temas especiales en analisis matricial

12.112nd

12.1 GENERALIDADES.

En el captulo anterior se vieron los principios generales del anlisis matricial de estructuras, en especial el mtodo de la rigidez, y su programacin. En estructuras pequeas no suelen presentarse dificultades para su solucin; en las grandes, en cambio, es frecuente que surjan complicaciones por el tamao del problema. ste puede requerir ms memoria de la disponible y algoritmos ms eficientes, que disminuyan el costo del anlisis J' garanticen adecuada precisin en las respuestas.

En este captulo se presentan algunas de las tcnicas empleadas para obviar dichas dificultades. Tambin se indica cmo tratar el caso particular de apoyos con sistema propio de coordenadas y la manera de ajustar los resultados de un primer anlisis para tener en cuenta las variaciones en propiedades estructurales que se hayan hecho con base en l. Luego se explican las matrices de transferencia que resultan ms eficientes que las de rigidez o de flexibilidad cuando hay que considerar efectos dinmicos o no lineales, como en el caso de los arcos y de las estructuras constituidas por cables. Por ltimo se presentan algunas simplificaciones para estructuras con miembros ortogonales, el tratamiento de vigas con seccin transversal variable G y una breve descripcin de algunos programas comerciales de uso comn en Amrica Latina.El lector interesado podr encontrar mayor informacin sobre estos temas en Weaver y Gere (referencia 12.1), en McGuire y Gallagher (referencia 12.2), y en Garca (referencia 12.3).

12.2 CONDENSACIN

Una de las tcnicas, de aplicacin general, utilizadas es la de condensacin matricial, que consiste en reducir el tamao de un sistema de ecuaciones mediante la eliminacin de ciertos grados de libertad. Las ecuaciones condensadas se expresan en funcin de los grados de libertad preseleccionados [] que, junto con los eliminados [], conforman el conjunto original de grados de libertad:

Partiendo de la ecuacin bsica del mtodo de la matriz de rigidez:

O en forma expandida:

Se busca llegar a una ecuacin de la forma:

Para ello basta con expandir la parte inferior de la ecuacin (12.3) y despejar en ella :

Substituyendo este valor en la expresin de la parte superior de dicha ecuacin y factorizando:

Que se puede escribir as:

Comparando esta ecuacin con la (12.4) se concluye que:

Y

Con esta formulacin se pueden encontrar los desplazamientos desconocidos en dos etapas. Primero se hallan los condensados, despejndolos de la ecuacin (12.4)

PERCY-OHD38

Y luego los eliminamos mediante la ecuacin (12.5) o su equivalente

Naturalmente, esta solucin en dos etapas requiere un mayor nmero de operaciones aritmticas que la solucin directa de la ecuacin (12.2). Sin embargo, las matrices por invertir, Y , son de menor tarifario que la matriz de la solucin directa, lo cual puede ser provechoso al trabajar con problemas de gran tamao, tanto desde el punto de vista de precisin como de limitaciones de memoria de la computadora.Vale la pena sealar que los desplazamientos eliminados en el proceso anterior lo son slo en el sentido de reemplazo o substitucin y no deben confundirse con los grados de libertad considerados despreciables en las simplificaciones que se vern ms adelante.Un caso especial de aplicacin de la tcnica de condensacin se presenta cuando hay varias fuerzas del vector que son cero. En tales circunstancias, con un reordenamiento adecuado, puede hacerse que los grados de libertad asociados con ellas sean los eliminados en el proceso de condensacin. Por consiguiente:

Y las ecuaciones (12.5), (12.9) y (12. 10) se reducen a:

La aplicacin de estas ecuaciones se explicara ms adelante en el anlisis de un prtico sometido a cargas ssmicas

12.3 GRADOS DE LIBERTAD CONSIDERADOS DESPRECIABLES

Una de las prcticas ms utilizadas en los mtodos tradicionales de anlisis es la despreciar deformaciones que en opinin del analista influyen poco en el resultado.Ejemplo de ellas son las deformaciones por corte y las debidas a fuerzas axiales.Las primeras tampoco se tuvieron en cuenta al definir las matrices de rigidez del captulo 11. Las segundas, en cambio, constituyeron parte fundamental en la solucin de armaduras y se consideraron tambin en la de prticos. Tanto en un plano como en el espacio.

El hecho de despreciar las deformaciones axiales en prticos de tamao moderado no conduce generalmente a errores apreciables, pero si disminuye notablemente el tamao de las matrices involucradas en la solucin.En primera instancia parecera que eliminar las columnas correspondientes a los grados de libertad que resultan de dichas deformaciones sera suficiente, pero corno se debe conservar la naturaleza cuadrada de la submatriz es necesario eliminar tambin las respectivas filas de dicha matriz o sea las correspondientes a las fuerzas asociadas con dichos desplazamientos.Una vez hecho esto, el proceso contina como antes para evaluar los desplazamientos que s son significativos. La diferencia radica en que ahora las fuerzas asociadas con los grados de libertad despreciados tendrn que calcularse mediante la aplicacin de las condiciones de equilibrio, pues al ignorarlos ser imposible aplicar los respectivos trminos de la matriz de rigidez.

12.4 ECUACIONES DE RELACIN ENTRE DESPLAZAMIENTOS

12.4.1 Generalidades

Hay ocasiones en que las condiciones de la estructura permiten establecer relaciones lineales entre algunos grados de libertad; tal es el caso, por ejemplo, de estructuras cuya deformacin sigue un patrn simtrico o antisimtrico. Lo mismo puede ocurrir como resultado de despreciar algunas deformaciones, segn se vio en el artculo anterior; considerar los miembros infinitamente rgidos axialmente o las losas de piso como un diafragma rgido en su plano permite deducir ecuaciones de relacin entre algunos de los grados de libertad asociados con ellos.El tratamiento de esta situacin es similar al de condensacin, como se ver en seguida.En efecto, si una estructura con n grados de libertad tiene p ecuaciones de relacin entre ellos:

..

