p1 Física III

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I F / U F R J F S I C A I I I 2 0 0 5 / 2 T U R M A E Q A

1

a

P r o v a 9 / 9 / 2 0 0 5 D u r a o : 2 h

1 . ( 3 , 5 p o n t o s ) D o i s p l a n o s p a r a l e l o s , c a d a u m

d e r e a A = 2 , 0 m

2

, e s e p a r a d o s p o r u m a

d i s t n c i a d = 5 , 0 m m , e s t o u n i f o r m e m e n t e

c a r r e g a d o s c o m + 4 0

C e

4 0

C ; v e j a a

f i g u r a .

a . D e d u z a u m a e x p r e s s o l i t e r a l p a r a o c a m p o e l t r i c o e m p o n t o s p r x i m o s a o

c e n t r o d a s p l a c a s , e m c a d a u m a d a s

t r s r e g i e s : x < 0 , 0 < x d .

J u s t i f i q u e c u i d a d o s a m e n t e a s h i p t e s e s

e a p r o x i m a e s f e i t a s .

b . F a a u m e s b o o d e E c o m o f u n o d e x .

c . O b t e n h a u m a e s t i m a t i v a n u m r i c a p a r a o c a m p o e l t r i c o e n t r e a s p l a c a s .

2 . ( 3 , 5 p o n t o s ) U m c i l i n d r o c o n d u t o r , m a c i o , d e c o m p r i m e n t o L e r a i o a e s t c a r r e g a d o c o m

c a r g a + q . U m a c a s c a c i l n d r i c a d e m e s m o

c o m p r i m e n t o , r a i o i n t e r n o b e r a i o e x t e r n o c ,

t a m b m c o n d u t o r a e c o m c a r g a

2 q ,

c o l o c a d a c o n c e n t r i c a m e n t e c o m o c i l i n d r o ;

v e j a a f i g u r a . C o n s i d e r e L > > a , b , e c , d e m o d o

q u e o s e f e i t o s d e b o r d a p o s s a m s e r

d e s p r e z a d o s . C h a m e d e s a d i s t n c i a a o e i x o

d o c i l i n d r o .

a .

O b t e n h a o c a m p o e l t r i c o , E

, n a s

I n s t r u e s :

1 ) R e s p o s t a s s e m j u s t i f i c a t i v a s n o s e r o c o n s i d e r a d a s . 2 ) A r g u m e n t o s d e s i m e t r i a d e v e m s e r c u i d a d o s a m e n t e j u s t i f i c a d o s . 3 ) O s t e n s e m c a d a q u e s t o n o t m , n e c e s s a r i a m e n t e , o s m e s m o s v a l o r e s . 4 ) N o p e r m i t i d o o u s o d e c a l c u l a d o r a s .

+Q Q

d0 x

ab

c

L

+q2q

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s e r i a m m o d i f i c a d a s p e l a p r e s e n a d e s t a c a r g a ? P o r q u ? ( i i ) Q u e

f o r a e s t a c a r g a e x e r c e s o b r e o c i l i n d r o i n t e r n o ?

3 . ( 3 , 0 p o n t o s ) D o i s f i n o s b a s t e s i s o l a n t e s , s e m i - i n f i n i t o s , p o s s u e m

c a r g a s c o n s t a n t e s p o r u n i d a d e d e c o m p r i m e n t o e + . E l e s s o c o l o c a d o s d e m o d o q u e u m f i q u e n o p r o l o n g a m e n t o d o o u t r o , c o m o

m o s t r a a f i g u r a .

a . Q u a l a d i r e o e o s e n t i d o d o c a m p o e l t r i c o , E , n o p o n t o P , s i t u a d o a u m a d i s t n c i a y d a e x t r e m i d a d e d e a m b o s ?

b . O b t e n h a u m a e x p r e s s o p a r a E , e c o m p a r e s u a d e p e n d n c i a c o m y c o m a d e u m d i p o l o e l t r i c o . E x p l i q u e a d i f e r e n a o u a

s e m e l h a n a .

C o n s t a n t e s f s i c a s :

0

= 8 , 8 5 1 0 1 2 C 2 / N m 2 1 / ( 4

0

) = 8 , 9 9 1 0 9 N m 2 / C 2

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

P

y

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE FSICA

1a PROVA DE FSICA III, 30/04/2008

Questo I (2,5) Um capacitor de placas paralelas e carga q, tem placas de rea A eseparao d.Uma lmina de espessura b introduzida exatamente nomeio entre as placas do capacitor como mostra a figura.(a)Desenhe as linhas de campo eltrico considerando a lmina

introduzida como sendo (i) de um material condutor; (ii) de um

material dieltrico.(b)Supondo que a lmina seja de cobre, calcule (i) A capacitnciadepois da introduo da lmina; (ii) O trabalho realizado sobre almina durante a sua introduo. Ela puxada ou temos de empurr-la para o interior do capacitor ?

Questo II (2,5).Uma esfera oca condutora eletricamente neutra temraio interno ae raio externo b. Uma carga puntiforme q,positiva, est no centro da casca

(veja a figura).(a)Calcule o mdulo do campo eltrico nas regies r>b, a

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE FISICA

FISICA III (FIM230) - 2009/1

PRIMEIRA PROVA UNIFICADA

DATA: 08/04/2009

Nao e permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, iPods ou similares.

No cabecalho do caderno de resolucao, deverao constar, legivelmente, nome do aluno, seunumero de DRE, sua turma, seu horario de aulas e o nome de seu professor.

Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persistaalguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno deresoluo.

Seja claro, preciso e asseado.

PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)]

Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado noplano XY, com suas extremidades nos angulos polares= 0 e = , conforme mostra a figura ao lado. O tre-cho do anel contido no primeiro quadrante (/2> >0)

possui carga total +qe o contido no segundo quadrante( > > /2) carga total q, ondeq >0. As cargas emcada trecho estao distribudas de modo uniforme.(a) Determine as densidades lineares de carga, respecti-vamente+ e , em cada trecho. [0,4 ponto]

Fazendo uso dos vetores unitarios indicados na fi-gura:(b) Obtenha uma expressao para o vetor campo eletricoE+ produzido na origem (ponto P), pela carga existenteno primeiro quadrante. [0,8 ponto]

(c) Obtenha uma expressao para ovetor campo eletrico E produzido na origem (ponto P), pela carga existenteno segundo quadrante. [0,8 ponto](d) Determine entao a expressao para ovetor forca eletrica resultante exercida sobre uma partcula de prova comcargaq0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto]

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Figura 1:

Na figura 1:

dE=

1

40

ds

a2 cos i

1

40

ds

a2 sin j

=

40a( cos d i sin d j)

(2)

Essa expressao vale para qualquer e nao apenas para o primeiro quadrante.

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Figura 2:

(b)dE+ =

q

220a2( cos d i sin d j) (3)

E+ =

q

220a2(i

/20

cos d j

/20

sin d )

= q

220a2(i j)

(4)

(c)dE=

q

220a2( cos d i sin d j) (5)

E=

q

220a2(i

/2

cos d + j

/2

sin d )

= q220a2

(i+j)

(6)

(d)E =

E + +

E =

qi (7)

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(a) Determine a carga eletrica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos](b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo eletrico e uma superfcie gaussiana generica quesera usada para a determinacao do vetor campo eletrico. [0,4 pontos]

(c) Determine o vetor campo eletrico Enas quatro regioes definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b < r < c ec < r). [1,6 pontos]

Resolucao

(a) A carga eletrica total Q contida na esfera sera dada por

Q=

dV =

a0

r4r2dr= 4

a0

r3dr ;

logo:Q= a4 .

(b) Devido a simetria esferica do problema, o campo eletrico so podera ter componente na direcao radial e sopodera depender der, isto e, o campo eletrico sera tal que E= E(r)r. As superfcies gaussianas serao esfericas econcentricas as superfcies do problema de maneira que o modulo do campo eletrico sera constante em cada umadelas.

(c) No caso da regiaob r < c, como a casca esferica e condutora e estamos em equilbrio eletrostatico, o campo

eletrico E sera nulo.Para as outras regioes usaremos a Lei de Gauss

E dS /

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Para a r < be r c:q= Q ,

logo

E(r) = Q

40r2r .

PROBLEMA 3 (Quadrupolo eletrico) [ 2,5 ponto(s)]

A figura ao lado mostra duas partculas de cargaseletricas individuais +q separadas entre si por umadistancia de 2a. No ponto medio entre essas duaspartculas e colocada uma terceira cuja carga eletrica e2q.(a) Obtenha a expressao exata do potencial eletrico V(x)no ponto P do eixo X, para x > a. Qual e a expressao

aproximada para V(x) quando tivermos x a? [1,0ponto]

(b) A partir da expressao exata para o potencial eletrico, obtenha a expressao do vetor campo eletrico E no

ponto P. Qual e a expressao aproximada para E(x) quando tivermos x a? [1,0 ponto](c) Qual e a energia potencial eletrostatica acumulada em tal sistema? [0,5 ponto]

Resolucao

(a) Lembrando que o potencial eletrico de uma partcula de carga q e dado por V(r) = q /(4or), sendo r adistancia em relacao a partcula, entao no caso de uma distribuicao discreta de tres cargas puntiformes em queas cargas eletricas e as posicoes das partculas em relacao ao pontoP sao (+q, x + a), (2q, x), e (+q, xa),o potencial eletrico devido a elas neste ponto sera fornecido por

V(x) = 1

4o

3n=1

qnxn

= q

4o

1

x+a

2

x+

1

x a

=

1

4o

2a2q

x(x2 a2)

.

No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x a e assim

podemos aproximar x(x

2 a

2

)

x

3

na expressao obtida acima para V(x) e com isso teremos que

V(x) Q

4ox3

sendo Q 2a2q o momento de quadrupolo eletrico da distribuicao de cargas.

