Pertemuan ke-1

Konsep Dasar Probabilitas

A. Bilangan Faktorial

Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n! Dan didefinisikan sebagai:

n! = n(n-1)(n-2)...3.2.10! = 1 dan 1! = 1

Contoh.3! = 3.2.1 = 65! = 5.4.3.2.1 = 1206! = 6.5! = 6.120 = 720

B. Permutasi

Permutasi adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagaian anggota himpunan dengan memperhatikan urutan dari susunan-susunan tersebut.Permutasi dari himpunan dengan n anggota yang diambil sebanyak r dengan r n adalah :

nPr =

Misal terdapat 3 huruf a,b,c Bila diambil 2 anggota, r=2, kita peroleh susunan ab ac ba bc ca cbdiperoleh sebanyak 6 susunan.

Atau

Bila diambil 3 anggota, r=3, kita peroleh susunan abc acb bac bca cab cbadiperoleh sebanyak 6 susunan.

Atau

Pada permutasi abc bac bca.

Beberapa Jenis Permutasia. Permutasi melingkar

adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar.

Permutasi melingkar dari n anggota=(n-1)!

Contoh .Bila ada 4 orang akan mengadakan acara makan malam disebuah meja bundar maka ada berapa cara menyusun 4 orang tersebut duduk melingkar?

Jawaban :Permutasi = (4-1)! = 3.2.1=6(penjelasan silahkan di White board)b. Permutasi sebagian anggota yang sama jenis

Misalkan suatu himpunan dengan n anggota dimana didalamnya terdapat anggota yang jenisnya sama, maka permutasinya adalah:

dimana

contoh.Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kalimat "AKU SUKA KAMU"?

Jawab :Ada n huruf dengan A ada 3 huruf,K ada 3 huruf, U ada 3 huruf, S ada 1 huruf dan M ada 1 huruf.Jadi banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah :

C. KombinasiAdalah susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan seluruhnya atau sebagian tanpa memperhatikan urutan dari susunan tersebut.Kombinasi dari n anggota diambil r, dimana r n adl:

Contoh:1. Ada 4 orang bernama A,B,C dan D.

Bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan yang diperoleh?Jawab:

Banyaknya pilihan =

Yaitu:AB,AC,AD,BC,BD,CD.

2. Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!Jawab:Banyaknya cara membuat panitia =

=

= 6.3= 18

Soal soal latihan1.Ada berapa banyak 6 orang dapat didudukkan pada sebuah sofa jika yang tersedia

hanya 4 tempat duduk?

2. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum.Berapa banyak cara untuk membuat tim itu, jika :a. tiap orang dapat dipilih secara bebas;b. seorang sarjana hukum hrs ikut dalam tim itu;c. dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim.

Pertemuan ke-2D. Probabilitas

Derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil dari suatu kejadian(percobaan) secara statistik disebut Probabilitas atau peluang. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P.

Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E ditulis P(E) adalah:

Contoh 1.Sebuah dadu dilemparkan.Muka dadu ada 6, yaitu : 1,2,3,4,5,6Himpunan disebut Ruang Sampel.Semua muka dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul.

Maka prob akan muncul muka 2 =

Prob akan muncul muka 2 atau 3 =

Prob akan muncul muka genap(2,4atau 6)=

Contoh 2. Hitunglah prob memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap.

Jawab:Jumlah seluruh kartu : n = 52Jumlah kartu hati : m = 13

Misalkan E = kejadian munculnya kartu hati. Semua kartu hati mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul, maka:

P(E)=

Nilai probabiitas adalh dari 0 sampai dengan 1. Kejadian dengan prob =0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin dan kejadian dengan prob=1 adalah kejadian yang pasti.Total prob dari seluruh kejadian yang mungkin dari suatu peristiwa adalah = 1

Kejadian KomplementerJika P(A) : kejadian AMaka P( ) : kejadian bukan A

P(A) + P( ) = 1

1. Kejadian Saling LepasBila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A B = , maka A

dan B dikatakan dua kejadian saling lepas (mutually exclusive)Maka

CONTOHPada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!

