Relasi Dan Fungsi (2013)

8/18/2019 Relasi Dan Fungsi (2013)

1/107

Matriks, Relasi, dan Fungsi

Matematika Diskrit

1


2/107

2

Matriks

• Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

• Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m × n)adalah:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

• Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n × n.

• Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi

ringkas A !aij".

Contoh 1. Di ba#ah ini adalah matriks yang berukuran $ × %:

=

&11$

%'&

*'2

A


3/107

$

• Matriks simetri adalah matriks yang aij a ji untuk setiap i dan j.

Contoh 2. Di ba#ah ini adalah +ontoh matriks simetri.

−

−

&2$%

2*

$$

%2

• Matriks zero-one (*1) adalah matriks yang setiap elemennyahanya bernilai * atau 1.

Contoh 3. Di ba#ah ini adalah +ontoh matriks *1:

1**1

****

111*

*11*


4/107

%

Relasi

• elasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A × B.

• otasi: R ⊆ ( A × B).

• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∉ R, yang artinya a tidakdihubungkan oleh b oleh relasi R.

• /impunan A disebut daerah asal (domain) dari R, danhimpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.


5/107

'

Contoh 3. Misalkan

A 0mir, udi, 3e+ep4, B 056221, 562'1, 56$%2, 56$2$4

A × B 0(mir, 56221), (mir, 562'1), (mir, 56$%2),(mir, 56$2$), (udi, 56221), (udi, 562'1),(udi, 56$%2), (udi, 56$2$), (3e+ep, 56221),

(3e+ep, 562'1), (3e+ep, 56$%2), (3e+ep, 56$2$) 4

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yangdiambil oleh mahasis#a pada 7emester 8anjil, yaitu

R 0(mir, 562'1), (mir, 56$2$), (udi, 56221),

(udi, 562'1), (3e+ep, 56$2$) 4

- Dapat dilihat bah#a R ⊆ ( A × B),- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (mir, 562'1) ∈ R atau mir R 562'1

- (mir, 56$%2) ∉ R atau mir R 56$%2.


6/107

Contoh 4. Misalkan P 02, $, %4 dan Q 02, %, &, 9, 1'4. ika

kita de;inisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R 0(2, 2), (2, %), (%, %), (2, &), (%, &), ($, 9), ($, 1') 4

• elasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

• elasi pada himpunan A adalah relasi dari A × A. • elasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A × A.


7/107

Contoh 5. Misalkan R adalah relasi pada A 02, $, %, &, 94 yangdide;inisikan oleh ( x, y) ∈ R jika x adalah ;aktor prima dari y.Maka

R 0(2, 2), (2, %), (2, &), ($, $), ($, 9)4


8/107

&

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

mir

udi

3e+ep

56221

562'1

56$%2

56$2$

2

$

%

2

%

&

9

1'

2

$

%

&

9

2

$

%

&

9

A B

P

Q A A


9/107

9

. Representasi Relasi dengan Tabel

•


10/107

1*

3. Representasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A 0a1, a2, =, am4 dan B 0b

1, b

2, =, b

n4.

• elasi R dapat disajikan dengan matriks M !mij",

b1 b2 … bn

M

mnmm

n

n

mmmm

mmm

mmm

a

a

a

21

22221

11211

2

1

yang dalam hal ini

∉

∈=

Rba

Rbam

ji

ji

ij),(,*

),(,1


11/107

11

Contoh 6. elasi R pada 3ontoh $ dapat dinyatakan dengan

matriks

1***

**111*1*

dalam hal ini, a1 mir, a2 udi, a$ 3e+ep, dan b1 56221,b2 562'1, b$ 56$%2, dan b% 56$2$.

elasi R pada 3ontoh % dapat dinyatakan dengan matriks

**11*

11***

**111

yang dalam hal ini, a1 2, a2 $, a$ %, dan b1 2, b2 %, b$ &,

b% 9, b' 1'.


12/107

12

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

• elasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan se+ara

gra;is dengan graf berarah (directed graph atau digraph)• 8ra; berarah tidak dide;inisikan untuk merepresentasikan

relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

• >iap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik

(disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurutdinyatakan dengan busur (arc)

• ika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a kesimpul b. 7impul a disebut simpul asal (initial vertex) dan

simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

• ?asangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpula ke simpul a sendiri. usur sema+am itu disebut gelang ataukalang (loop).


13/107

1$

Contoh 7. Misalkan R 0(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d ), (c, a),

(c, d ), (d , b)4 adalah relasi pada himpunan 0a, b, c, d 4.

R direpresentasikan dengan gra; berarah sbb:

a b

c d


14/107

1%

ifat!sifat Relasi "iner

• elasi biner yang dide;inisikan pada sebuah himpunanmempunyai beberapa si;at.

1.Refleksif (reflexive)

• elasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

• elasi R pada himpunan A tidak re;leksi; jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.


15/107

1'

Contoh #. Misalkan A 01, 2, $, %4, dan relasi R di ba#ah ini

dide;inisikan pada himpunan A, maka

(a) elasi R 0(1, 1), (1, $), (2, 1), (2, 2), ($, $), (%, 2), (%, $),(%, %) 4 bersi;at re;leksi; karena terdapat elemen relasi yang

berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), ($, $), dan (%, %).

