TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS · Marco Teórico 12 2.1. Propagación de ondas 14 2.1.1. Velocidad de grupo 14 2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli

cenidetCentro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de la Respuesta a la Carga de Impacto en Estructuras MecánicasMediante Transformada Wavelet

presentada por

Jorge Daniel Flores PorrasIng. Mecánico por el I. T. de Cd. Madero

como requisito para la obtención del grado de:Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Directores de tesis:Dr. Martín Eduardo Baltazar López

M. C. Eladio Martínez Rayón

Jurado:Dr. Jorge Colín Ocampo – Presidente

Dr. Enrique S. Gutiérrez Wing – SecretarioDr. Dariusz Szwedowicz Wasik – Vocal

M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 29 de Febrero de 2008

Dedicatorias

A mis padres, David Flores Lemus y Laura Elia Porras Wong, porque me han brindado todo

su amor, amistad y apoyo incondicional siempre que lo he necesitado… muchas gracias!

A mis hermanos David Estuardo y Ángel Omar, por darme siempre su amistad, consejos y

sobre todo la confianza y apoyo durante toda mi vida

AGRADECIMIENTOS

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General deEducación Superior Tecnológica (DGEST) por el apoyo económico brindado.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet) por la formación

académica que me otorgó a través de sus profesores.

A mis asesores de tesis, Dr. Martín Eduardo Baltazar López y M. C. Eladio Martínez Rayón,

por brindarme su amistad, así como su apoyo y dedicación durante el desarrollo de este

trabajo ¡Muchas gracias!

A los miembros del jurado revisor, Dr. Jorge Colín Ocampo, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik y

Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing, por sus valiosas aportaciones durante la revisión de este

trabajo.

A nuevos amigos y compañeros de clase: Chava, Luis Carlos, Daniel, Toño, Eric, Diabb,

Monserrat, Efraín, Ángel, David, Luis, Mario, Melvyn, Gabo, Memo, Gijón, Tun, Pepe y

Vladimir.

A Anita Pérez y a la Sra. Isabel, por ser personas tan agradables y siempre recibirme con una

sonrisa.

A todas aquellas personas que su nombre se me escapa, y que de una manera u otra

contribuyeron para realizar esta meta en mi vida.

Resumen

En el presente trabajo, se analizó la respuesta dinámica que presentan las estructuras

mecánicas al ser sometidas a cargas de impacto por el método de la transformada wavelet. La

respuesta de las estructuras se analizó tanto para altas como bajas frecuencias. El análisis de la

respuesta de la estructura para altas frecuencias se realizó por medio de propagación de ondas

dispersivas. Para verificar los resultados, se utilizaron los modelos de las teorías de vigas de

Timoshenko y de Euler-Bernoulli. Para el análisis de la respuesta de la estructura a bajas

frecuencias, se desarrolló un algoritmo para encontrar una función de respuesta en el dominio

de la frecuencia por medio de wavelets. Para ambos casos, se utilizó el concepto de entropía

de Shannon para determinar la localización óptima en tiempo-frecuencia de señales

experimentales.

Abstract

In the present work, the dynamic response of structures subjected to mechanical impact was

analyzed by means of the wavelet transform. The response of the structure was analyzed at

high and low frequencies . For high frequencies, some dispersive wave signals were used.

Results were verified by the Timoshenko and Euler-Bernoulli beam theory. An algorithm to

find the wavelet-based frequency response function of structures was developed to analyze

the response at low frequencies. For both cases, the Shannon entropy concept was used to

determine the optimal time-frequency localization of experimental data.

Contenido

i

Contenido

Lista de figuras iv

Lista de tablas vii

Nomenclatura viii

Introducción 1

Capítulo I. Revisión Bibliográfica 4

1.1. Objetivo general 12

1.2. Objetivos particulares 12

1.3. Alcance 13

Capítulo II. Marco Teórico 12

2.1. Propagación de ondas 14

2.1.1. Velocidad de grupo 14

2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli 17

2.1.3. Análisis espectral de la teoría de vigas de Timoshenko 19

2.2. Función de respuesta a la frecuencia 21

2.3. Transformada wavelet 22

2.3.1. Tipos de wavelets 24

2.3.2. Proceso de identificación de estructuras coherentes 27

2.3.3. Criterio para determinar la localización óptima de señales en tiempo-frecuencia 31

Capítulo III. Validación de Algoritmos 33

Contenido

ii

3.1. Validación del algoritmo de transformada wavelet 33

3.2. Validación del algoritmo de entropía de Shannon 36

3.3. Validación del algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia 39

Capítulo IV. Descripción del Banco Experimental 42

4.1. Introducción 42

4.2. Configuración del banco de pruebas 42

4.3. Primer método experimental. Propagación de ondas 44

4.4. Segundo método experimental. Función de respuesta en tiempo-frecuencia 47

Capítulo V. Análisis de Resultados 51

5.1. Análisis de señales de propagación de ondas por medio de la transformada wavelet de

Gabor 51

5.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular 51

5.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular 56

5.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada 58

5.2. Análisis de señales de vibración mecánica por medio de transformada wavelet

de Gabor 61

5.3. Discusión de resultados 67

Capítulo VI. Conclusiones y Recomendaciones 71

6.1. Conclusiones 71

6.2. Recomendaciones y trabajos futuros 72

Referencias 74

Contenido

iii

Apéndice I 78

Apéndice II 82

Apéndice III 87

Lista de Figuras

iv

Lista de Figuras

Figura 2.1. Relación de dispersión para viga de Euler-Bernoulli 18

Figura 2.2. Relación de espectro de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli 20

Figura 2.3. Relaciones de dispersión de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli 20

Figura 2.4. Función de transferencia 21

Figura 2.5. Función de respuesta a la frecuencia 21

Figura 2.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia 22

Figura 2.7. Wavelet sombrero mexicano sobrepuesta a una función senoidal 25

Figura 2.8. Wavelet Morlet sobrepuesta a una función senoidal 25

Figura 2.9. Wavelet de Gabor 26

Figura 2.10. Wavelet de escala y posición específicas en la señal. Contribuciones positivas

y negativas a la transformada. 28

Figura 2.11. Wavelet en fase con la señal a analizar 28

Figura 2.12. Wavelet fuera de fase con la señal a analizar 29

Figura 2.13. Wavelet fuera de fase con la señal. Correlación cero 29

Figura 2.14. Wavelet comprimida. No iguala a la forma de la señal 30

Figura 2.15. Wavelet estirada, no iguala a la señal localmente 30

Figura 3.1a. Señal con contenido de tres frecuencias en todo el tiempo 33

Figura 3.1b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a ( = 5.3364) 33

Figura 3.2a. Señal con contenido de tres frecuencias en tiempos diferentes 34


Figura 3.3a. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a = 15 35

Figura 3.3b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a ( = 15) 35

Figura 3.4a. Señal tipo chirp 36


Figura 3.5a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.4a 37

Lista de Figuras

v



Figura 3.6b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a ( = 19) 38



Figura 3.8a. Señal en el dominio del tiempo 39

Figura 3.8b. Costo de entropía de la señal de la figura 3.8a 39

Figura 3.9. Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia 40

Figura 3.10. Espectro de magnitud de la señal de la figura 3.8a 40

Figura 4.1. Configuración del sistema de adquisición de datos 43

Figura 4.2. Pantalla característica del osciloscopio para propagación de ondas 45

Figura 4.3a. Señal de propagación de ondas 46

Figura 4.3b. Entropía de la señal de la figura 4.3a 46

Figura 4.4. Espectrograma de la señal de la figura 4.3a con = 4.8 46

Figura 4.5. Diagrama de flujo para el análisis de señales de propagación de ondas 48

Figura 4.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia con wavelets 49

Figura 4.7. Función de respuesta en tiempo-frecuencia 49

Figura 4.8. Diagrama de flujo para el análisis de señales de vibración en

tiempo-frecuencia 50

Figura 5.1. Configuración del experimento 52


Figura 5.2b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.2a 52

Figura 5.3. Espectrograma de la señal de la figura 5.2a. ( = 3.9) 53

Figura 5.4. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de Timoshenko y

Euler-Bernoulli 54

Figura 5.5. Porcentajes de error de la señal de la figura 5.2a 56


Figura 5.6b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.6a. 57


Lista de Figuras

vi

Figura 5.8. Tiempos de arribo teóricos para las teorías de vigas de Timoshenko y

Euler-Bernoulli 58




Figura 5.11. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de Timoshenko y

Euler-Bernoulli 60

Figura 5.12a. Respuesta al impulso en el nodo 2 62


Figura 5.13. Espectrograma de la señal de la figura 5.12a con = 60 62



Figura 5.15b. Curva de entropía de la señal 5.15a 64







Figura A1.1. Viga delgada y distribución de cargas 78

Figura A2.1. Viga de Timoshenko con cargas en los extremos 82

Figura A3.1. Espécimen de prueba I 87

Figura A3.2. Espécimen de prueba II 88

Figura A3.3. Espécimen de prueba III 88

Figura A3.4. Martillo de impacto con diferentes puntas 89

Figura A3.5. Acelerómetro 90

Figura A3.6. Osciloscopio digital 90

Figura A3.7. Amplificadores de señales 91

Figura A3.8. Cables de bajo ruido 91

Lista de Tablas

vii

Lista de tablas

Tabla 3.1. Comparación de frecuencias naturales obtenidas por teoría y práctica 41Tabla 5.1. Comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo 55

Nomenclatura

viii

Nomenclatura

a Parámetro de escala

A Área de sección transversal

AISI Instituto Americano del Hierro y el Acero

ASTM Sociedad Americana para Pruebas y Materiales

Factor de forma de la wavelet de Morlet

b Parámetro de traslación

c Velocidad de fase

gc Velocidad de grupo

gC Condición de admisibilidad

1 1( )C E Función de costo de entropía

ni te Identidad de Euler

E Modulo de Elasticidad, Energía

1E Señal o distribución de coeficientes

xx Deformación normal en la dirección x

FFT Transformada rápida de Fourier

( )F s Excitación en el dominio de Laplace

( )F Excitación en el dominio de la Frecuencia

( , )F t Excitación en el dominio tiempo-frecuencia

f Frecuencia

f(t) Señal a analizar

ˆnG Función de transferencia

G Módulo de rigidez

g Gravedad

Nomenclatura

ix

Factor de forma de la wavelet de Gabor

xy Deformación cortante

( )H s Función de transferencia

( )H Función de respuesta en el dominio de la frecuencia

( , )H t Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia

I Momento de inercia de área

i, j Número imaginario

k Número de onda, constante

1K Coeficiente de cortante

2K Coeficiente de inercia de rotación

M Momento flexionante

Coeficiente de amortiguamiento viscoso

ˆnP Amplitud espectral

xx Esfuerzo normal en la dirección x

( )t Wavelet madre

Aceleración angular

( , )vq x t Carga transversal

q Torque distribuido

Densidad

t Tiempo

( , )T a b Transformada wavelet, coeficientes wavelet

TWC Transformada wavelet continua

TWG Transformada wavelet de Gabor

( , )u x t Desplazamiento

V Carga cortante

Aceleración transversal

, n Frecuencia circular, frecuencia natural

Nomenclatura

x

x Coordenada horizontal

( )X s Respuesta en el dominio de Laplace

( )X Respuesta en el dominio de la frecuencia

( , )X t Respuesta en el dominio tiempo-frecuencia

Introducción

1

Introducción

Cuando una estructura se somete a una carga dinámica, se generan vibraciones de baja y alta

frecuencia que pueden, en un momento dado, afectar diferentes componentes de la estructura

misma. Sin embargo, una carga dinámica puede tomar varias formas: algunas cargas se

aplican y suprimen de modo repentino, mientras otras persisten largos períodos de tiempo y

varían continuamente de intensidad [1] (cargas fluctuantes).

Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos entran en colisión o cuando un objeto

golpea una estructura al caer [1]. Las cargas fluctuantes son generadas por maquinaria

rotatoria, ráfagas de viento, olas marinas, sismos, entre otras.

Para el caso en que una estructura se sujeta a una carga de impacto, esta vibrará a una o más de

sus frecuencias naturales, las cuales dependen del tiempo de duración de la carga [2]. Si el

tiempo de excitación es pequeño, son más las frecuencias naturales que se excitarán que si el

tiempo es grande. Si el tiempo de contacto es tan grande como una carga estática, el número

de frecuencias que se excitan es cero.

Por otro lado, la respuesta de una estructura al impacto también se compone de ondas

transitorias que se propagan en toda la estructura. Si el impacto se aplica transversalmente a la

estructura, se generan ondas dispersivas que viajan en la estructura con diferente velocidad de

propagación, las cuales son función de la frecuencia. Si el impacto es sobre el eje longitudinal,

las ondas que se generan se conocen como no dispersivas u ondas longitudinales, las cuales

viajan con la misma velocidad de propagación por la estructura.

La herramienta que se ha utilizado para analizar la respuesta de estructuras a cargas de

impacto, se basa en la transformada de Fourier. Esta técnica transforma una señal en el

dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, la cual es una forma más útil, pues se puede

Introducción

2

conocer el contenido de frecuencias que la señal posee. Por consiguiente, con base en las

frecuencias naturales del sistema, es posible obtener otros parámetros estructurales propios de

una estructura, como el amortiguamiento o la forma de vibración, que sirven para caracterizar

una estructura y en un momento dado, utilizar estos parámetros modales para realizar

modificaciones estructurales que puedan llevar a un mejor desempeño o diseño de la

estructura que se está analizando.

Por otro lado, se puede utilizar la propagación de ondas en conjunto con la transformada de

Fourier para análisis de señales como método de evaluación no destructiva en materiales,

donde es posible identificar discontinuidades que pueda presentar una señal debido a grietas

en un material, inclusiones, porosidad en una soldadura, etc., entre otras. Para llevar a cabo

esta técnica de evaluación no destructiva, se necesitan dos puntos de detección de la respuesta

de la estructura a un impacto [3], con el fin de relacionar los tiempos de arribo de las ondas de

propagación con diferentes puntos de la estructura.

Sin embargo, como se mencionó en el párrafo anterior, se necesitan dos puntos de detección

de la respuesta de la estructura, los cuales involucran un mayor costo para la instrumentación

de la estructura de prueba.

