METODO GENERALIZADO DE LA MATRIZ DE … · (MGMT); METODO DE LAS FUNCIONES DE GREEN DE SUPERFICIE (MFGS), RELACIONES Y APLICACIONES EN SISTEMAS SEMICONDUCTORES PERIODICOS JHON HENRY

METODO GENERALIZADO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA

(MGMT); METODO DE LAS FUNCIONES DE GREEN DE SUPERFICIE

(MFGS), RELACIONES Y APLICACIONES EN SISTEMAS

SEMICONDUCTORES PERIODICOS

JHON HENRY VARGAS BELTRAN

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica

Bogota, Colombia

2013

METODO GENERALIZADO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA

(MGMT); METODO DE LAS FUNCIONES DE GREEN DE SUPERFICIE

(MFGS), RELACIONES Y APLICACIONES EN SISTEMAS

SEMICONDUCTORES PERIODICOS

JHON HENRY VARGAS BELTRAN

trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magıster en Ciencias Fısica

Director:

Ph. D. Jhon Morales Aponte

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica

Bogota, Colombia

2013

Dedicatoria

En la memoria de: M.Sc. Leonardo Ramırez,

colega y amigo. Quien me enseno que los suenos

se pueden hacer realidad. Como tambien a la de

mi Padre Henry Vargas.

A mi madre Silvia Beltran, a mi hermano

Edwin Vargas.

A mi Esposa luz Helena Colmenares y a mi hija

Juana Valentina Vargas Colmenares, quienes

me apoyan para seguir luchando en los caminos

de la vida.

Agradecimientos

En primera medida agradezco la direccion del presente trabajo, el profesor John Morales

Aponte, Ph. D. del Departamento de Fısica de la Universidad Nacional de Colombia, que

gracias a sus ensenanzas, fue posible la elaboracion del presente trabajo.

A la enorme ayuda brindada por el profesor Nestor Jaime Torres, Ph. D. Igualmente del

Departamento de Fısica. Donde debido a sus opiniones complementaron grandemente este

trabajo.

Al grupo de estudio del MMT, mis amigos, los profesores Jaider Pena Negrete, Raul Casti-

blanco y Maicol Cardenas, cuyas reuniones dieron los frutos esperados.

Agradezco a todos los profesores y a todas las personas de la Universidad Nacional que

hacen posible que estudiantes como yo, nunca dejen de aprender.

ix

Resumen

El Metodo Generalizado de la Matriz de Transferencia (MGMT) aparece como una alterna-

tiva de investigacion a los fenomenos cuanticos dentro de materiales semiconductores. En el

presente trabajo el (MGMT) es aplicado a los fenomenos de propagacion de una partıcula a

traves de un pozo y una barrera de potencial para el caso cuantico, deduciendo las relaciones

de las amplitudes de dispersion mediante los coeficientes de la matriz de transferencia (trans-

mision y reflexion). Luego se compara el (MGMT) con el Metodo de las Funciones de Green

de Superficie (MFGS) encontrando las relaciones en los sistemas estudiados. Los resultados

teoricos obtenidos son comparados con montajes experimentales analogos a pozos y barreras

de potencial (casos opticos) para ası determinar la veracidad y el alcance del (MGMT), el

cual a saber puede ser aplicado al estudio de muchos otros problemas de propagacion de

ondas y electrones.

Palabras clave: (Matriz de transferencia, Funciones de Green, Pozo y Barrera de Po-

tencial, Coeficientes de Transmision y Reflexion).

Abstract

The Generalized Method of Transfer Matrix (GMTM) appears as a research alternative

to quantum phenomena in semiconductor materials. In this paper the (GMTM) is applied

to the phenomena of propagation of a particle through a well and a potential barrier to the

quantum case, deducing relations scattering amplitudes by the coefficients of the transfer

matrix (transmission and reflection). Then we compare the (GMTM) with Method of the

Green’s Functions Surface (SGFM) finding relationships in the systems studied. The theore-

tical results obtained are compared with experimental setups similar to wells and potential

barriers (optical cases) in order to determine the veracity and scope the (GMTM), which

namely can be applied to study many other problems of propagation of waves and electrons.

Keywords: Transfer Matrix, Green Funtion, Potential Well and Barrier, Transmission

and Reflection Coeficients)

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1. Introduccion 1

1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Metodo Generalizado de la Matriz de Transferencia (MGMT) 3

2.1. Generalidad del Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Matriz de Transferencia (MT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2. Propiedades de la Matriz de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3. Matriz de Dispersion (MD) y Matriz de Transferencia (MT) . . . . . 7

2.2. La Matriz de Transferencia de N-Potenciales Arbitrarios . . . . . . . . . . . 8

3. Matriz de Dispersion (MD) y Matriz de Transferencia (MT) para Potenciales

tipo Delta 10

3.1. Para el Potencial Tipo Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1. En el punto x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2. En los puntos x = −a y x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Bandas de energıa: el potencial de Kronig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Solucion en Sistemas Periodicos, Multiples Barreras de Potencial (MQW) 21

4.1. Pozo de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1. Transmitancia y Reflectancia para el Pozo de Potencial . . . . . . . . 24

4.2. Barrera de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1. Caso donde E > V0 (Ondas Viajeras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.2. Caso donde E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.3. Transmitancia y Reflectancia para la Barrera de Potencial . . . . . . 28

4.3. Transmision a Traves de Sistemas Periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1. Multiples Barreras de Potencial (MQW) . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.2. Matriz Celda Unitaria para N Barreras de Potencial. . . . . . . . . . 33

4.3.3. Modelo de Kronny-Pennig en Barreras de Potencial . . . . . . . . . . 33

4.3.4. Sistemas Periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Contenido xi

5. Metodo de la Funcion de Green y Funciones de Green de Superficie (MFGS) 38

5.1. Ecuacion de Schrodinger Dependiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Ecuacion de Schrodinger Independiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Teorıa de Dispersion en la Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1. La Ecuacion Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. Partıcula Libre en una Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4.1. T-matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.2. S-Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5. Metodo de Funciones de Green de Superficie (MFGS) . . . . . . . . . . . . . 52

6. Analogos Electrodinamicos 54

6.1. Ecuacion de Onda de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. Ecuacion de Onda de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3. Analogos Electrodinamicos y Cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.1. Ecuaciones de Frontera para el Caso Electrodinamico sobre Interfases

Dielectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.2. Equivalencia entre el Coeficiente de Transmision para un Barrera o

Pozo de Potencial con interfases Dielectricas . . . . . . . . . . . . . . 60

6.4. Confirmacion Experimental de los Analogos por Medidas de Transmision sobre

una Pelıcula Delgada-Sustrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4.1. Aplicacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7. Conclusiones y Recomendaciones 72

7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A. Desarrollos teoricos (MQW), Software de Calculo N Barreras 74

A.1. Desarrollos (MT) Barrera de Potencial E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.2. Desarrollos Teoricos MQW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.3. Programa MatLab Calculo de Transmision N Barreras . . . . . . . . . . . . 78

B. Desarrollos Analogos Electrodinamicos 80

B.1. Tabla de Unidades Generalizadas Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 80

B.2. Calculo del Coeficiente de Transmision Caso Optico . . . . . . . . . . . . . . 80

B.2.1. Calculo Matriz Sistema Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B.2.2. Coeficiente M11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.2.3. M11 ·M∗11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.2.4. Codigo Para la Transmitancia en Wolfram Mathematica 7.0 . . . . . 86

B.2.5. Participaciones y eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Bibliografıa 89

Lista de Figuras

2-1. Diagrama esquematico de la interaccion de ondas incidentes sobre una inter-

fase a un potencial arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2-2. Representacion esquematica de multiples potenciales arbitrarios . . . . . . . 8

3-1. Reprentacion esquematica del pozo de potencial tipo delta, donde la energıa

de la onda o partıcula incidente es E > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3-2. Transmitancia y reflactancia para el pozo de potencial tipo delta . . . . . . . 12

3-3. Representacion del pozo de potencial tipo delta en x = a . . . . . . . . . . . 12

3-4. Representacion del pozo de potencial tipo delta en x = −a y x = a . . . . . 13

3-5. Transmitancia calculada para el pozo de potencial tipo delta en x = −a y

x = a, para varios parametros de χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3-6. Valores para los cuales la transmitancia toma los maximos vistos en el espectro

de la figura (3-5) para un parametro de χ = 5,7 . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3-7. Representacion esquematica del modelo Kronig-Penney para el cual, las con-

diciones de borde se resuelven cerrando la cadena de puntos de red . . . . . . 15

3-8. Modelo Kronig-Penney [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3-9. Representacion de la funcion cos k1l + C sin k1lk1l

con C = 20 cuyos valores per-

mitidos de energıa vienen dados por aquellos intervalos de k1 =2mEh2 para los

cuales la funcion esta comprendida entre +1 y −1 en el Modelo Kronig-Penney 20

4-1. Representacion esquematica del pozo de potencial donde E > 0 > V0 . . . . 21

4-2. Representacion esquematica de ondas incidentes y transmitidas (electrones)

sobre una barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4-3. Transmitancia segun ancho de barrera o pozo . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4-4. Coeficiente de transmision en funcion del parametro χ(a,V0), es decir, la opaci-

dad. Con η la razon entre la energıa con la cual incide el electron comparada

con la altura o profundidad del potencial. Cuyos valores de opacidad son:

a)χ = 0,5 b)χ = 2,5 c)χ = 5,7 d)χ = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4-5. Representacion esquematica de multiples barreras de potencial (MQW) . . . 32

4-6. a) Energıa en funcion de la distancia de separacion de las barreras b) Energıa

en funcion del coeficiente de transmision c) Energıa en funcion del logaritmo

del coeficiente de transmision con N = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Lista de Figuras xiii









del coeficiente de transmision con N = 50, 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5-1. a) Funcion de Green retardada b) Funcion de Green avanzada . . . . . . . . 39

5-2. Funciones retardadas de Green en 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5-3. Funcion avanzada de Green en 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5-4. Representacion estado total de la partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5-5. Representacion esquematica de la descripcion fısica de la funcion de Green

luego de interactuar un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5-6. a)Amplitudes de dispersion para la barrera de potencial delta αδ(x). b) Modelo

discreto para el potencial delta cuya discontinuidad esta en el nodo A . . . . 51

5-7. Propagador desde un punto dentro del medio 2, es decir z′µ, a otro punto dentro

del mismo medio zµ, este puede ser expresado directamente, o a traves de la

reflexion dada por la interfaz, mientras que en el otro medio zµ el propagador

puede ser expresado a traves de la transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6-1. Onda electromagnetica propagandose en medios dielectricos . . . . . . . . . 56

6-2. Analogo entre interfases dielectricas con el pozo de potencial . . . . . . . . . 60

6-3. Analogo entre interfases dielectricas con la barrera de potencial . . . . . . . 61

6-4. Vectores de onda para una onda electromagnetica incidente sobre una interfase

dielectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6-5. Analogo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6-6. Espectros de transmision para los valores mostrados por la tabla (6-3), con

la relacion (6-52) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6-7. a) Resultados teoricos a traves del (MMT). b) Datos experimentales reporta-

dos en la literatura[9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6-8. Comparacion de los datos experimentales con el modelo teorico. Los puntos ne-

gros representan la transmitancia para un arreglo, aire-ZnSe-vidrio-aire ;

los ındices de refraccion respectivos son n1 = 1.00029, n2 = 2.569, n3 =

1.67, n1 = 1.00029, con espesores a = 680(nm) para la pelicula semicon-

ductora, y b = 2 (mm) para el sustrato. Los puntos de color azul son las

medidas de transmitancia para cada valor de longitud de onda λ . . . . . . . 71

1. Introduccion

El calculo de valores y vectores propios es indudablemente uno de los mas importantes ob-

jetivos de la fısica, ya que abren la posibilidad de cuantificar y entender propiedades de la

naturaleza. Consecuentemente, el avance de metodos analıticos para la articulacion de estas

cantidades han sido consecuencia de la fısica teorica, de nuevas teorıas enfocadas a brindar

mejores y nuevos metodos de solucion de problemas especıficos de la ciencia[10]. En este

contexto, este trabajo tiene como objetivo fundamental, describir y aplicar los metodos de

la matriz de transferencia (MMT), funciones de Green de superficie (MFGS), en multiples

barreras de potencial (MQW de sus siglas en ingles), y ası, poder identificar nuevas posibles

aplicaciones dentro de la disposicion de laboratorios brindados por la Universidad Nacional

en fısica de materiales semiconductores.

Primero se ilustra el Metodo Generalizado de la Matriz de Transferencia (MGMT), en ondas

propagandose a traves de una placa arbitraria, determinando la matriz para este problema

general y revisando el sentido fısico de cada uno de los coeficientes [16]. Luego se pasa a re-

solver la descripcion del movimiento de un paquete de partıculas cuanticas incidentes en un

campo de potencial arbitrario unidimensional. En principio este problema ha sido resuelto

en variada literatura [2, 6, 11, 27], donde, la ventaja del Metodo de Matriz de Transferencia

(MMT) es reducir el problema de las fronteras al calculo del producto de matrices, deter-

minando las amplitudes de transmision y reflexion mediante funciones de onda incidentes

conocidas.

En la segunda parte de este trabajo se aplica el Metodo de la Matriz de Trasferencia (MMT)

al problema del movimiento de una partıcula a traves del potencial tipo delta de Dirac,

seguido del pozo y barrera de potencial [29].

En la tercera parte se estudia y se aplica el Metodo de las Funciones de Green de Superficie

(MFGS) en el mismo caso analizado con el (MMT), el potencial delta de Dirac, para luego

contrastar estos resultados teoricos. Seguido a esto, se hace la analogıa entre sistemas cuanti-

cos con los casos electrodinamicos, en particular en la transmitancia optica en materiales

semiconductores.

En la parte final del presente trabajo se comparan estos resultados con los obtenidos en

experimentos de transmitancia optica en semiconductores [1, 3, 28].

2 1 Introduccion

Objetivos

1.1. Objetivo General

Conocer y aplicar los metodos de la Matriz de Transferencia (MMT), Funciones de Green

de Superficie (MFGS), en multiples barreras de potencial (MQW de sus siglas en ingles).

1.2. Objetivos Especıficos

Estudio detallado de la Matriz de Transferencia (MT).

Estudio detallado del Metodo de las Funciones de Green de Superficie (MFGS).

Encontrar la matriz de transferencia para barreras y pozos de potencial.

Identificar las ventajas de los metodos estudiados con los tradicionales en el estudio de

materiales semiconductores, en partıculas en pozos periodicos de potencial. (MQW de

sus siglas en ingles).

Comparar los resultados teoricos con los experimentales encontrados en la literatura.

2. Metodo Generalizado de la Matriz de

Transferencia (MGMT)

2.1. Generalidad del Metodo

En el presente capıtulo se discute el metodo matematico utilizado en el analisis de la pro-

pagacion de ondas en sistemas unidimensionales estableciendo su generalidad. Este metodo

es conocido como el Metodo de la Matriz de Transferencia (MMT)[16]. El metodo puede ser

usado en el analisis de propagacion de ondas y/o partıculas, electrones en el caso cuantico,

ondas electromagneticas en el caso optico, e incluso es utilizado tambien en el estudio de

propagacion de ondas mecanicas.

2.1.1. Matriz de Transferencia (MT)

Para demostrar la generalidad del metodo, consideramos la solucion de la ecuacion de onda

independiente del tiempo descrita por la ecuacion (2-1) cuyas soluciones dependen explıci-

tamente del potencial V(x).

Figura 2-1.: Diagrama esquematico de la interaccion de ondas incidentes sobre una interfase a un potencial

arbitrario

Para el caso de una onda incidente sobre un medio de ancho ∆x, se encuentra que cada

ecuacion diferencial para las regiones I, II, III, parten de la ecuacion:

4 2 Metodo Generalizado de la Matriz de Transferencia (MGMT)

d2

dx2ψ(x) +

2m

h2(E − V(x))ψ(x) = 0 (2-1)

obteniendose

d2

dx2ψ(x) + k21ψ(x) = 0 =⇒ x < x1d2

dx2ψ(x) + q21ψ(x) = 0 =⇒ x1 < x < x2d2

dx2ψ(x) + k21ψ(x) = 0 =⇒ x > x2

(2-2)

donde k1 representa el numero de onda en las regiones I y III, y q el numero de onda en la

region II, el comportamiento depende de la parte real e imaginaria del potencial, en este caso

real, pero cuando existen fenomenos de absorcion el potencial tendra una parte imaginaria,

en el primer caso las soluciones toman la forma [11]

ψ(x) =

A(x)e

ikx +B(x)e−ikx x < x1

Cf(x) +Dg(x) x1 < x < x2F(x)e

ikx +G(x)e−ikx x > x2

(2-3)

independientemente de la forma del potencial de la region II, siempre es necesario conocer

un sistema de dos ecuaciones por cada interfase, y construir la matriz de transferencia. Para

obtener este sistema, se evalua en la frontera la funcion de onda y su derivada, obteniendo

de manera general:

Aeikx1 +Be−ikx1 = Cf(x=x1) +Dg(x=x1) ⇒ x = x1

ikAeikx1 − ikBe−ikx1 = Cf ′(x=x1)

+Dg′(x=x1)⇒ x = x1

donde se ha evaluado la funcion y su derivada en la frontera x = x1, reescribiendo esta de

manera matricial tenemos:

(eikx1 e−ikx1

ikeikx1 −ike−ikx1

)(A

B

)=

(f(x1) g(x1)

f ′(x1)

g′(x1)

)(C

D

)(2-4)

ahora despejando el vector columna (A,B), es decir encontrando la matriz inversa del lado

izquierdo de la anterior ecuacion, tenemos:

(A

B

)=

(e−ikx1

2−ie−ikx1

2keikx12

ieikx12k

)(f(x1) g(x1)

f ′(x1)

g′(x1)

)(C

D

)(2-5)

2.1 Generalidad del Metodo 5

donde los valores f(x1), f′(x1)

, g(x1), g′(x1)

, son los valores de las funciones que cumplen las

condiciones de frontera de la funcion de onda arbitraria, y su derivada en dicha interfase.

Haciendo el producto matricial se obtiene:

(A

B

)=

1

2

(e−ikx1(f(x1) − i

kf ′(x1)

) e−ikx1(g(x1) − ikg′(x1)

)

eikx1(f(x1) +ikf ′(x1)

) eikx1(g(x1) +ikg′(x1)

)

)(C

D

)(2-6)

de igual forma, se repite el procedimiento anterior para la segunda interfase en x = x2,

evaluando la continuidad de la funcion y su derivada en ese punto en la ecuacion (2-2)

Cf(x=x2) +Dg(x=x2) = Feikx2 +Ge−ikx2 ⇒ x = x2

Cf ′(x=x2)

+Dg′(x=x2)= ikFeikx2 − ikGe−ikx2 ⇒ x = x2

reescribiendo esta de manera matricial se tiene:

(f(x2) g(x2)

f ′(x2)

g′(x2)

)(C

D

)=

(eikx2 e−ikx2


)(F

G

)(2-7)

ahora despejando el vector columna (C,D), es decir, encontrando la matriz inversa del lado

izquierdo de la anterior ecuacion, se tiene:

(C

D

)=

1

f(x2)g′(x2)

− g(x2)f′(x2)

(g′(x2)

−g(x2)

−f ′(x2)

f(x2)

)(eikx2 e−ikx2


)(F

G

)(2-8)

donde los valores f(x2), f′(x2)

, g(x2), g′(x2)

, son las funciones que cumplen las condiciones de

frontera de la funcion de onda arbitraria, y su derivada en el punto x = x2. haciendo el

producto matricial se obtiene:

(C

D

)=

1

f(x2)g′(x2)

− g(x2)f′(x2)

(e−ikx2(g′(x2)

− ikg(x2)) e−ikx2(g′(x2)+ ikg(x2))

−eikx2(f ′(x2)

− ikf(x2)) −e−ikx2(f ′(x2)

+ ikf ′(x2)

)

)(F

G

) (2-9)

reemplazando en la ecuacion (2-6)


(A

B

)=

1

2

1

f(x2)g′(x2)

− g(x2)f′(x2)(

e−ikx1(f(x1) − ikf ′(x1)

) e−ikx1(g(x1) − ikg′(x1)

)

expikx1(f(x1) +ikf ′(x1)

) eikx1(g(x1) +ikg′(x1)

)

)(

e−ikx2(g′(x2)− ikg(x2)) e−ikx2(g′(x2)

+ ikg(x2))

−eikx2(f ′(x2)

− ikf(x2)) −e−ikx2(f ′(x2)

+ ikf ′(x2)

)

)(F

G

) (2-10)

realizando el producto matricial y obteniendo la matriz inversa de dicho producto, podemos

escribir las amplitudes transmitidas (F,G) en terminos de las amplitudes incidentes (A,B)

(cuando la onda incide por la izquierda) las cuales son conocidas, ya que estas son las

condiciones iniciales de todo experimento. Reescribiendo la ecuacion (2-10), en terminos de

dichas amplitudes, se encuentra:

(F

G

)=MT

(A

B

)MT =

(M11 M12

M21 M22

)(2-11)

donde M11,M12,M21,M22 son los elementos de la matriz de transferencia, que dependen

de los valores que toma la funcion de onda y su derivada en la frontera, y definiendo ϵ =1

2(f ′(x1)

g(x1)−g′(x1)

f(x1)), estos elementos de manera general se escriben:

M11 = ϵeik(x1−x2){f ′(x2)(kg(x1) + ig′(x1)

) + f ′(x1)(kg(x2) − ig′(x2)

)

ik(f(x2)g(x1)k − f(x1)g(x2)k + i(f(x2)g′(x1)

+ f(x1)g′(x2)

))}(2-12)

M12 = ϵe−ik(x1+x2){−f ′(x2)(kg(x1) − ig′(x1)

) + f ′(x1)(kg(x2) − ig′(x2)

)

− ik(f(x2)g(x1)k − f(x1)g(x2)k − i(f(x2)g′(x1)

− f(x1)g′(x2)

))}(2-13)

M21 = ϵeik(x1+x2){−f ′(x2)(kg(x1) + ig′(x1)

) + f ′(x1)(kg(x2) + ig′(x2)

)

ik(f(x2)g(x1)k − f(x1)g(x2)k + i(f(x2)g′(x1)

− f(x1)g′(x2)

))}(2-14)

M22 = ϵe−ik(x1−x2){f ′(x2)(kg(x1) − ig′(x1)

) + f ′(x1)(kg(x2) + ig′(x2)

)

− ik(f(x2)g(x1)k − f(x1)g(x2)k − i(f(x2)g′(x1)

+ f(x1)g′(x2)

))}(2-15)

estos, contienen toda la informacion fısica del sistema estudiado, ya que, relacionan los

numeros de onda de los diferentes medios por los cuales la onda o partıcula viaja. De tal modo

que la matriz de transferencia contiene la descripcion fısica de los fenomenos de propagacion

de ondas y partıculas en medios estratificados.