O en forma matricial

Los grados de libertad se pueden dividir en k independientes y p dependientes con .La ecuacin (12.15) se puede escribir as:

Que expandida resulta en:

Y despejando los desplazamientos dependientes:

Definiendo ahora:

En donde representa la matriz identidad, se puede escribir

Ahora bien, por la ecuacin bsica del mtodo matricial de los desplazamientos:

Se quiere llegar a una expresin de la forma

En donde representa las fuerzas asociadas con los grados de libertad independientes.Por la ley de Betti y la ecuacin (12.20) se puede probar que (referencia 12.3):

Y al reemplazar la ecuacin (12.21) en la (12.23):

Equivalente por la ecuacin (12.20) a:

Finalmente, si se comparan las ecuaciones (12.22) y (12.24) se concluye que:

Reemplazando esta expresin en la ecuacin (12.24), se pueden despejar los desplazamientos independientes:

Y luego, aplicando la ecuacin (12.18), se calculan los grados de libertad dependientes.En resumen, para resolver un problema por este mtodo se empieza por definir la matriz y hacer la funcin correspondiente a los desplazamientos independientes y a los dependientes , de acuerdo con la ecuacin (12. 16). Luego se calculan las matrices con las ecuaciones (12.18) y (12.19). Conocidas estas se calcula con la ecuacin (12.26) y los grados de libertad independientes con la (12.27). Finalmente, para calcular los dependientes se utiliza la ecuacin (12. 18).Se puede observar que lo mismo que en el proceso de condensacin, aunque el mtodo involucra un mayor nmero de operaciones, la nica matriz por invertir, se ha reducido al orden k x k.

12.4.2 Simplificaciones por simetra y antisimetria.

Las ecuaciones de relacin resultan muy sencillas en el caso de estructuras si mtricas sometidas a cargas simtricas o antisimtricas y el mtodo se simplifica muchsimo en dichos casos. En efecto, si se toma un prtico ortogonal, por ejemplo el de la Figura 12. 1, y la deformada es simtrica (a):

En donde el subndice si representa un punto simtrico al i.Para el caso de deformada antisimtrica (b), en cambio:

En donde adicionalmente se han despreciado las deformaciones axiales en las vigas.

Figura 12.1 Casos especiales de deformacin de un prtico:a) simtrica; b) antisimtrica.

Siendo tan sencillas las relaciones entre los desplazamientos dadas por las ecuaciones (12.28) y (12.29). S que no es necesario en estos casos seguir todo el proceso descrito en el artculo 12.4.1. Basta ahora con sumar o restar las correspondientes columnas y filas de los desplazamientos de puntos simtricos que constituyen los grados de libertad dependientes. Segn que dichos desplazamientos tengan igual signo o signo contrario, respectivamente.

Ejemplo 12.1Resuelva el prtico mostrado aprovechando las condiciones de simetra

Solucin

Se adoptan la siguiente numeracin de los nudos y la orientacin de los miembros:

Las propiedades bsicas de los miembros son:

Viga

Columnas

Cuadro de resumen:

ELEMENTO2EI/L4EI/L6EI/12EI/AE/L

Viga96001920048001600360000

Columnas8100162008100540054000

Reacciones de empotramiento:

Planteando las ecuaciones (11.52) y (11.54) para vigas y columnas, se obtiene:

Eliminando las columnas correspondientes a desplazamientos nulos y ensamblando obtienen las ecuaciones de la pgina siguiente, cuya solucin se har tanto con el artificio indicado en el artculo l 2.4.2 como con las ecuaciones generales del artculo 12.4.1.

a) solucin utilizando solo las ecuaciones bsicas

Como las ecuaciones de relacin por simetra son:

En la ecuacin intermedia de la pgina 603 se restan la cuarta columna de la primera y sexta de la tercera, y se suma la quinta a la segunda. Adems el ltimo vector se pasa lado izquierdo de la ecuacin. Al hacerlo, resulta la ecuacin de la parte inferior de pgina siguiente.

Las mismas operaciones se hacen ahora con las filas de la parte superior:

Resolviendo la parte superior:

Y empleando estos valores para calcular las reacciones con la submatriz inferior:

Con las matrices individuales modificas se pueden calcular las fuerzas externas.

En la viga:

Y en las columnas

Todos los resultados concuerdan exactamente con los obtenidos sin emplear la simplificacin.

b) Solucin con las ecuaciones generales del numeral 12.4.1

Las ecuaciones de relacin por simetra de la pgina 602 se pueden escribir matricialmente as:

Comparando con la ecuacin (12.16):

En donde:

Se deduce que:

Segn la ecuacin (12.18):

Y aplicando la ecuacin (12.19):

Segn la ecuacin (12.26):

En este caso:

La parte superior de la ecuacin intermedia de la pgina 603 define la matriz :

Y efectuando el triple producto para hallar

Por la ecuacin (12.23)

Y por la ecuacin (12.27):

Reemplazando estos valores en la ecuacin (12.18)

Que coinciden con los desplazamientos obtenidos antes:

Ejemplo 12.2

Resuelva el mismo prtico anterior pero sometido ahora a las cargas mostradas y utilizando las ecuaciones de relacin entre desplazamientos.

