REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO SANTIAGO MARIO EXTENSIN MATURN

Metodo de las Fuerzas o de las Flexibilidades

Profesor: Ing. Lorenzo Mantilla

Bachiller(s):

Castillo, Luisangela

C.I.: 18.926.166

Ctedra: Estructura II

Maturn, Junio de 2013.

ndice

Introduccin

Mtodo de la Flexibilidad o de las Fuerzas.

Coeficientes de flexibilidad..

Compatibilidad de deformaciones externas con internas..

Presentacin del mtodo por ecuaciones y por matrices.

Ecuaciones de desplazamiento consistente..

Formulacin matricial del mtodo de carga unitaria

Identificar las caractersticas de las estructuras

Hiperestticas

Elaborar diagramas de fuerzas internas de estructuras

estticamente indeterminadas..

Aplicar el mtodo de las fuerzas para resolver estructuras

hiperestticas

Aplicar el mtodo de las fuerzas en estructuras hiperestticas

sometidas a cargas, variacin de temperatura, movimiento de

soporte, error de construccin y resorte

Aplicar la superposicin de diagramas en el mtodo de las

fuerzas..

Interpretar el concepto factor de flexibilidad..

Construir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del

mtodo de la fuerza.

Conclusin.

Introduccin

Las bases tericas y mtodos numricos que se utilizan en el anlisis

estructural han sido formulados desde hace mucho tiempo. Estos

principios plantearon la solucin de las estructuras a partir de grandes

sistemas de ecuaciones.

Generalmente este planteamiento corresponde a un enfoque matricial; sin

embargo, debido a las dificultades inherentes a la solucin de los sistemas

de ecuaciones simultneas resultantes, surgen alrededor de los aos 50s

los mtodos iterativos. Entre los ms conocidos se tienen, el mtodo de

Hardy Cross, el mtodo Kani, el mtodo de Takabeya, etc.

Tambin surgen algunos mtodos simplificados especiales para el anlisis

de estructuras sujetas a cargas laterales (viento o sismo), entre ellos se

puede citar el mtodo de Bowman, el mtodo del portal, el mtodo del

factor, etc.

Tambin a partir de los aos 50s comienza, un gran desarrollo de las

computadoras las cuales alcanzan una gran expansin a partir de los aos

80s. Esta herramienta ha modificado grandemente el planteamiento de la

solucin de muchos problemas de la ingeniera. Se hace entonces posible

la utilizacin de mtodos matriciales para el anlisis estructural.

En la actualidad la posibilidad de resolver estructuras complejas en un

tiempo relativamente corto ha permitido incluir dentro de este anlisis

conceptos de comportamiento no lineal que hasta algunos aos se

consideraban impracticables.

Hoy en da, el continuo desarrollo de la tecnologa, nos permite encontrar

equipo sofisticado, como es el caso de las calculadoras programables, las

cuales nos permiten resolver problemas no tan complejos como los que

resuelve una computadora personal, pero s en forma cmoda y con

resultados confiables.

METODO DE LAS FUERZAS O METODO DE FLEXIBILIDADES

Coeficientes de flexibilidad

a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y seccin A que,

sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento L,

establece que: L = NL/(EA) o, lo que es lo mismo, L = L/(EA) N.

El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de la barra

L y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina flexibilidad bajo

esfuerzos axiles de la barra. Este coeficiente representa fsicamente el

valor del alargamiento que sufrira la barra sometida a un esfuerzo axil

unidad.

b) Aplicando el teorema de Mohr a una mnsula de longitud L con una

seccin cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P aplicada

en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo como: f =

PL3/(3EI) o, lo que es lo mismo, f = L3/(3EI) P

El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la carga P

que la produce se denomina flexibilidad bajo carga aplicada en su

extremo de la mnsula. Este coeficiente puede obtenerse como el valor

de la flecha que sufrira la barra sometida a una carga en su extremo de

valor unidad.

c) Aplicando el teorema de Mohr a la mnsula anterior sometida, en este

caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene el giro

de este extremo como: = ML/(EI) o, lo que es lo mismo, = L/(EI) M

El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro y el momento M

que lo produce se denomina flexibilidad bajo momento 4 aplicado en su

extremo de la barra mnsula. Este coeficiente representa el giro que

sufrira la seccin extrema de la mnsula cuando se encuentra sometida a

un momento de valor unidad actuando en dicho extremo.

La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento

deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos

sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una seccin y que

permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento (desplazamiento o

giro de la seccin de aplicacin de la carga en la direccin de aplicacin de

esta. La unidad de medida de la flexibilidad es el m/N rad/Nm.

El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una carga

(fuerza o momento) aplicada en una seccin de una estructura sencilla

(barra) y el movimiento (en direccin de la carga) de la seccin en la que

se aplica la carga, y que se deducen de las expresiones obtenidas por

aplicacin de los teoremas de Mohr, son ejemplos de valores de

coeficientes de flexibilidad.

Un mtodo alternativo para expresar las ecuaciones del movimiento de

una estructura es la formulacin de flexibilidad. En esta formulacin, las

propiedades elsticas de la estructura se describen por medio de los

coeficientes de flexibilidad, que se definen como las deformaciones

producidas por una fuerza unitaria aplicada a una de las coordenadas.

Especficamente, el coeficiente de flexibilidad fij se define como el

desplazamiento de la coordenada i, cuando una fuerza esttica unitaria es

aplicada a la coordenada j. Usando los coeficientes de flexibilidad

correspondientes a una fuerza unitaria aplicada al nivel de cada uno de los

pisos del edificio simple y aplicando la superposicin, podemos calcular el

desplazamiento de una de las coordenadas como la suma de los productos

de los coeficientes de flexibilidad de esa coordenada multiplicndolos por

las fuerzas correspondientes.

Las fuerzas que actan en el edificio simple de tres pisos (incluidas las

fuerzas de inercia). Por lo tanto, los desplazamientos para el edificio de

tres pisos pueden expresarse en funcin de los coeficientes de flexibilidad

como

Ordenando los trminos en estas ecuaciones y usando matrices,

obtenemos

Donde [M] es la matriz de masa, ecuacin (9.4), f es la matriz de

flexibilidad dada por

e {y}, {} y {F} son, respectivamente, los vectores de desplazamiento,

aceleracin y fuerza dados en la ecuacin (9.6).

