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RAÍCES MÚLTIPLES. Prof.: Ing. Marvin Hernández . Raíz múltiple. Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de. - PowerPoint PPT Presentation
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RAÍCES MÚLTIPLESRAÍCES MÚLTIPLES
Prof.: Ing. Marvin Hernández Prof.: Ing. Marvin Hernández
Raíz múltipleRaíz múltiple Una Una raíz múltiple raíz múltiple corresponde a un punto corresponde a un punto
donde una función es tangencial al eje donde una función es tangencial al eje x. x. Por Por ejemplo, una raíz doble resulta deejemplo, una raíz doble resulta de
)1)(1)(3()( xxxxf
375)( 23 xxxxf
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4
La ecuación tiene una La ecuación tiene una raíz dobleraíz doble porque un valor de porque un valor de x x hace que dos hace que dos términos de la ecuación sean términos de la ecuación sean iguales a cero.iguales a cero.
Gráficamente, esto significa que la Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al curva toca en forma tangencial al eje eje x x en la raíz doble. en la raíz doble.
)1)(1)(3()( xxxxf
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4
Raíz DobleRaíz Doble
Raíz TripleRaíz Triple Una Una raíz tripleraíz triple corresponde al caso en corresponde al caso en
que un valor de que un valor de x x hace que tres términos hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, en una ecuación sean iguales a cero, como en como en
)1)(1)(1)(3()( xxxxxf
310126)( 234 xxxxxf
Raíz TripleRaíz Triple
Advierta que la representación gráfica, Advierta que la representación gráfica, figura 2, indica otra vez que la función es figura 2, indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz, pero que en tangente al eje en la raíz, pero que en este caso sí cruza el eje.este caso sí cruza el eje.
)1)(1)(1)(3()( xxxxxf
Raíz TripleRaíz Triple
-4
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6
8
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0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
En general;En general; La multiplicidad La multiplicidad imparimpar de raíces cruza el de raíces cruza el
eje.eje.
Mientras que la multiplicidad Mientras que la multiplicidad parpar no lo no lo cruza. cruza.
Raíz CuádrupleRaíz Cuádruple
-4
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2
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0 1 2 3 4
Dificultades del método Dificultades del método de raíces múltiples;de raíces múltiples;
1.1. El hecho de que la función no cambie de signo El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados. los métodos cerrados.
2.2. Tanto Tanto ff(x) como (x) como f’f’(x) (x) se aproxima a cero en la se aproxima a cero en la raíz: raíz: Esto afecta a los métodos de Newton-Esto afecta a los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus fórmulas derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas. respectivas.
Dificultades del método Dificultades del método de raíces múltiples;de raíces múltiples;
Esto provocará una división entre cero Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca cuando la solución converge muy cerca de la raíz.de la raíz.
Pero, f(x) siempre alcanzará un valor Pero, f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, compara f(x) contra cero, dentro del dentro del programaprograma, entonces los cálculos se , entonces los cálculos se pueden terminar antes de que pueden terminar antes de que f’(x) f’(x) llegue llegue a cero.a cero.
Dificultades del método Dificultades del método de raíces múltiples;de raíces múltiples;
3. El método de Newton-Raphson y el método de 3. El método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples. de cuadrática, cuando hay raíces múltiples.
Se han propuesto algunas modificaciones para Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema;atenuar el problema;
Cambio en la formulación para que se regrese Cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadráticaa la convergencia cuadrática
donde donde m m es la multiplicidad de la raíz;es la multiplicidad de la raíz; m = 2 para m = 2 para una raíz dobleuna raíz doble m m = 3 para una raíz triple, etcétera.= 3 para una raíz triple, etcétera. Alternativa poco satisfactoria, porque depende del Alternativa poco satisfactoria, porque depende del
conocimiento de la multiplicidad de la raíz.conocimiento de la multiplicidad de la raíz.
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1i
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Atenuación del problemaAtenuación del problema
Otra alternativaOtra alternativa Consiste en definir una nueva función Consiste en definir una nueva función
u(x), u(x), que es el cociente de la función que es el cociente de la función original entre su derivada:original entre su derivada:
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Otra alternativaOtra alternativa
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EJEMPLO 1: Método de Newton-Raphson EJEMPLO 1: Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces modificado para el cálculo de raíces
múltiplesmúltiples Uitilizar los dos métodos, el estándar y el Uitilizar los dos métodos, el estándar y el
modificado de Newton-Raphson; evalúe la modificado de Newton-Raphson; evalúe la raíz múltiple de la ecuación, use un valor raíz múltiple de la ecuación, use un valor inicial de inicial de xi xi = 0.= 0.
