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Universidad Nororiental Privada “Gran Mariscal de Ayacucho”
Decanato de Postgrado
Maestría en Ingeniería de Mantenimiento
Mención Gerencia de Seguridad y Confiabilidad Industrial
Núcleo El Tigre- Estado Anzoátegui.
MAESTRANTES:
Ing. Alcalá, Fermalix
Ing. Nieves, Lizbell
FACILITADORA:
Lic. Esp. Msc. Carlena Astudillo.
DICIEMBRE, 2014
Distribuciones de Probabilidad
Variables Aleatorias.
Distribución Binomial.
Distribución Hipergeométrica.
Media y Varianza de una Distribución de Probabilidad.
Teorema de Chebyshev.
La Distribución de Poisson a la Distribución Binominal.
Proceso de Poisson.
Distribución Geométrica y Multinomial.
Simulación.
Distribución de Probabilidades
Una variable es
una característica
de los elementos
que es de interés.
Una distribución de probabilidad
indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado
de un experimento si éste se llevase a
cabo.
Distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que
asigna a cada suceso definido sobre la
variable aleatoria, la probabilidad de
que dicho suceso ocurra. La
distribución de probabilidad está
definida sobre el conjunto de todos los
sucesos, cada uno de los sucesos es
el rango de valores de la variable
aleatoria
VARIABLE
Ing. Fermalix Alcalá
Tipos de Variables
Variable Independiente
Variable Dependiente
Cualitativas
Variable Estadísticas
Cuantitativas
Discretas
Continuas
Discretas
Variable Aleatorias
Continuas
Ing. Fermalix Alcalá
Distribución de Probabilidad de
Variables Aleatorias
Valor Esperado
El valor esperado, o media, de una
variable aleatoria es una medida de la
localización central de la variable
aleatoria.
Varianza
La varianza es un promedio
ponderado de los cuadrados de las
desviaciones de una variable aleatoria
de su media
Desviación
Estándar
Σ, se define como la raíz cuadrada
positiva de la varianza.
Ing. Fermalix Alcalá
Ejemplo 1:
Consideremos los mantenimientos preventivos que se le realizan a los automóviles adscritos a la
Compañía El Tigre Siglo XXI, C.A., Estado Anzoátegui, la cual presta servicios de transporte
terrestres; Durante los últimos 300 días de operación, los datos de mantenimiento preventivo
muestran que hubo 54 días en los que no se realizó ninguno, 117 días en los que se realizó 1
mantenimiento, 72 días en los que se realizaron 2, 42 días en los que se realizó mantenimiento a 3
automóviles, 12 días en los que se realizó mantenimiento a 4 automóviles y 3 días en los que se
realizó mantenimiento a 5 automóviles. Suponga que considera el experimento de seleccionar un
día de operación en Compañía El Tigre Siglo XXI, C.A., Estado Anzoátegui y se define la variable
aleatoria de interés como x = número de automóviles que se le realizó mantenimiento en un día.
Calcular: a) Distribución de probabilidad para el número de automóviles que se le realizan
mantenimiento en un día. b) Representación Gráfica Distribución de probabilidad para el número de
automóviles que se le realizan mantenimiento en un día. c) Valor esperado. d) Varianza. e)
Desviación estándar.
x f(x) xf(x) x-μ (x-μ)2 (x-μ)2 f(x)
0 0.18 0.00 -1.5 2.25 0.4050
1 0.39 0.39 -0.5 0.25 0.0975
2 0.24 0.48 0.5 0.25 0.0600
3 0.14 0.42 1.5 2.25 0.3150
4 0.04 0.16 2.5 6.25 0.2500
5 0.01 0.05 3.5 12.5 0.1225
1 E(x) = 1.5 σ2= 1.2500
•f(0) se le asigna el valor 54/300 =0.18, lo que significa que la
probabilidad de que se realice mantenimiento a 0 automóviles en un
día es 0.18.
