La pieza de la figura esta formada por una semiesfera A de acero, por el cilindro B de plomo y por el cilindro C de aluminio. Localizar el centro de gravedad de la pieza. Los pesos específicos de los materiales son:

𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 490 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3

𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜 = 700 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3

𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 166 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3

𝑊𝐴 = 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝑉𝐴 =2

3𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝜋 𝑟𝐴

3 =2

3× 490 × 𝜋 × 33 = 27708.85 𝐿𝑏.

𝑊𝐵 = 𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜𝑉𝐵 = 𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜𝜋 𝑟𝐵2ℎ𝐵 = 8796.46 𝐿𝑏.

𝑊𝐶 = 𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝑉𝐶 = 𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝜋 𝑟𝐶2ℎ𝐶 = 4172.04 𝐿𝑏.

Las coordenadas del centro de gravedad de A, B y C son:

𝑥𝐴 = −3

8𝑟𝐴 = −1.125 𝑦𝐴 = 3 𝑧𝐴 = 0

𝑥𝐵 = 2 𝑦𝐵 = 0.5 𝑍𝐵 = 0 𝑥𝐶 = 5 𝑦𝐶 = 2 𝑧𝐶 = 0 El centro de gravedad del solido completo:

𝑋𝐶 =𝑊𝐴𝑥𝐴 +𝑊𝐵𝑥𝐵 +𝑊𝐶𝑥𝐶𝑊𝐴 +𝑊𝐵 +𝑊𝐶

𝑋𝐶 =27708.85 × −1.125 + 8796.46 × 2 + 4172.04 × 5

27708.85 + 8976.46 + 4172.04= 𝟎. 𝟏𝟕𝟗 𝒑𝒊𝒆𝒔

𝑌𝐶 =𝑊𝐴𝑦𝐴 +𝑊𝐵𝑦𝐵 +𝑊𝑐𝑦𝑐𝑊𝐴 +𝑊𝐵 +𝑊𝐶

= 𝟐. 𝟑𝟓𝟕 𝒑𝒊𝒆𝒔

𝑍𝐶 = 𝟎

Localizar el centroide de la varilla curva delgada representada en la figura.

x

y

dl dy

dx

𝑥𝑐 = 𝑥𝑑𝑙

𝑑𝑙

𝑑𝑙 =𝑑𝑥

𝑑𝑦

2

+ 1𝑑𝑦 =𝑦2 + 9

9𝑑𝑦 =

1

3𝑦2 + 9𝑑𝑦

𝑥𝑑𝑙 = 𝑦2

6

1

3𝑦2 + 9 𝑑𝑦 =

1

18 𝑦2 𝑦2 + 9𝑑𝑦12

0

𝑥2 𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑥 =𝑥 𝑥2 + 𝑎2

32

4−𝑎2𝑥 𝑥2 + 𝑎2

8−𝑎4

8ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2

𝑥𝑑𝑙 =1

18

𝑦 𝑦2 + 𝑎232

4−𝑎2𝑦 𝑦2 + 𝑎2

8−𝑎4

8ln 𝑦 + 𝑦2 + 𝑎2

12

= 304.96

𝑑𝑙 =1

3 𝑦2 + 912

0

dy

𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑥 =𝑥 𝑥2 + 𝑎2

2+𝑎2

2ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2

𝑑𝑙 =1

3 𝑦2 + 912

0

dy =1

3

𝑦 𝑦2 + 𝑎2

2+𝑎2

2ln 𝑦 + 𝑦2 + 𝑎2

12

= 27.88

𝒙𝒄 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟒 pulg. 𝒚𝒄 = 𝟕. 𝟒𝟑 𝒑𝒖𝒍𝒈.

Localice el centroide de la figura.

C

𝑋𝐶 =𝑥1𝐿1 + 𝑥2𝐿2 + 𝑥3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3

𝑦𝐶 =𝑦1𝐿1 + 𝑦2𝐿2 + 𝑦3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3

𝑍𝐶 =𝑧1𝐿1 + 𝑧2𝐿2 + 𝑧3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3

1

2

3

Localizar el centroide del area del cuadrante eliptico.