Compatibilidad de deformaciones externas con internas

La compatibilidad de deformaciones de las diversas partes y de cualquiera

de ellas con las ligaduras exteriores, que se traduce en ecuaciones de

compatibilidad de las deformaciones que relacionan las deformaciones

entre s por medio de la geometra del conjunto.

Llegar a la expresin matemtica de esas ecuaciones requiere en

ocasiones estudiar como se desplaza la estructura, planteando las

ecuaciones que ligan los desplazamientos de puntos significativos de la

estructura. La relacin entre esos desplazamientos y las deformaciones,

permitirn finalmente obtener las ecuaciones de compatibilidad de las

deformaciones.

Deformaciones

Dentro del campo elstico y lineal se verifica la ley de hooke:

, donde N (z)

E

AE

NEl

ll

l

l

AE

dzNl

0

N1

N2

.

. A

N1

N1

1P

N2 N22

2

1

P

Si N = cte.

Que es el caso de los elementos de las celosas estructuras articuladas, cuando las uniones se pueden considerar articuladas y las cargas actan slo en los nudos.

Equilibrio del nudo: Fhor = 0 N1 cos + N2 = P sen

Fvert = 0 N1 sen = P cos

N1 y N2

Equilibrio barras: en todas

sus secciones

N = cte

Equilibrio nudo A : N1 sen 30 = P/2 N1 = P (compresin)

N1 cos 30 =N2 N2 = P 2

3 (traccin)

Dada la simetra: N1 = N1 y N2 = N2

Equilibrio nudo C: N1 = N1 = P

2P cos 60 + N3 = P N3 = 0

EA

LNdz

AE

N l0

30

1

L/2

P/2

A 2

3

L/2

2'

1'

P/2

B

C

P

La resolucin se complica en los casos HIPERESTATICOS, cuando no bastan las ecuaciones de equilibrio.

RA + RB = Q (1) hiperestaticidad grado 1

Hay que acudir a las ecuaciones de compatibilidad

de las deformaciones.

total = AC + CB = 0 (2)

En (1) las incgnitas son fuerzas; en la (2) son

deformaciones.

Las relacionamos con la ley de comportamiento del material.

EA

lR

EA

lN ACAACAC

Sustituidas en (2) EA

lR

EA

lN CBBCBCB

0

EA

lR

EA

lR CBBACA Ecuacin que con (1) nos resuelve el problema.

Presentacin del Mtodo por Ecuaciones y por Matrices.

Formulacin en fuerzas (mtodo de flexibilidad)

El nmero de fuerzas desconocidas en una estructura depende de las

reacciones y de las fuerzas en las barras, en tanto que, el nmero de

ecuaciones independientes que ofrece la esttica es el mismo. Para el

caso de estructuras estticamente indeterminadas el nmero de fuerzas

desconocidas es siempre mayor al de las ecuaciones de equilibrio

(esttica). Las fuerzas desconocidas en la estructura estticamente

determinada pueden obtenerse en forma directa de estas ecuaciones, an

sin considerar las dimensiones y propiedades del material de las barras. La

deformacin depende de las propiedades elsticas de sus miembros

constitutivos, sin embargo, esta informacin no se requiere al determinar

las fuerzas internas de una estructura estticamente determinada, ya que

stas se obtienen a partir de la geometra original de la estructura.

La situacin es diferente en el caso de una estructura estticamente

indeterminada. Si se insiste en que las fuerzas desconocidas sean

consideradas como las incgnitas primarias, se requerirn condiciones

adicionales a las de la esttica. stas son las relativas a la compatibilidad

de deformaciones. Si la indeterminacin es interna, el concepto implica:

1. - El corte de barras de modo que la estructura permanezca

estticamente determinada y estticamente estable.

2. - La determinacin de la magnitud del movimiento relativo (separacin

o traslape) de los cortes debido a las cargas aplicadas, y

3. - La determinacin de las fuerzas en las barras cortadas, las cuales,

cuando se aplican en los cortes, eliminarn la separacin o traslape

habidos.

Entonces, las fuerzas desconocidas en las barras seleccionadas para ser

cortadas pueden ser consideradas como las super-incgnitas primarias y

deben de ser determinadas primero por las condiciones de compatibilidad.

De acuerdo a este mtodo, se necesitan las propiedades elsticas de los

miembros de la estructura durante la evaluacin y eliminacin posterior de

los movimientos relativos de los cortes de la estructura derivada

estticamente determinada.

Para el caso de una estructura estticamente indeterminada

externamente, si se quitan los apoyos y se sustituyen por acciones

(fuerzas o momentos), se obtiene una estructura determinada bajo la

accin de las cargas aplicadas y de las acciones desconocidas o incgnitas.

Sin embargo, la estructura determinada, debe satisfacer los requisitos

geomtricos o de frontera en los puntos de los apoyos redundantes

reemplazados por reacciones redundantes.

Si un apoyo de rodillo se remueve en cierto punto, el requisito es que la

deflexin en la direccin perpendicular a la superficie de apoyo debe ser

cero.

Si se remueve un empotramiento, los tres requisitos, son que la deflexin

horizontal, la deflexin vertical y el giro sean cero.

Siempre hay un nmero de condiciones geomtricas igual al nmero de

redundantes. Despus de encontrar las componentes de las redundantes,

usando las condiciones geomtricas o de frontera, las dems reacciones

pueden determinarse por las ecuaciones de la esttica. Si la estructura es

estticamente indeterminada interna y externamente, se eliminarn tantas

redundantes (internas y externas) como sea necesario hasta obtener una

estructura estticamente determinada y estable.

Este mtodo es considerado como uno de los bsicos, el cual puede

describirse por los siguientes pasos.

1. Se identifican las acciones redundantes (reacciones o acciones internas)

y se reduce la estructura original a un sistema estable y determinado

estticamente.

