Embed Size (px)
Citation preview
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна»
ВЫСШАЯ ШКОЛА ТЕХНОЛОГИИ И ЭНЕРГЕТИКИ ----------------------------------------------------------------------------------------------------
В.А. Суслов
ТЕПЛОМАССООБМЕН
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Часть 1
Санкт-Петербург 2016
2
УДК 621.184.64 (075) ББК 31.31я 7 С 904 Суслов В.А. Тепломассообмен: учеб. пособие / СПбГУПТД ВШ ТиЭ. СПб., 2016. Часть 1. -98 с: ил. 58. – ISBN 978-5-91646-057-5
Учебное пособие содержит основные понятия, определения и расчетные уравненеия по теплопроводности, теплоотдаче, тепломассообмену, тепловому излуче-нию, тепловой и гидродинамический расчет теплообменных аппаратов. Пер-вая часть посвящена воросам теплопроводности и конвективного теплообме-на.
Пособие составлено в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов, охватывает минимальный, но необходимый ма-териал по дисциплине, и поэтому может быть использовано в качестве кон-спекта лекций студента - теплоэнергетика по направлению 13.04.01 «Тепло-энергетика и теплотехника»
Рецензенты: зав. кафедрой атомных станций и промтеплоэнергетики
СПб ГПУ, д-р техн. наук, профессор В.В. Сергеев; профессор кафедра про-цессов и аппаратов химической технологии СПбГУПТД ВШ ТиЭ, д-р техн. наук В.С. Куров
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Высшей
школы технологии и инергетики Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна в качестве учебного по-собия.
ISBN 978-5-91646-057-5 © Суслов В.А., 2016 © Высшая школа технологии и инергетики Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3 1 Основные понятия и определения 4 2 Теплопроводность 6
2.1 Коэффициент теплопроводности 6 2.1.1 Коэффициент теплопроводности газов 7 2.1.2 Коэффициент теплопроводности жидкостей 7 2.1.3 Коэффициент теплопроводности металлов. 7 2.1.4 Коэффициент теплопроводности строительных материалов 7
2.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности 8 2.3 Условия однозначности для процессов теплопроводности 11
2.3.1 Передача теплоты через плоскую стенку 12 2.3.1.1 Граничные условия первого рода 12 2.3.1.2 Граничные условия третьего рода. Теплопередача 14
2.3.2 Передача теплоты через цилиндрическую стенку 16 2.3.2.1 Граничные условия первого рода 16 2.3.2.2 Граничные условия третьего рода. Теплопередача 18 2.3.2.3 Критический диаметр цилиндрической стенки 20 2.3.2.4 Критический диаметр тепловой изоляции 21
2.3.3 Передача теплоты через шаровую стенку 21 2.3.3.1 Граничные условия первого рода 21 2.3.3.2 Граничные условия третьего рода 22
2.3.4 Интенсификация теплопередачи 23 2.4. Теплопроводность и теплопередача в стержне постоянного
поперечного сечения 24
2.5 Примеры с решениями 26 3 Нестационарные процессы теплопроводности 30
3.1 Нестационарные процессы теплопроводности в телах простой формы. Граничные условия третьего рода
31
3.2 Теплопроводность тел, образованных пересечением пластин 37 3.3 Регулярный режим процессов теплопроводности 37 3.4 Численные методы решения задач теплопроводности. Метод
конечных разностей 38
3.5 Исследование процессов теплопроводности методом анало-гии (электротепловая аналогия)
40
3.6 Примеры с решениями 42 4 Конвективный теплообмен в однородной среде 44
4.1 Основные физические свойства жидкости 45 4.2 Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена 46
4.2.1 Уравнение энергии 46 4.2.2 Уравнение движения 47
4
4.2.3 Уравнение сплошности 49 4.3 Основы теории подобия и размерностей 50
4.3.1 Условия однозначности 50 4.3.2 Условия подобия и вывод ее основных критериев 51 4.3.3 Теория размерностей 56 4.4. Примеры с решениями 56 4.5 Теплоотдача при продольном омывании плоской поверхности 59
4.5.1 Гидродинамический пограничный слой 60 4.5.2 Тепловой пограничный слой 62 4.5.3 Теплоотдача в ламинарном пограничном слое 63 4.5.4 Переход ламинарного течения в турбулентное 65 4.5.5 Турбулентный перенос теплоты и количества движения 67 4.5.6 Система уравнений турбулентного пограничного слоя 68 4.5.7 Теплоотдача при турбулентном пограничном слое 69
5 Теплоотдача при вынужденном течении жидкости в тру-бах
73
5.1 Основные режимы течения в трубах 73 5.2 Теплоотдача при течении жидкости в гладких трубах и кана-
лах 76
5.2.1 Ламинарный режим 76 5.2.2 Турбулентный режим 77 5.2.3 Переходный режим 78 5.2.4 Изогнутые трубы 78 5.2.5 Теплоотдача в шероховатых трубах 79
5.3 Примеры с решениями 80 6 Теплоотдача при вынужденном поперечном омывании
труб и пучков труб 88
6.1 Одиночная труба 88 6.2 Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб 90 6.3 Примеры с решениями 92
Рекомендуемая литература 96
5
ВВЕДЕНИЕ
Теория тепло- и массообмена представляет собой один из важнейших разделов технической физики. Она базируется на таких дисциплинах, как фи-зика, термодинамика, динамика жидкости и газов.
Вопросы тепло- и массообмена в инженерных разработках занимали и будут приобретать все большее значение поскольку решение многих задач промышленности страны, в частности, химической технологии, энергетики, авиационной техники, судостроения, коммунального хозяйства неразрывно связано с теорией теплообмена.
Эффективность и надежность работы теплообменных аппаратов и теп-ловых двигателей, работающих в промышленности, достигается правильно-стью проведения их тепловых расчетов и определения конструктивных ха-рактеристик.
Существенный вклад в развитие теории тепло- и массообмена сделан отечественными учеными: М.В. Кирпичевым, М.А. Михеевым, А.А. Гухма-ном, Г.Н. Кружилиным, С.С. Кутателадзе, А.В.Лыковым, Б.С. Петуховым, В.П. Исаченко, Д.А. Лабунцовым, А.М. Кутеповым, Л.С. Стерманом, Н.Г. Стюшиным, В.М. Антуфьевым, В.И. Субботиным и многими другими.
Настоящее перработанное и дополненное учебное пособие составлено в соответствии с требованиями образовательных стандартов и охватывет ми-нимальный, но необходимый объем материала по данной дисциплине и по-этому может быть использовано в качестве конспекта лекций бакалавра-теплоэнергетика.
6
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Теплопередача или теплообмен – это учение о самопроизвольных и
необратимых процессах распространения теплоты в пространстве, обуслов-ленных неоднородным температурным полем.
Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры в объеме тела или системы тел для каждого рассматриваемого момента времени: t = f (x, y, z, τ) , (1.1) где t – температура; x, y, z – пространственные координаты; τ – время.
Температурное поле, описываемое уравнением (1.1), в котором темпера-тура зависит от времени, называется нестационарным. При установившемся тепловом режиме, когда температурное поле не зависит от времени, dt/dτ = 0, температурное поле называется стационарным: t = f (x,y,z); τ∂∂ t = 0. (1.2)
Уравнения (1.1) и (1.2) являются многомерными или пространствен-ными. Для одномерного стационарного температурного поля уравнение за-писывается так:
t = f (x), zt
yt
∂∂=∂∂ = 0, τ∂
∂ t = 0. (1.3)
В этом случае температура в процессе нагрева или охлаждения определяется одной координатой.
Геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинако-вую температуру, называют изотермическими поверхностями. Изотерми-ческие поверхности не пересекаются, они либо оканчиваются на поверхности тела, либо располагаются внутри его. Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Скорость из-менения температуры по нормали к изотермической поверхности характери-зуется градиентом температуры – вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равным производной от температуры по этому направлению: gradt = 0n
nt
∂∂ , (1.4)
где n0 – единичный вектор, нормальный к изотерми-ческой поверхности и направленный в сторону воз-растания температуры (рис. 1.1).
Количество теплоты, переносимое за единицу времени через изотермическую поверхность площадью F, Рис.1.1. К определению называется тепловым потоком Q, [Дж/с] или [Вт]. температурного гра- Тепловой поток, проходящий через единицу площади диента поверхности, называют плотностью теплового потока: q = Q/F, [Вт/м2]. Вектор q направлен в сторону убывания температуры.
7
Если gradt для различных точек изотермической поверхности различен, то количество теплоты, которое пройдет через всю изотермическую поверх-ность в единицу времени определится следующим образом: ∫ ⋅=
F
dqQ F, [Вт], (1.5)
где – dF – элемент изотермической поверхности. Полное количество теплоты Q, прошедшее за время τ через изотермиче-
скую поверхность F, найдется по уравнению:
∫ ∫ ⋅⋅=τ
τ τ0 F
ddFqQ , [Дж]. (1.6)
Количество теплоты, проходящее через элементарную площадку dF , расположенную под углом ϕ к плоскости, касательной к изотермической по-верхности определяется по уравнению: dQτ= q∙dF ∙cosϕ∙dτ . (1.7)
Из уравнения (1.7) следует, что самой большой плотно-стью теплового потока будет та, которая направлена по нормали к изотермическим поверхностям (рис. 1.2). Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рас-сматриваемого тела. Нахождение температурного поля тела, является главной задачей теории теплопроводно-сти.
Рис. 1.2. К уравнению 1.7 Различают три вида теплообмена: а) теплопроводность; б) конвективный теплообмен, характеризующийся переносом теплоты
самим теплоносителем – макроскопическими элементами среды; плотность конвективного теплового потока на поверхности теплообмена определяется уравнением Ньютона-Рихмана: q = α (tж – tс), (1.8) где α, [Вт/(м2∙с)] – коэффициент теплоотдачи; tж и tс - температуры теплоно-сителя и стенки.
в) теплообмен излучением, характеризующийся тем, что часть внут-ренней энергии тела преобразуется в энергию излучения и передается через пространство электромагнитными волнами.
В реальных условиях отдельные виды теплообмена – теплопроводность, конвективный теплообмен и лучистый теплообмен – сопутствуют один дру-гому.
Теплопередачей называется теплообмен между двумя теплоносителями через разделяющую их твердую стенку. Плотность теплового потока в этом случае рассчитывается как: q = k (t2 – t1) , (1.9) где k, [Вт/(м2∙с)] – коэффициент теплопередачи; t2 – t1 = Δt – температурный напор, равный разности температур горячего и холодного теплоносителей, разделенных твердой стенкой.
8
2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Теплопроводность – процесс молекулярного переноса теплоты в
сплошной среде, обусловленный наличием градиента температуры. Перенос теплоты теплопроводностью в телах происходит в результате последователь-ного обмена энергией движения структурных частиц: от более нагретых к со-седним, менее нагретым частям среды. В газах перенос энергии осуществля-ется путем диффузии молекул и атомов. В жидкостях и твердых телах – пу-тем упругих волн. В металлах перенос энергии осуществляется путем диффу-зии свободных электронов.
Основной закон теплопроводности формулируется уравнением Фурье: q = - λ grad t =
nt
∂∂
⋅− 0nλ , (2.1)
Рис. 1. 3. Ж. Б. Фурье (1768-1830) – французский математик и физик. вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, про-порционален вектору градиента температуры в той же точке и тот же момент времени. Множитель пропорциональности λ, [Вт/(м∙ок)] называется коэф-фициентом теплопроводности и является физическим параметром вещест-ва. Знак “-“ в (2.1) учитывает противоположное направление вектора q и век-тора grad t.
2.1. Коэффициент теплопроводности Коэффициент теплопроводности для различных материалов определяется экспериментально:
λ = tgrad
q , [Вт/(м∙oк)] . (2.2)
Согласно (2.2) λ численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при grad t = 1.
При наличии теплообмена тела имеют различную температуру. Поэтому необходимо знать зависимость λ от температуры. Опыты показывают, что для многих материалов эта зависимость близка к линейной:
9
λ = λо [1 + b (t – to)], (2.3) где λо – коэффициент теплопроводности при to ; b – опытная постоянная.
2.1.1. Коэффициент теплопроводности газов Согласно кинетической теории, в которой газ при обычных давлениях и температурах рассматривается как совокупность молекул, находящихся в хаотическом движении и столкновениях, теплопроводность определяется со-отношением:
λ = w l cv ρ / 3 , (2.4) где w – средняя скорость перемещения молекул газа; l – средняя длина про-бега молекул; cv – теплоемкость при v = const; ρ – плотность.
При увеличении давления ρ увеличивается, а l – уменьшается. При этом ρl – const. Поэтому λ остается постоянным при изменении давления. С уве-личением температуры w и cv – увеличиваются. Поэтому λ также увеличива-ется. Для газов λ = 0,006 – 0,6 [Вт/ (м∙ок)]. λ для водяного пара и других ре-альных газов отличается от идеальных и зависит, в том числе, и от давления.
2.1.2. Коэффициент теплопроводности жидкостей Коэффициент теплопроводности жидкости можно определить по урав-
нению: λ = А (cp ρ4/3) / µ1/3, (2.5) где µ – молекулярная масса; А – коэффициент, пропорциональный скорости распространения упругих волн в жидкости, зависящий от температуры. Так как ρ убывает с повышением температуры, то для жидкостей при µ = const, λ – убывает. Исключение составляют вода и глицерин. λ жидкостей = 0,07 – 0,7. С возрастанием давления λ увеличивается.
2.1.3. Коэффициент теплопроводности металлов В металлах транспорт теплоты осуществляется, в основном, свободными
электронами, которые движутся из более нагретых областей в менее нагре-тые, где они отдают энергию, и обратно для восполнения ее в более нагрео-тых зонах. С повышением температуры в металлах усиливается рассеивание электронов. Поэтому λ уменьшается. При наличии примесей λ металлов убывает, что связано со структурными неоднородностями металла и связан-ным с этим рассеиванием электронов. Так λ чистой меди – 396, а λ меди со следами мышьяка – 142. λ сплавов и λ диэлектриков с увеличением темпера-туры увеличиваются.
2.1.4. Коэффициент теплопроводности строительных материалов Многие строительные и теплоизоляционные материалы имеют пористое
строение. Поэтому λ сильно зависит от их плотности, поскольку поры таких тел заполняют воздух, теплопроводность которого низкая. λ пористых мате-риалов в значительной степени зависит от влажности. Так λ влажного кирпи-ча – 1; λ сухого кирпича – 0,35; а λ воды – 0,6. У строительных материалов λ
10
= 0,023 – 2,9. Материалы, имеющие λ < 0,25, относят к теплоизоляцион-ным.
2.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности Дифференциальное уравнение теплопроводности необходимо, в том
числе и для решения задач, связанных с нахождением температурного поля. Интегрируя это уравнение, можно получить аналитическую зависимость ме-жду величинами для всего рассматриваемого промежутка времени.
Рассмотрим в бесконечно малом промежутке времени dτ бесконечно ма-лый элементарный объем dv со сторонами dx, dy и dz. Введем следующие допущения (рис. 2.1):
- тело однородно и изотропно; - физические параметры постоянны; - деформация рассматриваемого объема,
связанная с изменением температуры, мала по сравнению с самим объемом;
- внутренние источники теплоты в теле заданы как: qv = f (x; y; z; τ) и распределены равномерно. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на законе сохра-нения энергии. Количество теплоты dQ, Рис. 2.1. К выводу дифферен- сообщенное элементарному объему извне за циального уравнения тепло- время dτ за счет теплопроводности и от внут- проводности ренних источников, в зависимости от рассмотрения изохорного или изобар-ного процессов равно изменению внутренней энергии или энтальпии веще-ства: dQ1+dQ2 = dU + dL = dQ , (2.6)
где dQ1 – [Дж] – количество теплоты, введенное в объем теплопровод-ностью за время dτ; dQ2 – количество теплоты, выделившееся за время dτ в объеме dv от внутренних источников теплоты; dU – изменение внутренней энергии и dL – работы, совершенной телом над окружающей cредой или на-оборот.
Пусть механическая работа телом не совершается - dL = 0. Тогда dQ равно изменению внутренней энергии dU или энтальпии вещества di, содер-жащегося в элементарном объеме dv, за время dτ.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объе-ма за время dτ в направлении осей x; y; z обозначим через dQx; dQy; dQz.
При этом количество теплоты, подведенное к грани dy dz в направлении оси Х за время dτ определится как ,τddzdyqdQ xx ⋅⋅⋅= где qx – проекция плот-ности теплового потока на ось Х, dy∙dz –элементарная площадка.
Количество теплоты, отводимое через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим через dQx+dx; dQy+dy; dQz+dz.
Относительно оси Х оно пишется как:
11
.τddzdyqdQ dxxdxx ⋅⋅⋅= ++ Разница между подведенным и отведенным количеством теплоты от
элементарного параллелепипеда за время dτ в направлении оси Х, представ-ляет:
( ) .1 τττ ddzdyqqddzdyqddzdyqdQdQdQ dxxxdxxxdxxxx ⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=−= +++ Функция qx+ dx является непрерывной и в рассматриваемом интервале
dx раскладывается в ряд Тейлора:
.....!2
q2
2
2
dxx +∂
∂
∂+
∂∂
+=+x
xq
dxx
qq xx
x
Ограничившись ввиду малости остальных двумя первыми членами ряда,
получим: dQx1 = τddzdydxx
qq x
x ⋅⋅∂∂
−− )(qx .
Аналогично находится количество теплоты, подводимое к элементарно-му объему в направлении координатных осей Y и Z.
В результате количество теплоты dQ1, подведенное за счет теплопровод-ности к рассматриваемому объему, будет равно:
dQ1 = dzdydxz
qy
qx
q zyx ⋅⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
− .
Пусть количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема тела в единицу времени будет qv, [Вт/м3].
Тогда вторая составляющая левой части уравнения (2.6) будет равна: dQ2 = qv ∙ dv ∙ dτ. Третью составляющую уравнения (2.6) определим в зависимости от тер-
модинамического процесса, протекающего в системе. В изохорном процессе вся теплота, подведенная к элементарному объе-
му, расходуется на изменение внутренней энергии его объема: dQ = dU.
Известно, что dU = dvdtcdvdtvv ⋅
∂∂
=⋅∂∂ τ
τρτ
τC ,
где vC –изохорная теплоемкость единицы объема [Дж/(м3∙ 0К]; vc – изо-хорная теплоемкость единицы массы, [Дж/(кг 0К)]; ρ – плотность вещества [кг/м3].
Подставим полученные выражения в (2.6):
ττττ
ρ ddvqddzdydxz
qy
qx
qdvdtc v
zyxv ⋅+⋅⋅⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=⋅∂∂
,
или vv qqdivtc +−=∂∂τ
ρ . (2.7)
Уравнение (2.7) – дифференциальное уравнение энергии для изохор-ного процесса переноса теплоты.
В изобарном процессе вся теплота, подведенная к рассматриваемому объему, расходуется на повышение теплосодержания вещества этого объема.
12
Известно, что dvdidvdtcdvdtp ⋅
∂∂
=⋅∂∂
=⋅∂∂
= ττ
ρττ
ρττpCdi ,
где - Ср – изобарная теплоемкость единицы объема, [Дж/м3∙0К]; СР – изобар-ная теплоемкость единицы массы, [Дж/кг∙0К].
Подставим полученные значения dQ1 , dQ2 и di в (2.6). Тогда
vvzyx qqdivq
zq
yq
xqi
+−=+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∂∂τ
ρ . (2.8)
Уравнение (2.8) – дифференциальное уравнение энергии для изобар-ного процесса переноса теплоты.
В твердых телах теплота распространяется в соответствии с законом Фу-рье: q = - λgradt, a Cp ≈ Cv = C. Тогда (2.7) перепишем как:
( )ρ
λρρρτ ⋅
+⋅⋅
=⋅
+⋅
−=∂∂
cq
gradtdivcc
qqdiv
cvv 11t
. (2.9)
(2.9) - дифференциальное уравнение теплопроводности. Перепишем
(2.9) в виде: ρ
λλλρτ ⋅
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
⋅=
∂∂
cq
zt
zyt
yxt
xct v1 .
Так как теплофизические характеристики const по условию задачи, то
ρρλ
τ ⋅+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
=∂∂
cq
zt
yt
xt
ct v
2
2
2
2
2
2 , (2.10)
где ρλ⋅
=c
a , [м2/с] - коэффициент температуропроводности, характери-
зующий скорость изменения температуры и являющийся мерой теплоинер-ционных свойств тела. Жидкости и газы обладают большой тепловой инер-ционностью и, значит, малым « a ». Металлы обладают малой тепловой инер-ционностью, значит у них большой « a ».
tz
ty
tx
t 22
2
2
2
2
2∇=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ - второй оператор Лапласа по темпера-
туре. С учетом обозначений перепишем (2.10):
ρτ ⋅+∇⋅=
∂∂
cq
tat v2 . (2.11)
Если система тел не содержит внутренних источников теплоты qv=0, то
tat 2∇⋅=∂∂τ . (2.12)
При стационарном состоянии температурного поля при наличии внут-ренних источников уравнение (2.11) запишется как:
13
02 =+∇λvq
t - уравнение Пуассона. (2.13)
При отсутствии внутренних источников qv = 0 и стационарном режиме (2.11) запишется как: 02 =∇ t - уравнение Лапласа. (2.14)
2.3. Условия однозначности для процессов теплопроводности
Явление теплопроводности описываются уравнениями энергии и закона Фурье:
ρτ ⋅+∇⋅=
∂∂
cq
tat v2 , (2.15)
n∂∂
=t-dq λ . (2.16)
Уравнения (2.15) и (2.16) отражают общий характер процесса и имеют множество решений. Для получения конкретного решения, необходимо зада-ние условий однозначности, т.е. дать математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса:
- геометрические – определяют форму и размеры тела, в котором про-текает процесс;
- физические – характеризуют физические свойства среды и тела, то-есть определяют числовые значения всех физических параметров тела, вхо-дящих в дифференциальное уравнение;
- временные (начальные) – определяют распределение температур в на-чальный момент времени;
- граничные – определяют взаимодействие тела с окружающей средой и могут быть заданы следующим образом:
а) граничные условия первого рода характеризуют распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
tс = f (x, y, z, τ); б) граничные условия второго рода - распределение плотности тепло-
вого потока на поверхности тела: qс = f (x, y, z, τ);
в) граничные условия третьего рода задаются температура окружаю-щей среды и закон теплообмена между средой и поверхностью тела:
( )сжс
ttntq −=
∂∂
−= αλ ;
г) граничные условия четвертого рода характеризуются равенством тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта двух тел:
22
11 n
tnt
∂∂
=∂∂ λλ .
14
2.3.1. Передача теплоты через плоскую стенку
2.3.1.1. Граничные условия первого рода Рассмотрим однородную, изотропную, плоскую стенку (рис. 2.2), тол-
щина которой значительно меньше длины и ширины. На поверхностях пла-стины поддерживаются постоянными температурами tс1 и tс2 . Теплопровод-ность материала - λ. В стационарном тепловом режиме для одномерного температурного поля дифференциальное уравнение теплопроводности имеет
вид: 02
2=
dxtd . (2.17)
Граничные условия первого рода заданы следующим образом: при x = 0 → t = tс1 ; при x = δ → t = tс2 .
Интегрируем (2.17):
1Cdxdt
= , dt = c1 ∙ dx,
t(x) = С1∙ x + С2 . (2.18) Рис. 2.2 Рас- Из (2.18) следует, что при λ = const темпе- пределение ратура в стенке меняется по линейному закону. температу-Постоянные интегрирования С1 и С2 определя- ры в плоской ем из граничных условий. При x = 0 → С2 = tс1 стенке
При x=δ → tс2= С1δ + tс1 . δ12
1C cc tt −= . (2.19)
Подставив С1 в формулу (2.18), получим
xtt
tt cccx δ
211)(
−−= . (2.20)
Из (2.20) видно, что распределение температуры в плоской стенке осуществ-ляется по закону прямой.
При подстановке в уравнение Фурье 1Cxt=
∂∂ , определим:
( )21 cc ttntq −=
∂∂
−=δλλ . (2.21)
Из (2.21) следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально λ, разности температур на наружных поверхностях стенки и обратно пропорционально толщине стенки.
Величина δλ называется тепловой проводимостью, а ей обратная -
λδ -
термическим сопротивлением стенки. Оно представляет собой падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.
15
Перепишем (2.21) в виде: δλ
21 cc ttq −= .
Полученное подставим в (2.20) и получим:
xqtt cx λ−= 1)( . (2.22)
Из (2.22) следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает быстрее при большей плотности теплового потока.
Общее количество теплоты Qτ , которое передается через стенку за про-
межуток времени τ, определяют: ( ) τδλττ ⋅−=⋅⋅= FttFqQ cc 21 . (2.23)
Рассмотрим теплопроводность многослойной стенки, показанной на рис. 2.3 и состоящей из n слоев. Поверхности слоев идеально контактируют, по-этому температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При стацио-нарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же. Тогда на основании (2.22):
( )
( )
( )
−=
−=
−=
.