(b) elasi R 0(1, 1), (2, 2), (2, $), (%, 2), (%, $), (%, %) 4 tidak

bersi;at re;leksi; karena ($, $) ∉ R.

Contoh $. elasi @habis membagiA pada himpunan bilangan bulat positi; bersi;at re;leksi; karena setiap bilangan bulat positi; habis

dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)∈ R untuk setiap a ∈ .

Contoh 1%. >iga buah relasi di ba#ah ini menyatakan relasi padahimpunan bilangan bulat positi; &.

R : x lebih besar dari y, : x B y ', ! : $ x B y 1*

>idak satupun dari ketiga relasi di atas yang re;leksi; karena,

misalkan (2, 2) bukan anggota R, , maupun ! .


16/107

1

• elasi yang bersi;at re;leksi; mempunyai matriks yangelemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii 1,

untuk i 1, 2, =, n,

1

1

1

1

• 8ra; berarah dari relasi yang bersi;at re;leksi; di+irikanadanya gelang pada setiap simpulnya.


17/107

1

2. Menghantar (tran"itive)

• elasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈

R dan (b, c)∈

R, maka (a, c)∈

R, untuk a, b, c ∈

A.


18/107

1&

Contoh 11. Misalkan A 01, 2, $, %4, dan relasi R di ba#ah ini

dide;inisikan pada himpunan A, maka

(a) R 0(2, 1), ($, 1), ($, 2), (%, 1), (%, 2), (%, $) 4 bersi;at

menghantar. Cihat tabel berikut:

?asangan berbentuk

(a, b) (b, c) (a, c)

($, 2) (2, 1) ($, 1)

(%, 2) (2, 1) (%, 1)(%, $) ($, 1) (%, 1)

(%, $) ($, 2) (%, 2)

(b) R 0(1, 1), (2, $), (2, %), (%, 2) 4 tidak manghantar karena

(2, %) dan (%, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (%, 2) dan(2, $) ∈ R, tetapi (%, $) ∉ R.

(+) elasi R 0(1, 1), (2, 2), ($, $), (%, %) 4 jelas menghantar

(d) elasi R 0(1, 2), ($, %)4 menghantar karena tidak ada

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

elasi yang hanya berisi satu elemen seperti R 0(%, ')4 selalumenghantar.


19/107

19


20/107

2*

•elasi yang bersi;at menghantar tidak mempunyai +iri khusus pada matriks representasinya

• 7i;at menghantar pada gra; berarah ditunjukkan oleh: jikaada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat

busur berarah dari a ke c.


21/107

21

3. etangkup ( "ymmetric) dan tolak!setangkup (anti"ymmetric)

• elasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R,maka (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.

• elasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) ∉ R.

• elasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika a b untuk a, b ∈ A disebut tolak!setangkup.

• elasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika adaelemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R.


22/107

• Contoh 14. Misalkan A = {1, 2, 3,4}, dan relasi R di bawah inididefnisikan pada himpunan A, maka

• Relasi R = {1, 1!, 1, 2!, 2, 1!, 2, 2!,2, 4!, 4, 2!, 4, 4! } bersi"atsetangkup karena #ika a, b! ∈ R

maka b, a! #uga ∈ R$ Di sini 1, 2! dan2, 1! ∈ R, begitu #uga 2, 4! dan 4,2! ∈ R$

22


23/107

• Relasi R = {1, 1!, 2, 3!, 2, 4!, 4, 2!} tidak setangkup karena 2, 3! ∈ R,tetapi 3, 2! ∉ R$

2$


24/107

• Relasi R = {1, 1!, 2, 2!, 3, 3! }t%lak&setangkup karena 1 = 1 dan 1,1! ∈ R, 2 = 2 dan 2, 2! ∈ R, dan 3 =3 dan 3, 3! ∈ R$ 'erhatikan bahwa R

#uga setangkup$

2%


25/107

• Relasi R = {1, 1!, 1, 2!, 2, 2!, 2, 3!} t%lak&setangkup karena 1, 1! ∈ R dan 1 = 1 dan, 2, 2! ∈ R dan 2 = 2dan$ 'erhatikan bahwa R tidaksetangkup$

()*+&-MM.*R+/• *+D(0 -MM.*R+/

2'


26/107

• Relasi R = {1, 1!, 2, 4!, 3, 3!, 4, 2!} tidak t%lak&setangkup karena 2 ≠ 4tetapi 2, 4! dan 4, 2! angg%ta R$

Relasi R pada a! dan b! di atas #ugatidak t%lak&setangkup$

2


27/107

• Relasi R = {1, 2!, 2, 3!, 1, 3! }tidak setangkup tetapi t%lak&setangkup$

2


28/107

• Relasi R = {1, 1!, 2, 2!, 2, 3!, 3,2!, 4, 2!, 4, 4!} tidak setangkup dantidak t%lak&setangkup$ R tidak

setangkup karena 4, 2! ∈ R tetapi 2,4! ∉ R$ R tidak t%lak&setangkupkarena 2, 3! ∈ R dan 3, 2! ∈ R tetap

2 ≠ 3$

2&


29/107

29


30/107

$*

Contoh 15. elasi @habis membagiA pada himpunan bilangan bulat

positi; tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak

habis membagi a, ke+uali jika a b. 7ebagai +ontoh, 2 habis

membagi %, tetapi % tidak habis membagi 2.