X = 𝑥𝑑𝐴

𝑑𝐴 dA = ydx

𝑦2 = 𝑏2𝑙 − 𝑥2

𝑎 =

𝑏

𝑎𝑎2 − 𝑥2

𝑥𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑎

0 = 𝑥

𝑏

𝑎𝑎2 − 𝑥2

12

𝑎

0 𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎 𝑥 𝑎2 − 𝑥2

12

𝑎

0 𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎−

𝑎2−𝑥232

3 0

𝑎

= 𝑏

𝑎−

𝑎2−𝑎232

3+

𝑎2−0232

3 =

𝑏

𝑎

𝑎3

3 =

𝑎2𝑏

3

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥𝑎

0=

𝑎

𝑏𝑎2 − 𝑥2

12

𝑎

0dx =

𝑏

𝑎 𝑎2 − 𝑥2

12

𝑎

0 𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎

𝑥 𝑎2− 𝑥212

2+𝑎2

2sin−1

𝑥

𝑎 0

𝑎

= 𝑏

𝑎

𝑎 𝑎2−𝑎212

2+

𝑎2𝜋

2 =

𝑏

𝑎

𝑏𝑎2

4 =

𝜋𝑎𝑏

4

XC =

𝑎2𝑏

3𝜋𝑎𝑏

4

= 𝟒𝒂

𝟑𝝅

YC = 𝑦𝑑𝐴

𝑑𝐴 ; 𝑑𝐴 = 𝑥𝑑𝑦

𝑥2 = 𝑎2 1 −𝑦2

𝑏2 x =

𝑎

𝑏𝑏2 − 𝑦2

12

𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑏

0

= 𝑦𝑎

𝑏𝑏2 − 𝑦2

12

𝑏

0

𝑑𝑦

= 𝑎

𝑏 𝑦 𝑏2 − 𝑦2

12 𝑑𝑦 =

𝑏2𝑎

3

𝑏

0

𝑑𝐴 = 𝑎

𝑏𝑏2 − 𝑦2

12

𝑏

0

𝑑𝑦

= 𝑎

𝑏 𝑏2 − 𝑦2

12

𝑏

𝑎

𝑑𝑦 = 𝜋𝑎𝑏

4

YC =

𝑏2𝑎

3𝜋𝑎𝑏

4

= 𝟒𝒃

𝟑𝝅

Determinar la coordenada X del centroide del área sombreada que se indica.

Calculo de los puntos de intersección:

𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑥2

𝑎 = 2 𝑎2 − 𝑥2

𝑎2 = 4 𝑎2 − 𝑥2

𝑎2 = 4𝑎2 − 4𝑥2

𝒙 =𝒂 𝟑

𝟐

𝑋𝑐 = 𝑥𝑑𝐴

𝑑𝐴

𝑦 = 𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

𝑑𝐴 = 𝑎2 − 𝑥2 − (𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2) 𝑑𝑥

𝑑𝐴 = (2 𝑎2 − 𝑥2 − 𝑎)𝑑𝑥

𝐴 = (2 𝑎2 − 𝑥2 − 𝑎)𝑑𝑥

𝑎 32

0

𝐴 = 𝑥 𝑎2 − 𝑥2 + 𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑎− 𝑎𝑥

0

𝑎 32

𝐴 =𝑎 3

2𝑎2 −

3

4𝑎2 + 𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

3

2− (𝑎2√3)/2

𝐴 =𝑎2 3

4+𝜋𝑎2

3−𝑎2 3

2

𝐴 = 0.614𝑎2

7.-Hallar el centroide de la superficie sombreada de la figura.

C

1

3

2

C

𝑥𝑐1 = 0 𝑦𝑐1 = 10 𝑧𝑐1 = 20 𝐴1 =𝑏ℎ

2= 600 𝑐𝑚2

𝑥𝑐2 = 22.5 𝑦𝑐2 = 0 𝑧𝑐2 = 20 𝐴2 = 𝑏ℎ = 1800 𝑐𝑚2

𝑥𝑐3 = 30 𝑦𝑐3 = 10 𝑧𝑐3 = 0 𝐴3 =𝑏ℎ

2= 675 𝑐𝑚2

𝑋𝑐 =𝐴1𝑥𝑐1 + 𝐴2𝑥𝑐 + 𝐴3𝑥𝑐3

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 6.83 𝑐𝑚

𝑌𝑐 =𝐴1𝑦𝑐1 + 𝐴2𝑦𝑐2 + 𝐴3𝑦𝑐3

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 24.87 𝑐𝑚

𝑍𝑐 =𝐴1𝑧𝑐1 + 𝐴2𝑧𝑐2 + 𝐴3𝑧𝑐3

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 9.88 𝑐𝑚

Una parabola gira en torno al eje 𝑧, generando el paraboloide de revolucion de la figura. Localizar el centroide de su volumen respecto a la base 𝑧 = 0.