;
;
433
3
322
2
211
1
ttq
ttq
ttq
δλδλδλ
. (а)
Рис. 2.3. Много- Изменение температуры в каждом слое равно: слойная плоская стпенка
=−
=−
=−
.
;
;
3
343
2
232
1
121
λδλδλδ
qtt
qtt
qtt
(б)
Сложим, левые и правые части системы (б): q (δ1 / λ1 + δ2 / λ2 + δ3 / λ3) = t1 – t4
или
3
3
2
2
1
1
41
λδ
λδ
λδ
++
−=
ttq .
Для многослойной стенки, состоящей из n слоев, по аналогии получим:
16
∑=
+−= n
i i
i
nttq
1
11
λδ
, (2.24)
где n – количество слоев в стенке.
Величина ∑=
n
i i
i
1 λδ – полное термическое сопротивление теплопроводно-
сти многослойной стенки, равное сумме термических сопротивлений всех слоев.
Из рассмотрения многослойной стенки, как однородной и однослойной
толщиной ∑=
n
ii
1δ , выводится эквивалентный коэффициент теплопроводно-
сти λэкв многослойной стенки. Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина которой равна толщине многослойной, а тер-мическое сопротивление равно термическому сопротивлению рассматривае-мой многослойной стенки: ( )11
1
+
=
−=
∑nn
ii
экв ttqδ
λ . Тогда
∑∑
=
= =n
i i
i
экв
n
ii
1
1λδ
λ
δ →
∑
∑
=
== nэкв
1i i
i
n
1ii
λδ
δλ . (2.25)
Из (2.25) следует, что λэкв зависит только от термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.
2.3.1.2. Граничные условия третьего рода. Теплопередача Передача теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяю-
щую их твердую стенку называется теплопередачей. Это сложный теплооб-мен, включающий теплоотдачу от горячего теплоносителя к стенке, тепло-проводность внутри стенки и теплоотдачу от стенки к холодному теплоноси-телю.
Пусть плоская однородная стенка, показанная на рис. 2.4, имеет тол-щину δ значительно меньшей высоты. Заданы коэффициенты теплопровод-ности стенки λ, температуры теплоносителей tж1 и tж2 и коэффициенты теп-лоотдачи α1 и α2 . Режим стационарный. При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и темпера- туры на поверхности стенки. Плотность теплового потока от горячего теплоносителя к стенке определяется уравнением Ньютона – Рихмана: q = α1 (tж1 – tс1) .
17
При стационарном режиме эта же плотность теплового потока, обусловленная теплопроводно-стью внутри твердой стенки, находится по уравне-нию (2.21): q = λ / δ (tw1 – tw2) .
Эта же плотность теплового потока от стенки к холодному теплоносителю определяется уравнени-ем Ньютона – Рихмана:
q = α2 (tс2 – tж2). Сведем уравнения в систему:
(*) Рис. 2.4. Теплопередча через плоскую стенку
Решаем систему (*) относительно q, складывая равенства, почленно:
2121
11жж ttq −=
++αλ
δα
или
21
2111αλ
δα
++
−= жж tt
q , [Вт/м2] . (2.26)
Перепишем (2.26) в виде q = K (tж1 – tж2) ,
где
⋅++=
КмВтK 2
21
,111
αλδ
α
- коэффициент теплопередачи. (2.27)
К – численно равен количеству теплоты, передаваемой через единицу
поверхности стенки в единицу времени от горячего теплоносителя к холод-ному при разности температур между ними в один градус.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи:
21
111αλ
δα
++==K
R . (2.28)
Так как полное термическое сопротивление состоит из частных терми-ческих сопротивлений, то, очевидно, что для многослойной стенки необхо-димо учитывать термическое сопротивление каждого слоя:
( )
( )
( )
−=
−=
−=
.1
;
;1
221
21
111
жс
сс
cж
ttq
ttq
ttq
α
λδα
18
∑=
++=n
i i
iR1 21
11αλ
δα
или ∑=
++
= n
i
iK
1 211
111
αλδ
α
.
Тогда плотность теплового потока через многослойную плоскую стенку
определится как:
∑=
++
−= n
i i
i
жж ttq
1 21
21
11αλ
δα
. (2.29)
Тепловой поток Q [Вт], через поверхность F твердой стенки равен:
Q = q∙F = k∙Δt∙F . (2.30) Температуры поверхностей стенки найдем из системы (*)
;1
111 α
qtt жс −=
+−=λδ
α112
1qtt жс ; 2
221α
qtt жс += .
На основании приведенных уравнений температура на границе любых двух слоев определяется по уравнению
+−= ∑
=+
n
i i
iжic qtt
111)1(
1λδ
α . (2.31)
2.3.2. Передача теплоты через цилиндрическую стенку 2.3.2.1. Граничные условия первого рода
Рассмотрим тонкостенную трубу с внутренним диаметром d1 = 2 r1 и наружным d2 = 2 r2. На поверхно-стях стенки заданы постоянными температуры t1 и t2. Теплопроводность материала стенки постоянна. Режим теплопроводности стационарный. Вертикальная ось OZ совмещена с осью трубы. Второй оператор Лапласа дифференциального уравнения теплопроводности в ци-линдрической системе координат имеет вид
0112
2
2
2
22
22 =
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∇
ztt
rrt
rrtt
ϕ . (2.32)
Поскольку труба тонкостенная, то температура бу-дет меняться только в радиальном направлении. Рис. 2.5. Однородная Сле-довательно, температурное поле – одномерное. цилиндрическая
стенка
Тогда 0=∂∂zt и 02
2=
∂
∂
zt .
В связи с тем, что температуры на поверхностях трубы неизменны, изо-термические поверхности – цилиндрические, имеющие с трубой общую ось. Следовательно, температура постоянна по φ, где φ – угол между координата-ми в горизонтальной плоскости:
19
0=∂∂ϕt и 02
2=
∂
∂
ϕt .
Тогда (2.32) примет вид
012
2=
∂∂
+∂
∂rt
rrt . (2.33)
Зададимся граничными условиями: r = r1 → t = t1 и r = r2 → t = t2 .
Введем новую переменную rtU∂∂
= .
Тогда rU
rt
∂∂
=∂
∂2
2 ,
ru
rt
r=
∂∂1 .
Перепишем (2.33) в виде 01=+
∂∂
rU
rU . Разделим переменные:
0=∂
+∂
rr
UU
. (2.34)
Интегрируем (2.34) и получим: lnU + lnr = lnC1 . (2.35) Потенцируем (2.35), получим: U ∙ r = C1, тогда
rCU 1
1= . Перепишем, под-
ставив обозначенное через U: r
Crt 1
1=∂∂ . (*)
Разделим переменные: rrCt ∂
=∂ 1 . Интегрируем полученное выражение:
21 ln CrCt +⋅= . (2.36) Уравнение (2.36) – уравнение температурной кривой в цилиндре. Постоянные С1 и С2 в (2.36) находим, используя граничные условия: при r = r1 → t = t1 = C1lnr1 + C2 и при r = r2 → t = t2 = C1lnr2 + C2.
Тогда C2 = t1 - C1∙lnr1 и t2 = C1∙ lnr2 + t1 - C1∙ lnr1. Следовательно, пере-пад температур на стенке определится как: t1- t2 = C1(lnr1 –lnr2) и постоян-ная
21
211
ln rr
ttC −= . Подставив С1 в уравнение температурной кривой, получим
21
21
211 ln
lnCr
rr
ttt +−
= . Откуда ( )2
1
12112
ln
ln
rrrtttC −−= .
Подставим постоянные интегрирования в (2.36):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln ln
ln
ln
ln
1
2
1211
1
2
1211
2
1
1
2
1211
2
1
1211
2
121
dd
dd
tttr
rr
rttt
rrr
rrrttt
rrrttt
rrrttt
−−=−−=
=
−−+=−−+−=
(2.37)
20
Из (2.37) следует, что распределение температуры в цилиндрической
стенке происходит по логарифмической кривой. Воспользуемся уравнением Фурье: F
drdtQ λ−= ; подставим в него (*):
( ) ( )21
1
2
2
1
211
ln
2
ln
2 tt
rr
l
rrr
lrttFr
CQ −⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅⋅−−=−=
λππλλ , [Вт] . (2.38)
Тепловой поток в (2.38) может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхностей. Онесем его к единице длины. Тогда
( )
12
21
ln21
dd
ttqlQ
l
λ
π −== , [Вт/м] . (2.39)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, называется линей-ной плотностью теплового потока. Как видно из (2.38), q при d2/d1 = const не зависит от поверхности цилиндрической стенки. 2.3.2.2. Граничные условия третьего рода. Теплопередача Рассмотрим однородную Трубу (рис. 26) с постоянным коэффициентом теплопро- водности λ. Температуры Рис.2.6. теплоносителей tж1 и tж2, Теплопере- коэффициенты теплоотдачи дача через α1 и α2 постоянны. Длина тру- однород бы велика по сравнению с ную цилинд толщиной стенки. Тепловой рическую режим - установившийся и стенку постоянный. Тогда через стенку передается одно и то же количество теплоты. Следовательно, справедливы следующие равенства:
( )( )
( )
−⋅⋅=
−=
−⋅⋅=
.
;ln
21
;
2222
12
21
1111
жс
сс
сж
ttdqd
dttq
ttdq
παλ
ππα
Перепишем полученную систему следующим образом:
21
=−
=−
=−
.1
;ln21
;1
2222
12
21
1111
dq
tt
ddq
tt
dq
tt
жс
сс
сж
απ
λπ
απ
(*)
Для определения температурного напора между теплоносителями сло-жим почленно уравнения системы (*):
++=−
221
2
1121
1ln211
ddd
dq
tt жж αλαπ .
Из полученного уравнения находится линейная плотность теплового по-тока через цилиндрическую поверхность:
( )
221
2
11
211ln
211
ddd
d
ttq жж
αλα
π
++
−= , [Вт/м] . (2.40)
Перепишем (2.40) в виде: ( )21 жж ttKq −⋅= π , (2.41)
где
221
2
11
1ln211
1
ddd
d
K
αλα++
= , [Км
Вт⋅
] . (2.42)
Величина K – линейный коэффициент теплопередачи. Она характе-ризует интенсивность передачи теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую их стенку и равна количеству теплоты, которое прохо-дит через стенку, длиной 1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности температур между ними в 1 К.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется линей-ным термическим сопротивлением теплопередачи:
221
2
11
1ln2111
ddd
dKR
αλα++==
, (2.43)
и равна сумме частных термических сопротивлений (теплоотдачи и тепло-проводности). В случае, если d2/d1 < 2, в практических расчетах можно поль-зоваться зависимостью ( )21 жжx ttdKQ −⋅⋅⋅= π , (2.44)
где К рассчитывается согласно (2.26). Погрешность расчета уменьшится, если в качестве расчетной
поверхности в (2.43) брать поверхность, со стороны которой α меньше: 1. α1>> α2 → dx =d2;
22
2. α2>> α1 → dx =d1; 3. α1 ≈ α2 → dx = 0.5 (d1 + d2) .
При рассмотрении теплопередачи через многослойную цилиндрическую
стенку система равенств (*) заменяется системой, учитывающей сопротивле-ния теплопроводности всех слоев. После решения этой системы относитель-но q получим
( ) ( )21
1 22
1
11
21
1ln211 жжni
i i
i
i
жж ttK
ddd
d
ttq −⋅=
++
−=
∑=
=
+π
αλα
π , (2.45)
где ∑=
=
+ ++==ni
i i
idd
dd
RK 1 22
1
11
1ln2111
αλα
- полное термическое сопротивле-
ние многослойной цилиндрической стенки.
Из системы (*) следует, что
+= ∑
=
=
++
ni
i i
i
iжic d
dd
qtt
1
1
111)1( ln
211-λαπ
. (2.46)
2.3.2.3. Критический диаметр цилиндрической стенки
Термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки определяется уравнени-
ем (2.43): 221
2
11
1ln211
ddd
dR
αλα++= .
В условиях эксплуатации α1; d1; λ; α2 – сonst. Поэтому R = f(d2).
Исследуем функцию R . .1
111 const
dR ==
α
1
2ln21
ddR c λ
= - при увеличении d2, будет возрас-
тать. 22
21d
Rα
= - при увеличении d2 будет Рис. 2.7. Зависимость термичес-
уменьшаться. Таким образом кого сопротивления цилиндри-( ) . )(; 22 dfRRfR c == ческой стенки от d2
Возьмем производную от R по d2 и приравняем ее к 0.
( )( ) 01
21
22222
=−⋅
=dddd
Rdαλ
. (2.47)
Значение d2 из (2.47) соответствует экстремальной точке кривой ( )2dfR = . Из рис. 2.7 видно, что при d2 < dкр с увеличением d2 R -
уменьшается. При d2 > dкр с увеличением d2 R - возрастает. Исследуя кри-вую на max и min, увидим, что кривая имеет экстремальную точку, равную
22
2αλ
=d , где термическое сопротивление теплопередачи будет минималь-
23
ным. Значение внешнего диаметра трубы, соответствующее минимальному полному термическому сопротивлению, называется критическим диаметром.
2.3.2.4. Критический диаметр тепловой изоляции. Термическое сопротивление трубы с изоляцией составляет
н
н
изc ddd
dd
dR
221
2
11
1ln2
1ln2
11αλλα
+++= .
Так как R – обратно пропорционально плотности теплового потока при всех прочих постоянных величинах, то )( изdfq = . Критический диаметр
изоляции определяется уравнением 2
.2αλиз
изкрd = . (2.48)
При выборе изоляционного материала необходимо рассчитать критиче-ский диаметр по зависимости (2.48).
Согласно рис. 2.8, плотность теплового потока с ростом внешнего диа-метра увеличивается, при d = dкр дости-гает максимума и с дальнейшим ростом d2 уменьшается. Эту зависимость необ-ходимо учитывать при выборе тепловой изоляции. Если dкр. из > d2, применение выбранного материала в качестве изоляционного, нецелесообразно. Для эффективной работы тепловой изоляции должно выполняться условие: dкр.из < d2. Рис. 2.8. Зависимость тепловых по- терь от толщины изоляции трубы
2.3.3. Передача теплоты через шаровую стенку 2.3.3.1. Граничные условия первого рода
Рассмотрим полый шар с радиусами r1 и r2, постоянной теплопровод-ностью λ и температурами поверхностей t1 и t2, представленный на рис. 2.9. Температура изменяется только в радиальном направлении. Режим тепло-проводности постоянный. 02 =∇ t . Оператор Лапласа в сферических коорди
натах записывается как: trt
rrt 22
2 2∇=
∂∂
+∂
∂ . (2.49)
Граничные условия первого рода: r = r1 → t = t1; r = r2 → t = t2. Дважды интегрируя (2.49), получим:
21
rc
rt=
∂∂ ;
rcct 1
2 −= . (2.50)
24
Постоянные интегрирования находим из граничных
условий:
21
211 11
rr
ttc−
−−= ;
1
21
2112
111 rrr
tttc−
−−= .
Подставим постоянные интегрирования в (2.50):
−
−
−−=
rrrr
tttt cc
1111 1
21
211 . (2.51)
Из (2.51) видно, что температура внутри шаро-
вой стенки изменяется по закону гиперболы. Количество теплоты, проходящее через шар, Рис.2.9. Однородная
поверхностью F = 4π ∙r2 в шаровая стенка единицу времени:
( ) tdd
dd
t
rrr
ttrFrtQ ∆⋅=
−
∆⋅⋅=
−
−⋅⋅=
∂∂
−=δ
λπλπλπλ 21
2121
2
212
112
114 , (2.52)
где 2
12 dd −=δ - толщина стенки.
2.3.3.2. Граничные условия третьего рода При граничных условиях третьего рода кроме r1 и r2, t1 и t2, λ, извест-
ны температуры горячей и холодной жидкостей tж1 и tж2 и коэффициенты теплоотдачи на поверхностях шаровой стенки α1 и α2.
Процесс теплопроводности стационарный. Тогда можно записать:
( )
( )
( )
−⋅=
−−
⋅=
−⋅=
.
;11
2;
22222
21
21
112
11
жc
ж
ttdQ
tt
dd
Q
ttdQ
πα
πλπα
(2.53)
Решая (2.53) относительно Q, получим ( )
tK
dddd
ttQ ш
жж ∆⋅=+
−+
−= π
αλα
π
22221
211
21
111211
, (2.54)
где: Кш - коэффициент теплопередач шаровой стенки, [Вт/0К].
25
22221
211
1112111
ddddkR
шш
αλα+
−+== - термическое сопротивление тепло-
передачи шаровой стенки.
2.3.4. Интенсификация теплопередачи Пути интенсификации теплообмена находят в результате анализа коэф-
фициента теплопередачи К, являющегося определяющей величиной при за-данных размерах стенки и температурах теплоносителей:
21
111
αλδ
α++
=K .
При тонких стенках с большим λ:
21
21
1
2
2
2
1
1
211111
1αααα
αα
α
αα
α
αα+⋅
=+
=+
=+
=K . (2.55)
Из (2.55) следует, что К не может быть больше самого малого значения
α. Если α2 → ∞, то К → α1. Если α1 → ∞, то К → α2.. Следовательно, для уве-личения К следует уменьшать большее из термических сопротивлений. При передаче теплоты через цилиндрическую и шаровую стенки термиче-ские сопротивления последних определяются не только коэффициентами те-плоотдачи, но и размерами поверхностей: 2
1;1dd ⋅⋅ αα
.
Следовательно, если α мало, то термическое сопротив-ление теплоотдачи можно уменьшить за счет соответст-вующей поверхности. Этот результат можно получить за счет их оребрения поверхности (рис. 2.10), поскольку термические сопротивления пропорциональны
11
1Fα
и
22
1Fα
. Исходя из этого, при α1 << α2 , оребряют поверх-
ность со стороны α1 до тех пор, пока α1 F1≅ α2 F2 . Дальнейшее увеличение F1 малоэффективно. На рис. 2.10 представлены рисунки прямых и цилиндрических Рис. 2.10. Различные ребер. виды оребрения труб
2.4. Теплопроводность и теплопередача в стержне
постоянного поперечного сечения Рассмотрим распространение теплоты в прямом стержне с постоянным
поперечным сечением по длине (Рис. 2.11). Площадь поперечного сечения – f, периметр – u. Стержень находится в среде с постоянной температурой tж. Коэффициент теплоотдачи от стержня в окружающую среду постоянный. Значение коэффициента теплопроводности материала стержня λ высокое.
26
Площадь поперечного сечения пренебрежимо мала по сравнению с его дли-ной, т.е. температура в стержне изменяется только вдоль его оси. Отсчет температуры ведем от выбранной температуры tж . Избыточную, в результате этого, температуру стержня обозначим как ϑ. Тогда ϑ = t – tж, где t – текущая температура стержня; tж – температура среды, окружаю-щей стержень. При температуре основания стер-жня t1 , его избыточная температура оп-ределяется как: ϑ1 = t1 – tж.
Выделим элемент стержня длиной dx на расстоянии x от основания стержня. Для это-го участка уравнение материального баланса определится: dQ = Qx – Qx+dx , (2.56) где dQ – количество теплоты, отдаваемое в Рис. 2.11. Стержень посто- единицу времени единицей наружной по- янного поперечного сечения верхности элемента окружающей среде; Qx – количество теплоты, входящее в левую грань элемента в единицу времени; Qx+dx – количество теплоты, выхо-дящей из противоположной грани элементарного элемента в этот же проме-жуток времени.
На основании уравнения Фурье запишем:
dxdxdf
dxdff
dx
dxx
dQ dxx 2
2ϑλϑλ
ϑϑλ ⋅−⋅−=
∂∂
+−=+ .
При этом очевидно, что dxdfQxϑλ ⋅−= .
Подставим Qx и Qx+dx в (2.57): dxdxdfdQ 2
2ϑλ ⋅= .
Вместе с тем dQ = α*ϑ*U*dx, где U – геометрический размер ребра – пе-риметр поперечного сечения ребер: U = 2b.
Тогда dxUdxdxdf ⋅⋅⋅=⋅ ϑαϑλ 2
2 или ϑ
λαϑ
fU
dxd
⋅⋅
=2
2.
Обозначим f
Um⋅⋅
=λα , [1/м]. Тогда ϑϑ 2
2
2m
dxd
= . (2.57)
Пусть m = const при α = const по всей поверхности; λ = const в рассмат-риваемом диапазоне температур и постоянных габаритах ребра. Проинтегрируем (2.59): mxmx CC −+= 21ϑ . (2.58)
Уравнение (2.58) – уравнение изменения избыточной температуры стержня вдоль его длины. Постоянные C1 и C2 определяются из граничных условий в зависимости от длины стержня и его температуры.
Из анализа m следует, что при оребрении следует выбирать материал ре-бер с λ = max и делать тонкие ребра.
27
Используя (2.58), определим количество теплоты, отданное стержнем в окружающую среду:
При x = ∞ fUmfQ p ⋅⋅=⋅⋅⋅= λαϑϑλ 11 . При x = l ( ) ( )mlthfUmlthmfQ pp ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= λαϑϑλ 11 , где αp –теплопередача с поверхности реб-
ра; th – гиперболический тангенс. При рассмотрении теплопередачи через
ребристую плоскую стенку (рис. 2.12) найдем расчетное уравнение для определения потока теплоты с поверхности ребра:
( ) λδα
λδα
ϑαp
p
ppp
dl
dlth
FQ2
2
1
= . (2.59)
Рис. 2.12. Теплопередача через ребристую стенку В (2.59) αpδ/λ = Bi –число Био. Критерий Био представляет собой отноше-ние внутреннего термического сопротивления теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи:
p
Biα
λδ
1= . Перепишем (2.59) как:
Qp = αp∙ϑ1∙Fp∙E , где ( )
Bid
BidthE
2
2
= - коэффициент эффективности
ребра. Число Е стремится к 1 при Bi → 0, а λ → ∞. Q = Qp + Qс = αпр∙ϑ1∙Fр.с, где Qс = αс ∙ϑ1∙Fс – поток теплоты с гладкой части ребристой поверхности; Fр.с = Fp + Fс; αпр = αpE( Fp/Fр.с) + αс (Fс/Fp.c) – приведенный коэффициент теплоотдачи, учитывающий теплоотдачу поверхности ребра, поверхности гладкой стенки и эффективность работы ребра. Тогда общий тепловой поток
через стенку определится как:
српрcc
жж
FFF
ttQ
.1
211'1
αλδ
α+
⋅+
−= . (2.60)
Отнесем (2.60) к единице оребренной поверхности: ( )21..
жжсрср
ttКFQ
−= , где
прc
pcpcpc
FF
FcF
K
αλδ
α1'1
1
1++
= ; Fр.с/Fс – отношение оребренной поверхности к
гладкой называется коэффициентом оребрения.
28
Практическое определение эффективности оребрения является более сложной задачей. Во-первых, теоретический коэффициент эффективности ребра Е заметно меньше единицы. Как следствие, при высоких значениях вы-соты ребра возникают сложности по определению α для подстановки в число Био. Во-вторых, раздельное определение αр и αс практически невозможно. Поэтому приведенный коэффициент теплоотдачи αпр определяют, как прави-
ло, по зависимости кср
с
ср
ррпр F
FFF
Е αψµα
+⋅⋅=
....
. ,
где αк – условно конвективный коэффициент теплоотдачи, подставляемый в число Bi; μр – коэффициент, учитывающий уширение ребер к основанию; ψ - поправочный, для коэффициента эффективности Е, коэффициент, учиты-вающий неравномерное распределение теплоотдачи по поверхности ребра. Их значения, как правило, находят по справочным данным.
При заданных соотношениях коэффициентов теплоотдачи при оребре-нии плоской стенки со стороны малого α с коэффициентом оребрения Fр.с/Fс = 2, передача теплоты увеличится примерно в два раза.
2.5. Примеры с решениями Пример 2-1. Определить потери теплоты от кирпичной стены длиной 10
м, высотой 5 м и толщиной 250 мм. Температуры на поверхностях стенок со-ответственно равны t1 = 25 0С и t2 = -30 0C. Коэффициент теплопроводности кирпича λ = 0,7 градм
Вт⋅ .
Согласно уравнению (2.21) ( ) ( )[ ] 1543025
25,07,0
21 =−−=−= ttqδλ 2м
Вт ;
7700510154 =⋅⋅=⋅= FqQ Вт . Пример 2-2. Найти значение коэффициента теплопроводности материа-
ла стенки, если δ = 30 мм, t∆ = 50 0С, q = 200 кВт/м2.
12050
03,0200000=
⋅=
∆⋅
=t
q δλ градм
Вт⋅
.