2. Se analiza la estructura liberada, sujeta a la carga original. Las

liberaciones producen incongruencias en desplazamientos por lo que

deben calcularse estos errores en la estructura liberada. Los

desplazamientos se calculan en la direccin de las reacciones

redundantes.

3. Se asigna un valor unitario a cada una de las acciones redundantes y se

calculan los desplazamientos que cada una de estas fuerzas unitarias

produce en todos los puntos donde actan las acciones redundantes.

4. Para cada restriccin suprimida se define una ecuacin de

compatibilidad. Esta ecuacin representa la superposicin de los efectos

de las fuerzas redundantes y los efectos de la carga externa en la

estructura liberada.

5. Se resuelve el sistema de ecuaciones simultneas de donde se obtiene

el valor de las acciones redundantes.

6. Se completa el anlisis calculando las reacciones de los apoyos y

acciones internas que no se determinaron en el paso 5.

Formulacin en desplazamientos (mtodo de rigidez)

El mtodo de desplazamiento puede aplicarse a estructuras estticamente

indeterminadas o determinadas, siendo ms til en las primeras, donde el

grado de indeterminacin esttica es alto. En este mtodo las cantidades

desconocidas son los desplazamientos (la translacin y la rotacin de los

nudos). El nmero de desplazamientos independientes en una estructura

se conoce como grado de indeterminacin cinemtica, o nmero de

grados de libertad. Este nmero es la suma de los grados de libertad de

translacin y rotacin. En general, en un marco plano deben considerarse

tres grados de libertad por nudo; un desplazamiento longitudinal (axial),

uno perpendicular (corte) y una rotacin (flexin). En un marco

tridimensional sern seis por nudo; tres desplazamientos y tres rotaciones.

El mtodo puede describirse por los siguientes pasos:

1. Se establece un sistema de coordenadas para identificar la ubicacin y

direccin de los desplazamientos de los nudos. Se define despus el grado

de indeterminacin cinemtica.

2. En las coordenadas se introducen fuerzas restringentes en igual nmero

que el grado de indeterminacin cinemtica para impedir el

desplazamiento de los nudos. Se determinan las fuerzas restringentes

como una suma de las fuerzas en extremos fijos que se juntan en un

nudo. A diferencia del mtodo de la fuerza, este procedimiento no exige

que se haga una seleccin con respecto a las fuerzas restringentes. Este

hecho favorece el empleo del mtodo de desplazamiento en programas

generales de anlisis.

3. Se supone ahora que la estructura esta deformada de tal modo que un

desplazamiento en una de las coordenadas es igual a la unidad y todos los

dems desplazamientos tienen valor cero. Se determinan entonces todas

las fuerzas necesarias para mantener a la estructura en esa configuracin.

Estas fuerzas se aplican en las coordenadas que representan los grados de

libertad. Se repite ahora este procedimiento para un valor unitario de

desplazamiento en cada uno de los grados de libertad por separado.

4. Se determinan los valores de los desplazamientos necesarios para

eliminar las fuerzas restringentes introducidas en el punto 2. Esto requiere

el uso de ecuaciones de superposicin en que se suman los efectos de los

desplazamientos separados sobre las fuerzas restringentes.

5. Se obtienen las fuerzas sobre la estructura original sumando las fuerzas

aplicadas sobre la estructura restringida a las fuerzas producidas por los

desplazamientos de los nudos determinados en el punto 4.

En el mtodo de los desplazamientos hay siempre tantas ecuaciones de

equilibrio como desplazamientos desconocidos ya que a cada coordenada

de carga le corresponde una coordenada de desplazamiento, sin tomar en

cuenta el hecho de que la estructura sea determinada o indeterminada

estticamente.

Para comparar ambas formulaciones, se plantearn las ecuaciones

requeridas segn los procedimientos descritos antes.

Es importante observar que cada uno de los procedimientos representan

el inverso del otro, lo que corresponde con la relacin conocida entre

flexibilidad y rigidez. Para comparar las ecuaciones resultantes en ambos

mtodos, se ignorar la deformacin axial de las barras y slo se

considerar una incgnita por nudo, para obtener sistemas de ecuaciones

comparables.

Accin en Flexibilidad

Se eliminan todas las incgnitas quedando una estructura

isosttica. En la estructura liberada, aparecen unos

desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo

reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real.

Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas

(incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en

donde se presentan. Utilizndose as, unos valores unitarios.

La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las

condiciones geomtricas de la estructura real, los desplazamientos

en cada apoyo deben ser nulos.

Accin en Rigidez

Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento,

resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la

estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento

incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos

son debidos a la carga real.

Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos

(incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las

que aparecen las fuerzas. Utilizndose as, unos valores unitarios.

La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las

condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de

los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).

Para el mtodo de flexibilidad, la suma de desplazamientos en cada apoyo

que fue removido, debe ser nula, lo que resulta en:

forma compacta :

[ f ]{ R } = { o } 2.3)

donde : [ f ] es la matriz de coeficientes de desplazamiento o matriz de

flexibilidad, { R } es el vector de fuerzas ( reacciones incgnita ) y { o }

es el vector de desplazamientos debido a la carga real en la estructura

liberada (desplazamientos incongruentes o ficticios).

Para el mtodo de rigidez se tiene que la suma de momentos en cada

nudo, representa las condiciones de equilibrio, lo que resulta en :

en forma compacta :

[ K ] { } = { MF } 2.6)

donde [ K ] es la matriz de coeficientes de fuerza o matriz de rigidez, { }

es el vector de desplazamientos incgnita y { MF } es el vector de

trminos independientes que depende de la carga en la estructura.

Tanto [ f ] como [ K ] tienen propiedades importantes quienes por el

momento no se aprecian.

Estas propiedades se discutirn ms adelante. Por el momento se

muestra, paso a paso, las caractersticas propias de cada formulacin

(fuerza o desplazamiento) para plantear las ecuaciones necesarias para

resolver una estructura hiperesttica.

Ecuaciones de desplazamiento consistente.

