Parabola Ejercicios

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Tpicos de Geometra Analtica.

10122009Tema 25. Parbolas con vrtice fuera del origen.A diferencia de las Parbolas con Vrtice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las ms simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parbolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas ltimas se les designa con el nombre de Parbolas con Vrtice Fuera del Origen. Don Ren Descartes deca:

Caso 1. Si la parbola se abre a la derecha se relaciona con la ecuacin:

(y-k)2= 4p(x-h)Caso 2. Si la parbola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuacin:

(y-k)2= 4p(x-h)Caso 3. Si la parbola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuacin:

(x-h)2= 4p(y-k)Caso 4. Si la parbola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuacin:

(x-h)2= 4p(y-k)Esta vez ser solo teora. Resolvamos un problema

Sea la ecuacin: (y-3)2= 8(x+2) Qu datos puedes obtener con solo analizar la ecuacin? Solucin.1. La ecuacin se parece al caso 2, entonces la parbola tiene su Vrtice Fuera del Origen y adems se abre a la izquierda.

2. La Longitud del Lado Recto (4p) de la parbola es de 8 unidades. 3. La distancia del Vrtice al Foco (valor de p) de la parbola es: |4p|=|8|; p=|8/4|= 2 Unidades. 4. Las coordenadas del Vrtice de la parbola son: P(h, k), es decir: P(-2, +3). Son los nmeros que forman un binomio con la X y la Y de la ecuacin. 5. Si el valor de p es 2 quiere decir que la parbola tiene su Foco a 2 unidades a la izquierda del Vrtice, por lo tanto sus coordenadas sern: F(-4, 3). 6. Igual que el punto anterior, la Directrzestar desplazada a 2 unidades, solo que hacia la derecha del Vrtice por lo tanto su ecuacin ser: X=0, coincidiendo exactamente con el eje Y del sistema coordenado. Ahora bien, con todos estos datos ya puedes ver la grfica correspondiente la cual sera semejante a la que te muestro arriba.

Pero A qu conclusin nos lleva todo esto?La conclusin inmediata es que con solo analizar una ecuacin puedes darte cuenta de que figura se trata, y cules son sus caractersticas particulares. Otra forma de saber lo mismo es graficando la ecuacin, pero es ms sencillo A-NA-LI-ZAR las expresiones, tal es uno de los objetivos de la Geometra A-NA-LI-TI-CA.

Tpicos de Geometra Analtica.

4122009Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas. Si alguien te preguntara Cul es la distancia existente entre el par de rieles de la va del ferrocarril? Lo ms probable es que la obtendras midiendo con una cinta de un riel a otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual est bien, solo que esa es la antigua geometra de Euclides, la cuestin es: cmo hacer lo mismo aplicando la geometra moderna de R. Descartes que ya sabemos que es ms exacta y no requiere reglas escuadras ni compaces? Te dir tres formas de hacerlo aplicando la Geometra Analtica.

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una recta te resultar sencillo determinarla entre dos rectas que sonPARALELAS. Veamos un problema. Hallar la distancia entre las rectas: 1) y=2x+1; 2) y=2x-4

SolucinPuesto que ambas rectas estn expresadas de la forma: y=mx+b es fcil determinar su pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debe ser igual (coeficiente de x). De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendra una pendiente: m = -1/2 Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sera: Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son: P(1, 3)

Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuacin de la otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la frmula de Descartes para calcular la distancia entre un punto y una recta, solo necesitamos expresar la ecuacin de la recta 2) en la forma general para saber cules son los valores: A, B y C. Procedamos pues y=2x-4 -2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4 Ahora s, sustituyendo datos en la frmula de Descartes d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/[(-2) +(1) ] d= |-2+3+4|/[4+1] d= |5|/5 d= 5/2.232 2

d = 2.24 Unidades.Pero qu tal si comprobamos el resultado anterior encontrando dos puntos por donde pase una perpendicular a ambas rectas y aplicamos la frmula de la distancia entre dos puntos, tambin Obvio! de R. Descartes. Hagmoslo Ya tenemos un punto P(1, 3) y la pendiente: m=- de la recta PERPENDICULAR a ambas rectas PARALELAS entonces podemos conocer la ecuacin de la recta que pasa por dicho punto. Sustituyamos pues ambos datos en la frmula y-y1=m(x-x1) de Descartes para determinar la ecuacin. y-3=-1/2(x-1) y=-1/2x+1/2+3 y=-1/2x+7/2 Ok ya tenemos la ecuacin de la recta que pasa por P(1, 3) y que es PERPENDICULAR a ambas PARALELAS, ahora tenemos que encontrar las coordenadas del otro punto mismo que resulta de la interseccin de la PERPENDICULAR con la recta 2) y=2x-4 Igualando ambas ecuaciones y=y 2x-4 = -x+7/2 2x+x = 7/2+4 2.5x = 3.5+4 2.5x = 7.5 x = 7.5/2.5 x=3

