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CONICA: PARABOLA

Parábola

Una sección cónica (o simplemente cónica) es la intersección de un

plano y un cono doble (conos opuestos por el vértice). Observe la sig.

Figura 1 que en la formación de las cuatro cónicas básicas el plano de

intersección no pasa por el vértice del cono, cuando el plano pasa por

el vértice, la Figura B resultante es una cónica degenerada como se

muestra en la figura.

Figura 1. Cónicas Básicas

Figura 2. Cónicas Degeneradas

Hay varias formas de abordar el estudio de las cónicas en términos de

las intersecciones de planos y conos o bien se pueden definir en forma

algebraica en términos de la ecuación general de segundo grado.

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2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F (1.1)

Sin embargo, se estudia una tercera forma en el que cada una de las

cónicas se define como un conjunto de puntos (colección) que

satisfacen una propiedad geométrica.

Parábolas

La función cuadrática 2( )f x ax bx c es una parábola que se abre

hacia arriba o hacia abajo.

Definición de Parábola

Una parábola es el conjunto de puntos ,x y del plano que son

equidistantes de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco) que no

está en la recta.

Figura 3. Parábola

El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vértice y la recta

que pasa por el foco y el vértice se denomina eje de la parábola.

𝑑2

𝑑2

𝑑1

𝑑1

Vértice

Foco

Directriz

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Forma Estándar de una Parábola

La forma estándar de la ecuación de la parábola con vértice en ( , )h k

es la siguiente:

2

2

4 , 0 ,

4 , 0 , x

x h p y k p Ejevertical Directriz y k p

y k p x h p Ejevertical Horizontal h p

El foco se encuentra en el eje de la parábola a P unidades (distancia

dirigida) del vértice. Si el vértice está en el origen 0,0 . La ecuación

adopta una de las siguientes formas:

2

2

4

4

x py Eje Vertical

y px Eje Horizontal

Como se muestra a continuación

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ, 𝑘 + 𝑝)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘)

𝑝 > 0

𝐸𝑗𝑒: 𝑥 = ℎ

𝐴) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Eje Vertical 𝑝 > 0

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 𝑘 − 𝑝

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𝐸𝑗𝑒: 𝑥 = ℎ

𝑝 < 0

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘)

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ, 𝑘 + 𝑝)

𝐵) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Eje Vertical 𝑝 < 0

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 𝑘 − 𝑝

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ + 𝑝, 𝑘)

𝐸𝑗𝑒: 𝑦 = 𝑘

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = ℎ − 𝑝

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘)

𝐶) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Eje Horizontal 𝑝 > 0

𝑝 > 0

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Problema 1

Determinación del foco de una parábola

Determine el foco de una parábola dada por 2 21 1

2 2y x x

Solución

Para determinar el foco, la ecuación se convierte a la forma estándar

completando el cuadrado.

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑝 < 0

𝐸𝑗𝑒: 𝑦 = 𝑘

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ + 𝑝, 𝑘) 𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ + 𝑝, 𝑘)

𝐷) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Eje Horizontal 𝑝 < 0

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2

2

2

2

2

1 1 Escriba la ecuación original

2 2

2 2 1 Multiplique cada lado por - 2

1 2 2 Sume 1 cada lado

1 1 2 2 1 Complete el cuadrado

2 2 2 1 Combine terminos semejant

y x x

y x x

y x x

y x x

y x x

2

es

2( 1) ( 1) Forma Estandary x

Comparando esta ecuación con

2

4 ( )x h p y k

Se concluye que 1

1, 1 2

h k y p

Como p es negativa, la parábola se abre hacia abajo como se muestra

en la siguiente figura.

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(−1,1)

𝐹𝑜𝑐𝑜 (−1,1

2)

𝑦 = −1

2𝑥2 − 𝑥 +

1

2

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Problema 2 Vértice en el origen

Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en el origen

y foco (2,0)

Solución

El eje de la parábola es horizontal y pasa por 0,0 y 2,0 como se

muestra en la siguiente figura

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𝐹𝑜𝑐𝑜(2,0)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(0,0)

𝑦2 = 8𝑥

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Por lo tanto, la forma estándar es 2 4y px donde 0, 0h k y 2p .

La ecuación es:

2 8y x

Problema 3

Determinación de la ecuación estándar de la parábola con vértice 2,1

y foco 2,4

Solución

El eje de la parábola es vertical y pasa por 2,1 y 2,4 . Considere la

ecuación

2

4x h p y k

Donde 2, 1h k y 4 1 3p . Por lo tanto es la forma estándar es

2

2 12 1x y

La forma cuadrática más común se puede obtener como sigue

2

2

2

2

2 12 1

4 4 12 12

4 16 12

14 16

12

x y

x x y

x x y

x x y

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Problemas de Aplicación

Diseño de un camino. Con frecuencia los caminos se diseñan con

superficies parabólicas para permitir que escurra la lluvia. Un camino

con 10 metros de ancho esta 0.12 metros más alto en el centro, que en

uno de los lados (véase la siguiente figura).

(𝑥 − 2)2 = 12(𝑦 − 1)

𝐹𝑜𝑐𝑜(2,4)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(2,1)

0.12𝑚

10𝑚

𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜

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a. Encuentre la ecuación de una parábola que modele la superficie

del camino (suponga que el origen está en el centro del camino).

Puntos de la parábola

5,0.12

Por lo tanto tenemos

2

2

2

2

2

4

5 4 0.12

25 0.48

52

4 52

208

1

208

x py

p

p

p

x y

x y

y x

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(0,0)

𝐹𝑜𝑐𝑜(0,0.12)

5𝑚 5𝑚

10𝑚

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Orbita Satelital. Un Satélite MEO con una órbita circular a 160 kilómetros

de altura alrededor de la Tierra tiene una velocidad aproximadamente

28,160 kilómetros por hora. Si esta velocidad se multiplica por 2 , el

satélite tendrá la velocidad mínima necesaria para escapar de la

gravedad de la tierra y seguirá una trayectoria parabólica con el centro

de la Tierra por foco.

6436 𝑘𝑚

6596𝑘𝑚

𝑂𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑇𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐𝑎

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a. Encuentre la velocidad de escape del satélite

(28160) 2 39824 /V km hr

b. Halle una ecuación del trayecto parabólico del satélite (suponga

que el radio de la tierra es de 6436 kilómetros)

2

2

2

0

6596

(0, 6596)

(0,0)

( ) 4 ( ), 0

( 0) 4 6596 6596

26384 6596

p

p

Foco

Vertice

x h p y k p

x y

x y

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Problemas Complementarios

Problema 1

Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 23 metros de altura

con una velocidad de 9.8 metros por segundo.

a. Determine la ecuación de la trayectoria parabólica

b. ¿Cuál es la distancia que recorre la pelota horizontalmente antes

de golpear el suelo?

Problema 2

Encontrar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 4y x corta

a la parábola 22 2 0y x . Determinar los puntos donde la parábola

corta los ejes de coordenadas. Comprobar los resultados construyendo

la gráfica respectiva.

Problema 3

Determinar la ecuación de una parábola cuyo eje de simetría sea el eje

de las ordenadas, cuyo foco es el origen y pasa por el punto (4,3).

¿Cuáles son los puntos donde la curva corta a los ejes?, ¿Cuál es su

vértice y cual su directriz?

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