No obstante, con el uso de la transformada wavelet solo se necesita un punto de detección y un

punto de excitación para conocer información del tiempo y la frecuencia en que un evento

tuvo lugar, lo que proporciona una ventaja sobre la transformada de Fourier par analizar este

tipo de fenómenos, puesto que se pueden identificar los tiempos de arribo de ondas

propagantes en una estructura con un solo punto de detección, lo cual proporciona un menor

costo de instrumentación.

Asimismo, debido a que la transformada wavelet es una herramienta de procesamiento de

señales en tiempo-frecuencia y puesto que la respuesta dinámica de estructuras sujetas a

impacto mecánico es altamente transitoria, sería interesante investigar la variación temporal de

Introducción

3

la respuesta dinámica de estructuras sujetas a impacto mecánico por medio de transformada

wavelet.

En el presente trabajo de investigación, se propone un método para analizar la respuesta de

estructuras mecánicas al ser sometidas a cargas impacto por medio de transformada wavelet.

Esta tesis consta de seis capítulos, en los cuales se presenta e manera progresiva el desarrollo

de la investigación.

En el capítulo uno se presenta la revisión bibliográfica del estado del arte del tema de

investigación, así como el objetivo, los objetivos particulares y el alcance de esta tesis.

El capítulo dos contiene la teoría básica para el desarrollo de los algoritmos utilizados para el

procesamiento de datos experimentales. Asimismo, la teoría sirve como base de comparación

de datos experimentales.

En el capítulo tres se validan los algoritmos desarrollados en esta tesis con datos propuestos en

investigaciones anteriores.

En el capítulo cuatro se describe el procedimiento para la obtención de datos experimentales,

así como también se proporciona la ruta crítica para el procesamiento de las señales obtenidas

por experimentación.

En el capítulo cinco se presentan los resultados obtenidos con base en los experimentos

realizados, así como una discusión sobre los mismos.

Por último, en el capítulo seis se presentan las conclusiones y se proponen recomendaciones y

trabajos futuros para extender el campo de investigación de esta tesis.

Capítulo I Revisión Bibliográfica

4

Capítulo I

Revisión Bibliográfica

Uno de los primeros trabajos sobre análisis de impacto lo realizó Schwieger [4], quién expone

que la carga máxima de impacto transversal en vigas es independiente de las condiciones de

frontera. En este contexto, se considera que la longitud de la viga es muy grande en

comparación con el ancho de la viga, de manera que las ondas elásticas que chocan con los

soportes se reflejan y regresan al punto de contacto después de que se alcanza el pico de

esfuerzo máximo. De esta manera, se deduce una fórmula para calcular la carga de impacto y

la deformación de la viga, en forma tal que la deflexión central solamente depende de la fuerza

de contacto y es función del tiempo. Comprueban los resultados teóricos con un modelo

experimental, para el cual utilizan extensómetros, sensores de desplazamiento y

fotoelasticidad para visualizar la propagación de ondas elásticas en la viga.

Dentro del estudio de la propagación de ondas en elementos estructurales, sobresale el trabajo

de Doyle [3], en el cual propone un método para evaluar la propagación de ondas flexionantes

incidentes y de reflexión, estas últimas a causa de discontinuidades dentro del elemento

estructural. Estas discontinuidades son cambios de sección transversal en el espécimen y los

extremos libres del mismo. Obtuvo señales de deformación por medio de extensometría

eléctrica en dos posiciones diferentes en el espécimen. Las señales las transformó al dominio

de la frecuencia por medio del uso del algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT),

de manera que caracterizó las ondas incidentes y de reflexión. Realizó una comparación del

método experimental con la teoría de vigas Euler-Bernoulli, ya que los picos de máxima

amplitud del espectro de frecuencias de las señales de deformación estaban dentro del

intervalo de frecuencias donde no existe gran diferencia entre ésta teoría y la teoría de vigas de

Timoshenko. Concluye que de acuerdo al tipo de discontinuidades, pueden ocurrir cambios de

amplitud, fase, así como también cambios en el número de onda.


5

Por otro lado, Doyle [5], desarrolla un método para determinar la localización y el tiempo

donde se origina un pulso, por decir, un impacto, en una estructura. Utiliza una viga

instrumentada con extensómetros para determinar la deformación dinámica en dos posiciones

diferentes del elemento. Con base en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, se obtienen

relaciones de amplitud y fase de las ondas elásticas que se propagan en la estructura. Estas

relaciones se utilizan para determinar una aproximación de la posición del pulso. Asimismo,

se determina el tiempo en que se inicia el pulso, por medio de la reconstrucción de las señales

de deformación en el dominio del tiempo.

Las dos teorías que más se utilizan para predecir el comportamiento de la propagación de

ondas elásticas en vigas, son las teorías de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. La primera es

más sencilla, por ser de menor orden. En general, puede utilizarse en aplicaciones donde las

amplitudes máximas del espectro de frecuencia que se investiga caen dentro de un intervalo de

frecuencias bajo, donde no existe gran diferencia en la relación de espectro entre ésta teoría y

la de Timoshenko. Además, la teoría de Euler-Bernoulli no toma en cuenta los efectos de

deformación cortante ni de inercia de rotación.

Por otro lado, la teoría de Timoshenko es más complicada, por ser de mayor orden. En ésta

teoría se introducen los efectos de deformación cortante y de inercia de rotación [5]. Por

consiguiente, se puede utilizar ésta teoría para modelar con muy buena precisión, problemas

de propagación de ondas en estructuras.

En la teoría de vigas de Timoshenko se introduce un coeficiente de carga cortante, por la

suposición de que la carga transversal no es constante y, por tanto, varía conforme varía la

sección transversal de un elemento de carga [6].

Desde la aparición del coeficiente de cortante en la teoría de Timoshenko, este coeficiente ha

sido el centro de atención de mucho trabajo de investigación. Entre las numerosas

publicaciones para encontrar el mejor coeficiente de cortante, destaca el trabajo de Hutchinson

[6], quién publicó resultados para el coeficiente de cortante para diferentes secciones


6

transversales. Realizó su investigación en base a la elección de un campo de desplazamientos

de una viga bajo la suposición de que las secciones planas permanecen planas después de

sufrir deformación. Concluye que el resultado que obtiene para una sección transversal

circular es el mismo que obtuvo Timoshenko en 1922, y el cual se considera como “correcto”,

ya que se ha verificado con experimentación y con resultados precisos de soluciones en tres

dimensiones. Asimismo, hace una comparación entre los resultados que obtuvo y los

resultados de otros autores.

Por otro lado, concluye que el nuevo coeficiente de cortante es consistente con los valores que

se obtienen de la teoría de elasticidad en tres dimensiones para la sección transversal circular.

Para secciones transversales rectangulares, encontró que el nuevo coeficiente de cortante es

una función de la relación de aspecto, es decir, la relación entre el ancho y el espesor de la

viga. Ningún trabajo anterior a este considera al coeficiente de cortante como función de la

razón de aspecto.

El análisis de señales empezó con el trabajo de Joseph Fourier a principios del siglo XIX [7].

Propuso que cualquier señal periódica podía aproximarse por medio de una suma de

funciones armónicas de diferentes frecuencias. Las funciones base que utilizó son el seno y el

coseno. Por consiguiente, este postulado dio pauta a la herramienta matemática conocida como

series de Fourier.

Ésta herramienta es esencialmente útil para representar funciones o señales que no varían en el

tiempo; es decir, que son periódicas. Sin embargo, muchas señales son de naturaleza

transitoria, de manera que surge una complicación para representar éstas señales de manera

satisfactoria. Con base en éste problema, surge la transformada de Fourier, que es una

generalización de las series de Fourier. La transformada de Fourier tuvo gran impacto en

muchos campos de las matemáticas, ciencia e ingeniería [7]. Entre sus aplicaciones se

encuentran la teoría de integración, expansiones de funciones, vibraciones, difusión de calor,

etc., por citar algunas.


7

Con el advenimiento del mundo digital, en 1965, Cooley y Tukey [8], publicaron un método

rápido y eficiente para calcular series complejas de Fourier. A éste método se le conoce como

transformada rápida de Fourier (FFT), y tuvo un gran impacto en la comunidad de

procesamiento de señales, ya que descompone una señal en sus componentes de frecuencia de

manera rápida y con muy poco costo computacional.

Sin embargo, al utilizar la transformada de Fourier para el análisis de señales, solamente se

cambia la representación de la señal, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia,

donde se pierde totalmente la información temporal. No obstante, existen muchas aplicaciones

donde se requiere conocer la evolución en el tiempo de algún evento transitorio. En esta

instancia, es donde el análisis de señales transitorias en el dominio de la frecuencia tiene

limitaciones, ya que solamente proporciona información del contenido espectral de una señal,

y ninguna información temporal.

Para resolver éste problema, Dennis Gabor introdujo, en 1946, el concepto de transformada

corta de Fourier [9]. Esta técnica supone que la señal a analizar es periódica en un intervalo de

tiempo, y calcula la transformada de Fourier de los segmentos de señal, los cuales están

delimitados por una función de ventana. En otras palabras, la técnica utiliza una función de

ventana de ancho constante, la cual multiplica una porción de la señal de interés, y

posteriormente calcula su transformada de Fourier. Subsecuentemente, la ventana se desplaza

un tiempo “t”, de manera que en ésta nueva posición, multiplica a otra porción de la señal a

analizar, sin entrelazar partes anteriormente analizadas, y vuelve a calcular la transformada de

Fourier de la porción de la señal. El proceso se repite hasta que se cubre la totalidad de la

señal. Este proceso se puede ver como la convolución de una función de ventana con la señal

de interés.

La transformada corta de Fourier, a diferencia de la transformada de Fourier, representa un

mapa tiempo-frecuencia de la señal [9]. Provee información sobre el tiempo y la frecuencia en

que un evento tuvo lugar. Sin embargo, la precisión con la que se obtiene la información se

limita de acuerdo a la elección del tamaño de ventana. En general, para una elección del ancho


8

de ventana pequeño, se obtiene mejor localización en el tiempo de la señal a analizar, pero

pobre localización en frecuencia. Por el contrario, para un ancho de ventana grande, se obtiene

mayor localización en frecuencia, pero pobre localización en el tiempo.

Un inconveniente de ésta representación de señales es, que una vez que se selecciona el

tamaño de la ventana, ésta es igual en todo el proceso de análisis [9]. Sin embargo, muchas

señales que contienen eventos transitorios, discontinuidades, principios y finales de eventos,

etc., necesitan una aproximación más flexible, en la cual se pueda variar el tamaño de ventana,

para obtener una mejor representación del tiempo o la frecuencia en que ocurre un evento

dentro de la señal. Por tanto, el siguiente paso lógico fue encontrar una herramienta que

cumpliera con éste requisito.

La transformada wavelet, surge de los trabajos de Jean Morlet, Yves Meyer e Ingrid

Daubechies, entre otros, a mediados de 1980 [10]. Ésta herramienta transforma la señal de

interés en otra representación, la cual presenta la información de la señal en una forma más

útil. En términos matemáticos, la transformada wavelet es la convolución de la función

“wavelet” con la señala analizar, de una forma similar a la transformada corta de Fourier.

Una “wavelet” [11] es una onda localizada que cumple ciertos requerimientos matemáticos.

El análisis de señales con la transformada wavelet es similar al de transformada corta de

Fourier. La diferencia estriba en que la ventana para la transformada wavelet cambia de

tamaño al hacer el análisis. Utiliza una ventana corta donde se requiere información de alta

frecuencia de la señal, y una ventana grande donde se necesita información de baja frecuencia

de la señal, lo que provee un análisis más flexible. No obstante, el análisis por wavelets

produce una representación tiempo-escala.

Después de la introducción de la transformada wavelet, un gran número de investigadores de

múltiples campos de la ciencia y la ingeniería empezaron a utilizar ésta técnica para analizar

una gran cantidad de fenómenos físicos. Sin embargo, fueron pocos los artículos publicados en

ese entonces, la mayoría de carácter científico. Fue hasta finales de la década de los 80 donde


9

el análisis por wavelets empezó a trascender en muchos campos de la ingeniería.

Fue entonces que en 1989, Mallat [12], estudió las propiedades de un operador que

aproximaba una señal a una resolución determinada. Mostró que la diferencia de información

para la representación de una señal en diferentes resoluciones podía extraerse por medio de la

descomposición de la señal con una base de wavelets ortonormales, la cual es una familia de

funciones que se construye por traslación y dilatación de una función madre. Además, estudió

la aplicación de la representación wavelet a la compresión de imágenes y el análisis de

fractales.

Por otro lado, Ingrid Daubechies [13] publicó un artículo sobre wavelets, el cual presentó la

base matemática para la formulación de la transformada wavelet. En su artículo proporciona la

descripción para el análisis y reconstrucción de señales por medio de wavelets, así como para

la transformada corta de Fourier. Define la transformada wavelet como el producto interior de

dos funciones. Además, hace la comparación de los dos métodos de análisis tiempo-

frecuencia, el de transformada corta de Fourier y la transformada wavelet. Por último, estudia

las dos formas de análisis por wavelets; la transformada wavelet continua y la transformada

wavelet discreta.

Otro aspecto importante para la aplicación de wavelets la propuso Mallat [14], donde estudió

las singularidades de oscilaciones rápidas con transformada wavelet, para lo cual empleó el

módulo máximo de la transformada. Así, desarrolló un algoritmo para remover ruido blanco

en señales, donde analizó la evolución de los coeficientes máximos de las escalas. Empleó el

algoritmo en señales de dos dimensiones, donde utilizó la reducción de ruido para mejorar la

visualización de imágenes.

Las publicaciones de Mallat y Daubechies dieron lugar a muchos otros artículos sobre

wavelets, entre los que destacan el de Rioul y Vetterli [15], donde presentan una revisión de

las técnicas de wavelets para el procesamiento de señales. Exponen la teoría y propiedades de

la transformada. Muestran la conexión de ésta herramienta entre varios campos de


10

investigación, pero es el campo del procesamiento de señales donde concentran su aplicación.

Por su parte, Hlawatsch y Boudreaux-Bartels [16], revisan la aplicación de representaciones

lineales y cuadráticas, donde las representaciones lineales son la transformada corta de Fourier

y la transformada wavelet, y las representaciones cuadráticas son distribuciones de Wigner y

varias versiones de ésta distribución. En general, contribuyen con una descripción concisa de

los diferentes tipos de representaciones tiempo-frecuencia.