Ing. Fermalix Alcalá
Representación Gráfica
Distribución de probabilidad
para el número de automóviles
que se le realizan
mantenimiento en un día.
Valor
esperado:
•xf(0) = (0) 0.18 = 0.00
•xf(1) = (1) 0.39 = 0.39
•xf(2) = (2) 0.24 = 0.48
•xf(3) = (3) 0.14 = 0.42
•xf(4) = (4) 0.04 = 0.16
•xf(5) = (5) 0.01 = 0.05
E(x) = 1.5.
Varianza:
•2.25(0.18) = 0.4050
•0.25(0.39) = 0.0975
•0.25(0.24) = 0.0600
•2.25(0.14) = 0.3150
•6.25(0.04) = 0.2500
•12.25(0.01) = 0.1225
Desviación
estándar
σ2= 1.2500
Ing. Fermalix Alcalá
Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes: a) El experimento está
compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo. b) Cada prueba resulta
en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir,
sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan
generalmente como éxito y fracaso. c) La probabilidad del éxito (o del fracaso) es constante
en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q. d) Las pruebas son
estadísticamente independientes,
Simbólicamente, expresamos los valores
de la forma siguiente:
• p = probabilidad característica o
probabilidad de tener éxito
• q = 1 – p probabilidad de fracaso
• r = número de éxitos deseados
• n = número de intentos hechos
Distribución Binomial
Ing. Fermalix Alcalá
En un taller de servicio de Mantenimiento Preventivos a los automóviles Compañía El Tigre Siglo
XXI, C.A. Consideremos las decisiones de los próximos tres clientes que lleguen solicitando realizar
servicio de mantenimiento a sus vehículos. De acuerdo con la experiencia, el gerente estima que la
probabilidad de que un cliente realice una solicitud es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de
los próximos tres clientes realicen una solicitud de Servicio? A continuación verifique que el
experimento de las tres decisiones es un experimento binomial. Al verificar los cuatro requerimientos
de un experimento binomial, se observa que: Es posible describir el experimento como una serie de
tres ensayos idénticos, un ensayo por cada uno de los tres clientes que llegan al taller. Cada ensayo
tiene dos posibles resultados: el cliente hace una solicitud (éxito) o el cliente no hace ninguna
solicitud (fracaso). La probabilidad de que el cliente haga una solicitud (0.30) o de que no haga una
solicitud (0.70) se supone que es la misma para todos los clientes. La decisión de solicitud de cada
cliente es independiente de la decisión de los otros clientes.
Sirve para determinar el número de
resultados experimentales en los que hay dos
solicitudes; el número de maneras en que son
posibles x= 2 éxitos en n = 3 ensayos.
Indica que en tres de los resultados
experimentales hay dos éxitos. Para
determinar en cuántos resultados
experimentales hay tres éxitos (Solicitudes)
en tres ensayos.
La probabilidad de que los dos primeros clientes soliciten y el tercero no solicite servicio,
denotada por (S, S, F) está dada por
Ejemplo 2:
Ing. Fermalix Alcalá
1er cliente 2do cliente 3er clienteResultado
experimental
Probabilidad de
este resultado
experimental
Si Solicita Serv. Si Solicita Serv. No Solicita Serv. (S,S,F) (030)2(0.70) = 0.063
Si Solicita Serv. Si Solicita Serv. Si Solicita Serv. (S,F,S) (030)2(0.70) = 0.063
No Solicita Serv. Si Solicita Serv. Si Solicita Serv. (F,S,S) (030)2(0.70) = 0.063
p2(1 -p)(3-2) = p2(1 -p)1 =(0.30)2(0.701) = 0.63.
Función de
probabilidad
Binomial:
x f(x)
0 0.343
1 0.441
2 0.189
3 0.027
Valor esperado
en la
distribución
Binomial
Varianza en la
distribución
binomial
Ing. Fermalix Alcalá
Distribución Hipergeométrica.