Пример 2-3. Рассчитать плотность теплового потока, проходящего через
стенку котла толщиной δ1 =20 мм и коэффициентом теплопроводности мате-риала λ1 = 50
градмВт⋅
, если с внутренней стороны стенка покрыта слоем на-
кипи толщиной δ2 = 2 мм с коэффициентом теплопроводности λ2 = 1,0
градмВт⋅
. Температура наружной поверхности t1 = 250 0C и внутренней по-
верхности t2 = 200 0C.
29
208000024,050
0,1002,0
5002,0
200250
2
2
1
1
21 ==+
−=
+
−=
λδ
λδ
ttq 2мВт .
Для определения температуры поверхности железного листа под слоем накипи используем зависимость (2.22):
7,2413,82500004,0208002501
112 =−=⋅−=⋅−=
λδqtt 0С.
Пример 2-4. Найти потери теплоты в окружающую среду от кирпичной
обмуровки котла толщиной δ = 250 мм и ее температуру, с коэффициентом теплопроводности λ = 0,7
градмВт⋅
при температуре дымовых газов tг= 800 0C,
температуре наружного воздуха tв = 150C, коэффициентах теплоотдачи от дымовых газов к стенке α1=40
градмВт⋅2 и от стенки к окружающей среде α2 =
10 градм
Вт⋅2 .
Согласно (2.27) 07,2
101
7,025,0
401
111
1
21
=++
=++
=
αλδ
α
K градм
Вт⋅2 .
Потери теплоты в окружающую среду с одного метра поверхности об-муровки составят: q = 2,07(800 – 15) = 1625 Вт/м2.
Температура обмуровки котла определяется по зависимости (2.22) 4,759
4095,16248001
1. =−=⋅−=
αqtt гвнст 0С;
5,1771011625151
2
=+=+=α
qtt вo 0С
Пример 2-5. Паропровод диаметром 170/160 мм покрыт двухслойной изоляцией. Толщина первого слоя δ2 = 30 мм и второго слоя δ3 = 50 мм. Ко-эффициенты теплопроводности трубы и изоляции соответственно равны: λ1 = 50, λ2 = 0,15 и λ3 = 0,08 градм
Вт⋅ . Температура внутренней поверхности па-
ропровода tвн = 300° С и внешней поверхности изоляции tн = 50° С. Опреде-лить потерю теплоты 1 м трубопровода и температуры на поверхностях раз-дела отдельных слоев.
По условиям задачи имеем: d1 = 0,16 м, d2 = 0,17 м, d3 = О,23 м, и d4 = 0,33м.
Согласно формуле (2.39) получаем: ( ) ( )
мВт
dd
ttq n
i i
i
i
nl 6,240
230330ln
08,021
170230ln
15,021
160170ln
5021
5030014,3
ln2
11
1
1 =
⋅+
⋅+
⋅
−⋅=
⋅
−=
∑=
+
λ
π ;
Ct o2 3000229,03000006,0
14,326,240300 ≈−=
⋅−= ;
30
Ct o3 3,2233,17350525,4
14,326,24050 =+=
⋅+= .
Пример 2-6. Стальной паропровод с коэффициентом теплопроводности
градмВт⋅
= 401λ , диаметром мм 216200 покрыт слоем изоляции толщиной
мм 120 (λ2 = 0,1градм
Вт⋅
). Температура пара tп = 300 °С и окружающего воздуха
tв = 25 °С. Коэффициенты теплоотдачи со стороны пара и воздуха равны со-ответственно
градмВт⋅
= 21 100α и градм
Вт⋅
= 22 5,8α . Требуется определить линей-
ный коэффициент теплопередачи кl, линейную плотность теплового потока ql и температуру изоляции tн.
На основании формулы (2.45) имеем:
⋅⋅
=+++
=
=
⋅+
⋅+
⋅+
⋅
=
=
⋅+++
⋅
=
248,0258,075,30009,005,0
1456,05,8
1216456ln
1,021
200216ln
4021
2,01001
1
1ln21ln
211
1
322
3
21
2
111
градмВт
ddd
dd
d
kl
αλλα
На основании (2.41) ( )градм
Втttkq вnll ⋅=⋅⋅=−⋅= 21427514,3248,0π .
Cd
qtt ol
вн 5,425,1725258,014,3
214251
32
=+=+=⋅
⋅+=απ
.
5,17710
95,1624151
2, =+=⋅+=
αqtt внст 0С.
Пример 2-7. Для паропровода диаметром 150/159 мм и длиной l = 350
м, проходящего в закрытом помещении с температурой окружающей среды tж=10°С, требуется рассчитать изоляцию. Пар подается со следующими па-раметрами: на входе давление и температура пара соответственно равны Р1 = 1,5 мПа, tп1 = 350°С; на выходе – Рп2 = 1,3 мПа, tп2 = 330 oC. Скорость проте-кания пара равна w = 25 м/сек. Трубопровод сварной, фланцевые соединения отсутствуют. Имеются две задвижки. В течение года паропровод эксплуати-руется 7000 ч. Стоимость 1 гДж теплоты составляет 200 руб. Найти годовую экономию от применения изоляции.
Допустимые тепловые потери определяются исходя из заданного паде-ния температуры пара. Часовой расход пара определяется следующей зави-симостью
скгfwG 14,3
415,014,32512,7
2
=⋅
⋅=⋅⋅= ρ ,
31
где 312,7мкг
=ρ - плотность пара при давлении Р = 1,4 мПа.
По таблицам водяного пара при р1 = 1,5 мПа и tп1 = 350° С находим теп-лосодержание пара i1 = 3147,6 кДж/кг; при Р2 = 1,3 мПа и t2 = 330° С тепло-содержание пара i2 = 3108,5 кДж/кг.
Допустимые потери тепла на всей длине паропровода ( ) ( ) кВт 8,1225,31086,314714,321 =−⋅=−⋅= iiGQ .
Потеря теплоты одним вентилем или задвижкой эквивалентна потере теплоты трубопроводом длиной l = 6 м. Таким образом, для учета потерь те-плоты двумя задвижками необходимо к заданной длине паропровода доба-вить 12 м.
Допустимые потери теплоты с 1 погонного метра длины паропровода составят
мкВт
lQq
pl 339,0
3628,122=== .
При расчете изоляции термическими сопротивлениями теплоотдачи от пара к стенке и самой стенки трубы пренебрегаем. Тогда температура по-верхности трубы tс будет равна температуре пара tп1 = 350° С.
Дальнейший расчет проведем для совелитовой мастичной изоляции. Пусть температура поверхности изоляции tн = 26° С. Тогда средняя темпера-тура изоляционного слоя равна C
ttt нc
из0 188
226350
2=
+=
+= .
Для мастичного совелита
градмВтtизиз ⋅
=⋅+=⋅+= 106,0188000087,00901,0000087,00901,0λ .
количество переданной теплоты ql при заданных температурах стенки тру-
бопровода равно: ( )
2
1
ln
2
dd
ttq
н
нпизl
−⋅⋅=
λπ ,
где d2 — внешний диаметр трубы; dн — внешний диаметр изоляции.
Тогда ( ) ( ) 636,0339
26350106,014,322ln 1
2
=−⋅⋅⋅
=−⋅⋅
=l
нпизн
qtt
dd λπ , 902,1636,0
2
== eddн
;
302,0159,0902,1902,1 2 =⋅=⋅= dd н м и толщина слоя изоляции 071,02
2 =−
=dd н
изδ
м. Проверяем температуру наружного слоя изоляции tн. При температуре
помещения tж = 10 °С коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к воздуху составит α = 20
град⋅2мВт , то
Cdq
ttн
lжн
O
2
8,2720302,014,3
33910 =⋅⋅
+=⋅⋅
+=απ
32
Потери теплоты неизолированного паропровода по низшей температуре пара tп2 = 330 0С могут быть найдены, как
( ) ( ) мВтttq жпl 640010330202
' =−=−= α .
Потери теплоты изолированного паропровода составляют ql = 339 мВт .
Тогда, экономия теплоты определится из . 60613396400'
мВтqqq lll =−=−=∆
Для всей длины паропровода экономия теплоты равна =⋅∆= pl lqQ кВт 1,2200363061,6 =⋅= и годовая прибыль от экономии за счет изоляции теп-
лоты годрубQQгод / 11088504200700036000022,020036007000 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
3. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Перенос теплоты за счет теплопроводности, когда температура системы изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени называется нестационарным. Эти тепловые процессы всегда связаны с изменением внут-ренней энергии или энтальпии вещества. Нестационарные процессы сущест-вуют при прогреве или охлаждении материала и оборудования при пуске, ос-тановке или изменении технологического режима процесса, производстве стекла, обжиге кирпича и т.д.
Различают две группы процессов: - процесс стремится к тепловому равновесию при прогреве или охлаждении тел, помещенных в среде с заданным тепловым состоянием; - температура тела претерпевает периодические из-менения в периодически действующих подогревате-лях (регенераторах).
Аналитическое описание процесса теплопро-водности включает в себя дифференциальное урав-нение теплопроводности и условия однозначности, состоящие из: Рис. 3.1. Распределение
- физических условий λ, c, ρ,…..; температуры в пластине
- формы и размеров тела l0, l1, l2…ln; - начальных условий (температура тела в на- чальный момент времени):
τ = 0 → t = t0 = f(x, y, z). - граничных условий, которые задаются в виде условий третьего рода:
( ). 00
жnn
ttnt
−−=
∂∂
== λ
α
33
Математическая формулировка рассматриваемой задачи заключается в отыскании функции: t = f(x; y; z; τ; α; a; to; tж; l1;…ln), которая бы удовлет-
воряла уравнению теплопроводности и условиям однозначности.
3.1. Нестационарные процессы теплопроводности в телах простой формы. Граничные условия третьего рода
Рассмотрим неограниченную пластину толщиной 2δ, сделанную из од-нородного изотропного материала с постоянными физическими характери-стиками (рис. 3.1). В начальный момент времени τ = 0 температура в пла-стине распределена равномерно и равна to. Пластина помещена в среду с по-стоянной температурой tж < to. Теплообмен на обеих поверхностях пластины происходит при α = const. Требуется найти распределение температуры в пластине: t = f(x, τ). При поставленных условиях распределение температуры
по толщине пластины должно быть симметричным: ( ) 0,0 =∂
∂
xt τ , искомая функ-
ция t(x,τ) должна быть четной функцией координаты х. (График четной функции симметричен относительно оси координат, нечетный - относитель-но начала координат).
Введем понятие ″избыточной″ температуры: ϑ = t – tж . Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины запи-
шется: 2
2
xa∂
∂=
∂∂ ϑτϑ , (3.1)
при следующих условиях однозначности: - начальные условия: при τ = 0 → ϑ(x, 0) = ϑo;
- граничные условия: при x = δ → δδ
ϑλαϑ
==
−=
∂∂
xxx
;
- условия симметрии: при х = 0 → 00=
∂∂
=xxϑ .
Найдем функцию ϑ(х, τ) распределения температуры в пластине в лю-бой момент времени процесса охлаждения или нагревания. Используем ме-тод разделения переменных. Решаем уравнение (3.1) в виде произведения двух функций, одна из которых ϕ(х) – функция координаты, другая – f(τ) –времени: ϑ(х, τ) =ϕ(х)*f(τ) . (3.2)
Подставим данную функцию в уравнение (3.1): ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )τϕϕττ f
xxaxf
2
2
∂
∂=
∂∂ .
Разделим переменные:
( )( )[ ]
( )( )[ ]2
211x
xx
aff ∂
∂=
∂∂ ϕ
ϕττ
τ .
34
Левая часть уравнения зависит от τ, правая – только от х. Известно, что две функции от двух разных и не зависящих друг от друга аргументов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они постоянны. Величина эта отрицательна, так как тепловые процессы стремят-ся к равновесию и обозначаются К. Тогда получим два дифференциальных уравнения:
( )( )[ ] 21 aK
dfd
f−=
ττ
τ ; (3.3)
( )[ ] ( ) 022
2=⋅+ xK
dxxd ϕϕ . (3.4)
В (3.3) разделим переменные: ( )[ ]( ) τττ dKa
ffd
⋅⋅−= 2 .
Интегрируем полученное уравнение: ( )[ ] 12 lnln CKaf +⋅⋅−= ττ ,
или ( ) ττ2
1aKeCf −= . (3.5)
Решение уравнения (3.4) имеет вид φ(х)=C2cos(kx)+C3sin(kx) . (3.6)
Подставим (3.5) и (3.6) в (3.2) и получим ( ) ( )[ ] τϑ
2
132 sincos aKeCKxCKxC −+= . Обозначим С1*С2=С и С1*С3=D.
Тогда ( ) ( )[ ] τϑ2
sincos aKeKxDKxC −+= . Постоянные С, D и K определяются из начальных и граничных усло-
вий. D – из условий симметрии:
( ) ( )[ ] τϑ 2cossin
0
aK
xeKxKDKxKC
x−
=⋅+⋅−=
∂∂ . (3.7)
Поскольку рассматривается тепловой процесс, то при х=0: 0≠K ; ( ) 0cos ≠KxK и следовательно: D=0. Таким образом, ( )KxCe aK cos
2τϑ −= . (3.8) Слагаемое C∙K∙sin(Kx) должно быть отброшено, как не удовлетворяющее
граничным условиям. Значения k = kn найдём, используя граничные условия. На левой поверх-
ности пластины х = - δ. Подставим в граничные условия δδ
ϑλαϑ
==
−=
∂∂
xxx
выражения (3.7) и (3.8): ( ) ( )δλαδ ττ KeCKeKC aKaK cossin
22 −− ⋅=⋅⋅ .
При сокращении подобных получим ( )αλδ KKctg = .
Умножим числитель и знаменатель правой части уравнения на δ: ( ) ( ) Bi
KKKctg δ
λδαδδ ⋅
=⋅
= . (3.9)
Обозначим kδ = μ. Тогда (3.9) перепишем: ctg(μ)=μ/Вi . (3.10)
35
Характеристическое (с постоянными коэффициентами) трансцендентное (не являющееся алгебраическим ) уравнение (3.10) имеет для μ бесчисленное множество решений. Наиболее просто оно решается графическим путём.
Обозначим ctg(μ)=y1, a μ/Вi=y2. Построим графики этих функций: График у1 (на рис. 3.2) представляет собой котангенсоиду, являющуюся
периодической функцией аргумента μ с периодом π. График у2 -прямая, тангенс угла наклона которой к абсциссе равен 1/Вi. Абсциссы точек пересече-ния этих графиков дают значения корней μ уравне-ния (3.10). Как видно из рисунка (3.2), уравнение (3.10) имеет бесчисленное множество корней μn (n = 1,2,3…..), удовлетворяющих уравнению (3.10) и граничному условию. Из (3.10) следует так- же, что значения μn, которые называются собст- венными числами, зависят от порядкового номера Рис. 3.2. Графический спо- n и числа Вi. При Вi = 0 прямая у2=μ/Вi совпадает соб определения корней с осью ординат, тогда μ1=0; μ2=π…., μn =(n-1)π. характеристического При Вi = ∞ прямая у=μ/Вi совпадает с осью абс- уравнения цисс, тогда корни уравнения (3.10) будут равны μ1=π/2; μ2=3π/2…., μn=(2n-1)π/2. Метод разделения переменных позволяет получить совокупность част-ных решений ϑ ,удовлетворяющих дифференциальному уравнению тепло-проводности и граничным условиям. Каждому значению корня μn соответст-вует частное распределение температуры. Сумма частных решений является общим решением уравнения теплопроводности:
( ) ( )∑∞=
=
−=n
n
Fonn
nexCx1
2cos; µ
δµτϑ , (3.11)
где 2
τ⋅=
aFo - критерий Фурье, имеющий смысл обобщенного времени; ха-
рактеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физи-ческими свойствами и размерами тела.
Константа Cn - определяется из начальных условий. При этом Cn ста-новится равным:
nnn
n
n
n
nn
n
n
n
dxx
dxx
Cµµµ
µϑ
µµ
δ
µµδϑ
δµ
δµϑ
δ
δ
δ
δcossin
sin2
22sin
1
sin2
cos
cos
0
0
2
0
+=
+
=
=
∫
∫
−
− . (3.12)
Подставив значение Cn в (3.11), получим уравнение распределения температур в симметрично охлаждаемой однородной пластине:
∑∞=
=
−
+=
n
n
a
nnnn
n nex
10
22
coscossin
sin2 δτµ
δµ
µµµµ
ϑϑ . (3.13)
36
В безразмерной форме уравнение (3.13) запишется как:
( ) ∑∞=
=
−
=
−−
==n
n
Fonn
ж
ж nexAtt
txt
100
2cos
, µ
δµ
τϑϑθ , (3.14)
где ( )nnn
nnA
µµµµ
cossinsin2
+= .
Уравнение (3.14) действительно и для случая прогревания пластины.
Для этого необходимо θ рассчитывать как: ( )0
0,1
tttxt
жохлнагр −
−=−=
τθθ .
Так как cos(μnx/δ) – величина ограниченная, а exp(-μn 2 Fo) – величина бы-
строубывающая, то при Fo ≥ 0,25 ряд становится быстро сходящимся и мо-жет быть заменен только первым членом. В этом случае распределение тем-пературы в пластине рассчитывается как:
( ) ( )FoxA 2111 expcos µδµϑ −= . (3.15)
Область вырождения функции (3.14) (Fо ≥ 0,25) в (3.15) называют ре-гулярным тепловым режимом.
При заданных координатах х искомая температура θ есть функция кри-териев Bi и Fo: θ = f (Bi , Fo) .
Для практических расчетов температуры в центре и на поверхности пла-стины обычно пользуются номограммами θ = f (Bi, Fo), приведенными на рис. 3.3 и рис. 3.4.
Рис. 3.3. Зависимость безразмерного перепада температур от чисел Фурье и Био для середины пластины
37
Рис. 3.4. Зависимость безразмерного перепада температур от
чисел Фурье и Био для поверхности пластины
Пользуясь этими диаграммами, можно выполнить следующие расчеты: 1. Определить время охлаждения 2δ
τ⋅=
aFo до заданной температуры θx= δ
или θx= 0 - по известным условиям теплоотдачи на поверхностях; 2. Определить температуру через заданное время; 3. Определить интенсивность теплоотдачи на поверхностях при задан-
ных Fо и θ. При Bi → 0, когда внутреннее термическое сопротивление мало по
сравнению с термическим сопротивлением на поверхности, температуры по
толщине пластины распределяются равномерно: BiexBi −
=
δθ cos . (3.16)
Безразмерные температуры поверхности и оси пластины практически равны. Для определения расхода теплоты за произвольный промежуток
времени на охлаждение (нагревание) пластины пользуются уравнением вида:
Q = C·ρ(t0 – tж) (1- θ ), (3.17)
где θ - средняя температура по толщине пластины определяется по уравне-нию при Fо ≥ 0,25: FoeB
2µθ −⋅= ,
38
где коэффициент ( )21
221
2µµ ++
=BiBi
BiB на практике находится по графику,
приведенному на рис. 3.5. Все принципиальные вы-
воды о влиянии Bi на темпе-ратурные поля, сделанные для неограниченной пластины ос-таются в силе и для случая охлаждения бесконечного ци-линдра. При FО ≥ 0,25 для практических расчетов можно использовать зависимость для расчета температуры на по-верхности цилиндра:
( ) Forr eRIAn
2
101µµθ −
= ⋅= , (3.18) где R = r/rn – безразмерный радиус 0 < R < 1; Io(µ1) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка: Рис. 3.5. Зависимость между коэффициентом В и критерием Bi для неограниченной пластины
( )
( ) ( )∑∞=
=
+
+++
−
=n
n
mpm
p ГmГ
x
I0
2
1mP12
1 .
Для оси цилиндра: For eA
2
10µθ −
= = . (3.19)
Для практического определения температур используют номограммы, аналогичные приведенным на рис. 3.3, рис. 3.4.
Изменение количества теплоты тела за время τ определяется зави-симостью Q = c∙ρ(ϑo −ϑ), (3.20)
где средняя относительная температура цилиндраϑ для Fо ≥ 0,25 определя-ется как: ϑ = B∙exp(-µ2 Fо), (3.21) где ( )22
121
4Bi
BiB+
=µµ
, или определяемый по номограммам, аналогично рис. 3.5.
Решая уравнение теплопроводности шара совместно с краевыми усло-виями, получим уравнение для расчета безразмерной температуры при
Fо ≥ 0,25: ( ) FoeR
RBiBi
BiBi 21
1
122
1
221
0
sin12 µ
µµ
µ
µϑϑθ −
−+
−−== . (3.22)
Средняя температура шара определяется как: ( )FoB 2
1exp µϑ −⋅= , (3.23)
39
где ( )BiBiBiB
−+= 22
121
6µµ
. (3.24)
Температуры и величина B могут быть определены графически по
аналогии с пластиной. Расход теплоты определяется уравнением: Q = c∙ρ(ϑo −ϑ). (3.25)
3.2. Теплопроводность тел, образованных пересечением пластин Вопросы теории теплопроводности при охлаждении (нагревании) тел
конечных размеров решаются в соответствии с теоремой о перемножении решений. Согласно этой теореме при наличии решений системы уравнений теплопроводности для двух неограниченных пластин:
( ) ( ) ;,,2
2
xxtaxt
∂∂
=∂
∂ τττ ( ) ( ) ;,,
2
2
yytayt
∂
∂=
∂∂ τ
ττ
температура t(x,y,τ) в любой точке оси симметрии неограниченного прямо-угольного стержня определяется как произведение этих двух функций:
t(x,y,τ)=t(x,τ)∙t(y,τ) . (3.26) Если рассматривать параллелепипед как тело, образованное пересечени-
ем трёх неограниченных пластин, то безразмерная температура в точке параллелепипеда с координатами x, y, z может быть определена как произ-ведение усредненных температур для трёх пластин: 321 θθθθ ⋅⋅= . (3.27)
Для цилиндра конической длины безразмерная температура опреде-ляется как произведение решений для бесконечного цилиндра и неограни-ченной пластины, пересекающей цилиндр: 21 θθθ ⋅=ц . (3.28)
Теоремой о перемножении решений пользуются и при определении тем-пературы в телах более сложных пересечений. Так средняя температура ку-ба определяется как: 3
1θθ =к . (3.29) Необходими отметить, что для использования данной методики необхо-
димо чтобы начальные условия для составляющих тел в результате умноже-ния воспроизводили начальное условие для рассматриваемого тела, а гра-ничные условия были однородны.
3.3. Регулярный режим процессов теплопроводности
Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности, по-лученных в виде ряда, показывает, что с ростом времени они все представ-ляют собой быстро сходящийся ряд. Поэтому при F0 ≥ 0,25 используют для расчётов только первый член ряда, например, для неограниченной пластины:
( ) 021
11 cos FexА µδµϑ −= или ,τϑ mePA −⋅⋅= (3.30)
где А - постоянная, определяемая начальным распределением температуры, в теле; Р = cos(μ1x/δ) - функция, определяемая координатами и Вi; 2
21δ
µ am = -
темп регулярного режима, μ=к∙δ.
40
Нестационарный процесс теплопроводности, описываемый уравнением (3.30), называется ре-гулярным тепловым режимом. Логарифмируя (3.30), получим ( ) τϑ mPA −⋅= lnln или ),,(ln zyxCm +⋅−= τϑ . (3.31) Из уравнения (3.31) следует, что логарифм относительной температуры - линейная функ- ция времени, что справедливо для любой точки тела. На рис. 3.6 показано изменение температу-
Рис. 3.6. Зависимость лога- ры в точках х1 и х2 при охлаждении тела. Авто-темпе рифма избыточной модельность относительной температуры υ во ратуры от времени времени – характерная особенность регулярного режима. Продифференцировав уравнение (3.31), получим
ϕτϑ
ϑtgm =
∂∂
−=1 , [1/c] . (3.32)
Из уравнения (3.32) видно, что темп регулярного режима охлаждения (нагревания) не зависит ни от координат, ни от времени, представляетсобой относительную скорость изменения температуры и в любой точке тела оста-ётся постоянным. Темп регулярного режима определяется геометрической формой, размерами тела, его физическими свойствами и условиями теплооб-мена на поверхности тела.
При Вi → ∞, m пропорционален a :
221δ
µ am =∞ или ∞⋅= mка , (3.33)
где к- коэффициент формы, зависящий от геометрии форм и размеров тела и равен:
а) для параллелепипеда со сторонами 2δ1; 2δ2; 2δ3 2
3
2
2
2
1 222
1
+
+
=
δπ
δπ
δπ
k ; (3.34)
б) для цилиндра длиной l и радиусом r0
( ) ( )220 //405,21
lrk
π+= ; (3.35)
в) для шара радиусом r0:
( )20/
1r
kπ
= . (3.36)
3.4. Численные методы решения задач теплопроводности.