Fue entonces que Kishimoto et. al. [17], consideró el uso de la transformada wavelet para la

representación de señales dispersivas en tiempo-frecuencia. Proporcionó una descripción de

las propiedades de la transformada wavelet, donde utilizan una wavelet de Gabor como

función analítica. Utilizan este método para analizar la dispersión de ondas flexionantes en una

viga, donde identifican la velocidad de grupo, la cual es la velocidad a la que se propagan las

ondas dentro del material.

Asimismo, Inoue et. al. [18], estudian la aplicación de la transformada wavelet en el análisis

experimental de tiempo-frecuencia de ondas dispersivas en estructuras. Identifican la

velocidad de grupo con que se propagan las ondas elásticas dentro de un elemento estructural,

además de la aplicación del método para la identificación del lugar de impacto.

Lo anterior dio paso a la investigación de Baltazar [19] quién estudió la aplicación de la

generación de ondas ultrasónicas por medio de un pulso láser en tuberías. Además, utilizó

interferometría óptica láser para la detección de la velocidad de propagación de ondas

ultrasónicas dentro del elemento a prueba. Analizó las señales de propagación por medio de

transformada wavelet, y concluyó que el método puede aplicarse para la detección de defectos

superficiales en tuberías.

Por otro lado, Hong y Kim [20] proponen un método para determinar la mejor localización

tiempo-frecuencia de una señal por medio de transformada wavelet. Utilizan el concepto de

entropía de Shannon para evaluar la concentración de energía de señales y, de ésta manera,

determinan el valor del factor gamma de la wavelet de Gabor que representa la mayor


11

concentración de energía.

No obstante, Ruzzene et. al. [21] utiliza la transformada wavelet para propósitos de

identificación de sistemas. Resalta las ventajas de la transformada wavelet en el análisis de

señales que decaen exponencialmente con el tiempo. Asimismo, hace una comparación con las

técnicas de análisis tiempo-frecuencia anteriormente utilizados.

En el trabajo de Tang [22] utiliza la transformada corta de Fourier (STFT) y la transformada

wavelet para analizar señales que decaen exponencialmente con el tiempo. Concentra su

investigación en como estos dos métodos pueden recuperar la constante de decaimiento de

cada contenido de frecuencia en las señales en situaciones de anchos de banda pequeños.

Concluye que la STFT es en general, más confiable que la transformada wavelet para este

propósito.

Slavic et. al. [23] presentan un método para identificar el amortiguamiento de un sistema de

múltiples grados de libertad por medio de transformada wavelet. El estudio se concentra en

una descripción del ruido instantáneo, los efectos de borde de la transformada wavelet, el

desplazamiento en la frecuencia de la transformada y la selección del parámetro sigma ( ) de

la wavelet de Gabor.

Argoul y Le [24] proponen el uso de cuatro indicadores instantáneos para caracterizar el

comportamiento no lineal de estructuras mecánicas. Utilizan la wavelet de Cauchy para

desarrollar los indicadores. Proporcionan resultados preliminares para caracterizar el

comportamiento no lineal de una viga.

Le y Argoul [25] utilizan la transformada wavelet para identificar parámetros estructurales.

Presentan un procedimiento para parámetros modales en base a la transformada wavelet, así

como también tratan los efectos de borde y la elección de la localización tiempo-frecuencia de

la transformada wavelet.


12

Sone et. al. [26] estiman parámetros característicos de estructuras por un método de

identificación que se basa en el análisis de señales de aceleración por medio de transformada

wavelet. Concluyen que el método que proponen es capaz de identificar los parámetros

estructurales tales como matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez con suficiente

precisión.

De acuerdo a la revisión bibliográfica, no existe un trabajo completo que involucre el análisis

de la respuesta a la carga de impacto en estructuras tanto a bajas frecuencias como a altas

frecuencias por medio de la transformada wavelet continua.

1.1. Objetivo general

Desarrollar un sistema de procesamiento de señales de vibración asociadas al diagnóstico de

estructuras sujetas a impacto mecánico por medio del método de transformada wavelet.

1.2. Objetivos particulares

1. Aplicar la transformada wavelet continua para analizar señales tanto de propagación de

ondas como de vibración en elementos estructurales.

2. Verificar las ventajas de utilizar el método de la transformada wavelet sobre la transformada

de Fourier.

3. Validar el uso de la entropía de Shannon como una medida óptima de localización en

tiempo-frecuencia

4. Encontrar la variación temporal de las frecuencias naturales en estructuras en base a una

función de respuesta a la frecuencia por medio de wavelets.


13

1.3. Alcance

El presente trabajo de investigación es una extensión del estudio de fenómenos de impacto

presentes en estructuras mecánicas. La variante que se presenta es el uso de un método de

análisis en tiempo-frecuencia para evaluar la respuesta de estructuras sujetas a cargas de

impacto. A diferencia de estudios anteriores que consideran la respuesta de estructuras en el

dominio de la frecuencia solamente, o que analizan el comportamiento dinámico de

estructuras solo a bajas o altas frecuencias por separado, en esta tesis se considera el

comportamiento dinámico de estructuras tanto a bajas como a altas frecuencias. Por tanto, el

alcance de esta tesis es implementar un algoritmo para obtener funciones de respuesta en el

dominio conjugado de tiempo-frecuencia para analizar la respuesta que presentan las

estructuras a bajas frecuencias, así como también la evaluación de la respuesta dinámica en

una estructura a altas frecuencias por medio del método de la transformada wavelet.

Capítulo II Marco Teórico

14

Capítulo II

Marco Teórico

Introducción

En el presente capítulo, se definen los conceptos básicos utilizados para desarrollar los

algoritmos que se presentan en el capítulo tres. Se desarrolla el análisis espectral de las teorías

de vigas de Timoshenko y de Euler-Bernoulli para encontrar resultados teóricos de los tiempos

de arribo de la ondas de propagación y la manera de como estos se relacionan con el contenido

de frecuencia con el que viajan dichas ondas. Los resultados teóricos obtenidos sirven de

comparación con los resultados prácticos obtenidos en el capítulo cinco. Asimismo, se da una

breve introducción a las funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia y su relación

con el método tiempo-frecuencia de análisis de señales con transformada wavelet. Por último,

se explica el funcionamiento de la transformada wavelet y el concepto de entropía de Shannon

para seleccionar el parámetro óptimo de localización de una señal en tiempo-frecuencia.

2.1. Propagación de ondas

2.1.1. Velocidad de grupo.

La solución de la respuesta a la carga dinámica aplicada a estructuras se compone de la

superposición de armónicos y se observa que algunos son ondas, otros son ondas

amortiguadas, mientras otros son vibraciones [27]. Todos se combinan para dar el movimiento

que puede observarse. De especial interés es saber como describir la parte propagante del

disturbio, puesto que esta parte es la que llega a los lugares remotos.

La solución puede escribirse de la forma exponencial:


15

ˆˆ ˆ, n n ni t ik x i tn n n nu x t P G k x e P e e (Ec. 2.1)

Donde:

,u x t Solución de la ecuación

ˆnP Amplitud espectral

ˆn nG k x Función de transferencia del sistema

ni te Identidad de Euler

El número de onda puede escribirse en términos de sus partes real e imaginaria como:

R Ik k ik (Ec. 2.2)

Que resulta en la respuesta de onda de la forma:

ˆ, RI i k x tk xnu x t P e e

(Ec. 2.3)

Esta solución consta de tres partes: La amplitud espectral ˆnP , un término de decaimiento

exponencial espacial Ik xe y las senoides que se propagan Ri k x te

. La velocidad de fase de

estas senoides se da por la relación:

R

ck

(Ec. 2.4)

Esta es la velocidad a la cual se mueven los armónicos individuales. Puesto que la señal que se

observa es la superposición de todas las senoides, entonces es de interés investigar como ésta

respuesta de grupo difiere de las senoides individuales. Por consiguiente, se considera la

interacción de dos componentes propagantes vecinos, como sigue:


16

1 1

1ˆ ˆ, n n n nik x i t ik x i tn nu x t P e e P e e

(Ec. 2.5)

Si los componentes anteriores se escriben en términos de una frecuencia central

1* / 2n n , número de onda 1* / 2n nk k k y amplitud 1* / 2n nP P P ,

entonces el resultado es [17, 27]:

* ** 1 *ˆ, 2cos2 *

i k x t du x t P e k x t

dk

(Ec. 2.6)

La onda resultante se compone de dos partes, además de la amplitud de espectro promedio.

Existe una senoide, la cual se llama onda portadora o guía, de frecuencia promedio * y

número de onda *k , y viaja con la velocidad promedio * * / *c k . Esta senoide es

modulada por otra onda de nombre onda de grupo, de número de onda / 2k , frecuencia

* / * / 2k d dk y viaja a una velocidad de onda * / *d dk . La velocidad de fase de la

modulación se llama velocidad de grupo. Esto es:

g

dc

dk

(Ec. 2.7)

Para el caso de impacto longitudinal, la velocidad de fase es igual a la velocidad de grupo.

Para el caso de impacto transversal, la velocidad de grupo es el doble de la velocidad de fase.

Mientras el análisis anterior se supuso solamente para dos frecuencias, el análisis se extiende

para un número mayor de armónicos que dan lugar a una onda guía modulada por una onda de

grupo. En general, no se puede observar el movimiento de las ondas individuales que viajan a

frecuencias de fase, sino que solamente se puede ver el movimiento de las ondas que viajan a

la velocidad de grupo. Por tanto, es de especial interés observar el comportamiento de dicho

conjunto de ondas, que es lo que se observa cuando se analiza una señal por métodos tiempo-

frecuencia, como por ejemplo, el método de la transformada wavelet, que es el análisis que se

efectúa en esta tesis.


17

2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Con el objetivo de conocer la dependencia de la velocidad de grupo en función de la

frecuencia, para posteriormente compararla con un análisis por medio de wavelets de señales

reales de propagación en elementos estructurales, se desarrolla un análisis espectral de la

ecuación de movimiento de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, así como también de la

teoría de vigas de Timoshenko.

La ecuación de vigas de Euler-Bernoulli es:

4 2

4 2,EI A A q x t

x t t

(Ec. 2.8)

Se considera que la viga tiene propiedades constantes en toda su longitud (ver apéndice I). La

parte homogénea de la ecuación diferencial en representación espectral es:

44

4

ˆˆ 0

d

dx

(Ec. 2.9)

22 A i A

EI

(Ec. 2.10)

Donde:

Frecuencia circular

Densidad del material

A Área de la sección transversal del elemento

Amortiguamiento viscoso por unidad de volumen

E Módulo de Young del material

I Segundo momento de área de la sección transversal del material


18

Resolviendo la ecuación (2.10) para el número de onda k , y despreciando el

amortiguamiento, se llega a las relaciones para las velocidades de fase y de grupo.

1/ 4EI

ck A

(Ec. 2.11)

1/ 4

2 2g

d EIc c

dk A

(Ec. 2.12)

Se aprecia que ambas velocidades varían con respecto a las propiedades de la viga y con la

raíz cuadrada de la frecuencia, lo que proporciona su carácter de ondas dispersivas. La gráfica

de las velocidades de fase y de grupo se aprecia en la figura 2.1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Frecuencia [Hz]

Velo

cid

ad

es

de

Fase

yG

rup

o[m

/seg

]

Relación de dispersión para vigas

velocidad de fase

velocidad de grupo

Figura 2.1. Relación de dispersión para viga de Euler-Bernoulli.


19

2.1.3. Análisis espectral de la teoría de vigas de Timoshenko.

La ecuación de vigas de Timoshenko (ver apéndice II) es [27]:

1

2

1 22

GAK A qx x

EI GAK IKx x

(Ec. 2.13)

Puesto que hay dos variables dependientes, y , y los coeficientes son constantes, se

asumen las soluciones de la forma:

( )0

( )0

i kx t

i kx t

e

e

(Ec. 2.14)

Sustituyendo en las ecuaciones de Timoshenko, queda:

2 201 1

2 201 1 2

0GAK k A ikGAK

ikGAK EIk GAK IK

(Ec. 2.15)

La ecuación característica resulta de obtener el determinante de la ecuación 2.15, y es:

4 2 2 2 2 21 1 2 2 1 0GAK EI k GAK IK EI A k IK GAK A (Ec. 2.16)


20

0 1 2 3 4 5 6

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frecuencia [Hz]

Nú

mero

de

on

da

[1/m

m]

Relación de espectro

Timoshenko

Bernoulli

Figura 2.2. Relación de espectro de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.

De ésta ecuación, se obtiene la relación de espectro y la relación de dispersión para vigas de

Timoshenko, como se muestra en las figuras 2.2 y 2.3. Se visualiza en las figuras 2.2 y 2.3

como afecta la introducción de la deformación cortante y la inercia de rotación en las

relaciones de espectro y de dispersión.

0 1 2 3 4 5 6

x 104

0

1000

2000

3000

4000

5000

Frecuencia [Hz]

Velo

cid

ad

Cg

[m/s

eg

]

Relación de dispersión

Timoshenko

Bernoulli

Figura 2.3. Relaciones de dispersión de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.


21

2.2. Función de respuesta a la frecuencia.

Una función de respuesta en el dominio de la frecuencia es una técnica de análisis modal que

sirve como punto de partida para la obtención de parámetros modales como: frecuencias

naturales, amortiguamiento y formas modales de una estructura.

Se fundamenta en la función de transferencia de un sistema, la cual es la razón entre la

transformada de Laplace de la respuesta y la transformada de Laplace de la excitación en un

sistema. La figura 2.4 representa esquemáticamente este concepto, donde H(s) es la función de

transferencia, X(s) es la respuesta en el dominio de Laplace y F(s) es la excitación en el

dominio de Laplace.

Figura. 2.4. Función de transferencia

( )( )

( )

X sH s

F s (Ec. 2.17)

No obstante, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia es la razón entre la

transformada de Fourier de la respuesta del sistema y la transformada de Fourier de la

excitación de dicho sistema. La figura 2.5 representa este concepto, para el cual, ( )H es la

función de respuesta en el dominio de la frecuencia, ( )X y ( )F son la respuesta y la

excitación en el dominio de Fourier.