La media y la varianza de una
distribución hipergeométrica son las
siguientes.
Representa el número de maneras en que es
posible tomar una muestra de tamaño n de una
población de tamaño N;
Representa el número de formas en que se
toman x éxitos de un total de r éxitos que hay
en la población, y
Representa el número de maneras en que se
puede tomar n - x fracasos de un total de N-_ r
que hay en la población.
Ing. Fermalix Alcalá
Considere la siguiente aplicación al control de calidad. Una empresa fabricante de motores a combustible
transporta 12 unidades en un vehículo de carga pesada. Asuma que un inspector selecciona al azar tres
de los 12 motores para inspeccionarlos. Si el vehículo transportista contiene exactamente cinco motores
defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres motores está
defectuoso?
En esta aplicación n = 3 y N = 12. Si r = 5
motores defectuosos en el vehículo de
carga pesada, la probabilidad de hallar x =
1 defectuoso es:
La media y la
varianza de una
distribución
hipergeométrica.
Ejemplo 3:
Ahora suponga que desea conocer la
probabilidad de hallar por lo menos un
motor defectuoso. La manera más
sencilla de contestar es calcular primero
la probabilidad de que el inspector no
encuentre ningún motor defectuoso. La
probabilidad de x = 0 es
Si la probabilidad de cero motores defectuosos es f(0) = 0.1591, se concluye que la probabilidad de
hallar por lo menos un motor defectuoso debe ser 1 - 0.1591 = 0.8409. Así, existe una probabilidad
razonablemente alta de que el inspector encuentre por lo menos un motor defectuoso.
Ing. Fermalix Alcalá
Teorema
de
Chebyshev
De acuerdo con este teorema para z =2, 3 y 4
desviaciones estándar se tiene:
• Por lo menos 0.75, o 75%, de los valores de los datos
deben estar dentro de z= 2 desviaciones estándar de la
media.
• Al menos 0.89, o 89%, de los valores deben estar
dentro de z = 3 desviaciones estándar de la media.
• Por lo menos 0.94, o 94%, de los valores deben estar
dentro de z = 4 desviaciones estándar de la media.
La desigualdad de Chebyshev es un
resultado estadístico que ofrece una
cota inferior a la probabilidad de que el
valor de una variable aleatoria con
varianza finita esté a una cierta
distancia de su esperanza matemática
o de su media; equivalentemente, el
teorema proporciona una cota superior
a la probabilidad de que los valores
caigan fuera de esa distancia respecto
de la media.
Ing. Fermalix Alcalá
Ejemplo 4:
EJERCICIO 4: En una encuesta nacional se encontró que las empresas compresoras de
gas ubicadas El Tigre, Edo Anzoátegui, realizan mantenimiento, verificación y revisión a
los equipos en promedio 6.9 horas por días. Supongamos que la desviación estándar es
1.2 horas. a) Emplee el teorema de Chebyshev para hallar el porcentaje de empresas
compresoras de gas que realizan mantenimiento, verificación y revisión a los equipos
entre 4.5 y 9.3 horas. b) Mediante el teorema de Chebyshev encuentre el porcentaje de
empresas compresoras de gas que realizan mantenimiento, verificación y revisión a los
equipos entre 3.9 y 9.9 horas.
La media = 6.9 horas. La desviación estándar = 1.2 horas.
Caso #1: Entre 4.5 y 9.3 horas.
4.5 está dos desviaciones estándar debajo de la media y que 9.3 está dos desviaciones
estándar sobre la media. Mediante el teorema de Chebyshev encuentre que por lo menos
0.75, o por lo menos 75%, de las observaciones deben tener valores dentro de dos
desviaciones estándar de la media. Así que por lo menos 75% de las empresas compresoras
de gas que realizan mantenimiento, verificación y revisión a los equipos entre 4.5 y 9.3 horas.
Caso #2: 3.9 y 9.9 horas.