31/107

$1

• elasi yang bersi;at setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di ba#ah diagonal utama merupakan

pen+erminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, ataumij m ji 1, untuk i 1, 2, =, n :

*

1

*

1

• 7edangkan gra; berarah dari relasi yang bersi;at setangkup

di+irikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.


32/107

$2

• Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai si;at yaitu

jika mij 1 dengan i ≠ j, maka m ji *. Dengan kata lain,matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari

mij * atau m ji * bila i ≠ j :

*

1

1*

*

1

• 7edangkan gra; berarah dari relasi yang bersi;at tolak-setangkup di+irikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah

ada dua busur dalam arah berla#anan antara dua simpul

berbeda.


33/107

$$

Relasi 'n(ersi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B.5nEers dari relasi R, dilambangkan dengan R

F1, adalah relasi

dari B ke A yang dide;inisikan oleh

R F1

0(b, a) G (a, b) ∈ R 4


34/107

$%

Contoh 17. Misalkan P 02, $, %4 dan Q 02, %, &, 9, 1'4. ika

kita de;inisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R 0(2, 2), (2, %), (%, %), (2, &), (%, &), ($, 9), ($, 1') 4

F1 adalah inver" dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan

(q, p) ∈ R F1 jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh


35/107

$'

ika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

M

**11*

11***

**111

maka matriks yang merepresentasikan relasi R F1

, misalkan # ,

diperoleh dengan melakukan tran"po"e terhadap matriks M ,

# M !

*1*

*1*

1*1

1*1

**1


36/107

$

Mengkombinasikan Relasi

•


37/107

$

Contoh 1#. Misalkan A 0a, b, c4 dan B 0a, b, c, d 4.

elasi R1 0(a, a), (b, b), (c, c)4

elasi R2 0(a, a), (a, b), (a, c), (a, d )4

R1 ∩ R2 0(a, a)4

R1 ∪ R2 0(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )4 R1 − R2 0(b, b), (c, c)4 R2 − R1 0(a, b), (a, c), (a, d )4 R1 ⊕ R2 0(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )4


38/107

$&

• ika relasi R1 dan R

2 masing-masing dinyatakan dengan

matriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan

gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M R1 ∪ R2 M R1 ∨ M R2 dan M R1 ∩ R2 M R1 ∧ M R2


39/107

$9

Contoh 1$. Misalkan bah#a relasi R1 dan R2 pada himpunan A

dinyatakan oleh matriks

R1

*11

1*1

**1

dan R2

**1

11*

*1*

maka

M R1 ∪ R2 M R1 ∨ M R2

*11

111

*11

M R1 ∩ R2 M R1 ∧ M R2

**1

1**

***


40/107

%*

)omposisi Relasi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,dan adalah relasi dari himpunan B ke himpunan $ .


41/107

%1

Contoh 2%. Misalkan

R 0(1, 2), (1, ), (2, %), ($, %), ($, ), ($, &)4

adalah relasi dari himpunan 01, 2, $4 ke himpunan 02, %, , &4 dan

0(2, %), (%, "), (%, t ), (, t ), (&, %)4

adalah relasi dari himpunan 02, %, , &4 ke himpunan 0 ", t , %4.

Maka komposisi relasi R dan adalah

ο R 0(1, %), (1, t ), (2, "), (2, t ), ($, "), ($, t ), ($, %) 4


42/107

%2


43/107

%$

• ika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan denganmatriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan

komposisi dari kedua relasi tersebut adalah

M R2 ο R1 M R1 ⋅ M R2

yang dalam hal ini operator @.A sama seperti pada perkalian

matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan @∧Adan tanda tambah dengan @∨A.

C 21 i lk b h l i d d hi


44/107

%%

Contoh 21. Misalkan bah#a relasi R1 dan R2 pada himpunan A

dinyatakan oleh matriks

R1

****11

1*1

dan R2

1*11**

*1*

maka matriks yang menyatakan R2 ο R1 adalah

M R2 ο R1 M R1 . M R2

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

)**()**()**()1*()1*()**()**(

)*1()**()*1()11()1*()*1()*1(

)*1()*1()**()11()11()**()*1(

***

11*

111


45/107

%'

Relasi n!ary

• elasi biner hanya menghubungkan antara dua buahhimpunan.

• elasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. elasi tersebut dinamakan relasi n-ary (ba+a:

ener).

• ika n 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi 2).elasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam basisdata.

• Misalkan A1, A2, =, An adalah himpunan. elasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian

dari A1 × A2 × = × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × =× An. /impunan A1, A2, =, An disebut daerah asal relasi dan n disebut *erajat.