Figura. 2.5. Función de respuesta a la frecuencia

H(s)F(s) X(s)

H( )F( ) X( )


22

( )( )

( )

XH

F

(Ec. 2.18)

Sin embargo, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia provee la información de

un sistema en el dominio de la frecuencia solamente, donde se pierde totalmente la

información temporal. Por consiguiente, sería interesante conocer la variación temporal de una

función de respuesta en el dominio de la frecuencia, sin perder información espectral. En el

capítulo IV de ésta tesis, se proporciona un método para encontrar dicha representación, que

en otras palabras, se podría llamar función de respuesta en tiempo-frecuencia. En la figura 2.6,

se muestra el esquema para representar a la función de respuesta en el dominio tiempo-

frecuencia. F( , t ), H( , t ) y X( , t ) representan la excitación, la función de respuesta y la

respuesta en el dominio tiempo-frecuencia, respectivamente.

Figura 2.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia

( , )( , )

( , )

X tH t

F t

(Ec. 2.19)

2.3. Transformada wavelet

La transformada wavelet es un método de análisis que convierte una función (o señal) en otra

forma, la cual hace ciertas características de la señal original más amenas para su estudio [11].

Para desarrollar la transformada wavelet, se necesita una wavelet, que es una forma de onda

localizada. De hecho, una wavelet es una función ( )t que satisface ciertos requerimientos

matemáticos. Estas funciones son manipuladas en un proceso de traslación (i. e. movimientos

H( , t )F( , t ) X( , t )


23

a través del eje temporal) y un proceso de dilatación (i. e. cambios de tamaño) para

transformar la señal en otra forma, la cual se desarrolla en tiempo y escala.

El término “wavelet” significa onda pequeña. Esto es, una función de longitud finita o de

soporte compacto. Para que una función sea clasificada como wavelet, se deben satisfacer

ciertos criterios:

1. La wavelet debe tener energía finita, donde E es la energía de la función.

2( )E t dt

(Ec. 2.20)

2. Si ˆ ( )f es la transformada de Fourier de ( )t , i. e.

2ˆ ( ) ( ) j ftf t e dt

(Ec. 2.21)

Entonces, la siguiente condición debe satisfacerse:

2

0

ˆ ( )g

fC df

f

(Ec. 2.22)

Esto implica que la wavelet no tiene componente de frecuencia cero ˆ (0) 0 , o de otra

forma, la wavelet debe tener promedio cero. Ésta ecuación se llama condición de

admisibilidad, y gC se llama constante de admisibilidad.

3. Un criterio adicional que se debe mantener para wavelets complejas, es que la transformada de

Fourier debe ser real y debe desaparecer para frecuencias negativas. En términos

matemáticos, la transformada wavelet continua es:


24

*1( , ) ( )

t bT a b f t dt

aa

(Ec. 2.23)

Donde ( , )T a b son los coeficientes wavelet de la señal, ( )f t es la señal a analizar, ( )t es la

función analítica o wavelet madre, donde el asterisco denota complejo conjugado, b es el

parámetro de traslación a lo largo del eje temporal, a es el parámetro de escala y 1/ a es un

factor de conservación de energía. Por tanto, la transformada wavelet continua (TWC) se

define como la convolución entre la wavelet y la señal de interés, lo que produce los

coeficientes wavelet.

Se utiliza el término wavelet madre, porque de ésta función parten las demás wavelets que se

utilizan en el análisis. Es decir, la wavelet madre es la función original ( )t , y de aquí se

producen las demás wavelets por traslación ( )t b y por escalamiento (( ) / )t b a .

2.3.1. Tipos de wavelets

Aunque existen muchas funciones analíticas o wavelets, no es el objetivo de esta tesis explicar

las propiedades de todas las wavelets. Sin embargo, se describen algunas de ellas, que son

comunes en la literatura de procesamiento de señales.

La wavelet Sombrero mexicano es la segunda derivada de la función Gaussiana y se ilustra en

la figura 2.7. La función que representa la wavelet sombrero mexicano es:

2

2 2

4

2 11

3

t

MH t e

(Ec. 2.24)


25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Wavelet sombrero mexicano

Wavelet

Senoide

Figura 2.7. Wavelet sombrero mexicano sobrepuesta a una función senoidal.

La forma de la wavelet Morlet se aprecia en la figura 2.8. Esta wavelet es una función

exponencial compleja ventaneada por la función Gaussiana, y se define por la fórmula:

2 2

2 2

4

1 tj t

M e e e

;2

ln 2 (Ec. 2.25)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Wavelet Morlet

Wavelet

Senoide

Figura 2.8. Wavelet Morlet sobrepuesta a una función senoidal.


26

La Wavelet de Gabor se ilustra en la figura 2.9, y se define de la siguiente forma:

20

200 2

4

1 t i t

G e

(Ec. 2.26)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Wavelet Gabor

Wavelet

Senoide

Figura 2.9. Wavelet de Gabor

La wavelet de Gabor es una función exponencial compleja ventaneada por una función

Gaussiana. Esta wavelet posee la mayor resolución de todas las wavelets [17, 18], es decir, la

menor área de tiempo-frecuencia, de acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg, que

establece que no es posible representar un punto en un mapa tiempo-frecuencia, sino que

solamente se puede representar un área en un mapa tiempo-frecuencia.

En la ecuación 2.26, 0 es una frecuencia característica de la wavelet y controla el número

de oscilaciones de la wavelet madre. Para el caso de la wavelet Morlet, el factor de forma se

denota con .


27

2.3.2. Proceso de identificación de estructuras coherentes.

El término “estructura coherente” se refiere a la similitud entre una señal y una función

analítica durante el proceso de análisis de la señal.

La figura 2.10, intenta visualizar la mecánica de la transformada wavelet, que se representa

por la ecuación 2.23. En la figura, una wavelet de escala “a”, centrada en una posición “b” en

el eje temporal, se muestra superpuesta a una señal arbitraria. Los segmentos de tiempo donde

la señal y la wavelet son positivos, resultan en una contribución positiva a la integral de la

ecuación 2.23, por ejemplo, la posición A en la figura [11].

No obstante, los segmentos de tiempo donde la wavelet y la señal son negativos, resultan en

una contribución positiva a la integral (región B). Las regiones donde la wavelet y la señal son

de diferente signo, resultan en una contribución negativa a la integral, por ejemplo, las

regiones C, D y E en la figura.

Las figuras 2.11 a 2.15, muestran una onda senoidal analizada en varios lugares por wavelets

sombrero mexicano de varias escalas. El valor de la transformada de convolución (Ec. 2.23)

depende del desplazamiento y de la escala de la wavelet.

En la figura 2.11, se muestra una wavelet de misma periodicidad que la señal, sobrepuesta en

la señal en un lugar b, la cual produce razonable emparejamiento entre la wavelet y la señal.

Además, se puede ver que existe una alta correlación entre la señal y la wavelet a esta escala a

y posición b. Por tanto, la integral del producto de la señal y la wavelet producen un alto valor

positivo de T(a, b) en esta posición.

Se aprecia en la misma figura 2.11 como el término “estructura coherente” tiene sentido, ya

que la wavelet tiene coherencia con la señal a analizar.


28

Figura 2.10. Wavelet de escala y posición específicas en la señal. Contribuciones positivas y negativas a la transformada [11].

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Correlación entre señal y wavelet

Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Figura 2.11. Wavelet en fase con la señal a analizar.

La figura 2.12, muestra la wavelet desplazada a una nueva posición, donde la wavelet y la

señal parecen estar fuera de fase. En este caso, la convolución produce un alto valor negativo

de T(a, b). Entre estos dos extremos, el valor de la transformada se reduce desde un máximo

hasta un mínimo. La figura 2.13, muestra el punto en el cual la wavelet y la señal producen un

valor próximo a cero de T(a, b). En las tres figuras anteriores, se utilizó una wavelet que iguala


29

localmente a la señal; esto es, tiene aproximadamente la misma forma y tamaño que la señal

en la vecindad de b.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Figura 2.12. Wavelet fuera de fase con la señal a analizar.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Figura 2.13. Wavelet fuera de fase con la señal. Correlación cero.

La figura 2.14 muestra el efecto que tiene el usar una escala a más pequeña de la wavelet en la

transformada.


30

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Figura 2.14. Wavelet comprimida, no iguala a la forma de la señal.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

pli

tud

Correlación entre señal y wavelet

Figura 2.15. Wavelet estirada, no iguala a la señal localmente.

Se puede apreciar que las partes positivas y negativas de la wavelet convolucionan con casi la

misma parte de la señal, produciendo un valor de T(a, b) cerca de cero. Por tanto, los

coeficientes de la transformada T(a, b) tienden a cero cuando la escala a tiende a cero.

Además, los coeficientes también tienden a cero cuando la escala a tiende a ser muy grande,

como se muestra en la figura 2.15, a causa de que la wavelet cubre muchas partes repetidas


31

negativas y positivas de la señal, produciendo valores de los coeficientes próximos a cero. Por

tanto, cuando la wavelet es o muy grande o muy pequeña comparada con las características de

la señal, la transformada proporciona valores cercanos a cero.

2.3.3. Criterio para determinar la localización óptima de señales en tiempo-frecuencia

El concepto de entropía en éste contexto, es un poco diferente al que se utiliza en

termodinámica. Aquí, el término entropía se utiliza para describir la cantidad de información

cuantitativamente, o mejor aún, como una medida de concentración de energía o

incertidumbre [20].

Para una señal o distribución de coeficientes 1 1i i NE e

, la concentración de energía puede

estimarse por medio del costo de entropía, definido como:

1 1( ) logi ii

C E P P (Ec. 2.27)

Donde:

2

2

1

ii

eP

E (Ec. 2.28)

1

1N

ii

P

(Ec. 2.29)

2 2

11

N

ii

E e

(Ec. 2.30)

Por definición, los límites del costo de entropía son:


32

1 10 ( ) logC E N (Ec. 2.31)

Aunque la wavelet de Gabor posee la menor caja de Heisenberg, es decir, la menor área

tiempo-frecuencia, es necesario escoger el valor óptimo de la forma de la wavelet que

proporcione la mejor localización en tiempo-frecuencia de una señal. Por tanto, si se logra

encontrar una representación en tiempo-frecuencia de una señal para la cual la el costo de

entropía sea mínimo, esa representación será la que contenga la mayor concentración de

energía. Esto se traduce a encontrar el valor del factor de forma de la wavelet de Gabor que

produzca el menor costo de entropía para una señal.

Capítulo III Validación de Algoritmos

33

Capítulo III

Validación de Algoritmos

3.1. Validación del algoritmo de transformada wavelet

Para validar la efectividad de la herramienta de análisis de señales que se utiliza en esta tesis,

se realizó un algoritmo de transformada wavelet en el programa Matlab®. Para tener certeza

que el programa trabaja correctamente, se generaron señales con contenido de frecuencia

conocido y se analizaron con el programa. La primera señal tiene un contenido de frecuencia

de 500, 1000 y 2000 Hz presentes en todo el tiempo. La segunda señal tiene un contenido de

frecuencia de 500 Hz de 0 a 0.03 segundos, de 1000 Hz de 0.03 a 0.06 segundos y de 2000 Hz

de 0.06 a 0.1 segundos. Las siguientes figuras muestran las señales y su correspondiente

espectrograma, para el cual, se utilizó una wavelet madre de Gabor.

1. Señal con contenido de 500, 1000 y 2000 Hz presentes en toda la duración de la señal.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

500 Hz + 1000 Hz + 2000 Hz

Fig. 3.1a. Señal con contenido de tres frecuencias en

todo el tiempo

Fig. 3.1b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a

( = 5.3364)


34

Se aprecia en la figura 3.1b que la transformada wavelet descompone una señal en el tiempo

en su representación tempo-frecuencia efectivamente, donde se observa que el contenido

espectral de la señal actúa en todo el dominio del tiempo.

2. Señal con contenido de frecuencia de 500 Hz de 0 a 0.03 segundos, de 1000 Hz de 0.03

a 0.06 segundos y de 2000 Hz de 0.06 a 0.1 segundos. Se utiliza una wavelet de Gabor

con valor de = 5.3364.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

500 Hz de 0-0.03 seg, 1000 Hz de 0.03-0.06 seg, 2000 Hz de 0.06-0.1 seg

Fig. 3.2a. Señal con contenido de tres frecuencias en tiempos

diferentes


( = 5.3364)

Nuevamente, se aprecia en la figura 3.2b como la transformada wavelet de Gabor descompone

a la señal de la figura 3.2a en su representación tiempo-frecuencia, donde se resaltan los

tiempos en los que actúa cada contenido de frecuencia de la señal.

Sin embargo, la selección del valor gamma de la wavelet de Gabor afecta significativamente la

descomposición de cualquier señal en su representación tiempo-frecuencia. El valor gamma

representa el número de oscilaciones de la wavelet. Es decir, para valores pequeños de gamma,

la wavelet Gabor tendrá una oscilación menor y, por consiguiente, una mayor localización del

tiempo en el que ocurren las frecuencias, pero pobre localización del contenido espectral de la

señal. Por el contrario, para valores grandes de gamma, la wavelet de Gabor obtiene mayores


35

oscilaciones, de manera que se tiene una mayor localización del contenido espectral de la

señal, pero menor localización del tiempo en que ocurren dichas frecuencias. Para mostrar la

variación del espectrograma en función de la selección del valor gamma de la wavelet de

Gabor, se analizaron las señales de las figuras 3.1a y 3.2a con valores diferentes de gamma.

Los espectrogramas de cada análisis de observan en las figuras 3.3a y 3.3b.

Fig. 3.3a. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a

( =15)


( =15)

En los espectrogramas de las figuras 3.3a y 3.3b se aprecia como cambia el espectrograma de

una señal determinada al variar el valor del factor de forma gamma de la wavelet de Gabor,

que como se ve en este caso, al aumentar el valor de gamma se incrementa la localización en

frecuencia de la señal, pero se reduce la localización en el tiempo.

Por tanto, el algoritmo que se utiliza en esta tesis analiza efectivamente el contenido de

frecuencia de señales, así como su variación en el tiempo. Sin embargo, se debe seleccionar un

valor del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor adecuado para cada señal, con la

finalidad de encontrar la representación tiempo-frecuencia óptima de cada señal en cuestión

[20, 28]. Un criterio para encontrar la representación óptima de señales en tiempo-frecuencia,

es por medio del uso de la entropía de Shannon, que se describe en la siguiente sección.


