Parabola - közelítés A kötélstatikával aktívan foglakozó Olvasónak az alábbiak ismétlésnek tűnhetnek – vagy nem. Hosszabb tanakodás után úgy döntöttem, hogy a nem teljesen nyilvánvaló dolgokról érdemes lehet szót ejteni. Ilyennek gondolom az erősebben kifeszített ideális – azaz: nyújthatatlan, hajlékony és csak húzóerőt felvenni képes – kötél / lánc esetét is.

A megoszló terhelés intenzitásának felvételéről Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra Itt a bal oldali ábra - részen az alkalmazott koordináta - rendszert és jelöléseket tüntettük fel, a jobb oldalon pedig a kötél ds hosszúságú elemi darabjára ható függőleges megoszló erőrendszereket és azok dQ eredőit szemléltettük. Itt a qs teherintenzitás arra utal, hogy a neki megfelelő erőrendszer az s ívhossz hossz mentén, a qx pedig arra, hogy a neki meg -felelő erőrendszer az x egyenes mentén oszlik meg. Itt a kétféle erőrendszer jelentése: ~ qs : a kötél természetes súlyerő - rendszere, melyre homogén kötélnél fennáll, hogy

sGq ,L

( 1 )

ahol G : a kötél súlya, L: a kötél hossza; ~ qx : a kötél helyettesítő súlyerő - rendszere, melyre homogén kötélnél – vélhetőleg – fennáll, hogy

xGq ,l

( 2 )

ahol l : a kötél vízszintes vetületének hossza.

2

Meglehet, túl könnyen tesszük meg ezt az utóbbi lépést. De vajon jogos - e ez? Most erről lesz szó. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy hogyan, milyen körülmények között mondhatjuk, hogy az önsúly - teher esetében az ívhossz menti tehermegoszlásról áttér -hetünk a vízszintes vetületre vonatkoztatott tehermegoszlásra. Hogy a probléma nem erőltetett / mondvacsinált, az rögtön belátható az ( 1 ) és ( 2 ) képletekből adódó

x s

x s

G G L Lq = q ,l L l l q q

L 1 ,l

( 3 )

összefüggésből. Az 1. ábra jobb oldali részén feltüntetett dQ elemi teherre fennáll, hogy

x sdQ q dx q ds , innen pedig kapjuk, hogy

x sdsq q .dx

( 4 )

A homogén tömegeloszlású kötélre: s 0q q konst. ( 5 )

Az elemi szakaszokra vonatkozó Pitagorász - tétellel:

2

2 2 dyds dx dy 1 dx ,dx

innen: 2ds dy1 .

dx dx ( 6 )

Most a kötélgörbe egy P( x, y ) pontbeli érintőjének φ hajlásszögére: dy(x) tg (x)

dx ( 7 )

majd ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ) - tel: 2

2 0x s 0 0

qds dyq q q 1 q 1 tg (x) ,dx dx cos (x)

( 8 / 1 )

azaz: 0

x xqq q (x) .

cos (x)

( 8 )

A ( 8 ) képlet azt fejezi ki, hogy az x - menti teherintenzitás nem állandó, hanem az x tengely mentén változó mennyiség. A függvény lefutását a 2. ábra szemlélteti egy 0 90 intervallumon, q0 = 10 ( N / m ) felvétellel.

3

f(x)=10/cos(x)

-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

-10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

fi ( fok )

q ( fi ) ( N / m )

A 10/cosφ függvény lefutása

2. ábra A kérdés tehát az, hogy ~ milyen esetben lehet a 2. ábra szerint változó intenzitású terhelést egy állandó értékkel helyettesíteni; ~ mi legyen ezen állandó értéke? A további elmélkedéshez tekintsük a 3. ábrát is!

