TEMA 66

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DE VARIABLE CONTINUA

CARACTERÍSTICAS Y TRATAMIENTO

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

APLICACIONES

1. INTRODUCCIÓN

2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

3. CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A UNA VARIABLE

ALEATORIA CONTINUA

4. DISTRIBUCIÓN NORMAL

5. APLICACIONES

6. CONCLUSIÓN

7. BIBLIOGRAFÍA[1] Durá Peiró y López Cuñat, Fundamentos de Estadística, Ed. Ariel Economía

[2] Canavos, G. C., Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos, Ed.

McGraw-Hill

[3] Mood y Graybill, Introducción a la Teoría de la Estadística, Ed. Aguilar

1. INTRODUCCIÓNLos modelos de distribución constituyen una parte importante de la Probabilidad,

proporcionando herramientas para analizar las propiedades y características de los

distintos resultados posibles en determinados experimentos, tanto para medir y

acotar sus probabilidades como en el proceso de inferencia de la información

contenida en los datos observados.

En esta última dirección resulta de especial importancia el llamado modelo

de distribución normal, por ser la distribución límite hacia la cual tienden (bajo

condiciones que generalmente se plantean en la vida cotidiana) gran número de

distribuciones de probabilidad.

La distribución Normal fue reconocida por primera vez por De Moivre, si bien fue

posteriormente Gauss quien elaboró desarrollos más profundos y formuló la

ecuación de la curva, de ahí que se le conozca más comúnmente cómo “ley de

Gauss” o “campana de Gauss”.

2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASDefinición

Dado un espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio ,

llamamos variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral en

Definición

Llamamos rango de , y lo denotamos por , al conjunto de valores que

toma la variable aleatoria.

Definición

Decimos que la variable aleatoria es discreta si toma un conjunto finito

o numerable de valores.

Definición

Decimos que la variable aleatoria es continua si toma valores en un conjunto no

numerable (lo más usual un intervalo de ).

Definición

Llamamos función de distribución de la variable aleatoria a la función

definida como .

Página 2 de 13

Definición

Decimos que una variable aleatoria es continua si su función de distribución

es una función continua y derivable, con derivada continua salvo a lo sumo en un

conjunto de puntos de medida nula.

Propiedades

Sea la función de distribución de una variable aleatoria continua ,

entonces:

1.

2. es monótona no decreciente ya que si entonces

3. es continua

Corolario

Si es una variable aleatoria continua, entonces .

Demostración

Sea y consideremos . Si , entonces

, pues al ser continua, .

Nota. Debido a que se cumple que:

a.

b.

c.

Definición

Dada una variable aleatoria continua , y siendo

, podemos definir una

función (a la que llamamos función de densidad de la variable aleatoria

), como .

Teorema

Las siguientes propiedades caracterizan la función de densidad

1.

Página 3 de 13

2.

Demostración

1. , pues y es monótona creciente

2. Puesto que , entonces .

Teorema

Dado que es continua salvo en , conjunto de medida nula,

entonces es integrable Riemann y la primitiva de es la función de distribución

.

Corolario. Cálculo de probabilidades en el caso continuo

1.

2.

En resumen, una variable aleatoria continua queda caracterizada por su función de

densidad y su función de distribución. Conocer una de ellas nos permite conocer la

otra gracias a que:

3. CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A UNA VARIABLE

ALEATORIA CONTINUADefinición

Sea una variable aleatoria continua con rango y función de densidad

, se define la esperanza matemática, media o valor esperado de como

.

Si , entonces .

Nota: es posible que la integral impropia no tome un valor finito, en cuyo caso se

dice que no existe la esperanza matemática.

Página 4 de 13

Definición

Si es una variable aleatoria continua y una función real, se define

.

Teorema. Propiedades de la Esperanza Matemática

1. , para toda constante

2.

3.

4. Si son variables aleatorias independientes, entonces

5. Si entonces

Definición

Se define el momento de orden de la variable aleatoria como

, y el momento centrado de orden de la

variable aleatoria como .

Nótese que y .

Definición

Se define la varianza de una variable aleatoria como

.

Nótese que .

La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria en torno a su

media.

Teorema. Propiedades de la Varianza

1.

2. , con

3.

Página 5 de 13

Definición

Se define la desviación típica de una variable aleatoria como .

4. DISTRIBUCIÓN NORMALDefinición

Decimos que una variable aleatoria sigue una distribución Normal de

parámetros y , y la denotamos por , si su función de

densidad es .

Teorema

La función posee las siguientes

propiedades:

1. es simétrica respecto de , pues

2. alcanza un máximo en , y vale

3. es creciente para y decreciente para

4. Los puntos de abscisas y son puntos de inflexión de

5. La recta es asíntota de , pues

La grafica de la función de densidad se denomina curva normal o campana de

Gauss, y además la media coincide con su moda (máximo de la función de

densidad) y mediana (función de distribución igual a 0,5). Otras características

relevantes son sus coeficientes de asimetría y curtosis, ambos nulos.

Definición

Página 6 de 13

La función de distribución de una variable normal es

.

Teorema

Si , entonces y .

Demostración

A. y haciendo

. Como los límites de integración son los

mismos .

La primera integral es nula por ser una función impar y los límites de integración

simétricos respecto al origen. La segunda integral es la llamada de las

probabilidades de Gauss, y viene dada por . Por tanto .

B. y

tomando y teniendo en cuenta que los

límites de integración son iguales .

Integrando por partes y , se obtiene .

Teorema

Cualquier combinación lineal de variables aleatorias normales e independientes

sigue una distribución normal.