(b) O vetor campo eletrico Epode ser obtido a partir do potencial eletrico atraves de E(r) = V(r) o que,d P d i

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PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)]

Na figura ao lado, temos um arranjo cons-titudo por uma bateria de forca eletromotrizV0, uma chave S e tres capacitores, 1, 2 e 3, demesma capacitancia C, inicialmente descar-

regados. A chave S e, primeiramente, giradapara a posicaoa e permite-se que o capacitor1 seja completamente carregado. A seguir, achave e girada para a posicaob.(a) Quais sao as cargas finais q1, q2 e q3nos capacitores correspondentes, expressasem funcao deV0 eC? [1,5 ponto](b) Determine a energia total acumulada noscapacitores com a chave na posicaoae aquela

acumulada nos capacitores com a chave naposicao b, expressas em funcao de V0 e C.[1,0 ponto]

V0

S

a b

c

d

1 3

2

Resolucao

(a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posi cao a, e dada por:

Q1= C1V0= C V0.Na segunda etapa, apos a chaveSser girada para a posicaob, observamos, primeiro que, por simetria, a carga

(em modulo) em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 e a mesma; logo:

q2= q3.

Alem disso, por conservacao da carga,q1+q2= Q1= C V0. (9)

Uma outra equacao provira do calculo da ddp entre os pontos a ed de duas maneiras: via o ramo que inclui

so o capacitor 1, fornecendo:Vad=

q1C

ou via o ramo que inclui os capacitores 2 e 3, fornecendo:

Vbcd= V2+V3= 2V2= 2V3= 2q2C

.

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Logo, para a chave na posicao a, temos simplesmente:

Ua=1

2CV20 .

Ja para a chave na posicao b, temos:

Ub= U1+ 2U2 (11)

=12 q2

1

C + q2

2

C , (12)

ou seja,

Ub= 1

3CV20 .

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de FsicaFsica III 2009/2Primeira Prova (P1) 14/10/2009

Versao: A

Aluno:

DRE:

Professor:

Turma:

Secao Nota original Nota de revisao Rubrica

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questao 1


INSTRUCOES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preenchacorreta, legvel e totalmenteos campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabecalhoacima. Sem isso, a correcao de sua prova podera ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

uma parte de dez (10) questoes objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,por sua vez, em duas secoes:

uma secao de sete (7) questoes de multipla escolha (sem nenhum tipo de penalizacao),

uma secao de tres (3) questoes de falso ou verdadeiro (com duas questoes incorretamente respon-didas anulando uma correta);

uma parte discursiva, constituda por duas questoes discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchidaa caneta.

4. E vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletronico (calculadora, celular, iPod, etc)

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Gabarito para Versao A

Secao 1. Multipla escolha (so uma opcao e correta)

1. Em uma regiao do espaco, o potencial ele-trostatico e dado por

V(x,y,z) =a(2x2 + yz ) , a= const ,

ondex,y, z sao as tradicionais coordenadas carte-sianas. O vetor campo eletrico no ponto (2b,b, 2b)e dado por

(a) ab(8x +y+ 2z) .

(b) ab(8x + 2y+z) .

(c) ab(8x + 2y+z) .

(d) ab(8x +y+ 2z) .(e) 0, pois temos simetria plana.

2. Seja a associacao de capacitores da figura abaixo:

a

b

C C C C

A capacitancia equivalente entre os pontos a e bvale:

(a) C/4 .

(b) 3C/4 .(c) C/3 .

(d) 4C/3 .

3. Uma superfcie imaginaria fechada envolve com-

4. Para uma casca esferica condutora, de raio internoa e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-se uma cargaQ. Em seguida, uma partcula (pon-tual) de carga 10q e colocada no seu centro.Qual e a expressao correta para a densidade decarga sobre a superfcie externa da casca condu-tora?

(a) = 10q/(4b2) .

(b) = Q/(4b2) .

(c) = (Q 10q)/(4b2) .

(d) = (Q+ 10q)/(4b2) .

(e) = (10q Q)/(4b2) .

5. Considere as configuracoes A e B de partculas(pontuais) carregadas representadas na figura

abaixo. Efetue a ordenacao da energia potencialeletrostatica armazenada em cada caso, levandoem conta que, nos dois casos, a separacao entre apartcula central e as demais tem sempre o mesmovalor.

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6. Sabe-se que o modulo do campo eletrico na regiaoentre duas placas planas muito grandes, separa-das por uma pequena distancia, e com densida-des superficiais de mesmo modulo, , e dado porE= /0. Podemos afirmar que:

(a) as duas placas sao condutoras.

(b) as duas placas sao isolantes.

(c) uma das placas e condutora e a outra

placa e isolante.(d) as densidades superficiais de cargas nas

placas tem o mesmo sinal.

(e) as densidades superficiais de cargas nas

placas tem sinais opostos.

7. Um dieletrico e inserido entre as placas de um ca-pacitor de placas planas e paralelas, preenchendocompletamente a regiao entre elas. Inicialmente,o espaco entre elas estava preenchido com ar e ocapacitor estava carregado com uma carga Q edesconectado de qualquer bateria. Depois da in-sercao do dieletrico, podemos afirmar que

(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.

(b) a diferenca de potencial entre as placasdo capacitor aumenta.

(c) o campo eletrico no interior do capacitor

diminui.

(d) a energia eletrica armazenada permanecea mesma.

Secao 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)

F Considere uma superfcie cubica, de aresta com comprimento R, e uma superfcie esferica, de raiocom comprimento tambem R. Dentro de cada uma dessas superfcies temos uma partcula de carga q.Podemos concluir que o fluxo do campo eletrico atraves da superfcie cubica e maior que aquele atravesda superfcie esferica.

F O potencial eletrostatico e o mesmo em todos os pontos na superfcie de um condutor em equilbrioeletrostatico, logo a densidade superficial de carga sera a mesma em todos os pontos dessa superfcie.

F Uma partcula (pontual) de carga Q e mantida fixa enquanto outra partcula (pontual), de carga q, etrazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pelaforca eletrostatica atuante sobre a partcula de carga q e positivo se ambas as cargas tiverem o mesmosinal.

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Secao 3. Questoes discursivas

1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem dosistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuicao estacionaria de carga, cuja densidadelinear e dada por

() =

0cos , se 0 ;0 , se < < 2 .

Aqui0 e uma constante e e o usual angulo polar, medido a partir do eixoOX, no sentido trigonometrico.(a) Determine a carga total de tal distribuicao. [0,5 ponto]

(b) Determine o vetor campo eletrico no centro do anel. [1,5 ponto](c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]

Resolucao:

(a) A carga total em qualquer curva C e sempre dada por

Q[C] =

C

(r)d .

No caso,

Q=

=0

0cos Rd

ouQ= 0 .

Este resultado era de se esperar visto que a distribui cao e simetrica em torno de = /2: o mesmo tantode carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribuda

igualmente.(b) Por simetria, o campo eletrico resultante no centro do anel so tera componentex. A contribuicao paratal de um elemento de carga infinitesimal, a um angulo polar , e dada por

dEx = k0dq

R2(r) x

= k0()d

R2 cos

=

k00

R cos

2

d.Logo

E(0) = k00

R

=0

cos2 dx

Ora, do formulario, tiramos que

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2. Considere uma bola esferica isolante (com constante dieletrica igual a 1), de raio R, com uma distribuicaoestacionaria de carga esfericamente simetrica, cuja densidade volumar e dada por

(r) =

Ar2 , se 0 r R ;0 , seR < r

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0 r R:Nesse caso,

Qint =

rr=0

Ar24r2dr

= 4

5Ar5 .

Portanto, pela propria lei de Gauss, novamente, vem

E=Ar3

50r=

Q40

r3

R5 r .

(c) Calcularemos o potencial V(r), num dado ponto de coordenada radial r, por integracao, a partir doinfinito, do campo eletrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:

R r < :Nesse caso,

V(r) V() = rr=

Er(r)dr .

ComoV() = 0, isso implica

V(r) = 1

40

Q

r =

AR5

50r .

0 r R:Nesse caso,

V(r)

V(R) =

r

r=R Er(r)dr .

Como, da ultima equacao, V(R) =Q/(40R) =AR4/(50), isso implica

V(r) AR4

50=

A

200(R4 r4) ,

ou seja,

V(r) = A

200(r4 5R4) =

Q

160R5

(r4 5R4) .

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Universidade Federal do Rio de JaneiroInstituto de FsicaFsica III 2010/1Primeira Prova (P1) 13/05/2010

Versao: A

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Secao Nota original Iniciais Nota de revisao




Total


1. Preenchacorreta, legvel e totalmenteos campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)

do cabecalho acima. Sem isso, a correcao de sua prova podera ficar prejudicada!2. A prova constitui-se de duas partes:

uma parte de doze (12) questoes objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questoesde multipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questoes de verdadeiro ou falso,cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas ultimas com penalizacao tal que uma respostaerrada cancela uma correta.

uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituda por duas (2) questoes discursivas

(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.3. A parte objetiva deve ser preenchidaa caneta.


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Secao 1. Multipla escolha (70,5=3,5 pontos)

1. Considere um triangulo equilatero, com aresta decomprimento a. Suponha que, em seus vertices,ha partculas (pontuais) com cargas q,2q e Q,conforme mostra a figura abaixo. Qual das opcoes

a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,em funcao de q, para que a energia eletrostaticaarmazenada em tal sistema seja nula?

q 2q

Q

(a) q.

(b) q.(c) 2q.(d) 2q.

(e) Isso e impossvel, porque sempre se dis-pende alguma energia para aproximarcorpos carregados.

2 Dois capacitores de capacitancias C1 e C2 = 2C1

3. Na figura a seguir, temos duas partculas (pontu-ais), com carga q eq. Aquela de carga q estaenvolvida por uma superfcie (gaussiana) cubica,com aresta de comprimentoa, situando-se no cen-

tro do cubo. Um segmento de reta, tambem decomprimentoa, perpendicular a uma das faces docubo, une as duas partculas. Para esse arranjoobteve-se: (I) o fluxo do vetor campo eletrico so-bre toda a superfcie gaussiana; (II) o fluxo dovetor campo eletrico sobre a face do cubo situadaentre as cargas; (III) o potencial eletrico num dosvertices (ponto P) nessa mesma face. Os valorespara essas grandezas sao, na mesma ordem:

(a) 2q/0, q/(60), 0

(b) q/0, q/(30), 0

(c) q/0, 0, q/(

3a0)

(d) q/0, q/(30), q /(a0)

(e) 2q/0, 0, q/(

3a0)

(f) 0, q/(60), q/(a0)

A figura a seguir refere-se as questoes 4 e 5. Ela mos-tra, esquematicamente, uma secao transversal (plana)de um objeto condutor macico (de carga eletricatotal nula), colocado em um campo eletrostatico

Como clcular o fluxo naface do cubo ?Como calcular o potencialeltrico num dos vrtices damesma face ?