Con frecuencia, en problemas mecnicos o de resistencia de materiales hiperestticos el clculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situacin fsica real s presenta una solucin unvoca, es decir, las piezas mecnicas toman valores de tensin concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que

las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algn otro tipo de informacin adicional que haga que el problema sea determinado.

De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. As si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en funcin del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estara formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

(Fig. 1) Problema unidimensional estticamente indeterminado.

Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicacin de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estticamente indeterminado o hiperesttico el anlisis de fuerzas lleva a una nica ecuacin para las dos reacciones incgnita existentes:

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reaciones observamos que la parte izquierda (entre RAy P) est traccionada y por tanto se estirar, mientras que la parte derecha (entre P y RB) est comprimida y por tanto se encoger. Puesto que la pieza es un nico slido deformable el estiramiento de parte izquierda compensar exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompera. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, sa es precisamente la condicin de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos mtodos, por ejemplo usando el teoremas de Castigliano o usando la ecuacin de la curva elstica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuacin de compatibilidad directamente.

Formulacin matricial del mtodo de carga unitaria.

Suponga una estructura sometida a un sistema de cargas que generan los

esfuerzos internos N0, M0, Q0 y T0. Para calcular el desplazamiento (o

giro) i en un punto i donde no acta ninguna fuerza del sistema se

procede de la siguiente manera:

Se aplica una carga virtual pv en el punto y direccin del desplazamiento

(Desplazamiento Carga puntual; Giro Momento). Esta carga virtual

generar en una seccin cualquiera los esfuerzos internos Nv, MV, QV y

Tv. Si no se excede el lmite elstico dichos esfuerzos sern proporcionales

a la carga virtual.

Donde N,M,Q,T son valores caractersticos para cada seccin de la

estructura y cada variable, obtenidos a partir del anlisis del efecto de un

carga virtual unitaria.

La energa de deformacin de la estructura debido al sistema original y la

carga virtual ser:

Del segundo teorema de Castigliano se sabe:

Identificar las caractersticas de las Estructuras Hiperestticas.

Cuando una estructura tiene ms reacciones externa o fuerzas internas

que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la esttica, la

estructura es estticamente indeterminada o hiperesttica o continua

producir fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las

otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una

columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas. Las

losas de concreto, las vigas de apoyo, as como parte de las columnas

pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de

elemento a elemento estructural as como de claro a claro. Cuando se

tienen juntas de construccin, las barras de refuerzo se dejan sobresalir

del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para

colarse posteriormente. Adems, el concreto viejo se limpia de manera

que el nuevo se adhiera a l tanto como sea posible. El resultado de todo

esto es que las estructuras de concreto reforzado son generalmente

monolticas o continuas y por ello estticamente indeterminadas.

Inicialmente se debe identificar cuando es una estructura indeterminada.

Las estructuras rgidas se componen de miembros rectos conectados por

medio de conexiones rgidas (que resisten los momentos), o bien, por

conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo

general, los miembros de las estructuras se conectan por uniones rgidas,

aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas.

Una unin rgida impide las traslaciones y rotaciones relativas de lo

miembros conectados a ellas, de modo que la unin es capaz de transmitir

dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros

conectados.

En general, bajo la accin de cargas externos, los miembros de una

estructura pueden quedar sujetos a momento flexionante, fuerza, cortante

y tensin o compresin axiales.

Se considera que una estructura es estticamente determinada, si los

momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, en

todos sus miembros, asi como las reacciones externas, se pueden

determinar mediante las aplicaciones de las ecuaciones d equilibrio y de

condicin.

Fx=0 ; Fy=0 ; M=0.

Se considera una estructura internamente estable o rgida, si mantiene su

forma y sigue siendo un cuerpo rgido cuando se separa de los apoyos. De

manera inversa, una estructura de denomina inestable (o no rgida), sino

pede conservar su forma y puede sufrir grandes desplazamientos bajo

pequeas perturbaciones cuando no esta apoyada desde el exterior.

Para una estructura, si el nmero de incgnitas es igual al nmero de

ecuaciones, es decir:

6m + r = 3 (m + j) + ec ( 1)

Siendo:

. m = N de miembros.

. r = N de reacciones.

. j = N de juntas.

. ec= ecuaciones de condicin.

O bien:

6m + r = 3m + 3j + ec

Despejando se tiene:

3m + r= 3j + ec

Entonces se pueden determinar todas las incgnitas al resolver las

ecuaciones de equilibrio y las de condicin y la estructura es

estticamente determinada.

Para una estructura, si el nmero de incgnitas es menor que el nmero

de ecuaciones disponibles; esto es:

3m + r < 3j + ec

Se dice que esa estructura es estticamente inestable.

Si una estructura tiene ms incgnitas que ecuaciones de las que dispone;

es decir, 3m + r > 3j +ec

No se pueden determinar todas las incgnitas mediante la resolucin de

las ecuaciones disponibles, (ecuaciones de equilibrio) y se dice que la

estructura es estticamente indeterminada.

Las estructuras estticamente indeterminadas tienen ms miembros o

reacciones externas, o ms de ambos, que las mnimas requeridas por la

estabilidad.

Se dice que los miembros y reacciones en exceso son redundantes y el

nmero de miembros y reacciones en exceso se menciona como grado de

indeterminacin esttica, i, el cual se puede expresar como:

.- i = (3m + r) (3j + ec)

Las condiciones para la inestabilidad, la determinacin y la

indeterminacin de las estructuras se pueden resumir como lo siguiente:

3m + r < 3j + ec 3m + r 3j ec < 0 estticamente inestable

3m + r = 3j + ec 3m + r 3j ec = 0 estticamente determinado

3m + r > 3j + ec 3m + r 3j ec > 0 estticamente indeterminado

Es decir;

.- i < 0, inestable.

.- i= 0 , determinado.

.- i> 0 , indeterminado

En la aplicacin de las ecuaciones (a, b, c); los extremos de la estructura

sujetos a los apoyos, asi como cualquier extremo libre; se tratan como

(nodos) juntas. Las condiciones para la determinacin e indeterminacin

estticos, como lo expresaron las ecuaciones (a,b,c), son necesarios, pero

no suficientes.

