2

Kettős szám. Ára 200 dinár.

Pe­da­gó­gu­sok­és­szü­lők­fo­lyó­ira­taXII. év fo lyam 8. szám, 2008. október–november

Szer­kesz­tő­bi­zott­ság/članovi­uredništva:­Bo ri Má ria, dr. Gáb rity Mol nár Irén, Haj nal Je nő ma gisz ter, dr. Hó zsa Éva (iro dal mi szer kesz tő/knji žev ni ured nik), dr. Il lés Ti bor (Eöt vös Lo ránd Tu do mány egye­tem), dr. Pé ics Haj nal ka, So ós Edit (fe le lős szer kesz tő/od go­vor ni ured nik), Szá las Tí mea (szer­kesztő/urednik), dr. Sző ke An na, dr. Zsol nai Ani kó (Sze ge di Tu do­mány egye tem), Be szé des Ist ván (műsza ki és mű vé sze ti szer kesz tő/teh nič ki i umet nič ki ured nik). A­lap­ta­nács­tag­jai/Sa­vet­lis­ta: Mis kol czi Jó zsef (el nök), dr. Bá nyai Já nos, dr. Pin tér Já nos (al el nö kök), Gr go Fran ciš ko vić, dr. Hor váth Má tyás, Ku cse ra Gé za, dr. Lo soncz Al pár, Nin kov Irén, Pe tő Ist ván, Pr iboj Pot re bić Ves na, dr. Szöl lő sy Vá gó Lász ló, Var jú Pot re bić Tat ja­na, dr. Zol nai Al bert .Lek­tor: Tóth Ágota. Korrektor: Bá lint Irén.Re­zü­mé/Re­zi­me: Ti be ri je Ko pi lo vić, Szá las Tí mea.Szer­kesz­tő­ség/Ured­ništ­vo:­24000 Su bo ti ca, Age Ma mu žića 13/II., tel./fax: (024) 554­184, e­mail: ujkep@vmk.rsKiadó/Izdavač:­Vaj da sá gi Mód szer ta ni Köz pont Sza bad ka, Voj vo đans ki cen tar za me to di ku Su bo ti ca.El­nök/Pred­sed­nik: So ós Mi hály. Ké­szült/Štam­pa: Gra fo pro dukt, Sza bad ka/Su bo ti ca. Az­Új­Kép­az­in­ter­ne­ten:­www.ujkep.net

Tar ta lom Képlel-tárJovančić Miroslav: Nyolc kérdés Csernik Attilához 3

Tanulmányok, kutatásokPapdi Izabella: Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához 6

Hivatásunk eszköztárábólAmstadt Aranka: Visszatekintés – Tantárgyháló 2008 15Dr. Tátyi Tibor: Egy – a szlovák fiatalok körében végzett – felmérés kedélyborzoló eredményei 17Horváth Futó Hargita, Rokvić Erzsébet: Projektoktatás elméletben és gyakorlatban 20

Tanármelléklet: Ragyog egy másik világ – Matematika a Bolyai Tehetséggondozó Gimnáziumban 25Dr. Péics Hajnalka: Matematikatörténeti érdekességek 27Csikós Pajor Gizella: Öt év távlatából a Bolyai Tehetséggondozó Gimnáziumról 29R. Sípos Elvira: Geometria tanítása a zentai Bolyaiban 32 Szabó Magdolna: Összefoglaló a Nemzetközi Magyar Matematikaversenyekről és az azokra való felkészülésről 36Kalmár Gergely: Ragyog egy másik világ 39Diákversek 41Feladatok és megoldások 44

Hírkosár 58Számunk szerzői 60

Képlel-tár

Csernik Attila kiállítása a Képzőművészeti Találkozó Modern Galériájában, Szabadkán

Miroslav Jovančić

A szabadkai Képzőművészeti Találkozó Modern Galériájában megnyílt önálló tárlata a ■beszélgetés apropója. A megnyitón bensőséges hangulat alakult ki, hiszen jelen volt sok barátja, ismerőse. Mennyire volt fontos Önnek, hogy tárlatát a mi intézményünkben mutassák be?

– Mivel nem vagyok rajongója a tárlatoknak, nagyon ritkán van önálló kiállításom, így ez egy rendhagyó alkalom az életemben. Magyarországi ösztöndíjam feltétele az volt, hogy készítek 20-30 munkát, és ebből az anyagból kiállítást rendezek. Szabadkára esett a választásom, régi vágyam volt a szabadkai Képzőművészeti Galériában kiállí-tani. Most sikerült.

A múlt század hetvenes éveiben Ön volt az egyik legjelentősebb szereplője a vajdasági művé-■szeti életnek. Visszatekintve, hogyan értékeli azokat az éveket, amelyek során a Bosch+Bosch csoportosulás tagjaként tevékenykedett?

– Számomra sorsdöntő évek voltak azok. Akkoriban formálódott meg bennem az a lelki anyag, ami aztán folyamatosan kikívánkozott belőlem, akkor döbbentem rá, mi iránt vagyok fogékony, mi az, ami megindít bennem bizonyos folyamatokat. Egy új vizualitás kapott formát bennem. Talán az amerikai évek alapozták meg a művé-szetemet, ott jöttem rá sok mindenre, és aztán erre építgettem itthon tovább. Később megalakult Szabadkán a Bosch+Bosch csoport, és természetes volt, hogy velük együtt építettük tovább a világunkat.

Azt mondta, hogy nem szeret kiállítani. Miért?■

– A munkák ilyen módon való bemutatása a múlt század, vagy a még korábbi századok szokása volt. Természetes volna, hogy a 21. században már újabb, gyor-sabb, közvetlenebb módon álljunk a közönség elé. Pl.: tv, internet stb. De sok idő fog elmúlni, amíg mi is élni fogunk ezekkel a lehetőségekkel.

Az Ön alkotói világát túlnyomórészt a fekete-fehér tónusok uralják. A most kiállított képe-■ken azonban, visszafogottan bár, de színek is jelentkeznek. A változás jelei ezek a színek?

– Nem, továbbra is a legkedvesebb színeim a fekete és a fehér.Megkísérelt-e munkáiba könnyebben értelmezhető elemeket vinni? Ezt azért kérdezem, ■

mert alkotásaiban rejtett elemek is vannak, meseszerűek és egyéniek, amit meg szeretne osztani a publikummal. Helyes-e ez a megállapításom?

– Igen, a szöveget a legtöbb esetben a szín helyett használom, mechanikusan írok, csavargok a betűk vizuális világában, élvezem ezt. A betű csak mint forma izgat. Persze van, amikor – különösen, ha mélyről jövő problémáim vannak – írok napokig, ismétlem a szövegeket, kiírom magamból a mondanivalómat. Mondok egy példát: az utolsó háború alatt állandóan Srebrenicát, Goraždét stb.-t írtam, szinte évekig ez határozta meg munkáimat.

Ennyi év után hogyan jellemezné saját szerepét a művészi életben? Hogyan tekint művésze-■ti múltjára? És milyenek a mai tapasztalatai?

– Ezzel nem foglalkozom. Nem azért csináltam, csinálom azt, amit csinálok, hogy valamit elérjek. Teszem a dolgom, mert csak így tudok reagálni a kül- és belvilágomra. Hiszem, hogy van és lesz egy olyan réteg, amely érzékeny lesz mű-világomra.

Mi motiválja ma Csernik Attilát? Minek örül, vagy min bánkódik? Hogyan születnek a ■Csernik-művek?