Basta somar a energia potencial das cargas, dois a dois,sem repetir um par de cargas na conta

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4. Algumas das linhas de campo eletrico, parcial-mente desenhadas na figura, estao erradas e naopodem corresponder a uma situacao fsica real.Assinale a seguir cada linha impossvel [Atencao:nesta questao, pode haver mais de um item correto

e cada marcacao errada anula uma certa!]

(a) 1

(b) 2

(c) 3(d) 4

(e) 5

(f) 6

(g) 7

5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C

e D assinalam quatro diferentes pontos. Marquea opcao que relaciona corretamente os potenciaiseletrostaticos nos referidos pontos:

(a) VA = VB =VC eVC=VD

(b) VA > VB > VC eVC=VD

(c) VA < VB < VC eVC=VD

(d) VA > VB > VC eVC> VD

(e) VA > VB > VC eVC< VD(f) VA < VB < VC eVC< VD

(g) VA = VB =VC eVC< VD

6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-tuadas nos planos cartesianosz = 0 e z = L >0,com densidades superficiais de carga iguais ae 2, respectivamente, onde = const. Assinalea opcao que indica as expressoes corretas para ovetor campo eletrico nas regioes (i) z < 0, (ii)0< z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:

(a) 0, (/0)z, 0 .

(b) 0,

(/0)z, 0 .

(c) [/(20)]z, [3/(20)]z,[/(20)]z .(d) (/0)z,(3/0)z, (/0)z .(e) [/(20)]z, [3/(20)]z, [/(20)]z .

7. Para uma casca esferica condutora, de raiointernoa e raio externo b, com centro no ponto Pe inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.Em seguida, uma partcula (pontual) de carga 9q

e colocada no ponto P. Quais sao as expressoescorretas para as densidades superficiais de cargasobre as superfcies interna e externa da cascacondutora, nessa ordem?

(a) int = (Q 9q)/(4a2) e ext = (Q+9q)/(4b2).

(b) int = 9q/(4a2) e ext = (Q9q)/(4b2).

(c) int = 9q/(4a2) e ext = (Q +9q)/(4b2).

(d) int =9q/[4(b a)2] e ext = (Q+9q)/(4b2).

(e) int = (Q+ 9q)/(4a2) e ext = (Q 9q)/(4b2).

(f) int = (9q Q)/(4a2

) e ext =9q/(4b2).(g) int= 9q/(4a2) e ext= Q/(4b2).

Secao 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (50,3=1,5 ponto; uma questao errada anula uma correta!)

No est perpendicular supefcie.

As linhas de campo no podem sair eentrar no condutor macio

Dentro do Condutor maciono podemos temos linhas de campo

Superficies equipotencias

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F Se, num dado ponto, o campo eletrostatico e zero, entao o potencial eletrostatico tambem vale zeronesse ponto.

Secao 3. Questoes discursivas (22,5=5,0 pontos)

1. Uma casca cil ndrica circular muito longa (infinita), de raio interno ae raio externob, esta uniformementecarregada, com uma densidade volumar (= const).(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]

(b) Determine o vetor campo eletrico para um ponto arbitrario na regiaor > b. [0,7 ponto](c) Determine o vetor campo eletrico para um ponto arbitrario na regiaoa < r < b. [0,9 ponto](d) Determine o vetor campo eletrico para um ponto arbitrario na regiaor < a. [0,4 ponto]

Resolucao:

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22/74

(b) Pela simetria cilndrica do objeto, o campo eletrico em qualquer ponto (externo ou interno) sera or-togonal ao eixo de simetria e seu modulo so podera depender da distancia (radial) r ate ele. Gaussianasadequadas ao problema serao, pois, superfcies cilndricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera ortogonal a superfcielateral da gaussiana, em qualquer posicao, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,

S

En dA=Slat

Er(r)dA

=Er(r)Alat

=Er(r)2rh.

Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e, obviamente, a propria carga calculada no item (a);ou seja,

Qint= (b2 a2)h .

Portanto, pela lei de Gauss,Er(r)2rh = (b

2 a2)h/0 ,e, finalmente,

E(r) = (b2 a2)

20r r (r > b) .

(c) Na gaussiana cilndrica do painel (c) da figura acima, com 0 r < a, a expressao para o fluxo continuasendo Er(r)2rh. Ja a carga no interior dessa nova gaussiana e, por raciocnio analogo ao do item (a),igual a:

Qint= (r2

a2

)h .Portanto, pela lei de Gauss,

E(r) = (r2 a2)

20r r (a r b) .

(d) Finalmente, na ultima regiao, representada no painel (d) da figura acima, a expressao para o fluxomantem-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e nitidamente zero, temos,

uma vez mais pela lei de Gauss,E(r) =0 (0 r a) .

2. Um fio retilneo fino, de comprimento 2L, esta postado ao longo do eixo cartesiano X, com seu centro naorigem desse A densidade linear de carga de tal fio e dada por

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(a) Usamos o princpio de superposicao para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal generico do fio,

de abscissax e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x= 0, y , z = 0),dado por

dV = 1

40

dq

r ,

= 1

40

d

r ,

= 040L

|x|dx

x2

+ y2

.

Logo,

V = 040L

Lx=L

|x|dxx2 + y2

,

= 2040L

L

x=0

xdx

x2 + y2 ,=

040L

2x2 + y2Lx=0

,

ou seja,

V(x= 0, y , z= 0) = 020L

L2 + y2 |y|

.

(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto generico do eixo Y, temos a possibilidade

de calcular, agora, a componente y , e somente esta, via a derivada parcial, obtendo

Ey(x= 0, y , z= 0) = V(x= 0, y , z = 0)y

,

ou seja,

Ey(x= 0, y , z = 0) = 020L

sgn(y) y

L2 + y2

,

ondesgn(y) :=

1, sey >0;

1, sey

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ou seja

Q= 0L .

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Versao: A

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:





Total


1. Preenchacorreta, legvel e totalmenteos campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)do cabecalho acima. Sem isso, a correcao de sua prova podera ficar prejudicada!


uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutda por dez (10) questoes objetivas(de multipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizacao por questao errada.

uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituda por duas (2) questoes discursivas(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.



Formulario

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Secao 1. Multipla escolha (100,5=5,0 pontos)

1. Considere o seguinte corte perpendicular a umafamlia de quatro superfcies equipotenciais, asso-ciadas a um campo eletrostatico. Assinale a opcaoque melhor indica o vetor campo eletrico em cada

um dos pontos A e B , respectivamente.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

2. Considere as seguintes afirmacoes: (I) em umponto qualquer do interior de um condutor emequilbrio eletrostatico, o campo eletrico e sem-pre nulo; (II) em um ponto qualquer do inte-

rior de um isolante, o campo eletrico e semprenulo; (III) se o fluxo do campo eletrico resul-tante atraves de uma superfcie fechada (gaussi-ana) for zero, entao nao existem partculas carre-gadas no interior dessa superfcie; (IV) para to-dos os pontos (internos e na superfcie) de umcondutor em equilbrio eletrostatico o potencial eo mesmo. Dessas afirmacoes, quais sao todas ascorretas?

(a) I, IV .

(b) I .

(c) III .

(d) IV .

(e) I, III, IV .

3. Um fio retilneo, fino, muito longo, possui densi-dade linear de carga constante . Ao deslocarmosuma partcula de cargaq0, desde um ponto a umadistancia a ate um outro ponto a uma distancia

O as linhas de campo eltrico so perpendicularess superfcies equipotenciais. Quanto mais agrupadasas superfcies equipotenciais , maior o mdulo do campoeltrico.

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4. Em um heptagono regular, cuja distancia do cen-

tro a um dos vertices e L, seis de seus verticesestao ocupados por partculas (imoveis) com amesma cargaq. Qual e a forca eletrostatica sobreuma partcula (imovel) de cargaqcolocada emseu centro?

(a) 1

40

q2

L2 x .

(b) 140

q2

L2x .

(c) 140

2q2

L2 x .

(d) 140

3q2

L2 x .

(e) 140

8q2

L2 x .

5. Deseja-se conectar um capacitor de 4 F a outrod C l d l d

6. Um anel circular, fino, de raioR, esta disposto no

plano XY, com centro na origem. Nele, ha umadensidade linear de carga() =0|sen | ,ondee o tradicional angulo polar e0 e uma constante.Qual e a carga total de tal anel?

(a) 0 .

(b) 0R .

(c) 0R2 .

(d) 20R .(e) 40R .

7. Num acelerador de partculas, temos dois feixesparelelos um de protons e outro de eletrons

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8. Um sistema de quatro partculas carregadas,

imoveis, esta representado na figura abaixo,sendo duas delas sabidamente negativas (q < 0).Tres dessas partculas constituem um trianguloisosceles, conforme marcado na figura. Levandoem conta que a forca eletrica resultante sobrea partcula de carga q de tal triangulo e zero,assinale a opcao na qual consta uma afirmacaocorreta sobre o fluxo do campo eletrico resultanteatraves da superfcie

S, E[

S].

(a) E[S]> 0 .(b) E[S] = 0 .(c) E[S]< 0 .(d) Nada se pode afirmar sobre E[S] .

9. Duas cascas esfericas, finas, concentricas pos-

suem, inicialmente, carga20 C na casca externae 10 C na interna. Num certo instante, a cascaexterna e aterrada. Assinale o que ocorre com osistema.

(a) Protons sao deslocados da Terra para acasca externa, ate neutralizar a casca ex-terna.

(b) Eletrons sao deslocados da Terra para a

casca externa.

