On thi thpt toan 2014 2015

Trang 1

Chủ đề 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số – Các bài toán

liên quan đến đồ thị hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Sơ đồ chung Hàm đa thức Hàm hữu tỷ ax b

ycx d

Tập xác định D = R. D = R \ {d

c}

Giới hạn

(Phụ thuộc dấu

của hệ số lũy

thừa bậc cao

nhất)

lim :

x

a ay y TCN

c c

( )

lim :d

xc

dy x TC

c

§

(Lưu ý tách xét riêng các giới hạn)

Đạo hàm

/

2( )

ad bcy

cx d

Bảng biến

thiên (Lưu ý giới hạn ở các biên)

Chiều biến

thiên

(Kết luận tính

đơn điệu và cực

trị hàm số)

Hsố đồng biến (nghịch biến) trên

các khoảng (;d

c) và ( d

c

; +)

tùy vào dấu của (ad bc).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị Nêu giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

Vẽ đồ thị Vẽ các tiệm cận và đồ thị

Các dạng đồ thị hàm số:

Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx

2 + cx + d (a 0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)

x

y

O

I

x

y

O

I

a < 0 a > 0

Dạng 2: hàm số không có cực trị ?

x

y

O

I

x

y

O

I

a < 0 a > 0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ?

Trang 2

Hàm số trùng phƣơng: y = ax4 + bx

2 + c (a 0)

Hàm số nhất biến : ( 0)ax b

y ad bccx d

Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số:

Bài toán 1: :

* Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(m) (1)

* Đ à phương trình hoành đ gi o đi m c :(C) : y f x

(d) : y g m Oxcïng ph¬ng víi

* Dự vào đồ thị C , t có:

+ g(m) < yCT ……………………….............................................................................

+ g(m) = yCT ……………………….............................................................................

+ yCT < g(m) < yCĐ ………………................................................................................

+ g(m) = yCĐ ……………………….............................................................................

+ g(m) > yCĐ ……………………….............................................................................

: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3

nghiệm, 4 nghiệm…ta chỉ cần chỉ rỏ các trường hợp thỏa đề

Bài toán 2: (C): y = f(x)

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tu ến c C : = f x tại M0(x0;y0) (C).

Bước 1: Nêu dạng pttt : y = y’ x0) 0x x + y0 (*)

Bước 2: Dự vào đề bài tìm các thành phần chư có x0, y0, f’ x0) thay vào (*).

Rút gọn t có kết quả

Dạng 2: Viết pttt c C : = f x biết hệ số góc k c tiếp tu ến.

h : biết tiếp tu ến song song, vuông góc với 1 đường thẳng d) )

x

y

O x

y

O

a < 0 a > 0


x

y

O x

y

O

a < 0 a > 0


y

I

x

y

O

Dạng 2: hàm số nghịch biến

Dạng 1: hàm số đồng biến

x O

I

Trang 3

Bước 1: Gọi M x0; y0 à tiếp đi m

Bước 2: Dự vào đề bài ập phương trình y’ x0) = ktt .. x0 hoành đ tiếp

đi m

Bước 2: Tìm 0 và th vào dạng = ’ x0) (x – x0) + y0. t có kết quả

: Tiếp tu ến song song với d: y = ax + b ktt = kd y’ x0) = a

Tiếp tu ến vuông góc với d: y = ax + b ≠ 0 ktt = d

1

k y’ x0) =

1

a

Bài toán 3:

Cho 2 ñoà thò 1

(C ) y f(x) ; 2

(C ) y g(x)

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 1

(C ) vaø 2

(C ) laø: f (x) g(x) (*)

Soá giao ñieåm cuûa 1

(C ) vaø 2

(C ) chính laø soá nghieäm cuûa phöông trình (*)

(*) voâ nghieäm 1

(C ) vaø 2

(C ) khoâng coù ñieåm chung

(*) coù n nghieäm 1

(C ) vaø 2

(C ) coù n ñieåm chung

Ví dụ 1: Cho hàm số: 3 22 3 2y x x có đồ thị C

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số

2/ Viết PTTT c đồ thị C tại đi m uốn c đồ thị C

3/ Dự vào đồ thị C , biện uận theo m số nghiệm c pt: 3 22 3 22

mx x

Ví dụ 2: Cho hàm số: 4

2

2

xy x có đồ thị C


2/ Tìm m đ pt 4 22 0x x m có 4 nghiệm ph n biệt

3/ Viết PTTT c C biết tiếp tu ến song song với đường thẳng d: y = 12x + 2

Ví dụ 3: Cho hàm số: 3

2 1

xy

x

có đồ thị C

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị C c hàm số

2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại gi o đi m c C với trục tung

3/ Chứng minh rằng: đường thẳng = –x – m uôn cắt đồ thị C tại 2 đi m pbiệt

Bài 1: Cho hàm số: 3 3 1y x x có đồ thị C

Trang 4


2/ Dự vào đồ thị biện uận theo m số nghiệm c pt 3 3 1 0x x m

3/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m có tung đ bằng 1

Bài 2: Cho hàm số: 3 3y x có đồ thị C


2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m có tung đ bằng –11

Bài 3: Cho hàm số: y = x3 + 3x

2 + 3x + 1 có đồ thị C


2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C , biết hệ số góc c tiếp tu ến bằng 3.

Bài 4: Cho hàm số: 2 3y x x


2/ Viết PTTT c đồ thị C tại đi m 1; 2M

3/ Tìm m đ pt 3 3 2 0x x m có 3 nghiệm ph n biệt

Bài 5: Cho hàm số: 2 3y x x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị C c hsố

2/ Viết pttt c đồ thị C tại gi o đi m c C với trục hoành

3/ Tìm m đ pt 3 23 0x x m có 3 nghiệm ph n biệt

Bài 6: Cho hàm số: 3 22 3 1y x x


2/ Gọi A à gi o đi m có hoành đ m c đồ thị C với đường thẳng 1y . Viết pt

tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m A

3/ Tìm m đ pt: 3 22 3 0x x m có 3 nghiệm ph n biệt

Bài 7: Cho hàm số: = – x3 + 6x

2 – 9x


2/ Tìm m đ pt x3 – 6x

2 + 9x + m + 2 = 0 có 3 nghiệm ph n biệt

3/ Gọi A à gi o đi m c C và đường thẳng = – 4 Viết pttt c C tại đi m A

Bài 8: Cho hàm số: y = – x4 + 2x

2 – 3


2/ Viết pttt c đthị C tại đi m có hoành đ à 2

3/ Tìm m đ pt : x4 – 2x

2 + m = 0 có 3 nghiệm ph n biệt

Bài 9: Cho hàm số: 4 231

10y x x có đồ thị C


2/ Tìm m đ đường thẳng d: = m+2 cắt C tại 2 đi m ph n biệt

Bài 10: Cho hàm số: y = – x4 – 2x

2 + 3

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị C c hàm số

2/ Viết PTTT c C , biết tiếp tu ến song song với đường thẳng d: y = 8x

3/ Biện uận theo m số nghiệm c pt: x4 + 2x

2 + m – 3 = 0

Bài 11: Cho hàm số: = x4 – 2x

2 – 3 có đồ thị C


2/ Tìm m đ phương trình x4 – 2x

2 – m = 0 có 4 nghiệm ph n biệt

3/ Viết pt tiếp tu ến c đthị C , tại đi m có hoành đ à nghiệm c pt ” = 44

Trang 5

Bài 12: Cho hàm số: 12

3

x

xy


2/ Viết PTTT c C tại gi o đi m c C với trục tung.

3/ CMR đường thẳng d: = x + m uôn cắt C tại h i đi m ph n biệt

Bài 13: Cho hàm số = 2

1

x

x.


2/ Tìm trên C những đi m có tọ đ à các số ngu ên.

3/ Gọi A à gi o đi m c C và đường thẳng = 3. Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C

tại đi m A.

Bài 14: Cho hàm số = 2

1

x

x

.


2/ Tìm trên C những đi m có tọ đ à các số ngu ên.

3/ Gọi A à gi o đi m c C và đthẳng = 1. Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại

đi m A

Bài 15: Cho hàm số C :3 2

1

xy

x


2/ Viết pt tiếp tu ến c C tại gi o đi m c C với trục hoành

Bài 16: Cho hàm số C :2 2

1

xy

x


2/ Viết pt tiếp tu ến c C tại gi o đi m c C với trục hoành

3/ Tìm m đ đường thẳng 2y mx cắt C tại 2 đi m ph n biệt

Chủ đề 2. Lƣợng giác

I/ Hệ Thức Cơ Bản :

–1 sinx 1 ; –1 cosx 1 hay sin x 1, cos x 1 (kZ)

sin2x + cos

2x = … tanx . cotx = …

2

1

cos x= ……

2

1

sin x= ………

II/ Công Thức Cộng

cos(A + B) = …………………………………… cos(A – B) = ……………………………………

sin(A + B) = …………………………………… sin(A – B ) =……………………………………

tan(A + B) = ………………………………........ tan(A–B) =...…………………………………..

III/ Công Thức Nhân:

1. Công thức nhân đôi 2. Công thức nhân ba

cos2A = ………………. = …………………….=

…………………………

sin2A = …………………………….

tan2A = …………………………..

cos3A = ………………………………………..

sin3A = ……………………………………..

tan3A = …………………………………………

Trang 6

3. Công thức Hạ Bậc : sin2A =……………….. cos

2A =………………..

tan2A = ……………………..

4. Công thức: tính sinA, cosA,tanA theo

t = tan2

A

sinA = …………. cosA = …………….

tanA = …………

5. Tính sin2A, cos2A, tan2A theo t = tanA

sin2A =………… cos2A = …………..

tan2A = …………..

IV. Công Thức Biến Đổi:

1/ Tích thành Tổng :

cosA cosB =…………………………………………..

sinA sinB =…………………………………………...

sinA cosB = ……………………………………...…..

2/ Tổng thành Tích :

sinA + sinB =……………………………………........

sinA – sinB = …………………………………………

cosA + cosB = …………………………………….......

cosA– cosB= …………………………………………..

tanA + tanB =…………………………..................….

tanA – tanB = …………………………………....……

V:Chứng minh và nhớ

sinx + cosx = 2 sin(x + 4

) = 2 cos(x–

4

)

sinx – cosx = 2 sin(x–4

) = – 2 cos(x +

4

)

° sin4x + cos

4x = 1– 2sin

2xxcos

2x = 1–

1

2sin

22x =

3 cos4

4

x

° sin6x + cos

6x = 1–3sin

2x.cos

2x = 1–

3

4sin

22x =

5 3cos4

8

x

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: Với k Z, m 1, nR )

cosX = cosA2

2

X A k

X A k

sinX = sinA

2

2

X A k

X A k

(cosX = m arccos 2

arccos 2

X m k

X m k

) (sinX = m

arcsin 2

arcsin 2

X m k

X m k

)

tanX = tanA X= A + k cotX = cotA X= A + k

(tanX = n X = arctan n +k ) (cotX = n X = arccotn + k )

Các trƣờng hợp Đặc Biệt :

sinX = 0 X= k sinX = 1 X = 2

+k2 sinX = –1 X = –

2

+k2

cosX= 0 X = 2

+k cosX = 1 X = k2 cosX= –1 X = +k2

II. Phƣơng trình bậc hai đối với 1 hàm số lƣợng giác :

Dạng 1: Asin2X +BsinX + C=0 (A 0) (1) Acos

2X +BcosX + C = 0 (A 0) (1)

Trang 7

Cách giải : Đặt t = sinX ( hay t = cos X) , –1 t 1 (1) At2 +Bt + C = 0

Dạng 2 : Atan2X + BtanX +C = 0 (X

2

+k) Acot

2X + BcotX + C = 0 (X k) (1)

Cách giải : Đặt t = tanX ( hay t = cotX) (1) At2 +Bt + C = 0

a) 3 + 2sinxsin3x = 3cos2x

b) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1

III.Phƣơng trình bậc nhất đối với sinX và cosX : AsinX + BcosX = C (A, B 0) (1)

Điều kiện có nghiệm : 2 2

1C

A B

A

2 + B

2 C

2

Bài1 : Giải phương trình : a/ 3 sinx + cosx = 3 b/ 2 cos2x – 6 sin2x +2 = 0

IV. Phƣơng trình thuần nhât (đẳng cấp ) bậc hai (bậc n) đối với sinX và cosX :

1/ Dạng : Asin2 X + BsinXcosX + Ccos

2X = 0 (A, B, C 0)

Tổng quát : Asin2 X + BsinXcosX + C cos

2X = D (A, B, C 0) (1)

2/ Cách giải : Nhận xét : cosX = 0 X=2

+k có phải à nghiệm c 1 ? cosX = 0 sin

2X = 1)

Chi 2 vế c 1 cho cos2X 0 (1) Atan

2X + BtanX +C = D(1+tan

2X )

Đặt t = tanX (1) At2+ Bt + C = D(1+t

2) (A–D)t

2 +Bt + (C – D) = 0

Ghi chú : Với bậc n, giải tương tự

Ví dụ : Giải phương trình : 3sin2

x –4sinxcosx + 5cos2

x = 2 b) sinxsin2x + sin3x = 6cos3

x

TỰ RÈN LUYỆN PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

I. Các Đề Khối A: Giải các ptrình lƣợng giác sau : A– 14 : sin x + 4cosx = 2 + sin2x

A–13 : 1 + tanx = 2 2 sin (x + 4

) A–12 : 3 sin2x + cos2x = 2cosx – 1

A–11 : 2

1 sin 2 cos2

1 cot

x x

x

= 2 sinxsin2x A–10 :

(1 sin cos2 )sin( )4

1 tan

x x x

x

=

1

2cosx

A– 09 :(1 2sin )cos

3(1 2sin )(1 sin )

x x

x x

A–08 :

1

sin x+

1

3sin( )

2x

= 4sin (7

4

–x)

A–07 : (1 + sin2x )cosx + (1 + cos

2x )sinx = 1 + sin2x A–06 :

6 62(cos sin ) sin cos

2 2sin

x x x x

x

= 0

A–05 : cos23x.cos2x – cos

2x = 0 A–03 :cotx – 1 =

cos2

1 tan

x

x+ sin

2x –

1

2sin2x

A–02 : 5cos3 sin3

sin1 2sin 2

x xx

x

= cos2x + 3 A–01 : 1+ sinxsin

2

x–cos

2

xsin

2x = 2cos

2(

4

–

2

x)

Đáp số :A–14 : 3

+ k2 A–13 : –

4

+ k,

3

+ k2 A–12 :

12

+ k , k2 ,

2

3

+k2

A–11: 2

+k ,

4

+k2 A–10: –

6

,

7

6

+k2 A–09 : –

18

+

2

3

k

A–08 :–4

,–

8

,5

8

+k A7 :–

4

+k ,

2

+k2 ,k2 A6 :

5

4

+ m2 A5 : k

2

Trang 8

A3 : 4

+k A2 :

3

+k2 A1 :k , + k4

II.Các Đề Khối D : Giải các ptrình lƣợng giác sau :

D–13 :sin3x + cos2x –sinx = 0 D–12 : sin3x + cos3x –sinx + cosx = 2 cos2x

D–11: sin 2 2cos sin 1

tan 3

x x x

x

= 0 D–10 : sin2x –cos2x +3sinx – cosx –1 = 0

D–09 : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 D–08 : 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1+2cosx

D–07 : (sin 2

x + cos

2

x)

2 + 3 cosx = 2 D–06 : cos 3x + cos2x – cosx –1 = 0

D–05 :cos4 x + sin

4x + cos (x –

4

) sin(3x–

4

) –

3

2= 0

D–04:(2cosx – 1 )(2sinx + cosx) = sin2x – sinx D–03: sin2(2

x–

4

)tan

2x – cos

2

2

x= 0

D–02 : cos3x –4cos2x +3cosx –4 = 0

Đáp số : D13: 4

+

2

k, –

6

,

7

6

+k2 D12 :

4

+

2

k,

7

12

,–

12

+k2 D11 :

3

+ k2

D10 :6

,5

6

+k2 D–09 :

18

+k

3

,–

6

+

2

k D–08 :

2

3

+k2 ,

4

+k

D–07 :2

,–

6

+ k2 D–06 : k ,

2

3

+k2 D–05 :

4

+k

D–04 :3

+k , –

4

+k D–03 : –

4

+k , + k2 D–02 :

2

+k

III.Các Đề Khối B : Giải các ptrình lƣợng giác sau : B–14: 2 (sinx –2cosx) = 2 – sin 2x

B–13:sin5x + 2cos2

x = 1 B–12 : 2(cosx+ 3 sinx)cosx = cosx – 3 sinx+1

B–11 :sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx B–10 :(sin2x +cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0

B–9:sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x)

B–8:sin3x– 3 cos

3x = sinxcos

2x – 3 sin

2xcosx B–07 :2sin

22x + sin7x – 1 = sinx

B–06 :cotx + sinx (1 + tanxtan2

x) = 4 B–05:1 +sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

B–04 : 5sinx – 2 = 3(1–sinx)tan2x B–03: cotx – tanx + 4sin2x =

2

sin 2x

B–02: sin23x – cos

24x = sin

25x – cos

26x

Đáp số : B14:3

4

+k2, B13:–

6

+m

2

3

k ,–

14

+

2

7

k B12 :

2

3

+ k2 ,

2

3

k

B11 :2

+k2 ,

3

+

2

3

k B10 :

4

+k

2

B9 :–

6

+ k2 ,

42

+

2

7

k

B8 : 4

+

2

k, –

3

+k B7 :

8

+

4

k,

18

+

2

3

k ,5

18

+

2

3

k B6 :

12

+k ,

5

12

+k

B5 : 2

3

+k2 ,–

4

+k B4 :

6

,5

6

+ k2 B3:

3

+k B2 : k

9

, k

2

Trang 9

Chủ đề 3. Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng

:

I. Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên khoảng K.