Метод конечных разностей Задачи теплопроводности для тел сложной формы или при сложных
краевых условиях не всегда удаётся решить аналитически. Метод конечных разностей позволяет решить практически любую задачу теплопроводности. Сущность метода состоит в замене непрерывной функции t(x,τ) сеточной
41
функцией, определенной в дискретных точках, соответствующих дискрет-ным значениям аргументов x,τ , которые задаются с некоторым шагом. Сово-купность этих дискретных значений называется сеткой. Если шаги разбивки явяются постоянными, то сетка называется равномерной.
Дифференциальный оператор уравнения теплопроводности заменяют его сеточным или разностным аналогом, который содержит значения се-точной функции в нескольких узлах сетки.
Для неограниченной пластины дифференциальное уравнение запишется
в виде: 2
2
xtat
∂∂
=∂∂τ
. (3.37)
Заменим дифференциалы в уравнении (3.37) на их сеточные аналоги.
Для этого заменим непрерывную координату х сеткой с шагом Δх(xi = i∙Δх), а время τ сеткой с шагом Δ τ(τ = j∙ Δ τ ). Рассмотрим точку сетки с координата-ми i = n, j = k. При этом tnк означает температуру в пространственной точке x = n∙ Δх в момент времени τ = k∙ Δ τ. Заменим производные температуры в (3.54) разностными (сеточными) выражениями. Тогда в простейшем вариан-
те ( )
ττ ∆
−≈
∂∂ + nknk ttt ,,1 ; ( )
xtt
xt nknk
∆
−≈
∂∂ + ,1, ; ( ) ;1,,
xtt
xt nknk
∆
−=
∂∂ −
( ) ( ) ( ) ( )2
1,,1,1,,,1,2
2 21x
tttxtt
xtt
xxt nknknknknknknk
∆
+−=
∆
−−
∆
−
∆=
∂
∂ −+−+ .
Подставим полученные выражения производной от температуры в урав-нение теплопроводности (3.37):
( )( ) ( )[ ]1,,1,2
,,1 2 −++ +−
∆=
∆
−nknknk
nknk tttxatt
τ . (3.38)
Уравнение (3.38) является разностным аналогом уравнения тепло-проводности. Решим (3.38) относительно t(k+1),n:
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] nknknknk
nknknknknk
tx
attx
at
tttx
att
,21,1,2,1
1,,1,2,,1
21
2
∆∆
−++∆∆
=
+−∆∆
=−
−++
−++
ττ
τ
. (3.39)
Уравнение (3.39) является решением сеточного уравнения (3.38). Оно устанавливает связь между искомой температурой в точке n и температурами в предыдущий расчётному интервалу времени k в соседних узлах сетки (n-1) и (n+1). Выбор значений x∆∆ ,τ должен определяться по условию устойчиво-
сти 21
2 ≤∆∆x
a τ , (3.40)
обеспечивающему положительность коэффициента при tn,k в уравнении (3.39) Уравнение (3.37) описывает нестационарное температурное поле в бес-
конечнй пластине. При граничных условиях третьего рода температуры по-верхностей пластины определяются условиями теплообмена:
( ) ( )1,0,0, сссж ttx
tt −∆
=−λα . (3.41)
42
Температура на поверхности пластины
1
1,0,
+∆⋅
+∆⋅
=
λαλ
α
x
ttжx
tс
с . (3.42)
В каждом расчетном интервале времени ∆τ уравнения (3.38) и (3.39) ре-шаются столько раз, сколько интервалов (∆х) содержится в пространственной сетке. Разностная схема [ уравнения (3.39 )] называется явной, поскольку температуры ti,j+1 определяются по известным значениям ti,j в предыдущий расчетный момент времени. Точность расчета увеличивается при уменьше-нии ∆τ и ∆х.
3.5. Исследование процессов теплопроводности методом аналогии (электротепловая аналогия)
Сходство аналогичных явлений заключается в одинаковом характере протекания процессов. Отдельные тепловые и электрические явления описы-ваются одинаковыми дифференциальными уравнениями и условиями одно-значности, хотя физическое содержание и размерность входящих в них вели-чин различны: т
тdF
ntdQ
∂∂
−= λ ; (3.43)
ээ
dFnUdI
∂∂
−= σ ; (3.44)
где dQ и dI – элементарные потоки теплоты и электричества, прошедшие в единицу времени через площадки dFт и dF∋ в направлении нормалей nт и n∋ ; t и U – температура и электрический потенциал; λ и σ - коэффициенты теп-лопроводности и электропроводности.
Для двухмерной задачи уравнения теплопроводности и электропровод-
ности имеют вид: 02
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂
тт yt
xt ; (3.45)
0y2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂
ээ
UxU , (3.46)
то есть уравнения имеют одинаковую структуру. Аналогичные явления должны протекать в геометрически подобных
системах. Задаемся граничными условиями третьего рода: -λ grad t = α ∆t ; - grad t = ∆t/(λ⁄α) = ∆t/lт , где: lт = λ⁄α ; - grad U = ∆U/ lэ .
Для установления количественной связи между аналогичными физиче-скими величинами математические описания приводят к безразмерной фор-ме. Для этого в качестве масштаба для температурного напора принимают величину ∆t0 ; для электропотенциала - ∆U0 ; для линейных размеров – сход-ственные линейные отрезки lт0 и lэ0 . Тогда xт /lто = Xт ; yт / lто = Yт ; lт /lто =L ; ∆t/∆to = θ. Отсюда получаем отношения: xт = Xт lто ; yт =l0тYm; ∆t = ∆to θ.
43
Аналогичные соотношения будут иметь место для величин электриче-ского поля. После подстановки этих соотношений в дифференциальные уравнения тепло- и электропроводности, последние будут иметь вид: ∆to / lот
2 (d2θ/dxт2 + d2θ/dyт
2) = 0 или d2θ/dxт2 + d2θ/dyт
2 = 0; (3.47) ∆Uo / lоэ
2 (d2U/dxэ2 + d2U/dyэ
2) = 0 или d2U/dxэ2 + d2U/dyэ
2 = 0. (3.48) Тождественность приведенных уравнений имеет место при любом вы-
боре сходственных масштабов для температуры и электропотенциала. Граничные условия в безразмерном виде имеют вид:
grad θ = θ/Lт ; - grad U = U/Lэ . Уравнения тождественно одинаковы. Следовательно, решения безраз-
мерных дифференциальных уравнений теплопроводности и электропровод-ности тождественно одинаковы при выполнении условия: Lт = Lэл или lт /lто = lэ /lэо . (3.49) Поскольку lт = λ⁄α, то получим зависимость для выбора линейных раз-меров электрических моделей явления: lэ = lэо/lто λ⁄α.
При lэо = lто , lэ = λ⁄α. При α = const и λ = const, тогда lэ = const. При выполнении условия (3.49) безразмерная температура и безразмер-
ное электрическое напряжение в сходственных точках систем имеют числен-но одинаковые значения: θ1 = U1 или ∆t1 / ∆t0 = ∆U1 / ∆U0 ;
θ2 = U2 или ∆t2 / ∆t0 = ∆U2 / ∆U0 . ………………………………………………
Тогда ∆t1 /∆U1 = ∆t2 /∆U2 = …..= ∆to /∆Uo = Cт,u = const . (3.50) Соотношение (3.50) показывает, что при заданных условиях распреде-
ление температуры и электрического потенциала являются подобными. Изменение теплового потока пропорционально изменению теплоемко-сти и температуры: dQ = Cт ( ∂ t/∂ τт)dτт .
Изменение электрического тока пропорционально емкости и изменению напряжения: dI = Cэ (∂U/∂ τэ)dτэ - подобное уравнение. В моделях теплоемкости заменяются соответствующими электриче-скими емкостями. При разработке электрических моделей, имитирующих процессы теп-лопроводности, применяются два способа. В первом способе (рис. 3.7) - электрические модели повторяют геометрию тепловой системы и изго-тавливаются из материала с непрерывной проводимостью: тонкие листовые электропроводящие материалы или слои, нанесенные на пластинки, или жидкие электролиты. Во втором способе (рис. 3.8) - применяются электри-ческие модели с сосредоточенными параметрами процесса. В них тепло-вые системы заменяются моделирующими электрическими цепями. Свойства исследуемой системы сосредотачиваются в отдельных узловых точках рас-положенных вдоль электрических цепей. Таким образом исследуются рас-пределения температурных полей внутри здания; внутри турбинных лопаток,
44
Т
Рис. 3.7. Проволочная модель Рис. 3.8. Электрическая модель
турбинной лопатки двухслойной плоской стенки котлоагрегатах и т.д.
3.6. Примеры с решениями Пример 3-1. Картонный лист толщиной 2δ=2 мм после сушки в карто-
ноделательной машине с температурой t0=140 o C помещен в цеху, где омы-вается воздухом с температурой tв=20о С.
Определить температуры в середине и на поверхности листа через τ=30 мин после начала охлаждения.
Коэффициент теплопроводности картона λ=0,2 градм
Вт⋅
, коэффициент те-
плоотдачи от поверхности картона к окружающему воздуху градм
Вт⋅
= 2 35α .
Плотность картона ρ=350 кг/м3 , теплоемкость картона С =1,5 ( )градкг
кДж⋅ .
Рассчитываем коэффициент температуропроводности
с
мc
a2
6 10381,015003502,0 −⋅=⋅
=⋅
=ρλ .
Находим 175,02,0001,035
=⋅
=Bi , ( )
171002,0
180010381,02
6
=⋅⋅
=−
Fo .
Температуры в середине и на поверхности картона при его охлаждении в среде с постоянной температурой определяем с помощью графика
( )FoBifx ,10 ==θ , представленного на рис. 3.3 и графика ( )FoBifx ,2==δθ , на рис. 3.4 - ==0xθ 0,01; θх=δ=0,01. В условиях охлаждения листа картона для безраз-
мерной температуры справедливо в
в
tttt−−
=0
θ . Тогда, температуры в середине
и на поверхности листа ( ) ( ) Ctttt oвxвx 2,212014001,020000 =−+=−+= == θ ;
tx=δ=21,2 Co .
45
Пример 3-2. Стальной брусок с размерами граней 100; 300 и 600 мм и температурой t0=100 C помещен в муфельную печь, где температура ее объ-ема составляет 16000 С.
Определить температуру в центре бруска через два часа после загрузки его в печь, если коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно λ=18
градмВт⋅
и a= 3,5 610−⋅ м2/c, а коэффициент
теплоотдачи на поверхности бруска составляет градм
Вт⋅
= 2 200α .
Безразмерная температура бруска определяется как произведение без-размерных температур трех безграничных пластин, пересечением которых
определяется тело бруска. Тогда, 0000
=== ⋅⋅=−
−= zyx
ж
цжц tt
ttθθθθ .
Температуры пластин 000 , , === zyx θθθ находятся по графику на рис. 3.3 за-висимости температуры середины безграничной пластины от критериев Bi и Fo.
Для пластины толщиной 2δx=100 мм, ( )
1,1005,0
7200105,32
6
=⋅⋅
=−
xFo ,
55,018
05,0200=
⋅=xBi .
По графику на рис. 3.4 определяем θx= 0,016.
Для пластины толщиной 2δy = 300 мм, Foy= ( )
12,115,0
7200105,32
6
=⋅⋅ −
,
7,118
15,0200=
⋅=yBi , θy=0,3.
Для пластины толщиной 2δz=600 мм, ( )
28,03,0
7200105,32
6
=⋅⋅
=−
zFo ,
3,318
3,0200=
⋅=zBi , θz=0,7.
Следовательно, 00336,07,03,0016,00
=⋅⋅=−
−
tttt
ж
цж и температура в центре
бруска ( ) ( ) C 5,159410160000336,0160000336,0 0
0 =−−=−−= tttt жжц . Пример 3-3. Внутренняя часть реактора выполнена из кислотостойкого
материала. Внешняя часть представляет собой тепловую изоляцию. Коэффи-циент теплопроводности кислотостойкого слоя толщиной δ=250 мм состав-ляет
град⋅=
мВт 86,1λ , а коэффициент температуропроводности с
мa27 108,3 −⋅= .
Температура реактора равна t0=40 oC. Рассчитать температуру внутренней и внешней поверхности реактора через 10 часов после принятия реактором
46
раствора с температурой 300 оС. Коэффициент теплоотдачи от раствора к стенке реактора
градмВт2 350=α .
( )
263,025,0
123600108,32
7
=⋅⋅⋅
=−
Fo , 0,4786,1
25,0350=
⋅=Bi .
Так как Fo > 0,25, то установился регулярный режим и можно ограни-
читься первым членом ряда ( )
−⋅=
δεεθ xFoN 1
21 cosexp . Значения величин N, P,
ε1 и ε21 в зависимости от Bi приведены в таблицах приложений [2]. В рас-
сматриваемом случае при Bi= 47,0 из таблицы находим: N=1,272, P=0,043, 364,22
1 =ε . Тогда безразмерные температуры на внешней (х=0) и внутренней (х=1) поверхностях будут соответственно равны:
( ) ( ) 682,0263,0364,2exp272,1exp 210 =⋅−⋅=−⋅== FoNx εθ ,
( ) ( ) 023,0263,0364,2exp043,0exp 211 =⋅−⋅=−⋅== FoPx εθ .
Температура на внутренней поверхности реактора ( ) Ct o
x 29440300023,0300 =−⋅−==δ . Температура на внешней поверхности реактора
( ) Ct ox 12340300682,03000 =−−== .
4. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Теплообмен между движущейся средой и поверхностью твердого тела называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. Конвекция возможна только в движущейся среде. Под конвекцией теплоты понимают процесс переноса теплоты при перемещении объемов жидкости и газа в про-странстве, имеющих разные температуры в отдельных частях. При этом пе-ренос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.
Конкретные характеристики движения текущих жидкостей определяют-ся кривой течения и режимом течения. Кривая течения может быть записана в двух вариантах:
- как связь между поперечным градиентом скорости и касательными напряжениями (s) s = f (dw/dy) (используется чаще всего);
- как связь между касательными напряжениями и скоростью сдвига. Во втором варианте градиент скорости dw/dy представляется в виде
τγ
ττ dd
dydx
dd
ddx
dyd
dydw
=
=
= = γ′ ,
где γ′ – скорость сдвига. Простейшей кривой течения является линейная связь между касатель-
ными напряжениями и градиентом скорости (или скоростью сдвига). Жид-кости, подчиняющиеся этому закону, называются ньютоновскими или ли-
47
нейными. Коэффициент пропорциональности в линейном законе носит на-звание вязкости или динамического коэффициента вязкости.
s = µτγµ
dd
dydw
= . (4.1)
К ньютоновским жидкостям относятся все газы и большинство жидкостей при дос-таточно высокой температуре. Мы практиче-ски будем иметь дело лишь с ньютоновскими жидкостями.
4.1. Основные физические свойства жидкости
В качестве теплоносителей в технике применяются разнообразные вещества: воздух, вода, масла, нефть, спирты, ртуть, расплавлен-ные металлы и др. Особенности жидкости как теплоносителя определяются ее физическими — свойствами.
Рис. 4.1. Исаак Ньютон (1642- В зависимости от физических свойств жид- 1727) английский математик, костей, являющихся функцией параметров механик, астроном и физик состояния, процесс теплообмена может проте-кать различно. Большое влияние оказывают коэффициент теплопроводности λ, удельная теплоемкость Ср, плотность ρ, коэффициент температуропровод-ности a , встречавшиеся ранее в разделе теплопроводности.
Все жидкости обладают вязкостью. При движении жидкости возникает сила трения, противодействующая движению
dndwS µ= . Эта сила определяет-
ся динамическим коэффициентом вязкости μ [ ]сПа ⋅ . При µ=⇒= Sdndw 1 . В
теплотехнике часто пользуются кинематическим коэффициентом вязкости
= см2
,ρµν . У капельных жидкостей вязкость слабо зависит от давления, но
резко уменьшается с повышением температуры. У газов вязкость увеличива-ется как с повышением давления, так и температуры.
На теплоотдачу оказывает влияние сжимаемость жидкости или коэффи-
циент сжатия тела: t
1
∂∂
=pρ
ρε , [1/Па] . (4.2)
Изотермической сжимаемостью при постоянной температуре называют величину, представляющую собой относительное изменение плотности ве-щества при изменении давления. Для капельных жидкостей сжимаемостью можно пренебречь, но для газов он в 20000 раз выше, чем у жидкостей. Если скорость газа менее 1/4 скорости звука, то к нему можно применять законы несжимаемой жидкости.
48
Имеет значение для теплообмена тепловое расширение жидкости, кото-рое оценивается температурным коэффициентом объемного расширения:
pt
∂∂
−=ρ
ρβ 1 , [1/К], (4.3)
представляющее собой относительное изменение объема при изменении тем-пературы на один градус. Для жидкостей β мал. Для воды при температуре t > 4 °C β может быть отрицательным.
Для идеального газа β = 1/T.
4.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена Для описания полей температур, скоростей и определения плотности те-
плового потока необходимо иметь соответствующий математический аппа-рат.
4.2.1. Уравнение энергии Рассмотрим однородную и изотропную
жидкость. Пусть ее физические параметры бу-дут постоянны, а энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координат элементарный парал-лелепипед с ребрами dx, dy и dz, представлен-ный на рис. 4.2. Теплота через грани паралле-лепипеда переносится теплопроводностью и конвекцией, а также может выделяться внут рен-ними источниками. Рис. 4.2. Параллелепипед
Вывод уравнения энергии, соответствующего в потоке жидкости принятым условиям, рассматривался ранее при выводе уравнения теплопро-водности: vqqdivi
+−=∂∂τ
ρ , (4.4)
где z
qy
qx
qqdiv zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
= ; ρ – плотность жидкости. У капельных жидко-
стей ρ слабо зависит от температуры. У газов плотность с повышением тем-пературы значительно уменьшается.
Поскольку конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводно-стью, так как при движении жидкости или газа происходит соприкосновение частиц с различными температурами, то конвективный теплообмен можно рассчитать по уравнению iwtqqq конвтпр ⋅⋅+∇−=+= ρλ . (4.5) Согласно (4.5) проекции плотности теплового потока q на координатные оси Qx, Qy, Qz: iw
ztqiw
ytqiw
xtq zzyyxx ⋅⋅+
∂∂
−=⋅⋅+∂∂
−=⋅⋅+∂∂
−= ρλρλρλ ; ; .
49
Подставив проекции в (4.3), получим
vzyx
zyx qz
wy
wx
wi
ziw
yiw
xiw
zt
yt
xti
+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
⋅−
∂∂
+∂∂
+∂∂
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂ ρρλτ
ρ 2
2
2
2
2
2.
Для несжимаемых жидкостей (ρ = const): 0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
=z
wy
wx
wdiv zyx .
Тогда ρρ
λτ
vzyx
qz
ty
tx
tziw
yiw
xiwi
+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2 .
Так как ∫ ⋅=t
dtCpi , то
Cp
qz
ty
tx
taztw
ytw
xtwt v
zyx ⋅+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ρτ 2
2
2
2
2
2 . (4.6)
Уравнение (4.6) является уравнением энергии. Многочлен в левой части этого уравнения – полная производная от температуры по времени:
τττττ ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=z
zty
ytx
xtt
dDt , где
τ∂∂t - локальная производная по t;
ztw
ytw
xtw zyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂ - характеризует изменение температуры по потоку, т.е.
это конвективная производная по t. Пользуясь обозначением оператора Лапласа, уравнение (4.6) запишем в
виде Cp
qta
dDt v
⋅+∇=ρτ
2 .
При 0=== zyx www уравнение (4.6) превращается в уравнение теплопровод-ности. Как видно, температурное поле в движущейся жидкости зависит от скорости. Поэтому в систему, описывающую процесс конвективного тепло-обмена, необходимо добавить уравнение движения.
4.2.2. Уравнение движения Выделим в потоке жидкости элементарный объём с размерами рёбер
dx,dy и dz (рис. 4.3). Скорость потока изменяется только в направлении оси y. Вывод уравнения движения базируется на втором законе Ньютона F=m∙a. На элементарный объём действуют следующие силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения. Найдем проекции этих сил на ось ОХ.
1. Проекция силы тяжести на ось ОХ равна произведению проекции ус-корения свободного падения gx на массу элемента: dvgdf x ⋅⋅= ρ1 .
2. Так как на верхней грани элемента давление жидкости равно p, то на площадку dy·dz действует сила p·dy·dz. На нижней грани давление равно
50
dx
dxdpp + . Сила, действующая на эту грань, опре-
делится как: - dydzdxdxdpp
+ . Знак “ - “ указывает
противоположность направления действия силы направлению движения потока. Тогда равнодей-ствующая сил давления равна .2 dv
dxdpdf −=
3. Вследствие изменения скорости только в на- правлении оси OY, сила трения возникает на бо-ковых гранях dx·dz. Около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в центре
Рис. 4.3. Элементарный элемента. Поэтому на участке «y» сила трения объем в потоке жидкости направлена против движения и равна S·dx·dz. У правой грани скорость частиц потока больше, чем в самом элементе. По-этому на участке «y+dy» сила трения направлена в сторону движения.
Равнодействующая сил трения .3 dvdydSSdxdzdxdzdy
dydSSdf =−
+=
Так как ,
=
dydwS xµ то dv
dywd
df x2
2
3 µ= .
Проекция на ось ОХ, равнодействующих всех сил, приложенных к объё-
му, определяется как сумма dvdy
wddxdpgdfdfdfdf x
x
+−= 2
2
321 :,, µρ . (а)
Согласно второму закону механики, эта равнодействующая сила, учиты-вающая силы инерции, равна dv
ddw
df xτ
ρ= . (в)
Тогда .2
2
dywd
dxdpg
ddw x
xx µρτ
ρ +−=
В случае трёхмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается системой уравне-ний движения в проекциях на оси OX, OY и OZ:
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zw
y
w
xw
zPg
ddw
zw
y
w
xw
yPg
ddw
zw
y
w
xw
xPg
ddw
zyxz
z
zyxy
y
zyxx
x
µρτ
ρ
µρτ
ρ
µρτ
ρ
. (4.7)
Уравнения системы (4.7) называются уравнениями Навье-Стокса. По-скольку составляющие скорости ,, yx ww zw изменяются во времени и про-
51
странстве, то член левой части уравнений (4.7) должен представлять собой полную производную от скорости по времени:
z
ww
yw
wx
ww
wd
Dw xz
xy
xx
xx
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ττ
. (4.8)
Аналогично для других осей. В векторной форме уравнения системы (4.7) запишутся как: wpg
dwD 2∇+∇−= µρτ
ρ . (4.9)
Известно, что ( ),10 ϑβρρ ⋅−= где β -коэффициент объемного расшире-ния; −−= 00 ; tttϑ фиксированная температура. Тогда уравнение движения
можем записать в виде wPgd
wD 21∇⋅+∇−⋅⋅−= ν
ρϑβ
τ. (4.10)
Так как в систему уравнений, описывающих процесс теплообмена, во-шла неизвестная величина ∆Р - давление, то система оказалась незамкнутой. Поэтому необходимо добавить уравнение сплошности.
4.2.3. Уравнение сплошности
Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный параллелепипед со сторонами dx, dy u dz. Подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в направлении осей OX, OY, OZ за время dτ (риc. 4.4). В направлении оси OX в элементарный объём втекает масса жидкости ,τρ ddzdywdM xx ⋅⋅⋅⋅= (а) где −⋅ xwρ количество массы, протекающей в единицу времени через грань dy∙dz.
Рис. 4.4. Параллелепипед в потоке неподвиж- ной жидкости
Из противоположной грани вытекает количество жидкости τρ ddzdywdM dxxdxx ⋅⋅⋅⋅= ++ . Взяв два первых члена ряда разложения, получим,
что масса жидкости dxxdM + , вытекающая из объема в направлении оси OX:
( ) .τρρ dydzddxxwwdM x
xdxx
∂∂
+=+ (б)
Вычтем (а) из (б). Получим излишек массы жидкости, вытекающей из
объёма в направлении оси ОХ: ( )τ
ρdvd
xw
dMdM xxdxx ∂
∂=−+ . (в)
52
Аналогично по направлениям OY и OZ:
( )
τρ
ddvyw
dMdM yydyy ⋅
∂
⋅∂=−+ ; (г)
( )τ
ρ ddvzwdMdM z
zdzz ⋅∂⋅∂
=−+ . (д)
Суммируя (в), (г) и (д), получим полный избыток массы, вытекающей из объёма. Он обусловлен изменением плотности жидкости в объёме dυ и равен изменению массы объёма во времени τ
τρ dvd∂∂ . Сократив сумму на dυ и dτ и
перенося все члены в правую часть равенства, получим дифференциальное уравнение сплошности или неразрывности
( ) ( ) ( )0=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
zw
yw
xw
dzyx ρρρ
τρ . (4.11)
Для несжимаемых жидкостей при ρ=const:
( ) ( ) ( )0=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
zw
yw
xw zyx (4.12)
или 0=wdiv . (4.13)
4.3. Основы теории подобия и размерностей Решение системы дифференциальных уравнений теплообмена средства-
ми математического анализа связано с большими трудностями, иногда не-преодолимыми. Поэтому такие задачи решаются либо численными методами с применением ЭВМ, либо экспериментальным путем. Вследствие этого обобщение полученных решений ограничено. При изменении аргументов требуется новое решение. Преодолеть эти трудности позволяет теория подо-бия.