Para que estos criterios en relacin con la determinacin e

indeterminacin estticos sean validos, la disposicin de los miembros, las

reacciones en los apoyos, y las articulaciones y rodillos internos (si los

hay), debe ser tal que la estructura seguir siendo geomtricamente

estable bajo un sistema general de cargas coplanares.

Recordemos que las ecuaciones de condiciones que se generan en una

articulacin interna proporcionan una ecuacin de condicin y que un

rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones.

Cuando varios de los miembros de una estructura se conectan en un nodo

anticuado, el nmero de ecuaciones de condicin en este ltimo es igual al

nmero de miembros que se encuentran en el menos uno.

Como ya se ha dicho anteriormente las estructuras indeterminadas tienen

mas reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los

requeridos por la estabilidad esttica, las ecuaciones de equilibrio por si

solas no son suficientes para la determinacin de las reacciones y las

fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio

de relaciones basadas en la configuracin geomtrica de la deformacin

de las estructuras.

Estas relaciones adicionales, que se denominan condiciones de

compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los

desplazamientos de uno u otro lado de la estructura y que las diversas

partes de esta se ajustan entre si. Por ejemplo: En un Nodo o junta rgida,

las deflexiones y las rotaciones de todos los miembros que se unen en

este nodo deben ser las mismas. Por lo tanto el anlisis de una estructura

indeterminado comprende, adems de las dimensiones y la disposicin de

los miembros de la estructura, sus propiedades y de los materiales (como

las reas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los

mdulos de elasticidad, etc); las cuales a su vez, dependen de las fuerzas

internas de la estructura. Por lo tanto, el diseo de una estructura

estticamente indeterminada, se lleva a cabo de manera iterativa, con la

cual inicialmente se suponen el tamao (relativos) de los miembros

estructurales y se usan para revisar el tamao de los miembros; si el

tamao revisado de estos no estn cercanos a los que se supusieron en

un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura usando el tamao

mas reciente de esos miembros, se continua la iteracin hasta que el

tamao de los miembros basado en los resultados de un anlisis son

cercanos a los supuestos para este anlisis.

Anlisis de las Estructuras Indeterminadas

Relaciones fundamentales:

Sin importar si una estructura es estticamente determinada o

indeterminada, su anlisis completo requiere el uso de tres tipos de

relaciones:

Ecuaciones de Equilibrio.

Condiciones de Compatibilidad.

Relaciones de fuerza. Deformacin de los miembros.

1. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actan

sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura

completa as como sus partes permanezcan en equilibrio.

2. Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de

la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.

3. Las relaciones de fuerza - deformacin en los miembros, las cuales

comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones

transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace

necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.

En el anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas, las

ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la

determinacin de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se

vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjuncin con

las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su

repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas

desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden

los desplazamientos como incgnitas, se utilizan las relaciones fuerza-

deformacin de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en

trminos de los desplazamientos desconocidos o viceversa.

Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo

contiene un tipo de incgnitas, para las fuerzas o desplazamientos

desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones

fundamentes para determinar las caractersticas restantes de respuestas

de la estructura.

Mtodos de anlisis

Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos mtodos para

analizar las estructuras estticamente indeterminadas. Estos mtodos se

pueden clasificar en trminos generales en dos categoras, a saber:

Los mtodos de las fuerzas (flexibilidad).

Los mtodos de los desplazamientos (rigidez).

Dependiendo del tipo de incgnitas (fuerza o desplazamiento,

respectivamente) que intervengan en la solucin de las ecuaciones que

rigen.

Vigas Estticamente Indeterminadas

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico, esto es: el nmero de incgnitas es mayor que:

0

0

0

M

F

F

Y

X

La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple A y el otro empotrado B bajo una carga puntual P. A continuacin se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte A existe slo reaccin vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en B hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.

P

a b

A B

Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.

P

VA

VB

MB

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA y VB y el momento flexionante MB y slo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; M y Fy, la viga es estticamente indeterminada o

hiperesttica pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay ms incgnitas que ecuaciones). Otro tipo de viga hiperesttica es aquella que tiene ms de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2. Este caso corresponde a una barra mucho ms compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en A. Para la solucin de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio esttico, un camino a seguir consiste en hacer el anlisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este anlisis se plantea ms adelante. INDETERMINACIN ESTATICA. Se define como el nmero de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio esttico. Se puede decir que es la diferencia entre el nmero de incgnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio esttico. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1: Nmero de incgnitas = NI = 3 Ecuaciones de equilibrio = EE = 2 Grado de indeterminacin = GI = NI EE = 3 2 = 1

P P w

L1 L2 L3

A B C D

Fig. 2. Viga continua

P P w

MA

VA VB VC VD

Viga de la figura 2: NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5 EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2 GI = 5 2 = 3 En ambos casos los GI representan el nmero de ecuaciones adicionales para su solucin.

Elaborar diagramas de fuerzas internas de estructuras

estticamente indeterminadas.

La cuantificacin de las fuerzas internas producidas por la flexin en las

vigas (fuerza cortante y momento flector) es un estudio ms complejo que

el necesario para estudiar la fuerza axial o el momento torsor, ya que las

fuerzas varan de una seccin a otra de la viga. Esta fuerza cortante y el

momento flector de la viga producen dos tipos de efectos importantes

para el diseo.

Para definir la fuerza cortante y el momento flector es necesario aplicar la

forma de estudio al caso de una viga. En el caso de las vigas el anlisis

comienza por realizar un corte aa en un punto cualquiera donde se estudia

el equilibrio del diagrama de cuerpo libre obtenido del corte en la porcin

de la izquierda. Las fuerzas internas que equilibran las cargas en cada eje

son: la fuerza cortante (V) obtenido por las fuerzas perpendiculares al eje;

la fuerza axial (P) obtenida por las fuerzas paralelas al eje y el momento

flector (M) obtenido por la suma de los momentos de las cargas con

respecto al punto donde se realiz el corte. Por equilibrio estas fuerzas

internas son iguales a las originadas en la porcin de la derecha pero con

sentido contrario al obtenido. En tal sentido, la fuerza cortante representa

la suma de las fuerzas perpendiculares al eje que estn ubicadas a la

izquierda de la seccin analizada. Asimismo, el momento flector

representa la suma de los momentos de todas las fuerzas con respecto a

la seccin analizada que actan en la parte izquierda.