Jawab:Misalkan A = kejadian munculnya jumlah 7

B = kejadian munculnya jumlah 11

Diperoleh A = {(6,1), (5,2), (4,3), (5,2)}B = {(6,5), (5,6)}

Maka A B = , berarti A dan B saling lepas.

dan , sehingga :

2. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus berikut :

Sebaliknya bila tidak berlaku rumus itu maka dikatakan A dan B tidak saling bebas.

Contoh :Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y 5 dadu II saling bebas ?

Jawab :A = kejadian munsulnya muka X 3 dadu IB = kejadian munsulnya muka Y 5 dadu II

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}

B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}

A B = {(1,5), (2,5), (3,5), (1,6), (2,6), (3,6)}

Maka diperoleh :

, ,

Akan tetapi, berlaku juga , sehingga A dan B saling

bebas.

Soal Latihan1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah,7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola

secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya :a. bola merahb. bola merah atau putihc. bukan bola putih.

2. Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang lengkap. Tentukanlah:a. Prob terambil 4 kartu Asb. Prob terambil 4 As dan 1 King.

c. Prob terambil 3 kartu 10 dan 2 kartu Jack.

Pertemuan ke-3

3. Probabilitas bersyaratSuatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau akan

terjadi atau diketahui terjadi dikatakan kejadian A bersyarat B yang ditulis A/B.Probabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebut

probabilitas bersyarat yang ditulis P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut:

, P(B)>0

CONTOHMisalkan diberikan populasi sarjana di suatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut.

Bekerja Menganggur JumlahLaki-laki 460 40 500Wanita 140 260 400Jumlah 600 300 900

Misalkan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang di suatu kota tersebut. Bila ternyata yang terpilih adalah dalam status telah bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :a. Laki-laki b. WanitaJawab:Misalkan A = kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja

B = kejadian bahwa dia laki-laki

a.

b. B = kejadian bahwa dia wanita

Dengan cara yang sama seperti itu maka diperoleh

Probabilitas Bersyarat Untuk Dua Kejadian Saling BebasBila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang saling bebas, dengan P(A) 0 dan P(B) 0, maka berlaku rumus seperti berikut :

Penjelasannya diuraikan sebagai berikut :

Diketahui bahwa

Akan tetapi, karena A dan B saling bebas, maka berlaku P(A B) = P(A).P(B), sehingga diperoleh :

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan rumus kedua.

Pandanglah kembali probabilitas bersyarat berikut.

Rumus itu dapat dinyatakan dalam bentuk :

Bila kita mempunyai tiga kejadian A, B, dan C maka rumus

dapat dikembangkan untuk menentukan probabilitas kejadian

majemuk ABC, yaitu :

Contoh :Misalkan kita mengambil tiga kartu, diambil tiga kali, pada sekelompok kartu bridge yang lengkap. Setiap kali mengambil, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu itu. Ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh tiga kartu as.

Jawab:S=kumpulan semua kartu dengan n(S)=52A=terpilih kartu as pada pengambilan pertamaB/A=terpilih kartus as pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu as.C/A=Terpilih kartu as pada pengambilan ketiga kengan syarat pada pengambilan pertama dan kedua terpilih kartu as.

Oleh karena pada setiap pengambilan kartu yang terpilih tidak dikembalikan, maka jumlah kartu terus berkurang masing-masing 1 kartu, setelah pengambilan pertama, kedua, dan ketiga.

Kejadian terpilihnya tiga kartu as ditunjukkan oleh kejadian ABC. Oleh karena itu, kita akan menentukan P(ABC).

Pada pengambilan pertama, masih ada 4 kartu as, maka n(A) = 4 dan n(S) = 52,

ehingga P(A) = .

Pada pengambilan kedua, kartu as tinggal 3, maka dan n(S) = 51,

sehingga .

Pada pengambilan ketiga, kartu as tinggal 2, jumlah kartu menjadi 50, maka

dan n(S) = 50, sehingga .