2.1 Generalidad del Metodo 7

2.1.2. Propiedades de la Matriz de Transferencia

La (MT) describe las amplitudes incidentes de una onda o partıcula sobre un potencial

arbitrario, donde, la transmision y reflexion resultantes luego de la interaccion con la interfase

a potencial V(x) pueden expresarse en terminos de sus coeficientes.

Es de notar, que los coeficientes de la diagonal principal y secundaria se escriben como los

respectivos complejos conjugados, es decir:

M11 =M∗22, M12 =M∗

21 (2-16)

donde M11,M12,M22,M21 son los elementos de la matriz de transferencia (MT), los cuales

cumplen

M11M22 −M12M21 = 1 (2-17)

que para el caso general se debe cumplir:

Det{MT} = ϵ2{f ′x2f ′x1gx2gx1 − f ′

x2g′x1fx1gx2 − f ′

x1g′x2fx2gx1 + fx1fx2g

′x1g′x2

} = 1 (2-18)

es decir, el determinante de la matriz es 1, los elementos de esta matriz se pueden relacionar

con los coeficientes de transmision y reflexion para el caso tıpico cuando no hay incidencia

por la por la derecha, es decir, la onda incide por la izquierda de la interfase, o con G = 0

[11]:

Tizq =1

|M22|2Rizq = |M21

M22

|2 (2-19)

2.1.3. Matriz de Dispersion (MD) y Matriz de Transferencia (MT)

La matriz de dispersion (MD) relaciona las amplitudes reflejadas del potencial en terminos

de las amplitudes incidentes al potencial, en lugar de las amplitudes incidentes en terminos

de las reflejadas y transmitidas, como la (MT), ver figura (2-1) ası:(B

F

)=MS

(A

G

)MS =

(S11 S12

S21 S22

)(2-20)

para encontrar las relaciones entre la matriz (MT) y la (MD), se iguala el termino G de

ambas matrices, encontrando las siguientes relaciones

B = S11A+ S12G⇒ G =1

S12

(B − S11A) =M21A+M22B

y de igual modo, igualando el coeficiente F

F = S21A+ S22B = S21A+S22

S12

(B − S11A) =M11A+M12B


obteniendo las relaciones

− S11

S12

A+1

S12

B =M21A+M22B ⇒M21 = −S11

S12

,M22 =1

S12

− S11S22 − S12S21

S12

A+S22

S12

B =M11A+M12B ⇒M11 = −Det(S)S12

,M12 =S22

S12

(2-21)

escribiendo la Matriz de Transferencia (MT) en terminos de los coeficientes de la Matriz de

Dispersion (MD)

MT =1

S12

(−Det(MS) S22

−S11 1

)(2-22)

del mismo modo, se puede escribir los coeficientes de la Matriz de Dispersion (MD) en

terminos de los coeficientes de la Matriz de Transferencia (MT), igualando los coeficientes

B y F de ambas matrices e igualando coeficientes se obtiene:

MS =1

M22

(−M21 1

Det(MT ) M12

)(2-23)

donde los terminos de transmision y reflexion, a partir de la matriz de dispersion con G = 0

se escriben:

Tizq = |S21|2 Rizq = |S11|2 (2-24)

es de notar, que si deseamos conocer la transmision o reflexion de un sistema en particular

(optico o cuantico), ya sea con la Matriz de Transferencia (MT) o con la Matriz de Dispersion

(MD), se obtendran los mismos resultados, estos independientes de nuestra escogencia.

2.2. La Matriz de Transferencia de N-Potenciales

Arbitrarios

Considerando el caso para multiples potenciales arbitrarios, se puede generalizar aun mas la

matriz de transferencia como el producto de la matriz unitaria MC1, que corresponde a la

matriz desde el punto a1 hasta el punto a2 como se observa en la siguiente figura (2-2)

Figura 2-2.: Representacion esquematica de multiples potenciales arbitrarios

2.2 La Matriz de Transferencia de N-Potenciales Arbitrarios 9

donde el ancho de la celda unitaria esta definido como C1, de tal modo, que la matriz de

transferencia de todo el sistema, se puede expresar como el producto de las celdas constitu-

tivas del mismo, es decir

MN =

(M11 M12

M21 M22

)N

(2-25)

aplicando la anterior ecuacion para el caso deN = 2, es decir dos celdas unitarias de potencial

V(x), y aprovechando la propiedad dada por la ecuacion (2-16)

M2 =

(M11 M21

M∗21 M∗

11

)(M11 M21

M∗21 M∗

11

)=

(M2

11 +M21M∗21 M21(M11 +M∗

11)

(M11 +M∗11)M

∗22 M∗2

11 +M12M∗12

) (2-26)

el termino que involucra la transmision es el M11, por ello observemos que le pasa a este

termino para multiples productos matriciales periodicos:

N = 1 M11 =M11

N = 2 M11 =M211 +M21M

∗21

N = 3 M11 =M311 +M21(2M11 +M∗

11)M∗21

N = 4 M11 =M411 +M21(3M

211 + 2M11M

∗11 +M∗2

21 )M∗21 +M2

21M∗221

N = 5 M11 =M511

+M21(4M311 + 3M2

11M∗11 + 2M11M

∗211 +M∗3

21 )M∗21

+M221(3M11 + 2M∗

11)M∗221

(2-27)

se observa regularidad en el termino asociado a la transmision para multiples capas de

trasmision. Aunque se puede llegar a una solucion a este modelo estableciendo condiciones de

periodicidad de las funciones de onda de electron en una red unidimensional, este tratamiento

sera mostrado en el siguiente capıtulo.

3. Matriz de Dispersion (MD) y Matriz

de Transferencia (MT) para

Potenciales tipo Delta

3.1. Para el Potencial Tipo Delta

En este capıtulo se desarrollara detalladamente algunas caracterısticas de la propagacion de

electrones en cristales unidimensionales con una estructura periodica de barreras o pozos de

potencial tipo delta, ya que a pesar de ser un modelo artificial, describe de forma explıcita

muchas de las caracterısticas fısicas importantes del comportamiento cuantico de los electro-

nes en redes periodicas. Para tal caso se comienza por resolver la ecuacion de Schrodinguer

con el potencial V(x) = −αδ(x), como se muestra en la figura (3-1).

Figura 3-1.: Reprentacion esquematica del pozo de potencial tipo delta, donde la energıa de la onda o

partıcula incidente es E > 0

La ecuacion de Schrodinguer para el pozo de potencial se escribe:

− h2

2m

∂2

∂x2ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x) (3-1)

− h2

2m

∂2

∂x2ψ(x) − αδ(x)ψ(x) = Eψ(x) (3-2)

para este potencial tipo delta, la solucion de la ecuacion de Schrodinger queda escrita en las

regiones x < 0 y x > 0, de tal modo que la solucion esta bien comportada en estas regiones,

3.1 Para el Potencial Tipo Delta 11

pero en x = 0, no cumple condiciones de continuidad en su derivada. Este problema se puede

resolver integrando la ecuacion de Schrodinger y encontrando la variacion en la derivada en

φ(0)1, obteniendo como resultado las siguientes condiciones de frontera [11]

ψ(0) = ψ(0) (3-3)

F +G = A+B (3-4)

∆(dψ(x)

dx) = lım

ε→0

(dψ(x)

dx

∣∣∣∣+ϵ

−dψ(x)

dx

∣∣∣∣−ϵ

)=

2m

h2lımε→0

∫ +ϵ

−ϵ

αδ(x)ψ(x)dx = −2mα

h2ψ(0) (3-5)

∆(dψ(x)

dx) = ik(Feikx −Ge−ikx)− ik(Aeikx −Be−ikx)

∣∣∣∣0

(3-6)

igualando (3-5) y (3-6), se obtiene la segunda condicion de frontera

F −G = A(1− 2iβ)−B(1 + 2iβ) ⇒ β =mα

h2k(3-7)

donde el termino β, aparece de evaluar las condiciones de frontera en x = 0. Con el uso

de las ecuaciones (2-11) y (2-20), se puede escribir la matriz de dispersion y la matriz de

transferencia para el potencial tipo delta como:

MS =1

1− iβ

(iβ 1

1 iβ

)MT =

(1 + iβ iβ

−iβ 1− iβ

) (3-8)

y con el uso de la ecuacion (2-19) o (2-24), se pueden encontrar los coeficientes de transmision

y reflexion para este potencial, encontrando:

T =1

1 + β2, R =

β2

1 + β2. (3-9)

escribiendo estas mismas ecuaciones pero en terminos de la energıa de las partıculas inciden-

tes sobre el potencial, con E = h2k2

2m= mα2

2h2

T =1

1 + mα2

2h2E

, R =1

1 + 2h2Emα2

(3-10)

si llamamos a los terminos mα2

2h2 ≡ V′y a la razon η = β−1 = E

V ′ , y graficando (3-10), es

decir, los coeficientes de transmision y reflexion en terminos de η. Estas cantidades quedaran

representadas por la figura (3-2):

1ver desarrollos en: chapter 2, Pag. 72, Introduction to Quantum mechanics, Griffiths second edition

123 Matriz de Dispersion (MD) y Matriz de Transferencia (MT) para Potenciales tipo Delta

Figura 3-2.: Transmitancia y reflactancia para el pozo de potencial tipo delta

esta grafica indica, que entre mayor sea la energıa E de las partıculas, menor sera la proba-

bilidad de reflexion y mayor sera la probabilidad de transmision.

3.1.1. En el punto x = a

Ahora para el potencial definido por V(x) = −αδ(x−a), representado por la figura (3-3), la

solucion es identica al caso anterior pero la continuidad se evalua en x = a, teniendo

Figura 3-3.: Representacion del pozo de potencial tipo delta en x = a

Feika +Ge−ika = Aeika +Be−ika

ik(Feika −Ge−ika)− ik(Aeika −Be−ika)

= −2mα

h2(Aeika −Be−ika)

(3-11)

donde al escribir de forma matricial tenemos que la matriz de transferencia para este caso

es:

MT =

(1 + iβ iβe−2ika

−iβe2ika 1− iβ

)(3-12)

3.1 Para el Potencial Tipo Delta 13

se puede observar que los elementos de la matriz son sus respectivos complejos conjugados,

al igual es facil ver que el determinante de la (MT) es 1, donde betha es el mismo de la

ecuacion (3-7).

3.1.2. En los puntos x = −a y x = a

Conocida la matriz en un punto cualquiera se puede encontrar la matriz para muchos puntos,

en este caso para a y -a, como se observa en la siguiente figura (3-4). El potencial esta definido

como V(x) = −α{δ(x+ a) + δ(x− a)}

Figura 3-4.: Representacion del pozo de potencial tipo delta en x = −a y x = a

la matriz de transferencia de todo el sistema, es decir de los dos potenciales, se puede expresar

como el producto de las matrices M1(x=−a) y M2(x=a) de tal modo MT =M2M1.2 Con el uso

de la ecuacion (3-12) se tiene:

M1 =

(1 + iβ iβe2ika

−iβe−2ika 1− iβ

)M2 =

(1 + iβ iβe−2ika

−iβe2ika 1− iβ

)(3-13)

de modo que la matriz de transferencia queda escrita al realizar el producto

MT =

(1 + 2iβ + β2(e4ika − 1) 2iβ(cos(2ka) + β sin(2ka))

−2iβ(cos(2ka) + β sin(2ka)) 1− 2iβ + β2(e−4ika − 1)

)(3-14)

y a traves de la ecuacion (2-19), se puede determinar el coeficiente de transmision y reflexion

T =1

1 + 4β2(cos(2ka) + β sin(2ka))2R =

4β2(cos(2ka) + β sin(2ka))2

1 + 4β2(cos(2ka) + β sin(2ka))2(3-15)

escribiendo en terminos de V′, E, k ≡ mα

h2

√EV

′ , es decir, explıcitamente en η, y definiendo el

termino χ ≡ 2amαh2 , las relaciones anteriores quedan escritas

T =1

1 + ( 2η)2(cos(χ

√η) + 1

ηsin(χ

√η))2

R =( 2η)2(cos(χ

√η) + 1

ηsin(χ

√η))2

1 + ( 2η)2(cos(χ

√η) + 1

ηsin(χ

√η))2

(3-16)

2chapter 2, pag. 91, Problem 2.53, Introduction to Quantum Mechanics, Griffiths second edition


al graficar este resultado se obtiene que la transmitancia tiende a 1 para valores grandes de

η, de igual modo cuando existe interferencia constructiva por los senos y cosenos dentro de

la expresion de transmitancia, esto sucede para el caso especial donde tan(−χ√η) = η, como

se muestra a continuacion

Figura 3-5.: Transmitancia calculada para el pozo de potencial tipo delta en x = −a y x = a, para varios

parametros de χ

donde los maximos dependen del parametro χ, es decir, de la opacidad del pozo, a continua-

cion se muestran los valores para los cuales η corresponde a un maximo de transmision, con

χ = 5,7 (puntos de color rojo)

Figura 3-6.: Valores para los cuales la transmitancia toma los maximos vistos en el espectro de la figura

(3-5) para un parametro de χ = 5,7

en las anteriores figuras (3-5)-(3-6), se observa claramente un patron de interferencia de

maximos y mınimos en el espectro de transmision, esto debido a la naturaleza ondulatoria

de los electrones incidentes sobre la barrera tipo delta, en el siguiente capıtulo se estudian

3.2 Bandas de energıa: el potencial de Kronig-Penney 15

espectros similares de transmision para barreras y pozos de potencial en sistemas semicon-

ductores periodicos.

3.2. Bandas de energıa: el potencial de Kronig-Penney

Un cristal unidimensional puede ser modelado como una serie periodica de puntos de red

(atomos) los cuales pueden ser modelados como potenciales periodicos tipo delta. Donde

el fenomeno de transporte del electron en dicha red; puede ser descrito por la solucion de

la ecuacion de Schrodinger a traves de N identicos potenciales de este tipo, repulsivos o

atractivos, cuya solucion tambien depende del parametro 2a ≡ l, es decir, de la separacion

de los deltas, y el numero de onda k del electron. La generalizacion de este procedimiento

es conocido como el modelo de Kronig-Penney. Este es una aproximacion de los potenciales

coulombianos de las redes de un cristal unidimensional como el mostrado en la figura (3-7),

con el objetivo de describir el movimiento del electron en N → ∞ potenciales-δ, siendo N

el numero de celdas [18, 17, 11].

Figura 3-7.: Representacion esquematica del modelo Kronig-Penney para el cual, las condiciones de borde

se resuelven cerrando la cadena de puntos de red

La ecuacion de Schrodinger para una partıcula en el modelo de Kronig-Penney se escribe

por[21]

− h2

2m

∂2

∂x2ψ(x) +

∞∑N=−∞

αNδ(x−Nl)ψ(x) = Eψ(x) (3-17)

cuya solucion esta escrita como funciones de Bloch[23]. Para αN > 0 se tienenN potenciales δ

repulsivos, αN < 0 se tienen N potenciales δ atractivos, cuya funcion de onda debe satisfacer:

ψ(x+p) = λψ(x) (3-18)

donde λ es el valor propio caracterıstico, en este sentido, la solucion puede ser expresada

como la combinacion lineal ψ(x) = Ag(x) + Bh(x) o ψ(x+p) = Ag(x+p) + Bh(x+p) siendo p el


perıodo de la funcion, a su vez las soluciones deben satisfacer

g(x+ p) = α1g(x) + α2h(x)

h(x+ p) = β1g(x) + β2h(x)(3-19)

que al sustituir estas en la ecuacion (3-18), tenemos como resultado la ecuacion de valores y

vectores propios(α1 α2

β1 β2

)(g(x)h(x)

)= λ

(g(x)h(x)

)(3-20)

donde αi, βi son constantes, reescribiendo se tiene el sistema de ecuaciones

(α1 − λ)g(x) + α2h(x) = 0

β1g(x) + (β2 − λ)h(x) = 0(3-21)

cuya solucion diferente a la trivial debe ser la que satisface∣∣∣∣ α1 − λ α2

β1 β2 − λ

∣∣∣∣ = λ2 − (α1 + β2)λ+ (α1β2 − α2β1) = 0 (3-22)

al resolver esta ecuacion cuadratica se obtienen dos valores propios que cumplen ψ(x+p) =λ1ψ(x) y ψ(x+p) = λ2ψ(x), donde k1 y k2 son los vectores de onda, y los valores propios sonλ1 = eik1p y λ2 = eik2p, ahora bien, definiendo uk1(x) = e−ik1xψ(x) y uk2(x) = e−ik2xψ(x), seobtiene:

uk1(x+p) = e−ik1(x+p)ψ(x+p) = e−ik1(x+p)λ1ψ(x) = e−ik1(x+p)eik1pψ(x) = e−ik1xψ(x) = uk1(x) (3-23)

es decir, ψ(x+p) = eiK(x+p) = λψ(x) = eiKpψ(x), donde p es el perıodo de la funcion y K = k1,2el vector de onda de Bloch, por lo tanto se tiene que |ψ(x+p)|2 = |ψx|2, lo que implica que la

probabilidad de encontrar la partıcula en x+ p o en x es la misma, en el modelo de Kronig-

Penney la funcion de onda es de la forma ψ(x) = eiKxuK(x), este tratamiento es conocido

como el teorema de Bloch, y conocido matematicamente en la literatura como el teorema de

Floquet [31], donde p = Nl con N un numero entero.

”Por supuesto el solido no es siempre periodico, en los bordes se pierde la perio-

dicidad de V(x), Sin embargo, para cualquier cristal microscopico, que contiene

un numero de atomos del orden del numero de Avogadro, es difıcil imaginar los

efectos de borde en el interior. Esto sugiere la siguiente analogıa para recuperar

el teorema de Bloch: Hemos terminado el eje x como un cırculo, y conectarlo

a su cola, despues de un gran numero N perıodos, formalmente nos impone la

condicion de periodicidad infinita”.3

3Griffits pag 225


Teniendo en cuenta lo anterior

eiNKaψx = ψx

eiNKa = 1 ⇒ K =2πn

Nan = 0,±1,±2, ....

(3-24)

”Particularmente, para este arreglo K es necesariamente real. La virtud del teo-

rema de Bloch es que solo necesitamos resolver la ecuacion Schodinger dentro de

una sola celda y gracias a (3-18) genera la solucion en todas partes”4

de tal modo que el teorema de Bloch, es identico a tratar N matrices de transferencia tipo

delta, ya que al conocer la matriz de la celda unitaria podemos describir el comportamiento

fısico de todo el sistema. Este modelo se puede observar en la siguiente figura (3-8)

Figura 3-8.: Modelo Kronig-Penney [19]

los coeficientes (C,D), son funciones de onda periodicas y pueden ser expresadas como

funciones de Bloch C = AeiKl y D = BeiKl, estos se pueden escribir matricialmente como:(A

B

)= e−iKl

(C

D

)︸︷︷︸funcion de bloch

= Mcelda

(C

D

)︸︷︷︸

Matriz de transferencia

(3-25)

donde(M11 − e−iKl M12

M21 M22 − e−iKl

)︸︷︷︸

Det=0

(C

D

)= 0 (3-26)

resolviendo el determinante, aplicando la ecuacion (2-16)

(M11 − e−iKl)(M22 − e−iKl)−M12M21 = 0 (3-27)

M11M22 + e−2iKl −M22e−iKl −M11e

−iKl −M12M21 = 0 (3-28)

e−2iKl − 2M11e−iKl = −M11M22 +M12M21 = −Det(Mcelda) (3-29)

4Griffits pag 226


por la densidad de corriente de probabilidad Det(Mcelda) = 1 con K real, es decir sin feno-

menos de absorsion

e−2iKl − 2Re(M11)e−iKl = −1 (3-30)

cos 2Kl − i sin (2Kl)− 2Re(M11)(cos (Kl)− i sin (Kl)) = −1, (3-31)

segun esto la parte imaginaria debe ser cero

2 sin (Kl)(cos(Kl)−Re(M11)) = 0 (3-32)

cos(Kl) = Re(M11) (3-33)

|ReM11 | ≤ 1 (3-34)

este resultado define las bandas a partir de los cuales los valores de k son reales.