Si son independientes, y

dados , entonces llamando

Teorema

Página 7 de 13

Si entonces .

Por tanto la función de distribución de cualquier se puede calcular

utilizando la distribución de la siguiente forma:

Donde . Generalmente se denota .

Esta teorema permite emplear las tablas de la para obtener la función de

distribución de cualquier distribución normal.

Teorema

Sea , entonces la variable .

Definición

Decimos que una variable aleatoria sigue una distribución Normal Estándar o

Tipificada, y la representamos como , cuando sus parámetros son

y , y su función de densidad es por tanto .

Esta distribución tiene especial importancia, ya que en ella se basan la mayor parte

de las distribuciones muestrales de los estadísticos utilizados en Inferencia

Estadística, tanto en la estimación por intervalos como en contrastes de hipótesis, o

al menos sus distribuciones asintóticas en virtud a los teoremas de convergencia.

Teorema

La función posee las siguientes propiedades:

1. es simétrica respecto de , pues

2. alcanza un máximo en , y vale

3. es creciente para y decreciente para

4. Los puntos de abscisas y son puntos de inflexión de

5. La recta es asíntota de , pues

Página 8 de 13

Definición

La función de distribución de una variable normal estándar se representa como

Teorema

Sea con función de distribución . Si entonces

a)

b)

Teorema

Sea con función de distribución . Entonces .

Demostración

Puesto que , entonces

.

Teorema

Las rectas son asíntotas de la función , pues siempre

y , pero como además , entonces

nunca ni .

Teorema

Si entonces y .

5. APLICACIONES

Página 9 de 13

5.1. APROXIMACIÓN DE UNA BINOMIAL POR UNA NORMALEn una repetición de experimentos independientes de Bernoulli con el mismo

parámetro de éxito , cuando suficientemente grande, surge un problema de

manejabilidad y cálculo de su distribución y probabilidades puntuales, e incluso no

resuelve este problema su aproximación al modelo de Poisson.

Teorema. (De Moivre-Laplace)

Dadas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

con , y la variable aleatoria binomial . Entonces

.

Es decir, la variable tipificada tiene como distribución límite la normal

estándar, y por consiguiente, a partir de cierto la distribución de esta variable

aleatoria se aproxima por la distribución normal estándar, es decir,

.

En la práctica se utiliza la aproximación del modelo binomial de parámetros

al normal de parámetros considerándose adecuada cuando

.

Nota. Para una correcta aplicación de esta aproximación de una variable aleatoria

discreta (binomial) por una variable aleatoria continua (normal), se debe

realizar la denominada corrección de continuidad a la hora de calcular las

probabilidades puntuales, ya que en una variable aleatoria discreta la

, en cambio cuando la variable es continua la

.

Esta corrección consiste en considerar intervalos de la forma

.

Página 10 de 13

5.2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LOS ESTADÍSTICOS

Teorema. Central del Límite (Lindeberg-Lévy)

Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

con media y varianza , entonces

.

De donde se deduce que el estadístico media muestral a partir de un proceso de

muestreo aleatorio simple de tamaño suficientemente grande, de cualquier

distribución con media y varianza , se aproxima a una variable aleatoria

normal de parámetros , .

5.3. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL

5.3.1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

Teorema

Una variable aleatoria se distribuye Chi-Cuadrado con grados de libertad,

, cuando sigue la misma distribución que la suma de los cuadrados de variables

aleatorias normales estándar e independientes:

con e independientes, .

Teorema

Si son variables independientes tales que

entonces .

5.3.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

Definición

Decimos que una variable aleatoria se distribuye t de Student con grados de

libertad, y lo representamos como , si tiene función de densidad de

Página 11 de 13

, donde representa la función Beta

de Euler definida por .

Teorema

Una variable aleatoria se distribuye t de Student con grados de libertad, ,

si es el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada de

una variable Chi-Cuadrado dividida por sus grados de libertad, que son , y siendo

las variables independientes:

con e independientes.

Teorema

Si entonces cuando el modelo t de Student se aproxima al normal

estándar.

5.3.3. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR

Teorema

Decimos que una variable aleatoria se distribuye F de Snedecor con parámetros

y , , si es el cociente entre dos variables aleatorias Chi-Cuadrado

independientes divididas por sus grados de libertad, que son parámetros y

respectivamente:

con e independientes.

6. CONCLUSIÓNHemos analizado la Distribución Normal, la más utilizada de las

distribuciones de probabilidad de variable continua.

La importancia de este modelo se debe principalmente a la aplicación

práctica del mismo, ya que proporciona un modelo de distribución al que se

aproximan los modelos de distribución de numerosas variables aleatorias asociadas

a fenómenos naturales, entre los que podemos citar:

- Fenómenos morfológicos de los individuos de cierta población (peso, altura,…)

- Fenómenos fisiológicos, como el efecto de tratamientos aplicados a

enfermedades de personas, animales y plantas.

Página 12 de 13

- Fenómenos sociológicos, como el impacto de un nuevo producto en el

mercado

- Fenómenos psicológicos, como el coeficiente intelectual

- Errores de medida

Todo ello nos sirve para reafirmar las palabras de Kendall de que la Estadística no

es “una ciencia vulgar que busca la manera de tratar los datos numéricos”, sino “la

base del conocimiento cuantitativo”.

7. BIBLIOGRAFÍA[1] Durá Peiró y López Cuñat, Fundamentos de Estadística, Ed. Ariel Economía

[2] Canavos, G. C., Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos, Ed.

McGraw-Hill

[3] Mood y Graybill, Introducción a la Teoría de la Estadística, Ed. Aguilar

Página 13 de 13