Hàm số F đuợc gọi là nguyên hàm c a f trên K nếu / ( ) ( ),F x f x x K

Ví dụ : F(x) = x2 là nguyên hàm c a f(x) = 2x trên

F(x) = tanx là nguyên hàm c a 2

1( )

cosf x

x với ;

2 2x

II. Định lý : Giả sử hàm số F là m t nguyên hàm c a hàm số f trên K

Với mỗi hằng số C, hàm số = F x + C cũng à m t nguyên hàm c a f trên K

Ngược lại với mỗi nguyên hàm G c a f trên K thì tồn tại m t hằng số C sao cho

G(x) = F(x) + C, x K

Họ tất cả các nguyên hàm c f trên K được ký hiệu là ( )f x dx . Như vậy

( ) ( ) ,f x dx F x C C

Mọi hàm số iên tục trên K đều có ngu ên hàm trên K.

III. Các tính chất của nguyên hàm :

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) 0� af x dx a f x dx a

IV. Bảng các nguyên hàm :

Nguyên hàm của một số hàm số

thƣờng gặp

1. dx x C

2. 1

11

xx dx C

1

11

1

ax bax b dx C

a

3. lndx

x Cx

1ln

dxax b C

ax b a

4. 2

1dxC

x x

2

1 1dxC

a ax bax b

5. x xe dx e C 1ax b ax be dx e Ca

6. 0 1ln

xx a

a dx C aa

7. cos sinxdx x C 1

cos sinax b dx ax b Ca

8. sin cosxdx x C 1

sin cosax b dx ax b Ca

Trang 10

9. 2

tancos

dxx C

x

2

1tan

cos

dxax b C

ax b a

10. 2

cotsin

dxx C

x

2

1cot

sin

dxax b C

ax b a

V. Phƣơng pháp tìm nguyên hàm :

1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm :

Ví dụ : Tìm các nguyên hàm c a hàm số sau :

a. 12 2 13x x dx

x

b. 5x xe e dx c. 5 12x x dx

d. sin 7cosx x dx e. 2cos

4

dx

x

f. 12 5

3 1

xdx

x

2. Phƣơng pháp đổi biến số :

Cho hàm số u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao

cho = f[u x ] xác định trên K. Khi đó nếu F là m t nguyên hàm c a f, tức là

( ) ( )f u du F u C thì /f u x u x dx F u x C

Ví dụ : Tìm ngu ên hàm c các hàm số s u :

a. sin cosxA e xdx b. 2cos sinB x xdx

c. cos 3sin

sin 3cos

x xE dx

x x

d. 3 4 3D x x dx

3. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần :

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

/ /u x v x dx u x v x v x u x dx Hay udv uv vdu

Các dạng cơ bản : Cho P(x) là m t đ thức

Dạng 1 : ( )sin( )P x ax b dx T đặt ( )

sin( )

u P x

dv ax b dx

Dạng 2 : ( )cos( )P x ax b dx T đặt ( )

cos( )

u P x

dv ax b dx

Dạng 3 : ( ) ax bP x e dx

T đặt ( )

ax b

u P x

dv e dx

Dạng 4 : ( )lnP x ax b dx T đặt ln

( )

u ax b

dv P x dx

Dạng 5 : sinax be cx d dx hoặc cosax be cx d dx

Ta dùng tích phân từng phần hai lần với ax bu e

Trang 11

Ví dụ : Tìm các nguyên hàm :

a. sinA x xdx b. 2 ln 1B x x dx c. sinxD e xdx

I. Định nghĩa tích phân :

Giả sử f(x) là m t hàm số liên tục trên K, a và b là hai số bất kỳ thu c K. F(x) là

m t nguyên hàm c a f(x) trên K. Kí hiệu F(b) F được gọi là tích phân từ đến b

c f x và được ký hiệu là ( )

b

a

f x dx . T cũng dùng ký hiệu ( )b

aF x đ chỉ số hiệu

( ) ( )F b F a . Vậy : ( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

II. Các tính chất của tích phân :

1. ( ) 0

a

a

f x dx

2. ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

3. . ( ) ( )

b b

a a

a f x dx a f x dx a

4. ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

III. Một số phƣơng pháp tính tích phân :

1. Tính tích phân bằng định nghĩa : ( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

Ví dụ : Tính các tích phân sau :

2

0

.1

dxa I

x

4

2

4

4. 3sin

cosb I x dx

x

2

2

. cos5 cos3c I x xdx

2. Phương pháp đổi biến :

/

u bb

a u a

f u x u x dx f u du

Trong đó u = u x à hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục

sao cho hàm hợp f[u x ] xác định trên K và a, b thu c K.

Lưu ý :

Trang 12

Dạng 1 : 2 2

b

a

I k x dx T đặt sin , ;2 2

x k x t

Dạng 2 : 2 2

b

a

dxI

k x

T đặt sin , ;

2 2x k x t

Dạng 3 : 2 2

b

a

dxI

x k

T đặt tan , ;2 2

x k x t

Dạng 4 :

2 2

b

a

dxI

x k

T đặt tan , ;

2 2x k x t


a. 1 2

3 2

0

3 2

1

x xI dx

x x

b. 1

lne

xI dx

x c.

2

1

e

xI xe dx

b. 1

0

1I x x dx e. 2

3

0

cosI xdx

f.

2 3

2

04

dxI

x

3. Phương pháp tích phân từng phần :

Nếu u, v à h i hàm số có đạo hàm iên tục trên K và , b thu c K thì

/ /

b bb

aa a

u x v x dx u x v x v x u x dx Hay

b bb

a

a a

udv uv vdu


2

0

. cosa I x xdx

1

. ln

e

b I xdx

BÀI TẬP

Bài 1 : Tìm m t ngu ên hàm F x c :

1) 2 3( ) 2f x x

x và F(1) = 4

2) ( ) cos5 .cos3f x x x và 14

F

3) 3 2

2

3 3 1( )

2 1

x x xf x

x x

và

1(1)

3F

4) 2( ) sin2

xf x và

2 4F

5) 2

1( ) sin

cosf x x

x và

2

4 2F

Trang 13

Bài 2 : Tính các tích phân sau :

1) 1

0

3 cos2xI x dx

2) 1

1

2

0

1

1

xI e xdxx

3) 1

0

xI x e xdx

4) 8

0

t an2 t an2 1I x x dx

5)

2

2

1

ln

e

I x xdx

6) 2

2

0

2sin 2

1 sin

xI dx

x

7) 2

0

1 sin cos2 2

x xI dx

8) 2

1

0

sin xI x e xdx

9)

2

22

0

sin 2

2 sin

xI dx

x

10) 0

1

2 ln 1I x x dx

11) 1

0

ln 1 2I x x dx

12) 0

2

1

3 1

2 1

xI dx

x x

13) 4

0

tan

cos

xI dx

x

14) 2

2

0

sin 2

4 cos

xI dx

x

15) 2

0

sin cosI x x xdx

16) 2

3

0

1 2sin cosI x xdx

17) 1 2

30 2

xI dx

x

18) 2

0

1I x dx

19)

2

22

0 2

xI dx

x

20) 0

21

16 2

4 4

xI dx

x x

21) 6

2cos3

0

e sin3xI x xdx

22) 4

4 4

0

cos sinI x x dx

23) 1

1

0

5 3 xI x x e dx

24) 1

2

0

1I x dx

25) 6

0

1 sin3I x xdx

26) 6

0

sin cos2I x xdx

27) 32

0

sin

1 cos

xI dx

x

28) 6

0

sin6 sin 6I x x dx

Trang 14

29) 1

5

0

1 2ln 1I x x x dx

30) cos

2

0

sin sin2 2

x xI e dx

31) 24

0

tan 43

I x dx

32) 4

2

0cos

xI dx

x

33) 2

2

1

ln

e

I x x xdx

34) 0

2

12

dxI

x x

35) 2

0

3cos 1sinI x xdx

36) 3

0

cos4 sin 6I x x x dx

37) 2

2

0

sin2 sinI x xdx

38) 4

1

ln xdxI

x

39)

1

1 ln

1 ln

e xI dx

x x

40) 3

2

6

t an2 cot 2I x x dx

41) 0

2

14 3

xI dx

x x

42) 2

4 4

0

cos sinI x x xdx

43)

3

1

1 lne

xI dx

x

44) 3

1

sin4

xI dx

45) 4

2

1

sin4

I x dx

46)

4

1

ln

1 ln

ex

I dxx x

47) 32

0

2cos

1 sin

xI dx

x

48) 1

0

1x

xI dx

e

49) 1

1 lnln

ex

I x dxx x

50) 2

0

1 sin 2

cos sin

xI dx

x x

51) 32

0

2cos

1 sin

xI dx

x

52) 3

2

sin

sin cos

xI dx

x x

53)

5

4

0

sin cos

1 sin2

x xI dx

x

54)

16

0 9

dxI

x x

55) 3

2 2

4

sin .cos

dxI

x x

56) 0

1 cos2I xdx

Trang 15

57)

2

2 2 ln

e

e

dxI

x x

58) 1

2

0

x x

dxI

e e

59) 2

0

sin3

1 cos

xI dx

x

60) 1

2

01

dxI

x

61)

0

2

12 2

dxI

x x

62) 5 2

3 2

1

3 1

2 5 6

xI dx

x x x

63) 0

8

1

3

1

xdxI

x

64)

3

5 2 6

dxI

x x

65)

1

3 4 4

dxI

x x

Chủ đề 4. Số phức

1 Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :

1.1 Định nghĩa :

Số phức à m t bi u thức có dạng a bi ; trong đó ,a b và 2 1i .

1.2 Các khái niệm liên quan :

Cho số phức z a bi . Khi đó :

agọi à phần thực và b à phần ảo c số phức z .

Số phức z được bi u diễn bởi đi m ;M a b trên mặt phẳng tọ đ Ox .

2 2z OM a b gọi à modun c số phức z .

Số phức z a bi gọi à số phức liên hợp c số phức z .

1.3 Hai số phức bằng nhau :

Cho số phức z a bi và z a b i . Khi đó : a a

z zb b

.

2 Các phép toán trên tập hợp số phức :

2.1 Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

a bi c di a c b d i

a bi c di a c b d i

a bi c di ac bd ad bc i

Chú ý :

Các phép toán : c ng, trừ, nh n h i số phức thực hiện như rút gọn bi u thức

đại số thông thường với chú ý rằng 2 1i .

Các qu tắc đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.

Trang 16

Cho z a bi . Khi đó : 2 2.z z a b .

2.2 Phép chia hai số phức :

.

0.

z z zz

z z z

.

3 Phƣơng trình bậc hai :

3.1 Căn bậc hai của số thực âm :

Cho à số thực âm. Khi đó có hai căn bậc hai là : i a và i a .

3.2 Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :

2 0; , , ; 0az bz c a b c a .

Tính 2 4b ac .

Kết uận :

Nếu 0 thì phương trình có h i nghiệm thực ph n biệt 1,22

bz

a

.

Nếu 0 thì phương trình có m t nghiệm kép thực 1 22

bz z

a

.

Nếu 0 thì có h i căn bậc h i à i và i . Khi đó phương trình

có h i nghiệm phức ph n biệt à 1

2

b iz

a

và

22

b iz

a

.

Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:

a/ (2 4 )(3 2 )z i i i b/ 2 3( 1 ) (2 )z i i

c/ 2

(1 )1

z ii

d/ z = 2 – 3i+3 2

2

i

i

Ví dụ 2: Tìm các số thực x, thỏ :

a/ (3 2) (2 1) ( 1) ( 5)x y i x y i b) 4 3 (3 2) 1 ( 2 )x y i y x y i

Ví dụ 3: Giải các phương trình s u trên tập số phức.

a/ 2(3 2 ) ( ) 3i z i i b/ (3 2 ) (3 7 ) 2 (1 3 )i z i i i

c/ 2 2 13 0z z d/

4 25 6 0z z

Ví dụ 4: Tìm 2 số phức biết tổng c chúng bằng 2, tích c chúng bằng 3

Ví dụ 5: Biết 1 2,z z à 2 nghiệm c phương trình22 2 5z z =0. Tính

a/ 2 2

1 2z z b/ 2 2

1 2 1 2. .z z z z

Trang 17

Ví dụ 6:

a/ Cho số phức z = –1+ 3 i. Tính 3 21, , ( ) , 1z z z z

z

b/ Cho số phức 1 3z i . Tính 2 2( )z z

Ví dụ 7: Tìm số phức z biết:

a/ |z| = 4 5 và phần ảo c z bằng 3 ần phần thực c nó.

b/ |z| = 5 và tổng phần thực và phần ảo c z bằng 3.

Ví dụ 8: Tìm môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:

a/ 34 3 (1 )i i b/ 2

(2 )1 2

iz i

i

.

Ví dụ 9: Giải các phương trình s u trên tập số phức.

a/ 2 4 7 0z z b/ 4 26 5 0z z

c/ (3 ) (2 3 )(1 2 ) 5 4i z i i i d/ (5 7 ) (1 3 ) (2 5 )i z i i z .

e/ 2 (3 4 ) 5 1 0x i x i f/ 2 2 2 1 0z iz i

g/ 2z2 – iz + 1 = 0 h/ z

2 + (-2 + i)z – 2i = 0

Ví dụ 10: Trên mp tọ đ tìm các đi m bi u diễn cho các số phức z thỏ điều kiện

a/ phần thực c z thu c đoạn [1; 2], phần ảo c z thu c đoạn [–1; 1]

b/ |z| 1. c/ |z – 5| = 1. d/ |z – 5| = 12.

e/ |z – 3i| = 12. f/ |z+3+2i| = 13. g/ | 1| 1z

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:

a/ (3 2 )(4 3 )

5 41 2

i ii

i

b/

8 81 1

1 1

i i

i i

c/ 2(1 2 )(2 )i i d/ 2 2(2 5 ) (2 5 )i i

Bài 2: Tìm các số thực x, thỏ :

a/ (2 3) ( 2) (2 ) (4 )x y i x y i

b/ ( 2 3) (2 ) (2 ) ( 2 1)x y y x i x y y x i

Bài 3: Giải các phương trình s u trên tập số phức.

a/ (3 2 ) 4 5 7 3i z i i b/ 2 3 5 24 3

zi i

i

c/ 23 4 6 0z z d/ 4 22 8 0z z

Bài 4: Tìm 2 số phức biết tổng c chúng bằng 3, tích c chúng bằng 7.

Bài 5: Biết 1 2,z z à 2 nghiệm c phương trình22 4 5 0z z . Tính 1 2

1 2

1 1,z z

z z

Trang 18

Bài 6:

a/ Cho số phức 2 3z i . Tính 2 2 31 1

, , ,z z z zz z

b/ Cho số phức 1 24 3 , 3z i z i , Tính

1 2 1 2 1 2, . , 2z z z z z z

Bài 7: Tìm số phức z biết:

a/ |z| = 2 5 và phần ảo c z bằng 3 ần phần thực c nó.

b/ |z| = 10 và hiệu phần thực và phần ảo c z bằng 2.

e/ |z – 3i| = 12.

f/ |z+3+2i| = 13.

Bài 8: Tìm môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:

a/ z= 2(5 2 ) (2 )i i

b/ (5 2 ) (9 4 )(1 )z i i i

Bài 9: Cho số phức 1 3z i Tính 212 3z z z

z

Bài 10: Giải các phương trình s u trên tập số phức.

a/ 2 9 0z b/ 4 22 8 0z z

c/ 2 + 3i +z = –5 – i d/ 3 21 3

zi

i

Bài 11: Tính: a/ 6( 3 )i b/

20101i

i

Bài 12: Trên mp tọ đ tìm các đi m bi u diễn cho các số phức z thỏ điều kiện

a/ phần thực c z thu c khoảng –1;2 , phần ảo c z thu c khoảng 0;3

b/ | 1| 1z c/ |z| 2 .

d/ | 1 | 1z i . e/ | 1 | 1z i .

Chủ đề 5. Mũ – Logarit

I. PHƢƠNG TRÌNH MŨ:

1/ Phƣơng trình mũ cơ bản:

Phương trình x = b (a > 0, a 1)

b > 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = loga b

b 0 Phương trình vô nghiệm

2/ Phƣơng trình mũ đơn giản:

/ Phương trình có th đư về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương

pháp:

Đư về cùng m t cơ số:

Biến đổi phương trình cho về dạng: af(x)

= ag(x)

(*)

+ Nếu 0 < a 1 thì (*) f (x) g(x) .