Para obtener un resultado equivalente al anterior, se multiplica la matriz de transferencia

para un delta de potencial, con la matriz de propagacion de la region a potencial cero, como

se muestra a continuacion

MTcelda =

(1 + iβ iβ

−iβ 1− iβ

)(e−ik1l 0

0 eik1l

)(3-35)

M11 celda = (1 + iβ)e−ik1l (3-36)

M11 celda = (1 + iβ)(cos(k1l)− i sin(k1l)) (3-37)

con k1 el numero de onda de la partıcula libre

M11 celda = cos(k1l)− i sin(k1l) + iβ cos(k1l) + β sin(k1l) (3-38)

teniendo en cuenta solamente la parte real

Re(M11 celda) = cos(k1l) + β sin(k1l) (3-39)

igualando a la ecuacion (3-34)

− 1 ≤ cos(k1l) + β sin(k1l) ≤ 1 (3-40)

igualando a la ecuacion (3-33)

cos(Kl) = cos (k1l) + β sin (k1l) (3-41)

f(Kl) = cos (k1l) + β sin (kl) (3-42)

observe que si β = 0, el vector de onda de Bloch K es el mismo para el caso de la partıcula

libre k1, reescribiendo esta ultima ecuacion en terminos de las constantes fundamentales, con


C ≡ mαlh2 la intensidad del potencial delta5

cos(Kl) = cos (k1l) +mαl

h2sin (k1l)

k1l

cos(Kl) = cos (k1l) + Csin (k1l)

k1l

(3-43)

tambien se puede llegar a la anterior expresion utilizando la siguiente propiedad del algebra

lineal:

i) Si M es una matriz cuadrada de orden n con n autovalores reales o complejos;λ1, ....., λnentonces: Tr(M) =

∑ni=1 λi

por lo cual

2∑i=1

λi = λ1 + λ2 = eiKl + eiKl = 2eiKl = 2(cos (Kl) + i sin (Kl))

Re(Tr(M)) = 2 cos(Kl)

(3-44)

que debe ser igual a:

Tr(MTcelda) = Tr

((1 + iβ)e−ik1l iβeik1l

−iβe−ik1l (1− iβ)eik1l

)Tr(MTcelda) = 2(cos (k1l) + β sin (k1l))

(3-45)

igualando las trazas Bloch y MMT, se obtienen los valores para los cuales el numero de onda

es real, es decir, los valores para los cuales la funcion esta limitada entre −1 y 1, de la curva

mostrada en la figura (3-9)

2 cos(Kl) = 2(cos (k1l) +mαl

h2sin (k1l)

k1l)

cos(Kl) = cos (k1l) + Csin (k1l)

k1l

(3-46)

que es identica a la ecuacion (3-43). Esta ecuacion debe tener una solucion para K1, a fin de

que existan soluciones de la forma ψ(x) = eiKxuK(x)

5Se puede comparar este resultado con el mostrado en Grffiths I.Q.M. pag. 227 second edition, Tambien

Kittel Introduccion a la fısica del estado Solido, Segunda edicion. Pag. 278


Figura 3-9.: Representacion de la funcion cos k1l+C sin k1lk1l

con C = 20 cuyos valores permitidos de energıa

vienen dados por aquellos intervalos de k1 = 2mEh2 para los cuales la funcion esta comprendida entre +1 y

−1 en el Modelo Kronig-Penney

los valores de k imaginarios, nunca pueden producir funciones posibles o con significado

fısico; los rangos correspondientes estan prohibidos, definiendo el gab de energıa [19].

4. Solucion en Sistemas Periodicos,

Multiples Barreras de Potencial

(MQW)

4.1. Pozo de Potencial

En este capıtulo se discute el potencial mas simple sobre el cual se puede hacer incidir

partıculas en una region finita del espacio, potencial de pozo cuadrado, que se indica en la

figura (4-1), con la funcion potencial descrita como:

V(x) =

0 para x < −a

−V0 para −a < x < a

0 para x > a

(4-1)

Figura 4-1.: Representacion esquematica del pozo de potencial donde E > 0 > V0

considerando unicamente el caso donde E > V0, donde se encuentra la solucion de la ecuacion

de Schordinger para las tres regiones descritas en la figura (4-1), en este caso las partıculas

incidentes pueden ser escritas como ondas viajeras para la region I y III; ası la solucion

propuesta para cada region esta descrita por:

Ψ =

Aeik1x +Be−ik1x x < −a

C sin (q1x) +D cos (q1x) −a < x < a

Feik1x +Ge−ik1x x > a

(4-2)

22 4 Solucion en Sistemas Periodicos, Multiples Barreras de Potencial (MQW)

donde k1 =√

2mEh2 y q1 =

√2m(E+V0)

h2 y los valores de A, B, C, D, F, G son las amplitudes

de la funcion de onda. Ahora evaluamos condiciones de frontera que debe cumplir la funcion

de onda a cada lado del pozo, lo cual consiste en igualar las funciones y su primera derivada

en los puntos de union entre las distintas regiones.

Continuidad de la funcion de onda y su derivada en el punto x = −a

Ae−ik1a +Beik1a = −C sin (q1a) +D cos (q1a) (4-3)

−ik1Ae−ik1a + ik1Beik1a = −Cq1 cos (q1a)−Dq1 sin (q1a) (4-4)

Continuidad de la funcion de onda y su derivada en el punto x = a

C sin (q1a) +D cos (q1a) = Feik1a +Ge−ik1a (4-5)

Cq1 cos (q1a)−Dq1 sin (q1a) = ik1Feik1a − ik1Ge

−ik1a (4-6)

Matematicamente el (MMT) es tomar la solucion completa de la ecuacion de Schrodinger,

sin reducir la solucion de la ecuacion de onda al caso particular del problema fısico (como por

ejemplo haciendo el coeficiente G = 0, para el caso tıpico cuando no hay partıculas incidentes

por la derecha del pozo, o tambien cuando la solucion diverge para el caso de estados ligados).

Ahora bien, combinando las ecuaciones (4-5) y (4-6) multiplicando por sin (q1a) y cos (q1a)q1

respectivamente, para luego sumarlas y despejar el coeficiente C se obtiene:

C = Feik1a[sin (q1a) + i

k1q1

cos (q1a)

]+Ge−ik1a

[sin (q1a)− i

k1q1

cos (q1a)

](4-7)

ahora para determinar D multiplicamos la ecuacion (4-5) por cos (q1a) y (4-6) por − sin (q1a)q1

,

sumandolas se llega a:

D = Feik1a[cos (q1a)− i

k1q1

sin (q1a)

]+Ge−ik1a

[cos (q1a) + i

k1q1

sin (q1a)

](4-8)

reemplazando (3-7) y (4-8) en la ecuacion (4-3) se obtiene

Ae−ik1a +Beik1a =

Feik1a[cos (2q1a)− i

k1q1

sin (2q1a)

]+Ge−ik1a

[cos (2q1a) + i

k1q1

sin (2q1a)

](4-9)

4.1 Pozo de Potencial 23

de igual forma reemplazando (4-7) y (4-8) en la ecuacion de (4-4), se obtiene

Ae−ik1a −Beik1a =

Feik1a[cos (2q1a)− i

q1k1

sin (2q1a)

]−Ge−ik1a

[cos (2q1a) + i

q1k1

sin (2q1a)

](4-10)

sumando las ecuaciones (4-9), (4-10), determinamos A de la siguiente manera:

A = Fe2ik1a[cos (2q1a)− i

(k21 + q212q1k

)sin (2q1a)

]+G

[i

(k21 − q212q1k

)sin (2q1a)

](4-11)

restando las ecuaciones (4-9) y (4-10) hallamos B ası:

B = F

[−i(k21 − q212q1k

)sin (2q1a)

]+Ge−2ik1a

[cos (2q1a) + i

(k21 + q212q1k1

)sin (2q1a)

](4-12)

es posible escribir las ecuaciones (4-11) y (4-12) de forma matricial como:

(A

B

)=

e2ik1a[cos (2q1a)− i

(k21+q212q1k

)sin (2q1a)

]i(

k21−q212q1k1

)sin (2q1a)

−i(

k21−q212q1k1

)sin (2q1a) e−2ik1a

[cos (2q1a) + i

(k21+q212q1k

)sin (2q1a)

] ( F

G

)(4-13)

en la ecuacion (4-13) se relaciona las amplitudes de la derecha-izquierda del pozo, mediante

la matriz de coeficientes determinados al combinar las condiciones de frontera. Sin embargo

debemos despejar los coeficientes (F G) de esta ultima ecuacion para obtener ası la matriz

de transferencia (MT)

(A

B

)= M

(F

G

) (F

G

)= M−1

(A

B

)(4-14)

donde MT = M−1 = Adj(M t)

Det(M), con M t la traspuesta de la matriz M , aplicando esta relacion

encontramos los elementos de la matriz de transferencia (MT) descritos por la ecuacion

(2-11), para el pozo de potencial:

M11 = e−2ik1a(cos (2q1a) + ik21 + q212q1k1

sin (2q1a))

M12 = −ik21 − q212q1k1

sin (2q1a)

M21 = ik21 − q212q1k1

sin (2q1a)

M22 = exp(2ik1a)(cos (2q1a)− ik21 + q212q1k1

sin (2q1a))

(4-15)


es facil ver que el determinante de la matriz (MT ) es 1.

4.1.1. Transmitancia y Reflectancia para el Pozo de Potencial

A traves de los coeficientes de la matriz de transferencia se hallan los terminos de transmi-

tancia y reflectancia para este tipo de potencial T1 y R1, quedando definidos:

T1 =1

cos2(2aq1) + (k21+q212q1k1

)2 sin2(2aq1)(4-16)

y la reflectancia

R1 =(k21−q212q1k1

)2 sin2(2aq1)

cos2(2aq1) + (k21+q212q1k1

)2 sin2(2aq1)(4-17)

al sustituir los numeros de onda k1 y q1, de la solucion de la ecuacion de Schrodinger en las

ecuaciones anteriores, y haciendo la sustitucion η = EV0

y χ = 2ah

√2mV0, se encuentra:

T1 =4E(E + V0)

4E(E + V0) + V 20 sin2(2a

h

√2m(E + V0))

=4η(η + 1)

4η(η + 1) + sin2(χ√η + 1)

(4-18)

R1 =V 20 sin2(2a

h

√2m(E + V0))

4E(E + V0) + V 20 sin2(2a

h

√2m(E + V0))

=sin2(χ

√η + 1)

4η(η + 1) + sin2(χ√η + 1)

(4-19)

notese que R + T = 1, para cualquier valor de energıa y ancho de barrera. Como tambien

hay casos en que T = 1 y R = 0, es decir el pozo es transparente, esto sucede cuando:

2a

h

√2m(En + V0) = nπ (4-20)

ηn = (nπ

χ)2 − 1 (4-21)

en estas ecuaciones se observa que para valores especıficos de a se obtiene una maxima

transmitancia, es decir, todas las partıculas atraviesan el pozo de potencial, de igual manera,

hay valores de energıa asociados a las partıculas comparadas con la profundidad del pozo

que permiten que se presente una transmitancia maxima; cabe resaltar, que estos valores

de energıa son discretos pero dentro de un rango continuo, ya que la energıa de dichas

partıculas es mayor a cero. Para el caso contrario se sabe (aunque no se muestra en el

presente trabajo), que para este caso donde V0 < E < 0 se tienen estados ligados de las

partıculas, es decir, pertenecen a un rango discreto de energıa en donde no se presentan

transmitancia ni reflectancia.

4.2 Barrera de Potencial 25

4.2. Barrera de Potencial

En el caso de barrera de potencial, para encontrar la matriz de transferencia se debe solu-

cionar la ecuacion de Schordinger al igual que en el caso del pozo para tres regiones, cuyo

potencial esta escrito por:

V(x) =

0 para x < −aV0 para −a < x < a

0 para x > a

(4-22)

para el caso de la barrera de potencial existen dos fenomenos interesantes de estudio: cuando

la energıa de las partıculas incidentes es mayor a la barrera y cuando es menor. En ambos

casos existe transmision y reflexion.

Figura 4-2.: Representacion esquematica de ondas incidentes y transmitidas (electrones) sobre una barrera

de potencial

4.2.1. Caso donde E > V0 (Ondas Viajeras)

Cuando las partıculas incidentes tienen una energıa mayor a la de la barrera, la solucion a

la ecuacion de Schordinger para las tres regiones es:

Ψ =

Aeik2x +Be−ik2x x < −aCe−iq2x +Deiq2x −a < x < a


(4-23)

donde k2 =√

2mEh2 y q2 =

√2m(E−V0)

h2 , siguiendo el procedimiento descrito en el caso del pozo


de potencial, es posible obtener los elementos de la matriz de transferencia como:

M11 = e−2ik2a(cos (2q2a) + ik22 + q222q2k2

sin (2q2a))

M12 = ik22 − q222q2k2

sin (2q2a)

M21 = −ik22 − q222q2k2

sin (2q2a)

M22 = e2ik2a(cos (2q2a)− ik22 + q222q2k2

sin (2q2a))

(4-24)

es de resaltar que las (MT) para el caso de pozo y barrera cuando la energıa de las partıculas

incidentes es mayor que el potencial E > V0 guardan una estrecha similitud en cuanto a su

forma, sin embargo difieren en los numeros de onda q1 y q21.

4.2.2. Caso donde E < V0

Ahora se analiza el caso de energıas de las partıculas incidentes son menores que la barrera

de potencial, primero se propone la solucion de la ecuacion de Schordinger para las tres

regiones como:

Ψ =

Aeik3x +Be−ik3x x < −aCe−q3x +Deq3x −a < x < a


(4-25)

donde k3 =√

2mEh2 y q3 =

√2m(V0−E)

h2 , para encontrar la (MT) se aplican las condiciones de

frontera en cada lado de los bordes de la barrera ası:

continuidad de la funcion de onda y su derivada en el punto x = -a

Ae−ik3a +Beik3a = Ceq3a +De−q3a (4-26)

ik3Ae−ik3a − ik3Be

ik3a = −Cq3eq3a +Dq3e−q1a (4-27)

multiplicando la ecuacion en (4-26) por ik y sumandola con (4-27), se obtiene el valor de A

ası:

A =

(k3 − iq32k3

)Ce(ik3−q3)a +

(k3 + iq32k3

)De(q3+ik3)a (4-28)

1ver desarrollos apendice A.1


al multiplicar la primer ecuacion en (4-26) por -ik y sumandola con (4-27), es posible obtener

B encontrando.

B =

(k3 + iq32k3

)Ce−(ik3+q3)a +

(k3 − iq32k3

)De(q3−ik3)a (4-29)

Continuidad de la funcion de onda y su derivada en x = a

Ceq3a +De−q3a = Feik3a +Ge−ik3a (4-30)

Cq3eq3a − iDq3e

−q3a = ik3Feik3a − ik3Ge

−ik3a (4-31)

multiplicando (4-30) por q y luego por -q y sumandola con (4-31), es posible obtener C y D

respectivamente

C =

(ik3 + q32q3

)Fe−(q3−ik3)a +

(q3 − ik32q3

)Ge−(q3+ik3)a (4-32)

D =

(q3 − ik32q3

)Ce(ik3+q3)a +

(q3 + ik32q3

)Ge(q3−ik3)a (4-33)

ahora reemplazando (4-32) y (4-33) en (4-28) se obtiene:

A = e2ik3a(cosh (2q3a)− i

(k23 − q232k3q3

)sinh (2q3a)

)F + i

(k32+q23

2q3k3

)sinh (2q3a)G (4-34)

de igual modo reemplazando (4-32) y (4-33) en la ecuacion (4-29) se determina que:

B = e−2ik3a

(cosh (2q3a) + i

(k23 − q232k3q3

)sinh (2q3a)

)G− i

(k23 + q232k3q3

)sinh (2q3a)F (4-35)

escribiendo las ecuaciones (4-34) y (4-35) de forma matricial, y encontrando la inversa de

la matriz (2 × 2) se encuentran los elementos de la matriz de transferencia para el caso de

barrera de potencial con E < V0, la cual guarda una similitud en la forma con las (MT)

encontradas en los casos anteriores, pero con la diferencia en los numero de onda, senos y

cosenos por funciones hiperbolicas.


M11 = e−2ik3a(cosh (2q3a) + ik23 − q232k3q3

sinh (2q3a))

M12 = ik23 + q232q3k3

sinh (2q3a)

M21 = −ik23 + q232q3k3

sinh (2q3a)

M22 = exp2ik3a(cosh (2q3a)− i

(k23 − q232q3k3

)sinh 2q3a)

(4-36)

A partir de la anterior (MT), se puede calcular el caso lımite cuando V0 → ∞, a→ 0, V0a→α, de tal modo que cosh (2q3a) → 1 y −ik

23+q232q3k3

sinh (2q3a) ≃ −i q232k3

sinh (2q3a) → −i mαh2k3

,

quedando escrita la matriz para una barrera de potencial tipo delta de Dirac, analoga a la

ecuacion (3-8).

4.2.3. Transmitancia y Reflectancia para la Barrera de Potencial

De igual manera que para el pozo de potencial, pero en esta ocasion utilizando el coeficiente

que relaciona la transmitancia M11 y la reflectancia M21, M22 de la martriz de transferencia

(MT) relacionada en la ecuacion (4-24) con E > V0, y la ecuacion (4-36) donde E < V0,

tenemos que la transmitancia y reflectancia cuando la energıa de las partıculas excede la

barrera y el caso contrario son:

T2 =

1

cos2(2aq2)+(k22+q222q2k2

)2 sin2(2aq2)=⇒ E > V0

1

cosh2(2aq3)+(k23−q232q3k3

)2 sinh2(2aq3)=⇒ E < V0

(4-37)

y para el caso de la reflectancia

R2 =

(k22−q222q2k2

)2 sin2(2aq2)

cos2(2aq2)+(k22+q222q2k2

)2 sin2(2aq2)=⇒ E > V0

(k23+q232q3k3

)2 sinh2(2aq3)

cosh2(2aq3)+(k23−q232q3k3

)2 sinh2(2aq3)=⇒ E < V0

(4-38)

Se observa que para el caso de la barrera con E > V0 estas ecuaciones son identicas en su

forma a la transmitancia y reflectancia para el pozo de potencial, cuya unica diferencia son

los numeros de onda provenientes de las soluciones de la ecuacion de Schrodinger, ya que


tanto en el pozo de potencial como para este caso, la energıa es positiva y mayor al potencial.

Realizando el mismo procedimiento que para el pozo de potencial, donde relacionamos las

variables implıcitas, tenemos:

T2 =

4E(E−V0)

4E(E−V0)+V 20 sin2( 2ah

√2m(E−V0))

= 4η(η−1)

4η(η−1)+sin2(χ√η−1)

=⇒ η > 1

4E(V0−E)

4E(V0−E)+V 20 sinh2( 2ah

√2m(V0−E))

= 4η(1−η)4η(1−η)+sinh2(χ

√1−η) =⇒ η < 1

(4-39)

R2 =

V 20 sin2( 2ah

√2m(E−V0))

4E(E−V0)+V 20 sin2( 2ah

√2m(E−V0))

= sin2(χ√η−1)

4η(η−1)+sin2(χ√η−1)

=⇒ η > 1

V 20 sinh2( 2ah

√2m(V0−E))

4E(V0−E)+V 20 sinh2( 2ah

√2m(V0−E))

= sinh2(χ√1−η)

4η(1−η)+sinh2(χ√1−η) =⇒ η < 1

(4-40)

de estas expresiones podemos analizar el caso para cuando k2a = nπ (siendo n un numero

entero), el coeficiente de reflectancia vale R = 0 y la transmitancia T = 1 y por lo tanto

todas las partıculas atraviesan la barrera, esto sucede cuando:

2a

h

√2m(En − V0) = nπ (4-41)

ηn = (nπ

χ)2 + 1 (4-42)

la descripcion del comportamiento fısico de las ecuaciones (4-20) y (4-21) es analoga a lo

que ocurre en optica al analizar la interferencia de Frabri-Perot[21], es decir, el coeficiente de

transmision es igual a uno cuando el espesor de la barrera es multiplo entero de longitudes de

onda, de modo que, para que exista una interferencia constructiva sobre el camino recorrido

dentro de la barrera o el pozo bajo la condicion η > 1. En la figura (4-3) se representa la

transmitancia en funcion del ancho de la barrera o pozo de potencial.


Figura 4-3.: Transmitancia segun ancho de barrera o pozo

Para el caso del pozo, el valor mınimo de la transmitancia esta dado por ( 4E(E+V0)

4E(E+V0)+V 20), con

multiplos enteros de longitud de onda nπq1. Para el caso de la barrera ( 4E(E−V0)

4E(E−V0)+V 20) y nπ

q2,

ambos casos con E > V0.

Como acabamos de ver, ocurre interferencia para valores especıficos de η > 1 dada por la

expresion (4-42) y para valores especıficos de a en (4-41). Pero falta analizar el comporta-

miento o la dependencia de la transmitancia con el ancho de la barrera de potencial para

valores de η < 1. El coeficiente que describe esta situacion es el encontrado en la ecuacion

(4-39), donde a diferencia de los casos anteriores no se obtienen patrones de interferencia

por la dependencia con la funcion seno, si, un comportamiento tipo seno hiperbolico con los

parametros χ y η.

Ahora bien, analizando este coeficiente si se hace tender el valor de a >> 1 el cuadrado

del seno hiperbolico tiende a ( expq3a

2), en este caso la expresion (4-39) con η < 1, se puede

aproximar a:

T ∼ 16E(V0 − E)

V 20

e−2q3a ∼ 16η(1− η)e−2χ√1−η (4-43)

con lo cual, al variar el parametro a estamos variando implıcitamente el parametro χ, el

cual esta relacionado con la opacidad. Aquı nos encontramos frente a la notable prediccion

(en contraste con la mecanica clasica), que una partıcula incidente sobre una barrera de

potencial a una energıa menor a la de la barrera posee una probabilidad T , de penetrar la

barrera, es decir, que se produzca un efecto tunel.

En la figura (4-4) se puede ver la variacion del coeficiente de transmision, ya conocido, de

un paquete de ondas o de partıculas incidentes sobre un pozo (color rojo) o una barrera de

potencial (color azul).

Se observa que el coeficiente de transmision depende de la geometrıa de la barrera o del


pozo, es decir, de la opacidad χ, cuando esta es pequena, es decir menores a 3, es cuasi-

transparente, la probabilidad de que las partıculas incidentes se transmitan es relativamente

mayor (parte a y b de la figura) donde los valores de η son menores a uno, en este caso existe

la mayor probabilidad de ocurrir un efecto tunel para el caso de la barrera.

A medida que la opacidad χ aumenta (para valores de η > 0 en el caso del pozo de potencial),

es posible encontrar un fenomeno de interferencia, para η > 1 encontramos interferencia en

el caso de la barrera segun el ancho a, cuyos valores (ηn) se muestran en la figura (4-4)

(apartado c), los cuales se describen o se pueden encontrar a traves de las ecuaciones (4-21)

y (4-42) respectivamente.

Figura 4-4.: Coeficiente de transmision en funcion del parametro χ(a,V0), es decir, la opacidad. Con η la

razon entre la energıa con la cual incide el electron comparada con la altura o profundidad del potencial.