Sustituyendo en la ecuacin 2) y = 2x-4 = (2)(3) 4 = 2 Bien entonces las coordenadas del puntode interseccin (o de cruce) de la PERPENDICULAR con la otra recta PARALELA son: Q(3, 2) Ahora s, apliquemos la frmula de la distancia entre dos puntos: d=[(x2-x1) +(y2-y1) ] Sustituyendo datos d = [(3-1) +(2-3) ] d = [(2) +(-1) ] d = [4 + 1] d = 52 2 2 2 2 2

d = 2.23 Unidades.Como podrs observar el resultado es prcticamente igual, la pequea diferencia se da por las decimales que se recortan al momento de estar dividiendo las fracciones, si utilizas todas las decimales el resultado es exactamente el mismo. Pero, pero, pero hay otra manera todava ms sencilla de hacerlo, simplemente utiliza la frmula:

En donde: b1 y b2 son los independientes de ambas ecuaciones y m es la pendiente de las rectas paralelas. Sustituyendo datos d = [b1-b2] / [1+m ] d = [1-(-4)] / [1+2 ] d = [1+4] / [1+4] d = 5 / 52 2

trminos

d = 2.24 Unidades.Bueno y fsicamente todo lo anterior en dnde diablos puedes aplicarlo? Si por ejemplo necesitaras calcular la distancia entre dos banquetas paralelas, entre dos rieles de las vas del tren, entre dos paredes paralelas, entre dos galaxias en forma de espiral por las cuales pasan dos paralelas, etc., en cualquier lugar en donde existan dos cosas u objetos que parezcan dos rectas PARALELAS.

Solo por practicar calcula la distancia entre ambas rectas representadas por las ecuaciones: ..1) y=-4x-2 2) y=-4x+3

..1) y=(1/2)x + 1 2) y=(1/2)x +4

..1) y=x+3 2) y=x-5

..

Tpicos de Geometra Analtica.Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta. Que cmo lo hizo don Ren Descartes? Bah! Como no tena nada ms importante que hacer (debes saber que en el ao 1620 () no haba computadoras, internet para chatear, cine, discos, y dems distractores comunes de la actualidad), entonces invent una frmula (Bendito Dios!) para calcular ms fcil, rpidamente y con precisin (sin reglas, escuadras ni comps) la distancia de un punto a unarecta. Es la frmula que te muestro a continuacin.

Pero Cmo interpretarla? Quin demonios es A, B y C? y quin es X e Y? Y qu con las dos barritas verticales que encierran al numerador? A, B y C, son los coeficientes de la ecuacin general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operacin. Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces

Primero convirtamos la ecuacin y=x-2 que est expresada de la forma y=mx+b, a la formaAx+By+C=0 (forma General de la ecuacin de una recta). Para hacerlo simplemente pasamos todos los trminos del lado izquierdo del signo igual. y=x-2, trasponiendo y reacomodando trminos quedara -x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2

Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la frmula quedara: d= d d d = 7 / 1.4142 |(-1)(1)+(1)(6)+2| = =|7| |-1+6+2| / / / [(-1) +(1) ] [1+1] 22 2

d = 4.94 Unid. (Metros, centmetros, kilmetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud). Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores. Qu tal!? A poco no es ms sencillo

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Categoras : Geometra Analtica.

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27112009Tema 23_b. Distancia de un punto a una Recta. Entonces cmo lo hizo? Cmo determin Descartes la pendiente(m) de la recta que es perpendicular a la recta: y=x-2? Fcil! Recuerdas el tema de perpendicularidad entre dos rectas?

Dos rectas expresadas de la forma: y=mx+bson perpendiculares entre s, si sus pendientes son inversas y de signo contrario (o recprocamente inversas y de signo contrario), es decir, si por ejemplo una tiene pendiente igual a: 2, la otra deber tener una pendiente igual a: -1/2. Otro ejemplo: si una tiene una pendiente de 4/5 la otra tendr una pendiente de -5/4 Por lo tanto para el caso que tenemos en donde conocemos la recta y=x-2; cuya pendiente es 1 (coeficiente de x) la perpendicular a ella debe tener una pendiente de: (1/1)= -1 Entonces ya tenemos los datos necesarios para determinar la ecuacin de la recta perpendicular a la recta: y=x-2, y son: P(1, 6) y m=-1; los cuales sustituyndolos en la frmula de Descartes: y-y1=m(x-x1) quedara:

y-6=-1(x-1) y y = -x+7 = -x+1+6

Bien ya tenemos las dos ecuaciones que nos permiten determinar las coordenadas del punto de interseccin de las rectas que representan.

1) 2) y = -x+7

y

=

x-2

Al colocar las dos ecuaciones (juntndolas de la manera anterior) se for