+ Nếu có chứ x thì xét thêm trường hợp = 1

Trang 19

Đặt ẩn phụ;

Lấ og rit h i vế og rit hó .

b/ Phương trình có th giải bằng phương pháp đồ thị.

c/ Phương trình có th giải bằng cách áp dụng tính chất c hàm số mũ.

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình:

1/ 3 2

0,3 1x

2/ 1

255

x

3/

2 3 22 4x x 4/ 2 5

623 81 3

x x

5/ 7 1 2

0,5 . 0,5 2x x

6/

1 3

1 18

4

x

x

7/

5 7 13 2

2 3

x x

8/

3 1 8 29 3x x

9/ 2 45 25x x 10/

10 5

10 1516 0,125.8x x

x x


1/ 13 .2 72x x 2/ 1 1 2 52 .5 0,001.10x x x 3/ 2 8 27

.9 27 64

x x


1/ x x 22 2 20 2/ x 1 2x 14 2 48 3/ x x 1 x 2 x x 3 x 15 5 5 3 3 3

4/

3x

2

1x

x 2x 129 2 2 3

5/ 2x

3 2 2 3 2 2 6/ x 1

x 1x 15 2 5 2


1/ x 3

x 1 1

2/ 2x 1

2x x 1 1

3/ 24 x

2x 2x 2 1


1/ x x9 5.3 4 0 2/ x x 34 2 9 0 3/ 2 22x 2x 1 x x3 28.3 9 0

4/ x x 12 2 3 5 5/ x x

7 4 3 2 3 6 6/ 2 3x 3

x x8 2 12 0

7/ 2 2x 2x x x 2x x 19 7.3 2


1/ x x3 6.3 5 2/ x 1 3 x5 5 26 3/

x x5 2

3. 2 02 5

4/

x x 12 3

5. 2. 83 2

5/

x x

4 15 4 15 2 6/

x x

3 5 3 516. 8

2 2

7/ x x

7 4 3 3. 2 3 2 0 8/ x x

x 36 5 1 2 5 1 2


1/ x x x3.4 2.6 9 2/

x x x5.4 2.25 7.10 0 3/ 2x 4 x 2x 23 45.6 9.2 0

Trang 20

4/ x x x27 12 2.8 5/ 1 1 1

x x x2.4 6 9 6/ 1 1 1

x x x6.9 13.6 6.4 0


1/ 2x 4x x3 2 2/

2x 5x 6 x 35 2 3/ 1

x x3 2 4/ 2x 1

x x 15 .2 50


1/ x3 x 4 0 2/

x1

x 62

3/

xx15 1 4 4/ x x x3 4 5

5/ x x x5 12 13

II. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ:

1/ Bất phƣơng trình mũ cơ bản:

Dạng 1: ax > b (a > 0, a 1)

ax > b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b 0

b > 0 a(log b; ) a( ;log b)

Dạng 2: ax b (a > 0, a 1)

ax b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b 0

b > 0 a[log b; ) a( ;log b]

Dạng 3: ax < b (a > 0, a 1)

ax < b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b 0

b > 0 a( ;log b) a(log b; )

Dạng 4: ax b (a > 0, a 1)

ax b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b 0

b > 0 a( ;log b] a[log b; )

2/ Bất phƣơng trình mũ đơn giản:

Đ giải các bất phương trình mũ, t có th biến đổi đ đư về bất phương trình mũ

cơ bản hoặc bất phương trình đại số

Khi giải bất phương trình mũ, có th áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến c a hàm số

mũ:

Trang 21

+ f (x) g(x) f (x) g(x)a a

a 1a 1

+ f (x) g(x) f (x) g(x)a a

0 a 10 a 1

Bất phương trình xf a 0

Cách giải: Đặt ẩn phụ t = ax , đư bất phương trình về hệ

f (t) 0

t 0

Bất phương trình f (x)a b

Có th giải bằng phương pháp ấy lôgarit cả hai vế

Bài tập:

Bài 1: Giải các bất phương trình:

1/

2x 2x 21

93

2/

2x x 64 1 3/

26x x 103 27

4 64

4/

24x 15x 4

3x 412. 2

2

5/ 5 x + 2

+ 5 x + 1

3

x + 3 + 3

x + 1 6/ x 4x 2x 22.16 2 4 15 7/

1 13

x x3 3 84

8/

6x x 29 3 9/

xx 1

x 12 1 2 1


1/ x x x5.4 2.25 7.10 0 2/ x x x5.4 2.25 7.10 0 3/ 2x 3 x 25 2.5 3

4/ x x

2 43.2 7.2 10 5/ x x

x7 3 5 7 3 5 7.2 6/ 1 x x

x

2 2 10

2 1

7/

2x 1x x 15 .2 50

III. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT:

1/ Phƣơng trình lôgarit cơ bản:

Với a > 0, a 1: b

alog x b x a

2/ Phƣơng trình lôgarit đơn giản:

/ Phương trình có th đư về phương trình ôg rit cơ bản bằng cách áp dụng các phương

pháp:

Đư về cùng m t cơ số:

Với > 0, 1: a a

f (x) 0 (hay g(x) > 0)log f (x) log g(x)

f (x) g(x)

Đặt ẩn phụ;

Mũ hó h i vế.

b/ Phương trình có th giải bằng phương pháp đồ thị.

c/ Phương trình có th giải bằng cách áp dụng tính chất c hàm số ôg rit

Trang 22

Chú ý:

+ Phần ớn cách giải phương trình ôg rit à dự vài tính chất: Lôg rit c h i số dương

theo cùng m t cơ số à bằng nh u khi và chỉ khi h i số đó bằng nh u.

+ Khi m t phương trình ôg rit chứ nhiều cơ số khác nh u thì nên qu chúng về cùng m t

cơ số bằng cách sử dụng các công thức, qu tắc biến đổi.

Bài tập:


1/ 2lg x 2x 2 1 2/ 2

9

1log (x 2x 5)

2 3/

2 1lg 2x 3x 1

10

4/ x x

3log 9 4.3 6 3x 1 5/ x

5log 5 4 1 x 6/ 2

3log 8 x x 9 2

7/ 2

5 xlog (x 2x 65) 2 8/ x

15log 2

1 2x

9/ 3 2

x 1log (2x 2x 3x 1) 3


1/ 3 9log (x 1) log (19 x) 2/ 2lg(x 2x 4) lg(2 x) 3/ 2 4log (2 x) log x

4/ 2 3

2 2log (x 1) 2log (x x 1) 5/ 32 2log (1 x 1) 3log x 40 0


1/ 3 9 1

3

log x log x log 3 2/ 1 4 2

2

log x log x log x 9

3/ 3 4

1 33

3

1log x log x log 3x 0

3 4/ 2 2

5

1log (x 3) log (x 2)

log 2

5/ 5 5 5log (3x 11) log (x 27) 3 log 8 6/

4 4 4log (x 3) log (x 1) 2 log 8

7/ 9 3log (x 8) log (x 26) 2 0 8/

21lg(x 10) lg x 2 2lg2

2

9/ 4 xlog (x 2).log 2 1 10/ x x

2 2 x

1log (4 15.2 27) 2log 0

4.2 3

11/ x

3 9

1log (log x 9 ) 2x

2 12/

2

1 9

3

2x x 1log log 0

x 3


1/ 1 2

14 lg x 2 lg x

2/ lg2x – 3lgx = lgx

2 – 4 3/ lg(10x

2).lgx = 1

4/ 2 3

3 3log x 10log x 1 0 5/ 2

1 2

2

log x 3log x 4 0 6/ 2

2 2log 4x 2log x 7 0

7/ 2

9 3

15log x 2log x 0

4 8/ 2 23 log x log 8x 1 0 9/ 2 x

5log x log 2

2

Trang 23

10/ x 16 23log 16 4log x 2log x 11/

x 16 23log 16 4log x 2log x

12/ 2

5 5x

5log x log 1

x

13/ 2lg(10x) lg x lg(100x )4 6 2.3

14/ 4 2 2 4log (log x) log (log x) 2 15/ 3 3

2 2

4log x log x

3


1/ 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x 2/

3 7 3 72log x log x 2 log x.log x

3/ 5log (x 3) 3 x 4/ 2log (3 x) x 5/ 2 2log 3 log 5x x x (x 0)

IV. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT

1/ Bất phƣơng trình lôgarit cơ bản:

Dạng 1: loga x > b (a > 0, a 1)

loga x > b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm ba ; b0;a

Dạng 2: loga x b (a > 0, a 1)

loga x b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm ba ; b0;a

Dạng 3: loga x < b (a > 0, a 1)

loga x < b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm b0;a ba ;

Dạng 4: loga x b (a > 0, a 1)

loga x b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm b0;a ba ;

2/ Bất phƣơng trình lôgarit đơn giản:

Đ giải các bất phương trình ôg rit, t có th biến đổi đ đư về bất phương trình

ôg rit cơ bản hoặc bất phương trình đại số

Khi giải bất phương trình ôg rit, có th áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến c a hàm

số lôgarit:

+ a a

g(x) 0log f (x) log f (x)

a 1a 1

f (x) g(x)

+ a a

f(x) 0log f (x) log f (x)

0 a 10 a 1

f (x) g(x)

Trang 24

Bất phương trình af log x 0 , trong đó f à m t hàm số nào đó

Có th giải bằng phương pháp: Đặt ẩn phụ t = loga x , giải bất phương trình f (t) 0 , s u đó

giải bất phương trình ôg rit tương ứng.

Bài tập:


1/ 1

2

log (5x 1) 5 232 / log (x 8x) 2 3/ 1 3

2

log log x 0

4/ 2

1

2

log (x 1) 0

5/ 2log (x 4)(x 2) 6 21

3

6 / log (x x 7) 2

41 3x

7 / log 0x 1

8/ 4 4log x 7 log 1 x

9/ 20,8 0,8log x x 1 log (2x 5) 10/ 2log(x x 2) 2log(3 x)

11/ 2 2log x 5 log 3 2x 4

12/ 21 5

5

log x 6x 8 2log (x 4) 0

13/ 2 2log (x 3) 1 log (x 1)


1/ 22 2log x log x 0 2/ 2

1 1

3 3

log x 3log x 0 3/ 1 11

1 log x log x

4/ 2

2 2log x log 4x 4 0 5/ 2log x 3log x 3

1log x 1

6/ x1

3

5log x log 3

2

7/ 2x1

5

log x log 125 1 8/ 22x x

log 64 log 16 3

Chủ đề 6: XÁC SUẤT

1) Tính xác suất của biến cố A :

Bước 1 : Xác định không gi n mẫu và tính n()

Bước 2 : Xác định biến cố A , tính n A

Bước 3 : Áp dụng công thức xác suất c biến cố :

P(A) = .)(n

)A(n

2) Tính xác suất của biến cố đối A

A : P(A ) = 1 – P(A)

3) Tính xác suất biến cố giao A.B (Xác suất đ A,B cùng xã r )

* Điều kiện : A, B à 2 biến cố đ c ập nh u

Bước 1 : Tính P(A), P(B)

Bước 2 : Áp dụng công thức nh n xác suất

Trang 25

P(A.B) = P(A).P(B)

* Nếu A, B à 2 biến cố xung khắc thì P A.B = 0

Ví dụ : Lấ ngẫu nhiên 1 thẻ từ m t h p có 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20.

1 Không gi n mẫu : = { 1, 2, ..., 20} và n() = C 1

20= 20

2 Tính xác suất đ thẻ được ấ :

*Ghi số chẳn :

Gọi biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số chẳn »

A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 } n(A) = 10

P(A) = .)(n

)A(n

=

20

10= 0,5

*Ghi số ẻ :

Gọi biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số chẳn »

Nên biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số ẻ »

P(A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5

b Ghi số chi hết cho 3 :

Gọi biến cố B : « Lấ được thẻ ghi số chi hết cho 3 »

B = {3,6,9,12,15,18 } n(B) = 6

P(B) = .)(n

)B(n

=

20

6=

10

3

c Ghi số chẳn và chi hết cho 3

Gọi C : « Lấ được thẻ ghi số chẳn và chi hết cho 3»

C = {6, 12, 18 } n(C) = 3

P(C) = .)(n

)C(n

=

20

3

Cách 2 : A, B đ c ập nh u và C = A B.

Áp dụng xác suất biến cố gi o qui tắc nh n xác suất

P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) = 10

3.

2

1=

20

3

BÀI TẬP

Bài 1 : M t h p chứ 10 thẻ đánh số từ 1 đến 10, trong đó thẻ từ số 1 đến số 5 có màu đỏ,

thẻ số 6 có màu x nh, thẻ số 7 đến số 10 có màu trắng. Lấ ngẫu nhiên m t thẻ và tính

xác suất đ có :

1) A : Lấ được thẻ màu đỏ

2) B : Lấ được thẻ màu trắng

3) C : Lấ được thẻ ghi số chẳn

Bài 2 : M t h p chứ 3 bi trắng đánh số từ 1 đến 3 và 2 bi đỏ đánh số 4, 5 Lấ ngẫu nhiên

đồng thời 2 bi, tính xác suất đ có :

1) A : H i bi cùng màu trắng 2) B : H i bi cùng màu đỏ

3) C : Hai bi cùng màu 4) D : Hai bi khác màu

Bài 3 : M t h p chứ 5 bi trắng, 3 bi đen, 2 bi đỏ. Lấ ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tính

xác suất đ

Trang 26

1) A : H i bi ấ r đều trắng

2) B : H i bi ấ r có màu sắc khác nh u

Bài 4 : Trong 1 ớp có 15 học sinh n m và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫn nhiên 4 học

sinh ên bảng giải bài tập. Tính xác suất đ 4 học sinh được gọi có cả n m và nữ . đs :

443/506)

Bài 5 : Gọi S à tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số ph n biệt được chọn từ các chử số

1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7. Xác định sớ phần tử c S . Chọn ngẫu nhiên môt số từ S, tính xác suất

đ chọn được á số ẻ. đs : 210 ; 4/7)

Bài 6 : Đ ki m tr chất ượng sản phẩm từ 1 công t sữ , người t đã gửi đến b phận

ki m nghiệm 5 h p sữ c m, 4 h p sữ d u và 3 h p sữ nho. B phận ki m nghiệm chọn

ngẫu nhiên 3 h p sữ đ ph n tích đ ph n tích mẫu. Tính xác suất đ 3 hôp sữ được chọn

có cả 3 oại. đs : 220 ; 3/11)

Bài 7 : Từ 1 h p chứ 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ, Tính xác

suất đ 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. đs : 1/26)

Bài 8 : Có 2 chiếc h p chứ bi. H p thứ nhất chứ 4 bi đỏ và 3 bi trắng, h p thứ h i chứ 2

bi đỏ và 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi h p r 1 viên bi, tính xác suất đ 2 viên bi

được ấ r có cùng màu. đs : 10/21)

Bài 9 : H i thí sinh A và B th m gi 1 buổi thi vấ đáp. Cán b hỏi thi đư cho mỗi thí sinh

1 b c u hỏi gồm 10 c u hỏi khác nh u, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình

thức giống hệt nh u, mỗi phong bì đựng 1 c u hỏi ; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó đ

xác định c u hỏi thi c mình. Tính xác suất đ 3 c u hỏi A chọn và 3 c u hỏi B chọn à

giống nh u. đs: 1/120)

Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian

Vấn đề 1:

Hệ tọa độ trong không gian:

a) ( ; ; )u x y z u xi yj zk

2 2 2

1i j k . . . 0i j j k k i

i = (1; 0; 0), (0;1;0)j , (0;0;1)k

( ; ; )M x y z OM xi yj zk

b) Cho 1 2 3, ,a a a a , 1 2 3, ,b b b b

1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b

1 2 3k.a , ,ka ka ka

1 1

2 2

3 3

a

a b

b a b

a b

1 2 3

1 2 3

a / / .a a a

b a k bb b b

c) Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z

Trang 27

2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z

+ Tọ đ M à trung đi m đoạn thẳng AB: ( ; ; )2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM

+ G à trọng t m t m giác ABC: ( ; ; )3 3 3

A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG

d) 1 1 2 2 3 3a. . . .b a b a b a b

2 2 2

1 2 3a a a a 1 1 2 2 3 3a . 0 . . . 0b a b a b a b a b

.

cos(a; ).

a bb

a b

e) 2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a; , ,a a a a a a

bb b b b b b

Ứng dụng:

1

[ ; ]2

ABCS AB AC / / / /

/

.[ ; ].

ABCD A B C DV AB AD AA

1[ ; ].

6ABCDV AB AC AD

A A

A

C

B

[ ; ]. 0 , ,a b c a b c đồng phẳng.

[ ; ] 0 ,a b a b cùng phương.

Ví dụ 1: Trong không gi n Ox z, cho b đi m: A 1; –2; 4); B(–3; 2; 0); C(3; –1; 0).