En el diseo de elementos estructurales, se debe buscar el mayor efecto

producto de las fuerzas internas, por ello determinar la fuerza cortante y

el momento flector mximo es imprescindible. Obtener estos valores se

facilita mucho mediante un anlisis grfico de la variacin de V y M a lo

largo de la viga. Estos grficos se denominan Diagrama de Fuerza

Cortante (DFC) y Diagrama de Momento Flector (DMF).

Ejemplo.-

Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 5).

Trace tambin los diagramas de fuerza cortante y de momento

flexionante. Si la seccin transversal es compacta rectangular de 15x25

cm, calcule la flecha al centro del claro para un mdulo elstico de

250,000.00 cm4.

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando

las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la

ecuacin de momentos y se le integra sucesivamente.

)xMxVMx 15011

)x)x(MxVMx 21955800 111111

Integrando la ecuacion 1).

112

2

MxVdx

EId y

)CxMxV

dx

EIdy3

211

21

)CxCxMxV

EIY 426

21

21

31

En las ecuaciones 3) y 4), la pendiente (dy/dx) y la felcha (Y) son cero en

el apoyo 1, esto es cuando x = 0. Para esta condicin C1 y C2 son cero.

C1 = C2 = 0

Integrando la ecuacin 2).

800 kg

x

X1

M1 M2

V1 V2

Criterio de

signos:

+

800 kg

5.00 m 5.00 m

1 2

Fig. 5)

)x(MxVdx

EId y5800 11112

1

2

)C)x(

xMxV

dx

EIdy5

2

5800

23

21

11

211

1

)CxC)x(xMxV

EIY 66

5800

26413

31

211

311

En las ecuaciones 3) y 5) la pendiente es la misma cuando x = x1 = 5. Al

comparar estas ecuaciones resulta C3 = 0

En las ecuaciones 4) y 6) la flecha es la misma cuando x = x1 = 5. Al

comparar estas ecuaciones resulta C4 = 0

Se requieren ahora 2 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se

obtienen para x1 = 10 en 5) y 6), ya que en este apoyo la pendienete y la

flecha son cero.

En 5) cuando x1 = 10, (dy/dx1 = 0):

2

51080010

2

100

2

1

21 )()( MV

50V1 - 10M 10,000.00 = 0 -------- 7)

En 6) cuando x1 = 10, (Y = 0):

0106

5)- 10(800

2

10M

6

1043

321

31 CC

)()(V

166.666 V1 - 50 M1 - 16,666.666 = 0 ------- 8)

Resolviendo las ecuaciones 7) y 8).

V1 = 400 kg

M1 = 1000 kg.m

Diagramas de cortante y de momento.

800 kg

400 kg 400 kg

1000 kg.m 1000 kg.m

400

400

1000

1000 1000

Fuerza Cortante

Momento Flector

Flecha al centro del claro. Se obtiene en la ecuacin 4) para x = 5.00 m.

)CxCxMxV

EIY 426

21

21

31

E = 250,000.00 kg/cm2

43

255311912

2515cm.,

)(I

cm.).,(.,

)(.,Y 8530

255311900000250

1066616664 6

Aplicar el mtodo de las fuerzas para resolver estructuras

hiperestticas.

El mtodo de las fuerzas, permite resolver las estructuras hiperestticas considerando como incgnitas a las fuerzas y momentos. En una estructura hiperesttica, tales incgnitas pueden ser exteriores o interiores, estando las primeras asociadas a las componentes de reaccin en los apoyos, en tanto las segundas corresponden a fuerzas en los elementos tales como: N, V, M, Mt. Sea la siguiente estructura aporticada mediante la cul se expondr el

mtodo:

En la figura se muestra a una estructura continua cuyo grado de hiperestaticidad exterior es 3; el procedimiento consiste en isostatizar la estructura incluyendo como cargas a las incgnitas escogidas en la isostatizacin. En este caso, corresponde a las componentes de reaccin del apoyo D, tal como se aprecia en la figura 2. Aplicando el principio de superposicin, la estructura isostatizada puede descomponerse en tantas estructuras parciales como cargas existan en

EI

.,Y

66616664

ella. As, en la figura 2a se muestra la estructura isostatizada con todas las cargas externas actuantes. En las figuras 2b, 2c y 2d se muestra la estructura con cada una de las fuerzas incgnitas actuantes en el apoyo D. A continuacin, se determinan los desplazamientos horizontal, vertical y giro en D para cada estructura parcial, con lo cul aplicando el principio de compatibilidad se originan las siguientes ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene las reacciones o incgnitas hiperestticas de la estructura propuesta. Aplicando luego las ecuaciones de equilibrio que nos da la esttica, se pueden encontrar las reacciones restantes.

Aplicar el mtodo de las fuerzas en estructuras hiperestticas

sometidas a cargas, variacin de temperatura, movimiento de

soporte, error de construccin y resorte.

Para este mtodo se considera, en primer lugar, una estructura que

llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original

eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura

estticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original.

Esta estructura primaria deber ser estable y las reacciones redundantes

sern aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las

ecuaciones de equilibrio.

Luego, aplicado el principio de superposicin, se ir incluyendo el efecto

de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud

desconocida. De esta forma se obtendr un set de ecuaciones para cada

una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y

aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos ser posible

resolver la estructura.

El mtodo considera entonces una estructura isosttica, denominada

primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares)

en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperesttica inicial, y en

las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos

desplazamientos se calculan tambin en estructuras de misma geometra

que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes

correspondientes.

La correccin de los desplazamientos de la estructura primaria con los

generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se

cumplan las condiciones geomtricas de la estructura original, permite

establecer un sistema de ecuaciones cuyo nmero es igual al nmero de

reacciones redundantes.

La solucin del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de

las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los

apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la

estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la esttica,

pudiendo aplicarse, tambin, el principio de superposicin.