– Engem a munka tart mozgásban, az ad értelmet a létezésemnek, és itt a min-dennemű munkára gondolok, nem csak az alkotómunkára. Szeretek dolgozni. Néha álmomban születnek a munkáim, de mindig a külvilágra reagálok, az hoz mozgásba.

Mi a véleménye a mai képzőművészetről? Mennyire közelítenek, illetve távolítanak az Ön ■modern művészeti felfogásaitól?

– A művészetnek mindig időszerűnek kell lennie. A ma kérdéseire kell hogy választ adjon, modern eszközökkel. A 21. század mocska, csodái, gyűrődései kell, hogy reflektálódjanak munkáimban.

Nyolc kérdés Csernik AttiláhozNyolc kérdés Csernik Attilához

Tanulmányok, kutatások6

Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához*A szerző születésének 175. évfordulóján

Papdi Izabella

Előszó

Idén van Jovan Jovanović születésének 175. évfordulója. Ez alkalomból újra előtérbe kerül az egyik legismertebb szerb lírikus életműve, jelentősége.

Jovan Jovanović 1833-ban született Újvidéken. Szülővárosában és Pozsonyban ta-nult, majd jogi, később orvosi tanulmányokat folytatott Pesten, Prágában és Bécsben. Bécsben ismerkedett meg Đura Jakšićtyal és Branko Radičevićtyel, akik nagy hatás-sal voltak rá. Orvosként dolgozott, emellett írt, szerkesztett, fordított. A 19. század közepén, végén a szerb Athénban, Újvidéken működött, abban a városban, amely abban a korban a szerb művelődési élet központját jelentette.

Életművéből a gyermekversek mellett két versfüzért szoktak kiemelni, a Đulićit (Rózsák) és a Đulići uveocit (Hervadt rózsák). Az előbbit a feleségéhez, Ruža Ličanin-hoz írta a boldog szerelem idején, az utóbbit pedig akkor, amikor a sors a gyerekei mel lett a feleségét is elvette tőle.

Számunkra Zmaj – a nevet szatírikus lapja után kapta – fordításai miatt is fontos. Első megjelent kötete is fordítás volt, méghozzá Arany János Toldija. Olyan meghatá-rozó magyar műveket ültetett át szerb nyelvre, mint Madách Imre Az ember tragédiája vagy Petőfi Sándor János vitéze. Érdemeiért a Kisfaludy Társaság 1867-ben tagjai közé választotta – ez az elismerés nem sok idegen nyelvű költőnek adatott meg.

Ennek a bibliográfiának a célja, hogy számba vegye azokat a műveit, amelyeket magyarra fordítottak, és hogy kimutassa, melyek voltak azok az évek, amikor – az évforduló miatt – Zmaj költészetével többet foglalkoztak a vajdasági és magyarországi költők.

A bibliográfiából kimaradtak azok a fordítások, amelyek a 19. század végén jelen-tek meg Budapesten, valamint és a 20. század közepén különböző antológiákban. Ezek a Jugoszláviai írók lexikonában található Zmaj-bibliográfiában találhatók.

A bibliográfiai egységek kronológiai sorrendben szerepelnek, és három részből állnak:

1. Önálló kötetben megjelent versek: 1875–1995 (7 bibliográfiai egység) 2. Antológiákban megjelent versek: 1883–2005 (14 bibliográfiai egység) 3. Folyóiratokban megjelent versek: 1904–2005 (91 bibliográfiai egység)

A bibliográfiához névmutató, címjegyzék, emellett az eredeti versek és a fordítások első és utolsó verszakainak jegyzéke járul.

Hicsik Dóra * Az inđiai XVI.

Bibliográfusok Találkozójára készült munka

Povodom 175. godišnjice rođenja Jovana Jovanovića- Zmaja zbog značaja ovog velikana kao pisca i humaniste koji je studira-jući u Mađarskoj, Češkoj i Austriji upoznao mnoge značajne ljude poput Đure Jakšića, Branka Radičevića i druge, susreo se i sa lite-rarnim delima mađarskih pisaca. Obogatio je riznicu srpske literature brojnim prevodima Petefija, Madača, Aranja i drugih za što je primljen za člana u Društvo Kišfaludi što je bio izraz posebnog uvaža-vanja. Kao plodan pisac pored lekarske prakse mnogo je pisao, prevodio i uređivao pa je zato, ne slučajno, određujući činilac u srpskoj književnosti. U ovom napisu data je opširna bibliografija prevoda njegovog opusa na mađarski jezik. Ovo je vredno pažnje jer je u pita-nju čovek koji je vezivao kulturnu baštinu naroda s ovih prostora.

Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához

1875.

JOVANOVIĆ – Zmaj, Jovan1. Rózsák [Đulići] / Jovánovits Jován dalai ; szerbből fordította Pavlovits Jenő ; a

Kisfaludy-Társaság pártfogása mellett. – Zombor : N. Bittermann, 1875. – 109 p. ; 15 cm

Bevezető előszó / Pavlovits Jenő: p. 6-15. Tartalom: Beszélgetés szívemmel [Razgovor sa srcem] (17-20) ; Rózsák [Đulići]

(21-109): I. [Úgy mosolyg a tiszta égbolt...] [Ao, nebo, plavo nebo...] (23) ; II. [Szomorú, őszi nap…] [Mračni, kratki dani...] (24-26) ; III. [Olyan az én éltem, mint egy erőd romja...] [Moj je život tužan pustolovina grdna...] (27) ; IV. [S te bátor voltál szép leány...] [I ti si hrabra bila...] (28-29) ; V. [Rozmarinszál, hagyj fel illatoddal...] [Ruzmarine, ne miriši tudi...] (30) ; VI. [Holdvilág van – pedig holdfény sincsen…] [Mesečina, - al meseca nema...] (31) ; VII. [Rád gondolva, hogyha olykor...] [Misleć na te – u tom vaju...] (32-33) ; VIII. [Fele szív, fele kő...] [Pola srce, pola kamen...] (34-35) ; IX. [Én zsarnokom, aranyos leányka...] [Devojčice, nemilice mala...] (36) ; X. [Hadd szálljak el messze, mes-sze...] [Aj, pusti me da odletim...] (37-38) ; XI. [Oh, tekints a csillagokra...] [O, pogledaj zvezde jasne...] (39) ; XII. [Kis babámat...] [Diko moja...] (40) ; XIII. [Szeretlek-e…vagy ámít az álom...] [Ljubim li te...il me sanak vara...] (41) ; XIV. [Mondd meg nekem, mondd meg...] [Kaži mi, kaži...] (42-43) ; XV. [Szűnj meg könnyezni annyit...] [I molio sam oči...] (44-45) ; XVI. [Tud-e éjjel sütni...] [Može l sunce sjati...] (46) ; XVII. [Lám, most hozzád jöttem, rózsám...] [Vidiš, sad sam došo k tebi...] (47-48) ; XVIII. [Ne félj, ne félj, nem így van ez...] [Ta ne boj se, nije tako...] (49-50) ; XIX. [Szeress engem, szép szerető...] [Ljubi mene, ljubovanko...] (51-52) ; XX. [Piros rózsa és fehér...] [Oj, ružice, cvete viti...] (53) ; XXI. [Ha nem volnál szerb leányka...] [Da ti nisi srpska moma...] (54) ; XXII. [E dalokat majd olvassa...] [Svet će čitat pesme moje...] (55) ; XXIII. [Hej! Szerelmem, tündéri sze-relmem...] [Oj, ljubavi, vidovita vilo...] (56-58) ; XXIV. [Adsza kezed, hadd néz-zem meg…] [Daj mi ruku da je vidim...] (59) ; XXV. [Volna nekem olyan galamb és pacsirta...] [Da je meni ševče i golupče...] (60) ; XXVI. [Álmodtalak tarka virágágyon...] [Snivo sam te, a ti puna cveća...] (61) ; XXVII. [Lányom, lányom, égő vágyom...] [Oj, devojko željo živa...] (62) ; XXVIII. [Éjszak, lassan…] [Tijo, noći...] (63) ; XXIX. [Halavány hold, bút okoztál nékem...] [Oj, meseče, mnogo mi je krivo...] (64) ; XXX. [Van elég dal, hogyha nincsen aranyom...] [Imam pesme, ako nemam zlata...] (65) ; XXXI. [Én szeretőm, az este voltál...] [Moj dra-gane, gde si sinoć bio...] (66) ; XXXII. [Ottan, ottan, a távolban...] [Tamo, tamo u daljini...] (67-68) ; XXXIII. [Dalokkal feldíszítlek...] [Nagizdaću te, dušo...] (69) ; XXXIV. [Lakadalom…jönnek érted…] [Nakićeni tvoji svati...] (70) ; XXXV. [Mosolyognak, gúnyolódnak...] [Hoće da se i nasmeju...] (71) ; XXXVI. [Miért daloljak én...] [A našto moje pesme...] (72) ; XXXVII. [Oh, mi szép...] [Ala je lep...] (73) ; XXXVIII. [Szép galambom, majd elmondom...] [Dušo moja, šta sam snio...] (74-76) ; XXXIX. [Hajnalba, lelkem...] [Kad prvo sunce...] (77-78) ; XL.