3. ábra

4

Utóbbit egy korábbi dolgozatunkból vettük át, melynek címe: Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók I. A 3. ábráról leolvasható, hogy a görbe érintőjének hajlására:

A B . ( 9 ) Ez azt jelenti, hogy – a 2. ábra szerint is –

x A x x Bq ( ) q ( ) q ( ) . ( 10 ) Felvetődhet a gondolat, hogy képezzük az alábbi ( aritmetikai ) középértéket – [ 1 ] – :

B

A

B A0x,átl 0

B A B A

Arsh tg Arsh tgq dq q .cos

( 11 )

Ezzel az a baj, hogy tartalmazza a hajlásszögek szélső értékeit, amelyek azonban előre nem ismertek; lehet, hogy a feladat célja éppen a végérintők hajlásának meghatározása. Valóban, a szakirodalomban sem találkoztunk még ilyen átlagképzéssel, qx - re. Egy másik ötlet, hogy a kötélgörbe mentén változó hajlásszög - értékek helyett egy állandó értéket szerepeltessünk qx közelítő felvételében. ( 8 / 1 ) szerint, a 3. ábrával is:

22 2

x 0 0 0mq q 1 tg (x) q 1 tg q 1 ,l

tehát: 2

x 0mq q 1 konst.l

( 12 )

Most ( 12 ) - ből:

22 2

x 0 0 0 0mq l q l 1 q l m q d q L G .l

( 13 )

Itt:

d AB . ( 14 / 1 ) Eszerint a ( 12 ) közelítés annál inkább ad helyes eredményt, minél inkább teljesül, hogy d L , ( 14 ) vagyis minél erősebben kifeszítjük a kötelet. Itt az állandó hajlásszöget a kötélgörbe legnagyobb belógásához tartozó - vel azonosítottuk – ld.: fent nevezett előző dolgozat! Más szavakkal:

5

átlagtg tg . ( 15 )

Utóbbi kijelentésünket igazolni is tudjuk. Ehhez írjuk fel a parabola egyenletét! Az említett előző dolgozat megfelelő egyenletei:

2

2

H konst. ;dV q(x) ;dx

dyV H tg H ;dx

d yH q(x) .dx

( 16 )

Élve a ( 12 ) közelítéssel, a feladat differenciálegyenlete:

2x

2

qd y(x) Konst .dx H

( 17 )

Integrálva:

x1

qdy(x) tg (x) x c ;dx H

( 18 )

még egyszer integrálva:

2x1 2

qy(x) x c x c .2 H

( 19 )

Ez egy másodfokú parabola egyenlete. Az ( c1 , c2 ) integrálási állandók meghatározására szolgáló feltételi egyenletek: y(x 0) 0 ,y(x l) m .

( 20 )

Most ( 19 ) és ( 20 ) - szal:

20 0 0 c , innen:

2c 0 ; ( 21 ) továbbá:

2x1

qm l c l ,2 H

innen:

6

x1

qmc l .l 2 H

( 22 )

Ezután ( 19 ), ( 21 ), ( 22 ) - vel:

2x xq qmy(x) x l x .2 H l 2 H

( 23 )

Most az érintő iránytangense ( 18) és ( 22 ) - vel:

x x xq q qdy(x) m mtg (x) x l l 2 x .dx H l 2 H l 2 H

( 24 )

Ennek értéke az A ( 0 , 0 ) kezdőpontban:

xA

qdy(x 0) mtg l ;dx l 2 H

( 25 )

majd a B ( l , m ) végpontban:

x x xB

q q qdy(x l) m mtg l l l .dx H l 2 H l 2 H

( 26 )

A kezdő és vég - iránytangensek számtani középértéke:

A B x xátlag

tg tg q q1 m m mtg l l tg ,2 2 l 2 H l 2 H l

egyezésben ( 15 ) - tel. Fentieket összefoglalva: a megoszló teher intenzitásának felvétele a szakirodalom – [ 2 ] , [ 3 ] , [ 4 ] – szerint is úgy történik, hogy alkalmazzuk a közelítőleg érvényes ( 12 ) összefüggést. Hogy az eddigiek nyilvánvalóak - e vagy sem, azt mindenki maga dönti el. Az viszont bizonyos, hogy a megoszló teher intenzitásának hibás felvétele súlyos téve - désekhez vezethet.