4.3.1. Условия однозначности
Для выделения конкретно рассматриваемого процесса из бесчисленного множества, описываемого полученными дифференциальными уравнениями,
к ним необходимо добавить условия однозначности. Они состоят из: 1)геометрических условий; 2)физических условий; 3) временных или начальных условий; 4)граничных условий.
Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями од- нозначности представляет собой математическую формулировку краевой за-дачи, которая является основой теории подобия.
Пусть поверхность твёрдого тела размером 0l омывается жидкостью с постоянными вдали от тела температурой 0t и скоростью 0w .Поверхность те-ла имеет температуру 0 ; ttt сс > . Физические параметры жидкости постоян-
53
ны. Процесс стационарный и описывается уравнениями энергии, движения и сплошности. Граничные условия процесса:
1) вдали от тела (y=∞) → ;0;;0 - 000 ===== yx wwwtt ϑϑ где t -текущая температура жидкости;
2) на поверхности тела ( )+∞≤≤∞≤≤= Z- ;X0 ;0 0y - 0 ;0 ====−== zyxcc wwwconstttϑϑ .
Различают три вида величин: - независимые переменные: координаты x, y; - зависимые переменные: υ, yx ww , - определяются значениями независимых переменных при задании величин, входящих в условие однозначности; - постоянные величины: ...,,,,,,, ,000 βνυ galtw с - задаются условиями однознач-ности и не являются функцией независимых переменных.
Для приведения к безразмерному виду граничных условий выбираем масштабы приведения: .00 ,, cwl ϑ
Обозначим безразмерные величины:
w
yy
xx w
wW
ww
WlyY
lxX
υυθ ===== ;;;;
0000 .
Тогда граничные условия в безразмерном виде: 1) вдали от тела (Y=∞) ;0;1;00 ==== yx WWθθ 2) на поверхности тела 0 ;1 );10 ;0( ====≤≤= yxc WWXY θθ . Из граничных условий в безразмерном виде следует, что при ,00 ,, ttw c имеющих различные условные значения, безразмерные величины Wc ,,0 θθ имеют вполне конкретные значения.
4.3.2. Условия подобия и вывод ее основных критериев Теория подобия – это учение о подобных явлениях. Как известно, гео-
метрические фигуры одинаковой формы подобны, если соответственные уг-лы равны и сходственные стороны пропорциональны.
Тогда Cll
zz
yy
xx
=′′′
=′′′
=′′′
=′′′ ,
где x, y, z, - координаты сходственных точек и сходственные отрезки. В этом случае C - константа геометрического подобия.
Понятие подобия может быть распространено на любые физические яв-ления. Однако физические явления могут рассматриваться как подобные, ес-ли они относятся к классу явлений одной и той же природы.
По этому признаку в физическом подобии выделяют: - кинематически подобные процессы, если подобны движения потоков жидкости; - динамическое подобие означает подобие силовых полей; - тепловое подобие означает подобие температурных полей и тепловых по-токов.
54
Обязательной предпосылкой физического подобия является геомет-рическое подобие. Сопоставлять можно только однородные величины (раз-мерность которых и смысл одинаковы) в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени. Сходственными точками называются точки, удовлетворяющие условию геометрического подобия C
ll=
′′′ . Тогда
при кинематическом подобии имеем подобие полей скоростей и равенство
wCww
=′′′ . При динамическом подобии - подобие полей давления: PC
pp
=′′′ . При
тепловом - подобие температурных полей tCtt=
′′′ . Значения констант подо-
бия С показывают во сколько раз физические величины одной системы от-личаются от тех же величин другой. Константы подобия tpw CCC , , для по-добных систем сохраняют одно и то же значение idemCidemCidemC tpw === ; ; в сходственные моменты времени. Два промежутка времени ττ ′′′ , называются сходственными, если они имеют общее начало отсчёта и связаны равенством
idemC ==′′′
τττ .
Рассмотрим подобие двух систем, описываемых уравнениями энергии, движения и теплообмена на границе с теплообменной поверхностью. Эти системы должны удовлетворять трем условиям подобия:
- подобные явления должны быть качественно одинаковы: они должны иметь одинаковую физическую природу, относиться к одному и тому же ро-ду и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными урав-нениями; величины, характеризующие подобие явлений, должны быть по-добны, то-есть в сходственных точках и в сходственные моменты времени однородные величины ϕ′′ одной системы и ϕ′ другой системы пропорцио-нальны – связаны константой подобия: ϕ″ = Cϕϕ′;
- условия однозначности подобных процессов должны протекать в гео-метрически подобных системах и бытьодинаковыми во всем, кроме число-вых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;
- одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.
Первая система будет состоять из
∂∂
−=∆⋅
⋅∇+∂∂
−⋅⋅=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅+⋅∇=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
. '''''
:
;'''
'1''
''''
:
;'
''''
''
''
''
:энергии
'2''
''
''
''
'
'2'''
xtt
атеплообменуравнения
wxPg
zww
yww
xwwwдвиженияуравнения
cqta
ztw
ytw
xtwt
уравнения
xxx
zx
yx
xx
p
vzyx
λα
νρ
ϑβτ
ρτ
(а)
55
Вторая система будет состоять из уравнений:
∂
∂−=∆⋅
∇⋅+∂
∂−⋅⋅=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
⋅+∇⋅=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
.
;1
;
''
''''''''
''2''''
''
''''''''
''
''''
''
''''
''
''''
''
''
''''
''''2''
''
''''
''
''''
''
''''
''
''
xtt
wxPg
zw
wyw
wxw
ww
cq
taztw
ytw
xtwt
xxx
zx
yx
xx
p
vzyx
λα
νρ
ϑβτ
ρτ
(б)
В соответствии со вторым условием подобия однородные величины должны быть подобны, т.е.
t″/t′ = Ct, τ″/τ′ = Cτ , ω″/ω′ = Cω, l″/l′ = Cl, a″/a′ = Ca, β″/β′ = Cβ, p″/p′ = Cp, ρ″/ρ′ = Cρ, ν″/ν′ = Cν, λ″/λ′ = Cλ, и т. д.
Выразим переменные второй системы через переменные первой и под-ставим в уравнения второй системы. Тогда
∂∂
−=∆⋅⋅⋅
⋅∇⋅
+∂∂
⋅−
−∆⋅⋅⋅⋅⋅=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅⋅+∇
⋅=
∂∂
+∂∂
+∂∂⋅
+∂∂
∆
.''''
;''''
'1
''''''
'
;'
''''
''
''
''
22
''
''
''
'2
'
'2
2'''
xt
CC
CtCC
wC
CCxP
CCC
tgCCCz
ww
yw
wx
ww
CCw
CC
Cq
CCC
taC
CCztw
ytw
xtw
CCCt
CC
tt
wp
xtgx
zx
yx
xww
p
v
c
qtazyx
twt
λα
νρ
ρτ
ρτ
λα
ν
ρ
βτ
ρτ
(в)
Для подобных систем уравнения должны быть тождественны. На этом основании уравнения системы (а) должны быть тождественны уравнениям системы (в).
Для этого необходимо, чтобы комплексы из констант подобия в уравне-ниях (в) сократились, т. е. должны быть равенства:
c
qtatwtCC
C
CCC
CCC
CC
⋅=
⋅=
⋅=
ρτ2
; (4.14)
2
2
CCC
CCCCCC
CC
CC wP
tgww ⋅
=⋅
=⋅⋅== ∆ν
ρβ
τ; (4.15)
C
CCCC t
t λα =⋅ . (4.16)
Уравнения (4.14) ÷ (4.16) − есть искомые условия подобия, которыми ограничивается произвольный выбор констант подобия.
56
Рассматривая члены соотношения (4.14) попарно, получим
2CCC
CC tat ⋅
=τ
или 12 =⋅
CCCa τ . (4.17)
2 CCC
CCC tatw ⋅
=⋅ или 1=
⋅
a
wC
CC . (4.18)
c
qtaCC
C
CCC
⋅=
⋅
ρ2
или 12
=⋅⋅⋅
⋅
cta
q
CCCCCC
ρ
. (4.19)
Из соотношения (4.15):
C
CCC ww
2=
τ или 1=
⋅
CCCw τ . (4.20)
tgw CCC
CC
∆⋅⋅= β
2 или 2
w
tg
C
CCCC ⋅⋅⋅ ∆β . (4.21)
CC
CCC pw
⋅=
ρ
2 или 12 =
⋅ ρCC
C
w
p . (4.22)
2
2
CCC
CC ww ⋅
= ν или 1=⋅
νCCCw . (4.23)
Из соотношения (4.16) C
CCCC t
t λα =⋅ или 1=⋅
λ
αC
CC . (4.24)
Подставим в уравнения (4.17) ÷ (4.24) значения констант подобия, вели-чины сгруппируем по индексам и получим условия подобия двух систем в новом выражении:
Foa
=⋅2
τ =idem − критерий Фурье, характеризует связь между скоростью
изменения температурного поля, физическими свойствами и размерами тела;
Pea
w=
⋅ = idem − критерий Пекле, является мерой отношения конвек-
тивного и молекулярного переносов теплоты в потоке.
How=
⋅
τ = idem − критерий гомохронности, характеризует скорость
изменения поля скоростей при течении среды во времени.
EuwP
=⋅
∆2ρ
= idem − критерий Эйлера, характеризует подобие полей
давления и является мерой отношения сил давления и инерционных сил.
57
Re=⋅νw = idem − критерий Рейнольдса, характеризует гидродинами-
ческий режим потока, являясь мерой отношения сил инерции и сил вязкого трения.
Nu==⋅
λα
λα = idem − критерий Нуссельта, характеризует интенсив-
ность передачи теплоты конвекцией к интенсивности передачи теплоты теп-лопроводностью в слое толщиной l.
При делении Pe/ Re = ν/а = Pr − критерий Прандтля, мера подобия температурных и скоростных полей в потоке.
Если (4.20) 2wtg ⋅∆⋅⋅ β умножить на Re2 Grtg
=⋅∆⋅⋅
2
3
νβ − число Грасго-
фа, характеризует подъемную силу, возникающую в жидкости из-за разнос- ти плотностей.
Так как ( )0
0ρ
ρρβ
−=∆⋅ t , то можно записать более общую модификацию:
Ar
g=
−⋅
0
02
30
ρρρ
ν − число Архимеда.
Безразмерные величины θ, Wx, Wy, X, Y, Nu, Re, Pe, Gr… можно рассмат-ривать как новые переменные. Их можно поделить на: - независимые переменные − безразмерные координаты X, Y − соответст-вуют поверхности теплоотдачи; - зависимые переменные − θ, Wx, Wy, Nu − определяются значениями неза-висимых переменных; - постоянные величины − Re, Pe, Gr; они заданы условиями однозначности и для конкретной задачи постоянны. Можно написать:
Nu = f1 (X, Y, Pr, Re, Gr) = F1 (X, Y, Pr, Re, Gr); θ= f2 (X, Y, Pr, Re, Gr) = F2 (X, Y, Pr, Re, Gr);
Wx = f3 (X, Y, Pr, Re, Gr) = F3 (X, Y, Pr, Re, Gr); Wy = f4 (X, Y, Pr, Re, Gr) = F4 (X, Y, Pr, Re, Gr);
Приведенные уравнения называются уравнениями подобия. На осно-вании этих уравнений безразмерные переменные делятся на: - определяемые − числа, в которые входят искомые зависимые переменные: α, ϑ , wx, wy, θ, Wx, Wy, Nu; - определяющие − числа, составленные из независимых переменных и по-стоянных величин, входящих в условия однозначности: X, Y, Pr, Re, Gr.
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех тео-рем.
58
1. Подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подо-бия. Теорема устанавливает связь между константами подобия и позволяет выявить критерии подобия: запись дифференциальных уравнений должна быть одинаковой.
2. Условия однозначности подобных процессов должны быть одинако-выми во всём, кроме числовых значений размерных постоянных, содержа-щихся в этих условиях: теорема позволяет сократить число переменных в за-дачах теплообмена.
Из 1 и 2 теорем следует, что подобные процессы должны описываться одинаковыми безразмерными дифференциальными уравнениями и безраз-мерными граничными условиями.
3. Подобны те явления, которые имеют подобные условия однозначно-сти и одинаковые определяющие критерии. Критерии, представляющие собой безразмерную форму условий одно-значности, называются определяющими. Понятие “определяющий” не яв-ляется свойством, присущим определённым критериям. Так в задачах кон-вективного теплообмена критерий Nu есть величина определяемая.
Для подобия необходимо, чтобы одноименные определяющие безраз-мерные переменные были численно равны.
4.3.3. Теория размерностей Для получения замкнутой системы дифференциальных уравнений, опи-
сывающих то или иное явление, приходится с целью уменьшения числа пе-ременных вводить комплексные переменные, как правило, безразмерные. Неправильное определение числа безразмерных переменных, актуальных для рассматриваемого процесса, может привести к серьёзным ошибкам при опи-сании экспериментальных данных в виде уравнений подобия.
Различают: первичные физические величины, которые непосредст-венно без связи с другими величинами характеризуют физическое явление (длина, время…..);
вторичные физические величины выражаются через первичные на ос-новании физических законов (скорость). Физические величины характеризу-ются также числовыми значениями. Числовые значения первичных величин получают путём прямого измерения, вторичных - косвенным путём по чи-словым значениям первичных величин. Символическое выражение вторичной величины через первичные на-зывается размерностью. Размерность можно представить в виде степенной формулы: [ ] 654321 nnnnnn jITML θϕ = , где [ ]ϕ - произвольная единица измерения; in - действительные числа.
Число безразмерных переменных указывает π -теорема: физическое уравнение, содержащее n ≥ 2 размерных величин, из которых k ≥ 1 величин имеют независимую размерность (первичные величины), после приведения к безразмерному виду будет содержать n - k безразмерных величин.
59
4.4. Примеры с решениями Пример 4 – 1. Для нахождения распределения температуры в процессе
изготовления стального сердечника гранитного вала бумагоделательной ма-шины диаметром d = 350 мм через τ = 3 ч после загрузки его в печь необхо-димо провести соответствующее исследование в муфельной печи на геомет-рически подобной стальной модели вала. Для проведения исследования не-обходимо определить диаметр модели вала и интервал времени выдержки модели в печи, после которой проводится измерение распределения темпера-туры в модели.
Коэффициент теплоотдачи к валу в печи составляет градмВт⋅
= 292α .
Необходимые физические параметры материала вала и модели состав-
ляют: для вала: градмВт
в ⋅= 39λ ; 5102,1 −⋅=a м2 /с;
для модели: градмВт
м ⋅= 18λ ; 5108,0 −⋅=мa м2 /с, градм
Втм ⋅= 2120α .
Подобие температурных полей вала и модели определяется равенством критериев для образца и модели:
Biм = Biв и Foм = Foв . Для вала критерии Био и Фурье равны:
413,039
175,092=
⋅=
⋅=
λα rBi ;
( )23,4
175,010800102,1
2
5
2 =⋅⋅
=⋅
=−
raFo τ
.
Находим диаметр модели сердечника вала при Biм = Biв :
062,0120
413,01822 =⋅
=⋅
=м
мм
Bid
αλ
м.
Находим интервал времени выдержки модели в печи при Foм = Foв: ( ) 508
108,023,4031,0
5
22
=⋅⋅
=⋅
= −м
мм a
Forτ с = 8,5 мин.
Пример 4 – 2. На паропроводе перегретого пара диаметром d = 320 мм установлена измерительная диафрагма без предварительной тарировки.
Найти тарировочную зависимость ( )GfP =∆ в паропроводе для течения атмосферного пара с температурой tпар = 270 oC в автомодельной области и указать границы ее применимости. ΔP – перепад статических давлений в диафрагме; G – расход пара.
Для определения расхода пара по тарировочной зависимости и проведе-ния тарировочных исследований была изготовлена модель в ¼ натуральной величины. Тарировку проводили на модели с водой при температуре
60
tв=20 oC. Результаты измеренных перепадов давлений на диафрагме, уста-новленной на модели трубопровода при различных расходах воды представ-лены в табл. 4.1. Таблица 4.1
ΔPв,н/м2 382 942 3616 14440 57760 Gв, кг/с 1,78 3,55 7,10 14,21 28,42
Физические параметры воды при tв=20 oC: ρв =998 кг/м3; 6101 −⋅=вν м2/с Проводим обработку опытных данных, полученных в модели на воде, по
зависимости ( )RefEu = . Критериальная зависимость согласно теории подо-бия будет справедлива при движении пара в натурном паропроводе.
Число Эйлера - 2вв
в
wP
Eu⋅
∆=ρ .
Скорость воды находим из уравнения расхода
( ) вв
мв
вв G
Gd
Gw ⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅= 199,0
08,014,399844
22πρ ,
где dм – диаметр трубопровода модели 08,032,025,025,0 =⋅=⋅= нм dd м. Подставив значение найденной скорости в число Eu, получим
⋅∆⋅=
⋅⋅∆=
44
2
2
22м
в
вв
в
мв
в
в dG
РG
dPEu
πρπρρ
.
22
2
22
1052,24
)08,0(14,3998в
в
в
в
GP
GP
Eu∆
⋅=∆
⋅= − .
Число Рейнольдса
вв
вмв
в
в
мв GG
dGdw
⋅=⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=⋅
= − 1595510108,014,3998
44Re 6νπρν .
В полученные зависимости подставим значения ΔРв и Gв, полученные при тарировке на модели и представленные в табл. 4.1.
Результаты расчетов представим в табл. 4.2. Таблица 4.2
№ п/п
ΔPв, н/м2
Gв, кг/с
Wв, м/с
Eu Re
1 382 1,78 0,354 3,038 5648 2 942 3,55 0,706 1,884 11264 3 3616 7,10 1,413 1,808 113280 4 14440 14,21 2,828 1,802 226720 5 57760 28,42 5,656 1,802 453441
61
По данным табл. 4.2 строим график зависимости Eu = f(Re) на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Зависимость числа Eu от числа Re
Из табл. 4.2 и рис. 4.5
следует, что при 510132,1Re ⋅> 8,1== constEu (автомодельная область). Следовательно, при течении пара в паропроводе при 510132,1Re ⋅> число Eu = 1,8.
Используем последнее равенство для нахождения искомой зависимости
в паропроводе 2222 72,05,28,18,1 www
vwEuP ⋅===⋅⋅=∆ ρ ,
где v= 2,5 м3/кг при p=0,98 бар и tпар =270 0C.
Из уравнения расхода найдем скорость 2785,0 dvGw⋅⋅
= и подставим ее в
искомую зависимость для перепада давлений
( )22
2
2 4,69632,0785,0
5,272,0 GGP ⋅=⋅
⋅=∆ при 510132,1Re ⋅> .
4.5. Теплоотдача при продольном омывании плоской поверхности Рассматривается плоская поверхность, омываемая потоком несжимае-
мой жидкости. Скорость и температура жидкости постоянны и равны 0ω и 0t . Поток направлен вдоль пластины, температура поверхности тела во
времени не меняется. Внутренние источники теплоты в жидкости отсутству-ют. Теплота трения пренебрежимо мала.
Из гидродинамики вязкой жидкости известно, что частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твёрдому телу, адсорбируются или прили-пают к его поверхности и их скорость становится равной нулю относительно поверхности тела. Этот слой “прилипшей” жидкости рассматривается как бесконечно тонкий слой. Скорость жидкости на стенке остаётся равной нулю до тех пор, пока она представляет собой сплошную среду. В газах, по мере увеличения разряжения ослабляется взаимодействие газа со стенкой, и моле-кулы газа у стенки начинают проскальзывать.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5
Re*10-5
Eu
62
Степень разряжения потока характеризуется
числом Кнудсена 0
=nK , где - средняя длина
свободного пробега молекул газа; 0 - характерный размер твёрдого тела (диаметр).
При 0
> 0,001 газ не рассматривается сплошной
средой и условия прилипания нарушаются. Мы рассматриваем сплошные среды, где около плсти-ны образуется тонкий слой заторможенной жид- кости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущён-ного потока вдалиот поверхности. Этот слой за
Рис. 4.6. Мартин Ханс торможенной жидкости Л. Прандтль назвал гид- Кристиан Кнудсен (1871- родинамическим пограничным слоем. С увеличе- 1949) датский физик нием расстояния x от передней кромки пластины (рис. 4.7) толщина пограничного слоя δ увеличивается, поскольку по мере движения жидкости вдоль тела влияние вязкости распространяется в глубину невозмущённого потока.
Течение жидкости внутри пограничного слоя определяется условиием:
0≠∂∂
yxω ; вне пограничного слоя и на его внешней границе: 0:0 ωω
ω==
∂∂
xx
у .
4.5.1.Гидродинамический пограничный слой
В технике чаще всего приходится иметь дело с потоками жидкости, ог-раниченными твердыми поверхностями. За счет «прилипания» жидкости к
поверхности ее скорость на ней равна нулю. По меpe удаления от стенки, скорость быстро воз-растает. Поэтому даже в потоках, характеризую-щихся большими значениями числа Рейнольдса, вблизи стенки имеется область с большими гра-диентами скорости, в которой течение определя-ется действием сил вязкого трения. Эта область
Рис. 4.7. Распределение называется пограничным слоем. За пределами скорости в пограничном пограничного слоя находится внешний поток - слое (ядро потока), в котором определяющую роль играют инерционные силы. Хотя объем пограничного слоя чаще всего мал по сравнению с объмом, занимаемым ядром потока, его значение чрезвычайно велико, так как он определяет гидродинамическое сопротивление при дви-жении жидкости относительно твердого тела.
Резкой границы между внешним потоком и пограничным слоем нет, по-скольку средняя скорость жидкости по сечению потока изменяется монотон-но, без скачков. Обычно толщину пограничного слоя определяют условно,
63
исходя из того, что на его внешней границе скорость составляет 99% от ско-рости внешнего потока. Под толщиной пограничного слоя δ подразумевают некоторое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от тела на определённую заранее заданную малую ве-личину.
Пограничный слой образуется как в ламинарных, так и в турбулентных потоках, но структура этих пограничных слоев различна. При обтекании твердого тела ламинарным потоком жидкости с постоянной по сечению ско-ростью тормозящее действие обтекаемой поверхности проявляется вначале в тонком пристенном слое. По мере удаления от входной кромки увеличива-ется толщина слоя.
Напишем систему дифференциальных уравнений, описывающих ста-ционарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси OZ:
=∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
(4.27) .0
(4.26) ;1
(4.25) ;1
2
2
2
2
2
2
2
2
yx
yP
gyxyx
xP
gyxyx
yx
yxyy
yx
yxxy
xx
ωω
ωωνω
ωω
ω
ωωνωωωω
При движении потока вдоль оси х в в пределах пограничного слоя
wy << wx. Следовательно . Поэтому слагаемые в левой части урав-
нения (4.25) одного порядка. Величина << и ей можно пренебречь. Ввиду малой толщины пограничного слоя примем, что поперёк его давление не меняется: 0=
∂∂
yP . При постоянной скорости внешнего потока 0ω , давление
во внешнем потоке на основании уравнения Бернулли не меняется: =+2
20ωg
P
const . Такое течение в гидродинамике называют безградиентным течени-ем. Поскольку 0=
∂∂
yP - для пограничного слоя; 0=
∂∂
xP - для внешнего пото-
ка, то по аналогии и для пограничного слоя 0=∂∂
xP .
Для пограничного слоя уравнение (4.26) можно опустить, так как члены уравнения движения на ось OY малы по сравнению с членами уравнения (4.25). Связь между двумя неизвестными величинами wx и wy определяется уравнением неразрывности. Поэтому для плоского безградиентного стацио-
64
.0 0 0 0∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞
∂∂
∂∂
−∂∂
=
∂∂
+∂∂ dydy
xw
ywdy
xwwdy
yww
xww
yxx
xx
yx
x
нарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности можно записать:
;2
2
yw
yw
wx
ww xx
yx
x ∂∂
=∂∂
+∂∂
ν (4.28)
.0=∂
∂+
∂∂
yw
xw yx (4.29)
Граничными условиями для системы уравнений (4.28) и (4.29) являются wx = 0, wy = 0 при у = 0, т. е. равенство нулю компонентов скорости жидкости на границе со стенкой, и wx = w при у = δ, где w — скорость жидкости во внешнем потоке, а δ — толщина пограничного слоя. Уравнение (4.28) можно
записать в виде yS
yw
wx
ww x
yx
x ∂∂
=∂∂
+∂∂
ρ1
- уравнение Кармана, где S = μ - ка-
сательное напряжение трения в плоскости, параллельной плоскости XZ. Проведем интегрирование (4.27) в пределах
у = 0 и у = δ . Правая часть: =S. (*)
Левая часть: wy выразим из уравнения сплошно-сти (4.27):
dy
xw
dw xy ∂
∂−= . Так как при y = 0 wy = 0 , то
∫ ∂∂
−=y
xy dy
xw
w0
. Подставим wy в (4.28) и проинтегриру-
ем левую часть: (**) Рис.4.8.Теодор фон -
Карман . (1881-1963) - учёный в области меха- Второй интеграл правой части данного уравнения ники. возьмем по частям в соответствии с формулой:
. ∫ ∫ ⋅−⋅=⋅
b
a
b
a
b
aduavudvu
Получаем ( ) .0 0 0 0 0
0000
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∂∂
−=∂∂
−∂∂
=
∂∂
=
∂∂
∂∂ dy
xwwwdy
xwwdy
xwwdydy
xwdydy
xw
yw xxx
yx
yx
Полученное значение подставим в (**):
( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞ ∞
−−=−∂∂
−=∂∂
−−∂∂
0 0 0 0000 dywww
dxddywww
xdy
xwwwdy
xww xx
xx .