Perhatikan bahwa bila pada rumus , kejadian A

diganti dengan C, kejadian BC diganti AB, dan kejadian B/C diganti dengan B/A,

maka rumus dapat dinyatakan sebagai

= =

4. Probabilitas Kejadian Marginal dan Rumus BayesMisalkan A1, A2, A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Pada Gambar di bawah berikut ini menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S.

Pada gambar di atas tampak bahwa kejadian B dinyatakan sebagai : Akan tetapi, kejadian (BA1), (BA2), dan (BA3) adlah saling lepas, sehingga probabilitas kejadian B menjadi :

sedangkan ,

, dan sehingga P(B) merupakan

rumus probabilitas marginal kejadian B sebagai berikut :

P(A

Secara umum, bila kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat A /B dirumuskan sebagai berikut:

Rumus di atas disebut Rumus Bayes

ContohMisalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak 2?

S A1

A2

A3

Pertemuan ke-4DISTRIBUSI PROBABILITAS

1. Variabel RandomVariabel random atau variable acak adalah variable yang nilai-nilainya

ditentukan oleh kesempatan atau variable yang dapat bernilai numeric yang didefinisikan dalam suatu ruang sample.Variabel random ada dua macam yaitu variable diskret dan continueVariabel random diskret adalah variable yang nilai-nilainya merupakan bil bulat tidak berupa bil pecahan. Misal pada pelemparan dadu.Variabel random continue adalah variable random yang nilai-nilainya meliputi seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variable yang dapat memiliki nilai nilai pecahan. Misalkan usia penduduk, panjang kain.

2. Distribusi ProbabilitasDistribusi probabilitas adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan.

Contoh.Pada pelemparan satu mata uang sebanyak 4 kali. Diperoleh distribusi probabilitas muncul angka adalah sbb:

(muncul angka) P(X)01234

0,06250,250,3750,250,0625

Jumlah 1,00

Dalam bentuk grafik batang, distribusi teoritis tersebut digambarkan sebagai berikut :

Hasil Pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 4 kali

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5

muncul angka

pro

ba

bil

ita

s m

un

cul

an

gka

P(X)

Yang termasuk distribusi probabilitas diskret adalh distribusi binomial, Poisson dan hipergeometrik. Dan yang termasuk ditribusi variable continue adalah distribusi probabilitas normal, dist Chi square, dist F, distr t, dll.

3. Distribusi BinomialCiri-ciri :1.Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.3. Percobaannya bersifat independent.4. Jumlah atau banyaknya percobaan yg merupakan komponen percobaan binomial

harus tertentu.5. Lebih tepat untuk n kecil dan p besar.

Rumus Umum :

dimisalkan :p = Peluang suksesq = Peluang gagalJadi p + q = 1

Rata-rata : = E(X) = np

Varians/Ragam :2 = npqStandar Deviasi :

ContohSebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat :a. dua rusakb. tidak ada yang rusakc. maksimal sebuah rusak

Jawab:n=10; p=0,05; q=0,95a). P(x=2) = . = 45(0,05) (0,95) = 0,075b). P(x=0) =

= 1. = 0,599c). P(x=0,1) = P(x=0) + P(x=1) = 0,599 +

= 0,599 + = 0,599 + 0,315 = 0,914

Soal Latihan1. Dari catatan pejabat bank yang memberikan pinjaman kredit bagi pembeli rumah

sedehana diketahui bahwa terdapat 30% debitur yang menunggak cicilan rumah. Jika diambil sample acak sebesar 15 debitur dari bank tersebut diantaranya yang menunggak cicilan rumah sebanyak:a. 5 debiturb. tidak ada yang menunggakc. kurang dari 2 yang menunggak

2. Seorang pengusaha kecil memproduksi 20 pasang sepatu dan ternyata 2 pasang sepatu diantaranya tidak memenuhi standart mutu. Jika diambil 2 sepatu, tentukan probabilitas bahwa :

a. sepasang sepatu tidak memenuhi standar mutu.b. tidak ada yang tidak memenuhi standar mutu atau kedua-duanya tidak

memenuhi standar mutu.