A parabola - egyenlet más alakjairól, illetve az ismeretlen H állandó meghatározásáról

A.) f - alapú feladat : ekkor ( q0 ; f , m , l ) adott, H keresett. A ( 23 ) képlet más alakban:

7

2 2x x xq q qm my(x) x l x x l x x .2 H l 2 H l 2 H

( 27 )

A 3. ábrával összefüggésben – ld. a fent említett korábbi dolgozatot is! – :

2 2x xq qm my(x) x tg y(x) x x l x x l x x .l l 2 H 2 H

( 28 )

Ennek szélsőérték - helye és nagysága:

xm

qd ly(x) l 2 x 0 x ,dx 2 H 2

( 29 )

22 2

2x x xm m m

q q q ll lf y(x ) l x x ,2 H 2 H 2 4 8 H

tehát a parabola belógása: 2

xq lf .8 H

( 30 )

Innen adódik a nagyon fontos és egyszerű alakú végeredmény:

2xq lH .8 f

( 31 )

Emlékeztetőül: ( 1 ), ( 5 ), ( 12 ) és ( 31 ) - gyel:

2 2

0m lH q 1 .l 8 f

( 32 )

Most ( 27 ) és ( 31 ) - gyel:

2

2 2x2 2

qm m 4 f m x xy(x) x l x x x l x x x 4 f .l 2 H l l l l l

( 33 ) Végül az S( x ) kötélerő - nagyság kifejezése:

22 2 2

22 2x x

V(x)S(x) H V (x) H 1 H 1 tg (x)H

q q lm m 4 f x H 1 l 2 x 1 1 2 .l 2 H 8 f l l l

( 34 )

8

Innen a legnagyobb kötélerő, x = l - lel: 22

xmax B

q l m 4 fS S 1 .8 f l

( 35 )

Egy további szokatlan képlet - alak adódik ( 32 ) és ( 35 ) - tel:

2 220

max Bq l m m 4 fS S 1 1 .8 f l l

( 36 )

B.) L - alapú feladat : ekkor ( q0 ; L , m , l ) adott, ( H , f ) keresett. Itt egy korábbi dolgozatunkban levezetett eredményt használunk fel – ld.: Közönséges láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók ! Eszerint a közönséges láncgörbe kulcsegyenlete: sh ,

( 37 )

ahol: 0q ll G l ,

2 a 2 H L 2 H

( 38 )

és 2 2 2 2L m d m 1 .

l l

( 39 )

A ( 37 ) egyenlet sorba fejtésen alapuló közelítő megoldása:

2 2

0L m10 20 6 1 .

l

( 40 )

Most ( 38 ) és ( 40 ) - nel:

00

0 2 2

ql lH q ;2 2

L m10 20 6 1l

( 41 )

majd ( 32 ) és ( 41 ) egyenlővé tételéből:

9

2 20

02 2

qm l lq 1 ,l 8 f 2

L m10 20 6 1l

innen: 2 2 2

2 22 2

l m L mf 1 10 20 6 14 l l

2 L m l m 5 5 6 1 ,4 l

tehát:

2 22 22 L mf l m 5 5 6 1 .

4 l

( 42 )

A fenti képletekben ügyelni kell az „ 1 ” számjegy és az „ l ” betű közti különbségre! Most ( 33 ) és ( 42 ) - vel:

2

2

2 2 22 2

2

2 22 2

m x xy(x) x 4fl l l

m L m x x x 2 l m 5 5 6 1l l l l

x L m x m 2 l m 5 5 6 1 1 ,l l l

tehát:

2 22 2x L m xy(x) m 2 l m 5 5 6 1 1 .

l l l

( y / 1 )

10

Megjegyzések: M1. A fenti képletekben szereplő q0 = G / L mennyiség csak egy darab adat, tehát q0 megadásával még nem adott G és/vagy L. A képletekből kiolvasható, hogy rögzített ( q0 , l , m ) esetén L változtatásával egyaránt változnak a ( G , H , f ) mennyiségek is. M2. A bemutatott képletek némelyike ritkán – vagy egyáltalán nem – jelenik meg az ismert szakirodalomban; ehhez lásd az említett előző dolgozatok irodalomjegyzékét is! M3. Érdekes megfigyelni, hogy kötélstatikai problémák megoldása során néha nem a kötélhossz - adatot, hanem egy másikat használnak fel H , f , l , stb. meghatározására. Ilyen esetekre láthatunk példákat [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] - ben is, ahol a kötélben fellépő Smax legnagyobb húzóerőre tett korlátozás jelenik meg az

max meg megS S A ( 43 ) alakban, ahol: ~ Smeg: a megengedett legnagyobb húzóerő nagysága, ~ σmeg: a kötél anyagára megengedett húzófeszültség nagysága, ~ A: a kötél keresztmetszeti területe. Szemléltetésképpen bemutatunk egy ilyen levezetést – [ 3 ] , [ 5 ] . ( 43 ) - ban a határesetet véve:

max meg megS S A . ( S1 ) Majd ( 34 ) - gyel :

