República bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria

Instituto Universitario de Educación Especializada

IUNE

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SUCESOS ALEATORIOS

Integrantes: Joselin González

Jose OchoaYenireth Sánchez

Santa Bárbara de Zulia, Septiembre del 2015

SUCESOS ALEATORIOS

Llamamos Suceso de un experimento aleatorio (o simplemente Suceso

Aleatorio) a cada uno de los subconjuntos del Espacio Muestral E. El

Conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina

Espacio de Sucesos y se representa por la letra S.

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con

certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades

surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los

juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue

asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron

otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se

continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el

uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de

este modo, los márgenes de error en los cálculos

Clasificación de los sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del

espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener

múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir,

por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor

que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso

elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y

B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento

en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y

B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que

suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que

suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos

dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza

A., Se denota por .

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

LEYES DE PROBABILIDAD

La probabilidad mide las posibilidades de que un evento ocurra. Expresado

matemáticamente, es igual al número de formas que un evento específico

puede ocurrir, dividido por el número total de posibles eventos. Por ejemplo,

si tienes una bolsa con tres canicas, una azul y dos verdes, la probabilidad

de tomar una canica azul sin mirar es de 1/3. Hay sólo un resultado posible

de que se seleccione la canica azul, pero hay tres posibles resultados en

total, azul, verde, verde. Usando el mismo razonamiento, la probabilidad de

tomar una canica verde es de 2/3.

Ley de números grandes

Puedes descubrir la probabilidad desconocida de un evento a través de la

experimentación. Usando el ejemplo anterior, supongamos que no

conocemos la probabilidad de sacar una canica de cierto color, pero si

sabemos que hay tres canicas en la bolsa. Haces una prueba y sacas una

canica verde. Haces otra prueba y sacas otra canica verde. En este punto

podrías asegurar que la bolsa solo contiene canicas verdes, pero basado en

dos pruebas la predicción no es confiable. Es posible que la bolsa solo

contenga canicas verdes o puede que las otras dos sean rojas y tu

seleccionaste solo las verdes secuencialmente. Si realizas la misma prueba

100 veces, probablemente descubras que seleccionaste una canica verde

alrededor del 66 por ciento de las veces. Esta frecuencia refleja la

probabilidad correcta más acertadamente que el primer experimento. Esta es

la ley de números grandes: cuanto más pruebas realizas, más preciso será

que la frecuencia del resultado de un evento refleje su probabilidad real.

Ley de sustracción

La probabilidad sólo tiene rango entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa

que no hay posibles resultados para un evento. En nuestro ejemplo anterior,

la probabilidad de sacar una canica roja es cero. Una probabilidad de 1

significa que el evento ocurrirá en cada una de las pruebas. La probabilidad

de sacar una canica verde o azul es 1. No hay otros posibles resultados. En

una bolsa que contiene una canica azul y dos verdes, la probabilidad de

sacar una verde es de 2/3. Es un número aceptable, ya que 2/3 es mayor

que 0 pero menor que 1, es decir, está dentro del rango de valores

aceptables de probabilidad. Conociendo esto, puedes aplicar la ley de

sustracción, que señala que si conoces la probabilidad de un evento, puedes

señalar acertadamente la probabilidad de que dicho evento no ocurra.

Sabiendo que la probabilidad de sacar una canica verde es de 2/3, puedes

restar ese valor a 1 y determinar correctamente la probabilidad de no sacar

una canica verde: 1/3.

Ley de multiplicación

Si quieres encontrar la probabilidad de que dos eventos ocurran en pruebas

secuenciales, se usa la ley de la multiplicación. Por ejemplo, en lugar del

ejemplo anterior de la bolsa con las tres canicas, digamos que es una bolsa

con cinco canicas. Hay una azul ,dos verdes y dos amarillas. Si quieres

encontrar la probabilidad de sacar una canica azul y una verde, en cualquier

orden (y sin devolver la primera canica a la bolsa), busca la probabilidad de

sacar una azul y la probabilidad de sacar una verde. La probabilidad de sacar

una canica azul de la bolsa de cinco es de 1/5. La probabilidad de sacar una

canica verde de entre las restantes es de 2/4, o 1/2. Aplicar correctamente la

ley de multiplicación implica multiplicar las dos probabilidades, 1/5 y 1/2,

obteniendo 1/10. Esto expresa la probabilidad de que ambos eventos ocurran

juntos.