Solucin

Por ser simtrica la estructura las cargas dadas conducen ahora a una condicin de antisimetria. En consecuencia si se conserva la misma numeracin del ejemplo anterior, las ecuaciones de relacin son:

a) Utilizando el artificio del numeral 12.4.2

Para aplicar estas condiciones a la ecuacin general, se suman la cuarta columna a la primera y la sexta a la tercera, y se resta la quinta de la segunda.Teniendo en cuenta que ahora no hay fuerzas de empotramiento pero si fuerzas nodales, resulta:

Y resolviendo la porcin superior:

Evaluando las reacciones

Verificacin del equilibrio:

Con estos valores se podran averiguar todas las fuerzas internas en los miembros, sin necesidad de aplicar las ecuaciones individuales. Al utilizarlas resulta:

Con las ecuaciones generales del numeral 12.4.1

La relacin entre desplazamientos se puede expresar matricialmente as:

Comparando con la ecuacin (12.16), se concluye que:

Segn la ecuacin (12.18):

Por la ecuacin (12.19):

La matriz es la misma de la pgina 606; por tanto, con dicho valor y las dos matrices anteriores:

Por la ecuacin (12.23):

Y por la ecuacin (12.27):

Aplicando ahora la ecuacin (12.18):

Como era de esperarse, todos los desplazamientos coinciden con los obtenidos anteriormente.

Ejemplo 12.3

Resuelva los prticos de los ejemplos 12.1 y 12.2, pero esta vez despreciando las deformaciones axiales.

Solucina) El despreciar las deformaciones axiales en el prtico con cargas uniformemente repartida equivale a decir que:

Al aplicar estas condiciones a la ecuacin general de dicho prticos, se deben eliminar las filas y columnas nmeros 1, 2, 4 y 5 de la ecuacin original, o las 1 y 2 de la ecuacin reducida. Resulta entonces:

Que define tan solo en 0.4% del valor verdadero.

b) En el prtico con cargas horizontales, en cambio:

Y al eliminar la segunda viga y columna de la ecuacin reducida, esta queda as:

Que correspondan a errores del 0.1% y del 0.5% respectivamente.

Ejemplo 12.4

Utilice la matriz condensada para resolver completamente el prtico de la figura considerando: a) todas las deformaciones; b) despreciando las deformaciones axiales en vigas y columnas, y c) edificio de cortante

SolucinSe adopta la siguiente numeracin de los nudos y orientacin de los miembros:Solucin:

El cuadro de propiedades resulta as:

ELEMENTO2EI/L4EI/L6EI/12EI/AE/L

Viga197903958099003300475000

Columnas85501710085505700570000

Con estos valores se calculan las matrices, referidas de una vez a coordenadas generales.

Para las vigas:

Y para las columnas:

a) Solucin considerando todas las deformaciones

Al ensamblar estas matrices para toda la estructura resultan las matrices de la pgina siguiente.Reordenando la primera para aplicar condensacin se obtiene la expresin de la pgina 615, que define las diferentes submatrices necesarias para aplicar las ecuaciones (12.3) y (12.14).

Para obtener la matriz condensada, definida por la ecuacin (12.8), es necesario hallar el inverso que est dado en la pgina 6 16. Con base en l y en las otras matrices de la pgina 615 se obtienen los resultados de la pgina 617.

Aplicando ahora si la ecuacin (12.8)

Los desplazamientos se obtienen con la ecuacin (12.9)

Y los con la ecuacin (12.5), teniendo en cuenta que en este caso vale cero.

Ahora se encuentran las reacciones:

Verification del equilibrio:

Que puede considerarse aceptable:

Calculo de fuerzas internas

Se obtienen multiplicando las matrices de rigidez individuales de vigas y columnas, de la pgina 609, por los desplazamientos respectivos:

Todos los resultados concuerdan bastante bien con los obtenidos utilizando ANALEST, como era de esperarse.

b) Anlisis despreciando las deformaciones axiales en vigas y columnas

Al desprecias las deformaciones axiales en las columnas, los desplazamientos verticales resultan iguales a cero; en la matriz de rigidez de la estructura, por lo tanto, se deben eliminar todas las filas y columnas relacionadas con ellos.Por otra parte, si no se tienen en cuenta las deformaciones axiales de las vigas, resulta:

Por lo cual se deben sumar las filas y columnas correspondientes a cada una de dichas igualdades.

Al hacer todas estas operaciones, la ecuacin bsica queda reducida a la expresin siguiente:

c) edificio cortante:

Se denomina edificio de cortante aquel en que se supone que las vigas son infinitamente rgidas; en consecuencia, los giros de los nudos son nulos y los desplazamientos en ambos extremos de los vigas son iguales en cada piso. S adems se desprecias las deformaciones axiales de las columnas, el tratamiento matricial exige que se eliminen las filas y columnas correspondientes a piros y desplazamientos verticales, y que se sumen las filas y columnas correspondientes a desplazamientos horizontales que sean iguales. Al hacerlo, la ecuacin bsica queda reducida a:

Y evaluando las reacciones:

Las reacciones verticales se calculan de Nuevo planteando equilibrio de momentos:

Esto valores difieren bastante de los obtenidos en las partes a) y b), como consecuencia de las aproximaciones hechas.

12.4.3 prticos espaciales con entrepisos de diafragmas rgidos

Algo similar ocurre al analizar prticos espaciales con losas de entrepiso que se puedan considerar infinitamente rgidas en su plano. En tal caso, los grados de libertad de los extremos de las columnas que llegan a la losa estarn relacionados con los de un nudo particular, considerando nudo maestro mediante las ecuaciones:

12.5 SUBESTRUCTURACIN

Otra tcnica muy empleada para reducir el tamao del sistema de ecuaciones por resolver es la de subestructuracin. Consiste en dividir la estructura total en partes que se analizan individualmente y cuyos resultados se emplean en el anlisis de una estructura total que contiene slo los elementos exteriores y los de frontera entre las subestructuras.Dicha tcnica fue empleada originalmente para el anlisis de los grandes aviones, en que las subestructuras son obvias: fuselaje, alas, timn de cola, etc. En estructuras civiles la subestructuracin puede ser sugerida por la estructura misma. Como en el caso de edificios con las llamadas placas sismo-resistentes, o determinada arbitrariamente por el analista teniendo en cuenta las facilidades computacionales de que dispone.