36

3.2. Validación del algoritmo de entropía de Shannon

En la sección 2.3.3 del capítulo II de esta tesis, se introdujo el concepto de entropía de

Shannon, que como se mencionó, es una medida de concentración de energía o incertidumbre

de una señal [20]. Si se utiliza este concepto en conjunto con la transformada wavelet de

Gabor, el proceso de encontrar la entropía mínima de una señal en tiempo-frecuencia, se

traduce en encontrar el valor del factor de forma gamma de la wavelet de Gabor que produzca

el espectrograma con la mayor concentración de energía.

Para validar este concepto, se realizó un algoritmo en Matlab® para encontrar la mínima

entropía de una señal en tiempo-frecuencia. Se utilizó una señal con contenido de frecuencia

variable con el tiempo, la cual es la señal que utilizó Baltazar [19]. En su investigación,

Baltazar utilizó diferentes valores del factor de forma gamma para la wavelet Gabor, con la

finalidad de encontrar el valor que presentara menor dispersión de la señal en cuestión.

Concluye que el valor que presentó menor dispersión es para un valor de = 5.3364. En la

figura 3.4a se observa la señal tipo chirp y en la figura 3.4b se aprecia su espectrograma con

= 5.3364.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

Señal chirp: f(t) = sen(w*t2) / t(max)

Fig. 3.4a. Señal tipo chirp Fig. 3.4b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a

( = 5.3364)


37

En la figura 3.5a, se presenta la curva de entropía de Shannon para la señal en cuestión. El

espectrograma de la figura 3.5b corresponde al análisis de la señal chirp con el valor del factor

de forma que presenta la mínima entropía; esto es, = 6.4.

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8325

330

335

340

345

350

355

360

365

370

Gamma

En

tro

pía

de

Sh

an

no

n

Curva de Entropía

X: 6.4

Y: 329.1

Fig. 3.5a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.4a Fig. 3.5b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a

( = 6.4)

Se observa que prácticamente no existe diferencia entre los espectrogramas para los valores de

gamma de 5.3364 y 6.4.

Por otra parte, Arzola [28], en su investigación, evaluó la misma señal chirp y encontró que el

valor que producía la entropía mínima de la señal es para un valor de = 6.2. Por tanto, se

considera que el algoritmo que se utiliza en esta tesis para encontrar la entropía mínima de una

señal en tiempo-frecuencia es correcto.

Sin embargo, puesto que cada señal real posee diferente energía, es necesario encontrar la

entropía de Shannon para encontrar el espectrograma que produce la mayor concentración de

energía.

En las figuras 3.6a y 3.6b se observan la curva de entropía y el espectrograma correspondiente

a la entropía mínima para la señal de la figura 3.1a, respectivamente.


38

18 18.2 18.4 18.6 18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20449.45

449.5

449.55

449.6

449.65

449.7

449.75

449.8

449.85

449.9

Gamma

Costo

de

Entr

opía

Entropía de Shannon

X: 19

Y: 449.5

Fig. 3.6a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.1a. Fig. 3.6b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a

( = 19)

En las figuras 3.7a y 3.7b se aprecian la curva de entropía y el espectrograma correspondiente

a la mayor concentración de energía de la figura 3.2a, respectivamente.

10 10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6 11.8 12471

471.5

472

472.5

473

473.5

474

474.5

Gamma

Costo

de

Entr

opía


X: 11.6

Y: 471.3

Fig. 3.7a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.2a. Fig. 3.7b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a

( = 11.6)

En las figuras anteriores se aprecia como el cálculo de la entropía de Shannon se considera

como buena práctica para encontrar la representación óptima de señales en tiempo-frecuencia,


39

puesto que se gana localización en frecuencia sin perder localización en el tiempo de las

señales.

3.3. Validación del algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia

Para validar el algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia, se considera una señal

de respuesta en el dominio del tiempo. Para adquirir la señal, el espécimen de prueba se colocó

en posición libre-libre y se discretizó en 31 nodos. La señal es la razón entre la respuesta del

espécimen 1 (ver capítulo IV) tomada en el nodo 25 y la excitación del espécimen en el nodo

1. La señal se observa en la figura 3.8a, donde se grafica amplitud en (g/N) contra tiempo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Tiempo [seg]

Inert

ancia

[g/N

]

Función de Respuesta al Impulso

Fig. 3.8a. Señal en el dominio del tiempo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90692

694

696

698

700

702

704

706

Gamma

Costo

de

Entr

opía


Fig. 3.8b. Costo de entropía de la señal de la figura 3.8a.

El espectrograma de la señal de la figura 3.8a se muestra en la figura 3.9, donde los picos de

amplitud máxima representan las frecuencias naturales a flexión de la viga.

El espectro de magnitud de Fourier de la señal en cuestión se grafica en la figura 3.10. En la

tabla 3.1 se comparan las frecuencias naturales obtenidas por teoría, transformada de Fourier y

transformada wavelet.


40

Figura 3.9. Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia

0 100 200 300 400 500 6000

10

20

30

40

50

60

70

X: 18

Y: 3.075

X: 162

Y: 72.89

X: 50

Y: 30.41

X: 98

Y: 65.69

X: 238

Y: 37.88

X: 442

Y: 39.95

X: 446

Y: 71

X: 572

Y: 63.47

X: 566

Y: 46.85

X: 332

Y: 12.47

X: 336

Y: 18.15

Frecuencia [Hz]

Inert

ancia

[g/N

]

Función de respuesta a la frecuencia

Figura 3.10. Espectro de magnitud de la señal de la figura 3.8a.


41

Tabla 3.1. Comparación de frecuencias naturales obtenidas por teoría y práctica

Cálculo experimental (Hz) Inexactitud (%)Frecuencias

naturales

Cálculoteórico

(Hz)Transformada

de Fourier

Transformadawavelet de

Gabor

Transformadade Fourier

Transformadawavelet de

Gabor

Fn1 17.7 18 18 1.6 1.6

Fn2 48.8 50 50 2.4 2.4

Fn3 95.7 98 98 2.4 2.4

Fn4 158.3 162 160 2.3 1.07

Fn5 235.8 238 240 0.93 1.7

Fn6 329.7 332 334 0.69 1.3

Fn7 438.6 442 444 0.77 1.23

Fn8 563.8 566 568 0.39 0.74

Al comparar los resultados obtenidos de las frecuencias naturales por el método de la

transformada wavelet contra los resultados obtenidos por teoría y el método tradicional de la

transformada de Fourier, se observa la exactitud del método propuesto en esta tesis. Además,

debido a la característica de análisis flexible de la transformada wavelet, se aprecian las

variaciones temporales de las frecuencias naturales del espécimen de prueba.

Por tanto, se concluye que el método de análisis de funciones de respuesta en el dominio

tiempo-frecuencia por medio de transformada wavelet es un método efectivo para encontrar

las frecuencias naturales de estructuras.

Capítulo IV Banco Experimental

42

Capítulo IV

Descripción del Banco Experimental

4.1. Introducción

En este capítulo se describe la parte experimental de esta tesis, donde se condujeron dos tipos

de pruebas dinámicas. . En la primera, se investiga la velocidad con que se propagan las ondas

flexionantes dentro de un elemento estructural, la cual es función de la frecuencia de las ondas.

En la segunda parte, se investiga la variación temporal de la función de respuesta a la

frecuencia de elementos estructurales.

El objetivo de las pruebas fue adquirir señales tanto de propagación de ondas como de

vibración para obtener los tiempos de arribo de las ondas propagantes, así como las

frecuencias naturales de una estructura por medio de la transformada wavelet.

4.2. Configuración del banco de pruebas.

El banco experimental se compone de especímenes de pruebas, un osciloscopio Tektronix

TDS 2004, un martillo de impacto marca Kistler tipo 9724A2000 con diferentes puntas, un

acelerómetro marca Kistler tipo 8628 B50, amplificadores de señales y una computadora

personal. Las características de cada componente se proporcionan en el apéndice III.

Se instrumentó el espécimen de prueba con un acelerómetro Kistler 8628 B50, para el cual se

montó sobre el material con cera, además que el acelerómetro tiene una cabeza magnética de

montaje. Se conectó el acelerómetro a un amplificador de señales por medio de un cable de

bajo ruido de conexión coaxial negativa tipo 10-32 del lado del acelerómetro y terminación

tipo BNC del lado del amplificador. El otro amplificador de señales se conectó al martillo de


43

impacto por medio de un cable de bajo ruido con terminaciones tipo BNC. Las salidas de los

dos amplificadores se conectaron a un osciloscopio digital por medio de cables con

terminaciones tipo BNC. La salida del amplificador del martillo se conectó al canal 1 del

osciloscopio, que representa la fuente de excitación del sistema. La salida del amplificador del

acelerómetro se conectó al canal 2 del osciloscopio, que representa la respuesta del sistema.

El osciloscopio, a su vez, se conectó a una computadora personal por medio de una interfaz

RS-232 para el posterior análisis de las señales. La configuración del banco de pruebas se

muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1. Configuración del sistema de adquisición de datos


44

Una vez que se tiene completa la configuración del sistema, es necesario hacer pruebas para

verificar que los instrumentos están trabajando adecuadamente, y posteriormente establecer las

variables dentro de los intervalos de medición, que depende del tipo de experimento a realizar.

4.3. Primer método experimental. Propagación de ondas.

Para esta prueba se estimuló una viga en condición libre-libre por medio de un impulso con el

martillo de impacto y se registró la respuesta de la viga en un osciloscopio. Para conocer la

velocidad de propagación de las ondas flexionantes dentro de la viga fue necesario adquirir

datos a una velocidad de muestreo del orden de MHz. Posteriormente se analizó la señal

adquirida por medio de transformada wavelet, como se describe a continuación.

La pantalla del osciloscopio donde se registró la señal de propagación se aprecia en la figura

4.2, la cual se describe a continuación. Se muestra en amarillo la señal de excitación y en azul

la señal de respuesta de la viga. El segundo símbolo en la esquina superior izquierda indica

que se tomaron datos en forma de muestreo normal. El símbolo “Ready” indica que la

adquisición se completó. El icono “M Pos: 250.0 s ” indica que la posición del mecanismo

de disparo está a 250.0 s a la izquierda de la línea vertical central de la pantalla.

En la esquina superior derecha, se encuentra el menú “Disparo”, en el cual se especifican las

condiciones en que se adquieren los datos. En este caso, se utilizó “flanco” como tipo de

disparo para el canal 1, que es el canal de la excitación del sistema. Se utilizó la pendiente

positiva de la curva del canal 1. El modo “normal” indica que la adquisición empezó hasta que

se alcanzó un límite en la pendiente de la curva del canal 1, el cual se especifica en la esquina

inferior derecha. En este caso, el límite es 40 mV con pendiente positiva.

En la esquina inferior izquierda, CH1 500 mV indica que la configuración para el canal 1 es de

500 mV por cada división en sentido vertical, en tanto que para el canal 2 es de 5 V por

división en dirección vertical. Por último, “M 50.0 s ” señala el intervalo de tiempo de


45

adquisición, que es de 50.0 s por cada división en dirección horizontal, lo que es 500 s en

toda la pantalla. Éste último icono señala indirectamente la velocidad de muestreo, que es la

razón entre el número de muestras que se tomaron y el tiempo de adquisición. La memoria del

osciloscopio permite registrar 2500 datos, lo que proporciona una velocidad de muestreo de

5x106 muestras por segundo.

Figura 4.2. Pantalla característica del osciloscopio para propagación de ondas

La señal adquirida se observa en la figura 4.3a, donde se hizo pasar por un filtro de paso bajo

para reducir ruido electrónico.

Posteriormente se calcula la entropía de Shannon de la señal filtrada, lo cual proporcionará la

representación tiempo-frecuencia con mayor concentración de energía de la señal en cuestión,

que se presenta con un valor de gamma de 4.8 de la wavelet de Gabor, como se aprecia en la

figura 4.3b.


46

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-4

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

[g]

Señal de propagación de ondas

Fig. 4.3a. Señal de propagación de ondas

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6510

520

530

540

550

560

570

Gamma

Costo

de

Entr

opía


Fig. 4.3b. Entropía de la señal de la figura 4.3a

Figura 4.4. Espectrograma de la señal de la figura 4.3a con = 4.8


47

Por último, se calculan los coeficientes wavelet de la señal para el valor de gamma que se

encontró en el paso anterior. Los picos de amplitud corresponden a las ondas que viajan a la

velocidad de grupo dentro del material. La distribución tiempo-frecuencia se observa en la

figura 4.4.

En resumen, el proceso de análisis de señales de propagación de ondas por medio de

transformada wavelet se aprecia en el diagrama de flujo de la figura 4.5.

4.4. Segundo método experimental. Función de respuesta en tiempo-frecuencia

Si se divide la señal de respuesta entre la señal de excitación y se procesa la señal resultante

por medio de wavelets, es posible obtener una función de respuesta en el dominio tiempo-

frecuencia. Sin embargo, la evaluación directa de la razón entre la señal de respuesta del

sistema y la señal de excitación en el dominio del tiempo, produce división por cero. Por tanto,

se optó por transformar las dos señales, de excitación y de respuesta, al dominio de la

frecuencia. De aquí se obtuvo su FRF. Una vez que se encontró la relación entre salida y

entrada, se aplicó la transformada de Fourier inversa para obtener la función de respuesta en el

dominio del tiempo. A esta señal, se le aplicó la transformada wavelet. En la figura 4.6 se

obtiene la representación de la función de respuesta en tiempo-frecuencia por medio de la

transformada wavelet de Gabor. En la misma figura, se observan las frecuencias naturales de

la viga, las cuales son: 18, 98, 240 y 442 Hz, respectivamente.

Se puede apreciar, por consiguiente, que la figura 4.6 representa la función de respuesta del

sistema en los dominios del tiempo y de la frecuencia simultáneamente, lo que es una ventaja

al sistema tradicional de representación de la respuesta en el dominio de la frecuencia

solamente, porque permite observar la variación en el tiempo de las amplitudes de cada

componente de frecuencia de la señal en cuestión.

Otro método para extraer la función de respuesta en tiempo-frecuencia de un sistema, es por

medio del siguiente procedimiento. Como la evaluación del cociente de la señal de respuesta


48

del sistema y la señal de excitación produce división por cero, se sumo un valor de uno a todos

y cada uno de los elementos de las señales de excitación y de respuesta. Al efectuar la división

de las señales, el cálculo arrojo otro vector, un vector de función de respuesta en el tiempo.