46/107

%

Contoh 22. Misalkan

#&M 01$'9&*11, 1$'9&*1%, 1$'9&*1', 1$'9&*19,

1$'9&*21, 1$'9&*2'4 #ama 0mir, 7anti, 5r#an, hmad, 3e+ep, /amdan4 Mat'%l 0Matematika Diskrit, lgoritma, 7truktur Data,

rsitektur


47/107

%

7atu +ontoh relasi yang bernama M( adalah

M( 0(1$'9&*11, mir, Matematika Diskrit, ),

(1$'9&*11, mir, rsitektur


48/107

%&

elasi M( di atas juga dapat ditulis dalam bentuk >abel:

5M ama Mat


49/107

%9

• asisdata (databa"e) adalah kumpulan tabel.

• 7alah satu model basisdata adalah mo*el basis*ata relasional (relational databa"e). Model basisdata ini

didasarkan pada konsep relasi n-ary.

• ?ada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi.7etiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari

atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut

tersebut berada.

• 7etiap tabel pada basisdata diimplementasikan se+ara ;isiksebagai sebuah file.

• 7atu baris data pada tabel menyatakan sebuah record , dansetiap atribut menyatakan sebuah field .

• 7e+ara ;isik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record , setiap record terdiri atas sejumlah

field .

• tribut khusus pada tabel yang mengidenti;ikasikan se+araunik elemen relasi disebut kun+i ()ey).

I i dil k k h d b i d dil k k d


50/107

'*

• Iperasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut q%ery.

• 3ontoh q%ery:@tampilkan semua mahasis#a yang mengambil mata kuliahMatematika DiskritA

@tampilkan da;tar nilai mahasis#a dengan 5M 1$'9&*1'A

@tampilkan da;tar mahasis#a yang terdiri atas 5M dan mata

kuliah yang diambilA

• Q%ery terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan se+araabstrak dengan operasi pada relasi n-ary.

• da beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranyaadalah seleksi, proyeksi, dan join.


51/107

'1

eleksi

Iperasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi persyaratan tertentu.

Iperator: σ

Contoh 23. Misalkan untuk relasi M/7 kita ingin menampilkan

da;tar mahasis#a yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit.

Iperasi seleksinya adalahσMatkulAMatematika DiskritA (M/7)

/asil: (1$'9&*11, mir, Matematika Diskrit, ) dan

(1$'9&*2', /amdan, Matematika Diskrit, )


52/107

'2

Proyeksi

Iperasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. ika ada

beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

Iperator: π

Contoh 24. Iperasi proyeksi

π ama, Matabel $.'. 7edangkan operasi proyeksi

π 5M, ama (M/7)

menghasilkan >abel $..

T b l 3 5 T b l 3 6


53/107

'$

Tabel 3.5 Tabel 3.6

ama Mat


54/107

'%

Iperasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila

kedua tabel mempunyai atribut yang sama.

Iperator: τ

Contoh 25. Misalkan relasi M(* dinyatakan dengan >abel $.

dan relasi M(+ dinyatakan dengan >abel $.&.

Iperasi join

τ 5M, ama(M/71, M/72)

menghasilkan >abel $.9.

Tabel 3.7 Tabel 3.#

5M ama < 5M ama Mat


55/107

''

,ungsi

• Misalkan A dan B himpunan.elasi biner f dari A ke B merupakan suatu ;ungsi jika "etiap

elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di

dalam B.

ika f adalah ;ungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A → B yang artinya f memetakan A ke B.

• A disebut *aerah asal (domain) dari f dan B disebut *aerahhasil (codomain) dari f .

• ama lain untuk ;ungsi adalah pemetaan atau transformasi.

•


56/107

'

• ika f (a) b, maka b dinamakan ba-angan (image) dari a dan a dinamakan pra!ba-angan ( pre-image) dari b.

• /impunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f . ?erhatikan bah#a jelajah dari f adalahhimpunan bagian (mungkin proper "%b"et ) dari B.

a b

A B

f


57/107

'

• 6ungsi adalah relasi yang khusus:1. >iap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mende;inisikan f .

2. 6rasa @dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam BA

berarti bah#a jika (a, b) ∈ f dan (a, c) ∈ f , maka b c.

• 6ungsi dapat dispesi;ikasikan dalam berbagai bentuk,


58/107

'&

diantaranya:

1. /impunan pasangan terurut.

7eperti pada relasi.

2. 6ormula pengisian nilai (a""ignment ).

3ontoh: f ( x) 2 x B 1*, f ( x) x2, dan f ( x) 1 x.

$.


59/107

'9

Contoh 26. elasi

f 0(1, %), (2, v), ($, ,)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 adalah ;ungsi dari A ke B. Di sini

(1) %, f (2) v, dan f ($) ,. Daerah asal dari f adalah A dan daerahhasil adalah B. elajah dari f adalah 0%, v, ,4, yang dalam hal ini sama

dengan himpunan .

Contoh 27. elasi

f 0(1, %), (2, %), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 adalah ;ungsi dari A ke B, meskipun

% merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal ;ungsi adalah

, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah ;ungsi adalah 0%, v4.