Pertemuan ke-5

4. Distribusi PoissonUntuk n besar dan p kecil sekali

Rumus Umum :

e = 2,71828 (Bilangan Euler)

Rata-rata : = E(X) = np

Varians/Ragam :2 = np

Standar Deviasi :

Contoh:1. Sebuah took alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap

hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mrngikuti distribusi Poisson. Berapa probabilitas untuk penjualan berikut?a. 0 lampu TLb. 1 lampu TLc. minimal 2 lampu TLJawab:

a. P(x=0) =

=

b. P(x=1) =

=

= 0,0337c. P(X ) = 1-P(X<1) = 1- = 1- (0,00674+0,0337) = 1- 0,04044 = 0,95956

2. Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka:a. tidak terdapat salah cetak,b. 4 kata yang salah cetak

JawabDiketahui

n = 80 p =

= n.p = 80 x

a.

b.

2. Distribusi HypergeometrikMisalkan kita mempunyai suatu populasi sebanyak N yang terdiri atas dua jenis, yaitu jenis merah sebanyak k dan sisanya jenis putih sebanyak N-k. Pada populasi itu kita ambil sample secara acak sebanyak n tanpa pengembalian. Tentu sample yang kita peroleh terdiri atas dua jenis, yaitu merah dan putih.Misalkan x menyatakan banyaknya jenis merah yang terambil, maka dalam sample sebanyak n itu akan terdapat sample jenis merah sebanyak x dan terdapat sample jenis putih sebanyak n-x, di mana x=0,1,2,…,n. Maka didapatkan :

Rumus Umum :

Rata-rata :

= E(X) = np ; di mana p= dan q=1-p

Varians/Ragam :

2 = npq

Standar Deviasi :

Contoh.1. Dalam suatu ruang laboratorium terdapat 50 unit computer yang 5 diantaranya

rusak. Bila diambil computer sebanyak 4 unit secara acak, hitunglah probabilitas untuk memperoleh sebanyak :a. 2 unit computer rusakb. 4 unit rusakc. tidak ada yang rusak

Jawab:N = 50k = 5n = 4

a. P(x=2) =

b. P(x=4) =

c. P(x=0) = 1 - P(x=4) = 1 - 0,00002 = 0.99998

2. Dalam suatu kotak terdapat 5 kelereng merah, 10 kelereng putih, dan 12 kelereng biru. Bila diambil 3 kelereng, tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 1 kelereng merah, 1 kelereng putih, dan 1 kelereng biru!

Jawab:k1 = 5, k2 = 10, k3 = 12N = 5+10+12 = 27

P(1M,1P,1B)=

Soal Latihan1. Seorang pengusaha kecil memproduksi 2000 pasang sepatu dan ternyata 2

pasang sepatu diantaranya tidak memenuhi standart mutu. Pak Togar memesan 3000 pasang sepatu dari pengusaha tersebut. Jika diambil 2 sepatu milik Pak Togar, tentukan probabilitas bahwa :a. sepasang sepatu tdk memenuhi standart mutu.b. Semua sepatu memenuhi standart mutu

2. Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali sebulan. Penurunan mesin lebih dari 4 kali sebulan menyebabkan rencana produksi tidak tercapai. Jika penurunan mesinn mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapai?

Pertemuan ke-6

5. Distribusi NormalFungsi Kepekatan dari normal atau fungsi eliminasi gauss

= 3, 14159

Sifat-sifat distribusi normal :1. Grafik simetri terhadap garis tegak x=2. Grafik selalu berada di atas sumbu x atau f(x)>03. Mempunyai satu nilai modus4. Grafiknya mendekati sumbu x, tetapi tidak akan memotong sumbu x, sumbu x

merupakan garis batas (asimtot)5. Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu x sama dengan 1, yaitu P(-

<x<+ )=1 (Dipersilahkan menggambarkan grafiknya di white board) Akan ada banyak sekali distribusi probabilitas yang merupakan distribusi normal akibat pengaruh rata-rata dan simpangan bakunya. Untuk mencari probabilitas suatu interval dari variable random continue dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal baku/standar.

Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata( )=0 dan simpangan baku( )=1.

Rumus Umum Normal Baku

Z = variable normal standarX = nilai variable random

= rata-rata variable random = simpangan baku

Dan luas daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat table luas kurva normal atau table Z.

Karena seluruh luas kurva normal adalah 1 dan kurva simetris terhadap maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5, dan diartikan : P(Z>0)=0,5. Luas daerah di bawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan.

Contoh:1. Dengan menggunakan table, hitunglah nilai dari:

a. P(Z<1,75)b. P(Z>-0,45)c. P(1,32<Z<2,12)d. P(-0,45<Z<1,75)Jawab:a. P(Z<1,75) = 0,4599b. Karena kurva normal simetris maka: P(Z>-0,45) = P(Z<0,45) = 0,1736c. P(1,32<Z<2,12) = P(Z<2,12) - P(Z<1,32) = 0,4830 - 0,4066 = 0,0764d. P(-0,45<Z<1,75)= P(Z<0,45) + P(Z<1,75) = 0,1736 + 0,4599 = 0,6335

2. Sebuah perusahaan memproduksi bola lampu yang ketahanannya berdistribusi normal dengan rata-rata 825 jam dan simpangan baku 45 jam.a. Berapa persen lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam?b. Berapa banyak lampu yang tahan lebih dari 950 jam. Jika diproduksi 5000

lampu?

Jawab : Diketahui: = 825 jam = 45 jam

a. X1 = 800 jam X2 = 860 jam

Didapatkan P(-0,55 < Z < 0,78):P(-0,55 < Z < 0,78) = P(-0,55<Z<0)+P(0<Z<0,78)

= 0,2088 + 0,2823= 0,4911

Jadi, terdapat 49,11% lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam.

b. X > 950 jam

Diperoleh P(Z > 2,78) :P(Z > 2,78) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 2,78)

= 0,5 - 0,4973=0,0027

Jadi, terdapat 0,0027 x 5000 = 13,5 atau 14 lampu yang tahan lebih dari 950 jam, apabila diproduksi lampu sebanyak 5000 buah.

Distribusi Normal-Binomial

Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika nilai p sama dengan dan

nilai n besar.Namun dalam prakteknya, distribusi normal dapat digunakan untuk

menyelesaikan kasus distribusi binomial sekalipun p tidak sama dengan dan n

relative kecil.

Karena dist binomial bervariabel diskret sedangkan dist normal bervariabel continue. Karena itu, penggunaan distribusi normal untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan, yaitu menggunakan factor koreksi. Caranya ialah menambahkan atau mengurangi variable X-nya dengan 0,5 sebagai berikut :1. Untuk batas bawah(kiri), variable X dikurangi 0,5.2. Untuk batas atas(kanan),variable X ditambah 0,5.Dengan demikian, rumus Z-nya menjadi :

Zi =

Dengan : i = 1,2 = n.p =

Contoh.Berdasarkan pengalaman baru-baru ini, 10% dari buku-buku yang diterbitkan oleh PT BACAAN dianggap rusak. Dari 50 buku yang diteliti, tentukan probabilitas buku :a. yang rusak 10 buah.b. yang rusak antara 5 dan 12 buah.Jawab:n = 15; p = 10% = 0,1 ; q = 0,9

= n.p = (50)(0,1) = 5

= a. Yang rusak 10 buah (x=10)

P(x=10) = 0,4952 - 0,483 = 0,0122(1,22%)b. Yang rusak antara 5 dan 12 X1 = 4,5 X2 = 12,5

Z1= (luasnya 0,0948)

Z2= (luasnya 0,5)

P(5 = 0,5 + 0,0948 = 0,5948(59,48%)

LATIHAN SOAL-SOAL .1. Diketahui variabel random X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 18

dan standar deviasi 2,5. Hitunglah :a. P(X<15)b. P(17<X<21)c. Nilai k sehingga P(X<k) = 0,2578 ?