Cuyos valores de opacidad son: a)χ = 0,5 b)χ = 2,5 c)χ = 5,7 d)χ = 15

Para ambos casos; pozo y barrera de potencial, tenemos que para valores de η grandes el

coeficiente de transmision es 1 como caso lımite. Para el pozo de potencial, se observa que

para cualquier valor de η, siempre hay transmision, esto es coherente, ya que las partıculas

incidentes sobre el pozo poseen valores de energıas positivas y continuas, por lo cual, es mas

probable encontrarlas en dicha region.


4.3. Transmision a Traves de Sistemas Periodicos

En terminos practicos un potencial periodico puede describir algunas de las propiedades

asociadas al movimiento de los electrones dentro de una red periodica en un cristal unidi-

mensional, o en series periodicas de materiales semiconductores tipo pnpnpn.......

4.3.1. Multiples Barreras de Potencial (MQW)

Ahora aplicando el metodo pero para multiples barreras de potencial, se inicia estudiando

la matriz de transferencia para una barrera con el sistema de coordenadas ahora en el origen

x = 0 como indica la figura (4-5):

Figura 4-5.: Representacion esquematica de multiples barreras de potencial (MQW)

aplicar el (MMT) a este problema es esencialmente definir las matrices en cada una de las

fronteras, y como el sistema es periodico, solo basta definir la matriz de la celda unitaria,

y luego esta elevada a la N barreras que conforman el sistema. La siguiente ecuacion se

representa la matriz de transferencia total como un producto de submatrices2

(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=M(x=a)PaM(x=0)PbM(x=a)PaM(x=0)Pb

(A

B

)(4-44)

Ahora generalizando para N barreras de potencial tenemos:

(fNe

ik2(Na+(N−1)b)

gNe−ik2(Na+(N−1)b)

)= (MT1)

N

(A

B

)(4-45)

donde MT1 =M(x=a)PaM(x=0)Pb.3

2Donde los terminos Pa, Pb son las matrices de propagacion al interior de la barrera y de la region a potencial

cero respectivamente3Ver desarrollos en el apendice A.2

4.3 Transmision a Traves de Sistemas Periodicos 33

4.3.2. Matriz Celda Unitaria para N Barreras de Potencial.

Debido a este ultimo resultado, la matriz de la celda unitaria x = 0 hasta x = a + b,

quedara definida como el producto de la matriz para una barrera de potencial multiplicada

por la matriz de propagacion en la region II:

MT1 =

(e−ik2b(cos (q2a) + i

k22+q222q2k2

sin (q2a)) −ik22−q222q2k2

sin (q2a)

ik22−q222q2k2

sin (q2a) eik2b(cos (q2a)− ik22+q222q2k2

sin (q2a))

)(4-46)

esta matriz sera utilizada para el calculo de N barreras de potencial en el programa realizado

en Matlab. propuesto como ejercicio de la referencia [19].45

4.3.3. Modelo de Kronny-Pennig en Barreras de Potencial

Las funciones de onda en este modelo se calculan a partir de la aproximacion para un solo

electron. Resolviendo la ecuacion de Schrodinger para el potencial visto en la figura (4-5)

d2

dx2ψ(x) +

2m

h2(E − V(x))ψ(x) = 0 (4-47)

como en el capıtulo anterior, la funcion de onda deben tener la forma de Bloch ψ(x) =

eiKxu(x). Al sustituirse en la ecuacion (4-47) se encuentra que la funcion u(x) debe satisfacer:

d2

dx2u(x) + 2iK

d

dxu(x) − (K2 − k22 +

2mV(x)

h2)u(x) = 0 (4-48)

escribiendo esta ecuacion para la region I y II, y ası encontrando las soluciones dentro de la

celda unitaria

d2

dx2u(x) + 2iK

d

dxu(x) − (K2 − k22)u(x) = 0 ⇒ a < x < b. (4-49)

d2

dx2u(x) + 2iK

d

dxu(x) − (K2 − q22)u(x) = 0 ⇒ 0 < x < a. (4-50)

donde

u1(x) = Aei(k2−K)x +Be−i(k2+K)x

u2(x) = Aei(q2−K)x +Be−i(q2+K)x(4-51)

4Ejercicio 4.35En la pagina de Internet viene un sed de programas ya hechos propuestos por este autor, entre muchos otros

esta el aquı utilizado. En web. http://en.bookfi.org/book/453819.Applied Quantum Mechanics-CDROM

Matlab files


la funcion de Bloch tiene periodicidad u1(0) = u2(a+b), escribiendo estas ecuaciones y sus

derivadas evaluadas en las fronteras.6

A+B = C +D

i(k2 −K)A− i(k2 +K)B = i(q2 −K)C − i(q2 +K)B

Aei(k2−K)a +Be−i(k2+K)a = Cei(q2−K)b + ei(q2+K)b

i(k2 −K)Aei(k2−K)a − i(k2 +K)Be−i(k2+K)a = i(q2 −K)Ce−i(q2−K)b − i(q2 +K)Dei(q2+K)b

para obtener las soluciones no triviales se debe calcular el siguiente determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

k2 −K −(k2 +K) q2 −K −(q2 +K)

ei(k2−K)a e−i(k2+K)a ei(q2−K)b ei(q2+K)b

(k2 −K)ei(k2−K)a −(k2 +K)e−i(k2+K)a (q2 −K)e−i(q2−K)b −(q2 +K)ei(q2+K)b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

(4-52)

e−i(a−b)K(8k2q2(cos((a+ b)K)+ cos(k2a) cos(q2b))+ 4(k22 + q22) sin(k2a) sin(q2b)))) = 0 (4-53)

que se puede expresar finalmente como:

cos((a+ b)K) = cos(k2a) cos(q2b)−k22 + q222q2k2

sin(k2a) sin(q2b) (4-54)

al determinar la traza de la matriz (4-46), se llega al termino derecho de la anterior ecuacion

evidenciando que es este caso el modelo de Kronny-Penny es equivalente al modelo (MMT).

A fin de obtener una ecuacion mas manejable, se hace tender las barreras de potencial a

deltas de potencial obteniendo la relacion (3-41).78

4.3.4. Sistemas Periodicos

Encontrar los niveles de energıa permitidos de un electron implica resolver el problema de

un electron que se mueve en un potencial periodico. Es posible simplificar bastante el proble-

ma sin afectar los resultados finales si se remplaza el potencial delta descrito en el capıtulo

6Ver: Kitell Pag. 227 segunda edicion, y Mckelvey Pag. 2367Kittel. pag. 2788Para barreras de potencial seran utiles al trabajar junturas semiconductoras ya que, estadisticamente

hablando se forman barreras a un nivel macroscopico


anterior por un potencial periodico con barreras rectangulares. Como primer paso, se debe

encontrar la matriz de la celda unitaria del cristal, luego de esto la fısica del sistema global

se deduce al elevar la (MT) a N nodos de red, encontrando las bandas de energıa por medio

de la traza de esta matriz.

A continuacion se analiza el coeficiente de transmision para un electron que incide sobre un

sistema compuesto por barreras de ancho 2a = 0,1nm, y de altura V(x) = 10eV , secuencial-

mente separadas una distancia de 0,5nm, suponiendo que la masa del electron es la misma

que en el vacio m0 = 9,10938× 10−31Kg, se obtiene los siguientes resultados:

Con N=5 barreras.

Figura 4-6.: a) Energıa en funcion de la distancia de separacion de las barreras b) Energıa en funcion del

coeficiente de transmision c) Energıa en funcion del logaritmo del coeficiente de transmision con N = 5

Como un primer resultado se observa que el coeficiente de transmision cambia con respecto

al mostrado en la figura (4-6) para una barrera. En este caso, igualmente se ven maximos

y mınimos en la transmision pero con la salvedad de que, al aumentar la energıa con la que

incide el electron la transmision no tiende a un valor maximo y constante, es decir 1, sino

que esta directamente relacionada con la energıa E.


Con N=10 barreras.



Con N=30 barreras.



En la figura (4-7) se muestra las bandas de conduccion (Ec1, Ec2, Ec3) y los gab de energıa

(Eg1, Eg2, Eg3), es decir, valores de energıa donde no ocurre transmision, estos gab se man-

tienen constantes para cualquier N , debido a que las resonancias de transmision dependen

de los anchos de las barreras conjuntamente de la energıa del electron, al tomar el logaritmo

sobre el valor de la transmision se pueden distinguir las bandas, ya que cuando la transmision


tiende a cero el logaritmo de ese valor se hace grande, es decir, en ese punto existe un valor

de energıa poco probable para el electron.

Con N=50 y N=100 barreras.


coeficiente de transmision c) Energıa en funcion del logaritmo del coeficiente de transmision con N = 50, 100

Y finalmente a medida que N tiende a ser grande las bandas se definen cada vez mas, es decir,

para la banda prohibida Eg las curvas de − lnT para T ≈ 0 aumentan proporcionalmente

con el numero de barreras, aproximando la probabilidad de transmision del electron con un

valor de energıa en dicha region a cero; para la banda de conduccion Ec existe un patron de

interferencia donde la transmision tiende a ser continua en dicha banda [19].9

9Codigo Matlab en: apendice A.3

5. Metodo de la Funcion de Green y

Funciones de Green de Superficie

(MFGS)

Anteriormente se analizo la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, expresada a

traves de la funcion de onda asociada a un electron en interaccion con potenciales atractivos

como repulsivos. Ahora bien, en el presente capıtulo, se estudia la solucion de la ecuacion de

Schrodinger a traves de metodo de la funcion de Green, mostrando algunas de sus propiedades

para luego ser aplicadas al potencial delta de Dirac y ası poder establecer una relacion entre

el Metodo de la Matriz de Transferencia (MMT) con el Metodo de las Funciones de Green

de Superficie (MFGS).

5.1. Ecuacion de Schrodinger Dependiente del Tiempo

Considerando la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo para una sola partıcula

H(r, t)ψ(r, t) = ih∂

∂tψ(r, t) con H = − h2

2m∇2 + V (r, t) (5-1)

iniciando la discusion de esta ecuacion bajo la ausencia del potencial V (r, t), en esta condi-

cion la ecuacion describe el movimiento de una partıcula libre, es decir, sin infuencia de un

potencial externo, en este sentido, se puede suponer que la funcion de Green representa la

amplitud de probabilidad de que una partıcula cambie su estado desde un punto inicial r′

en un tiempo inicial t′a un punto final r en un tiempo final t, siendo t > t

′, (la cual tiene

sentido desde el punto de vista fısico) visto de otra manera, la funcion de Green coincide con

la funcion de onda de una partıcula cuando es evaluada en el punto r en un tiempo t. Ahora

bien, se hace la suposicion de que la funcion de onda evoluciona temporalmente a partir del

punto en donde ocurre la discontinuidad producida por la funcion delta de Dirac.

Ahora cuando se tiene en cuenta la presencia de un potencial V (r, t), la ecuacion de Schrodin-

ger incluye la dispersion de la partıcula por efectos de interaccion con dicho potencial, en

donde, en un t′ la partıcula es practicamente libre o no siente los efectos del potencial tan

marcadamente, pero a medida que se acerca al potencial, el efecto de la dispersion se hace

mas evidente para un tiempo t[22].

Debido a que la ecuacion solo aparece una derivada temporal, es posible conocer la funcion

5.2 Ecuacion de Schrodinger Independiente del Tiempo 39

de onda para todo r y t, ψ(r, t) si se conoce la funcion de onda en un tiempo t′ y para todo

r, se puede suponer:

ψ(r, t) = i

∫G(r, t, r

′, t

′)ψ(r

′, t

′)dr

′(5-2)

esta ecuacion permite definir la funcion de Green correspondiente al Hamiltoniano H. Para

poder distinguir entre t > t′o t < t

′, se define la funcion de Green retardada GR y la funcion

de Green avanzada GA respectivamente como

GR(r, t, r′, t

′) = θ(t− t

′)G(r, t, r

′, t

′) (5-3)

GA(r, t, r′, t

′) = −θ(t′ − t)G(r, t, r

′, t

′) (5-4)

en donde θ(t− t′) se conoce como la funcion de paso unitario, es decir, cero para un t < t′ e

igual a uno para t > t′. Las cuales se pueden representar por el siguiente diagrama

Figura 5-1.: a) Funcion de Green retardada b) Funcion de Green avanzada

si se escribe la ecuacion (5-2) en terminos de la funcion de Green retardada o avanzada (5-3)-

(5-4), y al resultado se le aplica el operador ih ∂∂t−H(r, t) se obtiene la ecuacion deferencial

para las funciones de Green con s = A,R(ih∂

∂t−H(r, t)

)Gs(r, t, r

′, t

′) = hδ(t− t

′)δ(r− r′) (5-5)

cuya solucion es

ψ(r, t) = ψ0(r, t) +

∫Gs(r, t, r

′, t

′)V (r

′, t

′)ψ0(r

′, t

′)dt

′dr

′(5-6)

donde V (r, t) = 0 [12]. Ahora considerando el caso independiente del tiempo.

5.2. Ecuacion de Schrodinger Independiente del Tiempo

Una manera de resolver ecuaciones diferenciales con condiciones de borde, es aplicar el meto-

do de la funcion de Green. Para una fuente puntual la funcion de Green debe satisfacer:

(E − V(x) +h2

2m

∂2

∂x2)G(x, x′) = δ(x− x′) (5-7)

integrando la ecuacion diferencial entre x′ − ϵ y x′ + ϵ se debe cumplir:∫ x′+ϵ

x′−ϵ

dx(E − V(x) +

h2

2m

∂2

∂x2

)G(x, x′) =

∫ x′+ϵ

x′−ϵ

dxδ(x− x′) (5-8)

40 5 Metodo de la Funcion de Green y Funciones de Green de Superficie (MFGS)

tendiendo ϵ a cero, como caso lımite se encuentra

∂G(x, x′)

∂x

∣∣∣∣x=x′+

− ∂G(x, x′)

∂x

∣∣∣∣x=x′−

=2m

h2(5-9)

integrando nuevamente

G(x, x′)

∣∣∣∣x,x′+

= G(x, x′)

∣∣∣∣x,x′−

(5-10)

estas dos ultimas permiten construir la funcion de Green a traves de las soluciones asintoticas

de la ecuacion Schrodinger en los casos donde las condiciones de frontera sean regulares[12,

25]. Ahora bien, a continuacion se encuentra la funcion de Green avanzada y retardada para

una partıcula libre con el uso de las condiciones (5-9) y (5-10). Como se menciono anterior-

mente, en este caso se puede pensar la funcion de Green como la funcion de onda, en este

sentido, si se aplica una perturbacion en x = x′, fısicamente se espera que tal excitacion,

aparezca como ondas viajeras con amplitudes A+ y A−, como se muestra a continuacion:

Figura 5-2.: Funciones retardadas de Green en 1-D

donde la funcion retardada se puede escribir como amplitudes salientes del punto de excita-

cion x′

G+(x, x′) = A+eik(x−x′), x > x′

G+(x, x′) = A−e−ik(x−x′), x < x′

(5-11)

con k =√2mEh

, ahora bien, usando las propiedades de las funciones de Green se puede calcular

las amplitudes de las misma, como sigue

G(x, x′)+

∣∣∣x=x′+

= G(x, x′)+

∣∣∣x=x′−

(5-12)

A+ = A− (5-13)

ahora evaluando la discontinuidad de la derivada de la funcion de Green1

∂

∂xG+(x, x

′)∣∣∣x=x′+

− ∂

∂xG+(x, x

′)∣∣∣x=x′−

=2m

h2(5-14)

A+e−ikx′ ∂

∂xeikx∣∣∣x=x′

− A−e−ikx′ ∂

∂xe−ikx

∣∣∣x=x′

=2m

h2(5-15)

ik(A+ + A−) =2m

h2(5-16)

1Cuya discontinuidad en este caso, es la misma para de la funcion de onda para un potencial delta de Dirac,

descrita por la ecuacion (3-5)

5.2 Ecuacion de Schrodinger Independiente del Tiempo 41

usando (5-13) y (5-16), se encuentra que A± = − imh2k

, y escribiendo esta amplitud en terminos

de la velocidad de fase v = 1h

∂∂kE, se encuentra que v = hk

m, de tal manera que la amplitud

se puede escribir

A± = − i

hv(5-17)

reemplazando (5-17) en (5-11) se obtiene la funcion de Green retardada en este caso.

G+(x, x′) = − i

hveik|x−x′| (5-18)

Ahora teniendo en cuenta la otra posible solucion, como amplitudes entrantes al punto x′

Figura 5-3.: Funcion avanzada de Green en 1-D

y realizando el mismo procedimiento para G+(x, x′), se obtiene que la funcion de Green

avanzada es:

G−(x, x′) =

i

hve−ik|x−x′| (5-19)

donde se puede observar que en este caso G+(x, x′) = G*

+(x, x′).

Representacion Espectral de la Funcion de Green

La funcion de Green G(x,x’) puede obtenerse de forma alternativa a la seccion anterior,

mediante un desarrollo en serie de autofunciones del operador Hamiltoniano. Para comenzar

se halla G(x,x’) para el problema de Sturm-Lioville no homogeneo, el cual consiste en resolver

una ecuacion de valores propios, representada a continuacion[25]

Lu(x) + λu(x) = f(x) (5-20)

Siendo L el operador, y λ el autovalor caracterıstico. Ahora suponiendo que

Luk(x) = −λkuk(x) (5-21)

donde las funciones u(x) y f(x) se pueden expresar como una combinacion lineal en una base

ortonormal, es decir:

u(x) =∑k

Ckuk(x) f(x) =∑k

fk(x)ukx (5-22)


aplicando estas definiciones en la ecuacion (5-20), y encontrando el coeficiente Ck,

L∑k

Ckuk(x) + λ∑k

Ckuk(x) =∑k

fk(x)ukx

−∑k

Ckλkuk(x) +∑k

Ckλuk(x) =∑k

fk(x)ukx∑k

Ck

(λ− λk

)uk(x) =

∑k

fk(x)ukx

en donde, se debe cumplir la condicion de ortogonalidad, de tal modo que

Ck =fk(x)(λ− λk

) (5-23)

ahora llevando este resultado a la ecuacion (5-22), se puede encontrar la solucion de la

ecuacion diferencial como

u(x) =∑k

fk(x)uk(x)λ− λk

(5-24)

donde se sabe que la funcion f(x), es decir, el termino no homogeneo de la ecuacion (5-20)

se puede expresar de la siguiente manera

fk(x) =

∫ b

a

u∗k(x′)f(x′)dx′ (5-25)

reemplazando (5-25) en (5-24)

u(x) =∑k

∫ b

au∗k(x′)f(x′)dx

′uk(x)

λ− λk(5-26)

u(x) =

∫ b

a

∑k

(u∗k(x′)uk(x)

λ− λk

)f(x′)dx

′ (5-27)

y por tanto la funcion de Green en serie de autovalores tomo la forma:

G(x,x′) =∑k

u∗k(x′)uk(x)

λ− λk(5-28)

y ası, es posible definir la solucion general para la ecuacion (5-20) como[5]

u(x) =

∫ b

a

G(x,x′)f(x′)dx′ (5-29)

a traves de esta ultima se encuentra la solucion del problema de valores y vectores propios de

la ecuacion de Schrodinger. Ahora es posible considerar un formalismo mas compacto para

este mismo problema en la siguiente seccion.

5.3 Teorıa de Dispersion en la Mecanica Cuantica 43

5.3. Teorıa de Dispersion en la Mecanica Cuantica

5.3.1. La Ecuacion Lippmann-Schwinger

Esta ecuacion aplica los principios del analisis de variaciones en la teorıa cuantica del espar-

cimiento de partıculas, que en esencia, es equivalente a escribir de forma alterna la ecuacion

de Schrodinger. Se hace la suposicion de que el operador Hamiltoniano H puede ser descrito

por H0 + V siendo H0 el operador de la energıa cinetica dado por p2/2m. Cuando no hay

esparcimiento alguno, ello se debe a que el potencial V es igual a cero en toda la region de

interes, y un estado de energıa sera simplemente el estado de una partıcula libre. La presen-

cia del potencial V trae como consecuencia que el estado de energıa sea diferente del que

corresponde a una partıcula libre. Sin embargo, si se supone que el proceso de esparcimiento

es elastico, no habiendo cambio alguno en la energıa de las partıculas al llevarse a cabo el

esparcimiento, entonces para obtener una solucion a la ecuacion de Schrodinger con el mismo

eigenvalor de energıa, se empieza con la ecuacion de valores y vectores propios en la notacion

de Dirac[22, 24]:

H |ψ⟩ = E |ψ⟩ (5-30)

(E −H0) |ψ⟩ = V |ψ⟩ (5-31)

tıpicamente, el formalismo de dispersion se describe de la siguiente manera; una partıcula

incidente en el estado |ψ0⟩ es decir, se propaga libremente, y luego es dispersada por el poten-

cial V , resultando un estado dispersado |ψs⟩, donde, |ψ⟩ es el estado propio del Hamiltoniano

total H cuyo valor propio es la energıa total E, es decir

|ψ⟩ = |ψ0⟩+ |ψs⟩ (5-32)

el cual puede ser representado por el siguiente diagrama:

Figura 5-4.: Representacion estado total de la partıcula

ahora bien, sustituyendo la anterior en (5-30) y teniendo en cuenta que (E −H0) |ψ0⟩ = 0,

se encuentra que:

(H0 + V ) |ψs⟩ = V |ψ⟩ (5-33)

despejando el estado dispersado

|ψs⟩ = (E −H0)−1V |ψ⟩ (5-34)


de modo que el estado final de la partıcula se puede expresar como

|ψ⟩ = |ψ0⟩+ (E −H0)−1V |ψ⟩ (5-35)

y para evitar la singularidad en el operador inverso se agrega una cantidad infinitesimal ±iϵ,obteniendo finalmente la ecuacion de Lippmann y Schwinger∣∣ψ(±)

⟩= |ψ0⟩+ (E −H0 ± iϵ)−1V

∣∣ψ(±)⟩. (5-36)

ahora bien, esta ecuacion es valida en el espacio momentum como el espacio posicion. A

continuacion se le aplica un bra de posicion y recurriendo a un operador identidad∣∣x′⟩ ⟨

x′∣∣

se obtiene

⟨x|ψ(±)⟩ = ⟨x|ψ0⟩+∫

⟨x| 1

E −H0 ± iϵ|x′⟩ ⟨x′|V

∣∣ψ(±)⟩d3x

′(5-37)

siguiendo la notacion en el estudio formal de las ecuaciones integrales se puede relacionar al

granulo o nucleo de la ecuacion como precisamente la funcion de Green, es decir

G±(x, x′) = ⟨x| 1

E −H0 ± iϵ|x′⟩ . (5-38)

A continuacion, si se llama a la funcion de Green sin perturbar al operador inverso G0 =

(E −H0 + iϵ)−1, se tiene que se debe cumplir

[E −H0 + iϵ]G0 = I (5-39)

con I el operador identidad, aplicando por la izquierda ⟨x| y por la derecha |x′⟩ se tiene

⟨x|[E −H0 + iϵ]G0|x′⟩ = ⟨x|x′⟩ (5-40)

usando H0 =P 2

2my con ϵ→ 0 se encuentra[

E − h2

2m∇2

x

]G0(x, x

′) = δ(x− x′) (5-41)

es decir, la funcion de Green cumple con la ecuacion de Schrodinger.