60/107

*

Contoh 2#. elasi

f 0(1, %), (2, v), ($, ,)4

dari A 01, 2, $, %4 ke B 0%, v, ,4 bukan ;ungsi, karena tidak semua

elemen A dipetakan ke B.

Contoh 2$. elasi

f 0(1, %), (1, v), (2, v), ($, ,)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 bukan ;ungsi, karena 1 dipetakan ke

dua buah elemen B, yaitu % dan v.

Contoh 3%. Misalkan f : → dide;inisikan oleh f ( x) x2. Daerahasal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah

dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negati;.


61/107

1

• 6ungsi f dikatakan satu!ke!satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang

memiliki bayangan sama.

a 1

A B

2

3

4

5

b

c

d


62/107

2

Contoh 31. elasi

f 0(1, ,), (2, %), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, , x4 adalah ;ungsi satu-ke-satu,

>etapi relasi

f 0(1, %), (2, %), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 bukan ;ungsi satu-ke-satu,

karena f (1) f (2) %.


63/107

$

Contoh 32. Misalkan f : → . >entukan apakah f ( x) x2 B 1 dan( x) x F 1 merupakan ;ungsi satu-ke-satuK

?enyelesaian:(i) f ( x) x

2 B 1 bukan ;ungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x

yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai

;ungsinya sama, misalnya f (2) f (-2) ' padahal F2 ≠ 2.

(ii) f ( x) x F 1 adalah ;ungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b,a F 1 ≠ b F 1.

Misalnya untuk x 2, f (2) 1 dan untuk x -2, f (-2) -$.


64/107

%

• 6ungsi f dikatakan dipetakan pa*a (onto) atau surjektif ( "%rjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan

bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

• Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f .6ungsi f disebut ;ungsi pada himpunan B.

a 1

A B

2

3

b

c

d


65/107

'

Contoh 33. elasi

f 0(1, %), (2, %), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 bukan ;ungsi pada karena ,

tidak termasuk jelajah dari f .

elasi

f 0(1, ,), (2, %), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 merupakan ;ungsi pada karena

semua anggota B merupakan jelajah dari f .


66/107

Contoh 34. Misalkan f : → . >entukan apakah f ( x) x2 B 1 dan

( x) x F 1 merupakan ;ungsi padaK?enyelesaian:

(i) f ( x) x2 B 1 bukan ;ungsi pada, karena tidak semua nilai

bilangan bulat merupakan jelajah dari f .

(ii) f ( x) x F 1 adalah ;ungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y x F 1 akan

dipenuhi untuk x y B 1.


67/107

• 6ungsi f dikatakan berkorespon*en satu!ke!satu ataubijeksi (bijection) jika ia ;ungsi satu-ke-satu dan juga ;ungsi

pada.

Contoh 35. elasi

f 0(1, %), (2, ,), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 adalah ;ungsi yang

berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah ;ungsi satu-ke-satu

maupun ;ungsi pada.

Contoh 36. 6ungsi f ( x) x F 1 merupakan ;ungsi yang


68/107

&

berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah ;ungsi satu-ke-satu

maupun ;ungsi pada.

6ungsi satu-ke-satu, 6ungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu

uka ;ungsi satu-ke-satu ukan ;ungsi

maupun pada

a

1

AB

2

3b

c 4

a1

AB

2

3

b

c

c d

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4


69/107

9

• ika f adalah ;ungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B,maka kita dapat menemukan balikan (inver") dari f .

• alikan ;ungsi dilambangkan dengan f F1. Misalkan a adalahanggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B,

maka f-1

(b) a jika f (a) b.

• 6ungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga ;ungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita

dapat mende;inisikan ;ungsi balikannya. 7ebuah ;ungsi

dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan

;ungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena ;ungsi balikannya tidak ada.

Contoh 37 elasi


70/107

*

Contoh 37. elasi

f 0(1, %), (2, ,), ($, v)4

dari A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4 adalah ;ungsi yang

berkoresponden satu-ke-satu. alikan ;ungsi f adalah

f-1

0(%, 1), (,, 2), (v, $)4

adi, f adalah ;ungsi invertible.

Contoh 3#. >entukan balikan ;ungsi f ( x) x F 1.

?enyelesaian:

6ungsi f ( x) x F 1 adalah ;ungsi yang berkoresponden satu-ke-

satu, jadi balikan ;ungsi tersebut ada.

Misalkan f ( x) y, sehingga y x F 1, maka x y B 1. adi, balikan

;ungsi balikannya adalah f

-1

( y) y B1.


71/107

1

Contoh 3$. >entukan balikan ;ungsi f ( x) x2 B 1.

?enyelesaian:Dari 3ontoh $.%1 dan $.%% kita sudah menyimpulkan bah#a f ( x)

F 1 bukan ;ungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga

;ungsi balikannya tidak ada. adi, f ( x) x2 B 1 adalah ;unsgi yang

not invertible.


72/107

2

)omposisi *ari *ua buah fungsi.

Misalkan g adalah ;ungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan

adalah ;ungsi dari himpunan B ke himpunan $ .