Papdi Izabella8

[Könnyű múlni a setét éjszaknak...] [Crna noći, lasno ti je proći...] (79) ; XLI. [Remegnek sziveink...] [Srca strepe kašto...] (80) ; XLII. [Öltöztetlek, dalocskám, virágba...] [Pesmo moja, zakiti se cvetom...] (81) ; XLIII. [Csendes este – csillagok az égen…] [Noć je tija, - mesečina sija...] (82) ; XLIV. [Imádkozol-e te, világ...] [A moliš li se, svete...] (83-84) ; XLV. [Napok, ti nem vagytok napok...] [Oj, vi dani, niste dani...] (85) ; XLVI. [Hol erős, hol gyenge...] [Đulići, đulići...] (86) ; XLVII. [Tudod, kedves, az az álom...] [Znaš li, dragi onaj sanak...] (87) ; XLVIII. [Fenn az égbolt, fenn csillagok...] [Nebo gori, zvezde gore...] (88-90) ; XLIX. [Jertek ide, dalnoktársak...] [Hod te, braćo, pevidruzi...] (91-92) ; L. [Ősz volt akkor…olyan komor...] [Jesen bila žalostiva...] (93-95) ; LI. [Azt is mondom és feltárom...] [Ja ti moram i to reći...] (96-97) ; LII. [Ott a szép szürkület...] [Kad zarudi zora...] (98) ; LIII. [Azt kérdezed : miért nézlek...] [Ti me pitaš što te gledam...] (99) ; LIV. [Hallod, rózsám, hogyan sóhajt...] [Čuješ, lane, čuješ li ga...] (100) ; LV. [Ha imára nyílik ajkad...] [Kad se moliš višnjem bogu...] (101) ; LVI. Az anya fia bölcsőjénél [Mati sinu kod kolevke] (102-103) ; LVII. [Karácsony, karácsony!...] [Božić, Božić, mio danak...] (104-105) ; LVIII. [Ihaj! babám...] [Šalaj, luče...] (106-108) ; LIX. [Azt kérded majd, szép galambom...] [Pitaćeš me, moje čedo...] (109).

1950.

2. Gyerekek, madarak, állatok [Deca, ptice i zverčice] / Jován Jovánovics-Zmáj ; [fordította Gál László ; a cimlapot és a képeket Bosko Petrovics festőművész készítette]. – Noviszád : Testvériség-Egység, 1950 (Noviszád : Budutynoszt). – 67 p. : ill. ; 28 cm

Tartalom: A gólya [Roda] (5) ; Tapsi-nóta [Taši, taši] (6) ; Gyerünk az erdőbe [Hajd’ u šumu] (6) ; Tavaszköszöntő [Prolećnica] (7) ; Eső [Kiša] (8) ; A szél [Vetar] (8) ; Hej, tudnék én --- [Konjanik] (9) ; A kis lovas [Mali konjanik] (9) ; A macska [Mače] (10) ; Beszélgetés a cicával [Razgovor s mačetom] (11) ; Hogyan fogja a macska az egeret [Kako hvata mačka miša] (12) ; No, hogy ezt megértük --- [Eto šta smo dočekali] (13) ; Kicsi hajó [Šta ja vidim] (14) ; Barika [Meja] (14) ; Bari, barika [Mejo, mejane] (14) ; A szétvert hadsereg [Razbijena vojska] (15) ; A mókus [Veverica] (16) ; A reggeli [Doručak] (17) ; Cica-mica, Bundás kutya [Cica-maca i Rundov-bundov] (18-19) ; A veréb és a macska [Vrabac i mačka] (19) ; Két nyúl [Dva zeca] (20) ; Kedves helyen [Zgodno mesto] (21) ; Macska a csapdában [Marko u škripu] (22-23) ; A seregély [Čvorak] (24) ; Kácsa-iskola [Pačija škola] (25) ; A szél és a nap [Sunce i vetar] (26) ; Jolánka, kis kertész [Jovanka baštovanka] (27) ; Téli dal [Zimska pesma] (28) ; A jégen [Na ledu] (29) ; A bíbic [Vivak] (30) ; A veréb télen [Vrabac ob zimi] (31) ; Gombóc kutya [Belov] (32) ; Hoj, ne, Bimbó! [Pij-der, voko, pij] (33) ; Egér, kis egér [O mišu] (34) ; A pulyka és a veréb [Ćurak i vrabac] (35) ; A kakas kiadja a napiparancsot [Petao izdaje zapovesti] (36) ; A kakas [Petao] (37) ; A bolha és a légy [Buha i muha] (38) ; A kakas temetése [Petlov pogreb] (39) ; Öreg néni [Stara baka] (40) ; Mama kedvence [Materina maza] (41) ; A kácsa és a béka [Patak i žaba] (42-43) ; A nyúl halála [Zečija smrt] (44) ; Nyúl az árok partján [Zeka, zeka iz jendeka] (45) ; A medve mézet keres [Medved traži meda] (46) ; A róka és a kácsa [Lisica i plovka]

Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához

(47) ; A cigány a maga lovát dicséri [Ciganin hvali svoga konja] (48-49) ; A róka és a tyúk [Lisica i kokoška] (49) ; Tánc [Igranka] (50) ; Mulatság a réten [Veselje u ritu] (51) ; Erősebb a testvériség [Nećeš, lijo, što si htela!] (52-53) ; Bajban a pók [Pauk u opasnosti] (54) ; Juj, szomszédasszony! [Uh! Uh! Uh!] (54) ; Peti doktor [Pera kao doktor] (55) ; A kis Jancsi [Mali Jova] (56) ; A madárijesztő [Strašilo] (57) ; Gazsi [Gaša] (58) ; A kecske és a csúfolódó gyerekek [Deca se rugala jarcu] (59) ; Fecskék és fecskék [Laste i laste] (60) ; Ültess fácskát [Sadi drvo] (61) ; Számtan [Račun] (62) ; Galambocskám [Golubice moja] (63) ; Mi volna? [Kako bi] (64-65) ; Jegyzet [Obeležja] (66) ; Sötét [Mrak] (66) ; Este [Veče] (67).