Ecuaciones de compatibilidad geomtrica:

Aplicando el teorema de Castigliano y mtodo de la carga unitaria

podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento

en la redundante 1:

Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Expresado matricialmente:

Mtodo:

1. A partir de la estructura hiperesttica, definir la estructura primaria,

eliminando las restricciones redundantes y reemplazndolas por fuerzas o

momentos Xk.

2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y

torsin) de la estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas

originales.

3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtener

los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la

estructura.

4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de

carga original.

5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga

unitaria sobre el mismo punto y las dems redundantes.

6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geomtrica para obtener el

sistema de ecuaciones.

7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las

redundantes Xk.

8. Obtener el valor de las dems restricciones (no redundantes) mediante

las ecuaciones de equilibrio esttico.

9. Aplicar superposicin.

Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad

1.- Asentamientos

Este caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la

redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos

anelsticos (independientes de la magnitud de la carga).

Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de

libertad k. Para esta situacin, en la ecuacin de compatibilidad

geomtrica correspondiente al grado de libertad en cuestin, se

conservara a expresin:

con la diferencia de que el valor de k ser distinto

de cero y conocido.

2.- Defectos de fabricacin, montaje o construccin.

Un desplazamiento de un grado de libertas, provocar, adems del efecto

sobre la ecuacin de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las

dems ecuaciones. Pues generar deformaciones y desplazamientos en

toda la estructura, por lo tanto un trabajo.

Este es el tpico caso de tensiones generadas por defectos de fabricacin,

montaje o construccin.

Este efecto se deber incluir en las dems ecuaciones mediante le trmino

ka. Vale decir las dems ecuaciones adoptaran la forma:

El valor de este trmino de correccin se determinara mediante el

principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Problema tpico de error de fabricacin.

3.- Efecto Trmico

Para incluir los efectos asociados a la variacin de temperatura (dilatacin-

contraccin) se deben agregar trminos relativos a los esfuerzos axiales y

de flexin.

Si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura

uniforme, esta generar una dilatacin-contraccin uniforme expresada de

la siguiente forma:

Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variacin de

temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperatura

entre las caras de la barra. Se generar una dilatacin-contraccin de

diferente magnitud:

4.- Apoyo Elstico

En este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elsticos. Este

tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en

que la reaccin generada en el vnculo es proporcional a la deformacin.

Expresin General

Aplicar la superposicin de diagramas en el mtodo de las

fuerzas.

El principio de superposicin establece que el efecto de un conjunto de

cargas que actua simultneamente, es el mismo cuando se suman los

efectos de cada una de ellas actuando por separado. Bajo este concepto,

es posible solucionar una viga continua analizando las rotaciones en los

extremos de las barras para las cargas dadas considerando a cada barra

simplemente apoyada. Para su aplicacin es necesario conocer las

formulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga.

A continuacin se dan las de uso comn.

Notacin.

Carga Rotacin Extremo Izquierdo

Rotacion Extremo Derecho

1.- Carga uniforme.

EI

Lw

24

3

1

EI

Lw

24

3

2

2. -Carga parcial uniforme.

EI

Lw

384

9 3

1

EI

Lw

384

7 3

2

3.-Carga parcial uniforme.

222

1 4424

aaLLEIL

aw

222

2 224

aLEIL

aw

w

L

L

1 2

w

L/2 L/2

w

a b

Carga Rotacin Extremo Izquierdo

Rotacion Extremo Derecho

4.- Carga puntual.

EI

LP

16

2

1

EI

LP

16

2

2

5. Carga puntual.

2216

bLEIL

bP

2226

aLEIL

aP

6.- Carga variable.

EI

Lw

360

7 3

1

EI

Lw

360

8 3

2

7.- Carga variable.

EI82436

7

1212

3422

1wa

L

waLwawabLwaL

L

wawaLLwawabLEI

2469

2

6

422

2

8.- Momento en extremo.

EI

LM

31

EI

LM

62

9.-Momento en extremo.

EI

LM

61

EI

LM

32

10.- Momento en la barra.

221 36

bLEIL

M

222 2366

LbLbEIL

M

Ejemplo 1.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos

de la viga continua de la figura 21).

L/2 L/2

P

a b

P

w

L

w

a b

L

M

L

M

M

a b

3.00 3.00 8.00 m.

1 2 3

500 kg 300 kg/m

Fig. 21). Viga continua.

Incgnitas en la viga. Se dibujan los claros 1-2 y 2-3 por separado

indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un

momento desconocido, el momento del nodo 2; M2 y se obtienen las

vigas equivalentes simplemente apoyadas. Habr tantas vigas

equivalentes como momentos de extremo y cargas haya en el claro

correspondiente. En la figura siguiente se muestra esta condicin.

Se hacen las siguientes consideraciones:

1.- La rotacin o pendiente es cero en extremos empotrados.

2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la

derecha de dicho soporte.

3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el

criterio siguiente:

a.- Carga cualquiera. b).- Momento en extremo.

Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuacin de equilibrio,

pues solo hay un momento desconocido, M2. Esta ecuacin se obtiene

sumando las pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la

izquierda con las pendientes de la derecha.

L1 = 6

M2

P

P

21

+ M2

21

=

L2 = 8

w M2

w

1 2

23

=

+ M2

23

2 3

12 21

P

M

12 21 Pendientes positivas

Pendiente negativa

.DerIzq 22

23232121

EI

LM

EI

Lw

EI

LM

EI

LP

324316

223212

21

3

8

24

8300

3

6

16

6500 23

22 M)(M)(

M2 = 1,612.50 kg.m

Reacciones verticales. Se obtienen por equilibrio esttico mediante suma

de momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes.

Sumando momentos a la ezquierda del soporte 2:

035005016126 12 )(.VM

V1 = - 18.75 kg.

Sumando momentos a la derecha del soporte 2:

0850161248300 32 V.)(M

V3 = 998.4375 kg

Sumando cargas verticales:

V1 + V2 + V3 - 500 - 300(8) = 0

V2 = 1,920.3125 kg.