1/ Tìm tọ đ các véc tơ: ; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB .

2/ Tìm tọ đ 2.m AB ; 2.n AB AC ; 2. 3. 4.e AC BC AB .

3/ Chứng minh A, B, C à b đỉnh c m t t m giác. Tính chu vi c t m giác ABC.

4/ Tính các góc c t m giác ABC.

5/ Tìm tọ đ trung đi m I c AB. Tính đ dài đường trung tu ến CI c ABC.

6/ Gọi G à trọng t m c t m giác ABC. Chứng minh 1

.3

GI CI

7/ Tìm tọ đ đi m D đ ABCD à hình bình hành.

8/ Tìm đi m E thu c 0x đ t m giác ACE vuông tại C.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho: A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).

1/ Chứng minh A,B,C,D à bốn đỉnh c m t tứ diện.

2/ Tính diện tích t m giác ABC và đ dài đường c o hạ từ A c t m giác ABC.

3/ Tính th tích tứ diện ABCD và đ dài đường c o hạ từ A c tứ diện ABCD. 4/ Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện c tứ diện ABCD.

Trang 28

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho b đi m: A(3; –4; 2); B(–1; 0; 6); C(5; –3; 2).

1/ Tìm tọ đ các véc tơ: ; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB .

2/ Tìm tọ đ 2.m AB ; 2.n AB AC ; 2. 3. 4.e AC BC AB .

3/ Chứng minh A, B, C à b đỉnh c m t t m giác. Tính chu vi c t m giác ABC.

4/ Tính các góc c t m giác ABC.

5/ Tìm tọ đ trung đi m I c AB. Tính đ dài đường trung tu ến CI c ABC.

6/ Gọi G à trọng t m c t m giác ABC. Chứng minh 1

.3

GI CI

7/ Tìm tọ đ đi m D đ ABCD à hình bình hành.

8/ Tìm đi m E thu c 0x đ t m giác ACE vuông tại C.

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho: A(1; 1; –1), B(3; –4; 0), C(–3; 2; –2), D(6; 2; 0).

1/ Chứng minh A,B,C,D à bốn đỉnh c m t tứ diện.

2/ Tính diện tích t m giác ABC và đ dài đường c o hạ từ A c t m giác ABC.

3/ Tính th tích tứ diện ABCD và đ dài đường c o hạ từ A c tứ diện ABCD. 4/ Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện c tứ diện ABCD

Vấn đề 2:

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

Dạng tổng quát;

Mp (P) qua ; ;O O OA x y z , có vtpt (vectơ pháp tuyến) ; ; 0n A B C

Phương trình tổng quát : 0o o oA x x B y y C z z

Chú ý:

Mp qua ; ;O O OA x y z , có cặp vtcp 1 2 3; ; 0a a a a ,

1 2 3b ; ; 0b b b , a và b không cùng phương

,vtpt n a b

đư về phương trình tổng quát

Mặt phẳng () có dạng tổng quát: 0Ax By Cz D 2 2 2 0A B C

Trong đó vtpt ; ;n A B C

Lấ 0;0;__M Cho 2 vị trí bằng 0

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6)

1/ Viết phương trình mp đi qu A và nhận vectơ (1; 1; 5)n àm vectơ pháp tu ến

2/ Viết phương trình mp đi qu A biết rằng h i véctơ có giá song song hoặc nằm trong

mp đó à (1; 2; 1), (2; 1; 3)a b

3/ Viết phương trình mp qu C và vuông góc với đường thẳng AB

4/ Viết phương trình mp trung trực c đoạn AC

5/ Viết phương trình mp ABC

Trang 29

6/ Viết phương trình mp qu A và chứ Ox

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2)

1/ Viết phương trình mp đi qu I 2;1;1 và song song với mp ABC

2/ Viết phương trình mp qu A và song song với mp : 2 3 2 0P x y z

3/ Viết phương trình mặt phẳng đi qu h i đi m A, B và vuông góc với mặt phẳng

: 2 2 2 0Q x y z

4/ Viết phương trình mặt phẳng đi qu A, song song với trục O và vuông góc với mặt

phẳng :3 3 1 0R x y z

5/ Viết phương trình mp qu B và vuông góc với 2 mp 1( ) : x – y + 1 = 0

2( ) : 2x – y + z = 0

6/ Viết phương trình mp qu C song song với mp O z

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng:

1) Lập phương trình mp trung trực P c đoạn AB, biết A 2; 1; 4 , B –1; –3; 5)

2) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M 2; 3; 2 và song song với giá c mỗi

vectơ u (3;2;1),v ( 3;0;1)

3) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu b đi m A 1; 6; 2 , B 4; 0; 6 , C 5; 1; 3)

4) Lập ptrình mp P đi qu M –1; 3; –2 và song song với mp Q : x + 2 + z + 4 = 0

5) Lập phương trình mp P đi qu I 2; 6; –3 và song song với mặt phẳng xO

6) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M 1; 1; 1 và song song với trục Ox,O

7) Lập ptrình mp P đi qu h i đi m M 1; –1; 1 , N 2; 1; 1 và song song với trục O

8) Lập phương trình mp P qu h i đi m M 2; –1; 1), N(–2; 3; –1 và vuông góc với

mp(Q): x – 3y + 2z – 4 = 0

9) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu A –1; 2; 3 và vuông góc với h i mặt phẳng

(K): x – 2 = 0; (Q): y – z – 1 = 0.

10) Lập phương trình mp P đi qu gốc tọ đ và vuông góc với h i mặt phẳng

(P1): x – y + z – 7 = 0 và (P2): 3x + 2y – 12z + 5 = 0.

11) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M1, M2, M3 ần ượt à hình chiếu c

M(2; –4; 3 trên các trục tọ đ

12) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M1,M2,M3 ần ượt à hình chiếu c

M(4; –1; 2 trên các mặt phẳng tọ đ .

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có A 5; 1; 3 , B 1; 6; 2 , C 5; 0; 4 , D 4; 0; 6

1) Viết phương trình mặt phẳng BCD)

2) Viết phương trình mặt P1 đi qu A và vuông góc với BC

Trang 30

3) Viết phương trình mặt P2 đi qu A, B và song song với CD

4) Viết phương trình mặt P3 đi qu A và chứ trục Ox

5) Viết phương trình mặt P4 đi qu B và song song với ACD

Bài 3: Trong không gian Ox z, cho bốn đi m A 3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1),

D( –1; 1; 2)

a) Viết phương trình mặt phẳng ABC .

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực c đoạn AC.

c) Viết phương trình mặt phẳng P chứ AB và song song với CD.

d) Viết phương trình mặt phẳng Q chứ CD và vuông góc với mp ABC .

Bài 4: Trong không gi n Ox z, cho h i mặt phẳng P : x + – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0

a) Chứng tỏ h i mặt phẳng đó cắt nh u

b) Lập phương trình mặt phẳng α qu gi o tu ến c h i mặt phẳng P và Q và

đi qu A –1; 2; 3).

c) Lập phương trình mặt phẳng qu gi o tu ến c h i mặt phẳng P và Q và

song song với Oz.

d) Lập phương trình mặt phẳng đi qu gốc tọ đ O và vuông góc với h i mặt

phẳng P và Q .

Vấn đề 3:

(D) : 0 0 0 0

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

qua M x y z

vtcp a a a a

pt th m số c D :

0 1

0 2

0 3

( )

x x a t

y y a t t R

z z a t

hay pt chính tắc c D : 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

nếu 1 2 3. . 0a a a )

DẠNG TOÁN PHƢƠNG PHÁP BÀI TẬP

1. (D) qua A, B. (D) qua A và B (D) qua

A, có vtcp là AB

Laäp pt cuûa AB: A(1; 0;–3), B(3, –1; 0).

2. (D) qua M0 và

.

(D) qua M0 và (D)

có vtcp a

= n

...

Laäp pt cuûa (D) qua M(–2; 1; 0) vaø vuoâng

goùc vôùi mp : x + 2y – 2z = 0

3. (D) qua M0 và // 2

mp ,

có pháp vt n

;

có pháp vt n

(D) // , nên có vtcp là

a

= [ n

, n

] ...

Laäp pt cuûa (D) qua M(1; 2; –1) và // 2 mp

(): x+ y– z+ 3 = 0,

(): 2x– y+ 5z– 4 = 0

4. (D) qua M0 và 2

đường thẳng d1, d2

d1 có vtcp a

,

d2 có vtcp b

(D) d1, d2 nên có vtcp

u

= [ a

, b

] ...

Cho (d1): 1 2

1 1 2

x y z

,

(d2): 1 2

0

x t

y t

z

Trang 31

Laäp pt (D) qua M (2; –1; 1) vaø (d1) & (d2).

5. (D) qua M0 và //

D’ .

D’ có vtcp a

A // D’ nên D có vtcp a

...

Laäp pt cuûa ñ/thaúng D ñi qua M(–2; 6;–3)

vaø// ñ/thaúng (D’):

x 1 5t

y 2 2t

z 1 t

6. D qu A cắt D1)

và (D2)

M (D1) M(x0 + a1t;

y0 + a2t; z0 + a3t)

Tính AM

(theo t)

(D2) có vtcp b

AM

. b

= 0 t

AM

(D) qua A và có vtcp

AM

...

Cho đi m M 0;1;1 , đ/thẳng d1) là giao

tu ến c 2 mp P : x+ 1 = 0 và

(Q): x+ y– z+ 2= 0, (d2):1 2

3 2 1

x y z .

Viết pt đ/thẳng d qu M (d2 và cắt d1).

7. D qu A cắt và

()

M () M(x0 + a1t;

y0 + a2t; z0 + a3t)

Tính AM

AM

. a

= 0 t

AM

(D) qua A và có vtcp

AM

...

Laäp pt ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A(3; 2; 1),

vaø caét ñöôøng thaúng x y z 1

2 4 3

.

8. D qu M cắt d1)

và (d2)

(d1) qua A, có vtcp a

,

(d2) qua B, có vtcp b

tính n

1= [ a

, AM

],

n

2= [ b

, BM

]

tính u

= [ n

1, n

2]

(D) là đthẳng qu M, có

vtcp u

(D) ...

Laäp pt ñ/thaúng (D) ñi qua M(–4;–5; 3) vaø

caét caû hai ñöôøng thaúng

d1 :x 1 y 3 z 2

3 2 1

;

d2 : x 2 y 1 z 1

2 3 5

.

9. (D) mp ( , cắt (d1) và (d2)

M (d1) M(x1 + a1t;

y1 + a2t; z1 + a3t)

N (d2) N(x2 + b1s;

y2 + b2s; z2 + b3s)

Viết pt đ/thẳng d mp (P):x + y + z –1 = 0

đồng thời cắt cả h i đường thẳng

Trang 32

Tính MN

(theo t, s)

(D) () AM

, n

cùng phương

... ... ...

... ... ... t, s

MN

D à đthẳng qu M, có

vtcp MN

(D) ...

1

1 1:

2 1 1

x y zd

và (d2) :

1

1

x t

y

z t

10. D à hình chiếu

c a lên (P) ( // P)

Lấ M , tìm hình

chiếu H c M ên P

D à đthẳng qu H và //

Cho : x 1 y z

1 2 1

,

(P): x+ 2y– 2z –1= 0.

Cmr // P . Lập pt hình chiếu c lên (P)

11. D à hình chiếu

c lên (P) ( cắt

P)

Tìm gi p đi m I c và

(P)

Lấ M , tìm hình

chiếu H c M ên P

D à đthẳng qu I, có

vtcp IH

Cho : x 2 y 2 z 1

3 4 1

;

(P): x + 2y + 3z + 4 = 0

Tìm pt hình chieáu cuûa ñ.thaúng treân mp (P)

12. (D) qua A, mp

, đthẳng

(Chú ý A (P))

có pháp vt n

, có

vtcp a

(D) có vtcp u

= [ n

,

a

] (D) ...

Cho mp(P): 3x – 8y + 7z + 1 = 0, A(0; 0;–

3), B(2; 0; –1 . Lập pt chính tắc đ/thẳng d

mp(P) và d AB tại gi o đi m c đường

thẳng AB với P).

13. D à đường

vuông góc chung c a

h i đường chéo nhau

d1, d2.

M (d1) M(x1 + a1t;

y1 + a2t; z1 + a3t)

N (d2) N(x2 + b1s;

y2 + b2s; z2 + b3s)

Tính MN

(theo t, s)

MN

. a

= 0 ... pt (1)

theo t, s

MN

. b

= 0 ... pt (2)

theo t, s

Giải 1 và 2 t, s

D à đthẳng qu M, N

Cho 2 đường thẳng ) và () :

3 2 2 '

( ) : 1 2 ; ( ) : 2 '

4 2 4 '

x t x t

y t y t

z z t

Viết pt đường vuông góc chung c ) và

().

14. (D) P , cắt d1

và d2

Tìm A = d1 (P),

B = d2 (P) Cho mp (P): 4x – 3y + 11z = 0 và h i đ/thẳng

Trang 33

D à đ/thẳng qu A, B d1:

1

x

=

3

2

y =

1

3

z , d2 :

4

1

x =

1

y=

3

2

z .

Cmr d1 và d2 chéo nh u. Viết pt đ/thẳng

P , đồng thời cắt cả d1 và d2.

15. D à gi o tu ến

c 2 mp P và Q

Cho x1 = ...,thay vào pt

(P), (Q) y1, z1 M

Cho x2 = ...,thay vào pt

(P), (Q) y2, z2 N

(D) à đường thẳng qu

M, N

D à gi o tu ến c 2

mp(P): 2x–2y–z+1= 0,

(Q): x + 2y – 2z – 4 = 0

16. (D) qua A, // (P)

và cắt

M () : M(x0 + a1t;

y0 + a2t; z0 + a3t)

Tính AM

= (theo t)

(D) // (P) AM

, n

P =

0 t AM

(D) qua A, có vtcp AM

(D) ...

Cho 1 2 2

: 3 2 2

x y z

và mp (P): x + 3y + 2z + 2 = 0.

Lập pt đ/thẳng // mp P , đi qu A(2; 2; 4) và

cắt đường thẳng ).

Vấn đề 4:

(D) :

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

A A Aqua A x y z

vtcp a a a a

, () :

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

B B Bqua B x y z

vtcp b b b b

31 2

1 2 3

aa a

b b b

a

và b

cùng

phương

3 31 2 2 1

1 2 2 3 1 3

a aa a a ahay hay

b b b b b b

a

và b

khác phương

a

và AB

cùng

phương

a

và AB

khác

phương

[ a

, b

]. AB

= 0 [ a

, b

]. AB

0

trùng nhau song song cắt nhau chéo nhau

Chú ý: Khi D và cắt nh u, đ tìm gi o đi m c 2 đường thẳng:

Cách 1: Giải hệ 2 trong 3 phương trình

1 1

2 2

3 3

A B

A B

A B

x a t x b s

y a t y b s

z a t z b s

s, t. Thay t vào pt D hoặc s

vào pt () tọ đ gi o đi m

Cách 2: Th pt th m số c D hoặc vào pt chính tắc c hoặc D t hoặc s giao

đi m

Vấn đề 5:

Trang 34

() : 0 0 0 0

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

qua M x y z

vtcp a a a a

, (P) : Ax + By + Cz + D = 0

Thay pt ( vào pt P , t được pt theo t

pt có nghiệm du nhất t = t0 cắt P tại I. Th t0 vào pt tọ đ gi o đi m I

pt có vô số nghiệm dạng 0t = 0 (P)

pt vô nghiệm dạng 0t = 1 số khác 0 // (P)

Vấn đề 6:

Cho 2 mp (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và mp Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

A1A2+ B1B2+ C1C2 = 0 P Q 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

(P) // (Q)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

A B A C B Chay hay

A B A C B C

(P), (Q) nhau

Vấn đề 7

(S):tâm I(a; b; c) và bán kính R pt (S):

(x – a)2 + (y – b)

2 + (z – c)

2 = R

2 (1)

x2 + y

2 + z

2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

đk : a2 + b

2 + c

2 – d > 0

2 à pt c mặt cầu t m I ; b ; c),

bán kính R = 2 2 2a b c d


1. (S) có tâm I. qua M R = IM =

2 2 2M M M(x a) (y b) (z c)

Lập pt mặt cầu t m I 3; –2; 1), qua

M(2;–1; 3)

2. S có đường kính

AB

t m I à trung đi m AB

R = AB

2 = IA = IB

Lập pt mặt cầu đường kính AB,

A(1;– 2; 4) và B(3; – 4; – 2)

3. S có t m I và tiếp

xúc mp (P) R = d(I, (P))

Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4) và

tiếp xúc mp ):

x – 2y + 2z – 7 = 0

4. S có t m I và tiếp

xúc dường thẳng D R = d(I, (D))

1. Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4)

và tiếp xúc trục Ox

2. Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4)

và tiếp xúc trục D :

x y 7 z

1 4 3

5. S ngoại tiếp ABCD Dùng dạng pt 2 , th tọ đ A,

B, C, D hệ pt bậc nhất 4 ẩn ...