1983.

3. Hol megálltam --- [Gde ja stadoh...] : válogatott versek / Jovan Jovanović Zmaj ; összeállította Ács Károly ; Mladen Leskovac előszavával ; fordította: Ács Károly, Csuka Zoltán, Dudás Kálmán, Fehér Ferenc, Gál László, Pap József, Szászy István, Vajda János, Weöres Sándor. – Újvidék : Forum, 1983. – 167 p. ; 25 cm

Példányszám 1500

Papdi Izabella

Tartalom: Zmaj / Mladen Leskovac ; Ács Károly fordítása: p. 5-23. - Dal a dal-ról [Pesma o pesmi] / ford. Ács Károly (25-29). I (33-61) : Ablak alatt [Pod prozorom] / ford. Ács Károly (33) ; Valahányszor eszembe jut --- [Kad se setim ---] / ford. Ács Károly (34) ; Rózsák : 2. : [Sötét, rövid napok...] [Mračni, kratki dani...] / ford. Fehér Ferenc (35-36) ; 3. : [Az én bús életem, mint a puszta róna...] [Moj je život tužan pustolovina grdna...] / ford. Szászy István (37) ; 7. : [Holdvilág van – de hold nincs az égen...] [Mesečina, al’ meseca nema...] / ford. Ács Károly (38) ; 14. : [Szeretlek-e...vagy puszta káprázat...] [Ljubim li te...il’ me sanak vara...] / ford. Ács Károly (39) ; 17. : [Mondd csak, mondd, mondd...] [Kaži mi, kaži...] / ford. Dudás Kálmán (40) ; 29. : [Add a kezed, hadd láthassam...] [Daj mi ruku, da je vidim...] / ford. Csuka Zoltán (41) ; 30. : [Pacsirtám ha lenne, vagy gerlicém...] [Da je meni ševče il’ golupče...] / ford. Pap József (42) ; 30. : [Ha kertemben olyan madár volna...] [Da je meni ševče il’ golupče...] / ford. Ács Károly (42) ; 32. : [Azt álmodtam, virágok takartak...] [Snivo sam te, a ti puna cveća...] / ford. Fehér Ferenc (43) ; 33. : [Halk légy most, éj...] [Tijo, noći...] / ford. Fehér Ferenc (44) ; 40. : [Kinevetnek az emberek...] [Hoće da se i nasmeju...] / ford. Csuka Zoltán (45) ; 42. : [Oh, mi szép is...] [Ala je lep...] / ford. Szászy István (46) ; 42. [Oh, be szép...] [Ala je lep...] / ford. Csuka Zoltán (46) ; 42. [Jaj, de csodás...] [Ala je lep...] / ford. Fehér Ferenc (46) ; 47. : [Ölts magadra, dal, csupa virágot...] [Pesmo moja, zakiti se cvetom...] / ford. Szászy István (47) ; 60. : [Hallod édes!...Csalogány zeng...] [Čuješ, lane, čuješ li ga...] / ford. Szászy István (48) ; 71. : [Kérdezgeted, édes lelkem...] [Pitaćeš me, moje čedo...] / ford. Szászy István (49). Hervadt rózsák : 4. : [Járok, kelek, roskadozom inkább...] [Pođem, klecnem, idem zastajavam...] / ford. Fehér Ferenc (50) ; 7. : [Felkél a nap, belepillant...] [Sunce s’ rodi, pa zaviri...] / ford. Ács Károly (51) ; 10. : [Hát szeretnem sem szabad már?...] [Zar ja ljubit’ više ne smem?...] / ford. Szászy István (52-53) ; 16. : [Lombos dombhát, lombo-sodj...] [Listaj, goro, listala...] / ford. Fehér Ferenc(54) ; 18. : [Poros könyvek közt kutatván...] [Spaljena pesma] / ford. Ács Károly (55-56) ; 21. : [Nagy szélvihar kerekedett...] [Probudio s’ orkan ljuti...] / ford. Fehér Ferenc (57) ; 22. : [Oh, be szürke bús, borús nap...] [Oh, kako je sivo, tamno...] / ford. Dudás Kálmán (58) ; 30. : [Mint van, hogy az irigy való...] [Što je java tako kivna...] / ford. Fehér Ferenc (59) ; 44. : [Az én egem, mert beborúlt...] [Moje nebo, jer je mutno...] / ford. Ács Károly (60) ; Háfiz sírjánál [Na grobu Hafisovom] / ford. Weöres Sándor (61) ; Háfiz sírfelirata [Na grobu Hafisovom] / ford. Ács Károly (61). II (65-71) : Lem-Edim [Lem-Edim] / ford. Ács Károly (65-66) ; Szelim-bég [Selim-beg] / ford. Ács Károly (67) ; Három hajdú [Tri hajduka] / ford. Dudás Kálmán (68-71). III (75-87) : Óda a csutorámhoz [Oda mojoj čuturi] / for. Fehér Ferenc (75-76) ; Óda az ördöghöz : (legyen a pokolban is vásár) [Oda đavolu] / ford. Fehér Ferenc (77-79) ; A cigány a lovát dicséri [Ciganin hvali svoga konja] / ford. Fehér Ferenc (80-82) ; Akkor értem! : cigány ballada [Sad razumem!] / ford. Szászy István (83) ; Az elefánt [Slon] / ford. Ács Károly (84-87). IV (91-104) : Változó természet [Narav se menja] / ford. Ács Károly (91) ; Ha én király volnék [Da sam ja kralj] / ford. Fehér Ferenc (92-93) ; A szél [Vetar] / ford. Gál László (94) ; A macska lakomája [Kod mačke na časti] / ford. Ács Károly (95) ; A macska egérlakoda-lomba megy [Mačak ide mišu u svatove] / ford. Fehér Ferenc (96-97) ; A pulyka és a veréb [Ćurak i vrabac] / ford. Fehér Frenc (98-99) ; A kacsa és a béka [Patak

Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához 11

i žaba] / ford. Fehér Ferenc (100-101) ; A róka és a kácsa [Lisica i plovka] / ford. Gál László (102) ; Ismertetőjelek [Obeležja] / ford. Ács Károly (103) ; Nagyapó és unokája [Ded i unuk] / ford. Ács Károly (104). V (107-121) : Bildung [Bildung] / ford. Ács Károly (107-108) ; Tanács : elkeseredett, világfájdalmas lelkeknek [Savet] / ford. Vajda János (109-110) ; Díszes küldöttség [Slavna deputacija] / ford. Ács Károly (111-112) ; Jututuniai juhhahaha [Jututunska juhahaha] / ford. Gál László (113-114) ; A bárgyúk himnusza [Jututunska narodna himna] / ford. Pap József (115-116) ; Egy herceg születésére [Pesma pri rođenju jednog princa] / ford. Ács Károly (117) ; Csúszómászólógiai megfigyelés [Puzologično posmatranje] / ford. Ács Károly (118) ; A legesleglojálisabb polgár dala [Pesma jednog najlojalnijeg građanina] / ford. Fehér Ferenc (119-121). VI (125-142) : A kegyes Európához : (a kivégzett kommunisták sírjánál) [Milostivoj Evropi] / ford. Csuka Zoltán (125); Az eperfa [Dud-] / ford. Gál László (126-127) ; A vas [Gvožđe] / ford. Szászy István (128-129) ; A nép [Narod] / ford. Fehér Ferenc (130-131) ; Alija [Alija] / ford. Fehér Ferenc (132-133) ; Haj-haj : (egy röpke sóhaj) [Haj-haj] / ford. Fehér Ferenc (134-135) ; Ha valahogy --- [Da se nešto ---] / ford. Ács Károly (136) ; Késő [Poneari] / ford. Ács Károly (137-138) ; Bizakodók [Uzdanje u boga] / ford. Ács Károly (139) ; Két hegy [Dvije gore] / ford. Ács Károly (140) ; Régi dal [Stara pesma] / ford. Fehér Ferenc (141-142). VII (145-153) : Bisenija [Bisenija] / ford. Fehér Ferenc (145) ; A méhek és Nedeljko esperes [Pčele i protopop Neđeljko] / ford. Fehér Ferenc(146-147) ; Döngés---csörgés--- [Huka---treska---] / ford. Ács Károly (148-149) ; Az idő szárnya és szárnyalja [Krila i okrilja vremena] / ford. Ács Károly (150) ; Kiszakadt [Otkide se] / ford. Ács Károly (151) ; Tavasszal [U proleće] / ford. Szászy István (152) ; Ősz [Jesen] / ford. Ács Károly (153). Fénylő sírok [Svetli grobovi] / ford. Dudás Kálmán (157-160). – A szerkesztő jegyzete / Á.[Ács] K.[Károly]: p. 161-163.