Calculamos el punto z:
Se encuentra que (3.9 - 6.9)/1.2 = -2.5, y que (9.9 – 6.9)/1.2 = 2.5, Al aplicar el teorema de
Chebyshev con z = 2.5, se tiene: (1-1/z2)= (1-1/(2.5)2)= 0.84
Por lo menos 84% de las empresas compresoras de gas que realizan mantenimiento,
verificación y revisión a los equipos entre 3.9 y 9.9 horas.
Ing. Fermalix Alcalá
Distribución de Poisson
Se utiliza como modelo para describir
distribuciones de sucesos, tales como: la
llegada de vehículos a una estación de servicio,
llamadas telefónicas, errores de imprenta por
páginas, etc…
p (x) = 𝝁𝑿 𝒆−𝝁
x!
Ing. Lizbell Nieves
Donde:
P (x) = Probabilidad de tener exactamente x ocurrencias.
µ = Número medio de presentaciones por intervalos de tiempo.
e =2.71828 (base de los logaritmos neperianos o natrales).
! = Factorial.
Características de la
Distribución de Poisson
En los sucesos podemos definir la variable aleatoria “X” como el
número de veces que ocurre el suceso durante un intervalo de
tiempo dado en una región determinada.
La región determinada puede ser: unidad de longitud, de área o de
volumen.
El intervalo de tiempo puede ser de cualquier magnitud: 1 segundo,
1 minuto, 1 día, 1 mes, etc.
La probabilidad de un único éxito en una subregión es
independiente del número de éxitos fuera de la subregión.
La probabilidad de 2 o más éxitos en una subregión es
prácticamente cero.
Ing. Lizbell Nieves
Ing. Lizbell Nieves
Ejemplo 1:
Suponga que estamos investigando la seguridad de una operación
rutinaria en una planta de producción. Los registros del personal de
seguridad indican una media de cinco accidentes mensuales en esta
planta. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una
distribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de la
Gerencia de Mantenimiento desea que calculemos la probabilidad de
que en cualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 o 4 accidentes.
Aplicando la fórmula.
P (0) = 𝟓𝟎 𝒆−𝟓 P (0) = 0,00674
0!
P (1) = 𝟓𝟏 𝒆−𝟓 P (1) = 0,03370
1!
P (2) = 𝟓𝟐 𝒆−𝟓 P (2) = 0,08422
2!
P (3) = 𝟓𝟑 𝒆−𝟓 P (3) = 0,14037
3!
P (4) = 𝟓𝟒 𝒆−𝟓 P (4) = 0,17547
4!
p (x) = 𝝁𝑿 𝒆−𝝁
x!
Donde:
µ = 5
X = (0, 1, 2, 3, 4)
Ing. Lizbell Nieves
Ejemplo 1:
Suponga que queremos conocer la
probabilidad de tener 0, 1 o 2
accidentes mensuales en la planta de
producción, para ello:
La Gerencia de Mantenimiento
decide tomar medidas para mejorar
la seguridad durante las operaciones
si la probabilidad de que ocurran más
de tres accidentes mensuales excede
0.65
P (0) = 0,00674
P (1) = 0,03370
P (2) = 0,08422
P (3) = 0,14037
P(3 o menos) = 0,26503
P (0) = 0,00674
P (1) = 0,03370
P (2) = 0,08422
P(0 o 1 o 2) = 0,26503
La probabilidad de tener más de tres
accidentes mensuales en la planta de
producción, es:
P(3 o más) = (1 - 0,26503)
P(3 o más) = 0,73497
0,73497 ˃ 0,65
Ing. Lizbell Nieves
Tablas de la Distribución de Poisson
Puede ser considerada
como el límite al cual
tiende una Distribución
Binomial.
Esto es cómodo en
ocasiones cuando el
cálculo con la
distribución Binomial se
hace dificultoso.
RELACIÓN
La Distribución de Poisson a la Distribución Binominal.