Por tanto, se procedió a calcular los coeficientes wavelet de la función de respuesta en el

tiempo, lo que produjo la función de respuesta en tiempo-frecuencia, que se muestra en la

figura 4.7. El procedimiento de análisis de las señales de vibración se aprecia en el diagrama

de flujo de la figura 4.8.

Figura 4.5. Diagrama de flujo para el análisis de señales de propagación de ondas

Cargar la señalen el tiempo en

Matlab

Cálculo de la TWG

Cálculo de la entropía deShannon

¿Se encontró el valordel factor gama queproduce la mínima

entropía?

Cálculo de la TWG convalor de factor gamma que

produce la mayorconcentración de energía

Visualizaciónde resultados

Sí

No

Aplicación de filtro deseñales


49

Figura 4.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia con wavelets

Figura 4.7. Función de respuesta en tiempo-frecuencia.


50

Figura 4.8. Diagrama de flujo para el análisis de señales de vibración en tiempo-frecuencia

Cargar la señalen el tiempo en

Matlab

Aplicación de filtro deseñales

Aplicación de ventanas a lasseñales de excitación y de

respuesta

Evaluación de la razón entrela señal de respuesta y de

excitación

Cálculo de la TWG

Cálculo de la entropía deShannon

¿Se encontró el valor delfactor gama que produce

la mínima entropía?

Cálculo de la TWG con valorde factor gamma que produce

la mayor concentración deenergía

Visualización deresultados

Sí

No

Capítulo V Análisis de Resultados

51

Capítulo V

Análisis de Resultados

En este capítulo, se presentan los resultados obtenidos del análisis de señales de vibración en

estructuras mecánicas. El capítulo se divide en dos partes; la primera consta del análisis de

señales de propagación de ondas en elementos estructurales. La segunda parte del capítulo,

trata el análisis de señales de vibración y se discuten los resultados obtenidos de la función de

respuesta en el dominio conjugado de tiempo-frecuencia, por medio del uso de la transformada

wavelet de Gabor.

5.1. Análisis de señales de propagación de ondas por medio de la Transformada Wavelet

de Gabor

Se utilizaron tres especímenes diferentes para analizar la propagación de ondas flexionantes en

estructuras mecánicas. Los especímenes y sus propiedades mecánicas se describen en el

apéndice III. En cada espécimen, se utilizaron diferentes velocidades de muestreo para la

adquisición de señales. A continuación, se presentan los resultados obtenidos.

5.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular

Para adquirir una señal de propagación de ondas, se obtuvieron 2500 datos a una velocidad de

muestreo de 10X106 muestras por segundo. La carga de impacto en el espécimen fue a la

mitad de la longitud de la viga y la respuesta se obtuvo a 400 mm de distancia del lugar de la

excitación. La figura 5.1 ilustra la configuración del experimento. La señal en el dominio del

tiempo se observa en la figura 5.2a, donde se grafica la amplitud de la respuesta de aceleración

de la estructura en gravedades (g) contra tiempo.


52

Figura 5.1. Configuración del experimento

En la figura 5.2b, se observa la gráfica de entropía de Shannon correspondiente a la señal de la

figura 5.2a, en la cual se grafica la función de costo de entropía contra gamma, que es el factor

de forma de la wavelet de Gabor.

0 1 2

x 10-4

-80

-60

-40

-20

0

20

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

[g]

Señal de propagación de ondas para el espécimen I


3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5678

680

682

684

686

688

690

Gamma

Costo

de

Entr

opía


Fig. 5.2b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.2a.

Como puede observarse en la figura 5.2b, la mínima entropía corresponde al valor de gamma

3.9. Para este valor de gamma, el espectrograma de la señal de la figura 5.2a se observa en la

figura 5.3, que es el espectrograma con la mayor concentración de energía.


53

Figura 5.3. Espectrograma de la señal de la figura 5.2a. ( = 3.9)

En esta figura se grafica la magnitud de la señal de propagación contra frecuencia y tiempo. El

intervalo de amplitud va desde un mínimo en azul hasta un máximo en rojo intenso. La

etiqueta ubica el punto de máxima amplitud de la figura, que corresponde a la velocidad de

propagación de ondas en el espécimen. Como se explicó en el capítulo II, esta es la velocidad

de grupo, que es la velocidad con que viajan un grupo de ondas dentro del material. Las letras

“X, Y y Z” en la figura corresponden al tiempo, frecuencia y amplitud de la señal,

respectivamente.

En la figura 5.4 se observan dos curvas de propagación de ondas calculadas teóricamente. En

azul se observa la curva de propagación para la teoría de vigas de Timoshenko, mientras que

en rojo se observa la curva de propagación para la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Estas

curvas se obtienen por medio de una relación entre las relaciones de dispersión y la distancia

de propagación desde el punto de impacto de la viga hasta el lugar donde se adquiere la

respuesta. La relación de dispersión es la velocidad de propagación de ondas. Sin embargo, si


54

se relaciona la velocidad de grupo y la distancia de adquisición de la respuesta, se obtiene una

gráfica de frecuencia de velocidad de grupo contra tiempo, similar al análisis tiempo-

frecuencia por medio de la transformada wavelet. De ésta manera es posible obtener una

comparación directa entre teoría y práctica.

0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

x 104

Tiempo [mseg]

Fre

cuencia

[Hz]

Tiempo de arribo a 400 mm

Timoshenko

Euler

11670 vs. 0.1908

12600 vs. 0.1825

13530 vs. 0.1708

14000 vs. 0.1583

14000 vs. 0.1492

14470 vs. 0.1258

Figura 5.4. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de

Timoshenko y Euler-Bernoulli.

Los puntos que se observan en la figura 5.4 corresponden a los tiempos de arribo de las ondas

propagantes a diferentes frecuencias, los cuáles se obtuvieron de los puntos de amplitud

máxima del espectrograma que se observa en la figura 5.3. La tabla 5.1 muestra los resultados

de la comparación de estos puntos obtenidos experimentalmente con los correspondientes

puntos obtenidos por las teorías de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.

Se observa en la figura 5.4 que el punto correspondiente a un tiempo de arribo de 0.1492

milisegundos, con una frecuencia de 14000 Hz es el punto de mayor amplitud en el

espectrograma de la figura 5.3, el cual posee el menor porcentaje de error en la tabla 5.1.


55

Tabla 5.1. Comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo

Comparación de tiempos de arribo

Tiempos de arribo[mseg]

Inexactitud[%]

Frecuencia[Hz]

Teoría deTimoshenko

Teoría deEuler-Bernoulli

PrácticaTimoshenko vs.

PrácticaEuler-Bernoulli

vs. Práctica

11670 0.1541 0.1529 0.1908 23.81 24.78

12600 0.1498 0.1471 0.1825 21.82 24.06

13530 0.1461 0.1421 0.1708 16.90 20.19

14000 0.1443 0.1397 0.1583 9.70 13.31

14000 0.1443 0.1397 0.1492 3.39 6.80

14470 0.1426 0.1373 0.1258 11.78 8.37

En la tabla anterior se obtuvieron los porcentajes de error de diferentes puntos en el

espectrograma de la figura 5.3, y se verificó que el punto de máxima amplitud proporciona la

mayor precisión del tiempo de arribo que cualquier otro punto en el espectrograma. Sin

embargo, las amplitudes varían de acuerdo al valor de gamma seleccionado para analizar la

señal con transformada wavelet. Para verificar que el uso de la entropía de Shannon es de vital

importancia para encontrar los tiempos de arribo de ondas propagantes en una estructura con

la mayor precisión, se calcularon los porcentajes de error de diferentes puntos de máxima

amplitud de los espectrogramas de la señal de la figura 5.2a con diferentes valores de gamma.

En la figura 5.5 se observa que el menor porcentaje de error es de 3.39 y corresponde a un

valor de gamma de 3.9 y 4. De esta manera, se valida el uso de la entropía de Shannon para

encontrar de manera óptima los tiempos de arribo de las ondas propagantes en estructuras por

medio de transformada wavelet.

Para el análisis de la propagación de ondas en los siguientes especimenes, se utiliza el punto

de máxima amplitud del espectrograma con el valor óptimo del factor de forma gamma de la

wavelet de Gabor.


56

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.33.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

Gamma

Porc

enta

jede

err

or

Curva de error de la señal de propagación del espécimen I

Figura 5.5. Porcentajes de error de la señal de la figura 5.2a

5.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular

Para adquirir la señal de propagación de ondas flexionantes correspondiente al espécimen II,

se utilizó una velocidad de muestreo de 10X106 muestras por segundo. La excitación se

produjo en el centro de la longitud de la viga y la respuesta se adquirió a 400 mm de distancia

del lugar de la excitación. En la figura 5.6a se observa la señal de propagación en el dominio

del tiempo y en la figura 5.6b se aprecia la curva de entropía de Shannon para esta señal.

En la figura 5.6b se observa que el valor de gamma de 3.9 es el que produce la menor entropía

de la señal en términos tiempo-frecuencia. Por tanto, se procedió a calcular el espectrograma

de la señal 5.6a con el valor de gamma de 3.9, puesto que representa la localización óptima de

la señal en tiempo-frecuencia. Tal espectrograma se observa en la figura 5.7. En la etiqueta de

la figura, se observa que el valor del tiempo de arribo para el grupo de ondas que viajan con

una frecuencia de 13770 Hz es de 0.1525 milisegundos.


57

0 1 2

x 10-4

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

[g]

Señal de propagación de ondas para el espécimen II


3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5655

660

665

670

675

680

685

690

Gamma

Costo

de

Entr

opía



Figura 5.7. Espectrograma de la señal de la figura 5.6a con = 3.9


58

0.146 0.148 0.15 0.152 0.154 0.156 0.158 0.16 0.162 0.164 0.166

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55x 10

4

X: 0.1572

Y: 1.376e+004

Tiempo [mseg]

Fre

cuencia

[Hz]


X: 0.1565

Y: 1.376e+004

Timoshenko

Euler

13770 vs. 0.1525

Figura 5.8. Tiempos de arribo teóricos para las teorías de

vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli

Los tiempos de arribo teóricos de las ondas propagantes calculados por las teorías de vigas de

Timoshenko y de Euler-Bernoulli se observan en la figura 5.8, y son de 0.1565 y 0.1572

milisegundos, respectivamente. Al comparar estos tiempos con el tiempo obtenido por medio

del espectrograma de la figura 5.7, se obtiene una inexactitud de 2.55 % entre teoría de vigas

de Timoshenko y práctica y de 2.98 % entre la teoría de vigas de Euler-Bernoulli y práctica.

Se observa que existe muy buena precisión entre los tiempos de arribo teóricos y el obtenido

experimentalmente con transformada wavelet de Gabor.

5.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada

Esta señal se adquirió a una velocidad de 25X106 muestras por segundo. La carga de impacto

fue a la mitad de la longitud de la viga y la respuesta se obtuvo a 500 mm de distancia del

lugar de la excitación. La señal en el dominio del tiempo se observa en la figura 5.8a, donde se


59

grafica la amplitud de la respuesta de aceleración de la estructura de prueba en gravedades (g)

contra tiempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-5

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Tiempo [seg]

Am

plit

ud

[g]

Señal de propagación de ondas en el espécimen 1


3 3.5 4 4.5 5 5.5 6684

684.5

685

685.5

686

686.5

687

687.5

688

Gamma

Costo

de

Entr

opía



Para ésta señal, la entropía mínima corresponde a un valor de gamma de 3.0. El espectrograma

de la señal de la figura 5.9a con un valor de gamma de 3.0 para la wavelet de Gabor se observa

en la figura 5.10. En la etiqueta de la figura, se observa el tiempo de arribo a 500 mm de

0.1508 milisegundos para una frecuencia de 14000 Hz.

En la figura 5.11, se grafica la frecuencia de las ondas que se propagan en el espécimen contra

el tiempo de arribo de dichas ondas. Asimismo, se grafica el punto de amplitud máxima

obtenido en el espectrograma que se muestra en la figura 5.10.

La comparación de los tiempos de arribo de las ondas entre la teoría de vigas de Timoshenko

y práctica arroja una inexactitud de 4.7 %, mientras que la comparación entre la teoría de vigas

de Euler-Bernoulli y práctica proporciona una inexactitud de 33.64 %. Una vez más, los

resultados son congruentes con respecto a la teoría de vigas de Timoshenko.


60

Figura 5.10. Espectrograma de la señal de la figura 5.9a con = 3.0.

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

x 104

X: 0.09899

Y: 3.453e+004

Tiempo [mseg]

Fre

cuencia

[Hz]


X: 0.07058

Y: 3.453e+004

Timoshenko

Euler

34530 vs. 0.09433

Figura 5.11. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de

Timoshenko y Euler-Bernoulli.


61

5.2. Análisis de señales de vibración mecánica por medio de transformada wavelet de

Gabor

En esta sección se describen los resultados obtenidos a partir del procesamiento de señales de

vibración mecánica por medio de la transformada wavelet de Gabor. Para la adquisición de las

señales de vibración y su posterior análisis, se utilizó el espécimen III y el algoritmo para

obtener la función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia. Las propiedades del

elemento de prueba se describen en el apéndice III.

Para adquirir las señales de vibración, se discretizó el espécimen de prueba en 31 elementos,

con una distancia de 91 mm entre nodo y nodo. Se colocó un acelerómetro en el nodo 25, a

2722 mm de distancia del primer nodo, para encontrar la respuesta de la estructura al impulso.

Se procedió a impactar a la viga con el martillo de impacto en cada nodo, y se obtuvieron 31

señales de vibración, que corresponden a una fila de la matriz de función de respuesta a la

frecuencia de la estructura.

La primera señal corresponde a la señal de vibración de la estructura con la excitación en el

nodo 2 y la respuesta en el nodo 25. La señal es una función de respuesta al impulso y se

observa en la figura 5.12a, en la cual, se grafica inertancia (g/N) contra tiempo.

En la figura 5.12b se grafica la función de costo de entropía contra el valor del factor de forma

gamma de la wavelet de Gabor, con la finalidad de encontrar el valor de gamma que produce

la mínima entropía de la señal en términos tiempo-frecuencia. Se observa que en el intervalo

de valores de gamma de 60 hasta 90, la entropía es aproximadamente de 680. Prácticamente,

la variación de entropía en este intervalo de valores de gamma es mínima, por lo que si se

utiliza cualquier valor dentro de este intervalo se obtiene la mayor concentración de energía de

la señal, lo que se traduce en la localización óptima de la señal en tiempo-frecuencia.