2. Dari pengirim sebanyak 1000 rim kertas koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa persen rim kertas itu yang berisi 455 lembar atau lebih ?

3. Nilai ujian Statistik sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi normal dengan rata-rata populasi 34 dan standar deviasi populasi 4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada di bawah Xo ?

4. Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metodeQuickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67 byte.a. Berapa persen dalam percobaan tersebut ditemukan ruang memori yang

melebihi 600 byte ?b. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyai ruang memori berkisar antara

500 sampai 550 byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan oleh peneliti?

c. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10% hasil terendeah, berapakah ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori terendah tersebut?

5. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Matematika Ekonomi disuatu Akademi, diperoleh bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan standar deviasi adalah 10. Bila distribusi nilai menyebar secara normal, berapa:a. Berapa persen yang mendapat nilai A, jika nilai A ≥ 80.b. Berapa persen yang mendapat nilai C, jika nilali C terletak pada interval 56

≤C≤68.c. Berapa persen yang mendapat nilai E, Jika nilai E < 45

6. Sebuah logam yang setimbang dilemparkan sebanyak 10 kali. Dengan memakai pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial, tentukanlah probabilitas untuk memperoleh antara 3 sampai dengan 6 sisi muka!

7. Di suatu daerah sebanyak 10% dari penduduknya tergolong kategori A. Suatu sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil. Tentukanlah probabilitas akan mendapat :

a. Paling banyak 30 orang tergolong kategori A.b. Antara 30 sampai dengan 50 orang tergolong kategori A. 55 orang

atau lebih tergolong kategori A!

Regresi Dan Korelasi Linear Sederhana

1. Persamaan Regresi Dan Koefisien KorelasiY = A + B X untuk populasiPenduga persamaan regresi

untuk sampelKeterangan :

Artinya jika variable X mengeluarkan satu satuan maka variable Y akan mwngalami peningkatan atau penurunan sebesar 1 x b.

Rumus-rumus yang dipergunakan pada perhitungan adlah sbb:Mencari nilai a :

Mencari nilai b :

Mencari nilai standar error dari persamaan regresi :

Mencari varians dari persamaan regresi :

Mencari standar error dari konstanta :

Mencari standar error dari koefisien regresi :

Keterangan: n = banyaknya sampel.Mencari koefisien Korelasi:

Contoh soal:Berikut ini adalah data hasil pengamatan pemupukan dan hasil panen padi untuk 5 percobaan yang telah dilakukan.

Tabel hasil pengamatan terhadap pemupikan dan panen padi:

X 3 6 9 10 13

Y 12 23 24 26 28 Y = hasil panen padi (dalam kuintal) X = pemupukan(dalam kg)a. Buatkan persamaan garis regresinya!b. Tentukan nilai pendugaan bagi Y, jika X=9!c. Tentukan koefisien korelasi!d. Tentukan Standar Error dari persamaan regresi, konstanta a dan koefisien regresi

b!

Jawab:X Y X2 Y2 XY369

122324

93681

144529576

36138216

1013

2628

100169

676784

260364

41 113 395 2709 1014

n = 5

a.Persamaan garis regresi linear sederhananya adalah Y = 10,3 + 1,5XArtinya, jika digunakan pupuk sebesar 1 kg maka akan memberikan peningkatan hasil panen padi sebesar 1 x 1,5 = 1,5 kuintal.

b. Nilai duga Y, jika X=9 adalah Y = 10,3 + 1,5(9) = 23,8

c.

= 0,033

d.

2.Estimasi Ketentuan :Jika n 30 dan populasi, maka menggunakan tabel ZJika n < 30 dan sampel, maka menggunakan tabel t dengan db (n-2)

Estimasi dari Konstanta/Intercept

Estimasi dari Koefisien Regresi/Slope

Contoh:Tentukan interval estimasi dari parameter A dan B dari contoh soal sebelumnya dengan dan jelaskan artinya!