Приравняем полученные значения правой и левой частей уравненияи и полу-
чим ( )∫ =−δ
ρ00 c
xxSdywww
dxd . (4.30)
Уравнение (4.30) – интегральное уравнение импульсов для гидродина-мического слоя.
65
4.5.2. Тепловой пограничный слой
Тепловой пограничный слой (рис. 4.9) - это слой жидкости у стенки, в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки, до значения температуры жидкости вдали от тела. Условие распределения температуры внутри теплового пограничного слоя ;0≠
∂∂yt вне границ теплового пограничного
Рис. 4.9. Распределение слоя - . ;0 0ttyt ==∂∂
К – толщина теплового
температуры внутри пограничного слоя. Толщины гидродинамичес- теплового пограничного кого δ и теплового слоя К пограничных слоёв, как правило, не совпадают. Это зависит от рода жидкости и параметров про-цесса её течения и теплообмена. Ввиду малого К можно пренебречь тепло-проводностью вдоль слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты,
т.е. 02
2
=∂∂x
t . Тогда уравнение энергии примет вид 2
2
yta
ytw
xtw yx ∂
∂=
∂∂
+∂∂ . (4.31)
Так как
∂∂
−=ytq y λ , а ,2
2
∂
∂=
∂
∂
yt
yqy λ то правую часть (4.31) можно запи-
сать в виде .1yq
Сy
р ∂∂
⋅−ρ
Тогда wx wy = - уравнение Кружилина.
Чтобы замкнуть задачу к уравнению (4.31) добавляют систему из уравнений (4.28) и (4.29).
Из сравнения уравнений Кружилина и Кармана видна их полная анало-гия. Тогда интегрируя уравнением Кружилина от y = 0 до y = (или «к») и выполняя аналогичные с выводом уравнения (4.29) преобразования, получим интегральное уравнениее теплового потока для теплового пограничного слоя в следующем виде:
( )∫ ⋅−=−
k
p
cx c
qdyttw
dxd
00 ρ
. (4.32)
При известных распределениях скорости и температуры с помощью (4.32) можно определить изменение толщины теплового пограничного слоя по длине k = k(x).
4.5.3. Теплоотдача в ламинарном пограничном слое
Для расчета теплоотдачи в слое по уравнению (4.32) необходимо знать в нем распределение скорости, Карман и Польгаузен предложили описывать распределение скоростей в ламинарном пограничном слое как функцию рас-стояния от стенки в виде полинома четвертой степени, который близок к па-
66
раболе: 32 ydycybawx ⋅+⋅+⋅+= (кубическая парабола). Коэффициенты па-раболы определяются из граничных условий. На поверхности тела
0 0 =→= xwy . При этом полагаем, что 02
2
=
∂∂
→δy
x
yw . На внешней границе по-
граничного слоя: y=δ, wx = w0, 0=
∂∂
=δy
x
yw . Из (4.27), когда силы инерции
пренебрежимо малы, получаем условие 00
2
2
=
∂∂
=y
x
yw . Уравнение распределе-
ния скорости будет удовлетворять граничным условиям при постоянных:
a = 0; 3
0021 ;0 ;2
3δδw
dCw
b −=== . Тогда уравнение распределения скорости
примет вид: 2
0 21
23
−
= δδ
yyw
wx . (*)
Согласно этому распределению скорости, из уравнения импульсов (4.29) получаем толщину гидродинамического пограничного слоя:
00
64,413280
wx
wx ⋅≈
⋅=
ννδ . (4.33)
Из (4.33) видно, что δ меняется пропорционально квадратному корню из рас-стояния от переднего края пластины до данной точки. В безразмерном виде (4.33) может быть записано как:
xxwx Re64,464,4
0=
⋅=
ν
δ . (4.34)
Пусть tс = const, т.е. tс не зависит от x. Обозначим: ϑ = t – tс; ϑо = tо – tс; где tо – температура жидкости за пределами пограничного слоя.
Распределение температуры в слое описывается уравнением, аналогич-
ным уравнению распределения скорости (*), т.е. 2
0
5,05,1
−
=
ky
ky
ϑϑ , откуда
kdy
d
y
0
0
5,1 ϑϑ ⋅=
=
. (**)
Решая интегральное уравнение теплового потока для теплового погра-ничного слоя (4.32) с использованием зависимости для распределения ско-ростей и температуры, приняв k < δ, получим в конечном итоге
3 Pr
1=δ
k . (4.35)
Подставив δ из (4.34) в (4.35), получим 3 PrRe
64,4
x
xk = , (4.36)
где ν
xw ⋅= 0Re .
При известном температурном поле плотность теплового потока от стен-
67
ки к слою определяется уравнением Фурье: 1−
∂∂
−=n
c ntq λ . Согласно урав-
нению Ньютона – Рихмана эта же плотность равна qс = α (tс − tж). Решая эти уравнения относительно α , получим уравнение теплоотдачи:
0→
∂∂
−−=
nжc nt
ttλα . (4.37)
Опустив в (4.37) знак минус и решая его в соответствии с уравнением рас-
пределения температуры (**), получим Ky y
λϑϑλα 2
300=
∂∂
=→
. (4.38)
Из (4.38) следует, что α обратно пропорционален толщине пограничного слоя.
После умножения левой и правой частей (4.38) на х/λ и подставления в него k из (4.36) получим 3 PrRe33,0 xxNu = , (4.39)
где: XxwxwXNuxxNux ⋅=
⋅=
⋅=⋅=
⋅=
⋅= ReRe ; 00
ννλ
αλ
α ;
xX = ;
– длина пластины вдоль потока.
Перепишем (4.39) в виде 315,05,0 PrRe33,0
−= XNu . (4.40) Тогда 5,0−⋅= XaNu или 5,0−⋅= XCα .
Величины а и С независимы от х. При x = 0 значение α бесконечно велико. При увеличении х α принимает конечные и постоянно умень-шающиеся значения (рис. 4.10). Это, как следует из уравнений (**) и (4.36), объясняется постоян-ством температурного напора ϑ0 = t0 – tс пласти- ны при непрерывно уменьшающемся темпера-
Рис. 4.10. Изменение α по турном градиенте с ростом х. Физические пара- длине пластины при лами- метры, входящие в приведенные выше уравне нарном пограничном слое ния, выбирают по температуре набегающего по-тока t0 . Уравнение (4.40) получено при постоянных физических параметрах потока. Для учета переменности физических параметров потока жидкости и направления теплового потока М.А. Михеевым был предложен множитель:
25,0
PrPr
cж .
4.5.4. Переход ламинарного течения в турбулентное
Имеются два основных режима течения: ламинарный и турбулент-ный. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся без перемешива-ния, слоисто. При турбулентном - неупорядоченно, хаотически, когда на- правление и значения скоростей отдельных частиц непрерывно меняются. Эти режимы течения наблюдаются и в пограничном слое. В области контакта
68
Рис. 4.11. Пограничный слой: 1- ламинарный пограничный слой; 2- переходная область; 3- турбу- лентный пограничный слой; 4- вяз- кий ламинарный подслой
турбулентного потока с обтекаемой поверхностью при малых значениях про-дольной координаты x, отсчитываемой от передней кромки поверхности, в пограничном слое сначала образуется ламинарный пограничный слой, где справедливы уравнения 4.28, 4.29 и 4.31. О режиме течения судят по крити-
ческим значениям числа Re: νν
2.02.
1.01. Re ;Re кр
кркр
крxwxw ⋅
=⋅
= ;
640 10410Re ⋅÷=⋅
=ν
кркр
xw.
Как видно на рис. 4.11, толщина пограничного слоя δ возрастает и при достижении критического размера х, ламинарное движение в пограничном слое становится неустойчивым из-за развития турбулентности.
В переходной зоне турбулентность распространяется на всю толщину пограничного слоя, за исключением тон-кой прослойки вблизи стенки, называе-мой вязким подслоем. В нем имеет место струйное течение, которое подвергается интенсивным внешним возмущениям, вследствие проникновения турбуленных пульсаций из ядра потока. Эти пульсации затухают и не приводят к развитию тур-булентности, поскольку в вязком подслое определяющую роль играют силь вяз-кости. На преобразование режима течения
Рис. 4.12. Осборн Рейнольдс (1842 – влияют характеристики внешнего потока: - 1912) - английский инженер и физик степень турбулентности, масштаб турбу-лентности, частота пульсаций и т.д., параметры омываемого тела (волни-стость, шероховатость, вибрация и т.д.), интенсивность теплообмена. При
сравнительно малых значениях степени турбулентности 203
2wETu = смена ре-
жима не зависит от Tu внешнего потока, а определяется характеристиками ламинарного слоя. Увеличение Tu приводит к уменьшению Reкр.
Течение в переходной области не является стабильным. Турбулентность появляется в некоторой части пограничного слоя, затем турбулентно текущая жидкость уносится потоком. Смена ламинарных и турбулентных состояний
69
течения происходит через разные промежутки времени. Такой характер те-чения характеризуют коэффициентом перемежаемости ω − доля опреде-ленного промежутка времени, в которой существует турбулентное течение. ω = 1 − турбулентное течение. ω = 0 − ламинарное.
Резкой границы между вязким подслоем I и турбулентным пограничным слоем нет (рис. 4.11). Между ними имеет-ся небольшая переходная область. В связи с малой толщиной вязкого подслоя изме-рить экспериментально распределение скоростей в нем не удается. Поэтому нет сведений относительно изменения толщи-ны вязкого подслоя по длине. Обычно считают, что его толщина в турбулентном Рис. 4.13. Схема строения турбу- разви-том пограничном слое остается по лентного пограничного слоя: А –длине неизменной. Теплоотдача сущест- внешняя область; Б – пристенная венно зависит от режима течения, пос- область; I – вязкий подслой; II –кольку пе-ренос теплоты при ламинарном промежуточный слой течении определяется теплопроводностью.
Законы теплообмена, определяемые режимом течения при ламинарном и турбулентном режимах различны.
4.5.5.Турбулентный перенос теплоты и количества движения При турбулентном течении мгновенная скорость частиц пульсирует
около среднего во времени значения. Кроме того, дополнительно к измене-нию абсолютной величины w происходит ещё и изменение направления мгновенной скорости. Отклонение мгновенной скорости w от средней во времени w называют пульсациями скорости (пульсационные скорости)
'www += , таким образом, турбулентное движение состоит как бы из регуляр-ного течения, описываемого осреднёнными значениями скоростей, и из на-ложенного на него хаотического пульсационного течения.
При наличии в потоке температурного поля происходит перенос тепло-ты, из-за чего возникают пульсации температур. Аналогично обозначению скоростей: .ttt +′= Пульсации скорости и температуры приводят к пульсаци-ям давления и физических свойств. Таким образом, турбулентное течение яв-ляется квазистационарным процессом. Проведя определённые преобразова-ния, выдвинув ряд гипотез, можно получить систему дифференциальных уравнений для осреднённого турбулентного течения. Однако в строгой по-становке этот вопрос не решён.
Рассмотрим (рис. 4.14) в некоторый момент времени τ+dτ и в некоторой точке турбулентный поток со скоростью, имеющей свои компоненты ., yx ww Температура жидкости в данной точке А – t . Контрольная поверхность А-А расположена у фиксированной точки и параллельна плос кости XZ. За время dτ через поверхность А-А прохо-
70
дит масса ,τρ dwy ⋅⋅ [кг/м2]. В направлении оси OY проходят относительно оси OX : количество движения τρ dww xy ⋅⋅⋅ и тепло- та τρτρ dtwcdiw ypy ⋅⋅⋅⋅≈⋅⋅⋅ (пусть pс ,ρ - const). Поскольку компоненты скорости по-
Рис. 4.14. Мгновенное значение стоянно меняются, среднеинтегральное зна- скорости в плоском турбулент- чение плотности теплового потока в направ- ном потоке лении OY: -
(4.41)
Используя свойства среднеинтегрального осреднения, запишем (4.41)
в виде: '' twctwcq ypypy ⋅⋅+⋅⋅⋅= ρρ . (4.42) Среднеинтегральное значение количества движения относительно OX,
переносимое в направлении OY за единицу времени через единицу поверхно-сти, аналогично (4.42) запишем как:
yxyxy
d
xyx wwwwwwdwwS ''1⋅+⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅
∆= ∫
+
ρρρτρτ
ττ
τ
; (4.43)
В соответствии с уравнениями (4.42) и (4.43) конвективный перенос складывается из осреднённого и пульсационного (турбулентного) перено-са.
Обозначим: ''.. twсqq ypттп ⋅⋅== ρ ; (4.44) ''. yxттxy wwSS ⋅−== ρ . (4.45)
Знак (-) в (4.45) поставлен из-за противоположного направления пульсацион-ного переноса количеству движения.
Поскольку теплота переносится, а количество движения осуществляется на отрезке , где пульсация существует, то можно записать:
dy
tdwCq ypт '' ⋅⋅−= ρ ; (4.46)
dywd
wS xyт '' ⋅= ρ . (4.47)
Из (4.46) и (4.47) следует, что тq и Sт пропорциональны производным
dytd и
dywd x . Тогда перепишем (4.46) и (4.47) в виде:
yt
dytdCq тqpт ∂
∂−=⋅⋅−= λερ ; (4.48)
y
wy
wS x
тx
sт ∂∂
=∂∂
⋅= µερ ; (4.49)
где тт µλ , - коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества
. 1 twсdtwсq yp
d
ypy ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∆
= ∫+
ρτρτ
ττ
τ
71
движения; ( ) ρµ
ερλ
ε тs
p
тq с
=⋅
= ; - кинематические коэффициенты турбулент-
ного переноса теплоты и количества движения. Размерность sqтт εεµλ ; ; , со-ответствует νµλ , , , a при молекулярном переносе.
Теплота и количество движения в направлении оси OY переносится од-новременно и молекулярным механизмом. Тогда ( )
ytq тy ∂∂
+−= λλ ; (4.50)
( )y
wS x
тxy ∂∂
+= µµ . (4.51)
4.5.6. Система уравнений турбулентного пограничного слоя
На основании изложенного для турбулентного пограничного слоя
уравнение энергии 2
2
yta
ytw
xtw yx ∂
∂=
∂∂
+∂∂ , движения 2
2
yw
yw
wx
ww xx
yx
x ∂∂
=∂∂
+∂∂
ν и
сплошности 0=∂
∂+
∂∂
yw
xw yx могут быть записаны в виде:
( ) ;
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
⋅yt
yytw
xtwC тyxp λλρ (4.52)
])[()(y
wyy
ww
xw
w xт
xy
xx ∂
∂+
∂∂
=∂∂
+∂∂
µµρ ; (4.53)
0=∂
∂+
∂∂
yw
xw yx . (4.54)
Из (4.45) следует, что турбулентный перенос ''yxт wwS ρ−= .
Введя в (4.47) величину , называемую длиной пути смешения или
масштабом турбулентности получим 2
2
∂∂
⋅=y
wS x
т ρ . (4.55)
Из (4.47) и (4.55) имеем: y
ww x
y ∂∂
= 2' ' . (4.56)
Подставив (4.56) в (4.46), получим:
dy
tddwdw
сqy
xрт
2⋅⋅−= ρ . (4.57)
В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентности должен уменьшаться по мере приближения к стенке. Согласно Прандтлю:
y⋅ℵ= , (4.58)
где 4,0=ℵ − безразмерная величина. ( )dywd
ydywd xx
qs22 ⋅ℵ=== εε . (4.59)
Из (4.59) следует, что существует аналогия между переносом количества движения и переносом теплоты.
Турбулентное течение характеризуется также кинетической энергией турбулентного течения E:
72
( ) ( ) ( )
++=
2'2'2'2
1zyx wwwE (4.60)
и степенью турбулентности Tu:
( ) ( ) ( )0
2'2'2'
20
31
32
w
www
wETu
zyx
++
== , (4.61)
где ''' ; ; zyx www − пульсационные состав-ляющие скорости в определенный точке тур-булентного потока; w0 − характерная ско-рость процесса (скорость набегающего пото-ка).
Рис. 4.15. Людвиг Прандтль (1875 – 1953 )– немецкий физик 4.5.7. Теплоотдача при турбулентном
пограничном слое Схема строения турбулентного пограничного слоя представлена на рис. 4.13. Уравнение переноса теплоты (4.50) и количества движения (4.51) попе-рек пограничного слоя можно записать в следующем виде:
ytq s
т ∂∂
+−=
νε
λPrPr1 ; (4.62)
y
wS xs
∂∂
+⋅=
νε
νρ 1 ; (4.63)
где Prт – турбулентное число Pr, характеризует εs /εq. εs ; εq – кинематиче-ский коэффициент переноса количества движения и теплоты соответственно.
С учетом (4.62) и (4.63) дифференциальные уравнения энергии (4.52) и движения (4.53) для турбулентного пограничного слоя можно записать в следующем виде:
∂∂
+
∂∂
=∂∂
+∂∂
yya
yw
xw s
тyx
ϑνεϑϑ
PrPr1 ; (4.64)
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
yw
yyw
wx
ww xsx
yx
x νε
ν 1 . (4.65)
Для решения уравнений (4.64) и (4.65) необходимо знать коэффициенты
турбулентного переноса теплоты и количества движения, а также распреде-ления скорости и температуры в турбулентном потоке.
Запишем уравнения (4.55), введя обозначения (4.58):
( )
dydw
ydy
dwSdwdw
ydy
dwS xxт
y
xxт ⋅ℵ==
⋅ℵ=
⋅=
ρρρ ;
22
22 ;
где - длина пути смешения.
73
Пусть касательное напряжение турбулентного течения не меняется в направлении у. Тогда: constSS cт == ρρ . Обозначим *wSc =ρ − дина-
мическая скорость. Тогда y
dywdwdy
dwyw xx
ℵ=⋅ℵ= *
* , и Cywwx +ℵ
= ln* . (4.66)
Уравнение (4.66) характеризует логарифмическое распределение ос-редненной скорости турбулентного течения в пристенной области. Слой жидкости у стенки, в котором превалируют силы вязкости, и являющийся со-ставной частью турбулентного пограничного слоя называется вязким под-слоем. Уравнение движения для него запишется в виде 02
2=dy
wd x . Откуда
21 CyCwx += , то есть в вязком подслое скорость меняется по линейному зако-
ну. Тогда constdywdSS x
c === µ и 2*wwS
п
тc ⋅== ρδµ , (4.67)
где δп – толщина вязкого подслоя; wт = ( )пxw δ - скорость на внешней границе
вязкого подслоя. Согласно (4.67), 2*w
wтп ⋅=νδ . Постоянная интегрирования
С из (4.67) определится из граничных условий: ;2*w
wy тп νδ == тx ww = . Тог-
да 2*
** lnlnw
wwwwwC ттпт
⋅ℵ
−=ℵ
−=ν
δ . Подставив постоянную С в (4.66) и прове-
дя необходимые преобразования получим универсальное логарифмическое распределение осредненной скорости в пристенной области турбулентного потока. Оно представлено на рис. 4.16 и имеет следующий вид:
η+ℵ
==+ yww
W x lg1
*
, (4.68)
где: **
** ln1 ;
ww
wwywy тт
ℵ−=
⋅= η
ν.
На рис. 4.16 кривой 1 показано линейное изменение скорости в вязком
подслое I: yS
ywyww cx µν
==⋅=2*
** . (4.69)
Кривой 2 изображено логарифмическое распределение осредненной скорости в пристенной турбулентной части Б (рис. 4.13) пограничного слоя:
9,4lg61,5 **
+⋅= ywwx . (4.70)
Пересечению кривых 1 и 2 соответствует ν
ywy ⋅= *
* , примерно равное 12.
При этом расчетная толщина вязкого подслоя равна
c
п Swρννδ 1212
*
=≈ . (4.71)
Вязкий подслой (рис. 4.13) не имеет строго ламинарного течения. В него проникают пульсации, граница подслоя четко не определена. Она является генератором пульсационного движения. Пристенная область составляет
74
Рис. 4.16. Распределение безразмерной скорости по толщине турбулентного пограничного слоя примерно 20 % толщины пограничного слоя; толщина вязкого подслоя около 2 %; толщина внешней области примерно 80 %. Аналогично вязкому подслою у стенки можно выделить тепловой под-слой. Он характеризуется преобладанием переноса теплоты теплопроводно-стью над турбулентным переносом. Пульсации, проникающие в вязкий под-слой, не являются определяющими для теплового подслоя. Основной меха-низм передачи – это молекулярный вязкостный перенос (Pr>1). Для жидко-
стей – малотеплопроводные, вязкие среды с большими числами λ
µ pc⋅=Pr −
тепловой подслой является основным термическим сопротивлением. Ввиду интенсивного турбулентного переноса, толщины теплового К и
динамического δ пограничных слоев практически совпадают. При турбу-лентном течении толщина пограничного слоя δ больше, чем при ламинарном вследствие влияния турбулентной вязкости. В тепловом подслое перенос теплоты определяется теплопроводно-стью, поэтому температура по его толщине изменяется по закону прямой. Представим распределение температуры в вязком подслое, где скорость ме-няется по линейному закону, как: θ = Pr ⋅ y* , (4.72)
75
( )(4.75) .
1Pr121 32
00
0
−+
−⋅=
ρc
cpcc
Sw
w
ttcSq
где νρ
ϑϑϑθ
ywywc
q
p
c ⋅=
⋅⋅== *
**
**
; ; .
Распределение температуры в зоне логарифмического распределения осредненной скорости запишется как: ( )PrlnPr
* fCy qт +
ℵ=θ , (4.73)
где Cq = ƒ(Pr) – учитывает изменение температуры, связанное с неравенством толщин подслоев Кп и δп. Зная распределения скорости и температуры, с помощью уравнений теплового потока (4.32) и импульса (4.30) можно рассчитать теплоотдачу. Поскольку скорости температуры в вязком и тепловом подслоях изме-
няются по линейному закону, то п
тc
п
тc К
qw
Sϑ
λδ
µ == ; .
S и q постоянны внутри Кп и δп. Тогда
п
п
т
тcc Kw
Sqδϑ
µλ
= , (4.74)
где ϑт = tт – tс; tт – температура на внешней границе теплового подслоя; у = Кп ; ωт – скорость при у = δп; tс – температура поверхности стенки. Для турбулентной части пограничного слоя молекулярный перенос те-плоты и количества движения пренебрежимо мал. Поэтому распределение осредненных скорости и температуры идентичны. Тогда с помощью уравне-ний переноса теплоты (4.46) и количества движения (4.47) найдем плотность теплового потока на стенке
Обозначим 20
2w
SC c
f⋅
=ρ
− коэффициент трения, характеризующий каса-
тельное напряжение трения на стенке Sс. Подставим Cƒ в (4.75) и, поделив левую и правую его части на ( )cp ttwc −⋅⋅ 00ρ , получим
. 1Pr
2121
2320
−+
=≡⋅⋅ f
f
p C
CSt
wcρα
(4.76)
где PrRe0 ⋅
=⋅⋅
=Nu
wCSt
pρα . (4.77)
При Pr=1 (4.76) переходит в St= Cƒ /2 . (4.78) St= Cƒ /2 - математическое выражение аналогии переноса теплоты и ко-личества движения. Используя формулу Прандтля 2,0
,Re0592,0
xffC = , (4.79)
и введя поправку (Prƒ/Prw)0,25, получим
76
25,0
43,0,
8,0,, Pr
PrPrRe0296,0
=
cf
xfxfxfNu . (4.80)
За определяющую температуру принята температура жидкости вдали от тела - tо. Определяющим размером является координата х, от начала участка теплообмена. Распределение интенсивности теплообмена внутри погранич-ного слоя представлено на рис. 4.11.