El procedimiento matemtico de la subestructuracion es completamente anlogo al de condensacin, como se ver a continuacin. En la figura 12.3 se ha representado la estructura de un prtico dividida en tres subestructuras M, N y O, cuyos lmites se han representado con lneas ms gruesas para distinguirlas mejor.

Figura 12.3 subestructuracion de un prtico plano: a) estructura total; b) detalles de la subestructura N.

Considerando cualquiera de las subestructuras, por ejemplo la M, y acordando distinguir con el subndice b los grados de libertad propios nicamente de ella y con el subndice c los que le son comunes con subestructuras adyacentes, con un reordenamiento adecuado la ecuacin matricial bsica del mtodo de la rigidez se puede expresar as:

Que como se ve es completamente anloga a la ecuacin (12.3), si se excepta el superndice M y se reemplaza la c por b.Se quiere expresar todo en funcin de los grados de libertad comunes, o sea por la ecuacin (12.4)

Aplicando las ecuaciones (12.7) y (12.8)

Definiendo:

Cuyo significado fsico es el de fuerzas ficticias aplicadas en los nudos comunes equivalentes a las existentes en los nudos no comunes, la ecuacin (12.32) se puede reescribir as:

Esta ecuacin permite tratar toda la subestructura M como si fuera de un solo elemento. Procediendo de igual manera con las otras subestructuras, es posible ensamblar ahora las respectivas matrices condensadas y combinar las fuerzas nodales, reales y ficticias en las interfaces para obtener la ecuacin de la estructura completa:

Teniendo cuidado de no duplicar cargas que acten en nudos de las interfaces o rigideces de miembros localizados en las fronteras.

De la ecuacin (12.37) se despejan los desplazamientos de los grados de libertad comunes:

Y luego, aplicando los valores pertinentes de este vector y la ecuacin (12.5) a cada una de las subestructuras, se pueden calcular los grados de libertad no comunes, por ejemplo, para los de la subestructura M:

Una vez obtenidos los desplazamientos de todos los nudos, es posible calcular las reacciones y fuerzas internas de todos los miembros por el procedimiento usual.

Ejemplo 12.5

Resuelva completamente, por el mtodo matricial de los desplazamientos, el prtico mostrado. Utilice subestructuracion y condensacin para reducir el tamao de los sistemas de ecuaciones por resolver. Desprecie el efecto de las deformaciones axiales

Solucin

Se empieza por numerar los nudos y asignar sentido a los miembros

Luego se calculan las rigideces de los elementos

Y los valores necesarios para evaluar la matriz de rigidez quedan as:

ELEMENTO2EI/L4EI/L6EI/12EI/

Viga7200144002700675

Columnas81001620081005400

Las fuerzas de empotramiento resultan ser:

Al despreciar las deformaciones axiales:

Eliminando las filas y columnas correspondientes a los desplazamientos v en la ecuacin (11.44) aplicada a las vigas:

Para las columnas se hace la misma simplificacin en la ecuacin (11.55), que est referida a coordenadas generales:

Y se escriben expresiones similares con los subndices 4-2, 5-3 y 6-4

Una posible particin en subestructura es:

Al ensamblar la matriz de rigidez para la subestructura superior, resulta:

Que define las matrices necesarias para resolver el problema, de acuerdo con la ecuacin (12.31):

Para aplicar la ecuacin (12.34) es necesario evaluar un inverso y varios productos:

Aplicando ahora la ecuacin (12.35):

Y por la ecuacin (12.37):

Anlisis de la subestructura inferior

Por analoga con la anterior:

Las otras filas y columnas sobran por valer cero.

Ensamblando ahora las subestructuras:

Conocidos los desplazamientos, se pueden calcular parcialmente las reacciones:

Calculando ahora las fuerzas internas, para las vigas:

Y para las columnas:

Como se desprecian las deformaciones axiales, los cortes en las vigas se hallan por esttica:

Y las reacciones verticales de las columnas sern la suma de las reacciones de las vigas a cada lado:

Verificacin del equilibrio general:

Las fuerzas axiales en las columnas se pueden hallar planteando el equilibro de nudos y utilizando las reacciones de las vigas. Luego, si se desea, es posible averiguar los desplazamientos verticales de los nudos calculado los acortamientos axiales de las columnas con la ecuacin . El lector interesado podr verificar que, siguiendo este procedimiento, se llega a estos valores:

12.6 APOYOS CON EJES DIFERENTES DE LOS ESTRUCTURALES

Hay muchas circunstancias prcticas en las cuales los ejes coordenados utilizados para describir el comportamiento en un nudo en las ecuaciones generales, deben ser diferentes de los ejes estructurales. Se habla entonces de ejes de nudo. Un caso tal es el de la cercha con apoyos inclinados de la figura 12.4

Figura 12.4 Cercha plana con un apoyo inclinando.

En este caso:

Restriccin que no se puede tratar eliminando simplemente la fila y columna correspondientes a un grado de libertad de la matriz global original. Lo que s se puede hacer es incorporar los grados de libertad referidos a ejes de nudo, u" y v", en las ecuaciones globales. Para luego igualar v" a cero.El proceso consiste entonces en pasar de un conjunto de ecuaciones referido totalmente a coordenadas globales:

a uno mixto con algunos elementos referidos a coordenadas globales y otros a coordenadas de nudo:

Para hacerlo se aprovecha la ecuacin de transformacin de ejes vista antes, que es completamente general, como se observara ms adelante:

Pero ahora la matriz de transformacin es una matriz cuadrada que tiene las siguientes caractersticas: a) unos en las diagonales y ceros en el resto de todas las filas y columnas que no cambian y, b) cosenos direccionales apropiados en todos las pares de grados de libertad alterados (uno global y otro de nudo). En efecto, definiendo:

se ve que las dobles comillas, que ahora representan el sistema mixto, equivalen al sistema general de la ecuacin y que 6, K y f' hacen el papel de locales en dicha ecuacin.