1. Lập pt mặt cầu qua A(0; 1; 0),

B(2; 3; 1), C(– 2; 2; 2),

D(1; – 1; 2)

2. Lập pt mặt cầu qua A(2; 0; 1),

B(1; 0; 0),

C(1; 1; 1) và có tâm I (P):

x + y + z – 2 = 0.

Trang 35

Vấn đề 8:


1. Chúng minh S tiếp xúc

P . Tìm tiếp đi m

Tìm tâm I và bán kính R

c S

Tính d(I, (P)) = ... = R

Tiếp đi m à hình chiếu T

c I ên P

Cmr mp (P): 2x+ 3y+ z– 11 = 0 tiếp

xúc mặt cầu S :

x2+ y

2+ z

2– 2x+ 4y– 2z+ 8 = 0. Tìm

tọ đ tiếp đi m c P và S .

2. Chứng minh S cắt P .

Tìm t m và bán kính đường

tròn (S) (P)

Tìm tâm I và bán kính R

c S

Tính d = d(I, (P)) = ... < R

(S) P à đường tròn có :

bán kính r = 2 2R d

t m à hình chiếu H

c I ên P

Cmr mp (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0

cắt mặt cầu S :

x2 + y

2 + z

2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0

theo giao tu ến à m t đường tròn

C . Tìm tọ đ t m và tính bán kính

c C .

3. Lập pt tiếp diện

Dạng pt mp (P) :

Ax + By + Cz + m = 0 (m ?)

ĐKTX : d(I, (P)) = R m

(P)

1. Lập pt mp P () :

x 3 y 1 z 2

2 1 2

và txúc (S):

x2 + y

2 + z

2 + 2x – 4y – 6z + 5= 0.

2. Viết pt mp P // mp Q :

x + 2y + z – 1 = 0 và tiếp xúc với

mặt cầu S :

x2 + y

2 + z

2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0

Bài 1 : (ĐH A2002)

Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho h i đường thẳng:

1 : 2 0

2 2 4 0

x y z

x y z

và 2 :

1

2

1 2

x t

y t

z t

1. Viết phương trình mặt phẳng P chứ đường thẳng 1 và song song với đường

thằng 2

2. Cho đi m M 2 ; 1,4 . Tìm tọ đ đi m H thu c đường thẳng 2 s o cho đoạn

thẳng MH có ñoä daøi nhoû nhaát. ĐS : 1. ( ) : 2 0P x z 2. (2;3;3)H

Bài 2 : (ĐH D2002)

Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho mặt phẳng P :

2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm : (2 1) (1 ) 1 0

(2 1) 4 2 0

m x m y m

mx m z m

( m à th m số . Xác

định m đ đường thẳng dm song song với mặt phẳng P . ĐS : 1

2m

Bài 3 : (ĐH A2003)

Trang 36

Trong không gian với hệ trục tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho hình h p chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc c a hệ tọ đ , B ; 0; 0 , D 0; ; 0 , A’ 0; 0; b

(a>0, b>0). Gọi M à trung đi m cạnh CC’.

1. Tính th tích khối tứ diện BDA’M theo và b.

2. Xác định tỷ số a

b đ h i mặt phẳng A’BD và MBD vuông góc với nh u.

ĐS : 1. 2

4

a bV 2. 1

a

b

Bài 4 : (ĐH B2003) Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho h i đi m A(2; 0; 0), B(0;0;8)

và đi m C sao cho AC =(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung đi m I c BC đến đường

thẳng OA. ĐS : ( , ) 5d I OA

Bài 5 : (ĐH D2003) Trong không gian với tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho đường thẳng dk:

3 2 0

1 0

x ky z

kx y z

. Tìm k đ đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P):

x – y – 2z + 5 = 0. ĐS : 1k

Bài 6 : (ĐH A2004)

Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD à hình thoi,

AC cắt BD tại gốc tọ đ O. Biết (2;0;0), (0;1;0), (0;0;2 2).A B S Gọi M à trung đi m c a

cạnh SC.

1. Tính góc và khoảng cách giữ h i đường thẳng SA, BM.

2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại đi m N. Tính th tích khối chóp

S.ABMN.

ĐS : 1. 030 2. 2 6

( , )3

d SA BM

Bài 7 : (ĐH B2004)

Trong không gian với tọ đ Ox z cho đi m A (-4; -2; 4 và đường thẳng d:

3 2

1

1 4

x t

y t

z t

.

Viết phương trình đi qu đi m A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

ĐS : 4 2 4

:3 2 1

x y z

Bài 8 : (ĐH D2004)

Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình ăng trụ đứng 1 1 1.ABC A BC . Biết A(a; 0; 0),

B(-a; 0; 0),

C(0; 1; 0), 1B (-a; 0; b), a > 0, b > 0.

1. Tính khoảng cách giữ h i đường thẳng 1B C và 1AC theo a, b.

2. Cho , b th đổi, nhưng uôn thỏ mãn + b =4. Tìm , b đ khoảng cách giữa hai

đường thẳng 1B C và 1AC là lớn nhất.

Trang 37

ĐS : 1. 1 1 2 2( , )

abd B C AC

a b

2.

1 1ax ( , ) 2 2M d BC AC a b

Bài 9 : (ĐH D2004) Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho b đi m A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt

phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qu b đi m A, B, C và có tâm

thu c mặt phẳng (P). ĐS : 2 2 2( 1) ( 1) 1x y z

Bài 10 : (ĐH A2005)

Trong không gian với tọ đ Ox z cho đường thẳng d: 1 3 3

1 2 1

x y z

và mặt phẳng

(P): 2 2 9 0x y z .

1. Tìm tọ đ đi m I thu c d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

2. Tìm tọ đ gi o đi m A c đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình

tham số c đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qu A và vuông

góc với d.

ĐS : 1. ( 3;5;7); (3; 7;1)I I 2. (0; 1;4); : 1

1

x t

A y

z t

Bài 11 : (ĐH B2005) Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình ăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0),

B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).

1. Tìm tọ đ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với

mặt phẳng (BCC1 B1).

2. M à trung đi m c a A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P đi qu h i đi m A, M

và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại đi m N. Tính đ dài

đoạn MN.

ĐS : 1. 2 2 2 576

( 3)24

x y z 2. 17

( ) : 4 2 12 0;2

P x y z MN

Bài 12 : (ĐH D2005) Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho h i đường thẳng

d1: 1 2 1

3 1 2

x y z

; d2:

2 0

3 12 0

x y z

x y

1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)

chứa cả h i đường thẳng d1 và d2 .

2. Mặt phẳng tọ đ Oxz cắt h i đường thẳng d1, d2 lần ượt tại các đi m A, B. Tính

diện tích tam giác AOB (O là gốc tọ đ ).

ĐS : 1. ( ) :15 11 17 10 0P x y z 2. 5AOBS

Bài 13 : (ĐH A2006) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho hình ập phương ABCD.A’B’C’D’ với A 0; 0; 0 ,

B(1; 0; 0),

D 0;1;0 , A’ 0; 0; 1 . Gọi M và N ần ượt à trung đi m c AB và CD.

1. Tính khoảng cách giữ h i đường thẳng A’C và MN.

Trang 38

2. Viết phương trình mặt phẳng chứ A’C và tạo với mặt phẳng Oxy m t góc biết

1os

6c .

ĐS : 1. ' 1( , )

2 2d AC MN 2. ( ) : 2 1 0;( ) : 2 1 0P x y z P x y z

Bài 14 : (ĐH B2006) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 0;1;2 và h i đường thẳng :

d1 : 1 1

2 1 1

x y z

, d2 :

1

1 2

2

x t

y t

z t

1. Viết phương trình mặt phẳng P qu A, đồng thời song song với d1 và d2 .

2. Tìm tọ đ các đi m M thu c d1, N thu c d2 s o cho b đi m A, M, N thẳng hàng.

ĐS : 1. 3 5 13 0x y z 2. (0;1; 1); (0;1;1)M N

Bài 15 : (ĐH D2006) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 1;2;3 và h i đường thẳng:

d1: 2 2 3

2 1 1

x y z

d2:

1 1 1

1 2 1

x y z

1. Tìm tọ đ đi m A’ đối xứng với đi m A qu đường thẳng d1.

2. Viết phương trình đường thẳng đi qu A, vuông góc với d1 và cắt d2.

ĐS : 1. '( 1; 4;1)A 2.

1 2 3:

1 3 5

x y z

Bài 16 : (ĐH A2007) Trong không gi n với hệ toạ đ O xz, cho h i đường thẳng

d1: 1 2

2 1 1

x y z

và d2:

1 2

1

3

x t

y t

z

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và

cắt h i đường thẳng d1, d2.

ĐS : 1. d1 và d2 chéo nhau. 2. 2 1

:7 1 4

x y z

Bài 17 : (ĐH B2007) Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt cầu S : x

2 + y

2 + z

2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0

và mặt phẳng P : 2x – y + 2z – 14 = 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo m t đường tròn có bán

kính bằng 3.

2. Tìm toạ đ đi m M thu c mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

lớn nhất.

ĐS : 1. ( ) : 2 0Q y z . 2. ( 1; 1; 3)M

Bài 18 : (ĐH D2007) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho h i đi m A 1;4;2 , B -1;2;4 và đường thẳng

Trang 39

: 1 2

1 1 2

x y z

.

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qu trọng tâm G c a tam giác OAB và vuông

góc với mặt phẳng (OAB).

2. Tìm tọ đ đi m M thu c đường thẳng sao cho MA2 + MB

2 nhỏ nhất .

ĐS : 1. 2 2

:2 1 1

x y zd

. 2. ( 1;0;4)M

Bài 19 : (ĐH A2008)

Trong không gi n tọ đ Ox z, cho đi m A 2;5;3 và đường thẳng 1 2

:2 1 2

x y zd

1. Tìm tọ đ hình chiếu vuông góc c đi m A trên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt phẳng α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến α ớn nhất.

ĐS : 1. (3;1;4)H . 2. ( ) : 4 3 0x y z

Bài 20 : (ĐH B2008)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho b đi m A(0;1;2),B(2;−2;1),C(−2;0;1). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qu b đi m A,B,C.

2. Tìm tọ đ c đi m M thu c mặt phẳng 2x + 2y+ z −3 = 0 sao cho

MA = MB = MC.

ĐS : 1. 2 4 6 0x y z . 2. (2;3; 7)M

Bài 21 : (ĐH D2008) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho bốn đi m A 3;3;0 ,B 3;0;3 ,C 0;3;3 ,D 3;3;3 .

1. Viết phương trình mặt cầu đi qu bốn đi m A, B, C, D.

2. Tìm tọ đ t m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

ĐS : 1. 2 2 2 3 3 3 0x y z x y z . 2. (2;2;2)H

Bài 22 : (ĐH A2009−CB)

Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2 2 4 0x y z và mặt cầu

(S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z . Chứng minh rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S

theo m t đường tròn. Xác định toạ đ t m và bán kính c đường tròn đó.

ĐS : (3;0;2)H

Bài 23 : (ĐH A2009−NC)

Trong không gian với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2 2 1 0x y z và h i đường

thẳng 1: 1 9

1 1 6

x y z , 2:

1 3 1

2 1 2

x y z

. Xác định toạ đ đi m M thu c đường

thẳng 1 s o cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng

P bằng nh u. ĐS : 18 53 3

( ; ; )35 35 35

M

Bài 24 : (ĐH B2009−CB)

Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 ,

B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qu A, B s o cho

khoảng cách từ C đến P bằng khoảng cách từ D đến P .

ĐS : ( ) : 4 2 7 15 0;( ) : 2 3 5 0P x y z P x z .

Bài 25 : (ĐH B2009−NC)

Trang 40

Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : x – 2y + 2z – 5 = 0 và h i đi m

A(-3;0;1), B(1;-1;3 . Trong các đường thẳng đi qu A và song song với P , hã viết phương

trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó à nhỏ nhất.

ĐS : 3 1

:26 11 2

x y z

Bài 26 : (ĐH D2009−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A 2; 1; 0 , B 1;2;2 , C 1;1;0 và mặt

phẳng P : x + + z – 20 = 0. Xác định tọ đ đi m D thu c đường thẳng AB s o cho

đường thẳng CD song song với mặt phẳng P . ĐS : 5 1

( ; ; 1)2 2

D

Bài 27 : (ĐH D2009−NC)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng : 2 2

1 1 1

x y z

và mặt

phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong P s o cho d

cắt và vuông góc với đường thẳng .

ĐS :

3

: 1 2

1

x t

d y t

z t

Bài 28 : (ĐH A2010−CB)

Trong không gi n tọ đ Oxyz, cho đường thẳng 1 2

:2 1 1

x y z

và mặt phẳng P :

x 2 + z = 0. Gọi C à gi o đi m c với P , M à đi m thu c . Tính khoảng cách từ

M đến P , biết MC = 6 . ĐS : 1

( ,( ))6

d M P

Bài 29 : (ĐH A2010−NC)

Trong không gi n tọ đ Oxyz, cho đi m A(0; 0; 2 và đường thẳng

2 2 3:

2 3 2

x y z . Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu t m A,

cắt tại h i đi m B và C sao cho BC = 8. ĐS : 2 2 2( ) : ( 2) 25S x y z

Bài 30 : (ĐH B2010−CB) Trong không gi n tọ đ Ox z, cho các đi m A 1; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c , trong đó

b, c dương và mặt phẳng P : – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng ABC vuông

góc với mặt phẳng P và khoảng cách từ đi m O đến mặt phẳng ABC bằng 1

3.

ĐS : 1

2b c

Bài 31 : (ĐH B2010−NC)

Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng : 1

2 1 2

x y z . Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm

M treân truïc hoaønh sao cho khoaûng caùch töø M ñeán baèng OM. ĐS : ( 1;0;0); (2;0;0)M M

Bài 32 : (ĐH D2010−CB)

Trang 41

Trong không gi n toạ đ Ox z, cho h i mặt phẳng P : x + + z 3 = 0 và (Q): x y + z

1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc với P và Q s o cho khoảng cách

từ O đến R bằng 2. ĐS : ( ) : 2 2 0;( ) : 2 2 0R x z R x z

Bài 33 : (ĐH D2010−NC)

Trong không gi n toạ đ Ox z, cho h i đường thẳng 1:

3x t

y t

z t

và 2:

2 1

2 1 2

x y z . Xác định toạ đ đi m M thu c 1 s o cho khoảng cách từ M đến 2

bằng 1. ĐS : (4;1;1); (7;4;4)M M

Bài 34 : (ĐH A2011−CB) Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho h i đi m A(2; 0; 1), B(0; -2; 3 và mặt phẳng

(P) : 2x y z 4 0. Tìm tọ đ đi m M thu c P) sao cho MA MB 3.

ĐS : 6 4 12

(0;1;3); ( ; ; )7 7 7

M M

Bài 35 : (ĐH A2011−NC)

Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt cầu S) : x2 y2 z2 4x 4 y 4z 0 và

đi m A 4; 4; 0 . Viết phương trình mặt phẳng OAB , biết đi m B thu c S) và tam giác

OAB đều. ĐS : ( ) : 0;( ) : 0AOB x y z AOB x y z

Bài 36 : (ĐH B2011−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng ∆: 2 1

1 2 1

x y z

và mặt

phẳng

(P) : x + y + z – 3 =0 .Gọi I à gi o đi m c ∆ và P .Tìm tọ đ đi m M thu c P s o

cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14 . ĐS : (5;9; 11); ( 3; 7;13)M M

Bài 37 : (ĐH B2011−NC)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng ∆: 2 1 5

1 3 2

x y z

và hai

đi m ( 2;1;1), ( 3; 1;2)A B . Tìm tọ đ đi m M thu c đường thẳng ∆ s o cho t m giác

MAB có diện tích bằng 3 5 . ĐS : ( 2;1; 5); ( 14; 35;19)M M

Bài 38 : (ĐH D2011−CB) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 1 ;2 ;3 và đường thẳng d:

1 3

2 1 2

x y z

viết phương trình đường thẳng ∆ đi qu A , vuông góc với đường thẳng

d và cắt trục Ox. ĐS :

1 2

: 2 2

3 3

x t

y t

z t

Bài 39 : (ĐH D2011−NC)

Trang 42

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng ∆: 1 3

2 4 1

x y z và mặt phẳng

( ) : 2 2 0P x y z . Viết phương trình mặt cầu có t m thu c đường thẳng ∆ , bán kính

bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P .

ĐS : 2 2 2 2 2 2( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 1;( ) : ( 5) ( 11) ( 2) 1S x y z S x y z

Bài 40 : (ĐH A2012−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng d: 1 2

1 2 1

x y z và đi m

I 0; 0; 3 . Viết phương trình mặt cầu S có t m I và cắt d tại h i đi m A, B s o cho t m

giác IAB vuông tại I. ĐS : 2 2 2 8

( ) : ( 3)3

S x y z

Bài 41 : (ĐH A2012−NC)


2 1 1

x y z , mặt phẳng

(P) : x + y – 2z + 5 = 0 và đi m A 1; -1; 2 . Viết phương trình đường thẳng cắt d và P

ần ượt tại M và N s o cho A à trung đi m c đoạn thẳng MN.