C

La ecuación de la parábola es : (𝑌 − 𝐾)2= 4𝑝 𝑍 − ℎ 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 ℎ = 𝑎 𝐾 = 0

𝑌2 = 4𝑝(𝑍 − 𝑎)

Calculando ‘p’ z=0 ; y=b 𝑏2 = 4𝑝(−𝑎)

𝑝 = −𝑏2

4𝑎

dz

y

dz

𝑌2 = 4(−𝑏2

4𝑎)(𝑧 − 𝑎)

−𝑏2

𝑎𝑧 − 𝑎 =

𝑏2

𝑎(𝑎 − 𝑧)

𝑎𝑌2 = 𝑏2(𝑎 − 𝑧)

𝑌2 =𝑏2

𝑎(𝑎 − 𝑧)

𝑑𝑣 = 𝜋𝑦2𝑑𝑧𝑎

0

=𝜋

𝑎 𝑏2 𝑎 − 𝑧 𝑑𝑧𝑎

0

𝜋

𝑎 (𝑏2𝑎

0

𝑎 − 𝑏2𝑧)𝑑𝑧 =𝜋𝑏2

𝑎[𝑎𝑧 −

𝑧2

2]𝑎0= 𝜋𝑏2

𝑎(𝑎2 −

𝑎2

2) =

𝜋𝑏2𝑎2

2𝑎=𝜋𝑎𝑏2

2

𝑧𝑑𝑣 =𝜋

𝑎[ 𝑎𝑏2𝑧𝑑𝑧𝑎

0

− 𝑏2𝑧2𝑑𝑧𝑎

0

]

𝑧𝑑𝑣 =𝜋

𝑎

𝑎𝑏2𝑧2

2−𝑏2𝑧3

3

𝑎0 =

𝜋

𝑎

𝑎3𝑏2

2− 𝑎3𝑏2

3

=𝜋𝑎3𝑏2

𝑎

1

2−1

3 =

𝜋𝑎3𝑏2

6𝑎

𝑍𝐶 = 𝑧𝑑𝑥

𝑑𝑥=

𝜋𝑎3𝑏2

6𝑎𝜋𝑎𝑏2

2

= 2𝜋𝑎3𝑏2

6𝜋𝑎2𝑏2 =

𝑎

3 .

Un volumen compuesto consta de un paralelepipedo rectangulo a x b x h, una placa semicircular de radio , y un pasador circular de radio y altura a, como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale a si y el centroide del volumen compuesto se encuentra a una altura de ?

Considerando el origen de la en la base de la figura. Se tiene que.

𝑍𝐶 =𝑉1𝑍1 + 𝑉2𝑍2 + 𝑉3𝑍3𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3

……(1)

Donde 𝑉1 =volumen de la placa semicircular

𝑉2 =Volumen del paralelepípedo

𝑉3 = Volumen del pasador

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑍𝐶 =3ℎ

4= 0.75ℎ

𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ = 2𝑏 ⟹ 𝑍𝐶 = 1.5𝑏 𝑉1 =𝜋(𝑏 2 )

2

2∗ 𝑎 =

𝜋𝑎𝑏2

8= 0.393𝑎𝑏2

𝑉2 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2𝑎𝑏2

𝑉3 = 𝜋𝑎

2

2

∗ 𝑎 = 0.785𝑎3

𝑍1 = ℎ +4(𝑏 2 )

3𝜋= 2𝑏 +

4𝑏

6𝜋= 2.212𝑏

𝑍1 =ℎ

2=2𝑏

2= 𝑏 𝑍1 = ℎ = 2𝑏

En (1)

1.5𝑏 =0.393𝑎𝑏2 2.212𝑏 + 2𝑎𝑏2 𝑏 + 0.765𝑎3(2𝑏)

0.393𝑎𝑏2 + 2𝑎𝑏2 + 0.765𝑎3

1.5𝑏 =0.869𝑎𝑏3 + 2𝑎𝑏3 + 1.57𝑎3𝑏

0.393𝑎𝑏2 + 0.785𝑎3

3.589 𝑎𝑏3 + 1.1775𝑎3𝑏 = 0.869𝑎𝑏3 + 2𝑎𝑏3 + 1.57𝑎3𝑏

3.589 𝑎𝑏3 − 0.869𝑎𝑏3 − 2𝑎𝑏3 + 1.1775𝑎3𝑏 − 1.57𝑎3𝑏 = 0

0.72𝑎𝑏3 − 0.392𝑎𝑏3 = 0

0.392𝑎𝑏3 = 0.72𝑎𝑏3 𝑎2 = 1.836𝑏2 𝑎 = 1.354𝑏

1.- Para la viga sometida a las distribuciones lineales de carga, calcular las reacciones en los apoyos A y B.