Binomial
B(n,p)
Poisson
P(np)
n →∞ p → 0
np = µ es constante
En la práctica la
aproximación es muy
buena, si cumple la
siguiente característica:
np ≤ 5 siendo n ≥ 20
Ing. Lizbell Nieves
La Distribución de Poisson a la Distribución Binominal.
p (x) = (𝒏𝒑)𝑿 𝒆−𝒏𝒑
x!
En un taller de servicio de
Mantenimiento Preventivos a los
automóviles Compañía El Tigre Siglo
XXI, C.A. Consideremos las
decisiones de los próximos tres
clientes que lleguen solicitando
realizar servicio de mantenimiento a
sus vehículos. De acuerdo con la
experiencia, el gerente estima que la
probabilidad de que un cliente realice
una solicitud es 0.30. ¿Cuál es la
probabilidad de que dos de los
próximos tres clientes realicen una
solicitud de Servicio?
p (1) = (𝟑𝒙 𝟎, 𝟎𝟑)𝟏 𝒆−𝟑 𝒙 𝟎,𝟎𝟑
1!
p (2) = (𝟑𝒙 𝟎, 𝟎𝟑)𝟐 𝒆−𝟑 𝒙 𝟎,𝟎𝟑
2!
p (1) = 0,0823
Ejemplo 2:
p (1) = 0,063 Ing. Lizbell Nieves
Cómo Aplicar la
Distribución de
Poisson en la
Ingeniería de
Mantenimiento?
Ing. Lizbell Nieves
Aplicable en la Gestión de Inventarios.
Aplicable en la Confiabilidad.
Aplicable en el área de Seguridad.
Aplicable en la Ingeniería de Materiales.
Distribución Geométrica
Es un modelo adecuado para aquellos procesos
en los que se repiten pruebas hasta la
consecución del “éxito” o resultado deseado.
p (x) = 𝒑𝒒𝒙 −𝟏
Ing. Lizbell Nieves
X = Número de experimentos hasta q aparece el
primer éxito.
P = Probabilidad de éxito.
q = Probabilidad de fracaso (1 - q)
Características de la
Distribución Geométrica
El proceso consta de un número no definido de pruebas o
experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando
se obtenga por primera vez el resultado deseado “éxito”.
Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes: A
y no A.
La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la
de obtener no A es q siendo (p + q = 1).
Las probabilidad p y q, son constantes, por tanto, las pruebas, son
independientes (si se trata de una extracción, éste se llevará a, cabo
con la devolución del individuo extraído.
La probabilidad de 2 o más éxitos en una subregión es
prácticamente cero.
Ing. Lizbell Nieves
Ing. Lizbell Nieves
Ejemplo 3:
SÍ la probabilidad de que un equipo de detección de medición de
H2S, muestre una desviación excesiva de 0.05, ¿cuál es la
probabilidad de qué; a) el quinto de estos equipos sometidos a
pruebas sea el primero en mostrar una desviación excesiva? b) el
sexto de estos equipos sometidos a pruebas sea el primero que no
muestre una desviación excesiva.
p (x) = 𝒑𝒒𝒙 −𝟏
P = 𝟎. 𝟎𝟓
p (x = 5) = (𝟎. 𝟎𝟓)(𝟎. 𝟗𝟓)𝟓 −𝟏
q = 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟓
p (x = 6) = (𝟎. 𝟎𝟓)(𝟎. 𝟗𝟓)𝟔 −𝟏
p (5) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎7
p (6) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟕
Cómo Aplicar la
Distribución
Geométrica en
la Ingeniería de
Mantenimiento?
Ing. Lizbell Nieves
Aplicable en la Confiabilidad.
Aplicable en la Mantenibilidad.
Aplicable en el área de Seguridad.
Distribución Multinomial
Es similar a la distribución binomial, con la
diferencia de que en lugar de dos posibles
resultados en cada ensayo, puede haber múltiples
resultados
Ing. Lizbell Nieves
Características de la
Distribución Multinomial
Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperanmás de dos tipos de resultados.
Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados sonconstantes.
Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento sonindependientes.
El número de repeticiones del experimento, n es constante.
Ing. Lizbell Nieves
Ing. Lizbell Nieves
Ejemplo 4:
P = 0,0384 =
3,84%
En un taller de servicio de Mantenimiento Preventivos a los automóviles Compañía El Tigre Siglo XXI,
C.A. Consideremos las decisiones de los próximos cuatro clientes que lleguen solicitando realizar
servicio de mantenimiento a sus vehículos. De acuerdo con la experiencia, el gerente estima que la
probabilidad de que un cliente realice una solicitud es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de
los próximos cuatro clientes realicen dos solicitudes de Servicio. Al verificar los cuatro requerimientos
de un experimento multinomial, se observa que: Es posible describir el experimento como una serie
de cuatro ensayos idénticos, un ensayo por cada uno de los cuatro clientes que llegan al taller. Cada
ensayo tiene tres posibles resultados: el cliente hace dos solicitudes (éxito) o el cliente no hace
ninguna solicitud (fracaso) o el cliente hace una solicitud (fracaso). La decisión de solicitud de cada
cliente es independiente de la decisión de los otros clientes.
Cómo Aplicar la
Distribución
Multinomial en
la Ingeniería de
Mantenimiento?
Ing. Lizbell Nieves
Aplicable en la Confiabilidad.
Aplicable en la Mantenibilidad.
Aplicable en el área de Seguridad.
Ing. Lizbell Nieves
Distribuciones
de Probabilidad
con programas
computarizados
(MINITAB, etc.)
Distribuciones
de Probabilidad
Discreta con
EXCEL
Ing. Lizbell Nieves
Distribuciones de Probabilidad
Discreta con EXCEL
La función de Excel para
calcular probabilidades
binomiales es DISTR.BINOM.
Esta función tiene cuatro
argumentos:
x (el número de éxitos),
n (el número de ensayos),
p (la probabilidad de éxito) y
acumulado.
Se usa FALSO como cuarto
argumento (acumulado) si se
quiere la probabilidad de x
éxitos y VERDADERO se usa
como cuarto argumento si se
desea la probabilidad
acumulada de x o menos
éxitos.
Ing. Lizbell Nieves
Distribuciones de Probabilidad
Discreta con EXCEL
La función de Excel para
calcular probabilidades
binomiales es POISSON.DIST.
Esta función tiene tres
argumentos:
x (el número de éxitos),
µ (la media).
Se usa FALSO como tercer
argumento (acumulado) si se
quiere la probabilidad de x
éxitos y VERDADERO se usa
como tercer argumento si se
desea la probabilidad
acumulada de x o menos
éxitos.
Las Distribuciones de Probabilidades anteriormente
descritas son de mucha utilidad para la toma de
decisiones en las empresas, las cuales involucran a todo
el tren gerencial.
Permiten estimar las reparaciones u horas de
mantenimiento de un equipo o máquina establecidas en
el plan o programación de paradas, desde el inicio de las
operaciones.
Ing. Lizbell Nieves
• Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, (2.008). ESTADÍSTICA
PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA Décima Edición. Cengage Learning.
• Berenson, M.L., Levine D.M., (1.989). ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y
ECONOMÍA. Conceptos y Aplicaciones. Nueva Editorial Interamericana. México,
D.F.
• Levin, Richard I. Y Rubin David S. (2.010). ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y
ECONOMÍA. Séptima edición revisada. PEARSON EDUCACIÓN, México.
• López Casuso, Rafael. (1.984). INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
E INFERENCIA ESTADÍSTICA. Segunda Edición. Instituto de Invesigaciones
Económicas. Caracas – Venezuela.
Visitas en Internet:
• http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/geometrica.htm.
Consulta realizada el 11-12-2014.