62

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-30

-20

-10

0

10

20

30

Tiempo [seg]

Inert

ancia

[g/N

]


Fig. 5.12a. Respuesta al impulso en el nodo2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90675

680

685

690

695

700

705

710

Gamma

Costo

de

Entr

opía



Figura 5.13. Espectrograma de la señal de la figura 5.12a con = 60

En la figura 5.13 se observa la función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia de la

estructura para la señal de la figura 5.12a, donde se utilizó un valor de 60 para el factor de

forma gamma de la wavelet de Gabor. En la figura, se grafica inertancia contra frecuencia y

tiempo. Los valores de inertancia están normalizados, van desde un mínimo en azul, que


63

corresponde a un valor cero, hasta un máximo en rojo intenso, que corresponde a un valor de

uno. Los picos presentes en la figura representan las frecuencias naturales del espécimen. Las

etiquetas en la figura indican tiempo, frecuencia y amplitud para las letras X, Y y Z,

respectivamente.

Con el propósito de comparación, en la figura 5.14 se presenta el espectro de magnitud de

Fourier de la señal de la figura 5.12a. Los picos de amplitud máxima en la figura representan

las frecuencias naturales flexionantes de la viga en posición libre-libre. Se observa que los

picos de mayor amplitud en la figura 5.14 coinciden aproximadamente con los de la figura

5.13, los cuales identifican las frecuencias de 18, 50, 98, 162, 238, 332, 442 y 566 Hz, que son

las primeras 8 frecuencias naturales flexionantes de la viga, respectivamente.

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

X: 18

Y: 0.4478

X: 162

Y: 7.071

X: 50

Y: 4.013

X: 98

Y: 7.394

X: 238

Y: 2.842

X: 332

Y: 0.6911

X: 442

Y: 1.629

X: 446

Y: 3.329

X: 566

Y: 1.009

Frecuencia [Hz]

Inert

ancia

[g/N

]


X: 572

Y: 2.143


La señal de la figura 5.15a corresponde a la función de respuesta al impulso de la estructura en

el nodo 16, que es el punto medio de la longitud de la viga. En la figura 5.15b se presenta la

curva de entropía de Shannon para la señal de la figura 5.15a.


64

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tiempo [seg]

Inert

ancia

[g/N

]


Fig. 5.15a. Respuesta al impulso en el nodo 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90670

675

680

685

690

695

700

705

710

Gamma

Costo

de

Entr

opía




Se observa que en el intervalo de valores de gamma de 55 a 90 la entropía prácticamente no

varía y, por tanto, cualquier valor dentro de este intervalo representará una buena localización

en tiempo-frecuencia de la señal en cuestión.


65

En la figura 5.16 se observa el espectrograma de la señal de la figura 5.15a con un valor de

gamma de 60. Solamente se observan las frecuencias naturales de los modos simétricos, ya

que el nodo 16 corresponde al centro de la viga y, por consiguiente, solamente se excitan los

modos de vibración cuyas amplitudes no son próximas a cero alrededor del nodo 16. Las

frecuencias naturales que se observan son de 18, 98, 240 y 444 Hz, y corresponden al primero,

tercero, quinto y séptimo modos de vibración de la viga.

En la figura 5.17 se presenta el espectro de magnitud de Fourier correspondiente a la señal de

la figura 5.15a. Se observa el mismo contenido de frecuencias que el espectrograma de la

figura 5.16.

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X: 18

Y: 0.271

X: 442

Y: 6.407

X: 98

Y: 6.426

X: 238

Y: 4.531

X: 446

Y: 11

Frecuencia [Hz]

Inert

ancia

[g/N

]


Figura 5.17. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.14a

En la señal de la figura 5.18a se observa la respuesta al impulso de la viga en el nodo 21. La

figura 5.18b ilustra la función de costo de entropía de la señal en tiempo-frecuencia. El

intervalo de valores gamma donde la entropía es mínima es de 60 a 90.


66

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-60

-40

-20

0

20

40

60

Tiempo [seg]

Inert

ancia

[g/N

]


Fig. 5.18a. Respuesta al impulso en el nodo 21

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90675

680

685

690

695

700

705

710

715

Gamma

Costo

de

Entr

opía




El espectrograma de la figura 5.19 corresponde a la señal de la figura 5.18a. Se utilizó un valor

de gamma de 60. Se aprecia como cambian las amplitudes de las frecuencias naturales al

cambiar la posición de la excitación. Nuevamente, la comparación de las frecuencias naturales


67

obtenidas por medio de la función de respuesta en tiempo-frecuencia que se observa en la

figura 5.19 y la función de respuesta a la frecuencia de la figura 5.20, obtiene buena exactitud.

0 100 200 300 400 500 6000

5

10

15

X: 18

Y: 0.19

X: 332

Y: 0.4242

X: 50

Y: 2.417X: 98

Y: 1.491

X: 162

Y: 4.644 X: 238

Y: 3.939

X: 566

Y: 8.868

X: 442

Y: 4.034

Frecuencia [Hz]

Inert

ancia

[g/N

]



Por tanto, se comprobó que el método de análisis de funciones de respuesta en el dominio

tiempo-frecuencia por medio de transformada wavelet es un método alternativo efectivo para

encontrar la función de respuesta en tiempo-frecuencia de estructuras mecánicas, además de

encontrar la variación temporal de las amplitudes de dichas frecuencias.

5.3. Discusión de resultados

Para las señales de propagación de ondas en estructuras, fue posible determinar los tiempos de

arribo de las ondas dispersivas generadas por impacto mecánico por medio de la transformada

wavelet. Para la verificación de los resultados, se utilizaron las teorías de vigas de Timoshenko

y de Euler- Bernoulli para comparar los valores de los tiempos de arribo que se obtuvieron por

experimentación con los tiempos de arribo teóricos que se obtienen en ambas teorías de vigas.


68

Para el espécimen I, se utilizó el punto de máxima amplitud en el espectrograma de la figura

5.3, para el cual, el tiempo de arribo es de 0.1492 milisegundos, que corresponde a una

frecuencia de 14000 Hz. Este espectrograma corresponde a la señal de propagación analizada

con una wavelet de Gabor con un valor del factor de forma gamma de 3.9, el cual se

seleccionó de acuerdo al criterio de localización de entropía de Shannon. En la tabla 5.1 se

aprecia que el tiempo de arribo para el punto de máxima amplitud es el que produce el menor

porcentaje de inexactitud en comparación con las teorías de vigas de Timoshenko y de Euler-

Bernoulli. Sin embargo, el resultado obtenido experimentalmente se aproxima más al valor

obtenido por la teoría de vigas de Timoshenko.

Para el espécimen II, se encontró un tiempo de arribo de 0.1525 milisegundos, correspondiente

a la frecuencia de 13770 Hz. Al igual que el espécimen I, se utilizó el punto de máxima

amplitud en el espectrograma de la figura 5.7, ya que es el punto que presenta mayor

aproximación de los datos teóricos. Este espectrograma se evaluó con un factor de gamma de

3.9, el cual se seleccionó conforme al criterio de entropía de Shannon. La comparación del

tiempo de arribo obtenido experimentalmente con los tiempos de arribo obtenidos por las

teorías de vigas de Timoshenko y de Euler-Bernoulli proporciona una inexactitud de 2.55 % y

de 2.98 %, respectivamente. Sin embargo, existe mayor aproximación en la teoría de vigas de

Timoshenko.

Para el espécimen III, se utilizó una wavelet de Gabor con un factor de gamma de 3, el cual es

el valor que presenta la mayor concentración de energía para la señal en tiempo-frecuencia de

acuerdo al criterio de entropía de Shannon. Nuevamente, se utilizó el pico de amplitud

máxima en el espectrograma correspondiente a este espécimen para encontrar el tiempo de

arribo obtenido por experimentación, el cual es de 0.09433 milisegundos, correspondiente a

una frecuencia de 34530 Hz. La comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo

proporciona una inexactitud de 4.7% con respecto a la teoría de vigas de Timoshenko y de

33.64 % con respecto a la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Como se esperaba, se obtiene

una buena aproximación con la teoría de vigas de Timoshenko, sin embargo, no existe buena


69

aproximación con la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, debido a que el punto de máxima

amplitud está fuera del intervalo de frecuencia donde se aplica esta teoría de vigas para la

evaluación de propagación de ondas dispersivas.

En general, para evaluar los tiempos de arribo de ondas propagantes producidos por impacto

mecánico en estructuras por medio de transformada wavelet, es primordial encontrar el valor

del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor que proporcione la mayor concentración

de energía de la señal en términos tiempo-frecuencia. Esto proporcionará una identificación

eficiente del punto de amplitud máxima de los tiempos de arribo de las ondas propagantes en

la estructura.

Para las señales de vibración mecánica del espécimen III, se logró determinar una función de

respuesta en el dominio tiempo-frecuencia, lo que proporciona las frecuencias naturales de una

estructura.

En todas las señales de vibración, se detectaron las frecuencias naturales de la estructura a

partir de los picos de máxima amplitud de los diferentes espectrogramas presentados en las

figuras 5.13, 5.15 y 5.19.

Al igual que en las señales de propagación de ondas dispersivas, fue necesario encontrar la

entropía de Shannon de cada señal de vibración para encontrar la distribución tiempo-

frecuencia de los espectrogramas que proporcionan la mayor concentración de energía y por

tanto, una buena localización de las frecuencias naturales del sistema.

En general, se concluye que el método propuesto en esta tesis para encontrar una función de

respuesta en tiempo-frecuencia es efectivo para localizar las frecuencias naturales de una

estructura. Lo interesante de los resultados obtenido de los espectrogramas de las figuras 5.13,

5.16 y 5.19, es que se encontró una variación en el tiempo de las frecuencias naturales de

vibración, lo que no se esperaba al obtener la función de respuesta en tiempo-frecuencia.


70

Sin embargo, las variaciones de amplitud de las frecuencias naturales pueden ser debido a que

la estructura de prueba rebasó un límite lineal de comportamiento, lo que no podría conocerse

simplemente por medio de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.

Capítulo VI Conclusiones y Recomendaciones

71

Capítulo VI

Conclusiones y Recomendaciones

6.1. Conclusiones

En el presente trabajo, se analizó la respuesta que presentan las estructuras mecánicas al

ser sometidas a una carga de impacto por medio de transformada wavelet. La respuesta se

analizó tanto a altas frecuencias como a bajas frecuencias, que corresponden a propagación

de ondas y vibraciones mecánicas en estructuras, respectivamente.

Se determinó que los puntos de máxima amplitud de los espectrogramas obtenidos del

procesamiento de señales de propagación de ondas por medio de transformada wavelet

proporcionan los tiempos de arribo de las ondas propagantes que producen la mayor

aproximación a los datos teóricos.

Para identificar de manera óptima los tiempos de arribo de las ondas propagantes

producidas por impacto mecánico por medio de transformada wavelet, es primordial

encontrar el valor del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor que proporcione la

mayor concentración de la energía de la señal en términos tiempo-frecuencia, de acuerdo

al criterio de entropía de Shannon.

Tanto la teoría de vigas de Timoshenko como la de Euler-Bernoulli proporcionan buenos

resultados en el análisis de señales de propagación de ondas siempre y cuando las

frecuencias de las ondas propagantes estén dentro de un intervalo de hasta 15000 Hz. Sin

embargo, para señales de propagación con contenido de frecuencia mayor a 15000 Hz, se

recomienda usar solamente la teoría de vigas de Timoshenko.


72

El algoritmo que se realizó para evaluar la función de respuesta de una estructura en

tiempo-frecuencia determina con gran precisión las frecuencias naturales de la estructura,

además de encontrar la variación temporal de las amplitudes de cada frecuencia natural.

Al igual que en las señales de propagación de ondas, para analizar señales de vibración por

medio de la transformada wavelet es necesario encontrar la entropía de Shannon de cada

señal de vibración para encontrar la distribución tiempo-frecuencia de los espectrogramas

que proporcionan la mayor concentración de energía y por tanto, una buena localización de

las frecuencias naturales del sistema.

6.2. Recomendaciones y trabajos futuros

1. Utilizar el método de la transformada wavelet para la detección de discontinuidades de

señales de vibración producidas por grietas, sopladuras, porosidades, etc., que tienen

lugar en estructuras mecánicas.

2. Realizar un algoritmo para el desenvolvimiento de la fase de señales de vibración

3. Elaborar un algoritmo para extraer el esqueleto del mapa tiempo-frecuencia de señales

de vibración, puesto que el esqueleto de la transformada wavelet esta ligado a la fase

de una señal.

4. Con los algoritmos anteriores en conjunto con el de transformada wavelet, extraer los

parámetros modales de estructuras mecánicas, como amortiguamiento y formas

modales.

5. Utilizar el algoritmo propuesto en esta tesis para analizar señales de vibración de

estructuras más complejas.


73

6. Extender el análisis de funciones de respuesta en tiempo-frecuencia para elementos

estructurales no-lineales.

Referencias

74

Referencias

[1] Gere, J. M., Timoshenko, S. P., 1998, Mecánica de Materiales, International Thomson

Publishing, México, Cap. 2, pp. 12-132.

[2] Martínez, E., 1999, “Análisis del Impacto de Vigas de Sección Rectangular Sometidas a

Vibración Forzada”, Tesis de Maestría de Ciencias, Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México.

[3] Doyle, J. F., Kamle, S., 1985, “An Experimental Study of the Reflection and Transmission

of Flexural Waves at Discontinuities”, ASME J. Appl. Mech., 52, pp. 669-673.

[4] Schwieger, H., 1965, “A Simple Calculation of the Transverse Impact on Beams and Its

Experimental Verification”, Experimental Mechanics, pp. 378-384.

[5] Doyle, J. F., 1987, “An Experimental Method for Determining the Location and Time of

Initiation of an Unknown Dispersing Pulse”, Experimental Mechanics, pp. 229-233.

[6] Hutchinson, J. R., 2001, “Shear Coefficients for Timoshenko Beam Theory”, ASME J.

Appl. Mech., 68, pp. 87-92.