73/107

$

Contoh 4%. Diberikan ;ungsi

g 0(1, %), (2, %), ($, v)4

yang memetakan A 01, 2, $4 ke B 0%, v, ,4, dan ;ungsi

f 0(%, y), (v x), (,, z )4

yang memetakan B 0%, v, ,4 ke $ 0 x, y, z 4. 6ungsi komposisi

dari A ke $ adalah

f ο g 0(1, y), (2, y), ($, x) 4

Contoh 41. Diberikan ;ungsi f ( x) x F 1 dan g ( x) x2 B 1.

>entukan f ο g dan g ο f . ?enyelesaian:

(i) ( f ο g )( x) f ( g ( x)) f ( x2 B 1) x2 B 1 F 1 x2.(ii) ( g ο f )( x) g ( f ( x)) g ( x F 1) ( x F1)2 B 1 x2 - 2 x B 2.

"eberapa ,ungsi )husus


74/107

%

"eberapa ,ungsi )husus

1. ,ungsi !loor *an "eiling

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

6ungsi floor dari L:

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih ke+ilatau sama dengan x

6ungsi ceiling dari x:

x menyatakan bilangan bulat terke+il yang lebih besar atausama dengan x

Dengan kata lain, ;ungsi floor membulatkan x ke ba#ah,

sedangkan ;ungsi ceiling membulatkan x ke atas.

Contoh 42. eberapa +ontoh nilai ;ungsi floor dan ceiling:


75/107

'

Contoh 42. eberapa +ontoh nilai ;ungsi floor dan ceiling :

$.' $ $.' %

*.' * *.' 1%.& % %.& ' F *.' F 1 F *.' * F$.' F % F$.' F $

Contoh 42. Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian

byte, satu byte terdiri atas & bit. ika panjang data 12' bit, maka

umlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah

12'& 1 byte. ?erhatikanlah bah#a 1 × & 12& bit, sehinggauntuk byte yang terakhir perlu ditambahkan $ bit ekstra agar satu

byte tetap & bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi &

bit disebut padding bit").

2 ,ungsi mo*ulo


76/107

2. ,ungsi mo*ulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah

bilangan bulat positi;.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a

dibagi dengan m

a mod m r sedemikian sehingga a mq B r , dengan * ≤ r m.

Contoh 43. eberapa +ontoh ;ungsi modulo

2' mod %1' mod % *

$12 mod %' 12

* mod ' '

F2' mod $ (sebab F2' ⋅ (F%) B $ )

3. ,ungsi ,aktorial


77/107

>×−×××

==

*,)1(.21

*,1

nnn

nn

4. ,ungsi /ksponensial

>×××

== *,

*,1

naaa

na

n

n

Nntuk kasus perpangkatan negati;,

n

n

aa

1=−

5. ,ungsi 0ogaritmik

6ungsi logaritmik berbentuk

x y a log= ↔ x a y

,ungsi Rekursif


78/107

&

• 6ungsi f dikatakan ;ungsi rekursi; jika de;inisi ;ungsinyamenga+u pada dirinya sendiri.

3ontoh: n 1 × 2 × = × (n F 1) × n (n 1) × n.

>−×

==

*,)1(

*,1

nnn

nn

6ungsi rekursi; disusun oleh dua bagian:

(a) Ba"i"

agian yang berisi nilai a#al yang tidak menga+u pada dirinyasendiri. agian ini juga sekaligus menghentikan de;inisi

rekursi;.

(b) Re)%ren"

agian ini mende;inisikan argumen ;ungsi dalam terminologi

dirinya sendiri. 7etiap kali ;ungsi menga+u pada dirinya sendiri,

argumen dari ;ungsi harus lebih dekat ke nilai a#al (basis).

• 3ontoh de;inisi rekursi; dari ;aktorial:(a) basis:


79/107

9

(a) basis:

n 1 , jika n *

(b) rekurens:

n n × (n -1) , jika n O *

' dihitung dengan langkah berikut:

(1) ' ' × % (rekurens)(2) % % × $($) $ $ × 2(%) 2 2 × 1(') 1 1 × *() * 1

(P) * 1

('P) 1 1 × * 1 × 1 1(%P) 2 2 × 1 2 × 1 2($P) $ $ × 2 $ × 2 (2P) % % × $ % × 2%(1P) ' ' × % ' × 2% 12*

adi, ' 12*.


80/107

&*

Contoh 44. Di ba#ah ini adalah +ontoh-+ontoh ;ungsi rekursi; lainnya:

1.

≠+−

==

*,)1(2

*,*)(

2 x x x /

x x /

2. 6ungsi 3hebyseE

>−−−

=

=

=

1,),2(),1(2

1,

*,1

),(

n xn! xn x!

n x

n

xn!

