iπ3 .
� Conjugaison, module, argument
Exercice 19. On suppose que x + yi = (s + ti)n. Montrer que x2 + y2 = (s2 + t2)n
Exercice 20. Montrer que pour tout réel x,
|eix − 1| ≤ |x|
Exercice 21. Montrer en raisonnant par l’absurde que quelque soient les nombres com-plexes a et b,
|a + b|1 + |a + b|
≤|a|
1 + |a|+|b|
1 + |b|
Exercice 22. Soient a, b deux nombres complexes distincts et de module 1. Montrer quepour tout z ∈ C,
iz + abz − (a + b)
a − b∈ R
3.4 Exercices. � 19
Exercice 23. Soient a, b, c trois nombres complexes de module 1 tels que b , c. Montrer
queb(c − a)2
a(c − b)2 ∈ R+.
� Trigonométrie
Exercice 24. Calculer1
sin π18−
√3
cos π18
.
Exercice 25. Transformer les produits suivants en somme :
cos2 x sin3 x, cos5 x
Exercice 26. Soient a et b deux réels tels que sin(a)+sin(b) =√
22 et cos(a)+cos(b) =
√6
2Déterminer sin(a + b).
� Utilisation des nombres complexes pour simplifier des sommes
Exercice 27 (Formules sommatoires). Trouver des formules sommatoires pour lessommes suivantes :
(1) sn =12
cosπ
3+
14
cos2π3
+ . . . +12n cos
nπ3
(2) sn = sin2 π6 + sin2 2π
6 + · · · + sin2 nπ6
� Racines carrées, équations du second degré
Exercice 28. Soit x + yi une racine carrée complexe de a + bi. Déterminer les racinescarrées complexes de −a − bi et −a + bi.
Exercice 29. Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivant :
1± i, 1±√
3,1 + i1 − i
, 1± j, 45− 28i, 5± 12i, −55± 48i, 2ab± (a2 − b2)i,
j désignant le nombre complexe de module 1 : j = e2π3 i.
Exercice 30. Déterminer des nombres complexes a, b, c et d tels que
∀z ∈ C, z4 + 16 = (z − a)(z − b)(z − c)(z − d)
20 � Nombres complexes
Exercice 31. Résoudre les équations suivantes :
1. 9z2 − 3(3 − i)z + 4 − 3i = 0,
2. 6z2 − (5 + i)z + 3 + i = 0,
3. z2 − 2z cosα + 1 = 0
4. z4 − (5 − 14i)z2 − 2(12 + 5i) = 0
5. z4 + 6z3 + 9z2 + 100 = 0
6. z6 + z3 + 1 = 0
Exercice 32. Comment choisir m ∈ C pour que l’équation z2 − (2 + mi)z + (1 + mi) = 0admette deux solutions complexes imaginaires purs conjuguées ?
� Equations faisant intervenir la recherche de racines de l’unité
Exercice 33. Résoudre dans C l’équation z = z3.
3.5 Exercices avancés
Exercice 34. On pose P = cos π7 cos 2π
7 cos 4π7 .
(1) Calculer P sin π7 et en déduire P.
(2) Montrer que 4P = cos π7 + cos 3π
7 − cos 2π7 − 1
(3) En déduire une équation du 3-ème degré dont cos π7 est solution.
Exercice 35. Soit a ∈ R. Résoudre le système :{cos a + cos(a + x) + cos(a + y) = 0sin a + sin(a + x) + sin(a + y) = 0
Exercice 36. Soient z, z′ deux nombres complexes. On désigne par u l’une des racinescarrées du nombre zz′. Démontrer l’égalité
|z| + |z′| =∣∣∣∣∣ z + z′
2+ u
∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣ z + z′
2− u
∣∣∣∣∣ .
Exercice 37. A quelle condition nécéssaire et suffisante sur les nombres complexes z etz′ a-t-on |z + z′| = |z| + |z′| ?
3.5 Exercices avancés � 21
Exercice 38. (1) Soit z un nombre complexe tel que |1 + z| <12
. Montrer que∣∣∣1 + z2
∣∣∣ >1.
(2) Soit z un complexe de module 1 tel que |1 + z| < 1. Montrer que∣∣∣1 + z2
∣∣∣ > 1.
(3) Soient z1 et z2 deux nombres complexes de même module supérieur à 1. Montrerque |z1 + z2| ≥ 1 ou
∣∣∣z21 + z2
2
∣∣∣ ≥ 1.