Ejemplo 2.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos

de la viga continua de la figura 22).

3.00 3.00 8.00 m.

1 2 3

500 kg 300 kg/m

V1 V2 V3

1612.50 Criterio de signos:

+

300 kg/m

1 2 3 4 5

5.00 5.00 8.00 m 3.00

Figura 22. Viga continua con carga uniforme en

todo el claro.

Vigas equivalentes:

Interpretar el concepto factor de flexibilidad.

Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres

direcciones, y sobre las mismas actuarn fuerzas de valor unitario.

Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los

desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de

carga.

Los desplazamientos originados en cada direccin los denominaremos

flexibilidades y que indicaremos fij, donde i indica la direccin donde se

produce y j donde acta la causa unitaria que lo produce. De esta manera

la definicin de estos desplazamientos sera:

La flexibilidad fij es el efecto cinemtico en i producido por una causa

esttica unitaria que acta en j.

Basndonos en la anterior definicin de flexibilidades y aplicando el

principio de superposicin, los desplazamientos totales Ui que se

producirn cuando actan cargas Pi (fig 3) valen:

Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos:

w

12 21

Hemos encontrado una relacin entre las fuerzas que actan en

determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las

mismas direcciones. Esta relacin lineal se establece a travs de matriz F,

que es independiente de las cargas P y slo depende de la estructura y de

las direcciones elegidas.

La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y est integrada por las

flexibilidades fij cuya definicin ya realizramos anteriormente. Estas

flexibilidades tienen las siguientes propiedades:

fii: flexibilidad directa: Estos efectos son siempre positivos, dado que son

los desplazamientos correspondientes con la causa que los producen

fij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad, de acuerdo a la ley de

Maxwell, de ser igual a fji. Por esta razn la matriz F es simtrica.

F = FT

Construir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del

mtodo de la fuerza.

La geometra (deformada) de un slido deformado puede caracterizarse

por los movimientos (desplazamientos o giros) de un conjunto de puntos o

secciones particulares. En una estructura plana el movimiento de un punto

del slido ( seccin, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos

traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un conjunto

representativo de puntos de un slido (entre ellos, probablemente, los

propios puntos de aplicacin de las cargas Pi) que caracterizan

unvocamente el comportamiento deformacional del slido sometido a las

cargas Pi, se denominan, a efectos de anlisis estructural, grados de

libertad del slido.

As, por ejemplo:

La proporcionalidad entre la variacin de longitud y la carga aplicada

expresada en la ley de Hooke, L = L/(EA) N, implica la caracterizacin

del comportamiento deformacional de la barra mediante el movimiento del

punto extremo en la direccin de aplicacin de la carga; este movimiento

sera, pues, el grado de libertad elegido para el anlisis del problema

La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra y la

carga aplicada en el extremo de la mnsula expresada en f = L3/(3EI) P,

implica caracterizar el comportamiento deformacional de la mnsula

mediante el desplazamiento del punto extremo en la direccin de

aplicacin de la carga; este movimiento sera el grado de libertad elegido

para el anlisis del problema; una alternativa podra ser utilizar como

grado de libertad descriptivo del problema, el giro en el extremo de la

mnsula.

Considrese un slido como el que se muestra en la figura 8.1 sometido a

la accin de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando cada una

de ellas en un punto i.

Por efecto de aplicacin de las cargas, un punto genrico i se desplazara

hasta el punto i siendo el vector desplazamiento i del cual la

componente en la direccin de aplicacin de la carga es i.

Definicin.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al

desplazamiento del punto de aplicacin de la carga Pi, en la direccin de

dicha carga, cuando acta una carga unidad en el punto j en la direccin y

sentido de Pj.

Cuando actan varias cargas, el desplazamiento i del punto de aplicacin

de una de ellas, justo en la direccin de la carga Pi, es suma de los

desplazamientos producidos por cada una de las cargas actuantes.

El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultando

A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz de

flexibilidad del slido.

Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.

EJEMPLO.- Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al

sistema de cargas que se muestra en la figura 8.3.

Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:

y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:

Conclusin

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las

relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas

internas en todos los puntos y las deformaciones.

Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de

equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan

en nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las

reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de

secciones y de ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la

doble integracin o trabajo virtual.

En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos que

solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de

deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes

constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los

mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las

relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se

deben cumplir en todo tipo de estructura.

La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el

proceso de solucin determina el mtodo.

Por ejemplo, en el mtodo de las fuerzas vimos que planteamos unas

ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las

redundantes y despus reemplazamos en estas ecuaciones, los

desplazamientos en funcin de las fuerzas redundantes, quedando como

incgnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aqu se ha

resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser

estticamente determinada, de ah debemos completar la solucin por

medio de las ecuaciones de equilibrio esttico. En conclusin, se plantean

tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este mtodo el

numero de incgnitas es el nmero de redundantes, y las matrices a

resolver son de ese orden.

El otro mtodo que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de

los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a

solucionar tienen como incgnitas los desplazamientos en funcin de las

rigideces de los elementos.

En cualquiera de los dos mtodos que planteemos se utiliza el principio de

superposicin, el cual se cumple para sistemas lineales, elsticos y que

experimenten desplazamientos pequeos, o sea que las tangentes son

iguales a los ngulos.

Debido a que en el mtodo de la rigidez se trabaja con los

desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es

un grado de libertad.

Los procedimientos de Anlisis Estructural pueden clasificarse en dos

grandes mtodos esencialmente diferentes:

a) Mtodo de las Fuerzas

b) Mtodo de Rigidez (o de los Desplazamientos)

Tambin existen mtodos mixtos en los que las incgnitas son

simultneamente fuerzas y desplazamientos, pero no sern tratados en

este curso.

En muchos casos de aplicacin corriente, el Mtodo de las Fuerzas

conduce a un sistema de ecuaciones con un nmero menor de incgnitas

que el de Rigidez y por eso en el pasado se lo prefera para clculos

manuales. En la actualidad, la mayora de los programas de computadora

se basan en el Mtodo de Rigidez por ser ms sistemtico y, por ende,

ms fcil de programar.