Pero tambin:

Despejando y reemplazando:

Con lo cual queda demostrada la validez de la ecuacin (12.42). Se puede ir por partes o hacer de una vez el triple producto. Despus de plantear la ecuacin se eliminan la fila y la columna correspondientes al grado de libertad de nudo que sea nulo y se resuelve para

Ejemplo 12.6

Resuelva la cercha plana de la figura cuyo apoyo derecho forma un ngulo de 30 con respecto a la horizontal

Solucin

Se adoptan las siguientes nomenclaturas de nudos y orientacin de miembros.

El cuadro de propiedades bsicas queda entonces as:

1 - 2-53.1340800.6-0.81468.82611.2-1958.4

3 - 136.920400.80.61305.6734.4979.2

3 - 2040801.004080.000

Y con fundamento en ellas se plantea la ecuacin matricial bsica para los tres miembros:

Ensamblando la parte correspondiente a los nudos libres:

Aplicando ahora la ecuacin de transformacin para el nuevo sistema:

Y por la ecuacin (12.46)

Despejando de la porcin superior:

Reemplazando estos valores en la parte inferior:

Utilizando la matriz de transformacin:

Las reacciones en el apoyo 2, en l direccin de los ejes originales de la estructura, se pueden obtener con la parte inferior de la primera matriz, o simplemente descomponiendo la fuerza , como se indica a continuacin:

Tomando de nuevo de las matrices originales la parte correspondiente al apoyo 3 y ensamblndolas:

Reemplazando los valores obtenidos de desplazamientos y efectuando las operaciones pertinentes, se logran las reacciones en dicho apoyo:

Las fuerzas internas se hallan con la ecuacin:

Que al aplicarla conduce a:

El lector interesado podr comprobar el equilibrio de todos los nudos, con lo cual queda terminado el problema.

12.7 REANALISIS DE LA ESTRUCTURA

El diseo de estructuras indeterminadas involucra siempre en proceso che interaccin en que el analista, de acuerdo con su experiencia o con recomendaciones empricas. Supone unas dimensiones de los miembros antes de efectuar un primer anlisis. Obtenidos los resultados de ste verifica si las dimensiones escogidos resultan apropiadas o no, bien sea por defecto o por exceso, con base en los esfuerzos y desplazamientos admisibles, y si no lo son, cambia las de los miembros en que esto sucede y repite el anlisis una y otra vez hasta quedar satisfecho. Mientras con tcnicas manuales el proceso anterior se repeta mximo en un par de ocasiones, el advenimiento de la computadora ha hecho posible hacerlo muchas ms logrndose, si se desea, una verdadera optimizacin.

Como el anlisis de estructuras grandes es, en general, relativamente demorado, se lean desarrollado tcnicas para tener en cuenta pequeos cambios en el diseo, sin que haya que recurrir nuevamente a un anlisis completo. El lector interesado podr encontrar mayor informacin en McGuire y Gallagher (referencia 12.2) y un resumen de ella en otra obra del autor (referencia 12.4).

12.8 METODO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA

Se denomina mtodo de la matriz de transferencia a un enfoque del anlisis matricial que utiliza una forma mixta de fuerzas y desplazamientos en un mismo vector como ecuacin bsica y transfiere los parmetros que describen el comportamiento estructural (fuerzas y desplazamientos nodales) de un extremo de una estructura lineal al otro.Su ventaja radica en que el tamao del sistema de ecuaciones por resolver es muy pequeo si se lo compara con el producido por el mtodo de la rigidez pero, por otra parte, requiere efectuar secuencialmente muchas operaciones con matrices pequeas, lo cual constituye una desventaja.Por estructura lineal se entiende aquella formada por miembros cuyos ejes se extienden de un extremo a otro de toda la estructura, suponiendo una lnea. Los arcos, los cables y algunos prticos especiales se clasifican como tales.La base del mtodo radica en caracterizar el estado dc fuerzas y desplazamientos en el extremo de un miembro por el vector de estado.

y en relacionar el vector del extremo final, correspondiente al nudo i + 1, con el del extremo inicial, nudo i, mediante la ecuacin:

En donde es tambin una forma mixta de la relacin fuerza desplazamiento del elemento. En la referencia 12.2 se demuestra que:

en donde es la matriz de flexibilidad del elemento, deducida para el caso en que ste se apoya en el punto i+1, contiene los coeficientes de las ecuaciones de equilibrio .Una explicacin detallada del mtodo est fuera del alcance de este texto. El lector interesado podr hallarla en la referencia citada.

12.9 SIMPLIFICACIONES PARA PRTICOS Y ARRILLAS ORTOGONALES

Al escribir programas para analizar prticos y parrillas ortogonales se pueden simplificar considerablemente tanto la entrada de datos de la estructura como la formulacin matemtica propiamente dicha. En efecto, es relativamente simple formular la programacin automtica de la numeracin de nudos y miembros y la orientacin del eje local X de estos ltimos, que como se dijo va del nudo inicial al nudo final. Debe recordarse que para lograr mxima eficiencia y disminuir el ancho de banda de la matriz de rigidez, en edificios altos la numeracin debe hacerse siguiendo una secuencia horizontal, mientras que en los largos y bajos la secuencia recomendable es la vertical.

En cuanto a la formulacin del modelo matemtico, ya no ser necesario introducir matrices de transformacin sino dar una instruccin que, con base en la orientacin de cada miembro. Calcule su matriz de rigidez teniendo en cuenta, de una vez, los ejes estructurales. Dichas matrices estn definidas por las ecuaciones (11.53), (11.55), (11.70), (11.71), (11.74), (11.75) y (11.76).

