Platonova Tela

5/19/2018 Platonova Tela

1/13

Ena esti 261/2009Slobodan Nikoli 270/2009Marko Mihajlovi 111/2009


2/13

Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri ija jesvaka strana pravilan poligon sa jednakim brojem

temena i ije svako teme sadri jednak broj ivica.

Postoji tano pet

platonovih tela:

tetraedar

kocka

oktaedar

dodekaedarikosaedar


3/13

Svako Platonovo telo

predstavlja pojedinanupojavu:

TetraedarvatraOktaedarvazduhIkosaedarvodaHeksaedarzemlja

Dodekaedarvasiona

Svako od pet Platonovih tela zadovoljava sledee uslove:Sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne

poligonske povri (svaka pljosan ima isti broj ivica)Sve rogljaste povri su pravilne i meusobnopodudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i

konveksni su.


4/13

Svako Platonovo telo moe imatidodeljene simbole p i q,

tako da je p broj ivica svake stranice iq broj stranica koje se susreu na svakompreseku.

Dobro je poznato da ovu klasu pravilnihpoliedara ini sledeih pet poliedara:(3,3) tetraedar

(3,4) oktaedar

(4,3) heksaedar

(3,5) ikosaedar

(5,3) dodekaedar


5/13

pbroj ivicaqbroj stranicaV (vertices)broj temenaE (edges)broj ivicaF (faces)broj pljosni

Formule:

pF = 2E = qV

Ojlerova formula

V-E+F=2


6/13

Iz ove injenicemoemou potpunosti odrediti V, E I F:

Euklidov geometrijski dokaz:

Svaki oak tela mora da se podudara sa po jednimokom (vrhom) najmanje tri strane.Na svakom vrhu tela, zbir uglova izmeu njihovih

odgovarajuih susednih strana mora biti manji od 360stepeni.

Uglovi kod svih temena svih strana Platonovog tela su

isti, tako da svaki oak svake strane mora da doprinosi

manje od 120 stepeni.Pravilni mnogouglovi sa est ili vie strana imajusamo uglove od 120 stepeni ili vie, tako dazajednika lica moraju da budu trouglovi,kvadrati ili petouglovi.


7/13

Platon konstruise pravilna geometrijska tela prosto

tako to spaja ravne strane. Ove strane napravljenesu od trouglova i svi trouglovi su sastavljeni iz dva

pravougla trougla. Pravougli trouglovi su ili

jednakokraki ili nejednakostranini.

Heksaedar (kocka) ima strane (kvadrate) koje su

napravljene od jednakokrakih pravouglih trouglova tako

to su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat.

Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostraninetrouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo

od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka

strana napravljena od 6 pravouglih trouglova.

D d k d


8/13

Dodekaeda

rDodekaedar je sainjen od 12 pravilnih petouglova.Platon je bio svestan da se strane dodekaedra nemogu konstruisati uz pomo 2 pravougla trougla odkojih zavise ostala geometrijska tela. Uinjenjepokuaj da se petougao podeli na izvestan brojpravouglih trouglova:

Plutarh kaze da je svaka od 12 strana dodekaedra

napravljena od 30 elementarnih nejednakostraninihtrouglova.

Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se

svaki petougao podeli na 5jednakostraninih trouglovai kada se svaki od ovih dalje podeli na 6nejednakostraninih. Ako povuemo linije u petougludobijamo takav splet trouglova koji takodje

pokazuje pitagorejski pentagram


9/13

ua natelaAko se svakoj pljosni Platonovog tela

pridrui teite te pljosni, dobijaju setemena dualnog tela.Dualno telo bilo kog Platonovog tela

jeste opet Platonovo telo.

Ako Platonovo telo predstavimo preko

p i q onda e njegovo dualno telo imatioznake q i p.Dualno telo se konstruie tako touzimamo temena tela i postavljamo ih u

centre pljosni Platonovog tela. Ivice

dualnog tela formiramo spajanjemcentara susednih pljosni Platonovog

tela. Na ovaj nain se broj pljosni itemena smenjuje dok broj ivica ostaje

isti.


10/13

Tetraedar je dualan sam sebi.


11/13

Heksaedar i oktaedar su meusobno dualna tela:

Heksaedar Oktaedar


12/13

Dodekaedar i ikosaedar su meusobno dualna tela:

Dodekaedar Ikosaedar


13/13

Hvala na panji.

Documents

Platonova Tela