A menudo se expresa la funcion de Green en una notacion alterna a la anterior, que en su

escencia es equivalente a (5-38), se puede escribir tambien la funcion de Green como

GH(E) = lımϵ→0

(E −H + iϵ)−1 (5-42)

donde, tiene sentido tomar ′+′ ya que las ondas dispersadas se propagan alejandose de la

fuente, y no al reves. Para simplificar, es posible utilizar el sımbolo G0 para la funcion de

Green sin perturbar, esta se define como

G0 = GH0(E) = lımϵ→0

(E −H0 + iϵ)−1 (5-43)

en este sentido la ecuacion de Lippman-Schwinger asume la forma estandar

|ψ⟩ = |ψ0⟩+G0V |ψ⟩ |ψ⟩ = (1−G0V )−1 |ψ0⟩ (5-44)

a continuacion se analizaran aplicaciones de este formalismo en casos unidimensionales.

5.4 Partıcula Libre en una Dimension 45

5.4. Partıcula Libre en una Dimension

En el caso estacionario, para una partıcula libre las funciones propias se pueden relacionar

en el espacio posicion y en el espacio momentum respectivamente como:

⟨x|p⟩ = ψp(x) =1√2πh

eipx/h ⟨p|x⟩ = ψx(p) =1√2πh

e−ipx/h (5-45)

ahora para encontrar la funcion de Green para la partıcula libre, se aplican los operadores

identidad |p′⟩ ⟨p′| y |p′′⟩ ⟨p′′| en el espacio-momento e integrando (5-38) se obtiene

G±(x, x′) =

∫ ∫⟨x|p′⟩

⟨p′∣∣∣ 1

E −H0 ± iϵ

∣∣∣p′′⟩⟨p′′|x′⟩dp′dp′′ (5-46)

con (5-45) y⟨p′∣∣∣ 1

E − p′2/2m± iϵ

∣∣∣p′′⟩ =δ(p′ − p′′)

E − p′2/2m± iϵ(5-47)

sustituidas en (5-46), es decir

G±(x, x′) =

∫ ∞

−∞

[eip′x/h√2π

] 1

E − p′2/2m± iϵ

[e−ip′x′/h

√2π

]dp′ (5-48)

haciendo el cambio de variable p′ = hk′ y E = p2/2m factorizando algunos terminos se

obtiene2

G+(x, x′) = − 2m

2πh2

∫ ∞

−∞

eik′(x−x′)

k′2 − k2 − iϵdk′ (5-49)

con k′ − k − iϵ = (k′ +√k2 + iϵ)(k′ −

√k2 − iϵ) y

√k2 + iϵ = k + iϵ

2k= k + iε de modo que

G+(x, x′) = − 2m

2πh2

∫ ∞

−∞

eik′(x−x′)

(k′ +√k2 + iϵ)(k′ −

√k2 − iϵ)

dk′ (5-50)

esta integral puede ser resuelta por el metodo de la integral de contorno, lo que signifi-

ca extender k′ en el plano complejo con k → kRe + kIm, lo que conduce a eik(x−x′) →eik

′re(x−x′)−k′Im(x−x′). Ya que la funcion |k| → ∞, con lo cual, para x > x′ hay que cerrar el

contorno en el semiplano superior, por lo que solo se toma en cuenta el polo k′ = k + iϵ.

Para x < x′ se cierra el semiplano inferior, de modo que el polo k′ = −k − iϵ es utilizado.

Usando el teorema del residuo∮dz f(z)

z−z0= ±2πif(z0), donde ’+’ es usado para el camino del

contorno en sentido de las aguas del reloj, y ’-’ en sentido contrario. Se obtiene directamente

la funcion de Green en el caso +iϵ [22, 24]:

G+(x, x′) =

{− 2m

2πh22πieik(x−x′)

2kpara x > x′

− 2m2πh2 (−2πi) e

−ik(x−x′)

2kpara x < x′

(5-51)

2ya que la funcion de Green se define para ϵ real positivo e infinitesimal, esta satisface cϵ = arg(c)ϵ para

cualquier c


esta expresion se puede reducir a

⟨x|G0 |x′⟩ = − im

h2keik|x−x′| = − i

hveik|x−x′| (5-52)

que es precisamente la funcion de Green retardada dada en la ecuacion (5-18). Tambien se

puede llegar a esta expresion en el espacio de energıas a partir de

G0 = (E −H0 + iϵ) (5-53)

con

G0 =

∫ ∞

0

dE ′ |E ′⟩ ⟨E ′|E − E ′ + iϵ

; ⟨x|G0|x′⟩ =∫ ∞

0

dE ′ ⟨x|E ′⟩⟨E ′|x′⟩E − E ′ + iϵ

=

∫ ∞

0

dE ′ψ∗E′(x)ψE′(x′)

E − E ′ + iϵ;

(5-54)

donde ⟨x|E⟩ = (1/√2π)eikx. En[20], se puede observar la funcion de Green para la barrera

y pozo de potencial a partir de esta ultima definicion.

A continuacion se utilizaran algunas definiciones vistas hasta el momento para poder observar

la relacion existente entre la funcion de Green y la matriz de Transferencia.

5.4.1. T-matriz

A partir de las series de Born, el fenomeno de dispersion esta dado por[22]:

|ψs⟩ = (G0V +G0V G0 +G0V G0V G0 + ....) |ψ0⟩ (5-55)

en donde, se puede observar que esta ecuacion contiene al menos un evento dispersivo, al

factorizarlo se obtiene

|ψs⟩ = G0(V + V G0 + V G0V G0 + ....) |ψ0⟩ (5-56)

entonces, la suma entre parentesis contiene toda la informacion de las posibles formas en que

la partıcula podrıa haber sido dispersada. A este termino se le asocia una T-matriz, definida

a continuacion

|ψs⟩ = G0T |ψ0⟩ (5-57)

comparando con (5-34) y teniendo en cuenta que |ψ⟩ = (1−G0V )−1 |ψ0⟩ se puede demostrar

que

|ψs⟩ = G0V (1−G0V )−1 |ψ0⟩ (5-58)

donde se tiene inmediatamente

T = V (1−G0V )−1, T = (1− V G0)−1V (5-59)


la cual se puede expandir

T = V + V G0V + V G0V G0V + V G0V G0V G0V + .... (5-60)

proyectando esta en el espacio-posicion[22, 24]

T (x, x′) = V (x)δ(x−x′)+V (x)G(x, x′)V (x′)+

∫dV ′′V (x)G(x, x′′)V (x′′)G(x′′, x′)V (x′)+ ...

(5-61)

donde T (x, x′) = ⟨x|T |x′⟩ y G0(x, x′) = ⟨x|G0 |x′⟩

T-Matriz para el Potencial Delta 1-D

Considerando el mismo caso de una partıcula libre incidiendo sobre un potencial delta de la

forma V (x) = αδ(x), ahora bien, se quiere resolver el problema de dispersion y encontrar la

probabilidad de reflexion y transmision. Para ello a partir de (5-61) y (5-52) se encuentra

T (x, x′) = αδ(x)δ(x′) + αδ(x)(− i

hv

)eik|x−x′|αδ(x′)

+ αδ(x)

∫dx′′(− i

hv

)eik|x−x′′|αδ(x′′)

(− i

hv

)eik|x

′′−x′|αδ(x′) + ...

= αδ(x)δ(x′) + αδ(x)(− i

hv

)eik|x−x′|αδ(x′)

+(− i

hv

)2αδ(x)δ(x′)

∫dx′′eik|x−x′′|δ(x′′)eik|x

′′−x′| + ...

= αδ(x)δ(x′)[1 +

(− i

hv

)+(− i

hv

)2+ ...

]T (x, x′) =

αδ(x)δ(x′)

1 + i αhv

T (x, x′) =αδ(x)δ(x′)

1 + iβ(5-62)

ahora es posible conocer la onda dispersada con (5-57), donde ψ0(x) = eikx de modo que

ψs(x) =

∫dx′dx′′G(x, x′)T (x, x′′)ψ0(x)

=

∫dx′dx′′

(− i

hv

)eik|x−x′|αδ(x

′)δ(x′′)

1 + iβeikx

′′

=

∫dx′dx′′(−iβ)eik|x−x′| δ(x

′)δ(x′′)

1 + iβeikx

′′

=−iβ1 + iβ

∫dx′dx′′eik|x−x′|δ(x′)δ(x′′)eikx

′′

ψs(x) = − eik|x|

1− i/β(5-63)


siendo el valor de β el definido por la ecuacion (3-7), es decir, aquı podemos ver que (β)−1 =

ak siendo a = h2

mαla longitud de dispersion, ahora reemplazando esta ultima en (5-32) para

obtener la solucion total, es decir[24]3

ψ(x) = eikx − eik|x|

1− i/β, (5-64)

para x < 0 tenemos ψ(x) = eikx − e−ikx

1−i/βque precisamente es la funcion de onda incidente

menos la funcion de onda reflejada, identificando la amplitud de la funcion de onda reflejada,

r = − 11−i/β

y encontrando su norma al cuadrado se obtiene la probabilidad de reflexion para

la barrera tipo delta, de modo que R = |r|2.Ahora calculando la probabilidad de transmision, evaluamos la funcion de onda para x > 0

obteniendo

ψ(x) = eikx − eikx

1− i/β=

i/β

1− i/βeikx, (5-65)

donde, la amplitud de transmision es t = i/β1−i/β

y la probabilidad T = |t|2, haciendo esto se

encuentra:

T =1

1 + β2, R =

β2

1 + β2. (5-66)

que es precisamente la ecuacion (3-9) encontrada a traves de la (MT) en la seccion 3.

T-Matriz para un Potencial Doble de Dirac 1-D

Ahora continuando con este analisis, para encontrar la solucion del tunelamiento entre dos

potenciales tipo delta, tomando nuevamente ψ0(x) = eikx, con el potencial definido como

V (x) = αδ(x) + αδ(x − L), ahora iniciando los respectivos calculos con (5-32) en su forma

integral o (5-6) en el caso estacionario, se sabe que los deltas estan ubicados en x = 0 y

x = L

ψ(x) = ψ0(x) +

∫dx′G0(x, x

′)V (x′)ψ(x′) (5-67)

aplicando el potencial

ψ(x) = ψ0(x) +

∫dx′G0(x, x

′)(αδ(x′) + αδ(x′ − L))ψ(x′)

ψ(x) = ψ0(x) +

∫dx′G0(x, x

′)αδ(x′)ψ(x′) +

∫dx′G0(x, x

′)αδ(x′ − L)ψ(x′)

ψ(x) = ψ0(x) + αG0(x, 0)ψ(0) + αG0(x, L)ψ(L) (5-68)

3El potencial delta se encuentra en x=0


ahora evaluando en x = 0 y x = L

ψ(0) = ψ0(0) + αG0(0, 0)ψ(0) + αG0(0, L)ψ(L) (5-69)

ψ(L) = ψ0(L) + αG0(L, 0)ψ(0) + αG0(L,L)ψ(L) (5-70)

nuevamente a partir de (5-52) es posible encontrar las funciones de Green evaluadas en las

fronteras

G0(0, 0) = −iβαeik|0−0| = −iβ

αG0(0, L) = −iβ

αeik|0−L| = −iβ

αeikL (5-71)

G0(L, 0) = −iβαeik|L−0| = −iβ

αeikL G0(L,L) = −iβ

αeik|L−L| = −iβ

α(5-72)

reemplazando (5-71) y (5-72) en (5-69) y (5-70) respectivamente, se obtiene el siguiente

sistema de ecuaciones

(1 + iβ)ψ(0) + iβeikLψ(L) = 1 (5-73)

iβeikLψ(0) + iβ(1 + iβ)ψ(L) = eikL (5-74)

que al resolver se encuentra

ψ(0) =1 + iβ(1− ei2kL)

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)(5-75)

ψ(L) =eikL

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)(5-76)

ahora bien, reemplazando estas en (5-68)

ψ(x) = eikx + α(− iβ

αeik|x|

)( 1 + iβ(1− ei2kL)

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)

)+ α

(− iβ

αeik|x−L|

)( eikL

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)

)ψ(x) = eikx − iβ

eik|x|(1 + iβ(1− ei2kL)) + eik(L+|x−L|)

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)

)(5-77)

haciendo el lımite de x → ∞ para x >> L, encontramos que la funcion de onda toma la

forma

ψ(x) = teikx (5-78)

ψ(x) =1

1 + 2iβ − β2(1− ei2kL)eikx (5-79)

en donde para calcular la probabilidad de transmision se debe realizar el mismo procedimien-

to visto para un solo delta de potencial, es decir T = |t|2; cabe resaltar, que el termino t,

es exactamente el inverso del elemento M11 de la matriz de transferencia (MT) con L = 2a,

del doble pozo de potencial delta visto en la seccion 3, ecuacion (3-14), y la transmision se

calculo a partir de su norma al cuadrado, encontrando resultados identicos[24].


5.4.2. S-Matriz

Ahora imaginando una perturbacion en el espacio en un punto x = x′, dicha perturbacion

viajara en el espacio transmitiendo la informacion del evento ocurrido en x′ como una onda.

Hasta que esta, se encuentra con un medio dispersivo (que en principio puede ser desconoci-

do), interrumpiendo el camino libre de dicha informacion u onda, luego se mide la onda en

un punto x = x, donde la informacion de la fuente y el medio dispersivo esta contenida en

la funcion de Green retardada G+(x, x′), de x′ hasta x, como se muestra en la figura (5-3).

Ahora bien, la matriz de dispersion describe al medio dispersivo. De tal manera se puede

escribir la matriz de dispersion en terminos de la funcion de Green.

Figura 5-5.: Representacion esquematica de la descripcion fısica de la funcion de Green luego de interactuar

un medio dispersivo

Esto es lo que se conoce como la relacion de Fisher-Lee [7, 4], la cual tiene la forma:

GRqp = δqpA

−p + S ′

qpA+p (5-80)

donde las amplitudes A+ y A−, estan definidas por la ecuacion (5-22), y s′qp es el coeficiente

de la matriz de transmision dependiente de la velocidad de fase en el punto p con respecto

al punto q, el cual se puede escribir como

s′qp = sqp

√vpvq

(5-81)

reemplazando esta ultima y (5-22), en (5-25) y despejando sqp se obtiene los coeficientes de la

matriz de dispersion en terminos de la funcion de Green retardada, encontrando finalmente:

Sqp = −δqp + ih√vqvpG

Rqp (5-82)

debido a que la matriz de dispersion se puede escribir en terminos de la matriz de trans-

ferencia, esta ecuacion se puede expresar en funcion de esta ultima, aunque su deduccion

es de mayor complejidad, para observarla, se puede consultar la referencia [30], en donde

los autores escriben cada coeficiente de la (MT) en terminos de funciones de Green. Ahora

visualizando esto cuando el potencial es una funcion delta[24].


S-Matriz Potencial Delta 1-D

Figura 5-6.: a)Amplitudes de dispersion para la barrera de potencial delta αδ(x). b) Modelo discreto para

el potencial delta cuya discontinuidad esta en el nodo A

partiendo del Hamiltoniano en el espacio discreto en una dimension, y escribiendo la diferen-

cia entre la energıa y este Hamiltoniano proveniente de la solucion numerica de la ecuacion

de Schrodinger, se llega a la funcion de Green para este sistema[4], escribiendo:

GR =1

ihv − α(5-83)

y reemplazando esta funcion en la ecuacion (5-27), se obtiene que la matriz de dispersion es:

Spq = −δpq +ihv

ihv − α=

(α

ihv−αih

ihv−αih

ihv−αα

ihv−α

)(5-84)

donde esta matriz escrita terminos de las sustituciones iniciales, es decir en terminos de β

y la energıa E.4

MS =1

1 + iβ

(−iβ 1

1 −iβ

)(5-85)

T =1

1− β2=

1

1− mα2

2h2E

(5-86)

Que resulta ser equivalente a la matriz de dispersion descrita por la ecuacion (3-8), cuya

transmitancia esta dada por la ecuacion (3-10), salvo en el signo debido al potencial repulsivo.

4Si el lector desea obtener especıficamente cada uno de los elementos de la matriz de dispersion en termi-

nos de funciones de Green, puede consultar el apendice H en Green’s functions in Quantum Physics,

Economou. Pag 372-374


5.5. Metodo de Funciones de Green de Superficie

(MFGS)

En la teorıa de dispersion, expresada en terminos de funciones de Green basicamente se

escribe a partir de la ecuacion integral de Dyson

G(r, r′) = G0(r, r′) +

∫d3G0(r, r

′′)V (r′′)G0(r′′, r′) (5-87)

para el propagador perturbado G. Si el potencial de dispersion es reemplazado por la matriz

de transferencia ”T(r,r’)”, es decir, por la dispersion total, la ecuacion de Dyson puede ser

expresada en una notacion mas compacta como:

G = G0 +G0TG0, (5-88)

Considerando ahora dos medios, 1 y 2, descritos por sus correspondientes funciones de Green,

G1 y G2, unidos por una interfaz plana. El problema que se quiere resolver es; encontrar la

funcion de Green del sistema (1-2) en terminos de G1 y G2 en dicha interfase. Ahora bien, se

puede pensar en una excitacion propagandose desde z′ (con un propagador si perturbar G2),

luego tal excitacion es perturbada (dispersada) por la interfase (Transmision y Reflexion).

Esto se puede representar por el siguiente diagrama

Figura 5-7.: Propagador desde un punto dentro del medio 2, es decir z′µ, a otro punto dentro del mismo

medio zµ, este puede ser expresado directamente, o a traves de la reflexion dada por la interfaz, mientras

que en el otro medio zµ el propagador puede ser expresado a traves de la transmision

En donde, el subındice µ representa la pertenecıa al medio µ y µ la pertenencia al medio

complementario (µ = 2, entonces µ = 1), de modo segun el grafico z′ ∈ µ, la excitacion se

propaga a z ∈ µ segun Gµ(z, z′), pero tambien se incluye el efecto de reflexion dado por S

5.5 Metodo de Funciones de Green de Superficie (MFGS) 53

la cual se encuentra en z = 0, de modo que la funcion de Green en el medio µ, se puede

expresar como:

G(z, z′) = Gµ(z, z′) +Gµ(z, 0)RGµ(0, z

′) (z, z′ ∈ µ), (5-89)

la amplitud en un punto situado en el medio µ viene dada por

G(z, z′) = Gµ(z, 0)TGµ(0, z′) (z ∈ µ, z′ ∈ µ), (5-90)

evaluando las anteriores ecuaciones en la superficie se obtiene, omitiendo los argumentos z, z′

la funcion de Green de superficie gs, ası:

gS = gµ + gµRgµ (5-91)

gS = gµTgµ (5-92)

Es decir que las funciones de Green de superficie se puede pensar como la proyeccion del

propagador o la funcion de Green de los medios constituyentes en la interfase o frontera, de

tal modo que, conocida la funcion de Green de todo el sistema se puede calcular la funcion

de Green en la interfase, y de allı se pueden calcular probabilidad de transmision y reflexion

como en los casos estudiados con anterioridad [10, 8].

6. Analogos Electrodinamicos

6.1. Ecuacion de Onda de Helmholtz

Con el objetivo de analizar la equivalencia entre fenomenos ondulatorios y cuanticos, inicia-

remos la discusion a partir de las ecuaciones de Maxwell, ya que estas describen los aspectos

fundamentales del electromagnetismo, y la existencia de soluciones que consisten en ondas

planas progresivas que representan el transporte de energıa de un punto a otro. las ecuacio-

nes de Maxwell (con unidades generalizadas k1, k2, k3, k4, k5) en un medio infinito son:

ley de Gauss

∇ ·D = 4πk1k4ρ (6-1)

Ley de Gauss Magnetica

∇ ·B = 0 (6-2)

Ley de Faraday

∇× E = −k3∂

∂tB (6-3)

Ley de Ampere-Maxwell

∇×B = 4πk2k5J+k2k5k1k4

∂

∂tD (6-4)

Que en ausencia de fuentes los terminos; densidad de carga ρ = 0, y la densidad de corriente

J = 0. Los campos electrico y magnetico estan dados por las relaciones constitutivas para

materiales lineales e isotropicos:

D = k4εrE

H =k5µr

B(6-5)

con εr = εk4, µr = k5µ la permitividad y permeabilidad relativa, aprovechando que las diver-

gencias son nulas para obtener la ecuacion de onda caracterıstica, se toman los rotacionales

a las ecuaciones (6-3) y (6-4). Encontrando que las componentes Φ(x,t) ≡ E o Φ(x,t) ≡ B

satisfacen la ecuacion de onda.