ISBN 963-07-3416-8

1986.

4. Oh, mi szép is --- [Ala je lep...] : gyermekvers-válogatás : [házi olvasmány az általá-nos iskolai nevelés és oktatás 1. osztálya számára] / Jovan Jovanović Zmaj ; [válo-gatta Vladimir Milarić ; a fedőlapot készítette és illusztrálta Radule Bošković]. – Újvidék : Tankönyvkiadó Intézet = Novi Sad : Zavod za izdavanje udžbenika, 1986 (Bezdan : Vojvodina). – 35 p. : ill. u boji ; 20 cm. – (Házi olvasmány 1.)

Példányszám 4000 Tartalom: OH, MI SZÉP IS E VILÁG! (5-11) : Oh, mi szép is--- [Ala je lep] / ford.

Szászy István (5) ; Tavaszi dal [Prolećnica] / ford. Fehér Ferenc (6-7) ; Tapsi, tapsi [Taši, Taši] / ford. Sziveri János (8-11). PICI GYERMEK, KICSI BÁRKA, KICSI TENGER (15-21) : Mit látok én [Šta ja vidim] / ford. Sziveri János (15) ; A kis lovas [Mali konjanik] / ford. Fehér Ferenc (16) ; Varrónő a közepéből [Krojač iz-srede] / ford. Sziveri János (18) ; A kis Fema [Mala Fema] / ford. Sziveri János (18) ; Öcsi [Mali brata] / ford. Sziveri János (19) ; A kis sebész [] / ford. Fehér Ferenc (20) ; Mit válaszoljak anyunak? [Šta da odgovorim materi] / ford. Sziveri János (21). A MACSKA NEM AKAR JÁTSZANI (25-34) : A gyermek és a lepke

Papdi Izabella

[Dete i leptir] / ford. Sziveri János (25) ; A macska nem akar játszani [Neće mačka da se sigramo] / ford. Sziveri János (26) ; A mókus [Veverica] / ford. Sziveri János (27) ; A macska egérlakodalomba megy [Mačak ide mišu u svatove] / ford. Fehér Ferenc (28) ; Kácsaiskola [Pačija škola] / ford. Gál László (31-32) ; Nyugtom soha nincsen [Nikad mira] / ford. Sziveri János (33-34).

1988.

5. Oh, mi szép is --- [Ala je lep...] : gyermekvers-válogatás : házi olvasmány az általános iskolák 1. osztálya számára / Jovan Jovanović Zmaj ; [válogatta Vladimir Milarić ; illusztrálta Radule Bošković]. – 2. kiad. - Újvidék : Tankönyvkiadó Intézet = Novi Sad : Zavod za izdavanje udžbenika, 1988 (Szabadka : Birografika). – 35 p. : ill. u boji ; 20 cm. – (Házi olvasmány 1)

Példányszám 4000.

Adalék a Zmaj-fordítások bibliográfiájához 13

1991.

6. Oh, mi szép is --- [Ala je lep...] : gyermekvers-válogatás : házi olvasmány az általános iskolák 1. osztálya számára / Jovan Jovanović Zmaj ; [válogatta Vladimir Milarić ; illusztrálta Radule Bošković]. – 3. kiad. - Újvidék : Tankönyvkiadó Intézet = Novi Sad : Zavod za izdavanje udžbenika, 1991 (Szabadka : Birografika). – 35 p. : ill. u boji ; 20 cm. – (Házi olvasmány 1)

Példányszám: 3000.

1995.

7. Ültess fát [Sadi drvo]: válogatott versek / Jovan Jovanović Zmaj ; [fordította Túri Gábor ; illusztrálta Pósa Károly]. - [1. kiad.]. – Kanizsa : a fordító magánkiadása, 1995 (Tótfalu : Logos). – 137 p. : ill. ; 24 cm

Példányszám: 1000 Tartalom: I. Az apró óriás (5-39) : A csöppnyi lányka [Mala] (7) ; Zsuzska és a

kutyuska [Juca i kuca] (8) ; Évi és a nagy alma [Juca sa velikom jabukom] (9) ; A szilvafa alatt [Pod šljivom] (10) ; Aki ennyi kínt kiáll [Ala su to grdne muke] (11) ; Az apró óriás [Mali div] (12) ; Ínycsiklandó étkek [Ala lepih stvari] (13) ; Ébredés [Posle sna] (14) ; A lusta Ferdi [Leni Rava] (15) ; A kis Féma [Mala Fema] (16) ; Öcsi és az óra [Mali brata] (17) ; A száguldó lovas [Mali konjanik] (18) ; Nem ázik meg [Ne pokisne] (19) ; Az éjjeliőr [Noćni stražar] (20-21) ; Peti doktor [Pera kao doktor] (22) ; A nagy titok [Velika tajna] (23) ; Józsi és a liba [Joja i guska] (24) ; A macska nem akar játszani [Neće mačka da se sigramo] (25) ; Tádé [Nika] (26) ; Anyuka kedvence [Materina maza] (27) ; Melyik jobb? [Koje je bolje] (28) ; Hogy festene [Kako bi] (29) ; Lusta Gazsi [Gaša] (30-31) ; Amit látok [Šta ja vidim] (32) ; Tengerészek egy kikötött csónakon [Brodari na vezanom čamcu] (33) ; A hadsereg [Vojska, pa vojska] (34) ; Az elnémúlt hadse-reg [Zašto je vojska ućutala] (35) ; Tapsi, tapsi [Taši, taši] (36-37) ; Ha én király lennék [Da sam ja kralj] (38) ; Hívogató mulatságba [Poziv u komendiju] (39). – II. A kacsatanoda (41-74) : Mi lenne, ha--- [Kad bi] (43) ; A szeretetre méltó ludak [Volim guske] (44) ; Naposcsibék [Danaske se tek izleglo] (45) ; Tyúkanyó, nevelt gyermekéhez, a neveletlen kacsafiókához [Pomajka kokoška nevaljalom pačetu] (46) ; Ohohoho! [Oho-oho] (47) ; A kacsatanoda [Pačija škola] (48) ; A gácsér és a békák [Patak i žaba] (49) ; Újságot olvas a béka [Žaba čita novine] (50) ; Lakoma végeztével [Posle gozbe] (51) ; A műugróbajnok és a kecskebéka [Plivač i žaba] (52) ; A csacsi és a furulya [Magarac i frula] (53) ; A seregély [Čvorak] (54-55) ; Kutya élet [Nikad mira] (56) ; A könnyelmű csuka [Lakoumna štuka] (57) ; A gyászoló egér [Tuga i žalost jednog miša] (58) ; Egerek a macskánál ebé-den [Kod mačka na časti] (59) ; Ilyesmi is ritkán esik [E, ovo retko biva] (60) ; A macska egérlagziba megy [Mačak ide mišu u svatove] (61) ; Macskajaj [Mačkovo jadanje] (62) ; Bál lesz [Biće igranka] (63) ; A veréb és a macska [Vrabac i mačka] (64) ; A ló és a veréb [Konj i vrabac] (65) ; A gyermek és a pillangó [Dete i leptir] (66) ; A nap és a szél [Sunce i vetar] (67) ; A kecske nem ismer tréfát [Ne zna koza za šalu] (68) ; Madár a kalitkában [Ptica u kavezu] (69) ; Az elefánt [Slon]