Рис.4.17.Распределение итенсивности теплообме-на внутри пограничного слоя: 1- турбулентное те-чение; 2- смешанное течение; а - ламинарное; б - переходное; в - турбулентное
5. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ТЕЧЕНИИ
ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
5.1. Основные режимы течения в трубах Течение жидкости в трубах классифицируют на ламинарное и турбу-
лентное в зависимости от значения числа Re: ν
dw ⋅=Re , где w - средняя ско-
рость жидкости. При 2000ReRe ≈< кр - течение ламинарное. 1Re кр - нижнее критическое
число Re. В случае Re > 2000 и возмущении потока, ламинарный режим те-чения нарушается. Развитое турбулентное течение устанавливается при Re >
2Re кр ~ 410 . Течение при Re = 2· 310 ÷410 называют переходным.
При движении у стенок трубы образуется гидродинамический пограничный слой, толщина кото-рого непреравно возрастает. На оп-ределённом расстоянии от входа пограничный слой заполняет все поперечное сечение. Расстояние от входа в трубу до слияния погра-ничных слоёв называется длиной
Рис. 5.1. Влияние начального участка гидродинамического начального на образование пограничного слоя участка или участком гидродина- мической стабилизации н .
77
Гидродинамический начальный участок, существует при всех режи-мах течения. Однако при Re > 2000 в начальном участке может существовать ламинарный режим пограничного слоя, который при достижении критиче-ской толщины переходит в турбулентный. С течением времени толщина тур-булентного слоя увеличивается, и слой заполняет всё сечение. Поток в зоне изменения режима течения характеризуется перемежаемостью движения.
При Re > 5· 410 – начиная с входа в трубу развивается турбулентный пограничный слой.
Длина гидродинамического начального участка зависит от Re , степени турбулентности потока на входе и других факторов.
Для ламинарного изотермического движения скорости по сечению пото-ка, когда он гидродинамически стабилизирован (x > Hl ), распределяются по параболе:
−=
2
0max 1
rrwxω , где 0r - радиус трубы; maxw -
скорость на оси трубы. При турбулентном течении большая часть трубы заполнена турбулентным потоком. При высоких значениях Re толщина ламинарного
Рис. 5.2. Распределение ско- подслоя min, хотя именно вязкий подслой оп- рости при ламинарном и ределяет термическое сопротивление теплоот турбулентном течении по- дачи. тока При турбулентных потоках, скорость по сечнию трубы распределяется по усечённой параболе [1]. В пределах вязкого подслоя можно принять линейное изменение скорости. Чем больше Re, тем резче изменяется скорость у стенки вследствие меньшей толщины подслоя.
При наличии теплообмена наблюдается нагрев или охлаждение при-стенных слоёв, в то время как температура ядра потока остаётся равной тем-пературе выхода, т.е. всё изменение температуры на этом участке осуществ-ляется в пристенном слое.
При заполнении трубы жидкостью на ее поверхности, начиная от входного сечения, образуется тепловой пограничный слой, толщина кото-рого постоянно увеличивается. Через определенное расстояние ТНl . , тепло-вой пограничный слой заполняет все сечение трубы, где ТHl . - участок тер-мической стабилизации или начальный тепловой участок. При x > ТНl . - теп-лообмен считают стабилизированным. Изменение температуры потока по се-чению трубы на начальном ее участке
rt∂∂ происходит значительно быстрее
температурного напора cttt −=∆ , где t - среднемассовая по сечению темпе-ратура жидкости. Поэтому, в соответствии с уравнением теплоотдачи
78
∂∂
∆−=
rt
tλα , α на участке тепловой стабилизации резко падает и становится
постоянным при стабилизации теплообмена. Длина участка тепловой стабилизации ТНl . за-висит от большого количества факторов: λ жидкости, Re, распределения температур на входе, наличия гид-родинамической стабилизации. При ламинарном ре-жиме течения жидкости и постоянных ее физических параметрах при consttс = → dPel ТН ⋅= 55,0. ; при constqс = → dPel ТН ⋅= 07,0. .
Рис.5.3. Изменение α по При турбулентном течении lн.т. =(10 ÷15)d. длине трубы при турбу- При ламинарном течении может лентном течении пото- быть вязкостный (Gr·Pr < 8·10) ре- ка жим потока, когда преобладают силы вязкости над подъемными силами, при малых диаметрах труб и температурных напорах, но большой вязкости жидкости.
Может быть вязкостно - гравитационный режим тече-ния, когда подъемные и вязкостные силы соизмеримы. При вязкостном режиме распределение скоростей по сече-нию трубы зависит от направления теплового потока (рис. 5.4). В случае нагревания жидкости ее температура у Рис. 5.4. Распределение - стенки будет больше, чем при охлаждении, и со- скорости по сечению ответственно - меньше вязкость. Поэтому скорость канала при вязкостном жидкости у стенки при нагревании больше, чем при режиме течения жид- охлаждении. Следовательно, α выше. кости: 1- изотерми-
При вязкостно-гравитационном режиме значи- ческое; 2- охлаждение; тельное влияние на теплообмен оказывает направле- 3- нагревание ние токов естественной конвекции, вызванной разностью плотностей нагре-тых и холодных частиц, и её интенсивность.
В зависимости от направления вынужденного и сво-бодного движения различают:
1.Направления вынужденного и свободного движе-ний совпадают (рис. 5.5) при нагревании жидкости и её подъемном движении в вертикальной трубе: 1- суммарная кривая скорости; 2 - распределение скорости при вынуж-денном движении; 3 – при свободном движении.
2.Направления свободной и вынужденной конвекции взаимно перпендикулярны. Наблюдаются в горизонталь- Рис. 5.5. Распре- ных трубах (рис. 5.6). деление скоростей
При нагревании жидкости у стенки возникают восхо- в канале при подъ- дящие токи и нисходящие - в середине трубы. Жидкость емном течении движется, напоминая винтовую линию. За счет турбулиза- жидкости ции теплоотдача увеличивается. α в данном случае выше.
79
Рис. 5.6. Поперечные токи в горизон- тальной трубе при течение жид- кости:а) нагревание; б) охлаждение
- 3.Направления вынужденной и свободной конвекции противоположны: восходящее течение в вертикальной тру-бе и охлаждение (рис.5.7). Скорость жидкости у стенки из-за противоположных по направлению токов свободной конвекции, уменьшается. Иногда возникают возвратные течения (вихревые). Расчет интенсивности теплообмена проводится - как при турбулентном течении жидкости. Рис.
5.7. Обозначения, как на рис. 5.5
5.2. Теплоотдача при течении жидкости в гладких трубах и каналах
5.2.1. Ламинарный режим Известно, что при гидродинамическом стабилизированном ламинарном течении жидкости с постоянными физическими свойствами ее скорость в ка-нале распределяется по закону параболы
и при qc = const → Nud =4,36. При tc = const → Nu = 3,66.
Такие значения могут быть получены для параболического распределе-ния скоростей, когда постоянны физические параметры жидкости при малых температурных напорах. Поэтому необходимая адекватность полученного результата по приведённым зависимостям и реальным данным может быть недостигнута. Кроме того, данные зависимости не учитывают теплоотдачу начального участка. На начальном участке условия теплообмена в трубе близки к условиям при продольном омывании пластины, поэтому можно воспользоваться рассмотренными расчетными зависимостями в предыдущем разделе [2]. Учёт переменности физических параметров и ряда других факторов значительно усложняют задачу. Поэтому практические расчёты ведут по эм-пирическим формулам, полученным для нагревания или охлаждения жидко-сти при различных положениях трубы. Приближённая оценка среднего ко-
, 122
0
−=
rrww xx
80
эффициента теплоотдачи для вязкостно-гравитационного режима может быть получена по зависимости М.А. Михеева:
PrPr)Pr(PrRe15,0
25,01.033.033.0
ε
⋅=
c
жfжdжdжdжd GrNu . (5.1)
В (5.1) определяющей температурой является средняя температура жид-кости в трубе )(5,0 выхвхж ttt += ; определяющий размер - внутренний диаметр трубы. ε - поправка на длину трубы. При l/d > 50 - ε = 1. При l/d < 50 зна-чения поправки выбираются по табл. 5.1.
Таблица 1.
d 1 2 5 10 15 20 30 40 50
ε 1,9 1,7 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1
5.2.2. Турбулентный режим
Для определения плотности теплового потока на стенке при турбулент-ном пограничном слое было получено уравнение (4.75):
−+
−⋅=
1Pr121
)(
32
00
0
ρc
cpcw
sw
w
ttcsq ,
где sc - касательное напряжение на стенке. Пусть −== ttww 00 , средние по сечению скорость и температура жид-
кости. В случае безотрывного течения, когда гидравлическое сопротивление
определяется силами трения, сs находят, зная гидравлическое сопротивление ζ для стабилизированного течения.
Если перепад давления на участке идёт на преодоление трения стенки, то FSfP c ⋅=⋅∆ , где f - поперечное сечение трубы; F - поверхность рассмат-риваемого участка трубы. Перепад давления находим по закону Дарси:
2
2wdlP ρζ=∆ . Тогда .
2
2
Ffw
dl
FfPSс
ρζ=∆= Для круглой трубы: 41
=⋅Ff
d .
Отсюда 28
wSс ⋅= ρς (5.2)
Подставим (5.2) в уравнение плотности теплового потока на стенке (4.75) и разделим его правую и левую части на ( )cp ttwc −⋅⋅ρ . После деления получим
)1(
8121
832
−+=
⋅⋅=
rp P
wCSt
ς
ς
ρα . (5.3)
При Pr = 1 → 8ζ
=St или PrRe8
⋅=ζNu . (5.4)
81
Если в (5.4) подставить экспериментально найден-ную функцию 43.0Pr91,0(Pr) =f , а ς рассчитывать, как ,Re184,0 2.0−= dς то получим
ε25.043.08.0 )Pr/(PrPrRe021,0 сжжжdжdNu = . (5.5)
При l/d > 50 → .1=ε При l/d < 50
d
21 +≈→ε .
Определяющая температура - )(5,0 выхвхж ttt += . Определяющий размер –эквивалентный диаметр:
Рис. 5.8. В. Нуссельт – .4Пfd э =
(1882-1957) немецкий теплофизик 5.2.3. Переходный режим
При числах 43 10102Re ÷⋅= теплоотдача зависит от большого числа фак-торов, трудно поддающихся учёту. При Re = const коэффициент перемежае-мости возрастает с увеличением расстояния от входа в трубу, а также возрас-тает и с увеличением Re. Чем больше Re, тем на меньшей длине трубы может быть ламинарный режим. Переход от ламинарного режима течения к турбу-лентному может не одновременно происходить в ядре потока и в погранич-ном слое. Чем больше степень турбулентности на входе в трубу, тем меньше длина ламинарного пограничного слоя. Обобщённые методики расчёта теп-лообмена в переходной области отсутствуют. Приближённая оценка max и min значений может быть получена по уравнениям для турбулентного и ла-минарного режимов течения.
5.2.4. Изогнутые трубы При движении в таких трубах в жидкости возникают центробежные си-
лы, создающие в поперечном сечении циркуляционные токи (вторичную циркуляцию). В результате возникает движение жидкости по винтовой ли-нии. С уменьшением радиуса гиба R влияние центробежного эффекта увели-чивается. Вторичная циркуляция может наблюдаться как при турбулентном, так и при ламинарном течении.
−′<
=≈ кркркр R
d ReRe ;2
18500Re .2000Re28,0
"' ламинарное течение
без вторичной циркуляции. При −<< "' ReReRe кркр ламинарное течение со вторичной циркуляцией. Коэффициент теплоотдачи α рассчитывается по уравнению (5.5). При "ReRe кр> - турбулентное течение со вторичной цирку ляцией. В этом случае расчёт ведётся по уравнению (5.5) с умножением на поправку .8.11
Rd
изг +=ε
82
5.2.5. Теплоотдача в шероховатых трубах
При течении жидкости в данных условиях происходят дополнительные гидродинамические преобразования, связанные с высотой бугорка шерохова-тости δ и толщиной вязкого подслоя δп. Рассматривают два основных случая:
- бугорки шероховатости глубоко нагружены в подслой (δ < δп). В этом случае течение в подслое не нарушается, бугорки обтекаются жидко-стью без её отрыва.
- бугорки шероховатости выходят за пределы вязкого подслоя (δ > δп). В этом случае происходит отрывное, турбулентное обтекание жид-костью бугорков. Пульсации у стенки заметно увеличиваются. Всё это при-водит к возрастанию теплоотдачи [3].
При ламинарном течении ни коэффициент α, ни гидравлическое сопро-тивление не зависят от относительной шероховатости. Теплосъем может быть увеличен за счёт большей поверхности теплообмена шероховатой стен-ки.
При турбулентном течении эти факторы влияют на α. С уменьшением δ/d возрастает ,Re кр после которого меняется α. С увеличением α увеличива-ется гидравлическое сопротивление.
Характеристикой шероховатости труб служит оптимальный относи-тельный шаг искусственной шероховатости: (S /d)опт = 12 – 14; где S - расстояние между соседними неровностями. Для расчёта средней теплоотда-чи может быть использована зависимость: шжжdжэквdж сuN ε⋅= 25.047.08.0
... )Pr/(PrPrRe022,0 , (5.6)
где
( )
( ) . ;/
/85,0exp
; ;/
85,0exp
оптоптш
опт
оптш
SSприS
S
SSприS
S
<
=
>
=
δδδδε
δδδδε
Определяющие температура и линейный размер аналогичны уравне-нию (5.5).
5.3. Примеры с решениями Пример 5-1. Верхняя панель колпака бумагоделательной машины длиной l0 = 40 м и шириной a = 3,0 м, обтекается продольным потоком воздуха. Ско-рость и температура набегающего потока равны соответственно w0 = 0,5 м/с и t0 = 240C. Температура поверхности колпака tc= 46 0C. Определить средний по длине пластины коэффициент теплоотдачи и количе-ство теплоты, отдаваемой колпаком воздуху.
Решение. Находим параметры воздуха при t0 = 24 0C: ν = 15,03∙10-6 м2/с;
λ = 2,63∙10-2 вт/(м∙град); Pr = 0,702. Находим число Рейнольдса
83
556
00 1051099,31003,15125,0Re ⋅<⋅=⋅⋅
=⋅
= −νw , следовательно, рас-
четное число Re меньше критического числа. Откуда следует, что режим те-чения в пограничном слое ламинарный. Тогда средний по длине коэффици-ент теплоотдачи может быть рассчитан по формуле 3
15,0 PrRe67,0 ⋅⋅= Nu ,
где ;0
λα
⋅=Nu
ν00Re⋅
=w .
( ) ( ) 6,37689,066,63167,0702,01099,367,0 33,05,05 =⋅⋅=⋅⋅=Nu ;
825,012
1063,26,376 2,0
0
=⋅⋅
=⋅
=−
λα Nu градм
Вт⋅2 .
Количество отдаваемой верхней панелью колпака теплоты определится как ( ) ( ) 21783402446825,00 =⋅−=−= FttQ cα Вт.
Пример 5-2. Найти для условий задачи 6-2 толщину гидродинамическо-го пограничного слоя и значения местных коэффициентов теплоотдачи на разных расстояниях от передней кромки верхней панели колпака бумагоде-лательной машины: x = (0,1; 0,2; 0,3; 0,4;0,5;0,7;0,9;1,0)l0. Построить график зависимости толщины гидродинамического пограничного слоя δл и коэффи-циента теплоотдачи от расстояния x/l0 .
Решение. Толщина пограничного слоя и локальный коэффициент теплоотдачи в
нем на расстоянии х от передней кромки панели колпака при ламинарном режиме течения жидкости , когда Rex < Reкр= 5105 ⋅ , определяется по форму-лам:
xл
xRe64,4
=δ и 3/15,0 PrRe33,0 xNu = ,
где λ
α xNux⋅
= и ν
xwx
⋅= 0Re .
На расстоянии х = 0,1l0 ⇒ 46 1031,13
1003,15401,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 051,01031,13
401,064,44=
⋅
⋅⋅=лδ м.
Nux = 0,33(13,31∙104)1/2(0,702)1/3=0,33∙364,8∙0,889 = 107,0;
7,0401,01063,20,107
2
=⋅⋅
==−
xNuxx
λα градм
Вт⋅2 ;
х = 0,2l0 ⇒ 46 1061,26
1003,15402,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 072,01061,26
402,064,44=
⋅
⋅⋅=лδ м.
( ) ( ) 33,151889,085,51533,0702,01061,2633,0 3/12/14 =⋅⋅=⋅=xNu ;
5,0402,01063,233,151
2
=⋅⋅
=−
xαградм
Вт⋅2 ;
х = 0,3l0 ⇒ 46 1092,39
1003,15403,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 088,01092,39
403,064,44=
⋅
⋅⋅=лδ м.
( ) ( ) 35,185889,082,63133,0702,01092,3933,0 3/12/14 =⋅⋅=⋅=xNu ;
84
41,0403,01063,235,185
2
=⋅⋅
=−
xαградм
Вт⋅2 ;
х = 0,4l0 ⇒ 46 1022,53
1003,15404,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 55 105Re1032,5Re ⋅=>⋅= крx .
Следовательно, при x = 0,4l0 ламинарный режим течения в слое при данных параметрах переходит в турбулентный, когда среднее значение теп-лоотдачи при обтекании колпака воздухом определяется по формуле
8,0Re032,0=Nu , локальный коэффициент теплоотдачи и толщина турбулент-ного гидродинамического пограничного слоя определяется по формулам:
8,0Re0255,0 xxNu = и 5 Re
37,0
xт
x=δ соответственно. 424,0
1022,53
404,037,0Re37,0
455
=⋅
⋅⋅==
xт
xδ
м.
( ) 40,9711022,530255,0 8,04 =⋅⋅=xNu ; 6,1404,01063,24,971
2
=⋅⋅
=−
xαградм
Вт⋅2 .
x = 0,5l0 ⇒ 46 1053,66
1003,15405,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 506,01053,66
405,037,04
5=
⋅
⋅⋅=тδ м.
( ) 32,11611053,660255,0 8,04 =⋅⋅=xNu ; 53,1405,01063,232,1161
2
=⋅⋅
=−
xα градм
Вт⋅2 .
x = 0,7l0 ⇒ 46 1015,93
1003,15407,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 663,01015,93
407,037,04
5=
⋅
⋅⋅=тδ м.
( ) 15,15201015,930255,0 8,04 =⋅⋅=xNu ; 43,1407,01063,215,1520
2
=⋅⋅
=−
xα градм
Вт⋅2 .
x = 0,9l0 ⇒ 46 1076,119
1003,15409,05,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 811,01076,119
409,037,04
5=
⋅
⋅⋅=тδ м.
( ) 61,18581076,1190255,0 8,04 =⋅⋅=xNu ; 36,1409,01063,261,1858
2
=⋅⋅
=−
xαградм
Вт⋅2 .
x = 1,0l0 ⇒ 46 1007,133
1003,15400,15,0Re ⋅=
⋅⋅⋅
= −x ; 882,01007,133
400,137,04
5=
⋅
⋅⋅=тδ м.
( ) 11,20221007,1330255,0 8,04 =⋅⋅=xNu ; 33,1400,11063,211,2022
2
=⋅⋅
=−
xαградм
Вт⋅2 .
Результаты расчетов представлены в табл. 5.2 и на рис. 5.9, 5.10. Таблица 5.2
x/l0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 δx, мм 51 72 88 424 506 663 811 882
αх, градмВт⋅2 0,7 0,5 0,4 1,6 1,53 1,43 1,36 1,33
85
Рис. 5.9. Изменение толщины гидродинамического пограничного слоя по
длине колпака машины
Рис. 5.10. Изменение коэффициента теплоотдачи по длине гидродина-мического пограничного слоя
Пример 5 – 3. Вычислить средний коэффициент теплоотдачи и температуры на входе и
выходе из трубы при течении трансформаторного масла в трубах, диаметром d = 16 мм и длиной l = 1,5 м; системы смазки подшипников бумагодела-тельной машины. Определить падение давления по длине трубки. Скорость масла в трубе составляет w = 0,3 м/с. Средняя температура масла в трубе tж= 70 0 C, средняя температура стенки трубы tc= 25 0C.
Решение. По значению числа Re определяем режим течения масла.
При tж= 70 0 С находим коэффициент кинематической вязкости масла 61054,4 −⋅=жν м2/с. 1057
1054,4016,03,0Re 6 =
⋅⋅
=⋅
= −νdw
ж .
00,20,40,60,8
11,21,41,61,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Относительная длина колпака машины
Знач
ения
коэ
фф
ицие
нта
тепл
оотд
ачи
0100200300400500600700800900
1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Относительная длина колпака машины
Толщ
ина
гидр
один
амич
еско
го
погр
анич
ного
сло
я
86
Режим течения ламинарный, поскольку Reж < 2300. В этих условиях необхо-димо найти величину влияния, оказываемого естественной конвекцией на те-плоотдачу. Для этого рассчитываем комплекс (GrPr)Г . Находим определяю-щую температуру пленки ( ) ( ) 0 5,4725705,05,0 =+=+= сжГ ttt С. При этой температуре находим значения физических свойств масла 61026,8 −⋅=Гν м2/с; ,10037,7 4−⋅=Гβ 1/град; PrГ = 119,75.
( ) ( ) ( )( ) 526
34
2
3
108,175,119)1026,8(
016,0257010037,781,0PrPr ⋅=⋅
−⋅⋅=
−⋅=⋅ −
−
Г
cжГГ
dttgGr
νβ .
Поскольку ( ) 5108Pr ⋅<⋅ ГGr , влиянием естественной конвекции на тепло-отдачу можно пренебречь, и режим течения масла считать вязкостным.
Средний коэффициент теплоотдачи при вязкостном режиме течения жидкости в трубах при Reж<2300 можно рассчитывать по формуле
εµµ
14,03/1
5,1
=
c
жГГ l
dPeNu ,
где Г
ГdNu
λα ⋅
= ; Г
pГГ
cGldPe
λπ⋅
=4
; сж tt
q−
=α ; индексы «с» и «г» оз-
начают, что физические свойства жидкости находятся по справочникам при температуре стенки tc и определяющей температуре tГ соответственно. Поправка на участок гидродинамической стабилизации
⋅+
⋅=
−
dl
dl
жж Re15,21
Re16,0
7/1
ε вводится в случаях, когда перед обогре-
ваемым участком трубы отсутствует участок гидродинамической стабилиза-
ции и 1,0Re1
<dl ; 05,01
≤dl
PeГ; ( ) 5108Pr ⋅≤⋅ ГGr ; 150007,0 ≤≤
ж
с
µµ
.
Для расчета теплоотдачи по средней температуре масла tж= 70 0 C, тем-пературе стенки tc= 25 0 C и температуре пленки tГ= 47,5 0 С находим необ-ходимые значения его физических параметров 850=жρ 3м
кг ; 4106,38 −⋅=жµ
2мсн ⋅
; 1084,0=Гλ градм
Вт⋅
; 831,1=рГС градкгкдж⋅ ; 3,163=сµ 2м
сн ⋅.
Определяем расход масла в трубе ( ) 0512,04
016,014,33,08504
22
=⋅
⋅=⋅
⋅⋅=dwG ж
πρ кг/с.
Проверяем условия ввода поправки на участок гидродинамической ста-билизации
8,681084,0016,014,3831,10512,0444
2 =⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
Г
PГ
Гж
рГГГ d
CGd
СdGld
alw
ldPe
λπλπρρ
.
87
Таким образом 05,0014,08,68
11≤==
dl
PeГ. Следовательно, одно из усло-
вий ввода поправки на участок гидродинамической стабилизации выполнено. 1,0087,0
016,05,1
10571
Re1
<==dl
ж
.
Поправка на участок гидродинамической стабилизации ( ) ( ) 03,1217,1414,16,0087,05,21087,06,0 7/1 =⋅⋅=⋅+= −ε .
Число Нуссельта ( ) 33,503,1817,0092,455,103,13,1636,388,6855,1
14,03/1 =⋅⋅⋅=⋅
=ГNu .
Коэффициент теплоотдачи 1,36
016,01084,033,5 ==α
градмВт⋅2 .
Для нахождения температур масла на входе и выходе из трубы опреде-ляем количество передаваемой в ней теплоты
( ) ( ) ( ) 4,1225,1016,014,325701,36 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅−=⋅−= ldttFttQ сжсж παα Вт. Находим разность температур на входе и выходе из трубы
2,110964,10512,0
4,1223 =
⋅⋅=
⋅=−=
pжвхвыхt CG
Qttδ 0 С,
где Срж= 1,964 градкгкДж⋅ теплоемкость масла при tж=70 0 С.
Среднее арифметическое значение температуры масла ( ) 705,0 =+⋅= выхвхж ttt 0 С. Следовательно, tвх=71 0 С и tвых= 69 0 С.
При вязкостном неизотермическом течении жидкости в трубах коэффи-
циент сопротивления трения определяется по формуле n
вхж
си
=
,µµ
ξξ ,
где Re64
=иξ - коэффициент сопротивления трения при изотермическом тече-
нии; 032,0−
=
вх
cm
вх ldPeCn
µµ
; при ;3,21500 =⇒≤ CldPeвх m = -0,3;
при 535,01500 =⇒> CldPeвх ; m = - 0,1.