[7] Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., Nawab, S. H., 1998, Señales y Sistemas, Pearson

Educación, México, Cap. 3.

[8] Cooley, J. W., Tukey, J. W., 1965, “An Algorithm for the Machine Calculation of

Complex Fourier Series”, Mathematics of Computation, 19(90), pp. 297-301.

[9] Matlab7(R), Wavelet Toolbox, The MahWorks Inc.

Referencias

75

[10] Faundez, P., Fuentes, A., “Procesamiento Digital de Señales Acústicas Utilizando

Wavelets”, Instituto de Matemáticas UACH.

[11] Addison, P. S., 2002, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics

Publishing, London, UK. Cap. 2.

[12] Mallat, S., 1989, “A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet

Representation”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2(7), pp.

674-693.

[13] Daubechies, I., 1990, “The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal

Analysis”, IEEE Trans. Inf. Theory, 36(5), pp. 961-1005.

[14] Mallat, S., Hwang, W. L., 1992, “Singularity Detection and Processing with Wavelets”,

IEEE Trans. Inf. Theory, 38(2), pp. 617-643.

[15] Rioul, O., Vetterli, M., 1991, “Wavelets and Signal Procesing”, IEEE Signal Processing

Magazine, pp. 14-38.

[16] Hlawatsch, F., Boudreaux-Bartels, G. F., 1992, “Linear and Quadratic Time-Frequency

Signal Representations”, IEEE Signal Processing Magazine, pp. 21-66.

[17] Kishimoto, K., Inoue, H., Hamada, M., Toshikazu, S., 1995, “Time Frequency Analysis

of Dispersive Waves by Means of Wavelet Transform”, ASME J. Appl. Mech., 62, pp. 841-

846.

[18] Inoue, H., Kishimoto, K., Shinuya, T., 1996, “Experimental Wavelet Analysis of Flexural

Waves in Beams”, Experimental Mechanics, 36(3), pp. 212-217.

Referencias

76

[19] Baltazar-Lopez, M., 2003, “Applications of TAP-NDE Technique to Non-Contact

Ultrasonic Inspection in Tubulars”, Ph. D. Thesis, Texas A&M University, College Station,

Texas.

[20] Hong, J. C., Kim, Y. Y., 2004, “Determination of the Optimal Gabor Wavelet Shape for

the Best Time-Frequency Localization Using the Entropy Concept”, Experimental Mechanics,

44(10), pp. 1-9.

[21] Ruzzene, M., Fasana, A., Garibaldi, L., Piombo, B., 1997, “Natural Frequencies and

Dampings Identification Using Wavelet Transform: Application to Real Data”, Mechanical

Systems and Signal Processing, 11(2), pp. 207-218.

[22] Tang, S., 2000, “On the Time-Frequency Analysis of Signals That Decay Exponentially

With Time”, Journal of Sound and Vibration, 234(2), pp. 241-258.

[23] Slavic, J., Simonovski, I., Boltezar, M., 2003, “Damping Identification Using a

Continuous Wavelet Transform: Application to Real Data”, Journal of Sound and Vibration,

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[24] Argoul, P., Le, T., 2003, “Instantaneous Indicators of Structural Behaviour Based on the

Continuous Cauchy Wavelet Analysis”, Mechanical Systems and Signal Processing, 17(1), pp.

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[25] Le, T., Argoul, P., 2004, “Continuous Wavelet Transform for Modal Identification Using

Free Decay Response”, Journal of Sound and Vibration, 277, pp. 73-100.

[26] Sone, A., Hata, H., Masuda, A., 2004, “Identification of Structural Parameters Using the

Wavelet Transform of Acceleration Measurements”, Transactions of the ASME Journal of

Pressure Vessel Technology, 126, pp. 128-133.

Referencias

77

[27] Doyle, J. F., 1997, Wave Propagation in Structures, Springer-Verlag,New York, USA.

[28] Arzola, J. M., 2007, “Análisis de Vibraciones en Chumaceras Mecánicas Mediante

Transformada Wavelet”, Tesis de Maestría, Centro Nacional de Investigación y Desarrollo

Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México.

Apéndice I Teoría de vigas Euler-Bernoulli

78

Apéndice I

Teoría de vigas Euler-Bernoulli

Se considera una viga larga y delgada con las cargas aplicadas como se muestra en la figura

2.1. El modelo Euler-Bernoulli considera que la deflexión en la línea de centros ( , )x t es

pequeña y solamente transversal. Mientras esta teoría asume la presencia de una carga

transversal, se desprecia cualquier deformación cortante a causa de la misma [1].

Si se expanden los desplazamientos en una serie de Taylor alrededor de desplazamientos del

plano medio ,0u x y ( ,0)x se obtiene:

0

, ,0 ... ( ) ( ) ...y

uu x y u x y u x y x

y

(Ec. A1.1)

0

( , ) ,0 ... ( ) ( ) ...y

x y x y x y xy

(Ec. A1.2)

Figura A1.1. Viga delgada y distribución de cargas


79

Donde la notación es:

( ) ,0 , ( ) ,0u x u x x x (Ec. A1.3)

0 0

( ) , ( )y y

ux x

y y

(Ec. A1.4)

Puesto que interesan las deformaciones flexionantes, se hace ,0 0u x . Esta teoría de vigas

supone que la deflexión vertical es aproximadamente constante a través del espesor, mientras

los desplazamientos horizontales siguen la suposición de “las secciones planas permanecen

planas” [3]. Por consiguiente, se retiene solamente un término en cada expansión y por tanto

se obtienen los desplazamientos aproximados como:

, ( )u x y y x (Ec. A1.5)

, ( )x y x (Ec. A1.6)

Las deformaciones unitarias axiales y cortantes correspondientes a estas deformaciones son:

xx

uy

x x

(Ec. A1.7)

xy

u

y x x

(Ec. A1.8)

Para una viga muy delgada, se hace la suposición de que no hay deformación cortante, a pesar

de que la fuerza cortante está presente. Por consiguiente, se obtiene:


80

x

(Ec. A1.9)

Y la única deformación es:

2

2xx yx

(Ec. A1.10)

Para una viga de este tipo que experimenta deformación flexionante, se espera que el esfuerzo

dominante sea xx . De aquí, se supone que la viga se encuentra en estado uni-axial:

2

2xx yE yEx x

(Ec. A1.11)

El momento resultante se obtiene integrando la relación anterior como:

2

2xxM ydA EIx

(Ec. A1.12)

Donde I es el segundo momento de área y la combinación EI se llama rigidez a flexión. Se

consideran dos tipos de carga distribuida: ,q x t es la carga transversal, mientras q es el

torque distribuido. Las ecuaciones de movimiento en la dirección y y alrededor del eje z son:

2

2

VA A q

x t t

(Ec. A1.13)

MV q

x

(Ec. A1.14)

Se desprecia cualquier inercia de rotación. Sustituyendo para el momento obtenemos:


81

2 2 2

2 2 2,

qEI A A q x t q

x x t t x

(Ec. A1.15)

4 2

4 2,EI A A q x t

x t t

(Ec. A1.16)

Apéndice II Teoría de vigas de Timoshenko

82

Apéndice II

Teoría de vigas de Timoshenko

Considere una viga rectangular de longitud L, espesor h, y ancho b. Si b es pequeño, entonces

se puede considerar a la viga en condición de esfuerzo plano [1].

Los desplazamientos se expanden en una serie de Taylor alrededor de los desplazamientos del

plano medio ,0u x y ( ,0)x como:

0

, ,0 ... ( ) ( ) ...y

uu x y u x y u x y x

y

(Ec. A2.1)

0

( , ) ,0 ... ( ) ( ) ...y

x y x y x y xy

(Ec. A2.2)

Figura A2.1. Viga de Timoshenko con cargas en los extremos

Donde la notación es:

( ) ,0 , ( ) ,0u x u x x x (Ec. A2.3)


83

0 0

( ) , ( )y y

ux x

y y

(Ec. A2.4)

El interés es sobre las deformaciones flexionantes, por tanto, ,0u x = 0. Se hace la

consideración de que la deflexión vertical es aproximadamente constante mientras la

horizontal es aproximadamente lineal. Por tanto, se retiene solamente un término en cada

expansión y los desplazamientos son:

, ( )u x y y x ; , ( )x y x (Ec. A2.5)

Es decir, la deformación está gobernada por dos funciones independientes, ( )x y ( )x , que

dependen solamente de la posición a lo largo de la línea de centros de la viga. Las

deformaciones axiales y cortantes correspondientes a los desplazamientos anteriores son:

xx

uy

x x

; 0yyy

; xy

u

y x x

(Ec. A2.6)

Para una viga delgada sometida a deformación por flexión, se esperaría que yy xx . De

este modo, se hace 0yy . Por tanto, los esfuerzos son:

xx yEx

; xy G

x

(Ec. A2.7)

Sustituyendo los esfuerzos en la densidad de energía de deformación, tenemos:

2 21 1 1 1

2 2 2 2xx xx xy xy xx xyU d E G d

(Ec. A2.8)

Y sustituyendo la deformación para obtener la energía total de deformación, queda:


84

2 2/ 22

0 / 2

1

2

L h

h

U Ey G bdydxx x

(Ec. A2.9)

2 2

0

1

2

L

U EI GA dxx x

(Ec. A2.10)

La energía cinética total es:

22 2 2 2

0

2 2

0

1 1( , ) ,

2 2

1

2

L

A

L

T u x t x t d y dAdx

T A I dx

(Ec. A2.11)

Si las fuerzas de superficie y las cargas sobre la viga son como se muestra en la figura 2.4,

entonces la energía potencial de las cargas es:

0 0 0 0

0

( )L

L L L LV q x dx M M V V (Ec. A2.12)

0 00

( )L

L LV q x dx M V (Ec. A2.13)

Y usando el principio de Hamilton para la viga, obtenemos:

2

1

2 2

2 2

0 00

1 10

2 2

t LL L

t

A I EI GA q dx M V dtx x

(Ec. A2.14)

Tomando la variación dentro de las integrales y usando integración por partes, obtenemos:


85

2

1

2

0 00 0

0t L L

L L

t

GA EI I dx GA A q dx EI M GA V dtx x x x x x

(Ec. A2.15)

El hecho de que las variaciones y pueden variarse separada y arbitrariamente, y que los

desplazamientos sobre las integrales también son arbitrarios, se concluye que los términos de

los corchetes que:

2

2

GA A qx x

EI GA Ix x

(Ec. A2.16)

Las condiciones de frontera se obtienen de los términos restantes y se especifican en términos

de cualquier par de condiciones seleccionadas de los siguientes grupos:

ó V GAx

; ó M EIx

(Ec. A2.17)

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones de movimiento de Timoshenko para una viga. Se

aprecia que en ésta teoría, se considera el efecto de la deformación cortante, así como el efecto

de la inercia rotacional.

Sin embargo, en esta teoría se introduce un coeficiente de carga cortante, por la suposición de

que la carga transversal no es constante y, por tanto, varía conforme varía la sección

transversal de un elemento de carga. Por consiguiente, las ecuaciones de Timoshenko para la

viga quedan en la forma de la ec. A2.18, donde el parámetro 1K es el coeficiente de cortante y

2K es un parámetro que afecta a la inercia de rotación.


86

1

2

1 22

GAK A qx x

EI GAK IKx x

(Ec. A2.18)

Apéndice III Banco Experimental

87

Apéndice III

Banco Experimental

A3.1. Especímenes de prueba.

Los especímenes de prueba son barras de acero al carbono ASTM A-36 y AISI 1018. Las

configuraciones son:

A3.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada

Fig. A3.1. Espécimen de prueba I

Propiedades:

A = 1.024 X 10-3 m2

I = 2.184533 X 10-8 m4

G = 79.3 GPa

E = 200 GPa

7850 Kg/m3


88

A3.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular

Fig. A3.2. Espécimen de prueba II

Propiedades:

A = 6.4516 X 10-4 m2

I = 8.67148 X 10-9 m4

G = 80 GPa

E = 205 GPa

7870 Kg/m3

A3.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular

Fig. A3.3. Espécimen de prueba III

Propiedades:

A = 6.4516 X 10-4 m2

I = 3.468595 X 10-8 m4


89

G = 79.3 GPa

E = 200 GPa

7850 Kg/m3

A3.2. Martillo de impacto.

El martillo es de la marca Kistler del tipo 9724A2000. Tiene un intervalo de fuerza de 2000

N, intervalo de frecuencias de 6600 Hz, frecuencia de resonancia de 27 kHz y una sensibilidad

nominal de 2 mV/N. El martillo cuenta con varias puntas, que se seleccionan de acuerdo al

intervalo de frecuencias que se desea excitar.

Fig. A3.4. Martillo de impacto con diferentes puntas

A3.3. Sensor de respuesta del sistema

Para sensar la respuesta del sistema, se utilizó un acelerómetro marca Kistler 8628 B50, con

un intervalo de medición de 50g’s, una sensibilidad transversal de 103.1 mV/g, frecuencia de

resonancia de 22 kHz, y un intervalo de respuesta a la frecuencia de 0.5 Hz hasta 5 kHz.


90

Fig. A3.5. Acelerómetro

A3.4. Sistema de adquisición de datos

Se utilizó un osciloscopio digital marca Tektronix TDS 2004 de cuatro canales. Tiene un

ancho de banda de 60 MHz y una velocidad de muestreo máxima de 1x109 muestras por

segundo.

Fig. A3.6. Osciloscopio digital

A3.5. Amplificador de señales.

Se utilizaron dos amplificadores de señales de 6 a 28 V de corriente directa de marca Kistler

tipo 5118A1, los cuales se instrumentaron entre el martillo de impacto y el osciloscopio, y

entre el acelerómetro y el osciloscopio.


91

Fig. A3.7. Amplificadores de señales

A3.6. Cables

Se utilizaron cables de bajo ruido para conectar los sensores de excitación y de respuesta a los

amplificadores de señales, y de ahí al osciloscopio. El cable de conexión del acelerómetro al

amplificador de señal tiene una punta con conexión roscada 10-32 positiva y la otra punta

tiene terminación tipo BNC positiva. Los demás cables son de bajo ruido con terminaciones

BNC-BNC.

Figura A3.8. Cables de bajo ruido

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TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS · Marco Teórico 12 2.1. Propagación de ondas 14 2.1.1. Velocidad de grupo 14 2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli