METODOS DE ESTIMACION DE POBLACION

METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Este método es utilizado para calcular la población futura de ciudades ya estabilizadas y

cuyos censos hayan sido realizados en intervalos iguales de tiempo, se lo realiza con la

ayuda de un sistema de ecuaciones:

El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados

en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La

recta resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de

ajuste.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría

una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Y ｰ - Y)² → 0 (mínima).

Este método es utilizado para calcular la población futura de ciudades ya estabilizadas y cuyos censos hayan sido realizados en intervalos iguales de tiempo.

Se disponen de dos crecimientos:

Crecimiento aritmético

la población varía linealmente,Se hace uso de las siguientes ecuaciones:

Crecimiento geométrico

la población varía exponencialmente, Se hace uso de las siguientes ecuaciones:

PROCESO DE CÁLCULO:

Cuadro de mínimos cuadrados

AÑO POBLACIÓN x x^2 XY log Y xlogY2000 78,044 1 1 78044 4.89233952 4.892339522001 78,349 2 4 156698 4.89403346 9.788066922002 78,551 3 9 235653 4.89515172 14.68545522003 78,670 4 16 314680 4.89580915 19.58323662004 78,724 5 25 393620 4.89610715 24.48053582005 78,731 6 36 472386 4.89614577 29.37687462006 78,675 7 49 550725 4.89583675 34.27085732007 78,548 8 64 628384 4.89513513 39.16108112008 78,372 9 81 705348 4.89416093 44.04744842009 78,171 10 100 781710 4.89304567 48.93045672010 77,966 11 121 857626 4.89190525 53.8109578

Σ 862,801 66 506 5174874 53.8396705 323.02731

PARA UN CRECIMIENTO ARITMÉTICO:

reemplazando valores en las ecuaciones respectivas:

a+b( 6611 )−86280111=0

a (6611 )+b (50611 )−517487811=0

resolviendo el sistema:

a=78541.6

b=-17.525

Y=78541.6−17.525 X Ecuación de crecimiento aritmético

GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA POBLACIÓN SEGÚN UN CRECIMIENTO ARITMÉTICO

0 5 10 15 20 25 30 3577700

77800

77900

78000

78100

78200

78300

78400

78500

78600

Series2

PARA UN CRECIMIENTO GEOMETRICO:

Reemplazando valores en las ecuaciones respectivas:

A+B( 6611 )−53.8411 =0

A( 6611 )+( 50611 )−323.0311=0

Al resolver el sistema:

A=4.872

B=0.003

Calculamos los valores de a y b

a=74473,197

b=0.007

Entonces la ecuación de la curva exponencial para un crecimiento geométrico es:

Y=74473.19×e0.007X

GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA POBLACIÓN SEGÚN UN CRECIMIENTO GEOMÉTRICO

0 5 10 15 20 25 30 350

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

Series2

CONCLUSIÓN:

COMO SE PEDE OBSERVAR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS TRATA DE DISMINIUR LO MAS POSIBLE LAS DESVIACIONES VERTICALES, LO CUAL HACE QUE LA CURVA HALLADA PASE POR LA MAYOR CANTIDAD DE PUNTOS DE LOS DATOS CENSALES DISPONIBLES, EN CONCLUSIÓN UNA CURVA ÓPTIMA.

ESTE MÉTODO SI SERÍA APLICABLE AL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO DEBIDO A QUE SE DISPONÍA DE SUFICIENTES DATOS CENSALES PARA ENCONTRAR UNA CURVA ÓPTIMA Y COMO SE VE EN LAS GRÁFICAS, PRESENTA UN CRECIMIENTO REGULARMENTE ACELERADO, COMO ES EL CASO DE ESTE DISTRITO.

MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO:

Este método se usa generalmente en poblaciones que se encuentran en el periodo de asentamiento o inicio (solo se escogerán 3 datos censales).

P= AT^2 + BT + C (forma general de una ecuación de segundo grado)

Donde P representa la población en un determinado tiempo, y T representa el tiempo en el cual se calculará dicha población, además se requerirá calcular los valores constantes A, B Y C para formar la función parabólica.

PROCESO DE CÁLCULO:

ESCOGEMOS LOS ÚLTIMOS TRES DATOS CENSALES POR SER MÁS RECIENTES

AÑO POBLACIÓN T (AÑOS ) T^22008 78372 0 02009 78171 1 12010 77966 2 4

SIST. DE ECUACIONES

78372= A(0)+B(0)+C

78171=A(1)+B(1)+78372

77966=A(4)+B(2)+78372

RESULTADOS

A=-2

B=-199

C=78372

ENTONCES LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO SERÁ

P(T)=-2*T^2 - 199*T + 78372

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1075000

75500

76000

76500

77000

77500

78000

78500

79000

Series2

CONCLUSIÓN:

ESTE MÉTODO SOLO REQUIERE DE 3 DATOS CENSALES, Y DARÍA BUENOS RESULTADOS PARA POBLACIONES QUE RECIÉN ESTÉN ASENTANDOSE, DEL CUAL NO SE CONOCE MUCHOS DATOS, PARA EL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO NO SERÍA APLICABLE DEBIDO A QUE ACTUALMENTE SE DISPONEN DE BASTANTES DATOS CENSALES Y POR OTRA PARTE NO ES UN DISTRITO QUE RECIEN SE ESTÁ ASENTANDO SINO POR EL CONTRARIO, YA PASARON VARIOS AÑOS DESDE SUS INICIOS.

MÉTODO DE LA PARÁBOLA CÚBICA:

Este método al igual que el método de la parábola de segundo grado se usa para calcular poblaciones a corto plazo de lugares en reciente apogeo.

P= AT^3 + BT^2 + CT + D ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA

Donde P es la población a calcular en un tiempo determinado T.

Se tendrá que calcular las constantes A, B , C Y D

PROCESO DE CÁLCULO:

AÑO POBLACIÓN T (AÑOS ) T^3 T^22007 78548 0 0 02008 78372 1 1 12009 78171 2 4 82010 77966 3 9 27

SISTEMA DE ECUACIONES:

78548=A(0)+B(0)+C(0)+D

78372=A(1)+B(1)+C(1)+D

78171=A(8)+ B(4)+C(2)+D

77966=A(27)+B(9)+C(3)+D

RESULTADOS

A=3.5

B=-23

C=-156.5

D=78548

ENTONCES LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA SERÁ:

P(T)= 3.5*T^3 - 23*T^2 – 156.5*T + 78548

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA CÚBICA

0 2 4 6 8 10 12 1476000

76500

77000

77500

78000

78500

79000

79500

80000

80500

81000

Series2

CONCLUSIÓN

LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA PRESEANTA UN DECRECIMIENTO HASTA ANTES DE LOS PRIMEROS 10 AÑOS DE AHÍ EN ADELANTE CRECE DE UN MODO ACELERADO, LO CUAL INDICA UN AUMENTO DE POBLACIÓN, EN CONSECUENCIA ESTE MÉTODO NO ES APROPIADO PARA EL CASO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO, QUE YA ES UN DITRITO ASENTADO.