(c) Eletrons sao deslocados da casca externapara a Terra, ate neutralizar a casca ex-terna.

(d) Protons sao deslocados da casca externapara a Terra.

(e) Eletrons sao deslocados da casca externa

para a Terra, ate que a casca externa te-nha carga10 C.10. Considere os seguintes sistemas carregados: (I) fio

retilneo, fino, finito, uniforme; (II) fio retilneo,fino, finito, nao uniforme; (III) fio retilneo, fino,infinito, nao uniforme; (IV) anel circular, fino,uniforme; (V) bola (esferica), solida, com densi-dade de carga variando so com a distancia ate ocentro. Qual a opcao que indica, desses sistemas,

aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a leide Gauss a fim de deduzir uma expressao analticaexplcita para o campo eletrico resultante?

(a) IV.

(b) V.

(c) I, IV.

(d) I, V.

(e) IV, V.

(f ) I, IV, V.

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Secao 2. Questoes discursivas (2

2,5=5,0 pontos)

1. Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-se em repouso no plano XY, com seu centro na ori-gem. Tal anel possui carga total Q, uniformementedistribuda.(a) Calcule o vetor campo eletrico (modulo, direcao esentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, comcota arbitrariaz . [1,5 ponto]

(b) Considere agora um bastao retilneo, muito fino,em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 ez =b > a. Tal bastao tambem possui carga total Q,uniformemente distribuda. Calcule o vetor forca ele-trostatica sobre tal bastao devido ao anel (Sugestao:a forca sobre o bastao constitui-se da soma vetorialdas forcas sobre cada elemento infinitesimal do bastaocarregado). [1,0 ponto]

Resolucao:

(a) Um elemento infinitesimal do anel criara, no ponto de cota z , um campo eletrico dado por

dE= 1

40

dq

s2s ,

ondedq e a carga de tal elemento infinitesimal e s e o raio vetor do elemento infinitesimal para o ponto noeixo Z, cujo modulo vale

z2 + R2.

Como, por simetria, o campo resultante devido ao anel s o tera componentez , projetamos a expressao acima

ao longo de z, obtendodEz =

1

40

dq

s2z

s.

Logo, ja que, na integracao,z e R sao constantes,

E(zz) = 1

40

Qz

(z2 + R2)3/2z .

(b) Sobre cada elemento infinitesimal do bastao retilneo, age uma forca eletrostatica, devida ao anel, dadapor

dF =dqE,

onde dq e a carga do elemento e E e o campo acima calculado. Temos, pois,

dF =dz 1

4

Qz

2 2 3/2z

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ou seja,

F = Q2

40(b a)

1a2 + R2

1b2 + R2

z .

2. Uma bola esferica, condutora, solida, em equilbrioeletrostatico, de raioa, possui carga totalQ. Tal bolae circundada por uma coroa esferica, isolante (de cons-tante dieletricaK), de raios internoa e externob > a,com uma carga totalQ, uniformemente distribuda(pelo interior da coroa).(a) Calcule o vetor campo eletrico resultante (modulo,direcao e sentido) nas tres regioes: (I) 0< r < a; (II)a < r < b; (III)b < r

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Substituindo isso na equacao precedente, obtemos, finalmente,

E(r) = Q

40Kr2

1 r

3 a3b3 a3

r . (1)

(b)

b < r

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Versao: A

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:





Total


1. Preenchacorreta, legvel e totalmenteos campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)do cabecalho acima. Sem isso, a correcao de sua prova podera ficar prejudicada!


uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutda por dez (10) questoes objetivas(de multipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizacao por questao errada.

uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituda por duas (2) questoes discursivas(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 3,0pontos e a segunda,2,0 pontos.



Formulario

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Secao 1. Multipla escolha (100,5 = 5,0 pontos)

1. Numa regiao do espaco de interesse, existeum campo eletrico constante (uniforme e esta-cionario), na direcao e sentido dex. Nessa mesmaregiao, temos uma superfcie cubica abstrata, queencerra uma partcula (pontual) de carga Q > 0localizada no seu centro. Tres das faces do cuboestao assinaladas na figura: as faces 1 e 3 sao para-

lelas ao planoY Z, ao passo que a face 2 e paralelaao planoX Z. Em relacao ao fluxo i (i= 1, 2, 3)do campo eletrico atraves de cada uma dessas fa-ces (com orientacao do vetor normal para fora,como usual), qual das alternativas abaixo e a cor-

reta?

(a) 1 > 2 > 3.

(b) 1 > 2 = 3.

(c) 1 = 2 > 3.

(d) 1 = 2 = 3.

(e) 1 < 2 < 3.

2. Qual dos graficos abaixo melhor representa o po-tencial eletrostatico de uma esfera de raio R ecarga Q > 0 uniformemente distribuda em todoo seu interior, supondo o potencial zero no infi-nito?

(a)

(b)

(c)

(d)

O que entra negativo, o que sai positivo, oque perpendicular corrente zero.

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3. Um capacitor de placas planas e paralelas, de area

A, a distancia D, e recheado por uma chapacondutora, tambem de areaA, e espessurad < D.

A capacitancia de tal capacitor e:

(a) 20A

a.

(b) 0A

d.

(c) 0A

2a.

(d) 0A

D.

(e) 20 Ad

.

4. Tres aneis circulares, de mesmo raio, cujosquadrantes foram carregados uniformemente comcargas positivas e negativas, de mesmo modulo,estao representados na figura abaixo. Considereas seguintes afirmacoes: (A) o campo eletrico no

centro do anel I e nulo; (B) o campo eletrico nocentro do anel II tem direcao e sentido de y ;(C) o campo eletrico no centro do anel III temdirecao e sentido de xy .

5. Duas esferas condutoras, carregadas, de raios R1e

R2 estao afastadas a uma distancia muito grande,de modo que o campo eletrico na vizinhanca decada esfera pode ser considerado como somentedevido a distribuicao de carga uniforme da propriaesfera. As esferas estao ligadas por um fio con-dutor fino que simplesmente promove o contatoeletrico entre elas. Se R2 = 3R1, qual e aafirmacao verdadeira?

(a) E2 = 3E1.(b) E1 = 9E2.

(c) E2 = E1.

(d) E1 = 3E2.

(e) E2 = 9E1.

6. Uma esfera solida metalica de raio a e umacasca esferica bidimensional, de raio b > a saoconcentricas e estao, cada uma, em equilbrio ele-trostatico (sem contato). Na esfera interna, existeuma carga q, ao passo que, na casca externa,existe uma carga q. Qual das afirmativas abaixo

corresponde ao potencial eletrostatico desse sis-tema nas regioes: (i) 0 r a; (ii) a r b;(iii)b r

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7. A figura representa o perfil de uma placa con-

dutora de espessura d finita e demais dimensoesmuito maiores que d. A densidade superfi-cial de carga em ambas as faces da placa econstante (uniforme e estacionaria). Conside-rando as tres superfcies cilndricas indicadas nafigura, qual das afirmativas abaixo e correta?

(a) E1 > E2 > E3.

(b) E1 > E2 = E3.

(c) E1 = E2 > E3.

(d) E1 < E2 < E3.

(e) E1 = E2 = E3.

8. Duas partculas (pontuais), separadas por umadistancia d, com cargas eletricas q1 e q2 dife-rentes (q1 = q2), produzem um potencial nulonum ponto P do espaco. Tomando o potencialcomo zero no infinito, isso significa necessaria-mente que

(a) nao ha forca eletrica atuando sobre umaoutra partcula de teste colocada noponto P.

(b) as cargas q1e q2devem ter o mesmo sinal.

(c) o trabalho para colocar a partcula decarga q1 a uma distancia d da partculade carga q2 e zero.

(d) o trabalho para trazer uma partcula de

9. Temos tres distribuicoes nao homogeneas de

carga: (1) uma distribuicao linear num fio decomprimentoR, cuja densidade linear de carga e:(x) =1x(0 x R); (2) uma distribuicao su-perficial sobre um disco de raio R, cuja densidadesuperficial e: (r) = 2r (0 r R); (3) umadistribuicao volumar numa esfera de raio R, cujadensidade volumar e: (r) = 3r (0 r R).Aqui,i(i= 1, 2, 3) sao constantes. A carga totalde cada uma dessas tres distribuicoes e a mesma,

Q. Qual das afirmativas abaixo e a correta?

(a) 1 = 2Q

R2; 2 =

3Q

2R3; 3 =

Q

R4.

(b) 1 = Q

2R2; 2 =

Q

6R3; 3=

Q

16R4.

(c) 1 = 2Q

R2; 2 =

Q

6R3; 3 =

Q

16R4.

(d) 1 = 2Q

R2; 2 = 3Q2

2R3 ; 3 = Q3

R4 .

(e) 1 = Q

2R2; 2 =

Q2

6R3; 3=

Q3

16R4.

(f) 1 =QR; 2 = QR2; 3 =

Q4R3

3 .

10. Qual das seguintes afirmativas e falsa?

(a) No processo de carregamento de um ca-pacitor, cria-se um campo eletrico entresuas placas.

(b) O trabalho necessario para se carregarum capacitor pode ser pensado comoo trabalho necessario para se criar umcampo eletrico entre suas placas.

(c) A densidade de energia na regiao entreas placas de um capacitor depende line-armente do modulo do campo eletrico.

(d) A diferenca de potencial entre as placasde um capacitor plano-paralelo dependelinearmente do modulo do campo eletrico.