$. 6ungsi ;ibona++i:

>−+−

=

=

=

1,)2()1(

1,1

*,*

)(

nn f n f

n

n

n f

R l i 0 t


81/107

Relasi 0esetaraan

DEFINISI. Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan

equivalence relation! #ika ia reeksi",setangkup dan menghantar$

&1


82/107

• eara intuiti", di dalam relasi

kesetaraan, dua bendaberhubungan #ika keduanamemiliki beberapa si"at ang samaatau memenuhi beberapapersaratan ang sama$

• Dua elemen ang dihubungkandengan relasi kesetaraandinamakan setara equivalent !$

&2

• /%nt%h


83/107

/%nt%h

( = himpunan mahasiswa, R relasi pada (

a, b!∈

R #ika a satu angkatan dengan b$

R reeksi" setiap mahasiswa seangkatandengan dirina sendiri

R setangkup #ika a seangkatan dengan b,maka b pasti seangkatan dengan a$

R menghantar #ika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah

a seangkatan dengan c$

Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan$

&$


84/107

Relasi Pengurutan

Parsial DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial partial ordering relation! #ika ia reeksi",

t%lak&setangkup, dan menghantar$

5impunan S bersama&sama dengan relasi

R disebut himpunan terurut secaraparsial partially ordered set , atau poset !, dan dilambangkan dengan S, R!$

&%

/%nt%h Relasi ≥ pada himpunan bilangan


85/107

p p gbulat adalah relasi pengurutan parsial$

(lasanRelasi ≥ reeksi", karena a ≥ a untuk setiapbilangan bulat a;

Relasi ≥ t%lak&setangkup, karena #ika a ≥ b dan b ≥ a, maka a = b;

Relasi ≥ menghantar, karena #ika a ≥ b dan b ≥ c maka a ≥ c$

&'


86/107

/%nt%h Relasi 6habis membagi7

pada himpunan bilangan bulatadalah relasi pengurutan parsial$

(lasan relasi 6habis membagi7bersi"at reeksi", t%lak&setangkup,dan menghantar$

&


87/107

• eara intuiti", di dalam relasipengurutan parsial, dua buahbenda saling berhubungan #ikasalah satuna && lebih keil lebih

besar! daripada,& atau lebih rendah lebih tinggi!

daripada lainna menurut si"at

atau kriteria tertentu$

&

• +stilah pengurutan menatakan bahwa


88/107

+stilah pengurutan menatakan bahwabenda&benda di dalam himpunan tersebutdirutkan berdasarkan si"at atau kriteria

tersebut$

• (da #uga kemungkinan dua buah benda didalam himpunan tidak berhubungan dalam

suatu relasi pengurutan parsial$ Dalam haldemikian, kita tidak dapat membandingkankeduana sehingga tidak dapat diidentifkasimana ang lebih besar atau lebih keil$

• +tulah alasan digunakan istilah pengurutanparsial atau pengurutan tak&lengkap

&&


89/107

0l%sur Relasi closure of relation!

• /%nt%h 1 Relasi R = {1, 1!, 1, 3!,2, 3!, 3, 2!} pada himpunan A = {1,2, 3} tidak reeksi"$

• 8agaimana membuat relasi reeksi"ang sesedikit mungkin dan

mengandung R9

&9

• *ambahkan 2 2! dan 3 3! ke dalam R


90/107

• *ambahkan 2, 2! dan 3, 3! ke dalam R karena dua elemen relasi ini ang

belum terdapat di dalam R!

• Relasi baru, S, mengandung R, aitu

S = {1, 1!, 1, 3!, (2 2!, 2, 3!,

3, 2!, (" "! }

• Relasi S disebut klosur re#eksi$ reexive closure! dari R$

9*


91/107

• /%nt%h 2 Relasi R = {1, 3!, 1, 2!,

2, 1!, 3, 2!, 3, 3!} padahimpunan A = {1, 2, 3} tidaksetangkup$

• 8agaimana membuat relasisetangkup ang sesedikit mungkin

dan mengandung R9

91

• *ambahkan 3 1! dan 2 3! ke dalam R


92/107

*ambahkan 3, 1! dan 2, 3! ke dalam R

karena dua elemen relasi ini ang belum

terdapat di dalam S agar S men#adisetangkup!$

• Relasi baru, S, mengandung R

S = {1, 3!, 3, 1!, 1, 2!, 2, 1!, 3, 2!, 2,3!, 3, 3!}

• Relasi S disebut klosur setangkup symmetric closure! dari R$

92

Mi lk R d l h l i d


93/107

• Misalkan R adalah relasi padahimpunan A$ R dapat memiliki atau

tidak memiliki si"at P, sepertireeksi", setangkup, ataumenghantar$ ;ika terdapat relasi S

dengan si"at P ang mengandung R sedemikian sehingga S adalahhimpunan bagian dari setiap relasidengan si"at P ang mengandungR, maka S disebut klosur closure!atau tutupan dari R 3?$

9$


94/107

0l%sur Reeksi" • Misalkan R adalah sebuah relasi pada

himpunan A$

• 0l%sur reeksi" dari R adalah R ∪ ∆,ang dalam hal ini ∆ = {a, a! @ a ∈

A}$

9%

/ t h R {1 1! 1 3! 2 3! 3 2!}


95/107

• /%nt%h R = {1, 1!, 1, 3!, 2, 3!, 3, 2!}adalah relasi pada A = {1, 2, 3}

maka ∆ = {1, 1!, 2, 2!, 3, 3!},

sehingga kl%sur reeksi" dari R adalah

R ∪ ∆ = {1, 1!, 1, 3!, 2, 3!, 3, 2!} ∪ {1, 1!, 2, 2!, 3, 3!}

= {1, 1!, 1, 3!, 2, 2!, 2, 3!, 3, 2!, 3, 3!}

9'