2max max megS H 1 tg S ; ( S2 )

Most ( 26 ) - tal is: x

max Bq lmtg tg .

l 2 H

( S3 )

( S2 ) négyzetre emelésével:

2 2 2max megH 1 tg S ; ( S4 )

majd ( S3 ) - mal és ( S4 ) - gyel: 2

2 2xmeg

q lmH 1 S ;l 2 H

( S5 )

Bevezetve az

x

m ,l

q l Q

( S6 )

jelöléseket, ( S5 ) és ( S6 ) - tal:

11

22 2

megQH 1 S ;

2 H

( S7 )

elvégezve ( S7 ) - ben a négyzetre emelést: 2

2 2 2meg2

Q QH 1 2 S ;2 H 4 H

rendezve:

2

2 2 2meg

Q1 H Q H S 0 ;4

a megoldóképlettel:

22 2 2

meg

1,2 2

QQ Q 4 1 S4

H ;2 1

( S8 )

mivel H 0 , ( S9 ) ezért ( S8 ) és ( S9 ) - cel:

22 2 2

meg

2

QQ Q 4 1 S4

H .2 1

( S10 )

( S10 ) - en azonos átalakításokat végezve:

2

2 2 2meg2

1 Q 1 QH Q 4 1 S ;1 2 2 4

( S11 )

a gyökjel alatti mennyiséget átalakítva:

2 22 2 2 2 2 2 2 2

meg meg

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2meg meg

Q QQ 4 1 S Q 4 1 4 1 S4 4

Q Q Q 4 1 S 4 1 S Q ,

( S12 ) így ( S11 ) és ( S12 ) szerint:

2

2 2meg2

1 Q QH 1 S ;1 2 2

( S13 )

12

most ( S13 ) - at átírva ( S1 ) és ( S6 ) szerint is:

22

2x xmeg2

q m q l1 mH 1 A .2 l 2m1

l

( S14 )

Hasonlóképpen felmerülhet például az

megf f ( 44 ) belógás - korlátozás is – [ 2 ]. Ezen feltételek alkalmazása azért is lehet szerencsés, mert velük esetleg sokkal egysze -rűbben lehet az ( S14 ) - hez hasonló, gyakorlatilag is használható eredményre jutni. Mondjuk, ha ( 42 ) alapján felírjuk az f = f ( L ) kapcsolatot – azaz a belógást a kötélhossz függvényében – , akkor például grafikusan is könnyen célhoz érhetünk: addig változtatjuk L - et, amíg az f = fmeg feltétel be nem következik. Nem kizárt, hogy valakinek éppen jól jöhet egy ( 36 ) és ( 43 ) szerinti

2 220

megq l m m 4 f1 1 A 08 f l l

( 45 )

alakú egyenlet, feladatának megoldásához. Például grafikus úton kényelmesen kezelhető lehet egy ( 45 ) szerinti f = f ( q0 , σmeg ; m , l , A ) alakú függvénykapcsolat, gyakorlati feladatokhoz is. M5. ( y / 1 ) - hez formailag hasonló egyéb közelítő képlet is levezethető a Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók II. rész című korábbi dolgozatunk eredményeinek felhasználásával. Ez az alábbiak szerint történhet. Ismét a ( 27 ) képletből indulunk ki:

2xqmy(x) x l x x .l 2 H

( 27 / 1 )

Feladatunk a qx / 2H mennyiség kifejezése a geometriai adatokkal. ( 1 ) és ( 12 ) szerint:

x

G dq dL l ;H2 H 2 H 2 L l

G

( 46 )

de a korábbi dolgozat szerint:

B A

GH ,tg tg

( 47 )

13

így ( 46 ) és ( 47 ) - tel: x

B A

q d .L2 H 2 ltg tg

( 48 )

Ám ismét a korábbi dolgozat szerint:

2 2

B A

L L 1 r p 1 ,tg tg 2

( 49 )

ahol a kötél húzómerevségének E A ( 50 ) specializációja miatt:

mr ,L

( 51 )

p pedig megoldása a 2p 1 Arcth(p) 0 ( 52 )

egyenletnek, ahol:

2 2 2 2

l l< 1.L m d m

( 53 )

Most ( 48 ), ( 49 ) és ( 51 ) - gyel:

x2 2 22 2

dq d l .L2 H L m p 12 l 1 r p 1

2

( 54 )

Most oldjuk meg az ( 52 ) egyenletet, közelítőleg! Minthogy p jelentése:

A BS Sp ,G

( 55 )

ezért erősen kifeszített kötél esetén: p 1 . ( 56 ) Átalakításokkal:

2 22 2

1 1p 1 p 1 p 1 .p p

( 57 )

14

Bevezetve az ( 56 ) miatt is fennálló 10 v 1p

( 58 )

segédmennyiséget, ( 57 ) és ( 58 ) - cal: 2 21p 1 1 v .

v ( 59 )

Hatványsorba fejtéssel, ( 58 ) miatt is – [ 1 ] – :

2 211 v 1 v ,2

( 60 )

így ( 59 ) és ( 60 ) - nal: 2 21 1 1 vp 1 1 v .

v 2 v 2 ( 61 )

Azonossággal – [ 1 ] – :

1Arcth(p) Arth ,p

( 62 )

így ( 58 ) és ( 62 ) - vel: Arcth(p) Arth(v) . ( 63 ) Ismét hatványsorba fejtéssel – [ 1 ] – :

3vArth(v) v .3

( 64 )

Ezután ( 61 ) és ( 64 ) - gyel:

3 2 2 4 2 42 1 v v v v v v vp 1 Arcth(p) v 1 1 .

v 2 3 2 3 6 6 6 ( 65 )

Most ( 52 ) és ( 65 ) - tel: 2 4v v1 0 ,

6 6

innen: 4 2v v 6 1 0 . ( 66 )

Bevezetve az 2u v 0 ( 67 )

segédváltozót, ( 66 ) és ( 67 ) - tel:

15

2u u 6 1 0 . ( 68 ) A megoldóképlettel:

1,2

1 1 24 1u .

2

( 69 )

Most ( 67 ) és ( 69 ) - cel:

2 1u v 1 24 1 1 ,2

innen ( 58 ) - cal is:

1v 1 24 1 1 .2

( 70 )

Most ( 58 ) és ( 70 ) - nel:

1 2p .

1 1 24 1 11 24 1 12

( 71 )

Majd innen:

2 2p 1 1 .

1 24 1 1

( 72 )

Ezután ( 54 ) és ( 72 ) - vel:

x2 2 2

2 2

d dq l l .

2 H 2L m p 1 L m 11 24 1 1

( 73 )

Most ( 27 / 1 ), ( 53 ) és ( 73 ) - mal:

16

2x

2

2 2

2 2

2 2

2 2

qmy(x) x l x xl 2 H

dm l x l x xl 2L m 1

1 24 1 1

dm xl x l x 1l l2L m 1

1 24 1 1

m d x x x 1l l2L m 1

1 24 1 1

m d xl 2L m

l1 24 1L

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

xx 1l

1

1m

x d x m 1l lL m 2 1

l l1 24 1 1L m

x l m x m 1l lL m 2 1

l l1 24 1 1L m

,

17

tehát:

2 2

2 2

2 2

x l m xy(x) m 1 .l lL m 2 1

l l1 24 1 1L m

( y / 2 )

Az ( y / 1 ) és az ( y / 2 ) képletek további összehasonlító elemzését az Olvasóra bízzuk. Javasoljuk, hogy végezze el az előbbi számítást úgy is, hogy ( 65 ) - ben alkalmazza a v4 / 6 ≈ 0 elhanyagolást! Irodalom: [ 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 2 ] – I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotivlenije materialov Nauka, Moszkva, 1986. [ 3 ] – István Szabó: Einführung in die Technische Mechanik 4. Auflage, Springer - Verlag, Berlin ~ Göttingen ~ Heidelberg, 1959. [ 4 ] – István Szabó: Repertorium und Übungsbuch der Technischen Mechanik 2. Auflage, Springer - Verlag, Berlin ~ Göttingen ~ Heidelberg, 1963. [ 5 ] – Ludwig Föppl: Aufgaben aus Technischer Mechanik Unterstufe Statik, Festigkeitslehre, Dynamik Verlag von R. Oldenbourg, München und Berlin, 1942. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. március 1.