(e) Ao dobrarmos a carga em cada uma das

E = sigam/epsilon 0

As gaussianas so diferentes,mas os pontos 1, 2 e 3 soparalelos, e pela simetriacilndrica, so iguais.

mas sim peloquadrado docampo eltrico

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Secao 2. Questoes discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)

1. [3,0 pontos] Uma esfera, de raio a e carga total Q,possui uma densidade volumar (resultante) de cargaestacionaria, mas nao uniforme, dada por

= Ar (r < a) ,

onde A e uma constante e r e a distancia ate o

seu centro. Essa esfera esta envolta por uma cascaesferica condutora, concentrica, de raio interno b eraio externoc, com carga total 2Q, em equilrio ele-trostatico (cf. figura ao lado).(a) Expresse a constanteAcomo funcao deaeQ. [0,3ponto](b) Quais sao as densidades superficiais de carga nacasca esferica condutora? [0,3 ponto](c) Determine o campo eletrico nas quatro regioes:

(I) 0 r a, (II) a r < b, (III) b < r < c, e (IV)c < r < . [1,2 ponto](d) Determine o potencial eletrostatico nas quatroregioes supracitadas, tomando-o como zero no infi-nito. [1,2 ponto]

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2. [2,0 pontos] Um capacitor plano-paralelo tem placas

identicas de area A, cada uma, com separacao L en-tre elas (cf. parte superior da figura ao lado). Numaprimeira etapa, tal capacitor e ligado a uma bateriaate atingir um modulo de diferenca de potencial V0entre suas placas e, imediatamente, desconectado dabateria.(a) Determine o modulo E0 do campo eletrico e aenergia eletrostatica armazenadaU0. [0,5 ponto]Numa segunda etapa, um isolante de constante

dieletrica K e inserido no capacitor, preenchendo pelametade a regiao entre suas placas, conforme mostradona parte inferior da figura ao lado.(b) Determine o modulo V da nova diferenca de po-tencial entre as placas. [0,5 ponto](c) Determine o modulo Ei (i= 1, 2) do novo campoeletrico em cada uma das duas metades (1 e 2) en-tre as placas. [0,5 ponto](d) Determine a nova energia eletrostatica armaze-nada U. [0,5 ponto]

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Secao 2. Questoes discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)

1. Resolucao:

(a) Por simetria esferica, temos que a carga total, informada como sendoQ, para a esfera interna, de raioa, deve ser dada por

Q=

a

r=0

(r)4r2dr

= 4A ar=0

r3dr

=Aa4 .

Logo,

A= Q

a4. (1)

(b) Como a casca esferica encontra-se em equilbrio eletrostatico, so pode haver densidades superficiais decarga (se for o caso), em suas superfcies interna e externa. Concretamente, como consequencia imediatada lei de Gauss aplicada para uma gaussiana ligeiramente maior que a superf cie interna da casca, de raiob, necessariamente a deve surgir uma densidade superficial igual a

b = Q

4b2.

Portanto, devido a informacao de que ha uma carga total 2Q na casca (que se conserva no processo deredistribuicao das cargas na casca ate o alcance do equilbrio), surgira uma densidade superficial na suasuperfcie externa, de raio c, igual a

c= Q

4c2.

(c)

0 r a:

Devido a simetria esferica, sabemos que o campo eletrico dentro da esfera (e, na verdade, em qualquerponto do espaco, mesmo nas outras tres regioes), so pode ter componente radial, sendo essa dependentesomente da distancia r, ou seja:

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pode-se expressar como

E[S] :=

S

E ndA

=

S

Er(r)r ndA

=

S

Er(r)r rdA

= S

Er(r)dA

=Er(r)

S

dA

= 4r2Er(r) . (2)

Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos agora calcular o quanto de carga existe dentro dagaussiana escolhida. Isso e analogo as passagens do item (a). De fato, agora,

Qint[S] = r

r=0

(r)4r2dr

=Ar4 =Q r

a

4. (3)

Usando, entao, (2) e (3), obtemos, finalmente,

E(r) =Ar2

40r=

Qr2

40a4r . (4)

a r < b:

Nesta regiao, vazia, e como se o campo fosse devido a uma partcula (pontual) no centro de simetria(a origem) de carga Q (a carga encerrada por uma correspondente gaussiana). Logo,

E(r) = 1

40

Q

r2r . (5)

b < r < c:

Nesta regiao, por ser condutora e estar em equilbrio eletrostatico, devemos ter campo nulo:

E(r) =0 . (6)

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c < r < :

Nesta regiao, o campo eletrico cai com 1/r2, mais exatamente conforme (7); logo o potencial sera:

V(r) = 1

40

Q

r ,

onde ja impusemos a condicao de potencial zero no infinito.

b < r < c:

Nesta regiao, temos um condutor em equilbrio eletrostatico; logo, o potencial deve ser constante e,por continuidade no pontor = c, igual a:

V(r) = 1

40

Q

c .

a r < b:

Nesta regiao, o campo cai, de novo, com 1/r2, mais exatamente conforme (5); logo, o potencial ser a:

V(r) = 1

40

Q

r + k1 .

onde k1 e uma constante de integracao. O valor da constante e determinado, de novo, pela exigenciade continuidade, desta feita, no ponto r = b; obtemos, pois:

V(r) = Q

40

1

r

1

b

1

c . (8)

0 r a:

Nesta regiao o campo cresce com r2, mais exatamente conforme (4); logo, o potencial ser a:

V(r) = Q

120

r3

a4+ k2 . (9)

A exigencia de continuidade em r = a determina o valor da constante de integracao. De fato, fazendor= a em (8), depois em (9) e igualando as correspondentes expressoes, temos

Q

120a+ k2 =

Q

40

1

a

1

b

1

c

.

R l d k b tit i d d lt (9) bt fi l t

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imediatamente da simetria plana e da lei de Gauss.1 Ora, conforme o enunciado, a diferenca de potencial

correspondente entre as placas eV0, logo o campo constante e tal que

V0 = E0L ,

ou seja,

E0 =V0

L .

Ja para determinar a energia armazenada, podemos usar uma qualquer das tres expressoes para tal grandeza:

U0 = 12

Q0V0 =12

C0V2

0 =12

Q20C0

.

onde

C0 =0A

L ; (10)

Q0= C0V0 = 0V0A

L . (11)

(12)

O resultado final e, de qualquer forma, dado por

U0 =1

2

0A

L V20 .

(b) Maneira 1:

No novo capacitor (semi-recheado de isolante), o modulo da diferenca de potencial entre as placassera, obviamente, a soma dos modulos das diferencas de potencial entre as interfaces da regiao 1 e dasinterfaces da regiao 2, ou seja,

V =V1+ V2 .

Naturalmente,

V1 = V0/2

eV2 = V0/(2K) .

Logo,

V

1

1 + K

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e

C2 = K0A

L/2 ,

de modo que a nova capacitancia e dada por

C= 2K

1 + KC0=

2K

1 + K

0A

L .

Como a carga nas placas permanece a mesma, igual a

Q= Q0

=C0V0

=0AV0

L ,

o novo modulo da diferenca de potencial resulta ser

V =1 + K

2K V0 .

(c) Os modulos dos campos nas novas regioes 1 e 2 sao dados por

E1 = E0 = V0

L .

e

E2 = E0

K =

V0KL

.

(d) A nova energia armazenada pode, mais uma vez, ser calculada por qualquer uma das seguintes tresexpressoes:

U=1

2QV =

1

2CV2 =

1

2

Q2

C .

O novo modulo Q de carga nas placas, de fato, e igual ao modulo antigo Q0, dado no item (a), vistoque, apos o processo de carga, a bateria foi desconectada do capacitor. O novo modulo V da diferenca depotencial foi calculado no item (b). Finalmente, a nova capacitanciaC, como ja vimos no item (b) e vemosde novo agora, pode ser obtida pensando-se o capacitor semi-recheado como uma associa cao em serie dedois capacitores, nas regioes 1 e 2 da parte inferior da figura do enunciado. Conclumos, entao,

C1 = 0A

L/2;

0A

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INSTITUTO DE FISICA

FISICA III 2011/2

PRIMEIRA PROVA (P1) 26/09/2011

VERSAO: A


1. Preenchacorreta, legvel e totalmenteos campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor, Turma eVersao de Prova) do cabecalho do caderno de resolucao, fornecido em separado. Sem isso, a correcao desua prova podera ficar prejudicada!


uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituda por dez (10) questoes objetivas(de multipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizacao por questao errada.


3. O item considerado correto, em cada uma das questoes objetivas, deve ser assinalado, a caneta, na tabelade respostas correspondente do caderno de resolucao.


Formulario

Fe

=qE, E= 1

40

q

r2r ,

S

EdA= Qint0

,

C

Ed= 0 , E= V , U= 140

qq

r

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1. Uma casca esferica espessa, condutora, descar-regada, tem raios interno a e externo b, estandosituada no vacuo. No centro de tal casca, e colo-cada uma partcula de carga q >0. Considerandoque o potencial eletrostaticoV e zero no infinito,qual dos diagramas abaixo melhor representa ografico de V contrar?

(a)

(b)

(c)

(d)

2. Considere duas distribuicoes lineares, con-forme mostra a figura, com a mesma cargatotal Q: (I) um anel circular uniformementecarregado, de raio R, e (II) um anel semi-circular uniformemente carregado, de raiotambem R. Assinale a opcao que indica cor-retamente o campo eletrico e o potencial, de

cada distribuicao, no centroP. Suponha queo potencial e tomado como zero no infinito.

(a) EI = 0, VI= Q

40R;

EII = Q

42

0R2

x, VII = Q

40R

.

(b) EI = Q

40R2x, VI = 0;

EII = Q220R2

x, VII = Q

80R.

(c) EI = 0, VI= 0;

EII = Q

40R2x, VII =

Q

40R.

(d) EI = 0, VI= Q40R;

EII = Q

80R2x, VII =

Q

80R.

(e) EI = 0, VI= Q

40R;

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3. O mostrador de um relogio (analogico), circular

tem partculas com cargas negativas 3q, 6q, 9q e12qnas posicoes da periferia correspondentes a 3,6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros dorelogio nao perturbam o campo eletrostatico cri-ado por tais partculas. A que horas o ponteirodas horas aponta na mesma direcao e sentido docampo eletrico no centro do mostrador?

(a) 3 horas e 30 minutos.

(b) 4 horas e 30 minutos.(c) 8 horas e 30 minutos.

(d) 10 horas e 30 minutos.

(e) 1 hora e 30 minutos.