Ley de suma

Aplicando lo que sabes de la ley de multiplicación, puedes determinar la

probabilidad de que sólo uno de dos eventos ocurra. La ley de suma plantea

que la probabilidad de que uno de dos eventos ocurra es igual a la suma de

las probabilidades de que cada evento ocurra individualmente, menos la

probabilidad de que ambos ocurran. En la bolsa de cinco canicas, digamos

que quieres saber la probabilidad de sacar una canica azul o una verde.

Suma la probabilidad de sacar una azul (1/5) a la probabilidad de sacar una

verde (2/5). La suma es 3/5. En el ejemplo anterior, expresando la ley de

multiplicación, encontramos que la probabilidad de sacar una canica azul y

una verde es de 1/10. Restando esto a la suma de 3/5 (o 6/10 para una

sustracción más simple) nos da una probabilidad final de 1/2.

CALCULO DE PROBABILIDADES PARA DISTINTAS CLASES DE

SUCESOS

Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del

primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el

número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está

contenido en el suceso b).

 P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

 Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso

a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

 b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de

ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga

número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos

casos.

 P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

 c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos

comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será

igual a la probabilidad de los elementos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga

número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos

tiene dos elementos: el 4 y el 6.

 Su probabilidad será por tanto:

 P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

 d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos

sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos

sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.

 Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga

número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría

formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

 P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A L B) = 2 / 6 = 0,33

 Por lo tanto: P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

 e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos

incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los

sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay

que restarle nada).

 Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga

un número menor que 3, y b) que salga el número 6.

 La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

 P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

 Por lo tanto: P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

 f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso

complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número

par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.

 La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50

 Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 =

0,50

 Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos

posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos

sucesos complementarios es igual a 1.

 Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y

b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos

dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

 Por lo tanto:P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad

de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido

sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La

distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los

sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable

aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la

función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la

variable aleatoria sea menor o igual que x.

CONSTRUCCION DE LA CURVAS NORMALES

La curva normal puede utilizarse para describir distribuciones de puntajes,

para interpretar la desviación estándar y para hacer un informe de

probabilidades. Veremos que la curva normal es un ingrediente esencial en

la toma de decisiones en estadística, por medio de la cual el investigador

social generaliza sus resultados de muestras a poblaciones. La curva normal

es un tipo de curva uniforme y simétrica cuya forma recuerda a muchos una

campana y por tanto se le conoce como la “curva en forma de campana”. Tal

vez el rasgo más sobresaliente de la curva normal es su simetría: si

doblamos la curva en su punto más alto al centro, crearíamos dos mitades

iguales, cada una fiel imagen de la otra.

Además, la curva normal es unimodal, ya que solo tiene un pico o punto de

máxima frecuencia –aquel punto en la mitad de la curva en el cual coinciden

la media, la mediana y la moda– (el alumno recordara que la media, la

mediana y la moda ocurren en distintos puntos en una distribución

sesgada).).

EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL

Para poder emplear la curva normal en la resolución de problemas, debemos

familiarizarnos con el área bajo la curva normal: aquella área que está bajo la

curva y la línea base y que contiene el 100 por ciento, o todos los casos, en

una distribución normal dada.Podríamos encerrar una porción de esta área

total dibujando una línea a partir de dos puntos cualesquiera en la línea base

hasta la curva. Como veremos, una proporción una proporción del área total,

bajo la curva normal, estará entre la media y cualquier distancia dada de X,

medida de unidades DE. Esto es cierto a pesar de la media y la DE de la

distribución en particular, y se aplica universalmente a todos los datos

normales distribuidos.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad

discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de

Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia

del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por

ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se

denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso,

con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior

experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular

la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial

se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial

de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación

estadística.

APROXIMACIONES DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.

Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la

probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del

resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a

las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas

posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan

como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han

producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una

distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una

distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia

de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número

de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa

en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy

pequeñas, o sucesos "raros".

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en

su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières

criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios

en materias criminales y civiles).