Papdi Izabella

(70-71) ; Cigány a lovát dicséri [Ciganin hvali svoga konja] (72-74). – III. Születik a nap, s lenéz rám (75-97) : A világ [Svet] (77) ; Hajtsad, domb, a levelet [Listaj, goro, listala] (78) ; Holdfény ragyog, s hold nincs is az égen [Mesečina al’ meseca nema] (79) ; Csitt, te éj [Tijo, noći] (80) ; Mond, nosza mondjad [Kaži mi, kaži] (81) ; Álmot láttam: gyöngyvirág borított [Snivo sam te, a ti puna cveća] (82) ; És kértem a szemem [I molio sam oči] (83) ; Forgatva sok régi könyvet [Prevrćući prašne knjige] (84) ; Óda a kecsegéhez [Oda kečigi] (85-86) ; Ősz [Jesen] (88) ; Születik a nap, s lenéz rám [Sunce s’ rodi, pa zaviri] (89) ; Komor, kurta nappal [Mračni, kratki dani] (90-91) ; Gondolkodj el: sebeket nem [Promisli se-nisu rane] (92) ; Oh, mi szürkeség, sötétség [Oh, kako je sivo, tamno] (93) ; Milyen senki [Sitni li su] (94) ; Mért néz rám így minden ember [Što me ljudi glede tako] (95) ; Lépek, állok, járok szobahosszán [Pođem, klecnem, idem, zastajavam] (96) ; Bazsalikom illatával [Ruzmarine, ne miriši tudi] (97). – IV. A dal dala (99-123) : Az igazság [Istina] (101) ; A hazugság [Laž] (101) ; A tisztesség [Poštenje] (102) ; A szép szó [Lepa reč] (102) ; Szerencse és ész [Sreća i pamet] (103) ; Kevés és sok [Malo i mnogo] (103) ; Az elherdált idő [Propušteno vreme] (104) ; Ültess fát [Sadi drvo] (104) ; Uh! Uh! Uh! [Uh! Uh! Uh!] (105) ; Cigányasszony [Ciganka] (106) ; Bildung [Bildung] (107) ; A leglojálisabb alattvaló dala [Pesma jednog najlojalnijeg građanina] (108-109) ; A nép [Narod] (110) ; Jututúniai nemzeti himnusz [Jututunska narodna himna] (111) ; A három betyár [Tri hajduka] (112-115) ; A dal dala [Pesma o pesmi] (116-119) ; A fénylő sírok [Svetli grobovi] (120-123). – Melléklet (125-134) : Jovan Jovanović Zmaj (1833-1904) / Túri Gábor (127-131) ; Könyvünk tartalmáról (132) ; A forditóról (133) ; Az illusztrá-torról (134).

ISBN 86-82617-01-3

NÉVMUTATÓ

Ács Károly 9-10Bošković, Radule 11-13Csuka Zoltán 9-11Dudás Kálmán 9-11Fehér Ferenc9-12Gál László 8-12Leskovac, Mladen 9-10Milarić, Vladimir 11-13Pap József 9-11Pavlovits Jenő 7Petrović, Boško (Petrovics

Bosko) 8Szászy István 9-11Sziveri János 11-12Túri Gábor 7Vajda János 10-11Weöres Sándor 10

Hivatásunk eszköztárából

Tantárgyháló – 2008

Amstadt Aranka

Tizenegyedik alkalommal hirdette meg versenyét Tantárgyháló címmel az Új Kép.Az idei verseny célja az volt, hogy egy-egy téma minél több tantárgy szemszögéből

legyen megvilágítva. Kiváló munkák érkeztek, tartalmilag logikus egységet alkotva, gazdagon illusztrált képekkel, grafikonokkal, térképekkel társítva.

A sok beérkezett pályamunka elbírálása után 15 munka szerzőjét hívtuk meg a döntőre. A zárórendezvényt október 4-én tartottuk. Felhívásunknak eleget téve szebb-nél-szebb, ötletes plakátot, modellt készítettek a diákok, amelyeket az ötperces expo-zéjukban illusztrációként alkalmaztak is. Számos tanuló készített Power Point progra-mos prezentációt, ennek segítségével tette színesebbé munkájának ismertetését.

A dolgozatok bemutatásának többségénél bebizonyosodott, hogy a munkák önál-lóan készültek.

A témával mélyrehatóan és rendkívül ötletesen foglalkoztak a tanulók. Fontos je-lentőséget tulajdonítottak a jelmezeknek, a hagyományápolásnak, valamint a szívük-höz közelálló földrajzi helyek szemléltetésének. A találékonyság és a fantázia mellett igen fontos szerephez jutott a tudás, a lélekjelenlét, a helyzetfelismerés és az anyanyelvi kultúra is.

Amstadt Aranka16

Minden egyes kiselőadást véleményezés és beszélgetés követett, amelynek során a versenybizottság tagjai a témával kapcsolatban kérdéseket tettek fel. A válaszadás nem volt mindig könnyű, hiszen a bizottság széles és átfogó ismereteket követelt minden versenyzőtől.

Az ebéd után mindannyian nagy érdeklődéssel hallgattuk meg Molnár Edvárd előadását, amely a jó fotó készítésének titkairól szólt.

Az előadás után a díjkiosztás következett:

Bikár Angéla (Martonos, J. J Zmaj Á. I. Témavezető: Törteli Telek Márta) fődíjat kapott széleskörű, ötletes munkájáért és az elbűvölő prezentációjáért.

Fodor Csilla (Magyarittabé, Miloš Crnjanski Á. I. Témavezető: Jámbor Zsuzsanna) díjat kapott a falu helyismereti anyagának felkutatásáért és az összegyűjtött isme-retek pompás bemutatásáért.

Lukácsi Olga (Magyarkanizsa, J. J. Zmaj Á. I. Témavezető: Sarnyai Mária) díjat kapott alapos és részletekre kiterjedő kutatásáért.

Salling Melissza (Szabadka, Majsai Úti Á. I. Témavezető: Mészáros Borbély Tünde ) díjat kapott kimagasló előadásáért.

Siflis Anna (Szabadka, Majsai Úti Á. I. Témavezető: Mészáros Borbély Tünde) díjat kapott a témában való jártasságáért.

Nothof Dávid, Sipos Kilián (Tornyos, Tömörkény István Á.I) díjat kapott sokoldalú és érdekes előadásáért.