4. Temos um condutor oco, com carga Q, em

equilbrio eletrostatico, conforme mostra a figura.Com uma pequena esfera condutora, tambem decargaQ, considere as quatro seguintes situacoes:(I) a esfera e colocada dentro da cavidade oca,sem tocar a superfcie internaSi.(II) a esfera e colocada dentro da cavidade, emcontato com a superf cie internaSi.(III) a esfera e colocada em contato com asuperfcie externa

Se do condutor oco.

(IV) a esfera e colocada na vizinhanca (externa)do condutor oco, sem tocar nele.Apos atingido o equilbrio eletrostatico ereferindo-se as cargas nas superfcie interna eexterna do condutor oco como Qi e Qe, res-pectivamente, qual das alternativas correspondeas quatro situacoes descritas anteriormente?

(a) I: Qi= Q, Qe= 2Q;II: Qi = 2Q, Qe= 0;III: Qi = 0, Qe= 2Q;IV: Qi = 2Q,Qe= Q.

(b) I: Qi= 0, Qe= Q;II: Qi = Q, Qe= Q;III: Qi = Q, Qe= Q;IV: Qi = 0,Qe = Q.

(c) I: Qi= Q, Qe= 2Q;II Q 0 Q 2Q

No estava com vontade de fazer xp

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5. Se o modulo da diferenca de potencial num capa-

citor dobra de valor, por quais fatores mudam omodulo do campo eletrico e a energia armazenada,respectivamente?

(a) 4 e 2.

(b) 2 e 4.

(c) 2 e 2.

(d) 1/2 e 1/4.

(e) 1/4 e 1/2.

6. Duas partculas com cargas Q >0 eQ e massam sao colocadas nas pontas de uma vareta demassa desprezvel, presa ao tampo de uma mesa

7. Uma bola esferica, condutora, de carga Qe raio R,

em equilbrio eletrostatico esta envolta por umacasca esferica, espessa, isolante, concentrica, deraios interno R e externo a (a > R) e constantedieletrica K1. Imediatamente depois, ha uma ou-tra casca esferica, espessa, isolante, concentrica,de raios interno a e externo b (b > a) e cons-tante dieletrica K2. Ambas as cascas sao neutras.Assinale a opcao que indica corretamente os va-lores do campo eletrico nas quatro regioes: (I)

0 r < R, (II)R < r a, (III)a r be (IV)b r < .

(a) EI = 0, EII = Q

40r2r,

EIII = Q

40r2r, EIV=

Q

40r2r.

(b) EI = Q

40r2r, EII =

Q

40r2r,

EIII = Q40r2r, EIV= Q40r2

r.

(c) EI = Q

40r2r, EII =

Q

40K1r2r,

EIII = Q

40K2r2r, EIV=

Q

40r2r.

(d) EI = 0, EII = Q

40K1r2r,

EIII =

Q

40K2r2r, EIV=

Q

40r2r.

(e) EI = 0, EII = 0,

EIII = 0, EIV= Q

40r2r.

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8. Na figura a seguir, mostramos um capaci-

tor de placas planas e paralelas que tem aregiao entre as suas placas completamentepreenchida com meios isolantes diferentes.

Qual dos diagramas corresponde ao capacitor dafigura?

(a)

(b)

(c)

(d)

9. Considere um quadrado, de arestaL, tal que, em

dois vertices contguos encontram-se partculasde mesma carga q. Qual e o trabalho realizadopela forca eletricaquando duas novas partculas,identicas as primeiras, sao colocadas nos verticesvazios, completando assim o quadrado?

(a) (3 +

2)q2

40L .

(b) q2

20L.

(c) q2

20L.

(d) (2 +

2)q2

40L .

(e) (3 +

2)q2

40L .

10. Considere as tres seguintes afirmativas:(I) Se o fluxo do campo eletrico atraves de uma su-perfcie for zero, entao o campo eletrico em qual-quer ponto da superfcie tambem sera zero.(II) Se o campo eletrico em todo ponto de uma su-perfcie for zero, entao o fluxo do campo atravesde tal superfcie tambem sera zero.(III) Numa certa regiao, temos duas partculascarregadas, sendo uma delas circundada (encer-

rada) por uma superfcie fechada. Entao, para adeterminacao do campo eletrico num ponto de talsuperfcie, so contribui a partcula encerrada peladita superfcie.Assinale a opcao que indica qual(is) dessas afir-mativas esta(ao) correta(s).

(a) Somente a II.

(b) Nenhuma delas.

(c) Somente a I.

(d) Somente a III.

(e) Somente a I e a II.

(f) Somente a I e a III.

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Secao 2. Questoes discursivas (22,5 = 5,0 pontos)

1. [2,5 pontos] Um segmento retilneo, decomprimento 2a, situado ao longo doeixo Z, e composto por duas metades,uniformemente carregadas, com cargas QeQ, conforme mostra a figura ao lado.O centro do sistema coincide com a origemdo eixoZ.

(a) Determine o campo eletrico em umpontoP, do plano z = 0, a uma distanciar do segmento. [1,5 ponto](b) Deduza uma expressao limite paratal campo, como funcao de r, quando opontoP esta muito afastado do segmento.Interprete o resultado obtido. [1,0 ponto]

2. [2,5 pontos] Um cilindro circular reto, solido, de com-primento L muito grande e de raio a, e constitudode material isolante (com constante dieletrica igual a1) e esta envolto por uma casca cilndrica, espessa,tambem de comprimento L muito grande e de raiosbec (b < c), coaxial com o cilindro isolante interno, deeixoZ. Tal casca e constituda de material condutor.No cilindro interno, temos uma carga total Q, uni-formemente distribuda em volume, ao passo que, nacasca externa, temos uma carga totalQ. Considereque o sistema todo esta em equilbrio eletrostatico.Determine, entao,(a) as densidades superficiais de carga b e c, nassuperfcies correspondentes da casca condutora. [0,5ponto](b) o campo eletrico nas quatro regioes do espaco:0 r a, a r < b, b < r < c, e c < r

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1. Resolucao:

(a) Devido a simetria do problema, podemos escrever o campo no ponto P como:

EP = Ey,

onde:

E= 2 a0

dq

40

y

(x2 + y2)3/2 ,

com dq= dy = Qady. Assim, temos:

E= Q

20a

a0

y

(x2 + y2)3/2dy.

Para resolvermos a integral fazemos substituicao simplesu = x2 + y2, de modo que:

y

(x2 + y2)3/2dy= 1

x2 + y2.

Substituindo agora os limites de integracao encontramos:

E= Q

20a

1

x 1

x2 + a2

,

e finalmente:

EP = Q

20a y 1x2 + a2 1x .

(b) Para valores de x tais que x >> a podemos expandir a expressao para EPem serie de Taylor. Temosque:

(1 + w)p 1 +pw+ p(p 1)2

w2 + ...

Vamos preparar a expressao do campo para fazer a expansao. Observe que:

EP = Qy

20a

1

x

1 +

ax

2 12 1

.

Devemos tomar ate o segundo termo da expansao, assim:

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(a) A cargaQ do cilindro isolante vai atrair a carga Qda casca condutora que, no equil brio eletrostatico,ficara distribuda na superfcie interna da mesma. Portanto, a densidade superficial de carga na superfcieexterna da casca e

c = 0, (1)

enquanto que na superfcie interna e

b= Q2bL

(2)

(b) Vamos considerar, para aplicar a lei de Gauss, superfcies Gaussianas que sao cilindros coaxiais ao

isolante, com raio r e comprimento l. Por simetria, temos que o campo eletrico, desprezando efeitos deborda, e da forma

E=E(r)r, (3)

Portanto, nao ha fluxo eletrico atraves das bases dos cilindros, E ndA= E(r)2rl. (4)

Para aplicar a lei de Gauss, precisamos calcular a carga total Qint no interior das superfcies Gaussianas

de interesse. A densidade volumar de carga no isolante e

= Q

V =

Q

a2L (5)

Para 0 r a:Qint= VG = r

2l= Qr2l

a2L (6)

Paraa r b:Qint =VG= a

2

l= Ql

L (7)

Para b r c, temos que somar a carga no isolante com a carga na superfcie interna da cascacondutora:

Qint = VG+ b2bl = 0 (8)

Parar c, temos que somar a carga no isolante com a carga nas superfcies interna e externa da cascacondutora:

Qint = VG+ b2bl+ c2cl = 0 (9)

Com isso, a lei de Gauss se resume a:

Para 0 r a:E(r)2rl =

Qr2l

0a2L, (10)

l

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Parar c:E(r)2rl = 0 E(r) = 0. (15)

(c) Podemos calcular o potencial eletrico a partir do campo eletrico usando:

V1 V2=

2

1

E dl (16)

Parar c:V(r) V(r ) =

rEdl= 0. (17)

EscolhendoV(r ) = 0, temos queV(r) = 0. (18)

Parab r c, temos novamente:

V(r) V(r= c) = cr

E dl= 0. (19)

Pelo resultado anterior,V(r= c) = 0, temos que

V(r) = 0. (20)

Paraa r b:V(r) V(r= b) =

br

E dl= Q20L

br

dr

r . (21)

Pelo resultado anterior,V(r= b) = 0, temos que

V(r) = Q

20Lln

b

r

. (22)

Para 0 r a:V(r) V(r= a) =

ar

E dl= Q20a2L

ar

rdr. (23)

Pelo resultado anterior,V(r= a) = Q20L

ln ba, temos que

V(r) = Q

20L

a2 r2

2a2 + ln

b

a

. (24)

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INSTITUTO DE FISICA

FISICA III 2012/1

PRIMEIRA PROVA (P1) 02/05/2012

VERSAO: A


1. PreenchaCORRETA, LEGIVEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabecalho do cadernode resolucao, fornecido em separado.


uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituda por dez (10) questoes objetivas(de multipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizacao por questao errada.


3. Acima da tabela de respostas das questoes objetivas, na primeira pagina do caderno de resolucao, INDI-

QUE CLARAMENTE A VERSAO DA PROVA (A, B,. . . ).