Jawab:Dari jawaban pada contoh soal sebelumnya, didapatkan :a = 10,3 b = 1,5 sa = 1,97 sb = 0,38

db = 5-2 = 3

Interval estimasi untuk parameter A:

10,3-3,81(1,97) A 10,3+3,81(1,97)2,894 A 17,906

Artinya, dengan keyakinan 95% nilai A yang benar berada pada interval 2,894 sampai 17,906.

Interval estimasi untuk parameter B:

1,5 - 3,81(0,38) 1,5 + 3,81(0,38)0,052 2,948

Artinya, dengan keyakinan 95% nilai B yang benar berada pada interval 0,052 sampai 2,948.

Pertemuan ke-143. Pengujian HipotesisUntuk konstanta atau koefisien Intercept langkah-langkah pengujian sbb:1. Formula :

Untuk parameter A: Ho : A = Ao, sedang H1 bisaa. H1 : A > Aob. H1 : A < Aoc. H1 : A Ao

Untuk parameter B: Ho : B = Bo, sedang H1 bisa a. H1 : B > Bo

b. H1 : B < Boc. H1 : B Bo

2. Menentukan taraf nyata ( ) dan nilai table t dengan db=n-2 3. Menentukan criteria pengujian

a. H0 diterima jika t0 t H0 ditolak jika t0>t

b. H0 diterima jika t0 -t H0 ditolak jika t0<tc. H0 diterima jika H0 ditolak jika

4. Uji statistiknya :

Untuk parameter A :

Untuk parameter B :

5. Kesimpulan. Menolak atau menerima H0

Uji Hipotesa Koefisien KorelasiUntuk koefisien regresi/Slope1. Formula : Ho : = o, sedang H1 bisa

a. H1 : > o

b. H1 : < o

c. H1 : o

2. Menentukan taraf nyata ( ) dan nilai table t dengan db=n-2 3. Menentukan criteria pengujian

a. H0 diterima jika t0 t H0 ditolak jika t0>t

b. H0 diterima jika t0 -t H0 ditolak jika t0<tc. H0 diterima jika H0 ditolak jika

4. Uji statistiknya :

5. Kesimpulan Menerima atau menolah H0.

Contoh:Ujilah parameter A dan B dengan menggunakan penduga a dan b dari contoh soal sebelumnya, dan gunakan !

Jawab:Dari jawaban sebelumnya, didapatkan:N = 5 a = 10,3 b = 1,5Sa= 1,97 sb= 0,38

1. Formula :Untuk parameter A: Ho : A = Ao, sedang H1 bisa

H1 : A Ao

Untuk parameter B: Ho : B = Bo, sedang H1 bisa H1 : B Bo

2. Taraf nyata ( ) dan nilai table t db : 5-2 = 3 3. Menentukan criteria pengujian

H0 diterima jika H0 ditolak jika

4. Uji statistiknya :

Untuk parameter A :

Untuk parameter B :

5. Kesimpulan. a. Untuk parameter A

Karena t0=5,23>3,81 maka H0 ditolak, artinya dapat diyakini 95% bahwa nilai A tidak sama dengan10,3.

b.Karena t0=3,947>3,81 maka H0 ditolak, artinya dapat diyakini 95% bahwa nilai B tidak sama dengan 1,5.

Silahkan mencoba melakukan uji hipotesa untuk koefisien korelasi r dari contoh soal sebelumnya!

Soal Latihan

Data di bawah ini menunjukkan besarnya biaya iklan (% dari biaya total) dan laba usaha bersih(% dari total penjualan) dari sampel random 6 toko tekstil.

Biaya Iklan Laba Usaha Bersih1,51,02,80,41,32,0

3,62,85,41,92,94,3

a. Tentukan persamaan garis redresinya!b. Tentukan koefisien korelasinya!c. Tentukan Standar error dari regresinya, konstanta dan koefisien regresinya!d. Buatlah pendugaan interval A dan B dengan (1- ) = 0,85!e. Ujilah parameter A dan B dengan taraf nyata 2%!f. Ujilah pendapat bhw biaya iklan tdk berpengaruh pada laba usaha bersih, dengan taraf nyata 4%.