12.10 VIGAS CON MIEMBROS CARTELADOS

Todas las matrices desarrolladas en el captulo 11 parten de la premisa de que los miembros estructurales son prismticos, es decir, de seccin transversal constante de toda su longitud. Sin embargo, vigas de seccin transversal variable se utilizan frecuentemente en puentes y ocasionalmente se disean prticos con vigas y columnas no prismticas.

Por eso conviene evaluar las matrices de rigidez de dichos miembros y para ello resultan muy tiles procesos numricos como el de Newmark (referencias 12.4 a 12.8), que se explic con el numeral 9.4. El mismo mtodo sirve tambin para calcular las fuerzas de empotramiento generadas por las cargas, pues dejan de ser vlidas las frmulas conocidas para miembros prismticos que, como se recordar, son indispensables para el anlisis. La ventaja de programar dicho clculo en lugar de utilizar tablas como las publicadas por la Portland Cement Association (referencia 12.9), o grficos como los presentados por Fernndez Casado (referencia 12. II) Leontovitch (referencia 12. 1 l ), y Manning (referencia 12.12), radica en la facilidad de incorporarlos como subrutinas en programas ya desarrollados de anlisis matricial, para utilizar sus resultados en lugar de las matrices y fuerzas de empotramiento correspondiente a miembros prismticos. El resto del procedimiento - ensamblaje de la matriz de rigidez de toda la estructura y solucin de las hiptesis de carga - no necesitan cambio.En el numeral 9.4.6 el autor explic la programacin del mtodo de Newmark aplicado a elementos acartelados y en la referencia 12.4 dio el listado de un programa, escrito en BASIC, que permite hallar las rigideces absolutas, coeficientes de transmisin y momentos por desplazamiento de esta clase de miembros, necesarios en los mtodos de Cross modificado, Kant y Takabeya vistos en los captulos 6, 7 y 8. A partir de ellos se obtienen los trminos de su matriz de rigidez. El programa calcula tambin los momentos de empotramiento para carga uniformemente distribuida y para una carga concentrada arbitrariamente colocarla. En el disco adjunto se incluye una versin del mismo en QUICK BASIC. Como ya se dijo el programa, aunque slo considera acartelamientos rectos, con muy poco esfuerzo se puede ampliar para que incluya otros tipos de variacin en seccin.

12.11 PROBLEMAS ESPECIALES

La teora presentada en los captulos anteriores es aplicable a estructuras sin problemas especiales, pues se basa en los supuestos de que son aplicables el principio de superposicin y la teora de primer orden, y que se pueden despreciar las deformaciones causadas por fuerzas cortantes, lo mismo que la interaccin entre las fuerzas axiales y las que producen flexin. Tampoco se ha considerado el efecto que tiene la rigidez de los nudos en las fuerzas internas de los prticos ni la posibilidad de que las cargas no pasen por los centros de corte de los respectivos miembros.El calculista debe considerar cuidadosamente la importancia que tienen estos factores en la estructura que est analizando y, si es el caso, modificar las matrices de rigidez para traerlos en cuenta. Weaver y Gere (referencia l 2. l) sealan como hacerlo.

12.12 ALGUNOS PROGRAMAS COMERCIALES DE USO COMUN EN AMERICA LATINA

12.12.1 DESARROLLO HISTORICO

Siendo el anlisis estructural una de las primeras ramas de la ingeniera beneficiadas con el advenimiento de la computadora digital, pronto se desarrollaron programas comerciales que pusieron a disposicin de las firmas especializadas esta nueva y poderosa herramienta. Tales programas fueron desarrollados en universidades con el patrocinio de los fabricantes de equipo - como la compaa lBM - , interesados en encontrarles mercados adicionales. De esta poca es su programa STRESS (Structural Engineering System Solver), que marc un hito en el empleo del computador para analizar estructuras (referencias 12. 13 y 12. 14). Otros programas ampliamente utilizado. fueron los desarrollados por la Portland Cement Association, el programa TABS (Tridimensional Analysis of Building Systems) , que utilizaba el efecto de diafragma para distribuir las fuerzas horizontales a los diferentes prticos y permita hacer anlisis dinmicos (referencia 12. 15). A este programa sigui una versin modificada denominada ETABS que infortunadamente slo poda ser utilizada en computadoras de gran memoria (referencia 12. 16). En ese entonces hicieron su aparicin los primeros programas para analizar estructuras por el mtodo de los elementos finitos, como SAP IV (referencia 12.17).En cuanto al uso en Colombia dc microcomputadores en ingeniera estructural, los primeros cursos fueron ofrecidos por el autor en la Universidad Nacional en 1982, con el patrocinio del Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacin Superior (ICFES), y de la Seccional Colombiana del Instituto Americano del Concreto (ACI). Para dichos cursos se desarroll precisamente el sistema ANALEST (Anlisis de Estructuras), cuya versin para ambiente WINDOWS se entrega en el disquete adjunto.

El lector interesado podr encontrar en la referencia 12.4 un resumen ms detallado del desarrollo histrico de la computacin electrnica en nuestro medio.

Con el avance vertiginoso del poder de los microcomputadores, compaas especializadas en el desarrollo de programas de soporte han mejorado extraordinariamente esos programas pioneros y desarrollado muchos nuevos. El nfasis ahora se hace en aprovechar al mximo sus capacidades grficas tanto para la entrada y verificacin de los datos como para la exhibicin de los resultados.Aunque no corresponde a un programa comercial propiamente dicho, vale la pena mencionar el programa CAL-91 (referencia 12.18), que se utiliza con fines didcticos en la enseanza del anlisis matricial y de la dinmica estructural. Un sistema ms sofisticado pero con cl mismo fin es el SCRATES (referencia 12.19), desarrollado en la Universidad de Cornell. Otros conocidos por el autor son los de la serie SOFTEDU- CATIVO (referencia 12.20), del Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera (CIMNE). y el EULER, un programa didctico d elementos finitos escrito por Linero (referencia 12.21), en la Universidad Nacional de Colombia.