ĐS : 1 1 2

:2 3 2

x y z

Bài 42 : (ĐH B2012−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng d:1

2 1 2

x y z

và h i đi m

A(2;1;0), B(-2;3;2 . Viết phương trình mặt cầu đi qu A,B và có t m thu c đường thẳng d.

ĐS : 2 2 2( ) : ( 1) ( 1) ( 2) 17S x y z

Bài 43 : (ĐH B2012−NC) Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho A(0;0;3), M 1;2;0 . Viết phương trình mặt

phẳng P) qua A và cắt các trục Ox, Oy ần ượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng

t m thu c đường thẳng AM. ĐS : ( ) : 6 3 4 12 0P x y z

Bài 44 : (ĐH D2012−CB) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2x+ –2z+10=0 và đi m

I 2; 1; 3 . Viếtphương trình mặt cầu t m I cắt P theo m t đường tròn có bán kính bằng 4.

ĐS : 2 2 2( ) : ( 2) ( 1) ( 3) 25S x y z

Bài 45 : (ĐH D2012−NC)


2 1 1

x y z

và h i đi m

A (1; -1; 2), B (2; -1; 0 . Xác định tọ đ đi m M thu c d s o cho t m giác AMB vuông tại

M. ĐS : 7 5 2

( ; ; )3 3 3

M

Bài 46 : (ĐH A2013−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng 6 1 2

:3 2 1

x y z

và đi m

A 1;7;3 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qu A và vuông góc với . Tìm tọ đ đi m

M thu c sao choAM= 2 30

Trang 43

ĐS : 51 1 17

( ) :3 2 14 0; ( ; ; ); (3; 3; 1)7 7 7

P x y z M M

Bài 47 : (ĐH A2013−NC)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho mặt phẳng ( ): 2 3 11 0P x y z và mặt cầu 2 2 2( ) : 2 4 2 8 0S x y z x y z . Chứng minh P tiếp xúc với S .Tìm tọ đ tiếp đi m

c P và S . ĐS : ( ,( )) ; (3;1;2)d I P R M

Bài 48 : (ĐH B2013−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 3 ; 5; 0 và mặt phẳng P :

2x + 3y – z – 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qu A và vuông góc với P . Tìm

tọ đ đi m đối xứng c A qu P . ĐS : ( 1; 1;2)B

Bài 49 : (ĐH B2013−NC)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A 1 ; -1 ; 1) ;B(-1 ; 2 ;3) và đường

thẳng 1 2 3

:2 1 3

x y z

. Viết phương trình đường thẳng đi qu A và vuông góc với

h i đường thẳng AB và .

ĐS : 1 1 1

:7 2 4

x y zd

Bài 50 : (ĐH D2013−CB)

Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A −1 ; −1; −2 ,B 0 ; 1; 1 và mặt

phẳng P : x + + z – 1 = 0 . Tìm tọ đ hình chiếu vuông góc c A trên P . Viết phương

trình mặt phẳng đi qu A,B và vuông góc với P . ĐS : ( ) : 2 1 0Q x y z

Bài 51 : (ĐH D2013−NC) Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A −1 ; 3 ; −2 và mặt phẳng

(P) 2 2 5 0x y z . Tính khoảng cách từ A đến P . Viết phương trình mặt phẳng đi qu

A và song song với P ĐS : 2

( ,( )) ;( ) : 2 2 3 03

d A P Q x y z

Bài 52 : (ĐH A2014)

Trong không gian với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ −2z−1 = 0 và đường thẳng

d : 2 3

1 2 3

x y z

. Tìm tọ đ gi o đi m c d và P . Viết phương trình mặt phẳng

chứ d và vuông góc với P . ĐS : 7 3

( ; 3; )2 2

M , (Q): x + 8y + 5z + 13 = 0.

Bài 53 : (ĐH B2014) Trong không gian với hệ tọ đ Oxyz, cho đi m A 1;0;−1 và đường thẳng d :

1 1

2 2 1

x y z

. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Tìm tọ đ

hình chiếu vuông góc c A trên d. ĐS : (P): 2x + 2 −z−3 = 0, 5 1 1

( ; ; )3 3 3

H

Bài 54 : (ĐH D2014)

Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt phẳng P : 6x + 3 −2z −1 = 0 và mặt cầu

(S) : x2 +y

2 +z

2 −6x−4 −2z−11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao

tu ến à m t đường tròn (C). Tìm tọ đ t m c đường tròn (C).

Trang 44

ĐS : 3 5 13

( ; ; )7 7 7

H

Chủ đề 8: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ; KHOẢNG

CÁCH TỪ MỘT ĐIỂMTỚI MỘT MẶT PHẲNG

I. Công thức tính thể tích:

1) Thể tích khối hộp chữ nhật: V=a.b.c

(a,b,c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật)

2) Thể tích khối lăng trụ: V=Sđá chiều c o

3) Thể tích khối chóp: V=1

3 Sđá chiều c o

II. Tính khoảng cách từ điểm M tới 1 mặt phẳng (P)

Cách 1: Dựng MH P tại H. Khi đó d M; P =MH

Phương pháp dựng đoạn MH:

Trường hợp 1: Nếu có đường thẳng d P thì t dựng MH//d cắt P tại H MH (P)

Trường hợp 2:

- Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với (P) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến .

- Trong (Q): dựng MH tại H MH (P)

Cách 2: Dùng cách 2 khi đã biết d A; P , thường A à ch n đường c o

Trường hợp 1: Nếu MA// P thì d M; P = d(A;(P)

Trường hợp 2: Nếu MA (P)=I thì: ( ;( ))

( ;( ))

d M P IM

d A P IA

Cách 3: Su r từ công thức tính th tích khối chóp

Xét khối chóp S.AMB có SAB trùng với mặt phẳng P cần xét. Khi đó:

.3( ;( )) S AMB

SAB

Vd M SAB

S

Chú ý: Nếu bài toán êu cầu xác định khoảng cách giữ 2 đường thẳng chéo nh u thì nên

tìm cách đư về khoảng cách từ 1 đi m tới 1 mặt phẳng.

III. BÀI TẬP:

Bài 1: Chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật BC= ; AC=2 , SAB đều. Hình chiếu c S

ên mặt đá trùng với trung đi m c AC. Tính th tích c khối chóp S.ABCD và khoảng

cách từ SA đến BC. ĐS: V=3 6

6

a ; d(SA;BC)=

2 66

11

a

Bài 2: Chóp S.ABCD đá à hình vuông cạnh . Gọi M, N, P ần ượt à trung đi m c

AB, AD, DC. Gọi H à gi o đi m c CN và DM, SH vuông góc với mặt đá . SH= 3 .

Tính th tích khối chóp S.HDC và khoảng cách từ C đến SBP

ĐS: V=3 3

15

a ; d(C;(SBP))=

3

4

a

Bài 3: Cho hình ăng trụ đứng ' ' '.ABC ABC có tam giác ABC vuông tại C . M, N là trung

đi m c ' 'A C và AC. Biết AC a , BC 3a ; ABC’ hợp với ABC góc 060 . Tính th

tích khối ăng trụ ' ' '.ABC A B CV và khoảng cách từ A tới BNC’ theo a .

ĐS : ' ' '

3

ABC.A BC

a 3 3V

4 ; d A, NBC’ =

3

43

a

Trang 45

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông c n tại C, AB =3 , 2

14aSB . Gọi G à

trọng t m ∆ABC, SG ABC . Tính th tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đi m B

đến mp SAC . ĐS: 3

.

3

4S ABC

aV ; ( ;( )) 3d B SAC a

Bài 5: Cho ăng trụ đứng ABC.A’B’C’có AC= ; BC=2a; 120oACB .Đường thẳng A’C tạo

với mặt phẳng ABB’A’ góc 300.Gọi M à trung đi m c BB’.Tính th tích khối ăng trụ

ABCA’B’C’ và khoảng cách từ C’ đến ABB’A’ theo a.

ĐS:V=

3

. ' ' '

15

2 7ABC A B C

aV ; d(C’; ABB’A’ =

3

7a

Bài 6: Cho ăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đá ABCD à hình vuông cạnh , cạnh bên Â’= ,

hình chiếu vuông góc c A’ ên ABCD trùng với trung đi m I c AB. Gọi K à trung

đi m c BC. Tính theo th tích khối chóp A’.IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng

A’KD ĐS: V=3 3

16

a d I; A’KD =

3 2

8

a

Bài 7: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật t m I với AB=2 3a , BC=2 . Biết

ch n đường c o H từ S xuống ABCD trùng với trung đi m DI;SB hợp với đá ABCD t

góc bằng 600. Tính th tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ H đến SBC

ĐS: V=12 3; d(H, (SBC))=

315

5a

Bài 8: Chóp hình chóp S.ABCD có đá à hình thoi cạnh , 0120ABC ; G à trọng t m

tam giác ABD, SG (ABCD); 0AS 90C . Tính th tích khối chóp SABCD và khoảng

cách từ G đến SBD theo ĐS: V=3 2

6

a; d(G, (SBD))=

6

9

a

Bài 9: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật, AB= , AC=2 , SAB và (SAC)

cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , SC tạo với SAB m t góc bằng 300. M thu c

cạnh AB s o cho BM=3MA. Tính th tích khối chóp S.DCM và khoảng cách giữ AM đến

SB ĐS: V=3 6

3

a; d(AM, SB)=

2 34

51

a

Bài 10: Chóp t m giác đều S.ABC có cạnh đá bằng , góc giữ mặt bên và mặt đá bằng

600. Tính th tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến SBC theo

ĐS: V=3 3

24

a; d(A, (SBC))=

3

4

a

Bài 11: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình bình hành với AB=2 , BC= 2 , BD=a 6

Hình chiếu c S ên mặt đá trùng với trọng t m G c BCD. SG=2a . Tính th tích

khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến SBD theo

ĐS: V=34 2

3

a; d(A, (SBD))=

3 7

7

a

Bài 12: Chóp t m giác S.ABC có đá à t m giác đều cạnh bằng , SAC c n tại S nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đá , SB tạo với mặt đá m t góc bằng 300, M là trung

đi m c BC Tính th tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữ SB và MA theo

Trang 46

ĐS: V=3 3

48

a; d(SB, MA)=

13

13

a

Bài 13: Chóp S.ABCD có đá à hình vuông cạnh bằng 2 , SAB c n tại S nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đá , SC tạo với mặt đá m t góc bằng 600. Tính th tích khối

chóp S.ABCD và khoảng cách giữ SA và BD theo

ĐS: V=34 15

3

a; d(SA, BD)=

2 465

31

a

Bài 14: Cho hình h p đứng ABCD.A’B’C’D’ đá à hình thoi cạnh , 060ABC , góc

giữ A’BD và đá bằng 600. Tính theo th tích hình h p và khoảng cách từ C đến

A’BD ĐS: V=33

4

a; d C, A’BD =

3

4

a

Bài 15: Chóp S.ABCD đá à hình th ng vuông tại A và B, mặt phẳng SCD hợp với đá

m t góc sao cho cos =1

7 . Biết SA=SC=SD, AD=2AB=2BC=2 . Tính th tích khối

chóp S.ABCD và khoảng cách giữ SC và AD theo

ĐS: V=3 3

2

a; d(SC, AD)=

3

2

a

------------------------------------HẾT----------------------------------

SỞ GD & ĐT TP HỒ CHÍ MINH THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

TRƢỜNG THPT MARIE CURIE Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút,

------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1. (2,0 điểm Cho hàm số 3 22 6 4y x x .

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C c hàm số đã cho.

b Viết phương trình tiếp tu ến c đồ thị ( )C , biết tiếp tu ến song song với đường

thẳng :15 2 0d x y và tiếp đi m có hoành đ dương.

Câu 2. (1,0 điểm)

Giải phương trình: 22sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x .

b) Tìm số phức z thỏ hệ thức: 2 2z z và 2z .

Câu 3. (0,5 điểm Giải phương trình: 2 4 1

2

log 2 2log 5 log 8 0x x .

Câu 4. (1,0 điểm Giải phương trình: 3 2 25 1 1 4 25 18x x x x .

Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân: ln 4

0

1 xI x e dx .

Trang 47

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đá à hình th ng vuông tại A và B ,

AB BC a và 2AD a . Hình chiếu vuông góc c S trên đá à trung đi m H c

đoạn AB . Cạnh bên SC tạo với mặt đá m t góc bằng 060 . Tính theo a th tích khối

chóp .S ABCD và khoảng cách từ đi m H đến mặt phẳng SCD .

Câu 7. (1,0 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại

A và B , có 2BC AD , đỉnh 3;1A và trung đi m M c đoạn BC nằm trên đường

thẳng : 4 3 0d x y . Tìm tọ đ các đỉnh còn ại c hình th ng ABCD , biết

6; 2H à hình chiếu vuông góc c B trên đường thẳng CD .

Câu 8. (1,0 điểm Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz , cho đường thẳng

1 1:1 2 1

x y zd

và đi m 5;4; 2A . Tìm tọ đ đi m H trên đường thẳng d sao

cho AH vuông góc với d và viết phương trình mặt cầu đi qu đi m A và có tâm là

gi o đi m c d với mặt phẳng Oxy .

Câu 9. (0,5 điểm Gọi S à tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nh u được chọn từ

các số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên m t số từ tập S , tính xác suất đ số được chọn

có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc chữ số 2.

Câu 10. (1,0 điểm) Cho a , b , c à 3 số thực dương và thỏ 21 2 8 12ab bc ca . Tìm

giá trị nhỏ nhất c bi u thức: 1 2 3

Sa b c

.

----------HẾT----------


TRƢỜNG THPT BÌNH CHÁNH Môn thi: TOÁN


------------------------------ ------------------------------------------------

Câu1(2,0 điểm). Cho hàm số : 3 29 24 19y x x x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C đã cho.

b Tìm đi m thu c C có khoảng cách đến trục hoành bằng 3 ần khoảng cách đến

trục tung và các tọ đ đều dương . Viết phương trình tiếp tu ến với C tại đi m đó.

Câu 2(1,0 điểm).

Giải phương trình: 2 2 sin( )cos 112

x x

b Cho số phức thỏ .

Tính môđun c số phức z2

Câu 3(0,5 điểm).Giải phương trình: 4 2 4 42(log (3 1) log 4) log 3 1 log ( 4)3 8.9 .3 9x x x x

Câu 4(1,0 điểm)..Giải bất phương trình:2 24 ( 4) 2 4x x x x x

Trang 48

Câu 5(1,0 điểm).Tính 3 2

2

2 ln( 1)

1

x x xI dx

x

Câu 6(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đá ABC à t m giác vuông tại A với

AB = 2AC = 2 . Biết hình chiếu c S trên mặt phẳng ABC cũng ả hình chiếu c A trên

cạnh BC và góc hợp bởi SC với mặt phẳng ABC bằng 600. Tính theo th tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ B đến SAC .

Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox cho t m giác ABC với đường c o kẻ

từ đỉnh B và đường ph n giác trong c góc A ần ượt có phương trình à: x+2 – 2 = 0

và x - y - 1 = 0 . M (-2; 0 à đi m thu c đường thẳng AB s o cho AB = 2AC. Tìm tọ

đ các đỉnh c t m giác ABC.

Câu 8(1,0 điểm). Trong không gi n với hệ trục Ox z cho 2 đi m ,

B(5; - 6; -1 và mặt phẳng P : 2 2 12 0x y z . Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc

với P và qu h i đi m A, B.

Câu 9(0,5 điểm). Cho E = {1;2;3;4;5} . Viết ngẫu nhiên ên bảng h i số tự nhiên, mỗi số

gồm 3 chữ số đôi m t khác nh u thu c tập E. Tính xác suất đ trong h i số đó có đúng m t

số có chữ số 5.

Câu 10(1,0 điểm). Cho à các số thực dương thỏ mãn . Chứng minh

rằng: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 15

4 4

ab bc ca

a b b c c a a b c

------HẾT------


TRƢỜNG THPT CỦ CHI Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 (2đ). Cho hàm số 2 1

1

xy

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c a hàm số.

b) Tìm các giá trị c a tham số m đ đường thẳng 1 : 2d y x m cắt đồ thị (C) tại h i đi m

phân biệt A, B s o cho A, B cách đều đường thẳng 2 : 2 2 1 0d x y .

Câu 2 (1đ). Giải phương trình 2 23cos sin 1 cos sin2 sinx x x x x .

Câu 3 (1đ). Tính tích phân 3

0

tan

3 2cos

xI dx

x

Câu 4 (1đ).

a) Cho số phức z thỏa 1 5 71

zi z i

i

. Tính môđun c a z.

b) Trong khai tri n c a bi u thức 2 2n

xx

,

*0,x n , tìm hệ số c a 6x biết rằng tổng

tất cả các hệ số trong khai tri n này bằng 19683.