1 1.33

240

800 320

𝐀𝐱

𝐀𝐲 𝐁𝐲

2.- Una viga soporta una serie de cargas uniformemente distribuidas y variables, como se muestra en la figura. Calcular las reacciones en los apoyos de la viga.

C

f f F1 F2 F3 F4

By Ay

Ax

x

y

Una porción de la placa cuadrada esta cargada por la carga uniformemente distribuida 𝑝 = 20 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒2 . Encuentre las coordenadas del punto en el plano

xy a través del cual pasa la resultante.

C

F1 F F1

F2 R

r1 r2 r

La carga de presión sobre la placa es descrita por la función

𝑝 = −240

𝑥+1+ 340 Pa. Determine la magnitud de la fuerza resultante y las

coordenadas (x,y) del punto en que la línea de acción de la fuerza interseca a la placa.

dF F

dx

𝑋0 = 𝑥𝑃𝑑𝐴

𝑃𝑑𝐴

𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6𝑃𝑥𝑑𝑥5

0

= 6 −240

𝑥 + 1+ 340 𝑥𝑑𝑥

5

0

𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6 − 240

𝑥+1

5

0𝑑𝑥 + 340

5

0𝑑𝑥

𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6 −240 𝑥 − ln 𝑥 + 1 + 340𝑥2

2= 20880.18

𝐹 = 𝑃𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 6𝑑𝑥 𝐹 = 6 −240

𝑥+1+ 340 𝑑𝑥

5

0

𝐹 = 6 − 240

𝑥 + 1

5

0

𝑑𝑥 + 3405

0

𝑑𝑥

𝐹 = −240 ln 𝑥 + 1 + 340𝑥 = 7619.88

𝑋0 =20880.18

7619.88= 𝟐. 𝟕𝟒 m.

𝑌0 = 𝑦𝑃𝑑𝐴

𝑃𝑑𝐴= 𝟑 m.

Determine la superficie del molde.

C

𝐿1 = 𝐿2=2𝜋6

4= 3𝜋 𝐿3 = 𝐿4=2𝜋

2

2= 2𝜋

𝑌1 =(2)(𝑟)

𝜋=12

𝜋= 𝑌2 𝑌3= 2 −

4

𝜋+ 4 =

6𝜋 − 4

𝜋= 𝑌4

𝑌𝐶 =𝐿1𝑌1 + 𝐿2𝑌2 + 𝐿3𝑌3 + 𝐿4𝑌4

𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4

𝑌𝐶 =3𝜋

12𝜋+ 3𝜋

12𝜋+ 2𝜋

6𝜋 − 4𝜋

+ 2𝜋6𝜋 − 4𝜋

10𝜋

𝑌𝐶 =72 + 4 6𝜋 − 4

10𝜋

𝐴 = 𝜃 𝑌𝐶𝐿 = 2𝜋 ∗ 4.18 ∗ 10𝜋 = 𝟖𝟐𝟓. 𝟎𝟗𝒑𝒖𝒍𝒈

𝟐

Calcular el volumen V del solido generado al hacer girar 180° alrededor del eje z el trapecio.

Calcular el volumen V del solido generado al hacer girar 180° alrededor del eje z el trapecio.

Y

Yc

1 2 3

Con el método de las curvas compuestas, localice el centroide de la figura de alambre.

2.- Calcule la tensión en cada una de las sogas que soportan la placa de acero uniforme con peso de 0.284 lb pulg3 .

Cada uno de los costales de arena apilados sobre la viga uniforme de 250 lb pesa 12 lb. Determinar las reacciones en los soportes en A y en C.

Determine las cargas en los ejes (fuerzas normales en a, b y c) del recogedor de mineral cuando está estacionado sobre un camino horizontal con sus frenos no aplicados. Las de la cabina y remolque son de 4000 kg y 6000 kg, respectivamente, con centros de gravedad en D y E. Supóngase que la conexión en F es equivalente a la de un pasador liso.

C