4. O item considerado correto, em cada uma das questoes objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (detinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resolu cao


6. Seja organizado e claro.

Formulario

Fe

=qE, E= k0q

r2r

ondek0=

1

40

,

S

EdA= Qint0

,

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1. Uma partcula e um nucleo de ltio estao emrepouso. O nucleo de ltio tem carga 3e > 0e massa 7 u (unidades de massa atomica), aopasso que a partcula tem carga 2e e massa 4u. Qual dos metodos propostos a seguir acelera asduas partculas ate o mesmo valor final de energiacinetica?

(a) Sujeitar ambos a uma mesma diferencade potencial (ddp).

(b) Sujeitar a partcula a uma ddp V e onucleo de ltio a uma ddp 3V.

(c) Sujeitar a partcula a uma ddp V e onucleo de ltio a uma ddp 7V /4.

(d) Sujeitar a partcula a uma ddp V e onucleo de ltio a uma ddp 2V /3.

(e) Nenhum dos metodos anteriores.

2. Uma partcula (pontual) de cargaQ esta rode-ada por partculas (pontuais) carregadas, situa-das em dois aneis concentricos com a partcula decargaQ, conforme indicado na figura. Os raiosdos aneis sao r e R = 2r. Indique a alternativaque apresenta corretamente: o campo eletrico Eno centro da figura (excetuando, naturalmente, o

da propria partcula de carga Q), a forca eletricaresultante Fsobre a partcula de carga Qe o po-tencial eletricoVno centro da figura (excetuando,novamente, o da propria partcula de cargaQ).Aproveite-se de simetrias do problema.

(a) E = k0

10q

r2 y, F = k

0

10qQ

r2 y, V =

k010q

r .

(b) E = k0 2qr2

y, F = k0 2qQr2

y, V =

k04q

R+r.

(c) E = k0 2qr2

y, F = k02qQ

r2 y, V =

k0 10qr

.

(d) E = k03q

R2y, F = k0 3qQ

R2 y, V =

k03q

R.

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3. Um dipolo rgido e colocado na proximidade de

uma partcula (pontual) de carga Q < 0, fixano plano medio, perpendicular ao eixo do dipolo,conforme mostra a figura. Podemos afirmar que omovimento inicial do dipolo, imediatamente aposser liberado do repouso, consiste em

(a) uma translacao para a direita e umarotacao, em torno do seu centro, no sen-tido anti-horario.

(b) uma translacao para a direita e umarotacao, em torno do seu centro, no sen-tido horario.

(c) uma translacao para cima e uma rotacao,em torno do seu centro, no sentidohorario.

(d) uma translacao para baixo e uma rotacao,em torno do seu centro, no sentido

horario.(e) uma translacao para a esquerda e uma

rotacao, em torno do seu centro, no sen-tido horario.

4. Na figura, temos secoes transversais de superfcies

esfericas e cubicas, dentro de cada uma das quaisexiste uma partcula carregada. Ordene, emsequencia decrescente, os fluxos de campo eletricoi(i= 1, 2, 3, 4, 5, 6) atraves de cada superfcie.

(a) 3> 6= 5> 4> 2= 1.

(b) 3> 5> 4> 1> 6> 2.

(c) 6= 5> 3> 2= 1> 4.

(d) 3> 6> 5> 4> 2> 1.

(e) 6= 5> 3= 2= 1> 4.

???????????

No impota as dimenses da superfcie gaussiana, massim a quantidade de carga interna nela.

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5. Considere o grafico que mostra como o potencial

eletrostatico varia, em funcao da distancia radiala partir de um determinado ponto central, emcada uma de 4 regioes (disjuntas) do espaco. Nasregioes I e III, o potencial e constante, ao passoque, nas regioes II e IV, ele decresce monotona-mente. Podemos afirmar que:

(a) A componente radial do campo eletrico enegativa nas regioes I e II.

(b) A componente radial do campo eletrico enula nas regioes I e III.

(c) A componente radial do campo eletrico enegativa nas regioes II e IV.

(d) A componente radial do campo eletrico enula nas regioes II e IV.

(e) A componente radial do campo eletrico epositiva em todas as quatro regioes.

6. Na figura, ilustramos duas esferas carregadas, de

mesmo raio R. Elas estao isoladas uma da outrae se encontram em equilbrio eletrostatico. A es-fera da direita e condutora e a esfera da esquerdatem densidade volumar de carga = const. SejaWi (i = 1, 2, 3, 4) o trabalho realizado pela forcaeletrica ao transportar uma partcula de teste comcarga positiva, saindo do ponto A e retornandoao mesmo, ao longo dos caminhos (orientados)Ci (i = 1, 2, 3, 4). Qual das alternativas abaixoe a correta?

(a) W1= W2= W3= W4.

(b) W1> W3< W2< W4.

(c) W1= W3< W2= W4.

(d) W1> W3> W2< W4.

(e) W1= W3> W2= W4.

7. Uma pastilha de metal em forma de parale-leppedo sera utilizada como um resistor. Tal pas-

Trabalho igual a vario da energia potencial, comoas trajetrias so fechadas, so todas iguais a zero

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8. Um capacitor de capacitanciaC0 e carregado por

uma bateria de femV0, recebendo, nesse processo,uma carga final de modulo Q0 em cada placa. Aseguir, o capacitor e desligado da bateria e co-nectado em paralelo com um capacitor de capa-citancia C0/2, que esta descarregado. Apos atin-gido o equilbrio eletrostatico, podemos afirmarque as grandezas modulo da diferenca de poten-cialV, modulo da cargaQem cada placa e energiaarmazenada U, no capacitor de capacitancia C0,

apresentam o seguinte comportamento:(a) V permanece constante, Q permanece

constante,Udiminui.

(b) V permanece constante, Q diminui, Upermanece constante.

(c) V diminui,Q permanece constante,Udi-minui.

(d) Vdiminui,Qdiminui,Upermanece cons-tante.

(e) V diminui, Q diminui, Udiminui.

9. Na figura, temos uma secao tranversal de um

corpo condutor, isolado (muito afastado de quais-quer outros corpos), em equilbrio eletrostatico,carregado positivamente, alem de algumas curvasorientadas. Qual(is) de tais curvas, nitidamente,nao pode(m) representar linhas de campo do cor-respondente campo eletrostatico?

(a) 1 e 4.

(b) 1, 4 e 8.

(c) 2, 6 e 7.

(d) 1, 3, 4, 5, 7 e 8.

(e) 1, 3, 4, 5 e 8.

10. Considere um capacitor de placas quadradas, pa-ralelas, de area A e separadas por uma distanciaL. Das operacoes listadas a seguir, qual nao alteraa capacitancia?

(a) Inclinar uma das placas com respeito aoutra.

(b) Reduzir a separacaoL.

(c) Introduzir uma chapa de cobre entre as

placas do capacitor.

(d) Introduzir uma chapa isolante entre asplacas do capacitor.

(e) Duplicar a area de ambas as placas.

(

?????

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1. [2,5 pontos] Na figura ao lado, temos dois objetos ex-tensos, muito finos, uniformemente carregados, em re-pouso. O anel tem raio r e carga q, e a barra temcomprimento L e carga Q. Como mostrado na fi-gura, a barra esta sobre o eixo Z, que e perpendicularao plano do anel e passa pelo centro desse, tomadocomo origem. A extremidade mais proxima da barraencontra-se na cota z = a.(a) Determine o vetor campo eletrico produzido peloanel em um ponto arbitrario do eixoZ, com cota z.[1,0 ponto](b) Determine o vetor forca eletrica que o anel exercesobre a barra. [1,0 ponto](c) Determine o vetor forca eletrica do anel sobre abarra, no limite em que a L, r. [0,5 ponto]

2. [2,5 pontos] Um cilindro circular, solido, con-dutor, muito longo, com base de raioR, pos-sui, em sua superfcie lateral, uma densidadesuperficial de carga constante igual aR. Co-axial com esse cilindro, ha uma casca espessa,neutra, tambem cilndrica, condutora e igual-mente longa, de raios interno a e externo b,conforme mostra a figura ao lado. Suponha

que o sistema todo esteja em equilbrio ele-trostatico.(a) Determine as densidades superficiais decarga a e b, supostas constantes, nas su-perfcies interna e externa da casca, respecti-vamente. [0,5 ponto](b) Determine o vetor campo eletrico nasquatro regioes: (I) 0 r < R , (II)R < r < a,

(III)a < r < b, e (IV)b < r < . [1,0 ponto](c) Determine o potencial eletrostatico nasquatro regioes acima, tomando-o como zerona superfcie do cilindro solido de raioR. [1,0ponto]Justifique toda sua argumentacao.

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1. Resolucao:

(a) Considere o elemento de carga dqilustrado na figura. Este elemento de carga dista s do ponto de cotaz no eixoZtal que:

s2 =r2 +z2 .

O vetor campo eletrico dEdevido ao elemento de carga dqno ponto de cota z tem modulo

dE= 1

40

dq

s2

e faz um angulo com o eixoZ, de modo que:

cos = z

s =

z

(r2 +z2)1/2

esen =

r

s =

r

(r2 +z2)1/2 .

EntaodE= dEcos z+dEsen x .

ARGUMENTACAO EXTENSA: Por sua vez, ainda em relacao ao ponto de cota z, o campo eletrico dEassociado ao elemento de carga diametralmente oposto ao dqcitado acima tambem faz o mesmo angulocom o eixo

Z, tem o mesmo modulodEdeterminado antes, mas tem a sua projecao perpendicular ao eixo

Z em sentido oposto a projecao correspondente relacionada ao elemento de carga dq. Este cancelamentovai acontecer para cada par de elementos de carga diametralmente opostos no anel uniformente carregado.Ou seja, o vetor campo eletrico do anel de cargas no ponto de cotaz tem a direcao do eixoZe o sentido eo do unitarioz.

ARGUMENTACAO COMPACTA: De acordo com a simetria da distribuicao de cargas, o campo eletrico

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que e a forca de interacao eletrostatica entre duas partculas pontuais carregadas separadas por umadistancia a.