Trang 49

Câu 5 (1đ). Trong không gian với hệ tọ đ Oxyz, cho đi m M(2;3;-1 và đường thẳng

4 1 5:

1 2 2

x y zd

Tìm tọ đ hình chiếu vuông góc c a M trên d. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M cắt

đường thẳng d tại h i đi m A, B sao cho diện tích tam giác MAB bằng 2 2 .

Câu 6 (1đ). Cho hình chóp S.ABC có đá ABC à t m giác vuông tại B, 3AB a ,

SA=2a, M là trung đi m c a cạnh BC, hình chiếu vuông góc c a S trên mặt phẳng (ABC)

à trung đi m c a AM, góc giữ đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo

a th tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 7 (1đ). Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Đi m H là hình

chiếu vuông góc c a D trên AC, đi m 17 7

;10 5

M

, 11 12

;5 5

N

lần ượt à trung đi m

c đoạn AH và DH, đi m 0;2K thu c đường thẳng AB. Tìm tọ đ các đi m A và C.

Câu 8 (1đ). Giải hệ phương trình

2 3

2 2 2 2

5 5 7( , )

1 1

x xy x y x y x xyx y

x y y x x y x

Câu 9 (1đ). Cho x,y,z>0 thỏa 2 2 2 2 3x y z xy x y z . Tìm GTNN c a

2 120 1206 6 .

2P x y z

x z y

-----HẾT-----


TRƢỜNG THPT MẠC ĐỈNH CHI Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 4 2 22( 1) 1 (1)y x m x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m = 0.

b Tìm các giá trị c th m số m đ hàm số 1 có 3 đi m cực trị thỏ mãn giá trị

cực ti u đạt giá trị ớn nhất.

Câu 2 (1,0 điểm).

a) Giải phương trình : sin 2 cos sin 1 ( )x x x x R

b Giải bất phương trình : 21 2

2

log log (2 ) 0 ( )x x R .

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2

31 1

dxI

x x

.

Trang 50

Câu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏ mãn điều kiện 11

12

zz

z

. Hãy tính

4

2

z i

z i

.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình ăng trụ . ' ' 'ABC A B C , ABC đều có cạnh bằng a , 'AA a

và đỉnh 'A cách đều , ,A B C . Gọi M , N ần ượt à trung đi m c cạnh BC và 'A B .

Tính theo a th tích khối ăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ C đến mặt phẳng

( )AMN .

Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz , cho mặt cầu ( )S có phương

trình 2 2 2 4 6 2 2 0x y z x y z . Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứ truc Oy

và cắt mặt cầu ( )S theo m t đường tròn có bán kính 2 3r .

Câu 7 (0,5 điểm). Giải bóng chu ền VTV Cup gồm 12 đ i bóng th m dự, trong đó có 9 đ i

nước ngoài và 3 đ i c Việt N m. B n tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên đ chi thành 3

bảng A, B, C mỗi bảng 4 đ i. Tính xác suất đ 3 đ i bóng c Việt N m ở b bảng khác

nhau.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Oxy, cho tam giác ABC với đường c o

AH có phương trình 3 4 10 0x y và đường ph n giác trong BE có phương trình

1 0x y . Đi m (0;2)M thu c đường thẳng AB và cách đỉnh C m t khoảng bằng

2 . Tính diện tích t m giác ABC .

Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 2 25 4 1 ( 2 4)x x x x x (x R).

Câu10 (1,0 điểm). Cho các số thực ;x y th đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất c bi u thức:

2 2 2 22 1 2 1 2P x y x x y x y .

------------------- Hết -------------------


TRƢỜNG THPT LÊ QUÍ ĐÔN Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 : 2 đi m Cho hàm số 3 2

2

xy

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số

b Tìm đi m M nằm trên trục tung s o cho từ đó kẻ được tiếp tu ến đến đồ thị C và tiếp

tu ến song song với đường thẳng D : 8x + – 3 = 0

Trang 51

Câu 2 : 0,5đi m Giải phương trình :

cos 2cos 3 3 3sin 2cos 3 1 0x x x x

Câu 3 : 1 đi m Cho số phức

2015 20158 2 3

3 5 1 2

i iz

i i

. Tìm môđun c số phức

1008

1008

2

2

zw

z

Câu 4 : 1 đi m Giải phương trình 2 215 2 3 8x x x

Câu 5 : 1 đi m) Tính tích phân : 2

2

41

4 xI

x

dx

Câu 6 : 1 đi m Cho tứ diện ABCD có t m giác ABC vuông c n tại A , AB = , t m

giác DBC đều và M à trung đi m cạnh BD. Biết rằng mp ABC hợp với mp BCD góc

300 .Tính th tích tứ diện ABCD và khoảng cách giữ h i đường thẳng AD và CM

Câu 7 : 1 đi m Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox cho t m giác ABC có đỉnh

4;7A ; t m đường tròn ngoại tiếp à 1 19

;4 2

I

và t m đường tròn n i tiếp à

1;2K .Viết phương trình cạnh BC.

Câu 8 : 1 đi m Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z cho mặt phẳng

(P) : -x + +2z +5 =0 và đường thẳng D : 2 3 3

4 2 1

x y z .

Chứng minh rằng mặt phẳng P chứ đường thẳng D

b Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng P , ∆ song song với D và ∆

cách D m t khoảng bằng 14

Câu 9 : 0,5 đi m Gieo m t con súc sắc c n đối và đồng chất 6 ần iên tiếp .Tính xác

suất đ trong 6 ần gieo t được 3 mặt xuất hiện số chấm chẵn và 3 mặt xuất hiện số chấm

ẻ đồng thời trong đó có đúng 2 mặt xuất hiện số chấm chẵn giống nh u và có đúng 2 mặt

xuất hiện số chấm ẻ giống nh u

Câu10: 1 đi m Cho x,y à 2 số thực thỏ mãn 2

2 2 2 2 2 2x +y +1 +3x y +1=4x +5y

Tìm giá trị ớn nhất và giá trị nhỏ nhất c bi u thức s u : 2 2 2 2

2 2

x +2y -3x yP=

x +y +1

------------------- Hết -------------------


TRƢỜNG THPT THỦ ĐỨC Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1(2 điểm). Cho hàm số 3 22 3 1 y f x x x C

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số.

Trang 52

b Viết phương trình tiếp tu ến c C , biết hoành đ tiếp đi m à nghiệm c phương

trình '' 0f x .

Câu 2(1 điểm).

a) Cho 4

cos , 05 2

. Tính giá trị bi u thức sin cos

4 4A

.

b Cho số phức 3 2z i . Tìm phần thực và phần ảo c số phức w iz z .

Câu 3(0.5 điểm). Giải phương trình 2 2 5 0, x xe e x R .

Câu 4(1 điểm). Tính tích phân 1

1ln

e

I x xdxx

.

Câu 5(0.5 điểm). Trong cu c thi “ Rung chuông vàng”, đ i Th Đức có 20 bạn ọt vào

vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn n m. Đ sắp xếp vị trí chơi, b n tổ chức

chi các bạn thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chi nhóm được thực hiện bằng cách

bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất đ 5 bạn nữ thu c cùng m t nhóm.

Câu 6(1 điểm). Trong không gi n cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD à hình th ng

c n, h i đá à BC và AD. Biết 2, 2 ,SA a AD a AB BC CD a . Hình chiếu vuông

góc c S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung đi m cạnh AD. Tính theo th tích khối

chóp S.ABCD và khoảng cách giữ h i đường thẳng SB và AD.

Câu 7(1 điểm). Trong mặt phẳng Ox , cho t m giác ABC có t m đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC là 2;1I và thỏ mãn điều kiện 90AIB . Ch n đường c o kẻ từ A đến

BC là 1; 1D . Đường thẳng AC qu 1;4M . Tìm tọ đ các đỉnh A, B biết đỉnh A

có hoành đ dương.

Câu 8(1 điểm). Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z cho h i đi m 1; 1;2 , 3;0; 4A B

và mặt phẳng (P) : x 2y 2z 5 0 . Tìm tọ đ gi o đi m c đường thẳng AB và mặt

phẳng P . Viết phương trình mặt phẳng chứ đường thẳng AB và vuông góc với mặt

phẳng P .

Câu 9(1 điểm). Giải hệ phương trình 2

2

3 5 4 ;

4 2 1 1

x xy x y y yx R

y x y x

Câu 10(1 điểm). Cho a, b, c là các số dương và 3a b c . Tìm giá trị ớn nhất c bi u

Trang 53

thức 3 3 3

bc ca abP

a bc b ca c ab

.

------------------- Hết -------------------


TRƢỜNG THPT NGUYỄN HIỀN Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1(2đ) : Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị c hàm số 1 ứng với m = 1.

2. Tìm m đ hàm số 1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ đi m cực đại c đồ thị

hàm số đến gốc tọ đ O bằng 2 ần khoảng cách từ đi m cực ti u c đồ thị hàm số đến

gốc tọ đ O.

Câu 2 1đ :

1. Cho cot(5

2

-x) = 2 . Tính tan(x+

4

)

2. Tìm số phức z thoả 3 z +z = 8 - 6i

Câu 3(1đ) : Tính tích phân 2

1

1

(ln 2ln 2)

e

dxx x x

Câu 4 (1đ) : Hình không gi n Cho hình chóp S.ABC có đá ABC à t m giác vuông tại B.

SA (ABC) , SA=AB=a; BC=a 3 . Gọi I à trung đi m SB, G à trọng t m t m giác

ABC. Tính theo th tích khối tứ diện GSIC .

Câu 5(1đ) : Cho 3 số thực không m x, , z thoả x2 + y

2 + z

2 = 3 .

Tìm giá trị ớn nhất c bi u thức M = x + z + zx + 5

x y z

Câu 6 (1đ): Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox , cho t m giác ABC có đường c o AH,

ph n giác trong BD và trung tu ến CM . Biết 17

( 4;1); ;125

H M

và phương trình đường

thẳng BD: x + – 5 = 0. Tìm tọ đ đỉnh A c t m giác ABC.

Câu 7 (1đ): Trong không gi n Ox z ,cho đi m M 0;2;0 và h i đường thẳng 1 2;d d có

phương trình: 1 2

1 2 1 3 1: ; :

2 2 1 2 2 1

x y z x y zd d

. Viết phương trình mặt

phẳng P đi qu M , song song với trục Ox , s o cho P cắt h i đường thẳng 1 2;d d ần ượt

tại A, B s o cho AB = 1 .

Câu 8 (0,5đ) : M t cái h p có 4 bi trắng, 5 bi vàng, 7 bi x nh. Lấ ngẫu nhiên 3 bi. Tính

xác suất đ ấ được 3 bi cùng màu.

Câu 9 (0,5 đ): Giải phương trình 22x+1

-3.2x- 2 = 0

Câu 10 (1đ) : Giải bất phương trình s u

Trang 54

2 5 3 2 4 1 5 6x x x x

--- HẾT ---


TRƢỜNG THPT NGUYỄN THƢỢNG HIỀN Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số = x3 + mx + 2 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị c a hàm số (1) khi m = -3.

b) Tìm m đ đồ thị hàm số 1 cắt trục hò nh tại m t đi m du nhất.

Câu 2.(1,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3sin2 (cos 3) 2 3cos 3 3cos2 8( 3cos sin ) 3 3 0x x x x x x

b) Tìm các số thực x và y biết: (4 + 7i)x – (5 – 2i) = 6ix

Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2

2 1

2

1 1log ( 4 5) log

2 7x x

x

Câu 4.(1,0 điểm) Giải phương trình: 2 1 3 4 2 3x x x x

Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân:

1

2

0

(1 )(2 )xx e dx

Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đá à hình chữ nhật, AB = 2 , BC = , các

cạnh bên

c hình chóp bằng nh u và bằng 2a . Gọi M, N tương ứng à trung đi m c các cạnh

AB, CD; K à đi m trên cạnh AD s o cho 3

aAK . Tính theo th tích khối chóp S.ABCD

và khoảng cách giữ h i đường thẳng MN và SK.

Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Ox cho t m giác ABC biết A 2; -3), B(3; -2 , có diện

tích bằng 3

2 và trọng t m thu c đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. Tìm tọ đ đỉnh C.

Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gi n Ox z cho mặt cầu S : x2 + y

2 + z

2 – 8x – 4y + 11 =

0 và h i đi m M 1 ; 1 ; 1), N(2 ; -1 ; 1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qu h i đi m

M, N đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S .

Câu 9.(0,5 điểm) Giải phương trình : 1 2 3 23 7 ... (2 1) 3 2 6480n n n n

n n n nC C C C

Câu 10.(1,0 điểm) Cho , b, c à b số dương thỏ mãn: 3

4a b c .

Tìm giá trị nhỏ nhất c bi u thức: 3 3 3

1 1 1

3 3 3P

a b b c c a

--------HẾT--------


TRƢỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN Môn thi: TOÁN


Trang 55

------------------------------ ---------------------------------------------------

Cầu 1 2đ : Cho hàm số: 2 1

1

xy C

x

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C

b Định m đ đường thẳng d : = mx + 3 cắt đồ thị C tại 2 đi m A, B s o cho t m giác

OMN vuông tại O

C u 2 1đ : Giải phương trình ượng giác: 2 2cos 3cos 3sin 3sin 0x x x x

b Cho số phức z thỏ mãn hệ thức: 1 1

3 32 2

z i i

. Tính môđun c số phức

w = 1 + i + z

C u 3 0,5đ : Giải phương trình: 2

22

1 3log 2 3 log 0

2 3

xx x

x

C u 4 1đ : Giải hệ phương trình:

121 2

3

121 6

3

xy x

yy x

C u 5 1đ Tính tích ph n:

9

4 1

xdx

x

C u 6 1đ : Viết phương trình đường thẳng d’ à hình chiếu vuông góc c đường thẳng

(d) 1 1

2 1 3

x y z trên mặt phẳng P : x + – z +1 =0.

C u 7 1đ : Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox . Cho đường tròn C :

2 2

1 1 25x y và đi m M 7,3 . Lập phương trình đường thẳng d qu M cắt C

tại h i đi m ph n biệt A,B s o cho MA = 3MB

C u 8 1đ : Cho hình chóp S.ABC có đá ABC à t m giác vuông tại A, AB = ; AC = 2a.

Mặt bên SBC à t m giác c n tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đá . Biết góc

giữ h i mặt SAB và ABC bằng 300. Tính th tích khối chóp SABC và khoáng cách

giữ h i đường thẳng SC và AB theo

C u 9 0,5đ : Có 5 h p bánh, mỗi h p đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh

ngọt. Lấ ngẫu nhiên từ mỗi h p r h i bánh. Tính xác suất biến cố trong năm ần ấ r đó

có bốn ần ấ được 2 bánh mặn và m t ần ấ được 2 bánh ngọt.

C u 10 1đ : Cho các số thực dương ,b,c thỏ + b + c =3. Tính góc giá trị nhỏ nhất c

bi u thức 2 2 2a bc b ca c ab

Pb ca c ab a bc

--------HẾT--------


TRƢỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI Môn thi: TOÁN


Trang 56

------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 : 2 đi m Cho hàm số 3 3 1y x x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số

b Định th m số m đ phương trình : 3

2 1

2

log 4 log 0x x m x có du nhất m t

nghiệm thực

Câu 2 : 0,5 đi m Giải phương trình : sin 2 sin cos 1 2sin cos 3 0x x x x x

Câu 3 : 1 đi m Tìm môđun c số phức z thỏ mãn số phức 6 2

2 4

z i

z i

à số thuần ảo và

đồng thời 6 5z i

Câu 4 : 1 đi m Giải bất phương trình : 2 21 5 1x x x x

Câu 5 : 1 đi m Tính tích phân : 2 21

ln 1

ln

e xI dx

x x

Câu 6 : 1 đi m Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD à hình vuông t m O và đi m I à

trung đi m cạnh AD.

Hình chiếu vuông góc c đỉnh S ên đá à đi m K thu c đoạn OB s o cho BK = 2 OK và

N à hình chiếu vuông

góc c K ên SO. Biết rằng SK = 3a và SK hợp với mp SAC góc 300 . Tính th tích

khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữ h i đường thẳng AN và CI .

Câu 7 : 1 đi m Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox cho hình thang vuông ABCD

vuông tại A và D ;

AB = AD , AD < CD ; B 1;2 ; phương trình đường thẳng BD : =2 . Biết rằng

đường thẳng

d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD ần ượt tại M,N s o cho BM vuông góc với

BC và tia BN

à ti ph n giác c MBC . Tìm tọ đ đỉnh D có hoành đ dương

Câu 8 : 1 đi m Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z cho h i mặt phẳng P :

6 0x y z , mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0Q x y z và đường thẳng D :

2 3 4

1 1 1

x y z

. Tìm đi m M thu c D , N thu c mặt phẳng P s o cho MN vuông

góc với mặt phẳng Q và MN = 3

Câu 9 : 0,5 đi m M t người có 10 đôi già khác nh u và trong úc đi du ịch v i vã

ấ ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính xác suất đ trong 4 chiếc già ấ r có ít nhất m t đôi.