A középiskolás tanulók főleg kézügyességről, találékonyságról tettek tanúbizony-ságot. Az általuk bemutatott modellek a képzelőerő korlátlanságát tükrözték.

A legjobb középiskolai munkát Tóth Ádám Károly (Szabadka, Bosa Miličević Középiskola, Témavezető: Szabó Cibolya Teréz) prezentálta.

Egyetlen versenyző sem tért haza üres kézzel, mindenki ajándékcsomagot kapott.

Úgy véljük, ez a szombati nap mindenki számára emlékezetes marad, hiszen vál-tozatos témafeldolgozásokat láttunk, és együtt örültünk tanulóink talpraesettségének. Külön köszönjük a tanárkollégáknak, hogy felhívják a gyerekek figyelmét a versenyre és foglalkoztak az érdeklődőkkel.

Már most szeretnénk jelezni, hogy hamarosan meghirdetjük a XII. Tantárgyháló versenyt, amelyre kisebb módosításokat látunk elő.

Addig is sikeres munkát kívánunk mindenkinek!

Hivatásunk eszköztárából

Tátyi Tibor

A Nyitott Társadalomért Alapítvány nemrégiben tette közzé annak a felmérésnek az eredményét, melyet az alapítvány munkatársai 955 szlovák nemzetiségű nyolcadik és kilencedik osztályos tanuló bevonásával végeztek 2008 márciusa és áprilisa között. Az eredményről elsők közt a SME című szlovák liberális napilap közölt egy összefoglaló cikket (2008. augusztus 21-ei kiadás), és ugyancsak itt lehetett olvasni a megdöbbentő eredményről, mely szerint a megkérdezett tanulók 36,7 százaléka kimondottan nega-tívan viszonyul a magyarokhoz, 34 százalékuk pedig a roma nemzetiségűekhez.

Úgy vélem, hogy mindenképpen érdemes – legalább vázlatpontszerűen – ismer-tetni a felmérés további eredményeit is, hogy a vajdasági olvasók világosabb képet kaphassanak a részletekről:

� a felmérésben részt vevő tanulók két harmada ugyan pozitív módon viszonyul a kulturális különbözőséghez, de a kulturálisan eltérő közösségek iránt mégis inkább negatív érzéseket táplál: leginkább negatív a viszony a magyarokhoz és a romákhoz

Tátyi Tibor18

→ a megkérdezettek 57,7 százaléka úgy gondolja, hogy „Szlovákia a szlovákok országa és ennek így is kell maradnia”

→ 63,3 százalékuk szerint a magyar nemzetiségű lakosoknak nyilvános helyen csak szlovákul kellene beszélniük, magyarul pedig kizárólag otthon

→ a kisebbségekről, úgy általában, a megszólított tanulók elég keveset tudnak, a feltett kilenc kérdésnek csak mintegy a harmadára tudták a helyes választ

Talán nem túlzás azt állítani, hogy a közzétett eredmények sokkolták, elsősorban a szlovákiai magyar közélet szereplőit, de Magyarországon is meglehetősen nagy visszhangra találtak, és amint az ilyenkor lenni szokott, szinte rögtön politikai síkra terelődött az egész. Még a magyar és a szlovák miniszterelnök rövid, szeptember eleji brüsszeli találkozóján is szóba került, de a szlovák kormányfő azzal védekezett, hogy az eredmény nem hiteles és nem is mérvadó. A Nyitott Társadalomért Alapítvány vezetője egyébként a sajtóban leszögezte, hogy a felmérés része egy 53 szubjektumból – többek közt kormányon kívüli szervezetek, állami szervezetek, Állami Pedagógiai Intézet – álló és szakemberek közt közel két évig tartó vitasorozatnak a multikulturális nevelésről és annak eredményeit könyv formájában is megjelentetik.

Visszatérve a felmérés eredményeire, több szakember is kifejtette véleményét a fő-képp magyarokkal kapcsolatos, szlovák fiatalok körében meglévő ellenszenv okairól, és szinte mindegyikük ugyanarra, vagy nagyon hasonló végkövetkeztetésre jutott: a szlovák politikai életben, mégpedig a legfelső, kormányzati szinten is megnyilvánuló magyarellenesség kezdi éreztetni a hatását. A tizenéves korosztályra nagy hatással van a média, és az ott – legfőképpen politikusok és közéleti emberek – szájából elhang-zott nézetek igenis formálják nézeteiket és felfogásukat. Az alapítvány szakemberei a növekvő idegen- és magyarellenességet azzal magyarázzák, hogy amióta a szélsőséges nézeteket valló Szlovák Nemzeti Párt a szlovák kormánykoalíció tagja, megszaporod-tak a nacionalista jellegű megnyilvánulások és nyilatkozatok a médiában.

További probléma, vélik a szakemberek, hogy a tanulóifjúságra nem csak a média hat negatívan ilyen értelemben, de sokszor a pedagógusok nagy része is tele van előí-téletekkel. Pedig éppen nekik kellene az írott és elektronikus sajtóból feléjük áramló, a kisebbségekkel és főképp a magyarokkal szembeni sokszor torz képet árnyalni, finomítani. Szomorú, de tény az, hogy a nemzetiségi szempontból homogén, tehát teljesen szlovák közegben élő tanulóknak és pedagógusaiknak egyszerűen nincsenek saját tapasztalataik a nemzetiségekkel való együttélésről. Sokan pedig nem is talál-koztak magyar nemzetiségű egyénnel. A felmérésből egyébként az is kiderült, hogy az előítélet és a negatív hozzáállás a többségi nemzethez tartozó fiatalok esetében oldódik és enyhül, mihelyt sikerül személyes tapasztalatokat szerezniük, és személyes kapcso-latba kerülniük pl. romákkal vagy magyarokkal.

Az alapítvány munkatársai, az előítéletességet enyhítendő, már évek óta javasolják, hogy az iskolai oktatásba kerüljön be új témaként a multikulturális nevelés. Ez alatt a szakemberek tulajdonképpen több nevelési módszer és forma együttes kombináci-óját értik, de nem kötnék szorosan egyetlen iskolai tantárgyhoz sem. Elsősorban az iskolán kívüli aktivitásokat részesítenék előnyben, mint pl. kulturális rendezvények, kiállítások, koncertek látogatása, ahol a kulturális sokszínűséggel szembesülhetnének, de elképzelhető akár a Szlovákiában élő, idegen származású egyénekkel való szemé-

Očigledno je, da tendencije nisu dobre i da date napo-mene moraju upozoravati svaku zajednicu na to da obrate pažnju da neman nacionalizma ne podigne glavu.

Egy – a szlovák fiatalok körében végzett – felmérés kedélyborzoló eredményei

lyes találkozás, kapcsolatfelvétel is. A célja ennek a multikulturális nevelésnek tehát mindenképpen az lenne, hogy valamennyire sikerüljön lerombolni vagy legalább első lépésként rést ütni az eltérő kultúrákkal szembeni előítéletesség falán. A szeptem-bertől beindult szlovák oktatásügyi reform egyébként már számol ezzel a sajátos és tájainkon újdonságnak számító nevelési formával, persze kérdés, hogy a gyakorlatban mit sikerül mindebből megvalósítani.