Para mayor ilustracin se presentan a continuacin, en forma resumida, las caractersticas de algunos de los principales programas a que se ha hecho referencia en los prrafos anteriores.

12.12.2 STRESS

El programa STRESS (Structural Engineering System Solver), (referencias 12.13 y 12,14), fue desarrollado por el profesor Steven J. Fenves para la IBM, en MIT, entre 1962 y 1963. STRESS tiene dos partes: un lenguaje que describe el problema y un procesador que interpreta este lenguaje y produce las respuestas solicitadas. Fue escrito en FORTRAN y Assembler. Est muy bien concebido y constituyo el primer lenguaje en ingeniera estructural orientado hacia el problema, pues ste se describe en trminos similares a los que se utilizaran hablando con otro calculista. En consecuencia, el usuario no necesita tener conocimientos de programacin propiamente dicha.Permite efectuar anlisis lineales y elsticos de los seis tipos de estructuras reticulares: vigas continuas, cerchas planas y en el espacio, prticos planos y espaciales y parrillas en un plano, cargadas estticamente y compuestas por miembros prismticos. Con l es posible analiza efectos trmicos o de errores de fabricacin y estipular en cada nudo si los miembros estn conectados rgidamente o mediante articulacin. Tambin permite liberar restricciones en los apoyos. La solucin da las fuerzas internas en los extremos delos miembros, las reacciones y los desplazamientos tanto de los nudos como de los apoyos

Su influencia ha sido muy grande en los casi 40 aos transcurridos desde su aparicin; de hecho ANALEST, como muchos otros programas, sigue fundamentalmente los mismos pasos. La eficiencia del algoritmo utilizado, basado en el mtodo matricial de la rigidez, se puede juzgar por su capacidad: 125 nudos, 250 elementos y 6 hiptesis de carga, extraordinaria si se tiene en cuenta que estaba diseado para una mquina con slo 8 KB de memoria principal.

12.12.3 CAL - 91

CAL - 91 (referencia. 12. 18), es la ltima versin de una serie de programas desarrollados por el profesor Edward L. Wilson en la Universidad de California, en Berkeley, para el aprendizaje del anlisis estructural con ayuda del computador.La idea bsica al acometer el proyecto fue cerrar la brecha entre los mtodos tradicionales de enseanza del anlisis estructural y el uso de programas automatizados de anlisis. Los autores esperaban con ello que los ingenieros pudieran entender mejor la teora y las aproximaciones utilizadas en los programas modtos de anlisis estructural.El primer programa, desarrollado en 1960 con la direccin del profesor Ray Clough, simplemente interpretaba las instrucciones para efectuar operaciones matriciales. Esta versin tiene cambios importantes con respecto a la anterior, CAL-78, pues fue reescrita en gran parte y se le adicionaron nuevas rdenes.

El programa se dise para que interpretara a una secuencia de rdenes suministradas por el usuario, bien en forma interactiva mediante el teclado o a partir de la lectura de un archivo de datos almacenado en disco. Las rdenes permiten efectuar operaciones matriciales y anlisis estructurales por el mtodo de ensamblaje directo de la matriz de rigidez, tanto estticos como dinmicos.

12.12.4 GT-STRUDL

El programa STRUDL (Structural Engineering Analysis and Design Language) fue desarrollado tambin para la IBM, en MIT, y estuvo disponible en 1966. Forma parte del paquete ICES (Integrated Civil Engineering System) desarrollado por dicha empresa para cubrir todos los campos de la ingeniera. Su propsito es asistir al ingeniero estructural en el proceso de diseo. Posteriormente fue mejorado en el Instituto de Tecnologa de Cieorgia (referencia l 2.22).Es aplicable a un amplio espectro de tipos estructurales compuesto por cerchas, prticos o elementos finitos. Permite utilizar cualquier combinacin de estos elementos con varios procedimientos de anlisis y diseo. La entrada de datos es sumamente fcil, pues cuenta con un preprocesador para hacerla ms eficiente; de esta manera, con algunas instrucciones muy simples, puede disminuirse considerablemente el nmero de datos por entrar.

A diferencia de STRESS, GT-STRUDL permite disear los miembros de estructuras aporticadas. Si stas son de hormign reforzado, disea vigas, losas macizas y columnas. El calculista puede controlar el diseo fijando lmites en los parmetros: por ejemplo, el ancho o altura de los miembros o su cuanta. Como resultado se obtienen las dimensiones transversales de los miembros y su refuerzo longitudinal. Otra alternativa es especificar el diseo por completo, en cuyo caso el programa verifica que cumpla todas las condiciones impuestas por el cdigo vigente sobre flexin, corte, adherencia y deflexin.Si se trata de estructuras de acero, GT-STRUDL contiene un procedimiento de seleccin que utiliza una tabla con los perfiles laminados estndares y el cdigo del Instituto Americano de Construccin en Acero (AISC). Ac tambin el calculista puede estipular restricciones a los perfiles usados.Por ltimo. GT-STRUDL ofrece la posibilidad de efectuar anlisis no lineales de prticos. Placas cascarones de poca profundidad. Adems de anlisis de pandeo lineal, anlisis dinmico y optimizacin de prticos.