2. Resolucao:

(a) Em pontos do interior de um condutor em equilbrio eletrostatico, o campo eletrico (macroscopico) ezero. Logo, pela lei de Gauss, qualquer superfcie fechada constituda totalmente por pontos do interiordo condutor deve encerrar uma carga total igual a zero. Apliquemos isso para uma gaussiana cilndricacircular, coaxial com o eixo de simetria da distribuicao em questao, de raio r, tal que a < r < b. Devemos

ter, entao:Qint= R2Rh+a2ah = 0 .

Logo,

a = Ra

R. (1)

Como a casca e condutora, no equilbrio eletrostatico, toda a carga em excesso so pode depositar-se emsuas superfcies (interna e/ou externa). Entao, e claro, registra-se uma distribuicao de carga com densidadenao nula, dada por (1), na sua superfcie interna (de raio a). Como a casca e neutra, isso implica que, na

sua superfcie externa (de raio b) deve haver uma correspondente distribuicao de carga com densidade btal que

b2bh+a2ah = 0 .

Logo,

b= ab

a = R

bR. (2)

(b) Nas regioes I e III, por tratarem-se de regioes no interior de condutores em equilbrio eletrostatico,os campos eletricos (macroscopicos) sao zero, como simples consequencia das definicoes de condutor e deequilbrio eletrostatico. Concretamente,

Regiao I: 0 r < R:

E= 0 . (3)

Regiao III: a < r < b:

E= 0 . (4)

Regiao II: R < r < a:

Devido a simetria cilndrica da situacao, o campo eletrico resultante deve ter somente componenteradial:

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E claro que, devido a perpendicularidade, nas bases, entre Ee n, as duas ultimas integrais sao nulas,sobrando somente aquela na superfcie lateral. Essa pode, nitidamente, levando em conta que, nessecaso, n=r, ser escrita como

Slat

En dA= Er(r)2rh. (5)

Por outro lado, a carga total encerrada nessa gaussiana e somente aquela presente no cilindro solido,de raioR, ou seja:

Qint= R2Rh. (6)

A lei de Gauss exige que igualemos a expressao do fluxo total (5) e a expressao dessa carga total

encerrada (6), dividida por 0. Isso nos leva a

Er(r)2rh =R2Rh

0,

ou seja,

E=RR

0

1

rr . (7)

Regiao IV: b < r R) .

Logo, a energia total armazenada no correspondente campo eletrico e

U

1

E2( )4 2d

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V(r) =

C

E d =r

Erdr=0R0

0

r

dr

r2 =

0R00r

,

onder = |r|. Escolhendo um ponto de posicaor1 na superfcie do balao expandido, temos|r1| = 2R0 e, portanto,

V(r1) = 0R

20

20R0=

0R020

.

(d) A variacao da energia potencial e dada p or U = U1 U0, onde U1 (U0) e a energia p otencial eletrostatica depois(antes) da expansao. Temos, pelo menos, 3 diferentes maneiras de resolver tal item.

trabalho atraves de uma ddp:Para calcularmos o trabalho para carregarmos o balao (com raio fixoR, por exemplo), desde uma carga inicial q= 0ate uma carga final q= Q, imaginamos um instante tpico intermediario em que o balao tem carga qentre 0 e Q epotencial v = k0q/R entre 0 e V = k0Q/R. Nesse instante, trazemos uma carga infinitesimal adicional dq, desde oinfinito ate a superfcie do balao e o correspondente trabalho infinitesimal para tanto, visto que o potencial foi feitozero no infinito, e

dU= dqv = dqk0q/R.

Logo, o trabalho total para carregar o baao e:

U =1

2

k0Q2

R .

Agora, temos somente que subtrair o valor de tal expressao quandoR = R0 do seu valor quandoR = 2R0, para obter:

U = 14

k0Q2

R0=

20R

30

0.

OU energia de uma distribuicao superficial generica:A energia potencial associada a uma distribuicao superficial de carga e dada p or

U =1

2

S

(r)V(r) dA,

onde S e uma superfcie dada. No nosso caso, entao, temos

Ui= 1

2

Si

iV(ri)dA= V(ri)

2

Si

i dA=Q0V(ri)

2

onde i = 0, 1 e S0 (S1) e a superfcie do balao antes (depois) da expansao. Usamos ainda o fato de que superfciesesfericas sao equipotenciais deV(r). Sabendo-se entao que

V(r0) =0R0

0

e usando o resultado do item (c), temos finalmente

U =Q0

2 (V(r1) V(r0)) =

20R

30

0.

3

U =

r=R 2

0E2(r)4r2dr

= 20 r=R

k20Q

2

r4 r2dr

= 1

2k0Q

2

r=R

1

r2dr

= 1

2

k0Q2

R .

Portanto, assim como na primeira maneira de resolucao acima,

U=

1

4

k0Q2

R0

=

20R30

0

.

4

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7. Um catavento, com configuracao inicial mostradana figura, imerso totalmente em um campo eletricoE constante (uniforme e estacionario), e constitudopor 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.O comprimento de cada dipolo e o mesmo, igual aL,e suas cargas positivas sao q e 2q. Quando tal ca-tavento for girado de 90, no sentido horario, comosugerido pelo arco tracejado, qual e o trabalho reali-

d l f lt i ?

8. Considere um quadrado, com aresta de comprimentoa, com partculas carregadas em todos os seus 4vertices, conforme mostra a figura. Qual e o moduloda forca eletrica resultante sobre a part cula no verticesuperior direito?

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zado pela forca eletrica?

(a) 3qLE.

(b) 3qLE.(c) qLE.(d) qLE.

(e) 0.

(a) 3

2q2/(80a2).

(b)

2q2/(80a2).

(c)

10q2/(80a2).

(d) (4 2)q2/(80a2).(e) 0.


1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raioR, com uma densidade volumar de carga estacionaria, mas nao uniforme,dada por

(r) =

C(R r) , se 0 r R;0 , seR < r < ,ondeC e uma constante.(a) Determine a carga totalQ da distribuicao. [0,6 ponto](b) Determine o campo eletrico nas duas regioes tpicas do espaco. [1,0 ponto](c) Determine o potencial eletrico nas duas regioes tpicas do espaco, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]

3

2. [2,6 pontos] Um bastao fino, de comprimento a, esta no eixo y, com uma extremindica a figura. A densidade linear de carga do bast ao e igual (y) = Cy, sendo C(a) Determine a carga total do bastao. [0,4 ponto](b) Determine o potencial eletrico V num ponto generico P do eixo X, com absccomo zero no infinito. [1,0 ponto](c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo elex 0). [1,0 ponto](d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, e nula? [0,2 ponto]

4



1. (a)

2. (e)

3 (d)

5. (a)

6. (c)

7 ( )

Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por intermedio da lei de GauS, uma superfcie esferica, concentrica com o centro da distribuicao de carga, de gaussiana, o fluxo de campo eletrico sera, pois, para qualquer uma das duas regioe

E[S] :=

S

E dA= 4r2Er(r) .

Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana tera expressoes diferentes em cada r

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3. (d)

4. (e)

7. (c)

8. (b)


1. Resolucao:(a) Devido a simetria esferica da distribuicao de carga, e conveniente trabalharmos com coordenadas esfericas(r,,), como sugerido pelo proprio enunciado do problema. Sendo assim, uma regiao infinitesimal tpica, devolume dV, tera, por definicao de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a

dq

= dV

=(r) dr r d rsen d .

Dentro, pois, de uma casca esferica infinitesimal, de raio r e espessuradr , concentrica com o centro da distribuicao,a carga infinitesimal sera

dq=

=0

2=0

(r)r dr rd rsen d

=(r) 4r2 dr .

Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r , concentrica com o centro da distribuicao, sera

q(r) =

rr=0

(r) 4r 2 dr

= 4C

rr=0

(R r) r2 dr

= 4C

Rr3

3 r

4

4

. (1)

Por fim, na esfera carregada completa, a carga total sera, pois, Q = q(R), ou seja,

Q= 4C

R4

3 R

4

4

,

ou

Q=1

3CR4 . (2)

(b) Devido a simetria esferica da distribuicao de carga, o campo eletrico deve ter a forma, em coordenadas esfericas,E(r) = Er(r)r . (3)

1

, g p g p

R r < :Neste caso, a carga no interior da gaussian ser a toda a carga da distribuicao,

Qint(r) = Q =1

3C R4 .

Logo,

E= Q

40r2r=

CR4

120r2 r .

0

r

R:

Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana sera dada por (1):

Qint(r) = q(r) = 4C

Rr3

3 r

4

4

.

Logo,

E= C

0

Rr

3 r

2

4

r .

(c) Como foi solicitado, no enunciado, que facamos o potencial zero no infinitopotencial justamente na regiao de fora.

R r < :Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressao

V(r) = Q

40r+ c1,

onde c1 e uma constante de integracao. Como devemos terV(r

) = 0,

zero, e, portanto,

V(r) = Q

40r =

CR4

120r.

o r R:Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressao

V(r) = C0

Rr2

6 r

3

12

+c2

= C60

R r2

r2 +c2,

2

onde c2 e uma outra constante de integracao. Como o potencial deve ser contnuo na fronteira dessas duasregioes, devemos ter

V(r R) = V(r R+)

CR3

120+c2=

C R3

120,

o que implicaCR3

(c) Determinar a componente x do campo eletrico,

E= V, Ex = Vx

Resolver a derivada

V C x

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c2 =60

.

Entao, finalmente,

V(r) = C60

R r

2

r2 +

C R3

60.

2. Resolucao:

(a)

dQ= (y) dyQ=

ay=0

(y) dy (limites de integracao)

Q=Ca2

2

(b)

Tomando a origem do potencial no infinito,

dV(P) = dQ

40r,

onde,dQ= (y) dy

V(P) =

a0

Cydy

40(x2 +y2)1/2.

Resolvendo a integral,

V(P) =

a0

Cydy

40(x2 +y2)1/2

= C

40

(x2+a2)x2

du

u1/2

= C

40

u1/2

(x2+a2)1/2u=x2

= C

40 (x2 +a2)1/2 |x|

3

V

x

= C

40

x

(x2

+a2

)1/2

1

e

Ex = C

40

1 x

(x2 +a2)1/2

(d) A componente y do campo eletrico nao e nula em P, pois, nitidamente, se C >

4

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p1 Física III