Câu 10: 1 đi m Cho x, à 2 số thực thỏ mãn 24 4x +16y + 2xy+1 =2 . Tìm giá trị

ớn nhất và giá trị nhỏ nhất c bi u thức s u : 2 2P=x x +3 +2y 4y +3

-----Hết-----


TRƢỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA Môn thi: TOÁN


Trang 57

------------------------------ ---------------------------------------------------

CÂU 1 (2 điểm). Cho hàm số 4 25 4 1y x x

. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số 1 .

b. Tìm m đ phương trình 4 2

25 4 logx x m có 6 nghiệm ph n biệt.

CÂU 2 (1 điểm). Giải phương trình 1 cos 2cos 1 2 sin

11 cos

x x x

x

.

CÂU 3 (1 điểm). Tính tích phân 4

2

0

sin 2 cos2I x x xdx

.

CÂU 4 (0.5 điểm). Gọi 1 2,z z à h i nghiệm phức c phương trình 2 2 17 0z z .

Tính giá trị c bi u thức

1 2A i z i z .

CÂU 5 (0.5 điểm). Tính tổng 0 1 2 3 2014 2015

2015 2015 2015 2015 2015 20152 3 4 ... 2015 2016S C C C C C C .

CÂU 6 (1 điểm). Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho mặt cầu

2 2 2: 2 2 2 0S x y z y z và h i đi m 0;2;1 , 2;2;0A B . Viết phương trình mặt

phẳng P đi qu h i đi m ,A B và tiếp xúc với mặt cầu S .

CÂU 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox , cho t m giác ABC có đường ph n

giác trong góc A nằm trên đường thẳng : 0d x y và đường tròn ngoại tiếp t m giác

ABC có phương trình à 2 2 4 2 20 0x y x y . Biết rằng đi m 3; 4M thu c đường

thẳng BC và đi m A có hoành đ m. Tìm tọ đ các đi m A,B,C.

CÂU 8 (1 điểm). Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đá bằng a , mặt bên c hình chóp

tạo với mặt đá m t góc 060 . Mặt phẳng P chứ AB và đi qu trọng t m t m giác SAC

cắt SC,SD ần ượt tại M,N. Tính th tích khối chóp S.ABMN theo a .

CÂU 9 (1 điểm). Giải phương trình 2

4 2 1log 2 2.8 3.2 1

2.16 2.4 1

x xx x x

x x

.

CÂU 10 (1 điểm). Cho , ,a b c à các số thực dương thỏ mãn

2 2 2 5 2 .a b c a b c ab Tìm giá trị nhỏ nhất c bi u thức

3

3 148

10P a b c

a b c

.

-----Hết-----


TRƢỜNG THPT Chuyên LÊ HỒNG PHONG Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 (2 điểm : Cho hàm số = 2 1

1

x

x

có đồ thị à C .

Trang 58

Khảo sát và vẽ đồ thị C c hàm số.

b Viết phương trình c tiếp tu ến c C biết tiếp tu ến đi qu đi m A –1; 4).

Câu 2 (1 điểm):

Giải phương trình 3sinx + cos2x = 2.

b Cho số phức z = 5 5 20

3 4 4 3

i

i i

. Tìm phần thực, phần ảo và môđun c số phức

2

w iz z z .

Câu 3 (0,5 điểm : Giải bất phương trình 2

3 3 3log 3log 3 2log 3x x x .

Câu 4 (1 điểm): Giải hệ phương trình s u:

22 2 2

2 2 4 8 2 34 15

x y x y

x y y xy y x

.

Câu 5 (1 điểm Tính tích ph n s u: I = 21

0(2 )x xe e xdx .

Câu 6 (1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đá à hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, SA

vuông góc với ABCD , SC = 2 5a và góc giữ SC và ABCD bằng 600. Tính th

tích c khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữ h i đường thẳng AM và SD

trong đó M à trung đi m c cạnh BC.

Câu 7 (1 điểm Trong mặt phẳng Ox cho hình th ng ABCD có đá ớn CD = 3AB, C –3;

–3), trung đi m c AD à M 3; 1 . Tìm tọ đ đỉnh B biết SBCD = 18,

AB = 10 và đỉnh D có hoành đ ngu ên dương.

Câu 8 (1 điểm Trong không gi n Ox z cho mặt phẳng P : 2x + – 2z + 1 = 0 và h i

đi m A 1; –2; 3), B 3; 2; –1 . Viết phương trình mặt phẳng Q qu A, B và vuông góc

P . Tìm đi m M trên trục Ox s o cho khoảng cách từ M đến Q bằng 17 .

Câu 9 (0,5 điểm Trong giải cầu ông kỷ niệm ngà tru ền thống học sinh sinh viên có 8

người th m gi trong đó có h i bạn Việt và N m. Các vận đ ng viên được chi àm h i

bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chi bảng thực hiện bằng cách bốc thăm

ngẫu nhiên, tính xác suất đ cả h i bạn Việt và N m nằm chung m t bảng đấu.

Câu 10 (1 điểm Cho x, à các số không m thỏ x2 + y

2 = 2. Tìm giá trị ớn nhất và nhỏ

nhất c :

P = 5 5 2 25( ) 5 2 2 4 12x y x y xy xy .

-----Hết-----


Trang 59

TRƢỜNG THPT TRẦN PHÚ Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1: 2đi m Cho hàm số 2 1

1

xy

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số đã cho.

b Xác định tọ đ gi o đi m c đồ thị C với đường thẳng D : = x – 1

Câu 2: 1đi m

a) Giải phương trình : 3 cos2 - sin cos 2sin 1 0x x x x .

b) Tìm phần thực, phần ảo c các số phức z, biết:10.

13.

z z

z

Câu 3: 0,5đi m Giải phương trình 2 2 25 26.5 1 0x x

Câu 4: 1đi m Giải hệ phương trình :

3 2

2

1 3 ( 1) 1

5 5

y x y x y x xy y

y y x

Câu 5: 1đi m Tính các tích ph n: 2

3

0

sin 2 .sin .I x x dx

Câu 6: 1đi m Cho khối chóp S.ABCD có đá ABCD à hình chữ nhật, biết AB = 2 ,

AD = a . Trên cạnh AB ấ đi m M s o cho 2

aAM , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH

vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH = . Tính th tích khối chóp S. HCD và tính

khoảng cách giữ h i đường thẳng SD và AC theo .

Câu 7: 1đi m Cho hình th ng c n ABCD có AB // CD, CD = 2AB. Gọi I à gi o đi m

c h i đường chéo AC và BD. Gọi M à đi m đối xứng c I qu A với 2 17

;3 3

M

. Biết

phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình th ng ABCD bằng 12. Viết

phương trình đường thẳng BC biết đi m C có hoành đ dương.

Câu 8: 1đi m Trong không gian với hệ tọ đ Ox z, cho mặt cầu S : 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z và mặt phẳng P : x + + z + 2015 = 0

a) Xác định tọ đ t m I và tính bán kính c mặt cầu S . Viết phương trình đường thẳng

qu I và vuông góc với mặt phẳng P

b Viết phương trình mặt phẳng Q song song mặt phẳng P và tiếp xúc S

Câu 9: 0,5đi m Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên r 10 tấm thẻ.

Tính xác suất đ có 5 tấm thẻ m ng số ẻ,5 tấm thẻ m ng số chẵn trong đó chỉ có du nhất

1 tấm m ng số chi hết cho 10.

Câu 10: 1đi m Cho 3 số dương x, , z thỏ mãn x + z + zx = 3x z.

Chứng minh rằng : 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

3

4

xy yz zx

x y x z y z y z y x z x z x z y x y

-----Hết-----

Trang 60


TRƢỜNG THPT TRUNG PHÚ Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1. Cho hàm số 3 26 9 2y x x x 1 có đồ thị C

/ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị c hàm số 1

b/ Chứng minh rằng trên C không th tồn tại h i đi m có hoành ớn hơn 3 s o cho h i

tiếp tu ến với C tại h i đi m đó vuông góc với nh u

Câu 2.

a/ Cho t m giác ABC có góc A ớn nhất và thỏ : cos2A + cos2B + cos2C = 1

Chứng minh rằng t m giác ABC vuông tại A

b/ Tìm môđun c số phức z, biết 2 2 3

1

z zz

z

Câu 3. Giải bất phương trình: 5 5 1

5

log 4 1 log 7 2 1 log 3 2x x x

Câu 4. Giải hệ phương trình:

6 2 3 2

2

3 4 3 6

2 1 8 7

x x y y y

y x x y x

Câu 5. Tính tích phân sau:

2

2

3

cot6

3 cos sin

x

I dxx x

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD à hình chữ nhật.E à đi m trên cạnh AD

s o cho BE vuông góc với AC tại H và AB > AE. H i mặt phẳng SAC và SBE cùng

vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc hợp bởi SB và mặt phẳng SAC bằng 030 .Cho

2 5, 5

5

aAH BE a . Tính theo th tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữ SB,

CD

Câu 7. Trong mặt phẳng tọ đ Oxy, cho 2 đường tròn C1) và (C2 ần ượt có phương

trình là 2 2 2 2( 1) ( 4) 10, 6 6 13 0x y x y x y . Viết phương trình đường

thẳng qu M 2;5 cắt h i đường tròn C , C’ ần ượt tại A, B s o cho 1 2

25

12I MA I MBS S

biết rằng phương trình đường thẳng có hệ số ngu ên I1,I2 ần ượt à t m c C1) và

(C2))

Câu 8. Trong không gi n tọ đ Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 3 = 0 và h i đường thẳng

1 2

1 2 1 2 1 1: ; :

2 1 1 1 2 5

x y z x y zd d

Viết phương trình mặt cầu có t m thu c d1, tiếp xúc với d2 và cắt mp P theoo m t đường

tròn có bán kính r = 3 ,biết rằng t m mặt cầu có c o đ dương

Câu 9. Cho n à số ngu ên dương thỏ 1 2

14 2 25 120n

n nC C n

Tìm hệ số c số hạng chứ x7 trong kh i tri n 2 2

n

xx

,(x > 0)

Trang 61

Câu 10. Cho b số dương x, ,z thỏ x + + z = 4 và x z = 2.

Tìm GTNN c bi u thức: P = x4 + y

4 + z

4

-----Hết-----


TRƢỜNG THPT ĐA PHƢỚC Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

CÂU 1 : ( 2,0 điểm ) Cho hàm số 3 2( ) 6 9 2, ( )f x x x x C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C c hàm số trên.

b) Viết phương trình tiếp tu ến c đồ thị ( )C tại đi m ( )M C , biết rằng

đi mM cùng với h i đi m cực trị c đồ thị ( )C tạo thành t m giác có diện tích

bằng 6.

CÂU 2 : ( 1,0 điểm )

a) Giải phương trình s u: 25sin 2 3(1 sin ) tanx x x

b) Giải bất phương trình s u: 2 22log ( 1) log (5 ) 1x x

CÂU 3 : ( 1,0 điểm )

Tính tích phân sau:

2

1 1 1

xI dx

x

CÂU 4 : ( 1,0 điểm )

a) M t tổ học sinh gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chi thành 3 nhóm đều nh u.

Tính xác suất đ mỗi nhóm có 1 em nữ?

b) Tìm số phức z thỏ mãn: 2 (1 ) 11z i z i .

CÂU 5 : ( 1,0 điểm ) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P ần

ượt có phương trình:

3 2

: 1 ; ( ) : 3 2 6 0

x t

d y t P x y z

z t

. Tìm tọ đ gi o đi m A

c d và ( )P . Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qu A , đồng thời vuông góc với đường

thẳng d .

CÂU 6 : ( 1,0 điểm )

Trang 62

Cho hình chóp .S ABCD , có ( )SA ABCD và đá ABCD à hình vuông cạnh

a , biết 060ASD . Tính th tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng

( )SBC theo a .

CÂU 7 : ( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Ox , cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Gọi

H à hình chiếu c A ên đường thẳng BD; E,F ần ượt à trung đi m đoạn CD và BH.

Biết A 1;1 , phương trình đường thẳng EF à 3x – y – 10 = 0 và đi m E có tung đ m.

Tìm tọ đ các đỉnh B, C, D.

CÂU 8 : ( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình:

2

2

1 ( ) 4

( 1)( 2)

x y y x y

x y x y

CÂU 9 : ( 1,0 điểm ) Cho các số thực dương , b, c thỏ mãn 1ab ; 3c a b c .

Tìm giá trị nhỏ nhất c bi u thức 2 2

6ln( 2 )1 1

b c a cP a b c

a b

-----Hết-----


TRƢỜNG THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 22y x mx m m (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C c hàm số 1 khi m = – 2

b) Tìm tất cả các giá trị thực c m đ đồ thị hàm số 1 cắt Ox tại 4 đi m có hoành đ

ập thành m t cấp số c ng.

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 2 cos 2sin cos2 3sinx x x x x

Câu 3. (1,0 điểm)

a) Gọi X à tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi m t khác nh u được tạo thành

từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên m t số từ tập hợp X. Tính xác

suất đ số được chọn chỉ chứ b chữ số ẻ.

b) Tìm tập hợp các đi m M trong mặt phẳng phức bi u diễn cho số phức z biết rằng số

phức 2

2( )w i z iz z à số thuần ảo.

Câu 4. (1,0 điểm) Giải phương trình 3 2 2 332 10 17 8 2 5x x x x x x

Trang 63

Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân 3 2

1

1 ln 2 1

2 ln

e x x xI dx

x x

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD à hình thoi t m O cạnh , góc

ABD bằng 1200, SA vuông góc ABC , góc giữ cạnh SC và ABC bằng 60

0. Tính th

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữ h i đường thẳng SA và BM với M là trung

đi m cạnh SD.

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Ox , cho hình chữ nhật ABCD có B, C thu c trục

tung, phương trình đường chéo AC: 3x + 4 – 16 = 0. Xác định tọ đ đỉnh A, B, C, D

biết rằng bán kính đường tròn n i tiếp t m giác ABC bằng 1.

Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gi n Ox z, cho các đi m A 0;1;0 ; B 2;2;2 ; C 2;3;4)

và đường thẳng d có phương trình 1 2 3

2 1 2

x y z

. Tìm M thu c d s o cho th tích

khối tứ diện MABC bằng 3.

Câu 9. (1,0 điểm) Cho , b, c à 3 số dương thỏ mãn điều kiện 3 +b

3 = c

3. Tìm giá trị

nhỏ nhất c bi u thức

2 2 2a b cP

c a c b

-----Hết-----


TRƢỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN Môn thi: TOÁN


------------------------------ ---------------------------------------------------

Câu 1 : Cho hàm số = f x = 3 23x x m (1)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số trên khi m = 4

b Viết phương trình tiếp tu ến d với đồ thị C , biết d song song với đường thẳng : y =

9x + 1

c Tìm m đ đồ thị hàm số 1 có 2 đi m cực trị A, B s o cho 120oAOB

Câu 2 : a) Cho sina = 1

3 (90

o< a < 180

o . Tính A =

2tan 3cot 1

tan cot

a a

a a

b Tìm phần thực và phần ảo c số phức s u 2(2 3 )(3 )

6 17

i i

i

c Giải phương trình : sin3x = 4cos2x.sinx

Câu 3 : Giải phương trình : 3 32 8.2 6.(2 2.2 ) 1x x x x

Câu 4 : Giải phương trình : 2 22 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x

Câu 5 : a) Tính tích ph n I =

1

2

0

2( )1

xxe dxx

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường s u : = x + 1, = x3 3x

2 + x + 1

Trang 64

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD à hình th ng vuông tại A và D,

AB = AD = 2a, CD = a, ( ,( )) 30oSB ABCD . Gọi I à trung đi m c cạnh AD. H i mặt

phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính th tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC theo

Câu 7 : Trong mặt phẳng với hệ toạ đ Ox , cho hình chữ nhật ABCD có đi m I 6; 2 à

gi o đi m c h i đường chéo AC và BD. Đi m M 1; 5 thu c đường thẳng AB và trung

đi m E c cạnh CD thu c đường thẳng

: x + y 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB

Câu 8 : Trong không gi n Ox z cho h i mặt phẳng (P1) : x 2y + 2z 3 = 0 ; (P2) : 2x

+ y 2z 4 = 0 và đường thẳng d : 2 4

1 2 3

x y z

.

a) Lập phương trình mặt phẳng qu đi m O vuông góc với mặt phẳng P1) và song

song với đường thẳng d

b Viết phương trình mặt cầu S có t m I thu c đường thẳng d và tiếp xúc với h i mặt

phẳng P1), (P2)

Câu 9 : M t h p đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Người t chọn r 4

viên bi từ h p đó. Tính xác suất đ trong số bi ấ r không có đ cả b màu

Cu 10 : Cho x, à 2 dương thoả x + = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất c bi u thức :

P = 3 2 3 2

2 2

3 3

2 2

x y y x

x y x y

Chú ý : câu 1c, câu 2c và c u 5b có tính cách ôn tập dự phòng

-----Hết-----

Documents

On thi thpt toan 2014 2015