12.12.5 ETABS

El programa ETABS (Tree Dimensional Analysis of Building Systems Extended versin) (referencia 12.16), es una extensin del programa TABS (referencia 12. 15), que permite analizar prticos tridimensionales con entera compatibilidad. Fue desarrollado para analizar linealmente edificios compuestos por prticos y muros de cortante, sometidos tanto a cargas estticas como ssmicas.El edificio es idealizado mediante un sistema de prticos y elementos de muros dc corte independiente, interconectado por losas de piso que constituyen diafragmas rgidos en su propio plano. En cada columna se incluyen deformaciones axiales, por flexin y por corte. Admite vigas acarteladas y se tienen en cuenta tanto sus deformaciones por flexin como las debidas a corte. Tambin pueden considerarse paneles de cortante. La formulacin incluye anchos finitos de vigas y columnas y no est limitada a configuraciones simtricas y rectangulares de los edificios. El procedimiento de solucin modifica geomtricamente la rigidez para incluir directamente el efecto P-Delta. Los prticos los muros dc cortante se consideran conto subestructuras en la formulacin bsica; con esto puede minimizarse la entrada de datos reducirse el esfuerzo computacional.Es posible indicar tres condiciones de carga verticales y dos laterales que actan estticamente, pero tambin pueden combinarse las cargas estticas con una ssmica que se especifica como una aceleracin del terreno en funcin del tiempo o como el espectro de aceleraciones de respuesta del sismo. En tal caso se evalan tres modos de vibracin.Sus capacidades de anlisis esttico para cargas verticales incluyen las debidas a peso propio y a cargas superpuestas concentradas o distribuidas. En cuanto a anlisis de cargas laterales genera automticamente las ssmicas prescritas por el Uniform Building Code (UBC), o el Applied Technology Council (ATC), y las de viento estipuladas por el UBC. Tambin permite que el calculista especifique sus propias cargas laterales. Como respuesta se obtienen los desplazamientos estticos de los ruidos las fuerzas internas en los miembros. El anlisis dinmico incluye la determinacin de perodos y formas modales y el anlisis por cargas ssmicas multidireccionales con base en el espectro de respuesta o en una historia de carga dada como funcin del tiempo. As se obtienen los desplazamientos y fuerzas internas dinmicas.

12.12.6 SAF2000

SAP2000 es la ultima version, para microcomputadoras, del programa de analisis estructural SAP, desarrollado por el profesor Edward L. Wilson, para el analisis tridimensional estatico y dinamico de estructuras por el metodo de los elementos finitos. El programa original fue diseado en forma tal que pudiera ser modificado y ampliado por el usuario. Aunque tiene capacidad para analizar estructuras muy grandes, no pierde eficiencia al resolver problemas pequeos y su configuracion en subrutinas permite adaptarlo facilmente a maquinas de poca capacidad SAP2000 esta completamente integrado al ambiente WINDOWS de microsoft, lo cual facilita la entrada de datos y la interpretacion de resultados.

La versin SAP2000 PLUS tiene adicionalmente opciones para el anlisis de puentes, un mayor nmero de elementos finitos y de anlisis en funcin del tiempo, por otra parte, SAP2000 No lineal permite hacer anlisis en el campo inelstico.Todos ellos tienen mdulos que posibilitan los diseos en acero y en concreto reforzados, en conformidad con los ms importantes cdigos vigentes estadounidenses, canadienses y europeos.12.12.7 COMBAT

COMBAT (Comprehensive Building Analysis Tool) (referencia 12.23) es un programa desarrollado principalmente para ser usado por calculistas en el analisis lineal de edificios sometidos a cargas gravitacionales, sismicas o eolicas. Incorpora avances recientes en la tcnica de los elementos finitos y a pesar de su sofisticacin est muy orientada hacia el usuario.

Entre sus caractersticas ms sobresalientes estn en la posibilidad de modelar con precisin el comportamiento tridimensional del edificio, la capacidad de modelar diversas losas de entrepiso (flexibles, perforadas y rgidas en su plano), el poder incorporar muros de corte con aperturas (mediante el empleo de subestructuras) y la modelacin explicita de cimentaciones flexibles. Todas ellas representan mejoras sobre programas previamente existentes, como TABS y ETABS, cuyos supuestos bsicos en ocasiones no podan acomodarse a las nuevas formas arquitectnicas y presentaban limitaciones para un nmero cada vez mayor de configuraciones estructurales. Adems se buscaba que fuera ms fcil de utilizar que los ya citados.

Se pueden aplicar cargas estticas verticales y horizontales y generar automticamente las cargas ssmicas de acuerdo con el UBC. Tambin acepta cargas dinmicas, bien sea del espectro de respuesta o de historia en funcin del tiempo.

12.12.8 RCBE

El programa RCBE (Analysis & Design of Reinforced Concrete Buildings for Earthquake and Wind Forces)(referencia 12.24) es la ltima versin del desarrollado inicialmente por los ingenieros colombianos Abel F. Cepeda y Ricardo E. Barbosa, que puede considerarse como representativo de la tendencia mundial a simplificar los programas de uso diario en las oficinas de diseo aprovechando tcnicas de interaccin en combinacin con las capacidades graficas de los microcomputadores. Opera en ambiente WINDOWS 95.

Genera automticamente las fuerzas ssmicas de acuerdo con los principales cdigos norteamericanos y algunos latinoamericanos, entre ellos las normas colombianas NSR 98, y las correspondientes combinaciones de carga prescritas por ellos. Permite, entre otras capacidades, modelar en forma precisa los efectos torsionales, distribucin automtica de las cargas de piso a las vigas y muros adyacentes, y anlisis de cargas por incrementos en forma automtica para simular la secuencia de construccin en edificios altos.

12.12.9 STAAD/Pro

El programa STAAD/Pro (Structural Analysis and Design for Professionals), referencia 12.25, permite efectuar anlisis y diseos estructurales, en ambiente WINDOWS, esttico o dinmico, lineal y no lineal.

La entrada de datos y la interpretacin de resultados se facilitan por sus poderosas capacidades grficas. Tiene herramientas de verificacin extensiones tiles para disear cimentaciones, muros de contencin y edificaciones en mampostera.