∇2Φ(x,t) −k2k3k1

k5k4µε

∂2

∂t2Φ(x,t) = 0 (6-6)

6.2 Ecuacion de Onda de Schrodinger 55

Esta ecuacion relaciona la segunda derivada espacial de Φ(x,t) con su segunda derivada tem-

poral. Ahora si se considera la solucion de la ecuacion armonica en el tiempo, es decir,

Φ(x,t) = φ(x)e−iωt, se llega a la ecuacion de onda de Helmholtz [14].

∇2φ(x) = −k2k3k1

k5k4µεω2φ(x) (6-7)

En unidades MKS.1

∇2φ(x) = − 1

c2µε

µ0ε0ω2φ(x) (6-8)

Como n2 ≡ µεµ0ε0

, en una dimension, esta ecuacion queda escrita finalmente como:

∂2

∂x2φ(x) +

ω2n2

c2φ(x) = 0

∂2

∂x2φ(x) +K2

elecφ(x) = 0 (6-9)

donde Kelec =ωnc, es la relacion de dispersion en el caso electromagnetico[14].

6.2. Ecuacion de Onda de Schrodinger

La ecuacion en la mecanica cuantica para la onda en una dimension es:

− h2

2m

∂2

∂x2Ψ(x,t) + V(x,t)Ψ(x,t) = ih

∂

∂tΨ(x,t) (6-10)

relaciona la segunda derivada espacial de Ψ(x,t) con su primera derivada temporal y con la

funcion misma, al aplicar separacion de variables siendo E, la constante de separacion, se

puede escribir la ecuacion de onda independiente del tiempo como:

− h2

2m

∂2

∂x2ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x) (6-11)

que se puede reescribir como:

∂2

∂x2ψ(x) +

2m

h2(E − V(x))ψ(x) = 0 (6-12)

∂2

∂x2ψ(x) +K2

cuantψ(x) = 0 (6-13)

donde Kcuant =√

2mh2 (E − V(x)), es la relacion de dispersion para el caso cuantico.

1ver tabla de unidades en: apendice B.1

56 6 Analogos Electrodinamicos

6.3. Analogos Electrodinamicos y Cuanticos

De tal manera que las ecuaciones (6-9) y (6-13), son practicamente equivalentes, es-

tableciendo ası, la primera analogıa como:

Kelec =ωn

c⇔ Kcuant =

√2m

h2(E − V(x)) (6-14)

Cabe resaltar que la relacion de dispersion para el caso electromagnetico es la funcion que

relaciona al numero de onda k con la frecuancia ω (ondas), y en el caso de partıculas (elec-

trones), es la funcion que relaciona la energıa E con el momento P de la partıcula, se sabe

clasicamente hablando que esta relacion es E = p2

2m, donde, a traves de las relaciones de

Broglie-Einstein se puede escribir como E = hω = (hk)2

2m.

6.3.1. Ecuaciones de Frontera para el Caso Electrodinamico sobre

Interfases Dielectricas

Sobre una interfase en forma de capas como se muestra en la figura (6-1) incide una on-

da electromagnetica plana. Los ındices de refraccion de los tres medios no permeables son

n1, n2, n3, el espesor de la capa intermedia es d, y los medios envolventes son infinitos, aho-

ra bien, se desea calcular por los metodos tradicionales los coeficientes de transmision y

reflexion2.

Figura 6-1.: Onda electromagnetica propagandose en medios dielectricos

Debido a que la componente del campo magnetico se puede expresar en terminos del campo

electrico con la relacion B =√µεn × E en terminos de sus magnitudes B = E

vsiendo v la

2Ver problema 7.2 Jackson

6.3 Analogos Electrodinamicos y Cuanticos 57

velocidad de la onda en el medio material.

La solucion de la ecuacion de onda en la primera region (I) se escribe:

Ei = Eiei(k1z−ωt)i Bi =

√µ1ε1

k1k1k × Eiei(k1z−ωt)i

Bi =√µ1ε1E

iei(k1z−ωt)j

Bi =Ei

v1ei(k1z−ωt)j

Er = Erei(−k1z−ωt)i Br = −Er

v1e−i(k1z−ωt)j

(6-15)

en la segunda region (II)

E+ = E+ei(k2z−ωt)i B+ =E+

v2ei(k2z−ωt)j

E− = E−ei(−k1z−ωt)i B− = −E−

v2e−i(k1z−ωt)j

(6-16)

en la region (III)

Et = Etei(k3z−ωt)i Bt =Et

v3ei(k3z−ωt)j (6-17)

teniendo en cuenta que los campos totales electrico y magnetico son la superposicion del

reflejado e incidente respectivamente. Donde los subındices i, r, se refieren a las amplitudes

incidentes y reflejadas, +,−, transmitidas y reflejadas en el segundo medio, t, transmitida

al tercer medio. Debido a que la onda esta polarizada de tal manera que la incidencia de los

campos es normal, tenemos las siguientes condiciones de frontera:

(DII −DI) · n = 0 (BII −BI) · n = 0 (6-18)

(EII − EI)× n = 0 (BII −BI)× n = 0 (6-19)

ya que las componentes transversales son nulas solamente interesan las componentes paralelas

a la interfase y estas E∥ y B∥ son continuas en la frontera x = 0, d, ası que para encontrar las

amplitudes transmitidas y reflejadas en los diferentes medios solamente es de utilidad para

este caso las condiciones de frontera dadas por la ecuacion (6-19).

Evaluando la frontera en x = 0

[(E+eik1z + E−e−ik1z)− (Eieik1z + Ere−ik1z)]i× z∣∣z=0

= 0

(E+ + E− − Ei − Er)j = 0

Ei + Er = E+ + E− (6-20)

[(E+

v2eik2z − E−

v2e−ik1z)− (

Ei

v1eik1z − Er

v1e−ik1z)]j × z

∣∣z=0

= 0

(1

v2(E+ − E−)− 1

v1(Ei − Er))i = 0


Ei − Er =v1v2(E+ − E−) (6-21)

evaluando la frontera en x = d

[(Eteik1z)− (E+eik1z + E−e−ik1z)]i× z∣∣z=d

= 0

((E+eik1d + E−e−ik1d)− (Eteik1d))j = 0

Eteik1d = E+eik1d + E−e−ik1d (6-22)

[(Et

v3eik3z)− (

E+

v2eik2z − E−

v2e−ik1z)]i× z

∣∣z=d

= 0

(Et

v3eik3d − (

E+

v2eik2d − E−

v2e−ik1d))i = 0

v2v3Eteik3d = E+eik2d − E−e−ik1d (6-23)

donde se sabe que para una onda monocromatica la velocidad de fase es v = ωk, siendo k la

relacion de dispersion[26], se puede reescribir las siguientes relaciones:

k2k1

=ωv2ωv1

=v1v2

≡ n1

n2

≡ α (6-24)

k3k2

=ωv3ωv2

=v2v3

≡ n2

n3

≡ β (6-25)

sumando las ecuaciones (6-22) y (6-23)

2E+eik2d = (1 +v2v3)Eteik3d (6-26)

E+eik2d =1

2(1 +

v2v3)Eteik3d (6-27)

restando (6-22) y (6-23)

2E−e−ik2d = (1− v2v3)Eteik3d (6-28)

E−e−ik2d =1

2(1− v2

v3)Eteik3d (6-29)

ahora sumando (6-20) y (6-21), para encontrar el campo electrico transmitido como funcion

del campo incidente.

2Ei = E+ + E− +v1v2(E+ − E−) (6-30)

2Ei = E+ + E− + α(E+ − E−) (6-31)

2Ei = (1 + α)E+ + (1− α)E− (6-32)


De (6-27) y (6-29) sustituimos los campos de la region II, en (6-32).

2Ei = (1 + α)(1

2(1 + β)Eteik3de−ik2d) + (1− α)(

1

2(1− v2

v3)Eteik3de+ik2d)

Ei =1

4Eteik3d{(1 + β)(1 + α)e−ik2d + (1− β)(1− α)eik2d}

Ei

Et=

1

4eik3d{(1 + β + α + βα)(cos (k2d)− i sin (k2d))

+(1− β − α + βα)(cos (k2d) + i sin (k2d))}

y realizando los respectivos productos y luego de hacer un poco de algebra.

Ei

Et=

1

4eik3d{2(1 + αβ) cos (k2d)− 2i(α + β) sin (k2d)}

Ei

Et=

1

2eik3d{(1 + αβ) cos (k2d)− i(α + β) sin (k2d)}

Ahora, encontrando la norma al cuadrado de la anterior ecuacion, se encuentra:

4∣∣Ei

Et

∣∣2 = (1 + αβ)2 cos2 (k2d) + (α + β)2 sin2 (k2d)

= (1 + αβ)2(1− sin2 (k2d)) + (α + β)2 sin2 (k2d)

= (1 + αβ)2 + {(α + β)2 − (1 + αβ)2} sin2 (k2d)

= (1 + αβ)2 + {α2(1− β2)− (1− β2)} sin2 (k2d)

= (1 + αβ)2 + {(1− β2)(−1 + α2)} sin2 (k2d)

4∣∣Ei

Et

∣∣2 = (1 + αβ)2 − (1− β2)(1− α2) sin2 (k2d) (6-33)

donde el coeficiente de transmision esta dado por la relacion entre la intensidad de la onda

transmitida comparada con la intensidad de la onda incidente, este relacion se deduce por

el flujo de energıa promedio, es decir, el vector de Poiynting

T =Itransmitida

Iincidente=µ3v3µ1v1

∣∣Ei

Et

∣∣2 = v3v2v2v1

∣∣Ei

Et

∣∣2 = αβ∣∣Ei

Et

∣∣2 (6-34)

sustituyendo (6-33) en (6-34) el coeficiente de transmision queda finalmente escrito por:

T =4αβ

(1 + αβ)2 − (1− β2)(1− α2) sin2 (k2d)(6-35)

para el caso en donde n1 = n3, con α = n2

n1y β = n3

n2, de modo que αβ ≡ 1, la transmision


queda escrita:

T =4

4− (1− β2)(1− α2) sin2 (k2d)

T =4

(4− (2− (n42+n4

1

n21n

22)) sin2 (k2d))

T =4

(4 + (n42−2n1n2+n4

2

n21n

22

) sin2 (k2d))

y finalmente con k2 ≡ ωn2

c

T =1

1 +(n2

2−n21

2n1n2

)2sin2 (ωn2

c d)(6-36)

esta ecuacion muestra el resultado esperado, ya que el termino sin2 (ωn2

cd) describe un patron

de interferencia que depende del espesor de la placa, y de la longitud de onda incidente, al

graficar se llega al mismo resultado visto en la figura (4-3).

6.3.2. Equivalencia entre el Coeficiente de Transmision para un

Barrera o Pozo de Potencial con interfases Dielectricas

Como se ha visto a lo largo de este trabajo, existen relaciones entre la propagacion de ondas o

partıculas en fenomenos cuanticos y electrodinamicos, pero para establecer mas formalmente

estas relaciones se establecen las siguientes analogıas.

(i) Si la permitividad electrica de la placa ε2 es mayor que la permitividad del medio

incidente y transmitido, es decir, ε2 > ε1, este fenomeno cumple el mismo rol de una

partıcula incidente sobre un pozo potencial.

Figura 6-2.: Analogo entre interfases dielectricas con el pozo de potencial

(ii) si ε2 < ε1 este problema es analogo a una partıcula incidiendo sobre una barrera

de potencial.


Figura 6-3.: Analogo entre interfases dielectricas con la barrera de potencial

Onda Plana Incidente Sobre una Interfase Dielectrica y su Analogo Cuantico

Considerando la propagacion de una onda plana con incidencia oblicua sobre una interfase

dielectrica, es decir, formando un angulo θ con respeto a la superficie, viajando entre dos

medios caracterizados por diferentes permitividades (ε1,ε2), y permeabilidades (µ1,µ2). Por

comodidad, el sistema de coordenadas se fija sobre la interfase y perpendicular al eje z,

como tambien, al plano de incidencia. Donde este plano esta determinado por la normal de

la interfase, la direccion de propagacion de la onda electromagnetica es perpendicular al eje

y, la geometrıa de este problema es mostrado en la figura (6-4), donde el vector de onda

solo tiene dos componentes k = (kx, 0, kz).

Figura 6-4.: Vectores de onda para una onda electromagnetica incidente sobre una interfase dielectrica

Esta formulacion es mas complicada que el problema de propagacion de una partıcula en el

caso cuantico, pero como se vera a continuacion, no deja de haber equivalencias bien definidas

entre estos fenomenos, para empezar con el respectivo analisis se necesitan establecer las

condiciones de frontera de los campos electromagneticos en la interfase, se requiere que

las componentes tangenciales sean continuas sobre la misma, y por ende, las componentes

tangenciales de los vectores de onda, es decir: ki1x = kr1x = kr2x


los vectores de onda para cada medio se pueden expresar como:

n21ω

2

c2= k21 = k2x + k21z, n1 =

√µ1ε1

n22ω

2

c2= k22 = k2x + k22z, n2 =

√µ2ε2

(6-37)

si restamos las anteriores ecuaciones encontramos.

ω2

c2(ε1 − ε2) = k21z − k22z (6-38)

En el caso cuantico es posible escribir la diferencia entre los numeros de onda, para cada

region donde se propague la onda o partıcula, en este caso, sobre una barrera potencial en 1

dimension, definiendo a continuacion los respectivos numeros de onda

k21z ≡ k2 =2mE

h2k22z ≡ q2 =

2m(E − V0)

h2(6-39)

encontrando su diferencia:

2mV0

h2= k2 − q2 ≡ k21z − k22z (6-40)

se puede establecer la equivalencia igualando (6-38) con (6-40)

2mV0

h2≡ ω2

c2(ε1 − ε2) (6-41)

de la anterior se observa que este es resultado es el mismo obtenido al de haber comparado

la ecuacion de onda de Helmholtz con la ecuacion de onda de Schrodinger, en donde, la

discontinuidad en el potencial o el potencial que siente la onda al propagarse del medio uno

al dos, es equivalente a la diferencia que siente la onda, de permitividades entre los dos

medios dielectricos.

Para establecer la relacion de la energıa incidente de la onda, se compara la relacion de

dispersion en la direccion z, para ambas regiones, igualando las ecuaciones (6-37) con (6-39)

se obtiene como resultado la relacion para la energıa incidente:

2mE

h2≡ n2

1ω2

c2− k2x (6-42)

ahora para definir las parametros adimensionales vistos en el capıtulo 4 η = EV0, y χ =

2ah

√2mV0, y para encontrar su equivalencia electrodinamica se procede dividiendo la ecua-

cion (6-42) entre (6-41) encontrando ası:

η ≡ E

V0≡

ω2

c2ε1 − k2x

ω2

c2(ε1 − ε2)

(6-43)


haciendo uso de la ley de Snell, se puede conocer la componente del vector de onda k1x, comon1ωc

sin θ1 on2ωc

sin θ2, y bajo incidencia normal θ1,2 = 0, por ende, este termino se anula de la

anterior relacion. Y finalmente para encontrar el parametro χ, despejamos V0 de la ecuacion

(6-41), y se reemplaza en la definicion de χ, para el caso cuantico

χ =a

h

√2mV0

χ =a

h

√2m{ h

2

2m

ω2

c2(ε1 − ε2)}

haciendo a = d

χ =dω

c

√|ε1 − ε2| (6-44)

definidos estos parametros, es posible establecer el paralelo entre los fenomenos involucrados,

en el caso de la barrera de potencial, los resultados o analogıas son mostradas en la tabla

(6-1), y para el caso del pozo de potencial, se debe hacer el mismo procedimiento mostrado

anteriormente, partiendo de la diferencia que existe entre la definicion de los vectores de

onda en la region dos, es decir, el vector de onda que adopta la onda en dicha region, o

dentro de la barrera o pozo, este ultimo caso, difiere con respecto al primero en el valor del

potencial, este es negativo Vx = −V0, de tal manera que el vector de onda en dicha region

quedara escrita como KcuanticoII = q =√

2mh2 (E + V0),(ver ecuacion (5-39)). Al final se llega

a los resultados mostrados en la tabla (6-2)[13, 15]

BARRERA DE POTENCIAL PLACA DIELECTRICA∂2

∂x2ψ(x) +K2cuantψ(x) = 0 ∂2

∂x2ψ(x) +K2cuantψ(x) = 0

Kcuant =√

2mh2 (E − V(x)) Kelec =

ωnc

2mEh2

ω2

c2ε1 − k2x

2mV0

h2ω2

c2(ε1 − ε2)

η ≡ EV0

η ≡ω2

c2ε1−k2x

ω2

c2ε1−ε2

χ2 = 2ma2

h2 |V0| χ2 = ω2l2

c2|ε1 − ε2|

Tabla 6-1.: Paralelo entre fenomenos cuanticos (barrera de potencial) y electrodinamicos


POZO DE POTENCIAL PLACA DIELECTRICA∂2

∂x2ψ(x) +K2cuantψ(x) = 0 ∂2

∂x2ψ(x) +K2elecψ(x) = 0

Kcuant =√

2mh2 (E + V(x)) Kelec =

ωnc

2mEh2

ω2

c2ε1 − k2x

−2mV0

h2ω2

c2(ε1 − ε2)

η ≡ − EV0

η ≡ −ω2

c2ε1−k2x

ω2

c2ε1−ε2

χ2 = 2ma2

h2 |V0| χ2 = ω2l2

c2|ε1 − ε2|

Tabla 6-2.: Paralelo entre fenomenos cuanticos (pozo de potencial) y electrodinamicos

Definidas estas relaciones, estas pueden ser comprobadas desde un punto de vista teorico, sı,

a partir de estas relaciones y con los coeficientes de transmision encontrados en el capıtulo

4, se llega al mismo resultado tradicionalmente resuelto desde las ecuaciones de Maxwell, es

decir, si se llega al mismo coeficiente de transmision dado por la ecuacion (6-36), a partir de

un resultado cuantico.

Con este objetivo retomamos los resultados vistos en el capıtulo 4 para la transmision, y de

modo que no se ha caracterizado las magnitudes de n1 y n2, se parte de la transmision para

la barrera de potencial con η > 1, es decir ondas incidentes con energıas mayores al potencial

de la barrera y la transmision para el pozo de potencial para η > 0, es decir, en este caso

la energıa siempre es mayor que la del potencial.(dado que se mostro que las matrices de

transferencia son identicas en su forma, solamente difieren en el numero de onda q)

T =

4η(η−1)

4η(η−1)+sin2(χ√η−1)

=⇒ η > 1, Barrera.

4η(η+1)

4η(η+1)+sin2(χ√η+1)

=⇒ η > 0, Pozo.

(6-45)

a partir del caso de la barrera donde η =n21

n21−n2

2y χ = dω

c

√|n2

1 − n22|, y como en este caso

n1 > n2, el valor absoluto |n21 − n2

2| = n21 − n2

2, ahora, reemplazando estos terminos en la

ecuacion anterior

T =1

1 + {4( n2

1

n21−n2

2

)( n21

n21−n2

2− 1)}−1 sin2

(dωc

√(n2

1 − n22)√( n2

1

n21−n2

2− 1))

T =1

1 + {4( n2

1

n21−n2

2

)(n21−n2

1+n22

n21−n2

2

)}−1 sin2

(dωc

√(n2

1 − n22)√(n2

1−n21+n2

2

n21−n2

2

))T =

1

1 + {4( n2

1

n21−n2

2

)( n22

n21−n2

2

)}−1 sin2

(dωc

√n22

)


finalmente queda escrita

T =1

1 +(n22−n212n1n2

)2sin2 (ωn2c d)

(6-46)

apartir del caso del pozo donde η =−n2

1

n21−n2

2y χ = dω

c

√|n2

1 − n22|, y como en este caso n1 < n2,

el valor absoluto |n21−n2

2| = −(n21−n2

2), ahora reemplazando en la el termino correspondiente

T =1

1 + {4( −n2

1

n21−n2

2

)( −n21

n21−n2

2+ 1)}−1 sin2

(dωc

√−(n2

1 − n22)√( −n2

1

n21−n2

2− 1))

T =1

1 + {4( −n2

1

n21−n2

2

)(−n21+n2

1−n22

n21−n2

2

)}−1 sin2

(dωc

√−(n2

1 − n22)√(−n2

1+n21−n2

2

n21−n2

2

))T =

1

1 + {4( −n2

1

n21−n2

2

)( −n22

n21−n2

2

)}−1 sin2

(dωc

√n22

)finalmente queda escrita

T =1

1 +(n22−n212n1n2

)2sin2 (ωn2c d)

(6-47)

estos resultados son equivalentes con el caso optico, y aunque la forma matematica es

identica, la fısica de los fenomenos involucrados son completamente distintos, el espectro de

transmision para un pozo o barrera de potencial, depende de la energıa de la onda incidente

sobre el potencial y de esta, el patron de interferencia, en el caso dielectrico, la transmi-

sion depende de igual manera de la energıa de la onda, pero a diferencia, la interferencia

no depende de la energıa, si no, de la relacion del espesor de la placa con la longitud de

onda incidente. Cuando las magnitudes de estas cantidades son comparables, es decir, son

cercanas, existe interferencia (Fabrit-Perot), en el caso contrario, no sucede la interferencia,

y el valor para la transmision permanece constante.

Si se varia el angulo de incidencia sobre la placa dielectrica, permaneciendo constante la

longitud de onda se obtiene el patron de interferencia Fabrit-Perot para angulos menores al

angulo crıtico, y tunelamiento o transmision nula para angulos mayores al angulo crıtico,

paralelo a la barrera para energıas mayores y menores al potencial respectivamente[21]3.

3Markos pag. 215


6.4. Confirmacion Experimental de los Analogos por

Medidas de Transmision sobre una Pelıcula

Delgada-Sustrato.

6.4.1. Aplicacion del modelo

Se parte del sistema optico aire-semiconductor-sustrato-aire, donde el semiconductor es una

pelıcula delgada de ZnSe, ahora bien, podemos hacer el analogo cuantico de este sistema

como se muestra en la figura (6-5).

Figura 6-5.: Analogo experimental

Partiendo de las soluciones para cada region de la ecuacion de Schrodinger.

ψ(x) =

1√k1

(Aeik1x +Be−ik1x

), si −∞ < x < 0,

1√k2

(Ceik2x +De−ik2x

), si 0 < x < a,

1√k3

(Feik3x +Ge−ik3x

), si a < x < b,

1√k4

(Ieik4x + Je−ik4x

), si b < x <∞.

donde la matriz del sistema esta dada por:

MT =1

8k3k2k1

(k1 + k3 k1 − k3k1 − k3 k1 + k3

)(eik3b 0

0 e−ik3b

)(k3 + k2 k3 − k2k3 − k2 k3 + k2

)(eik2a 0

0 e−ik2a

)(k2 + k1 k2 − k1k2 − k1 k2 + k1

) (6-48)

luego de realizar los productos matriciales se obtiene la matriz de transferencia de todo el

sistema4, y ya que los coeficientes de esta matriz son muy extensos solamente se toma el

4Apendice B.2.1

6.4 Confirmacion Experimental de los Analogos por Medidas de Transmision sobre unaPelıcula Delgada-Sustrato. 67

termino de interes, el que definira la transmision, es decir, el coeficiente M11, este termino

se escribe a continuacion.

M11 =1

8k3k2k1

[((k1 + k3)(k3 + k2)e

ik3b + (k1 − k3)(k3 − k2)e−ik3b

)(k2 + k1)e

ik2a

+((k1 + k3)(k3 − k2)e

ik3b + (k1 − k3)(k3 + k2)e−ik3b

)(k2 − k1)e

−ik2a] (6-49)

simplificando esta expresion.5

M11 = cos (k3b) cos (k2a) +i

2

[k1k2

+k2k1

]cos (k3b) sin (k2a)

+i

2

[k1k3

+k3k1

]sin (k3b) cos (k2a)−

1

2

[k2k3

+k3k2

]sin (k3b) sin (k2a)

(6-50)

En este caso el coeficiente tiene un parte real y una parte imaginaria, debido a que los vectores

de onda en todas las regiones son reales, es decir, no hay fenomenos de absorcion, es por este

motivo que se estudiara el espectro de transmision de una pelıcula delgada semiconductora en

la zona transparente ya que es esta region la absorcion es casi nula. Ahora bien continuando,

para encontrar el coeficiente de transmision se debe encontrar el cuadrado de la norma

|M11|2 =M11 ·M∗11, y finalmente tomando su inverso se obtiene el coeficiente de transmision

descrito por:6

T = |M11|−2 ={cos2 (k3b) cos

2 (k2a) +1

4

[k21 + k22k1k2

]2cos2 (k3b) sin

2 (k2a)

+1

4

[k21 + k23k1k3

]2sin2 (k3b) cos

2 (k2a) +1

4

[k22 + k23k2k3

]2sin2 (k3b) sin

2 (k2a)

+(k21 − k22)((k

21 − k23)

8k21k2k3sin (2k3b) sin (2k2a)

}−1

(6-51)

ahora escribiendo la transmision con los vectores de onda para una onda electromagnetica

ki =ωni

c, siendo i = 1, 2, 3 la region en donde se propaga la onda, tenemos:

T⊥ ={cos2

(ωn3

cb)cos2

(ωn2

ca)+

1

4

[n21 + n2

2

n1n2

]2cos2

(ωn3

cb)sin2

(ωn2

ca)

+1

4

[n21 + n2

3

n1n3

]2sin2

(ωn3

cb)cos2

(ωn2

ca)+

1

4

[n22 + n2

3

n2n3

]2sin2

(ωn3

cb)sin2

(ωn2

ca)

+(n2

1 − n22)((n

21 − n2

3)

8n21n2n3

sin(2ωn3

cb)sin(2ωn2

ca)}−1

(6-52)

5Desarrollos en: Apendice B.2.26Apendice B.2.3


obtenida esta expresion simularemos el espectro de transmision, para los valores ya repor-

tados y mostrados en la literatura, y ası poder confirmar la validez del metodo, estos se

muestran en la siguiente tabla:

Arreglo Exp INDICE DEL AIRE n1 INDICE DE LA PELICULA DIELECTRICA n2 INDICE DEL SUSTRATO n3 ESPESOR a (nm) ESPESOR b(nm)

1 1.00029 1.2 1.52 300 1× 106

2 1.00029 2.4 1.52 600 1× 106

Tabla 6-3.: Indices y espesores reportados en la literatura. En la pagina de Internet de la Universidad de

Barcelona: Laboratorio de fısica de materiales dielectricos y opticos[9]

utilizando la expresion encontrada a traves del uso del MMT, y sustituyendo los valores

senalados en la anterior tabla obtenemos las respectivas graficas:

Figura 6-6.: Espectros de transmision para los valores mostrados por la tabla (6-3), con la relacion (6-52)

obteniendo un resultado un poco extrano para la transmitancia, aunque, no deja de ser

interesante, en primer lugar, la transmision se encuentra normalizada que es lo que pri-

meramente se espera de este tipo de modelos, segundo se observa unas ”bandas”para la

transmision debidas a la envolvente, matematicamente descrita por el producto de dos fun-

ciones trigonometricas, o que es lo mismo la amplitud esta modulada. Se puede concluir a

priori que la transmision permitida para este arreglo se encuentra dentro de la envolvente

de transmitancia, mostrada por la figura (6-6) de color azul.

Se puede decir, que este resultado aun esta lejos del espectro que se obtiene experimen-

talmente en el laboratorio, pero si nos da ideas del fenomeno, el metodo de la matriz de

transferencia incluye la informacion del proceso de coherencia entre las ondas reflejadas den-

tro de la pelıcula o sustrato, es decir, la onda electromagnetica sufre multiples reflexiones


dentro del material dielectrico (podemos imaginarnos un rayo de luz atrapado entre dos es-

pejos), en este caso las interfases dielectricas. Este ultimo da lugar al patron de interferencia,

maximos y mınimos debidos a las multiples reflexiones presentes, y tambien por la relacion

que existe entre el espesor del medio donde viaja la onda (d o a, del modelo) y la longitud de

onda (λ), de manera que cuando λ ≈ b, existe interferencia, y en caso contrario λ <<< b, a

o λ >>> b, a, no la hay, que es lo que se observa experimentalmente para una pelıcula o

placa gruesa.

Los valores para la transmitancia y la reflectancia para una sola interfase , son de

T = 0,96 y R = 0,04[26], para un vidrio comun donde el ındice de refraccion es proxi-

mo a 1,5, es decir, la energıa que se transmite es del 96%, ya que la relacion energetica viene

expresada por el valor promedio del vector de Poiynting[14]. Al colocar en el camino de la

onda, otra interfase, el valor de la transmitancia decae exponencialmente con el espesor b

(la distancia que existe entre la primera a la segunda interfase) o con el ındice de refraccion

del sustrato n3, y la reflectancia aumenta con igual proporcion, al colocar otra interfase muy

lejana a la segunda, la transmitancia que sale de la segunda interfase (con un patron de

interferencia), viene limitada por la transmitancia que depende del espesor entre la segunda

interfase y la tercer interfase, es decir, del sustrato, mostrando un valor lımite de la trans-

mitancia total, que dependera del espesor del sustrato, como T → 0, cuando d ≡ b → ∞.

Para vidrios comunes de espesores del rango de 1mm, la transmitancia es del 92%.

Es decir, que la transmitancia real medida por el experimento, es la transmitancia tipo Fabrit-

Perot de la pelıcula delgada, modulada o limitada por el sustrato, que depende intrınseca-

mente del ındice de refraccion n3, y el espesor d. Ası finalmente el termino de transmision

dado por la ecuacion (6-52) quedara redefinido:

T⊥ ={cos2

(ωn2

ca)⟨

cos2(ωn3

cb)⟩

+1

4

[n21 + n2

2

n1n2

]2sin2

(ωn2

ca)⟨

cos2(ωn3

cb)⟩

+1

4

[n21 + n2

3

n1n3

]2cos2

(ωn2

ca)⟨

sin2(ωn3

cb)⟩

+1

4

[n22 + n2

3

n2n3

]2sin2

(ωn2

ca)⟨

sin2(ωn3

cb)⟩

+(n2

1 − n22)((n

21 − n2

3)

8n21n2n3

sin(2ωn2

ca)⟨

sin(2ωn3

cb)⟩}−1

(6-53)

ahora se debe encontrar los promedios para los valores de la tabla (6-3), a traves de la

integral de Riemann para funciones periodicas o armonicas en el tiempo con perıodo P , es:

⟨f(x)⟩ = 1

P

∫ x0+P

x0

f(x) dx (6-54)


encontrando los respectivos valores medios y sustituyendolos en la ecuacion de transmitancia

(6-53), se obtiene como resultado el apartado a), de la siguiente figura:7

Figura 6-7.: a) Resultados teoricos a traves del (MMT). b) Datos experimentales reportados en la

literatura[9]

El apartado b) de la figura (6-7), es un resultado estudiado con el metodo tradicionalmente

encontrado en la literatura8, el cual consiste en un metodo semiempırico, ya que luego de

medir la transmitancia se identifican los valores maximos y mınimos de transmision, y a par-

tir de estos valores se caracteriza el material en la zona transparente, inicialmente el ındice

de refraccion y el espesor de la pelıcula semiconductora[9].

Este nuevo modelo permite realizar el analisis optico en los rangos (800-2500 nm), donde el

coeficiente de extincion ks, del vidrio o sustrato es casi nulo. Ademas, los semiconductores

presentan en este dominio, un ındice de refraccion practicamente constante y un debil coe-

ficiente de absorcion α, con lo cual la constante dielectrica ε a estas frecuencias junto con el

correspondiente ındice de refraccion, pueden considerarsen reales y aproximadamente cons-

tantes. Ahora comparando este resultado teorico con las medidas de transmitancia tomadas

en el laboratorio para la pelıcula delgada de ZnSe, sobre este mismo rango de longitudes de

onda, se obtuvo el siguiente resultado[28]:9

7Ver codigo Wolfram Mathematica 7.0 en el apendice B.2.48Laboratorio de Fısica de Materiales Dielectricos y Opticos. U. de Barcelona. Para ver detalles experi-

mentales y metodos analıticos utilizados visitar la pagina web: http://www.ub.edu/gilafa/web diele-

c/004/004.html9Ver simulaciones, vıa web: www.ub.edu/javaoptics


600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260055

60

65

70

75

80

85

90

Teorico Experimental

Longitud de onda (nm)

Tran

smita

ncia

T (%

)

55

60

65

70

75

80

85

90

Figura 6-8.: Comparacion de los datos experimentales con el modelo teorico. Los puntos negros repre-

sentan la transmitancia para un arreglo, aire-ZnSe-vidrio-aire ; los ındices de refraccion respectivos son

n1 = 1.00029, n2 = 2.569, n3 = 1.67, n1 = 1.00029, con espesores a = 680(nm) para la pelicula

semiconductora, y b = 2 (mm) para el sustrato. Los puntos de color azul son las medidas de transmitancia

para cada valor de longitud de onda λ

Si se quiere conocer la longitud de onda en cada uno de los medios n1, n2, n3, teniendo en

cuenta que la longitud de onda incidente varia. Para cada longitud de onda incidente pode-

mos aplicar las relaciones de la velocidad de la onda electromagnetica en cada uno de los

medios dadas a continuacion, v3 =cn3, v2 =

cn2, v1 =

cn1, y debido a que la frecuencia es cons-

tante al igual que la velocidad de la luz en el vacıo c, se puede escribir λ3n3 = λ2n2 = λ1n1.

Donde el primer pico es totalmente congruente con los datos teoricos, y el desfase que se

observa, es debida a que; a medida que la longitud de onda disminuye el coeficiente de

extincion α empieza a ser observable. Esto hace que los valores de transmision decaigan

debida a la absorcion del material.

7. Conclusiones y Recomendaciones

7.1. Conclusiones

El Metodo Generalizado de La Matriz de transferencia (MMT) es aplicable a multiples

fenomenos de transmision, clasicos y cuanticos, solo basta conocer la solucion de la ecuacion

de onda que describe la situacion fısica en cada una de las interfases; donde, la matriz de

transferencia (MT), se construye a partir de un sistema de ecuaciones, y esta, dependera de

las soluciones y las condiciones de frontera, ası, la (MT) surge de escribir este sistema de

ecuaciones de forma matricial, haciendo mas facil su manipulacion en el caso de multiples

fronteras, como tambien de sistemas periodicos.

Los valores propios de esta matriz caracterizan la energıa del sistema estudiado, especıfica-

mente, la traza de la matriz define los valores posibles para la energıa del sistema (Tr(MT ) =∑λ). Como se pudo observar, el modelo de Kronig-Penney junto con el teorema de Bloch,

son equivalentes a escribir la matriz (MT) para una celda unitaria en el estado solido de

un material (1-D), y con este resultado encontrar la energıa posible a traves de sus valores

propios, es decir, las bandas de energıa, y a partir de estas, encontrar las propiedades del

transporte electronico de materiales semiconductores.

Matematicamente hablando la matriz de transferencia se puede escribir en terminos de fun-

ciones de Green de superficie, ya que estas funciones describen los posibles espectros de

energıa a partir de las condiciones de frontera, de allı el nombre de Funciones de Green

Superficiales (SGFM), ya que es necesario conocer las fronteras para escribir estas funciones,

ası que los coeficientes de la matriz de transferencia, son funciones de Green.

Se encontraron resultados equivalentes en el tratamiento del potencial delta de Dirac, ya sea

por el (MMT) o con el (MFGS); en donde se pudo observar que, los tratamientos tienen

diferencias bien marcadas pero aun ası, mostraron la misma aplicabilidad en los sistemas

fısicos estudiados.

Se encontro que las ecuaciones de Schrodinger y Helmholtz son analogas, al describir la pro-

pagacion de partıculas y ondas sobre diferentes medios, clasicos o cuanticos, y se mostro, que

la escritura de los coeficientes de transmision y reflexion para estos sistemas son identicos

en su forma, aunque difieren desde un punto de vista fısico; cuanticamente hablando, los es-

7.2 Recomendaciones 73

pectros de transmision de electrones sobre una barrera de potencial dependen directamente

de la energıa con la cual inciden las partıculas, obteniendo un patron de interferencia para

valores mayores al potencial de la barrera, y efecto tunel, para energıas menores al potencial,

y clasicamente, la transmision de una onda electromagnetica sobre una placa dielectrica, de-

pende del angulo con el cual se incide la onda, y no directamente de la energıa (manteniendo

constante la longitud de onda), ası como el valor del potencial es un valor critico V0 en el

caso analogo, para una placa dielectrica existe un angulo crıtico, el cual, si se incide la onda

con un angulo menor al angulo crıtico, existe transmision e interferencia, y si se incide con

un angulo mayor, al angulo crıtico, no existe transmision, aunque es probable que ocurra

efecto tunel para el caso electromagnetico.

Si la energıa con la que se hace incidir electrones es mayor al potencial E > V0, la matriz

de transferencia es identica, tanto para el pozo como para la barrera de potencial; este, es

un resultado relativista, ya que si cambiamos bajo esta condicion el sistema de referencia,

la transmision no se ve afectada por ningun valor, esto fue comprobado. Al encontrar que

las matrices de transferencia en ambos casos son practicamente identicas, de igual modo,

los coeficientes de transmision en los casos cuanticos y electrodinamicos resultaron siendo

equivalentes.

Se comprobo los analogos electrodinamicos, a traves de resultados reportados y obtenidos

en el laboratorio. Si no, tambien de las ecuaciones de Helmholtz y Schrodinger indirecta-

mente. Se mostro un nuevo metodo de trabajo para la caracterizacion optica de materiales

semiconductores, a traves del (MMT), ya que este considera las soluciones completas, es

decir, se modela todo el espectro de longitudes de onda, haciendo el trabajo mas elegante al

tradicional, debido a que describe en su totalidad el modelo fısico.

7.2. Recomendaciones

En el caso de potenciales unidimensionales es mas conveniente trabajar con el (MMT) ya

que este permite trabajar los calculos mas amablemente que el (MFGS), aunque este ultimo

se hace de mayor importancia cuando se habla de sistemas interactuantes (partıculas).

En el campo experimental (casos opticos), se recomienda su implementacion en el laboratorio

apoyado en procesamiento de datos bajo el punto de vista de la programacion, ya que los

espectros obtenidos en el laboratorio son muy extensos para ajustar manualmente, es por

ello del metodo tradicional, en este, solamente se trabajan con los maximos y mınimos de

transmision. Al implementar el (MMT), se pueden obtener curvas mas suaves y precisas

para la caracterizacion optica de materiales (ındice de refraccion y coeficiente de extincion)

incluso teniendo en cuenta medios dispersivos.

A. Desarrollos teoricos (MQW),

Software de Calculo N Barreras

A.1. Desarrollos (MT) Barrera de Potencial E > V0

Partiendo de las soluciones para las tres regiones, con el sistema de referencia ubicado en el

centro de la barrera.

Ψ =

Aeik2x +Be−ik2x x < −aCe−iq2x +Deiq2x −a < x < a


(A-1)

Evaluando la continuidad de la funcion de onda y su derivada en el punto x = −a

Ae−ik2a +Beik2a = Ce−iq2a +Deiq2a (A-2)

ik2Ae−ik2a − ik2Be

ik2a = iq2Ce−iq2a − iq1De

iq2a (A-3)

multiplicando a (A-2) por ik2 y luego sumando el resultado con (A-3), y despejando el

termino A.

2ik2Ae−ik2a = i(k2 + q2)Ce

−iq2a + i(k2 − q2)Deiq2a (A-4)

A =(k2 + q2

2k2

)Cei(k2−q2)a +

(k2 − q22k2

)Dei(k2+q2)a (A-5)

multiplicando a (A-2) por −ik2 y luego sumando (A-3), y despejando el termino B.

−2ik2Beik2a = −i(q2 − k2)Ce

−iq2a − i(k2 + q2)Deiq2a (A-6)

B =(k2 − q2

2k2

)Ce−i(k2+q2)a +

(k2 + q22k2

)Dei(q2−k2)a (A-7)

Ahora encontrando la continuidad de la funcion de onda y su derivada en el punto x = a

Ceiq2a +De−iq2a = Feik2a +Ge−iK2a (A-8)

iq2Ceiq2a − iq2De

−iq2a = ik2Feik2a − ik1Ge

−ik2a (A-9)

multiplicando a (A-8) por iq2 y luego sumando el resultado con (A-9), y despejando el

termino C.

2iq2Ceiq2a = i(k2 + q2)Fe

ik2a + i(q2 − k2)Ge−ik2a (A-10)

C =(k2 + q2

2q2

)Fei(k2−q2)a +

(q2 − k22q2

)Ge−i(k2+q2)a (A-11)

A.1 Desarrollos (MT) Barrera de Potencial E > V0 75

multiplicando a (A-8) por −iq2 y luego sumando con (A-9), y despejando el termino D.

−2iq2De−iq2a = i(k2 − q2)Fe

−ik2a − i(k2 + q2)Ge−ik2a (A-12)

D =(q2 − k2

2q2

)Fei(k2+q2)a +

(k2 + q22k2

)Gei(q2−k2)a (A-13)

Sustituyendo (A-11),(A-13) en (A-5)

A =(k2 + q2

2k2

)ei(k2−q2)a

{(k2 + q22q2

)Fei(k2−q2)a +

(q2 − k22q2

)Ge−i(k2+q2)a

}+(k2 − q2

2k2

)ei(k2+q2)a

{(q2 − k22q2

)Fei(k2+q2)a +

(k2 + q22k2

)Gei(q2−k2)a

} (A-14)

Simplificando esta expresion

A =((k2 + q2)

2

4k2q2

)e2i(k2−q2)aF +

((q22 − k22)

4k2q2

)ei(k2−q2−k2−q2)G

−((k2 − q2)

2

4k2q2

)e2i(k2+q2)aF +

((k22 − q22)

4k2q2

)ei(k2+q2−k2+q2)G

=(k2 + q2)

2

4k2q2e2ik2ae−2iq2aF − (k2 − q2)

2

4k2q2e2ik2ae2iq2aF +

q22 − k224k2q2

e−2iq2aG+k22 − q224k2q2

e2iq2aG

=((k2 + q2)

2e−2iq2a − (k2 − q2)2e2iq2a

)e2ik2aF4k2q2

− k22 − q224k2q2

e−2iq2aG+k22 − q224k2q2

e2iq2aG

=((k22 + 2k2q2 + q22)e

−2iq2a − (k22 − 2k2q2 + q22)e2iq2a

)e2ik2aF4k2q2

−(k22 − q22

4k2q2

)(−e−2iq2a + e2iq2a)G

=(k22(e

−2iq2a − e2iq2a) + 2k2q2(e−2iq2a + e2iq2a) + q22(e

−2iq2a − e2iq2a))e2ik2aF

4k2q2

−i(k22 − q22

2k2q2

)sin (2q2a)G

=(− 2ik22 sin (2q2a) + 4k2q2 cos (2q2a)− 2iq22 sin (2q2a)

)e2ik2aF4k2q2

− i(k22 − q22

2k2q2

)sin (2q2a)G

A =(cos (2q2a)− i

q22 + k222q2k2

sin (2q2a))e2ik2aF − i

(k22 − q222k2q2

)sin (2q2a)G (A-15)

Ahora realizando un calculo muy similar al sustituir (A-11),(A-13) en (A-7), y luego de

simplificar se puede demostrar que se obtiene.

B = i(k22 − q22

2k2q2

)sin (2q2a)F +

(cos (2q2a) + i

q22 + k222q2k2

sin (2q2a))e−2ik2aG (A-16)

Escribiendo estas ecuaciones de forma matricial tenemos(A

B

)=

exp2ik2a(cos (2q2a)− i

(q22+k2

2

2q2k2

)sin (2q2a)

)−i(

k22−q222q2k2

)sin (2q2a)

i(

k22−q222q2k2

)sin (2q1a) exp−2ik1a

(cos 2q2a+ i

(k22+q222q2k2

)sin (2q2a)

) ( F

G

)(A-17)

Con este resultado se puede escribir la MT para la barrera de potencial.