8,75106,0016,014,397,10512,044 , =
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
⋅=
вх
вхРвх d
CGldPe
λπ < 1500 ; C = 2,3 ; m = -0,3.
( ) 599,08,373,1638,753,2
032,03,0 =
=
−−n .
145,08,373,163
105764
Re64
599,0
=
=
=
n
вх
с
ж µµ
ξ .
Падение давления ( ) 5202
3,0850016,05,1145,0
2
22
=⋅
=⋅
=∆w
dlP жρξ Н/м2.
88
Пример 5-4. В вертикальном подогревателе вода с температурой на вхо-де tвх=15 0 С снизу вверх течет по трубам диаметром d=32 мм. Температура стенок труб теплообменника поддерживается равной tc=160 0C. Определить длину труб подогревателя, если температура при расходе воды G=0,02 кг/с на выходе составляет tвых=80 0С.
Решение. По средней температуре воды tж = 0,5(tвх+tвых) = 0,5(15+80)=47,5 0С на-
ходим ее физические параметры 1,989=жρ кг/м3; СРж=4,174 градкгкДж⋅ ;
6104,575 −⋅=жµ 2мсн ⋅ . По tc находим градм
втc ⋅= 6835,0λ . Рассчитываем
число Re :
1384104,575032,014,3
02,044Re 6 =⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅
= −жd
Gρπ
< 2300.
Режим течения ламинарный. Выбираем физические параметры воды по температуре пленки ( ) Cttt жсГ
07,103)5,47160(5,05,0 =+=+= ; 41073,7 −⋅=Гβ
1/град; 610286,0 −⋅=Гν м2/с; 81094,16 −⋅=Гa м2/с; Pr = 1,69. При совпадении направлений вынужденной и свободной конвекции и
вязкостно-гравитационном режиме движения расчет теплоотдачи проводим
по формуле ( )18,03,0
Pr35,0
⋅
=
ldGr
ldPeNu ГГc .
Уравнение справедливо при 1100≤≤
ldPe
ldPe Г
асГ ; 13020 ≤≤
dl ;
( ) 85 104Pr108 ⋅≤⋅≤⋅ ГGr ,
где асимптотическое значение числа Пекле 25,0
Pr)(5,1Г
Гас
Г ldGr
ldPe
⋅⋅≈
.
Для решения уравнения с двумя неизвестными α и l используем уравне-ние теплового баланса ( ) ( ) ldttttCGQ вхcвхвыхжP ⋅⋅−=−⋅= πα, .
47521094,161,989032,014,3
02,0448 =
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
⋅=
⋅= −
ГжГГ ad
Ga
dwPeρπ
.
Находим коэффициент теплоотдачи из критериального уравнения Нус-сельта
( ) ( ) 48,52,018,03,0 Pr35,0 oГГc ldGrPe −−⋅⋅⋅= λα =
( ) ( )( )
( ) ( )
.348
032,069,15,4716010286,0
032,081,91073,7475235,06835,0
48,0
48,052,0
18,0
26
343,0
−
−−
−
−
⋅=
=
⋅−
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
l
l
Находим коэффициент теплоотдачи из уравнения теплового баланса ( )( )
( )( ) lllttd
ttCG
вхc
вхвыхжP 37215160032,014,31580417402,0, =
⋅−⋅⋅−⋅⋅
=−⋅⋅
−⋅=
πα .
89
Приравниваем найденные значения коэффициентов теплоотдачи
ll 372348 48,0 =⋅ − . 069,1
34837252,0 ==l . l = 1,14 м.
Проверяем применимость критериального уравнения Нуссельта
6,35032,014,1
==dl
; 5,1336,35
14752 ==ldPeГ ;
25,0
Pr)(5,1Г
Гас
Г ldGr
ldPe
⋅⋅≈
=
2,956,35
1108,55,125,0
8 =
⋅⋅= .
Поскольку 13020 ≤≤dl
и 1100≤≤
ldPe
ldPe Г
асГ , то критериальное
уравнение Нуссельта применимо для данных условий. Пример 5-5. Определить коэффициент теплоотдачи от стенки трубки
конденсатора паротурбинной установки к охлаждающей воде, количество передаваемой теплоты и длину трубки. Средняя по длине температура стенки tc=32 0 C. Внутренний диаметр трубки d = 28 мм. Температура воды на входе равна tвх=15 0 С, на выходе – tвых= 24 0 С. Средняя скорость воды поддержи-вается равной w = 1,5 м/с.
Решение. Определяем среднюю температуру воды tж=0,5(tвх+tвых)=
=0,5(15+24)=19,5 0 С и находим ее физические параметры 610021,1 −⋅=жν м2/с;
СPж=4,183градкг
кДж⋅
; 598,0=жλ градмВт⋅
; 2,998=жρ кг/м3; Prж=7,035. По
tc=32 0 C – Prc = 5,2. Число 36 1014,41
10021,1028,05,1Re ⋅=⋅
⋅=
⋅= −
жж
dwν
> .101 4⋅
Таким образом, режим движения турбулентный и расчет теплоотдачи
можно произвести по формуле Михеева lc
жжжжNu ε⋅
⋅⋅⋅=
25,043,08,0
PrPr
PrRe021,0 ,
где индексы «ж» и «с» означают выбор параметров воды по ее средней тем-пературе; εl – поправка на начальный участок, значения которой приведены в табл. 5.3.
Более точные результаты при значениях жRe > 5101⋅ или Prж > 5 могут быть получены по формуле
Таблица 5.3
Reж l/d 1 2 5 10 15 20 30 40 50
4101⋅ 1,65 1,5 1,34 1,23 1,17 1,13 1,07 1,03 1 4102 ⋅ 1,51 1,4 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02 1 4105 ⋅ 1,34 1,27 1,18 1,13 1,10 1,08 1,04 1,02 1 5101⋅ 1,28 1,22 1,15 1,10 1,08 1,06 1,03 1,02 1
90
( )
n
c
ж
ж
жж
жNu
+−⋅=
µµ
ξ
ξ
07,11Pr8
7,12
PrRe8
3/2,
где ( )264,1Relg82,11
−⋅=
ж
ξ - коэффициент сопротивления трения при изо-
термическом турбулентном течении жидкости в гладких трубах. При нагре-вании n = 0,11; при охлаждении – n = 0,25.
При неизвестной длине трубки расчет ведем методом последовательных приближений. Поправку на начальный участок принимаем εl = 1. Находим коэффициент теплоотдачи от стенки трубы к воде
( ) ( ) 1,2202,5
035,7035,71014,41021,025,0
43,08,03 =
⋅=жNu ;
4700028,0598,01,220 ===
dNu ж
жλ
α градм
Вт⋅2 .
Рассчитываем расход воды через трубку ( ) 921,04
028,014,32,9985,14
22
=⋅
⋅=⋅
⋅=dwG ж
πρ кг/с;
количество передаваемой теплоты ( ) ( ) 3467315244183921,0 =−⋅⋅=−⋅= вхвыхPж ttCGQ Вт.
Находим среднелогарифмический температурный напор
9,11
24321532lg3,2
1524
lg3,2=
−−
⋅
−=
−−
−=∆
выхс
вхс
вхвых
tttt
ttt 0С
и длину трубки 05,7028,014,39,114700
34673=
⋅⋅⋅=
⋅⋅∆⋅=
dtQlπα
м.
Рассчитываем 250028,07
==dl . При расчете принято εl= 1, что справедли-
во при dl > 50, тогда производить следующее приближение не требуется.
Пример 5-6. По трубке с внутренним диаметром d = 18 мм и l/d > 50 пе-рекачивается вода со скоростью w = 1,5 м/с, нагреваясь от tвх = 10 0 C до tвых= 60 0 C. Температура внутренней стенки трубы составляет tc = 105 0 C. Опре-делить коэффициент сопротивления трения и сравнить его со значением ко-эффициента при изотермическом течении.
Решение. Находим среднюю температуру воды ( ) Сttt выхвхж
0 355,0 =+= и опреде-ляем ее физические параметры 610732,0 −⋅=жν м2/с; Prж = 4,865;
91
6104,727 −⋅=жµ 2мсн ⋅
; 6107,270 −⋅=сµ 2мсн ⋅
.
Рассчитываем число 3688510732,0018,05,1Re 6 =⋅
⋅=
⋅= −
жж
dwν
.
При турбулентном режиме движения несжимаемой жидкости в гладких трубах в неизотермических условиях коэффициент сопротивления трения
при 3103,3 ⋅ < Reж < 5105,2 ⋅ ; 0,3 < ж
c
µµ < 38 и 1,3 < Prж 178 рассчитывается по
формуле n
ж
cи
=
µµ
ξξ ,
где ( )264,1Relg82,1
1−⋅
=ж
иξ - коэффициент сопротивления в изотермических
условиях; ж
cµ
µ - отношение коэффициентов динамической вязкости жид-
кости, выбранных при температурах стенки и средней температуре жидко-сти; n = 0,14 при нагревании жидкости и 25,0Pr28,0 −= жn при ее охлаждении.
( ) ( )0224,0
64,136885lg82,11
64,1Relg82,11
22 =−⋅
=−⋅
=ж
иξ ;
0195,04,7277,2700224,0
14,0
=
=
=
n
ж
cи µ
µξξ ; 87,0=
иξξ
.
6.ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕНОМ ПОПЕРЕЧНОМ ОМЫВАНИИ ТРУБ И ПУЧКОВ ТРУБ
6.1. Одиночная труба
Плавное, безотрывное обтекание цилиндра, как показано на рис. 6.1, су- ществует до Re = 5 =
νdw ⋅0 ,где w0 – скорость набегаю-
щего потока, d – внешний диаметр. При Re > 5 картина меняется. Пограничный слой, образующийся на перед-ней половине трубы, в кормовой части отрывается от поверхности и позади цилиндра образуются два сим- метричных вихря. Вихри периодически отрываются от Рис. 6.1. Безотрывное трубы и уносятся потоком жидкости, образуя вихревую омывание цилиндра дорожку (рис.6.2). Частота отрыва вихря растет до Re ≈ 103. Затем рост час-тоты прекращается и при Re = 103 ÷ 2⋅105 становится постоянной величиной, характеризуемой числом Струхаля 2,0
0=
⋅=
wdfSh , где f – частота отрыва.
92
Отрыв пограничного слоя проис- ходит из-за снижения скорости в кор-мовой части трубы (ϕ > 90°), повыше-ния вследствие этого статического давления, под действием которого возникают возвратные течения, оттес-няющие пограничный слой с поверх-ности тела. При невысоких числах Re и малой степени турбулентности набе-гающего потока происходит отрыв ла-минарного по-граничного слоя (рис.6.2,а; ϕкр ≈ 82°).
Рис. 6.2. В. Струхаль (1850-1922) чеш- При высоких числах Re, рост стати- ский физик и гидродинамик ческого давления приводит не к отры-ву, а к переходу режима течения в слое в турбулентное, обладающего боль-
Рис. 6.3. Обтекание цилиндра при отрыве ламинарного (а) и турбулентного (б) пограничного слоя
шей кинетической энергией. В результате место от-рыва турбулентного слоя резко смещается по потоку (рис. 6.2,б; ϕкр ≈ 140°). При постоянных числах Re повышение степени турбулентности приводит к уменьшению ϕ (рис. 6.4). Кривая 1 соответствует те-плоотдаче при отрыве ламинарного пограничного слоя, кривая 2 –турбулентного.
Падение α на лобовой части трубы происходит из-за роста толщины ла- минарного пограничного слоя. Минимум α на кривой 1 соответствует месту отрыва слоя. В кормовой части трубы наблюдается сложный вихревой характер движения. При малых Re Рис. 6.4. Изменение теплоотдача на корме трубы невысокая. С возрастанием теплоотдачи по ок- Re α могут сравняться с интенсивностью теплообмена ружности цилиндра на лобовой части. На кривой 2 первый минимум α соответствует переходу ламинарного течения в слое в турбулентное. α резко возрастает. Второй ми-нимум α соответствует месту отрыва турбулентного пограничного слоя. По-
93
сле отрыва труба омывается вихрями. Вследствие этого α возрастает. Расчетные зависимости по теплоотдаче были обобщены А. Жукаускасом:
25,0
38,05,03PrPr
PrRe5,0 10Re5
=→<<
с
жжжжNu ; (6.1)
25,0
с
ж38,06,053PrPrPrRe25,0 102Re10
=→⋅<< жжжNu ; (6.2)
25,0
38,08,065PrPr
PrRe023,0 102102Re
=→⋅÷⋅=
с
жжжжNu . (6.3)
В уравнениях (6.1 - 6.3) определяющий линейный размер – d. Скорость взята в узком сечении канала. Определяющая температура: tж = 0,5(tвх + tвых).
С увеличением степени турбулентности потока α увеличивается: Nu = Nu0[1 + 0,09(Re*Tu)0,2], где Nu0 – определяется по (6.2).
6.2. Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб
Рис. 6.5. А. Жукаускас В промышленности трубы используются в пуч- (1923-1997) - литовский ках, которые классифицируются как коридорные и теплофизик шахматные. Основными характеристиками пучка являются поперечный шаг S1 и про-дольный шаг S2 (рис.6.6). Форма тече-ния жидкости в пучке зависит от харак-тера течения до пучка. При низких Re течение может оставаться ламинарным. Турбулентный пограничный слой на стенках труб пучка может появиться при меньших Re, чем при омывании одиночной трубы: Reкр = 105. При Re < 105 передняя часть труб омывается ла-минарным пограничным слоем, а кор-мовая – отдельными неупорядоченными вихрями. Таким образом, общий харак-тер течения – смешанное. Соответ- ственно выделяются три режима омыва- Рис. 6.6. Характер движения ния:ламинарное, смешанное и турбулент- жидкости в коридорном (а) и ное. шахматном (б) пучках труб
Для смешанного режима - Re = 1⋅103 ÷ 1⋅105 . Омывание первого ряда труб шахматного и коридорного пучков анало-
гично омыванию одиночного цилиндра. Характер омывания остальных труб
94
зависит от типа пучка. Трубы второго и последующего рядов коридорного пучка находятся в вихревой зоне, образованной впереди стоящими трубками. Однако основной поток проходит в продольных коридорах между рядами. Поэтому как лобовая, так и кормовая часть труб коридорного пучка омываются с меньшей интенсивностью по сравнению с аналогичными трубками первого ряда. Характер омывания труб шахматного пучка практи-чески аналогичен трубкам пер-вого ряда.
Изменения α по окружно-сти труб первого ряда коридор-ного и шахматного пучков соот-ветствуют распределению α для одиночной трубы (рис. 6.7). Для остальных труб коридорного пучка максимум α наблюдается при ϕ ≈ 50°. Два максимума α приходятся на удар набегающих струй. Лобовая часть труб интен- Рис. 6.7. Изменение α по периметру сивному воздействию потока не труб для различных рядов коридор- подвергается. Поэтому α не невы- ных (а) и шахматных (б) пучков сокие. В трубах шахматного пучка максимум теплоотдачи приходится на ло-бовую часть.
Средняя теплоотдача труб первых рядов определяется начальной турбу-лентностью потока. Начиная с третьего ряда, теплоотдача стабилизируется, поскольку степень турбулентности потока определяется компоновкой пучка.
Теплоотдача первого ряда шахматного пучка составляет 60 % теплоот-дачи третьего ряда, второго − 70 %. В коридорных пучках на первый ряд приходится 60 % от α третьего, а α второго – 90 % от α третьего. Возраста-ние теплоотдачи по рядам объясняется дополнительной турбулизацией пото-ка в пучке. Если же поток дополнительно турбулизирован до пучка, то α пер-вых рядов может быть выше α глубинных. При смешанном режиме αср третьего ряда может определяться соглас-
но зависимости: sс
жж
nжж сNu ε
25,033,0
PrPrPrRe
= . (6.4)
Для шахматных пучков с = 0,41; n = 0,6. Для коридорных пучков с = 0,26; n = 0,65.
εs – учитывает влияние относительных шагов: S1/d – относительный попе-речный и S2/d – относительный продольный шаги. εs = (S2/d)-0,15 – для кори-дорного; εs = (S1/S2)1,6 при S1/S2 < 2 для шахматного и при S1/S2 ≥ 2: εs = 1,12. Определяющий размер – внешний диаметр. Скорость жидкости берется по узкому сечению пучка. Определяющая температура – средняя температура жидкости: tж = 0,5(tвх + tвых).
Средний для пучка труб коэффициент теплоотдачи определяется как:
95
( )n
n 321 2 αααα
−++= .
6.3. Примеры с решениями
Пример 6 - 1. Труба, диаметром d = 32 мм, охлаждается поперечным потоком воды. Скорость движения и средняя температура воды составляют w = 2,5 м/с; tж = 20 0 С. Определить необходимую температуру поверхности трубы для подержания плотности теплового потока, равного q = 60 410⋅ Вт/м2; рассчитать значение коэффициента теплоотдачи.
Решение. Определяем физические параметры воды по tж = 20 0 С: 610006,1 −⋅=жν
м2/с; 599,0=жλ градм
Вт⋅2 ; Prж = 7,02.
Рассчитываем режим движения воды 7952310006,1032,05,2Re 6 =⋅
⋅=
⋅= −
жж
dwν
.
Поскольку 5102Re101 ⋅≤≤⋅ ж , то расчет ведем по формуле 25,0
38,06,0
PrPr
PrRe25,0
⋅⋅⋅=
c
жжжжNu .
Вследствие того, что в формулу входит Prc, определяемое по tc, которую необходимо найти по условию задачи, то решение необходимо проводить либо графическим методом, либо методом последовательных приближений.
Используем первый метод – графический. Зададимся тремя значениями температуры стенки трубы: tc1 = 40 0 C;
tc2 = 60 0 C; tc3 = 80 0 C. Вычислим для этих температур плотность теплового потока и построим график q = f(tc). Для tc1 = 40 0 C, Prc1 = 4,31 рассчитаем значение коэффициента теплоотдачи и плотность теплового потока
( ) ( ) 08,51713,11,26,87125,031,402,702,77952325,0
25,038,06,0
1 =⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=Nu ;
9679032,0599,008,51711 ===
dNu жλα
СмВт⋅2 ;
( ) 19358020409679111 =−⋅=∆⋅= tq α Вт/м2. Для tc2 = 60 0 C, Prc2 = 2,98 значение коэффициента теплоотдачи будет
отличаться от α1 только из-за изменения Prc. Следовательно, 25,0
2
112 Pr
Pr
=
c
cαα и жc
жc
c
c
tttt
qq−−
=
1
2
25,0
2
112 Pr
Pr .
1061498,231,49679
25,0
2 =
⋅=α
СмВт⋅2 и 425876
20402060
98,231,4193580
25,0
2 =−−
⋅=q Вт/м2.
При tc3 = 80 0 C, Prc3 = 2,21 1143821,231,49679
25,0
3 =
⋅=α
СмВт⋅2
96
и 68628320402080
21,231,4193580
25,0
2 =−−
⋅=q Вт/м2.
По вычисленным значениям на графике, рис. 6.8, строим функцию q = f(tc)
Рис.6.8. Зависимость плотности теплового потока от температуры стенки
Из рис. 6.8 находим tc = 740 C при 41060 ⋅=q Вт/м2. Prc = 2,41. По найденной температуре находим коэффициент теплоотдачи
59841,231,408,517
PrPr 25,025,0
11 =
⋅=
⋅=
c
cж NuNu ;
11194032,0599,0598 ===
dNu ж
жλ
α См
Вт⋅2 .
Пример 6 - 2. В воздухоподогревателе шахматный пучок труб обтекает-ся поперечным потоком воздуха. Внешний диаметр труб в пучке d = 32 мм. Поперечный шаг s1 = 2,5d; продольный шаг s2 = 1,5d. Средняя скорость в уз-ком сечении пучка и средняя температура воздуха составляют соответствен-но w = 9 м/с и tж = 160 0С. Найти коэффициент теплоотдачи от поверхности труб к воздуху для третьего ряда пучка труб при условии, что температура поверхности труб tc = 500 0C, а угол атаки равен φ = 900 и φ = 600.
Решение. По средней температуре воздуха находим его физические па-
раметры 61009,30 −⋅=жν м2/с; λж =0,0364 градмВт⋅
; Prж = 0,682.
При tc = 500 0C Prc = 0,687. Рассчитываем число Рейнольдса
95711009,30
032,09Re 6 =⋅
⋅=
⋅= −ν
dwж .
Поскольку 1000 < Reж < 105 применяем формулу
sc
жж
nжж CNu ε⋅
⋅⋅⋅=
25,033,0
PrPr
PrRe .
Так как 66,15,15,2
2
1 ==ss < 2, то ( ) 08,166,1 6/1
6/1
2
1 ==
=
ss
sε .
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100 120
Температура стенки, 0C
Пло
тнос
ть т
епло
вого
по
тока
, q*1
0-4, В
т/м
2
97
Для третьего ряда шахматного пучка
( ) ( )
.4,9508,1998,0881,024541,0
08,1687,0682,0682,0957141,0
PrPr
PrRe41,025,0
33,06,025,0
33,06,0
=⋅⋅⋅⋅=
=
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅= s
c
жжжжNu ε
Коэффициент теплоотдачи при φ = 900
108032,0
0364,04,95 ===d
Nu жжλ
α градмВт⋅2
. При обтекании пучков труб под углом атаки φ, не равным 900, αεα ϕϕ ⋅= ,
где ϕε - поправка на угол атаки, значения которой в зависимости от φ приве-дены в табл. 6.1. Таблица 6.1
φ 90 80 70 60 50 40 30 20 10 εφ 1 1 0,98 0,94 0,88 0,78 0,67 0,52 0,42
При φ = 60o, εφ = 0,94 коэффициент теплоотдачи составит
αφ=60о= 0,94 5,101108 =⋅ градм
Вт⋅2 .
Пример 6 - 3. Трубчатый теплоуловитель бумагоделательной машины проектируется с коридорным расположением труб, d = 38 мм, поперечным и продольными шагами s1 = s2 = 2,5d. Число труб в одном ряду по ходу потока m = 16, число рядов труб n = 30. Температура воздуха из зала БДМ, посту-пающего в теплоуловитель, tвх= 20 0 С, на выходе из аппарата tвых= 40 0 C. Температура стенки трубы составляет tc = 60 0 C. Найти длину трубок тепло-уловителя, чтобы при скорости воздуха в узком сечении пучка w = 7 м/с трубки обеспечивали теплосъем Q = 125 кВт.
Решение. Находим физические параметры воздуха по его средней тем-пературе ( ) ( ) Cttt выхвхж
0 3040205,05,0 =+⋅=+⋅= ; 61016 −⋅=жν м2/с; Prж = 0,701; λж = 0,0267
градмВт⋅
. Определяем число Рейнольдса
166251016038,07Re 6 =
⋅⋅
=⋅
= −ж
жdw
ν .
Так как 53 10Re10 ≤≤ ж , то используем для расчета следующую зависи-мость для труб третьего ряда коридорного пучка sжжжNu ε⋅⋅⋅= 33,065,0 PrRe26,0.Поскольку для воздуха величина числа Pr меняется незначительно, то для данного диапазона изменения температур уравнение принимает следующий вид: sжжNu ε⋅⋅= 65,0Re23,0 ,
где
( ) 872,05,2 15,015,0
2 ==
= −
−
ds
sε .
98
( ) 111872,01663523,0 65,0 =⋅⋅=жNu . Коэффициент теплоотдачи для третьего ряда
78038,0
0267,01113 ===d
Nu жжλ
α градмВт⋅2 .
Средний коэффициент теплоотдачи коридорного пучка при n = 30
7,7630
5,01785,013 =
−⋅=
−=
nαα градм
Вт⋅2 .
Определяем плотность теплового потока и необходимую поверхность теплообмена
( ) ( ) 230130607,76 =−⋅=−⋅= жc ttq α Вт/м2 ,
3,542301
10125 3
=⋅
==qQF м2 .
Находим требуемую длину труб 95,03016038,014,3
3,54=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
nmdF
π м .
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ягов В.В. Теплообмен в однофазных средах и при фазовых превращениях [Текст]: учебное пособие для вузов / В.В. Ягов. – Издательский дом МЭИ, 2014. – 542 с.: ил.… 2. Готовский М.А., Суслов В.А. Тепломассообмен в технологических уста-новках ЦБП[Текст]: учебное пособие М.А. Готовский, В.А. Суслов / СПб ГТУ РП. СПб, 2013. Часть 3. - 120 с.: ил. 84. – ISBN 978-5-91646-038-4… 3. Суслов В.А., Антуфьев С.В. и др. Тепломассообменное оборудование ТЭС и АЭС [Текст]: учеб. пособие / В.А. Суслов, С.В. Антуфьев. СПб ГТУ РП. СПб., 2015. - 84 с: ил. 67