375)( 23 xxxxf
Por Newton-RaphsonPor Newton-Raphson
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2
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1
xxxxxxx ii
ii xixi xi+1xi+1 Et%Et%00 00 0,42857140,4285714 100,0%100,0%
11 0,42857140,4285714 0,68571430,6857143 57,1%57,1%
22 0,68571430,6857143 0,83286540,8328654 31,4%31,4%
33 0,83286540,8328654 0,91332990,9133299 16,7%16,7%
44 0,91332990,9133299 0,95578330,9557833 8,7%8,7%
55 0,95578330,9557833 0,97765510,9776551 4,4%4,4%
66 0,97765510,9776551 0,98876620,9887662 2,2%2,2%
Por Newton-Raphson modificadoPor Newton-Raphson modificado
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1
xxxxxxxxxxxxx ii
Tabla de iteracionesTabla de iteracionesii xixi f(xi)f(xi) f'(Xi)f'(Xi) f''(xi)f''(xi) xi+1xi+1 Et%Et%
00 00 -3-3 77 -10-10 1,1052631,105263 100,0%100,0%
11 1,1052631,105263 -2,10E-02-2,10E-02 -3,88E-01-3,88E-01 -3,37E+00-3,37E+00 1,0030821,003082 10,5%10,5%
22 1,0030821,003082 -1,90E-05-1,90E-05 -1,23E-02-1,23E-02 -3,98E+00-3,98E+00 1,0000021,000002 0,31%0,31%
33 1,0000021,000002 -1,13E-11-1,13E-11 -9,53E-06-9,53E-06 -4,00E+00-4,00E+00 1,0000001,000000 0,0002%0,0002%
EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10 La funciónLa función tiene una raíz doble en tiene una raíz doble en x = 1 y xx = 1 y x00 = 0.2 = 0.2
El método estándar de Newton-Raphson El método estándar de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson modificado (m)El método de Newton-Raphson modificado (m) El método de Newton-Raphson modificado El método de Newton-Raphson modificado uu(x)(x)
35)( 23 xxxxf
Método estándar de Newton-RaphsonMétodo estándar de Newton-Raphson
)(')(
1i
iii xf
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ii xixi xi+1xi+1 Ea%Ea%00 0,20,2 0,71180,7118
11 0,65710,6571 1,45811,4581 69,6%69,6%
22 0,83700,8370 -0,9474-0,9474 21,5%21,5%
33 0,92030,9203 0,20670,2067 9,0%9,0%
44 0,96050,9605 0,38370,3837 4,2%4,2%
55 0,98040,9804 0,44700,4470 2,0%2,0%
66 0,99020,9902 0,47460,4746 1,0%1,0%
77 0,99510,9951 0,48760,4876 0,49%0,49%
88 0,99760,9976 0,49380,4938 0,25%0,25%
99 0,99880,9988 0,49690,4969 0,12%0,12%
1010 0,99940,9994 0,49850,4985 0,06%0,06%
Método de Newton-Raphson modificado Método de Newton-Raphson modificado (m)(m)
)(')(
1i
iii xf
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ii xixi xi+1xi+1 Ea%Ea%
00 0,20,2 0,71180,7118
11 1,11431,1143 0,70720,7072 82,1%82,1%
22 1,00161,0016 0,50390,5039 11,3%11,3%
33 1,00001,0000 0,50000,5000 0,2%0,2%
44 1,00001,0000 0,50000,5000 0,0%0,0%
El método de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson modificado modificado uu(x)(x)
ii xixi xi+1xi+1 Et%Et%
00 0,20,2 0,8787880,878788
11 0,8787880,878788 1,0032601,003260 77,2%77,2%
22 1,0032601,003260 1,0000031,000003 12,4%12,4%
33 1,0000031,000003 1,0000001,000000 0,3%0,3%
44 1,0000001,000000 1,0000001,000000 0,0%0,0%
)('')()(')(')(
21 xfxfxfxfxfxx
i
iiii
EJEMPLO 3:EJEMPLO 3:
La funciónLa función tiene una tiene una raíz doble en raíz doble en
x = 1 y xx = 1 y x00 = 0.5 = 0.5
El método estándar de El método estándar de Newton-Raphson Newton-Raphson
El método de Newton-El método de Newton-Raphson modificado Raphson modificado uu(x)(x)
258)( 23 xxxxf
Método estándar de Newton-RaphsonMétodo estándar de Newton-Raphson
ii xixi xi+1xi+1 Ea%Ea%
00 0,50,5
11 0,71430,7143 2,04292,0429 30,0%30,0%
22 0,84290,8429 -0,7592-0,7592 15,3%15,3%
33 0,91640,9164 0,18480,1848 8,0%8,0%
44 0,95670,9567 0,36990,3699 4,2%4,2%
55 0,97790,9779 0,43970,4397 2,2%2,2%
66 0,98880,9888 0,47090,4709 1,1%1,1%
77 0,99440,9944 0,48570,4857 0,56%0,56%
88 0,99720,9972 0,49290,4929 0,28%0,28%
99 0,99860,9986 0,49650,4965 0,14%0,14%
1010 0,99930,9993 0,49820,4982 0,07%0,07%
1111 0,99960,9996 0,49910,4991 0,04%0,04%
1212 0,99980,9998 0,49960,4996 0,02%0,02%
1313 0,99990,9999 0,49980,4998 0,01%0,01%
1414 1,00001,0000 0,49990,4999 0,00%0,00%
El método de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson modificado modificado uu(x)(x)
ii xixi xi+1xi+1 Ea%Ea%
00 0,50,5 1,0526321,052632
11 1,0526321,052632 1,0015411,001541 52,5%52,5%
22 1,0015411,001541 1,0000011,000001 5,1%5,1%
33 1,0000011,000001 1,0000001,000000 0,2%0,2%
44 1,0000001,000000 1,0000001,000000 0,0%0,0%
)('')()(')(')(
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