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TEOREMA DE THALES

Esta importantísima propiedad se atribuye a Thales de Mileto, filósofo y matemático griego

que descolló en el siglo IV A. C.

Se cuenta ( ¿a quien lo habrá contado? ) que Thales dejó “boquiabierta” a los egipcios

cuando logró calcular la altura de una de sus pirámides. Para ello, a cierta hora, midió la

longitud de la sombra proyectada por la pirámide y la longitud de la sombra proyectada por

un bastón de su propiedad cuya altura conocía.

Veremos luego que lo que hizo no es otra cosa que una aplicación de la propiedad que hoy

conocemos como Teorema de Thales.

Intentaremos una demostración de este teorema, aunque es conveniente aclarar que una

demostración rigurosa de esta propiedad escapa a los alcances de este curso.

Consideremos tres rectas paralelas a, b y c y dos rectas secantes s y l, tales que:

s a = , s b = , s c = , y que :

l a = , l b = , l c =

Queda definida entonces una proyección paralela de s sobre l según la dirección de las tres

rectas paralelas a ,b y c que como ya sabemos es una función biyectiva.

Esta proyección es para los segmentos de s, la siguiente:

Proy l,a ( ) = , y Proy l,a ( ) =

También conserva el orden, pues si consideramos un punto M , no coincidente ni

con A ni con B y su correspondiente M´ mediante la proyección paralela de dirección a,

resulta que M´ , y no coincidirá con A´ ni con B´. De lo contrario la recta que

a

b

c

s l

A

B

A´

C

M´

C´

M

B´

Sabemos que la proyección paralela

conserva la congruencia de acuerdo

a lo visto en una propiedad anterior

proyecta a M sobre l “cortaría” a a o a b, lo que es un absurdo ya que es una proyección

paralela de dirección a y b es paralela a a . Luego la proyección del segmento

es : Proy l,a ( ) =

Por otra parte si M y y por ser M´ es

, desigualdades que quedan corroboradas observando la figura.

La correspondencia del orden la podemos escribir así :

Proy l,a ( ) < Proy l,a ( )

O lo que es lo mismo : si < <

Pero si < ; existe un número real no nulo tal que al multiplicar a por da

por resultado . Simbólicamente :

Por ejemplo:

Si en la recta numérica la medida de es equivalente a la longitud del segmento que

va de 0 a y no coincide con la posición de 1, es :

Como es proyección paralela se conserva la congruencia:

Proy l,a ( ) = Proy l,a ( ) con

ó : con

Y por propiedad uniforme de la división en

A M BSi M punto medio de , es

Si M es un punto de tal que la longitud de sea la tercera parte de la longitud de , es : A M B

A M B

0 1 22

De la misma forma, si es mayor, igual o menor que :

y como la proyección paralela conserva la congruencia :

Proy l,a ( ) = Proy l,a ( ) con

ó : con

y aplicando la propiedad uniforme de la división en

Si observamos la igualdades 1 y 2, “vemos” que por propiedad transitiva de la relación de

igualdad resulta :

, y si permutamos medios en la proporción obtenida : , que es la

propiedad conocida cono Teorema de Thales y que podemos enunciar así :

y que para la figura de la demostración anterior se puede simbolizar así:

Esta propiedad se puede generalizar para más de dos segmentos incluidos en s y sus

correspondientes proyecciones paralelas sobre l.

Por ejemplo, en la figura siguiente la propiedad se puede simbolizar así:

; simplificando : 1

; simplificando : 2

Las medidas de dos segmentos cualesquiera de una recta s son proporcionales a las

medidas de los correspondientes proyecciones paralelas sobre otra recta l .

Propiedad recíproca del teorema de Thales

Si tres rectas son intersectadas por dos transversales a ellas y las medidas de los segmentos

que esas rectas determinan sobre una transversal resultan proporcionales a las

correspondientes medidas de los segmentos que quedan determinados sobre la otra

transversal, entonces las rectas son paralelas.

Simbólicamente:

Corolarios del teorema de Thales:

Se conocen con ese nombre a consecuencias del Teorema de Thales aplicados a un

triángulo.

a

c

d

s lA

C

P

D

Q

S

B

R

ba // b // c // d , s y l secantes

o o ; etc.

a

b

c

t1 t2A

B

M

C P

N

Si t1 y t2 son transversales a a, b y c y ,

entonces a // b // c .

Notará que en las figuras anteriores una recta r, paralela a uno de los lados del triángulo

, intersecta a las rectas que incluyen a los otros dos lados en sendos puntos M y N .

Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta, para la primera figura:

, pues los lados y del triángulo hacen de secantes y el lado ,

junto a la recta r, de rectas proyectantes de la proyección paralela.

Aplicando a la proporción obtenida la propiedad 1 de las proporciones :

pero y , luego :

B

A

B

C

N Mr

NM

A C

r

A

M

B

N

C

r

r //

r //

r //

BC

BN

AB

BM

BN

BC

BM

BA o

Una proporción similar se obtiene si aplicamos Thales a los casos de la 2º y 3º figura.

Podemos entonces enunciar la siguiente propiedad, que como hemos dicho se conoce como

Corolarios del Teorema de Thales.

Construyamos aplicando el Teorema de Thales

A partir de las propiedades de la proyección paralela y del Teorema de Thales es posible

justificar construcciones que permiten calcular segmentos proporcionales a otros dados.

División de un segmento en n partes congruentes ( n )

Sea por ejemplo dividir a en cuatro segmentos de igual longitud entre sí.

Desde uno cualquiera de los extremos de por ejemplo P, se traza una semirrecta que

no esté contenida en la recta que contiene a ( en nuestro caso ) .

Sobre y a partir de P se transportan cuatro segmentos congruentes y consecutivos de

cualquier longitud.

En la figura nosotros hemos considerado los segmentos:

Uniendo D con Q y trazando paralelas a por A, B y C, se obtienen sobre los puntos

A´, B´ y C´ respectivamente, con lo que resulta que:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre las rectas que contienen a los

otros dos lados, segmentos tales que sus medidas resultan proporcionales a las medidas

de esos lados.

B

C

D

A

QP A´ B´ C´

S

Y por la propiedad de las proyecciones paralelas, según la cual a segmentos congruentes le

corresponden medidas iguales de sus proyecciones paralelas, es :

En otras palabras el segmento queda dividido en cuatro partes congruentes.

Determinación de un segmento cuarto proporcional a otros tres dados

Supongamos que se trata de construir un segmento que junto a los segmentos , y

dados, forman la siguiente proporción :

Para ello trazamos dos semirrectas del mismo origen que no estén incluidas en la misma

recta, por ejemplo y .

Sobre una de ellas, en nuestro caso , transportamos las medidas de los segmentos y

consecutivamente a partir del origen P, con lo que quedan determinados tales

que :

BA

E F

DC

RS

P M N

T

Q

x

Sobre la otra semirrecta transportamos la medida de , haciendo coincidir uno de los

extremos con el origen de la semirrecta , con lo cual resulta cuya medida es igual a

la de .

Uniendo M con T y trazando una paralela por N se obtiene el punto S. El segmento

es el x buscado pues por Teorema de Thales :

Reemplazando resulta :

División de un segmento en forma proporcional a una razón dada

Se trata de dividir a un segmento en segmentos proporcionales a dos números

naturales, por ejemplo 2 y 3.

Es decir que debemos dividir a en dos segmentos e , para los cuales se cumpla que:

a) y b)

Para esta construcción trazamos desde uno de los extremos de una semirrecta oblicua a

él, por ejemplo .

Sobre y a partir de a consideramos 5 segmentos consecutivos y congruentes

( 5 porque 2 + 3 = 5 ). La longitud de esos segmentos congruentes es arbitraria.

Si al extremo del quinto segmento lo designamos Q y al extremo del segundo P, los

segmentos y son respectivamente los buscados, donde M es el punto de

intersección entre y la paralela a por P.

P

Q

BA

S

M

y

Por Teorema de Thales : y como

Por construcción : .

Ahora las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo tienen la propiedad de intersectar a

los lados opuestos, dividiendo a estos en dos segmentos cuyas medidas son proporcionales

a las medidas de los otros dos lados. Propiedad que podemos simbolizar así para la

bisectriz del ángulo interior

Y que podemos enunciar así

Nota: Esta propiedad la enunciamos sin demostración, en caso que su inquietud le lleve a

investigar sobre este tema consultar con el profesor de su curso.

De igual forma sin efectuar la demostración, podemos enunciar la propiedad

correspondiente a la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo.

“SI la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo corta a la recta que contiene al lado

opuesto, el punto de intersección forma con los extremos de éste, segmentos proporcionales

a los otros dos lados”.

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Toda bisectriz de un ángulo interior de un triángulo determina sobre el lado apuesto

al ángulo segmentos cuyas medidas son proporcionales a las medidas de los otros

dos lados

B

A C

PBc

BC

AC

PB

AP