metody Monte Carlo –zastosowanie metod do obliczenia ...etacar.put.poznan.pl/albert.kubzdela/p5-10.pdf · Nr: 15 Metody obliczeniowe -Budownictwo semestr 2 -wykład nr 5 Obliczenie

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 5Nr: 1

Metody obliczeniowe

– metody Monte Carlo

–zastosowanie metod do obliczenia całek wielokrotnych

wykład nr 5


Obliczanie całek wielokrotnych

• kubatury - wielowymiarowe odpowiedniki kwadratur złoŜonych• dla funkcji n- zmiennych podział na n-wymiarowe obszary regularne w

których znane są wzory kwadratur prostych

?...),...,(... 11 =∫ ∫∫Ω

nn dxdxxxf

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Z

0

1

2

3

4

5

6 X

0 1 2 3 4 5 6Y

dla funkcji n- zmiennych dokonując podziału odcinka [a i ,b i ] (i=1,...,n)

na mczęści otrzymujemymn n- wymiarowych kostek

?)(...),...,(... 11 śrnn Xfdxdxxxf ⋅Ω=∫ ∫∫Ω


• X– zmienna losowa:– zdarzenie losowe – rzut monetą – moŜliwe wartości zmiennej 0,1

• x1=0 : wyrzucenie reszki • x2=1: wyrzucenie orła

• EX– wartość oczekiwana zmiennej X (= p 1x1+ p 2x2 =1/2)

• Sn=X(1)+...+X(n) – suma wartości n realizacji zmiennej losowej X

Prawo wielkich liczbilustracja

• przeprowadzając duŜą liczbę rzutów symetryczną monetą, moŜemy oczekiwać Ŝe stosunek liczby "wyrzuconych" orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski 0,5 • tym większe są na to szanse im większa jest liczba rzutów

Przy dostatecznie duŜej liczbie prób częstość wystąpienia danegozdarzenia losowego będzie się dowolnie mało róŜniła od jego

prawdopodobieństwa. (Bernoulli 1713)


Prawo wielkich liczbzasada metody Monte Carlo

Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 moŜna się spodziewać iŜprzy dostatecznie duŜej liczbie prób średnia wartość zmiennej losowej

będzie się dowolnie mało róŜniła od wartości oczekiwanej tej zmiennej. • X(i) – realizacje zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym

• Definiując zmienną losową Sn= X(1)+...+ X(n) wnioskujemy iŜ dla dowolnych εεεε>0, δδδδ>0 :

∞→−<<− ndlaEXn

SP n δε 1)|(|

Mówimy Ŝeciąg zmiennych losowych Sn/n jest zbieŜny (wg prawdopodobieństwa)

do wartości oczekiwanej zmiennej losowej X


Przykładwykorzystywanie zjawisk losowych w procesach obliczeniowych

– Igła Buffona

• obliczenie wartości liczby ππππ za pomocąlosowych rzutów igły na płaszczyznę– l długość igły (l<d )– d odległość pomiędzy równoległymi liniami– x odległość środka igły od najbliŜszej prostej

– ϕϕϕϕ mniejszy z kątów pomiędzy igłą a prostopadłą do linii

– M liczba wszystkich wykonanych rzutów– N liczba rzutów w których igła przecięła jedną

z linii– kaŜdy rzut –realizacja zmiennej losowej 2-

wymiarowej (x, ϕϕϕϕ)(x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2]

ϕ

Zmienna losowa: zdarzenie losowe(rzut igłą) ⇒ (x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2]

ϕcos2l

x <igła przecina jedną z prostych jeśli


Przykład– Igła Buffona

)()( xXPxF <=

• dystrybuanta zmiennej losowejX

1),(lim =∞→∞→

ϕϕ

xFx

1)(lim =∞→

xFx

oznacza prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa X jest mniejsza od pewnej liczby rzeczywistej x.

• gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X - funkcja f(x) spełniająca warunek:

∫∞−

=x

dttfxF )()(



)()( xXPxF <=

• dystrybuanta zmiennej losowejX

1),(lim =∞→∞→

ϕϕ

xFx

• gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej(x, ϕϕϕϕ)

∫ ∫∞− ∞−

=x

dtduutfxFϕ

ϕ ),(),(

• dystrybuanta zmiennej losowej(x, ϕϕϕϕ)

),(),( ϕϕ <Φ<= xXPxF

1)(lim =∞→

xFx

oznacza prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa X jest mniejsza od pewnej liczby rzeczywistej x.

• gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X - funkcja f(x) spełniająca warunek:

∫∞−

=x

dttfxF )()(



∫ ∫∞− ∞−

=x

dtduutfxFϕ

ϕ ),(),(

PoniewaŜ(x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2] 0)2/lub2/(

0)0lub0(

=>>=<<πϕ

ϕdXP

XP

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

d/2

ππππ /2

1),(lim =∞→∞→

ϕϕ

xFx



≤≤≤≤=

..02

0,2

04

),(pp

dx

dxfπϕ

πϕ

∫ ∫∞− ∞−

=x

dtduutfxFϕ

ϕ ),(),(

PoniewaŜ(x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2] 0)2/lub2/(

0)0lub0(

=>Φ>=<Φ<πdXP

XP

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

d/2

ππππ /2

1),(lim =∞→∞→

ϕϕ

xFx



≤≤≤≤=

..02

0,2

04

),(pp

dx

dxfπϕ

πϕPoniewaŜ

(x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2]

prawdopodobieństwo iŜ igła przetnie jedną z prostych wynosi:

igła przecina jedną z prostych jeśli

ϕπφ cos2

],2

,0[l

x <∈

)cos2

,2

( ϕπ lFp =

∫ ∫∞− ∞−

=x

dtduutfxFϕ

ϕ ),(),(




≤≤≤≤=

..02

0,2

04

),(pp

dx

dxfπϕ

πϕPoniewaŜ

(x, ϕϕϕϕ) ∈∈∈∈[0,d/2] ××××[0, π/2]

prawdopodobieństwo iŜ igła przetnie jedną z prostych wynosi:

igła przecina jedną z prostych jeśli

ϕπφ cos2

],2

,0[l

x <∈

d

ldxd

ddxdxf

lFp

ll

πϕ

πϕϕϕπ

π ϕπ ϕ24

),()cos2

,2

(2

0

cos2

0

2

0

cos2

0

==== ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∞− ∞−

=x

dtduutfxFϕ

ϕ ),(),(




• prawdopodobieństwo iŜ igła przetnie jedną z prostych wynosi

d

lp

π2=



prawdopodobieństwo iŜ igła przetnie jedną z prostych wynosi

M

NMp ≈)(

)(Mpp ≈

Zadanie: zapisz kod programu wyznaczający liczbę ππππ opisaną metodą, wykorzystaj funkcj ę SciLaba rand() do generowania liczb losowych.

d

lp

π2=

p(M) – prawdopodobieństwo empiryczne zdarzenia - igła przetnie jedną z prostych, wyznaczone na podstawie Mrzutów

porównujemy wartości p i p(M):

M

N

d

l ≈π2

N

M

d

l2≈π


Obliczenie całki wielokrotnej metod ą Monte Carlo• Dana funkcja

całkowalna po obszarze domkniętym i ograniczonym S.

• Obliczamy całkę

• geometrycznie liczba I przedstawia m-wymiarową objętość walcoidu prostego w przestrzeni Rm+1, zbudowanego nad podstawą S, ograniczonego z góry daną powierzchnią

• Czy

),...,( 1 mxxfy =

∫ ∫∫=S

mm dxdxxxfI ...),...,(... 11

?)(...),...,(... 11 śr

S

mm XfSdxdxxxf ⋅=∫ ∫∫


Obliczenie całki wielokrotnej metod ą Monte Carlo• Dana funkcja

całkowalna po obszarze domkniętym i ograniczonym S.

• Obliczamy całkę

• geometrycznie liczba I przedstawia m-wymiarową objętość walcoidu prostego w przestrzeni Rm+1, zbudowanego nad podstawą S, ograniczonego z góry daną powierzchnią

• Czy

),...,( 1 mxxfy =

∫ ∫∫=S

mm dxdxxxfI ...),...,(... 11

?)(...),...,(... 11 śr

S

mm XfSdxdxxxf ⋅=∫ ∫∫

• Określam zmienną losową X:• zdarzenie losowe: wybór punktu z obszaru S• wartość zmiennej losowej: wartość funkcji f w wybranym punkcie

Całka z funkcji f moŜe być określona jako

EXSdxdxxxfS

mm ⋅=∫ ∫∫ ...),...,(... 11


• Całkę przekształcamy w ten sposób, by obszar całkowania zawarty był w całości wewnątrz n-wymiarowego prostopadłościanu o boku jednostkowym– obszar S ograniczamy m-wymiarowym równoległobokiem

– dokonujemy zamiany zmiennych:

∫ ∫∫=S

mm dxdxxxfI ...),...,(... 11

miAxa iii ,...,2,1=≤≤

miaAax iiiii ,...,2,1)( =−+= ξ

⇒

Obliczenie całki wielokrotnej metod ą Monte Carlo



• obliczamy Jacobian przekształcenia

• otrzymujemy całkę

))...()((

...00

............

0...0

0...0

221122

11

mm

mm

aAaAaA

aA

aA

aA

−−−=

−

−−

))(,...,)(()(...)()(),...,(

...),...,(...

111122111

11

mmmmmmm

mm

aAaaAafaAaAaAF

ddFI

ξξξξ

ξξξξσ

−+−+⋅−⋅⋅−⋅−=

= ∫ ∫∫



• wybieramy mciągów losowych o rozkładzie równoprawdopodobnym w przedziale [0,1]

• punkty moŜemy rozpatrywać jako punkty losowe

• bierzemy Npunktów (dostatecznie duŜą liczbę): M1,M2,...,M N

• sprawdzamy które z nich naleŜą do obszaru σσσσ• niech (dla wygody zmieniamy wskaźniki):

,...,...,,

...

,...,...,,

,...,...,,

)()(2

)(1

)2()2(2

)2(1

)1()1(2

)1(1

mn

mm

n

n

ξξξ

ξξξ

ξξξ

,...2,1),...,,( )()2()1( == iM miiii ξξξ

NNNidlaM

NidlaM

i

i

,...,2,1

,...,2,1

00

0

++=∉=∈

σσ



• biorąc dostatecznie duŜą liczbę punktów M1,M2,...,M N0 naleŜących do obszaru σσσσ moŜemy przybliŜyć wartość oczekiwaną EXzmiennej losowej Xprzez średnią arytmetyczną (prawo wielkich liczb)

• szukana całka wyraŜa się wzorem (σσσσ oznacza m-wymiarową objętość obszaru całkowaniaσσσσ)

• jeśli objętość σσσσ trudno obliczyć, moŜemy przyjąć

∑=

=0

10

)(1 N

iiśr MF

Ny

∑=

==0

10

)(N

iiśr MF

NyI

σσ

∑=

≈⇒≈0

1

0 )(1 N

iiMF

NI

N

Nσ


Obliczenie całki wielokrotnej metod ą Monte Carloprzykład obliczeniowy

• obliczamy całkę

• obszar całkowania określony jest nierównościami

• generujemy Npunktów losowych,

leŜących w [0,1] ××××[0,1]

∫∫ +=S

dxdyyxI )( 22

120,121 −≤≤≤≤ xyx


0.90.2167...0.24820.8729...24825100000

0.70.2173... 0.24870.8736...248710000

0.21875

0.2181...

0.2281...

0.153...

I

przybliŜona wartość

całki

30.10.170.901...17100

4.30.2680.851...2681000

0.30.24850.8773...24854100000

wartość dokładna całki

błąd procentowy

N0/N

przybliŜone pole obszaru

całkowania

średnia wartośćN0

liczba punktów naleŜących do

obszaru całkowania

N

liczba wygenerowanych punktów losowych

Obliczenie całki wielokrotnej metod ą Monte Carloprzykład obliczeniowy

Zadanie: zapisz kod programu obliczający metodą Monte Carlo wartość całki z funkcji f(x,y,z)=x+2y+z po toroidzie powstałym w wyniku obrotu kwadratu o boku = 1, punktem obrotu –środek układu współrzędnych, promień obrotu = 5.


Zasady metody Monte Carlo

Postępowanie• opisanie danego zadania obliczeniowego w języku rachunku

prawdopodobieństwa poprzez wprowadzenie zmiennej losowej• w oparciu o generatory liczb losowych wielokrotna realizacja

zmiennej losowej• na podstawie otrzymanych wyników, przy uŜyciu metod

statystycznych uzyskanie pewnych informacje o rozkładzie tej zmiennej losowej(najczęściej oszacowanie wartości oczekiwanej rozwaŜanej zmiennej losowej)


Zasada metody Monte Carlo

Rozwiązanie klasycznego problemu obliczeniowego• algorytm (ciąg działań obliczeniowych)

– znalezienie szukanej wielkości f dokładnie albo z zadanym błędem

– proces ściśle zdeterminowany: kaŜda realizacja algorytmu przy bezbłędnym wykonaniu daje ten sam wynik

Metody Monte Carlo • proces obliczeniowy niezdeterminowany– określają go wyniki

prób losowych, róŜne realizacje algorytmu mogą dawać róŜne wyniki – skonstruowanie klasycznego algorytmu jest praktycznie niemoŜliwe

– algorytm jest bardzo złoŜony, lub wymaga długotrwałych obliczeń


Niektóre zastosowania metody Monte Carlo

• rozwiązywanie układów równań liniowych

• odwracanie macierzy

• obliczanie całek wielokrotnych

• zadania związane z ruchem (sieci kolejowe, sterowanie sygnalizacją uliczną)

• symulacja zjawisk fizycznych


Zastosowanie metody Monte Carlookreślenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego

• N nośność : moŜliwość przejęcia przez obiekt (fundament) obciąŜeń zewnętrznych (wypadkowa wszystkich sił utrzymujących konstrukcjęw równowadze)

• S oddziaływanie (obciąŜenie – wypadkowa wszystkich sił dąŜących do utraty stateczności przez konstrukcję)

Funkcja stanu granicznego

G = N – S

oddziela strefę bezpieczną od strefy zagroŜenia

<≥

=0

0G

stan bezpieczny

stan zagroŜenia

• prawdopodobieństwo awarii (niespełnienia warunku granicznego)

0 <= GPp



• N nośność : fundament palowy

∑ ⋅⋅+⋅⋅⋅=i

issp tASqD

SNii4

2π

Sp : współczynnik technologiczny = 1,3

D[m] : średnica pala = 1,5 m

q [kPa ]: jednostkowa wytrzymałość gruntu pod podstawą pala = 1560 kPa

Ssi : współczynnik technologiczny

Asi [m2] : pole pobocznicy

t i [kPa]: jednostkowa wytrzymałość gruntu wzdłuŜ pobocznicy

i – indeks warstwy gruntu

Parametry Sp,q,t i określono jako zmienne losowe o rozkładzie

normalnym i współczynniku zmienności = 0,10



Rozkład normalny N( µµµµ, σσσσ) (σ = współczynnik zmienności • µ)

- funkcja gęstości prawdopodobieństwa (krzywa Gaussa)

// losowa warto ść zmiennej losowej // o rozkładzie normalnym N(0,1)

rand(1,1,”normal”)

∫=≤<b

a

dttfbxaP )()(



Parametry Sp,q,t i określono jako zmienne losowe o rozkładzie

normalnym i współczynniku zmienności = 0,10

Przy uŜyciu funkcji SciLaba rand() wygenerowanie wartości

(realizacji) dla rozkładu N(0,1) dla kaŜdej zmiennej losowej

q0 = 1560 kPaq = q 0·wsp_zm· rand(N,1,”normal”) + q 0 Rozkład normalny

dla parametru q (1560 kPa)

Rozkład normalny N(0,1)



Obliczenia: • wykorzystano program komputerowy napisany w języku Scilab • w algorytmie uŜyto metody Monte Carloodpowiednio dla N = 10000 prób losowych

8000

7500

7000

6500

6000

5500

5000

ObciąŜenie Sj

[kN]

N

NGP 00 ≈<

N - liczba prób losowych

N0- liczba prób losowych w których G<0

Zadanie: obliczyć, wykorzystując opisaną metodę, oraz podane wyŜej dane prawdopodobieństwo awarii

fundamentu, przyjmuj ąc iŜ fundament znajduje się w jednej warstwie gruntu o parametrach: Ss1=0,8; t1=64 kPa;

As1=141 m2. Przyjąć obciąŜenie S=8500 kN



Prawdopodobieńs two awarii

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000

obciąŜe nie na pa l [kN]

84 pale - pierwotny 77 pali 79 pali 81 pali 83 pale 84 pale


funkcje SciLaba

• rand() – generator liczb losowych


PodsumowanieZastosowanie metod Monte-Carlo

• Istota i załoŜenia metody Monte Carlo– pojęcie zbieŜności stochastycznej

– wnioski z prawa wielkich liczb

• Igła Buffon’a

• Obliczenie całki wielokrotnej metodą Monte Carlo– przekształcenie obszaru całkowania

– wykorzystanie generatora liczb losowych

– obliczenie wartości przybliŜonej całki

Documents

metody Monte Carlo –zastosowanie metod do obliczenia ...etacar.put.poznan.pl/albert.kubzdela/p5-10.pdf · Nr: 15 Metody obliczeniowe -Budownictwo semestr 2 -wykład nr 5 Obliczenie