• Contoh% Misalkan R adalah relasi


96/107

Contoh% Misalkan R adalah relasi

{a, b! @ a ≠ b}

pada himpunan bilangan bulat$

0l%sur reeksi" dari R adalah

R ∪ ∆ = {a, b! @ a ≠ b} ∪

{a, a! @ a ∈ &}

= {a, b! @ a, b ∈ &}

9


97/107

0l%sur setangkup• Misalkan R adalah sebuah relasi pada

himpunan A$

• 0l%sur setangkup dari R adalah R ∪ R&1, dengan R&1 = {b, a! @ a, b! a ∈ R}$

9

• /%nt%h R = {1, 3!, 1, 2!, 2, 1!, 3, 2!,


98/107

3, 3!} adalah relasi pada A = {1, 2, 3},

maka

R&1 = {3, 1!, 2, 1!, 1, 2!, 2, 3!, 3, 3!}

sehingga kl%sur setangkup dari R adalah

R ∪ R&1 = {1, 3!, 1, 2!, 2, 1!, 3, 2!, 3, 3!} ∪

{3, 1!, 2, 1!, 1, 2!, 2, 3!, 3, 3!}

= {1, 3!, 3, 1!, 1, 2!, 2, 1!, 3, 2!, 2, 3!, 3, 3!}

9&


99/107

• /%nt%h Misalkan R adalah relasi

{a, b! @ a habis membagi b}pada himpunan bilangan bulat$

0l%sur setangkup dari R adalah

R ∪ R&1 = {a, b! @ a habis membagib} ∪ {b, a! @ b habis membagi a}

= {a, b! @ a habis membagi b atau b habis membagi a}

99


100/107

0l%sur menghantar• 'embentukan kl%sur menghantar lebih sulit

daripada dua buah kl%sur sebelumna$

• /%nt%h R = {1, 2!, 1, 4!, 2, 1!, 3, 2!}

adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}$R tidak transiti" karena tidak mengandungsemua pasangan a, c! sedemikian sehinggaa, b! dan b, c! di dalam R$

'asangan a, c! ang tidak terdapat di dalamR adalah 1, 1!, 2, 2!, 2, 4!, dan 3, 1!$

1**


101/107

• 'enambahan semua pasangan ini kedalam R sehingga men#adi

S = {1, 2!, 1, 4!, 2, 1!, 3, 2!, 1, 1!,

2, 2!, 2, 4!, 3, 1!}

tidak menghasilkan relasi ang bersi"atmenghantar karena, misalna terdapat3, 1! ∈ S dan 1, 4! ∈ S, tetapi 3, 4! ∉ S$

1*1


102/107

•

0%sur menghantar dari R adalah

RA = R2 ∪ R3 ∪ B ∪ Rn

• ;ika MR adalah matriks angmerepresentasikan R pada sebuahhimpunan dengan n elemen, makamatriks kl%sur menghantar RA adalah

1*2

=Q R M M R ∨ "2!

R M ∨ "$!

R M ∨ = ∨ "!n

R M

Misalkan R 0(1, 1), (1, $), (2, 2), ($, 1), ($, 2)4 adalah relasi pada himpunan 01, 2, $4. >entukan

klosur menghantar dari R.


103/107

1*$

?enyelesaian:

Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah

M R

*11

*1*1*1

Maka, matriks klosur menghantar dari R adalah

=Q R M M R ∨ "2!

R M ∨ "$!

R M


104/107

(plikasi kl%sur

menghantar• 0l%sur menghantar menggambarkanbagaimana pesan dapat dikirim darisatu k%ta ke k%ta lain baik melalui

hubungan k%munikasi langsung ataumelalui k%ta antara sebanakmungkin


105/107

•

Misalkan #aringan k%mputermempunai pusat data di ;akarta,8andung, urabaa, Medan,Makassar, dan 0upang$

• Misalkan R adalah relasi angmengandung a, b! #ika terdapat

saluran telep%n dari k%taa ke k%ta

b$

1*'


106/107

1*

B a n d u n g

J a k a r t a S u r a b a y a

M e d a n

M a k a s s a r

K u p a n g

• 0arena tidak semua link langsung dari satuk t k k t l i k i i d t d i


107/107

k%ta ke k%ta lain, maka pengiriman data dari ;akarta ke urabaa tidak dapat dilakukan

seara langsung$

• Relasi R tidak menghantar karena ia tidakmengandung semua pasangan pusat data

ang dapat dihubungkan baik link langsungatau tidak langsung!$

• 0l%sur menghantar adalah relasi ang paling

minimal ang berisi semua pasangan pusatdata ang mempunai link langsung atau tidaklangsung dan mengandung R$

Documents

Relasi Dan Fungsi (2013)