76 A Desarrollos teoricos (MQW), Software de Calculo N Barreras

A.2. Desarrollos Teoricos MQW

Para resolver el problema de dos barreras de potencial descrito por la figura (4-5), evaluan-

do las condiciones de frontera para cada region, y para cada punto de discontinuidad del

potencial, para encontrar la matriz de transferencia de todo el sistema se inicia por evaluar

las ecuaciones (2-8) en el punto x = 0, y luego el sistema de ecuaciones resultante se escribe

de manera matricial, y ası con cada una de las interfaces. Encontrando la matriz en este

primer punto, se puede demostrar:(C

D

)=

1

2(q2k2)1/2

(q2 + k2 q2 − k2q2 − k2 q2 + k2

)(A

B

)=M(x=0)

(A

B

)(A-18)

De igual modo se evalua las mismas soluciones pero en x = a, obteniendo:(Feik2a

Ge−ik2a

)=

1

2(q2k2)1/2

(q2 + k2 −(q2 − k2)

−(q2 − k2) q2 + k2

)(Ceiq2a

De−iq2a

)=M(x=a)

(Ceiq2a

De−iq2a

) (A-19)

Donde el termino(

Ceiq2a

De−iq2a

)se puede definir como

(eiq2a 0

0 e−iq2a

)(C

D

)es decir, el propa-

gador en la region II por la amplitud C,D. Reemplazando la ecuacion (A-18) en (A-19), se

tiene:(Feik2a

Ge−ik2a

)=

1

4q2k2

(q2 + k2 −(q2 − k2)

−(q2 − k2) q2 + k2

)(eiq2a 0

0 e−iq2a

)(q2 + k2 q2 − k2q2 − k2 q2 + k2

)(A

B

)=M(x=a)PaM(x=0)

(A

B

) (A-20)

De igual modo se evalua las soluciones en los puntos x = a+ b y en x = 2a+ b, como se vio

en la figura (4-5). Escribiendo las ecuaciones de forma matricial en la tercera interfase: 1

k1/22

1

k1/22

ik

k1/22

−ik

k1/22

( Feik2(a+b)

Ge−ik2(a+b)

)=

1

q1/22

eiq(a+b) 1

q1/22

e−iq(a+b)

iq

q1/22

eiq(a+b) −iq

q1/22

e−iq(a+b)

( H

I

)(A-21)

despejando el coeficiente (H, I)(H

I

)=

1

2(q2k2)1/2

(q2 + k2 q2 − k2q2 − k2 q2 + k2

)(e−iq(a+b) 0

0 eiq(a+b)

)(Feik2(a+b)

Ge−ik2(a+b)

) (A-22)

A.2 Desarrollos Teoricos MQW 77

En x = 2a+ b. 1

q1/22

eiq(2a+b) 1

q1/22

e−iq(2a+b)

iq

q1/22

eiq(2a+b) −iq

q1/22

e−iq(2a+b)

( H

I

)

=

1

k1/22

1

k1/22

ik

k1/22

−ik

k1/22

( Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

) (A-23)

despejando los coeficientes J,K(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=

1

2(q2k2)1/2

(q2 + k2 −(q2 − k2)

−(q2 − k2) q2 + k2

)(eiq(2a+b) 0

0 e−iq(2a+b)

)(H

I

) (A-24)

reemplzando la ecuacion (A-22) en (A-25)(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=

1

4q2k2

(q2 + k2 −(q2 − k2)

−(q2 − k2) q2 + k2

)(eiq(2a+b) 0

0 e−iq(2a+b)

)(e−iq(a+b) 0

0 eiq(a+b)

)(q2 + k2 q2 − k2q2 − k2 q2 + k2

)(Feik2(a+b)

Ge−ik2(a+b)

)(

Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=

1

4q2k2

(q2 + k2 −(q2 − k2)

−(q2 − k2) q2 + k2

)(eiqa 0

0 e−iqa

)(q2 + k2 q2 − k2q2 − k2 q2 + k2

)(Feik2(a+b)

Ge−ik2(a+b)

) (A-25)

Que no es otra cosa que:

(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=M(x=a)PaM(x=0)

(Feik2(a+b)

Ge−ik2(a+b)

)

(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=M(x=a)PaM(x=0)

(eik2b 0

0 e−ik2b

)(Feik2a

Ge−ik2a

)

(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=M(x=a)PaM(x=0)Pb

(Feik2a

Ge−ik2a

)(A-26)

78 A Desarrollos teoricos (MQW), Software de Calculo N Barreras

Y reemplazando la ecuacion (A-20) en la ecuacion (A-26).

(Jeik2(2a+b)

Ke−ik2(2a+b)

)=M(x=a)PaM(x=0)PbM(x=a)PaM(x=0)

(A

B

)(A-27)

Ahora generalizando para N barreras de potencial tenemos:

(fNe

ik2(Na+(N−1)b)

gNe−ik2(Na+(N−1)b)

)= (MT1)

N

(A

B

)(A-28)

A.3. Programa MatLab Calculo de Transmision N

Barreras

MATLAB MULTIPLES BARRERAS DE POTENCIAL

clear

c l f ;

nba r r i e r =30; % numero de bar re ras

bx=0.1e−9; % anchura de l a barrera (m)

wx=0.4e−9; % anchura de l pozo (m)

V0=10; % a l t u r a de l a barrera (eV)

N=(2∗ nba r r i e r )+1; % numero de de bar re ras y pozo

for j =1:2 : (2∗ nba r r i e r )

dL( j )=wx ; V( j )=0;

dL( j +1)=bx ; V( j +1)=V0 ;

end

dL(N)=wx ; V(N)=0;

Emin=pi∗1e−5; % agrega ( p i ∗1.0 e−5) .

Emax=15; %maxima energ ı a d e l e l e c t r o n (eV)

npo ints =1500; % numero de puntos de l a energ ı a .

dE=Emax/ npo ints ; % incremento de l a energ ı a (eV)

hbar=1.05457159e−34; % cons tante de Planck (J s )

eye=complex ( 0 . , 1 . ) ; % square roo t o f −1

m0=9.109382e−31; %masa de l e l e c t r o n en e l vac i o ( kg )

meff =1.0 ; %masa e f e c t i v a para e l e l e c t r o n / m0

m=meff ∗m0; %masa e f e c t i v a d e l e l e c t r o n ( kg )

echarge =1.6021764e−19; % carga de l e l e c t r o n (C)

for j =1: npo ints

E( j )=dE∗ j+Emin ;

bigP = [ 1 , 0 ; 0 , 1 ] ;

A.3 Programa MatLab Calculo de Transmision N Barreras 79

for i =1:N

k ( i )=sqrt (2∗ echarge ∗m∗(E( j )−V( i ) ) ) /hbar ;

end

for n=1:(N−1)

p (1 , 1 ) =0.5∗(1+k(n+1)/k (n) ) ∗exp(−eye∗k (n) ∗dL(n) ) ;p (1 , 2 ) =0.5∗(1−k (n+1)/k (n) ) ∗exp(−eye∗k (n) ∗dL(n) ) ;p (2 , 1 ) =0.5∗(1−k (n+1)/k (n) ) ∗exp(eye∗k (n) ∗dL(n) ) ;p (2 , 2 ) =0.5∗(1+k(n+1)/k (n) ) ∗exp(eye∗k (n) ∗dL(n) ) ;bigP=bigP∗p ;

end

Trans ( j )=(abs (1/ bigP (1 , 1 ) ) ) ˆ2 ;

end

figure (1 ) ;

Vp=[V;V ] ; Vp=Vp( : ) ;

x c e l l=bx+wx ; de l tax=x c e l l /1000 ; x0=[wx−deltax ,wx , x c e l l−deltax , x c e l l ] ;

x=x0 ; for j =1:(N−3)/2 , x=[x , x0+j ∗ x c e l l ] ; end ; x=[0 ,x , ( nba r r i e r +1)∗ x c e l l ] ;subplot ( 1 , 2 , 1 ) ,plot (x ,Vp) , axis ( [ 0 , ( nba r r i e r +1)∗ x c e l l , 0 ,Emax ] ) ,

xlabel ( ’ D i s tanc ia (m) ’ ) , ylabel ( ’ Energ ıa−Potenc ia l ,V(eV) ’ ) ;

t t l =[ ’ ( ’ ,num2str( nba r r i e r ) , ’−bar r e ra s ) ,m { e f f }= ’ ,num2str( meff ) , ’ x m 0 ’ ] ;

t i t l e ( t t l ) ;

subplot ( 1 , 2 , 2 ) ,plot ( Trans ,E) , axis ( [ 0 , 1 , 0 . 0 0 1 , 4 0 ] ) , grid ,

xlabel ( ’ Coe f i c i en t e−de−Transmisi on ’ ) , ylabel ( ’ Energ ıa ,E(eV) ’ ) ;

f igure (2 ) ;

subplot ( 1 , 2 , 1 ) ,plot (x ,Vp) ; axis ( [ 0 , ( nba r r i e r +1)∗ x c e l l , 0 ,Emax ] ) ,

xlabel ( ’ D i s tanc ia (m) ’ ) ; ylabel ( ’ Energ ıa−Potenc ia l ,V(eV) ’ ) ;

t i t l e ( t t l ) ;

subplot ( 1 , 2 , 2 ) ; plot(−log ( Trans ) ,E) ; axis ( [ 0 , 7 0 , 0 . 0 0 1 ,Emax ] ) , grid ;

xlabel ( ’− l n c o e f f . t rans . ’ ) ; ylabel ( ’ Energ ıa ,E(eV) ’ ) ;

B. Desarrollos Analogos

Electrodinamicos

B.1. Tabla de Unidades Generalizadas Electromagnetismo

SISTEMA DE UNIDADES k1 k2 k3 k4 k5 λ

MKS 14πε0

µ0

4π1 ε0

1µ0

1

GAUSSIANO 1 1c

1c

1 1 1c

UNIDAD ELECTROSTATICA. (u.e.s) 1 1c2

1 1 c2 1

UNIDAD ELECTROMAGNETICA (u.e.m) c2 1 1 1c2

1 1

HEAVISIDE-LORENZ 14π

14πc

1c

1 1 1

Tabla B-1.: Tabla de unidades en electromagnetismo

B.2. Calculo del Coeficiente de Transmision Caso Optico

B.2.1. Calculo Matriz Sistema Experimental

escribiendo las matrices de transferencia para cada region y evaluando las condiciones de

frontera, se tiene: En x = 0.(C

D

)=

1

2(k1k2)1/2

(k2 + k1 k2 − k1k2 − k1 k2 + k1

)(A

B

)(B-1)

En x = a(Feik2a

Ge−ik2a

)=

1

2(k3k2)1/2

(k3 + k2 k3 − k2k3 − k2 k3 + k2

)(eik2a 0

0 e−ik2a

)(C

D

)(B-2)

En x = a+ b(Ieik4(a+b)

Je−ik4(a+b)

)=

1

2(k4k3)1/2

(k4 + k3 k4 − k3k4 − k3 k4 + k3

)(eik3b 0

0 e−ik3b

)(Feik2a

Ge−ik2a

)(B-3)

B.2 Calculo del Coeficiente de Transmision Caso Optico 81

escribiendo (B-1) y (B-2), en (B-3).(Ieik4(a+b)

Je−ik4(a+b)

)=

1

8k3k2(k4k1)1/2

(k4 + k3 k4 − k3k4 − k3 k4 + k3

)(eik3b 0

0 e−ik3b

)(k3 + k2 k3 − k2k3 − k2 k3 + k2

)(eik2a 0

0 e−ik2a

)(k2 + k1 k2 − k1k2 − k1 k2 + k1

)(A

B

)(B-4)

y debido a que k1 = k4, entonces la ecuacion anterior se escribe como:(Ieik1(a+b)

Je−ik1(a+b)

)=

1

8k3k2k1

(k1 + k3 k1 − k3k1 − k3 k1 + k3

)(eik3b 0

0 e−ik3b

)(k3 + k2 k3 − k2k3 − k2 k3 + k2

)(eik2a 0

0 e−ik2a

)(k2 + k1 k2 − k1k2 − k1 k2 + k1

)(A

B

)(B-5)

B.2.2. Coeficiente M11

M11 =1

8k3k2k1

((k1 + k3)(k3 + k2)(k2 + k1)e

ik3beik2a︸︷︷︸I

+(k1 − k3)(k3 − k2)(k2 + k1)e−ik3beik2a︸︷︷︸

II

)+((k1 + k3)(k3 − k2)(k2 − k1)e

ik3be−ik2a︸︷︷︸III

+(k1 − k3)(k3 + k2)(k2 − k1)e−ik3be−ik2a︸︷︷︸

IV

)(B-6)

Donde

(I) = {2k1k2k3 + k21(k2 + k3) + k22(k1 + k3) + k23(k2 + k1)}eik3beik2a (B-7)

(II) = {2k1k2k3 + k21(k3 − k2)− k22(k3 − k1)− k23(k2 + k1)}e−ik3beik2a (B-8)

(III) = {2k1k2k3 + k21(k2 − k3)− k22(k1 − k3)− k23(k2 − k1)}eik3be−ik2a (B-9)

(IV ) = {2k1k2k3 − k21(k3 + k2) + k22(k1 − k3) + k23(k1 − k2)}e−ik3be−ik2a (B-10)

sumando los terminos semejantes de (I) y (II), es decir:

El primer termino de (I) y (II), que se denotara (I)− (II)1, y ası de manera consecutiva.

(I)− (II)1 =1

2eik2a

(eik3b + e−ik3b

2

)=

1

2cos (k3b)e

ik2a (B-11)

(I)− (II)2 =1

8k3k2k1eik2a

(k21(k2 + k3)e

ik3b + k21(k3 − k2)e−ik3b

)=

1

8k3k2k1eik2a

(k21k3(e

ik3b + e−ik3b) + k21k2(eik3b − e−ik3b)

)

82 B Desarrollos Analogos Electrodinamicos

(I)− (II)2 =eik2a

4

(k1k2

cos k3b+ ik1k3

sin k3b)

(B-12)

(I)− (II)3 =1

8k3k2k1eik2a

(k22(k1 + k3)e


)=

1

8k3k2k1eik2a

(ik22k1

(eik3b − e−ik3b)

2i+ k22k3

(eik3b + e−ik3b)

2

)

(I)− (II)3 =eik2a

4

(k2k1

cos k3b+ ik2k3

sin k3b)

(B-13)

(I)− (II)4 =1

8k3k2k1eik2a

(k23(k2 + k1)e

ik3b − k23(k2 − k1)e−ik3b

)=

1

8k3k2k1eik2a

(ik23k2


2i+ ik23k1


2i

)

(I)− (II)4 =eik2a

4i sin k3b

(k3k1

+k3k2

)(B-14)

Ahora haciendo estos mismos desarrollos entre los terminos (III) y (IV)

(III)− (IV )1 =1

2e−ik2a

(eik3b + e−ik3b

2

)=

1

2cos (k3b)e

−ik2a (B-15)

(III)− (IV )2 =1

8k3k2k1e−ik2a

(k21(k2 − k3)e

ik3b − k21(k3 + k2)e−ik3b

)=

1

4k3k2k1e−ik2a

(− k21k3

(eik3b + e−ik3b)

2+ ik21k2


2i

)

(III)− (IV )2 =e−ik2a

4

(− k1k2

cos (k3b) + ik1k3

sin (k3b))

(B-16)

(III)− (IV )3 =1

8k3k2k1e−ik2a

(− k22(k1 + k3)e


)=

1

4k3k2k1e−ik2a

(ik22k1


2i− k22k3

(eik3b + e−ik3b)

2

)


4

(− k2k1

cos (k3b)− ik2k3

sin (k3b))

(B-17)

(III)− (IV )4 =1

8k3k2k1e−ik2a

(k23(k2 − k1)e

ik3b − k23(k2 − k1)e−ik3b

)



4i sin (k3b)

(k3k1

− k3k2

)(B-18)

Ahora sumando los terminos (I)− (II)1 y (III)− (IV )1, y ası sucesivamente con los demas

terminos.

(I)− (II)1 + (III)− (IV )1 =1

2cos (k3b)

(eik2a−eik2a

)

(I)− (II)1 + (III)− (IV )1 = cos k3b cos k2a (B-19)

(I)− (II)2 + (III)− (IV )2 =eik2a

4

(k1k2

cos (k3b) + ik1k3

sin (k3b))

+e−ik2a

4

(− k1k2

cos (k3b) + ik1k3

sin (k3b))

=eik2a

4

(k1k2

cos (k3b))− e−ik2a

4

(k1k2

cos (k3b))

+eik2a

4

(ik1k3

sin (k3b))+e−ik2a

4

(ik1k3

sin (k3b))

=i

2

k1k2

cos (k3b)(eik2a − e−ik2a)

2i+i

2

k1k3

sin k3b(eik2a + e−ik2a)

2

(I)− (II)2 + (III)− (IV )2 =i

2

k1k2

cos (k3b) sin (k2a) +i

2

k1k3

sin (k3b) cos (k2a) (B-20)

(I)− (II)3 + (III)− (IV )3 =eik2a

4

(k2k1

cos (k3b) + ik2k3

sin (k3b))

+e−ik2a

4

(− k2k1

cos (k3b)− ik2k3

sin (k3b))

=eik2a

4

(k2k1

cos (k3b))− e−ik2a

4

(k2k1

cos (k3b))

+eik2a

4

(ik2k3

sin (k3b))+e−ik2a

4

(ik2k3

sin (k3b))

=i

2

k2k1


2i+i

2

k2k3

sin (k3b)i(eik2a − e−ik2a)

2i

(I)− (II)3 + (III)− (IV )3 =i

2

k2k1

cos (k3b) sin (k2a)−1

2

k2k3

sin (k3b) sin (k2a) (B-21)


(I)− (II)4 + (III)− (IV )4 =eik2a

4i sin (k3b)

(k3k1

+k3k2

)+e−ik2a

4i sin (k3b)

(k3k1

− k3k2

)=

eik2a

4

(ik3k1

sin (k3b))+eik2a

4

(ik3k2

sin (k3b))

+e−ik2a

4

(ik3k1

sin (k3b))− e−ik2a

4

(ik3k2

sin (k3b))

=i

2

k3k1


2i+i

2

k3k2

sin (k3b)i(eik2a − e−ik2a)

2i

(I)− (II)4 + (III)− (IV )4 =i

2

k3k1

sin (k3b) cos (k2a)−1

2

k3k2

sin (k3b) sin (k2a) (B-22)

Ahora el termino M11, surge de la suma de las ecuaciones (B-19)-(B-22), encontrando:


2

k1k2

cos (k3b) sin (k2a) +i

2

k1k3

sin (k3b) cos (k2a)

+i

2

k2k1

cos (k3b) sin (k2a)−1

2

k2k3

sin (k3b) sin (k2a) +i

2

k3k1

sin (k3b) cos (k2a)

− 1

2

k3k2

sin (k3b) sin (k2a)

(B-23)

factorizando terminos semejantes se escribe finalmente como


2

[k1k2

+k2k1

]cos (k3b) sin (k2a) +

i

2

[k1k3

+k3k1

]sin (k3b) cos (k2a)

− 1

2

[k2k3

+k3k2


(B-24)

B.2.3. M11 ·M ∗11

Ahora haciendo el respectivo producto se puede escribir la norma al cuadrado como:

M11 ·M∗11 =

(cos (k3b) cos (k2a)−

1

2

[k2k3

+k3k2


)2+(12

[k1k2

+k2k1

]cos (k3b) sin (k2a) +

1

2

[k1k3

+k3k1

]sin (k3b) cos (k2a)

)2(B-25)


ahora resolviendo cada binomio

M11 ·M∗11 = cos2 (k3b) cos

2 (k2a)

−[k2k3

+k3k2

]sin (k3b) sin (k2a) cos (k3b) cos (k2a)︸︷︷︸

△

+1

4

[k2k3

+k3k2

]2sin2 (k3b) sin

2 (k2a)

+1

4

[k1k2

+k2k1

]2cos2 (k3b) sin

2 (k2a) +2

4

[k1k2

+k2k1

][k1k3

+k3k1

]sin (k3b) sin (k2a) cos (k3b) cos (k2a)︸︷︷︸

△

+1

4

[k1k3

+k3k1

]2sin2 (k3b) cos

2 (k2a)

(B-26)

simplificando los terminos △, usando la identidad del angulo doble

△ =(18

[k1k2

+k2k1

][k1k3

+k3k1

]− 1

4

[k2k3

+k3k2

])sin (2k3b) sin (2k2a)

=(18

[(k21 + k22)

k2k1

(k21 + k23)

k2k3

]− 1

4

[(k22 + k23)

k2k3


=(18

[(k21 + k22)(k21 + k23)

k2k3k21

]− 1

4

[(k22 + k23)

k2k3


=[k2k3(k21 + k22)(k

21 + k23)− 2k3k2k

21(k

22 + k23)

8k22k23k

21

]sin (2k3b) sin (2k2a)

=[k2k3(k41 + k21k

23 + k22k

21 + k22k

23)− 2k3k2(k

21k

22 + k23k

21)

8k22k23k

21


=[k2k3(k41 − k21k

23 − k22k

21 + k22k

23)

8k22k23k

21


=[k21(k21 − k23)− k22(k

21 − k23)

8k21k2k3


=[(k21 − k22)(k

21 − k23)

8k21k2k3


reemplazando en (B-26), y organizando tenemos:

T = |M11|−2 ={cos2 (k3b) cos

2 (k2a) +1

4

[k21 + k22k1k2

]2cos2 (k3b) sin

2 (k2a)

+1

4

[k21 + k23k1k3

]2sin2 (k3b) cos

2 (k2a) +1

4

[k22 + k23k2k3

]2sin2 k3b sin

2 (k2a)

+(k21 − k22)((k

21 − k23)

8k21k2k3sin (2k3b) sin (2k2a)

}−1

(B-27)


B.2.4. Codigo Para la Transmitancia en Wolfram Mathematica 7.0

B.2.5. Participaciones y eventos



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Documents

METODO GENERALIZADO DE LA MATRIZ DE … · (MGMT); METODO DE LAS FUNCIONES DE GREEN DE SUPERFICIE (MFGS), RELACIONES Y APLICACIONES EN SISTEMAS SEMICONDUCTORES PERIODICOS JHON HENRY