Exercice 39. Déterminer les triplets (x, y, t) de nombres complexes de module 1 tels que
x + y + t = 1 et xyt = 1
Exercice 40. Soient a, b, c trois nombres complexes de module 1. Montrer que
|a + b + c| = |ab + ac + bc|
Exercice 41. Soit α une racine réelle de l’équation z3 + pz + q = 0 où p, q sont réels.Montrer que αq ≤ p2
4 .
Exercice 42. Soient a, b deux nombres complexes non nuls et z1, z2 les solutions (éven-tuellement confondues) de l’équation z2 + az + b = 0. Montrer que
|z1| = |z2| = 1⇐⇒{
|b| = 1, |a| ≤ 2arg(b) ≡ 2 arg(a) mod (2π)
Exercice 43. Soient a, b deux nombres complexes. Donner une condition nécessaire etsuffisante pour que l’équation z2 + az + b = 0 admette deux solutions ayant mêmemodule.
Exercice 44. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et ω une racine n-ème de l’unitédistincte de 1. Simplifier le nombre A = 1 + 2ω + 3ω2 + . . . + nωn−1.
Exercice 45. Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Résoudre dans C l’équation (z+ i)n + (z− i)n = 0.
22 � Nombres complexes
Exercice 46. Trouver les fonctions f : C −→ C vérifiant
∀z ∈ C, f (z) + z f (1 − z) = 1 + z
3.6 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice 2. Poser z = x + yi.
Indication pour l’exercice 4. Poser z = x + yi.
Indication pour l’exercice 7. Raisonner par récurrence.
Indication pour l’exercice 19. Penser à l’identité x2 + y2 = |x + yi|2
Indication pour l’exercice 20. Etudier la fonction définie par f (x) = |eix − 1|2 − |x|2
Indication pour l’exercice 21. Supposez qu’il existe a ∈ C et b ∈ C tels que|a + b|
1 + |a + b|>
|a|1 + |a|
+|b|
1 + |b|. Alors |a + b| (1 + |a|)(1 + |b|) > (|a| (1 + |b|) + |b| (1 + |a|))(1 + |a + b|)
Développez chaque membre et constatez une absurdité.
Indication pour l’exercice 22. Poser Z = iz + abz − (a + b)
a − bet calculer Z − Z.
Indication pour l’exercice 23. Poser a = eix, b = eiy et c = eiz puis penser à transforma-tion eix − eiy = ei x+y
2 (· · · − · · · )
Indication pour l’exercice 24.1
sin π18−
√3
cos π18
= 2 ×12 cos π
18 −√
32 sin π
18
sin π18 cos π
18
Indication pour l’exercice 26. Effectuer les produits (sin a + sin b)(cos a + cos b), (sin a +
sin b)2 et (cos a + cos b)2.
Indication pour l’exercice 27. (1) Remarquer que le terme général12k cos kπ
3 est la partie
réelle de12k e
ikπ3 =
(12
eiπ3
)k
(2) Une linéarisation de chaque terme peut aider...
Indication pour l’exercice 32.
Indication pour l’exercice 33. Il y a une solution triviale qui est z = 0. Pour le cas z , 0,on pourra multiplier chaque membre par z.
Indication pour l’exercice 36. Calculer le carré de chaque membre
Indication pour l’exercice 37. Etudier le problème en élevant chaque membre au carré.
Indication pour l’exercice 39. On commencera par calculer xy + yt + tx puis on introduirale polynôme P(z) = (z − x)(z − y)(z − t) dont sont racines x, y et t.
3.6 Indications pour les exercices � 23
Indication pour l’exercice 40. Observer qu’on peut supposer a = 1 puis penser qu’unnombre complexe et son conjugué ont même module...
Indication pour l’exercice 43. Chercher d’abord l’exercice précédent.
Indication pour l’exercice 44. Simplifier le nombre (ω − 1)A en n’oubliant pas que ω estune racine n-ème de l’unité.Une racine n-
ème de l’unitéest un nombrecomplexe z vé-rifiant zn = 1.
Indication pour l’exercice 45. Se ramener à l’équation Zn = −1.
Indication pour l’exercice 46. Poser x = f (z) et y = f (1−z) et former un système d’équa-tions dont x, y sont solutions.