További kedélyborzoló eredménye a felmérésnek az a megállapítás, hogy a meg-kérdezett tanulók többsége Szlovákiára úgy tekint, mint a szlovák nemzetiségűek államára, tehát az országot mintegy a szlovák etnikum tulajdonaként fogják fel. Tulajdonképpen ez az eredmény sem meglepő, ha figyelembe vesszük, hogy a szlo-vák történelemírás szinte kizárólag ellenséget lát a magyarokban, akik úgymond szétverték a Nagymorva Birodalmat, és ezer évig állítólag elnyomták a szlovákokat. De 1918-ra, tehát Csehszlovákia megalakulására is meglehetősen fanyalogva tekint a szlovák történészek zöme, mert a magyar elnyomás után – szerintük – a csehek általi lekezelés, a szlovák területek csehek általi „kiszipolyozása” vette kezdetét, és csak az ország 1992-es kettéválása, az önálló Szlovák Köztársaság megalakulása hozta el az „igazi szabadságot” a szlovákok számára. Így aztán nem meglepő, hogy „nehezen megszerzett tulajdonként” tekintenek a mai Szlovákia területére, és ezt a felfogást sajnos a történészek mellett a jelenleg regnáló politikai garnitúra is magáévá tette, sugározva az iskolák és a tanulóifjúság felé.

Az pedig már szinte „csak” hab a felmérés képzeletbeli tortáján, hogy a megkérde-zett tanulók több mint hatvan százaléka szerint a magyaroknak a nyilvános helyeken, így az utcán is csak szlovákul lenne szabad megszólalniuk. Meghökkentő módon a szlovák oktatásügyi miniszter ezzel kapcsolatban úgy nyilatkozott, hogy megérti a szlovák nemzetiségű tanulók ilyetén elvárását, hiszen – idézet következik – „van abban egyfajta logika, hogy a gyerekek érteni akarják, amit az államnyelvet nem be-szélő polgártársaik mondanak”. Sajátos logika és érvelésmód, az biztos. Van benne egy bizonyos „tessék mindenkinek hozzánk alkalmazkodni” felfogás, ami mindenképpen jellemző a jelenlegi szlovák állami vezetésre.

Írásom végén bátran kijelenthető, hogy a szlovák iskolások közt végzett felmérés kedélyborzoló eredményei jól rávilágítanak arra az összefüggésre, ami egy adott or-szág társadalmi légköre és annak oktatásügye között fennáll. Az analógia ősi tudása szerinti „ami fent, az lent, és fordítva” képlet bizony nagyon is ráillik a jelenlegi szlo-vák közállapotokra. Nacionalista, sőt kimondott magyarellenes párt által irányított oktatásügyi minisztérium fent, és kisebbségellenes, intoleráns megnyilvánulások lent, az iskolák, a tanulók szintjén. Továbbá nem szabadna elfeledkezni arról sem, hogy valamennyi közszereplő egyúttal valahol – akarva nem akarva – példakép is, kimon-dott szavainak ereje és hatása van. Az pedig az adott személy súlyos és tegyük hozzá nagyon is súlyos felelőssége, hogy mit mond, és mit nyilatkozik, mert szavaival nem csupán a közfelfogást formálja, de a felnövekvő ifjúság nézeteit is.

Hivatásunk eszköztárából20

Projektoktatás elméletben és gyakorlatban*a projEktoktatás ElmélEtBEn

Horváth Futó Hargita

A projekt szót pedagógiai értelemben először 1900-ban alkalmazták az Amerikai Egyesült Államokban. A projektoktatás „atyja” John Dewey (1859–1952), kidolgo-zója pedig William Heard Kilpatrick (1871-1965). A projektmódszer olyan oktatási módszer, amely a tanulók érdeklődését állítja középpontba, a tanárok és a diákok kölcsönös tevékenységén alapul. A tanulók egy gyakorlati problémát, témát egyénileg vagy csoportosan oldanak meg, dolgoznak fel, azaz valamilyen tudást sajátítanak el több tantárgy összefüggésében. A projektmódszer „valamely komplex téma olyan feldolgozását jelenti, amelynek során a téma meghatározása, a munkamenet megter-vezése, a témával való foglalkozás, a közös munka eredményének létrehozása a gyerek valódi önállóságán alapul. A tanár feladata ennek az önállóságnak helyt adni, ezt az önállóságot segíteni. A projekt megoldása lehet egy gyerek, egy osztály, egy osztályon belüli vagy osztályok feletti gyerekcsoport, vagy akár egy egész iskola ügye.” (Hunyady Györgyné – M. Nádasi Mária, 2000. 103.) A munka eredménye egy prezentálható anyagi vagy szellemi produktum. A projekt időtartama lehet néhány nap, egy vagy néhány hét, de feldolgozható több tanéven keresztül is. A tanmenetben jelezzük a projektre fordítandó időt, amit nem tanítási órákban, hanem tanulási időszakokban, projektszakaszokban fejezünk ki. A projektmódszer lehetővé teszi a tanulói önállósá-got a téma meghatározásától, az alkalmazott módszerek kiválasztásán, a munkamenet megtervezésén át az eredmény, a tevékenység értékéléséig. A tanár szerepe is megvál-tozik, az ismeretközlés helyett a tanulási folyamat segítőjévé, irányítójává válik.

A projektoktatás kritériumai:

1. A kiindulópont a tanulók problémafelvető kérdése legyen, a tervezés közösen történjék.

2. A projekt megoldása a tevékenységen keresztül kapcsolódjon a valóságos helyze-tekhez.

3. Adjon módot individualizált munkára. 4. Adjon módot csoportmunkára. 5. Kidolgozása összefüggő, hosszabb időtartamra nyúljon el. 6. A cél az iskolán kívüli helyzet megismerésére vagy megváltoztatására vonatkozzék. 7. Interdiszciplinaritás jellemezze. 8. A pedagógusok és a tanulók egyenrangú, ám különböző kompetenciákkal ren-

delkező partnerekként dolgozzanak együtt. 9. A tanulók önállóan döntsenek, és legyenek felelősek saját döntéseikért. 10. A pedagógus vonuljon vissza stimuláló, szervező, tanácsadó funkcióba. 11. A tanulók közötti kapcsolatok erősek, kommunikatívak legyenek (M. Nádasi

Mária, 2003. 17–18.).

* Elhangzott 2007. decem-ber 8-án az Újvidéki Egyetem BTK Magyar Nyelv és Irodalom Tanszékén az általános és középiskolai magyar-tanárok részére szerve-zett tanári továbbképzé-sen.

Autori teksta su predsta-vile osnove ove edukacije navodeći „oca” samog termina – Džona Djua koji je 1900. godine upotrebio ovaj izraz. Osnovni smisao koncepta je da đaci indivi-dualno ili grupno rešavaju neki problem stičući tako znanja u funkciji više predmeta. Karakteristično je da se pruža velika slo-boda u definisanju teme, izboru zadataka, metoda i sredstava što svedoči o mogućoj stvaralačkoj snazi projekt-metode. Metoda ima definisane kriterijume koji su u neku ruku vodilje u sprovođenju koncepta. Bitnost metode je da se uče-nje dešava posredno s tim da u gro planu nije učenje, već traženje najboljeg reše-nja za prihvaćeni zadatak. Prezentacija praktične rea-lizacije ukazuje na teškoće u procesu „privoljevanja” đaka da učestvuju u projek-tu (bio je to prvi pokušaj). Ipak je izbor realizovan, pa su definisani ciljevi, razdeljeni su zadaci po

Projektoktatás elméletben és gyakorlatban

A módszer lényege, hogy a tanulás indirekt módon történik, a cél a tanuló szemé-ben sohasem a tanulás, hanem a rábízott feladat lehető legjobb megoldása. A diák a tevékenységet, a közös feladatmegoldást fontosnak tartja, a tanulás pedig a tevékeny-ség – amelynek célja valamilyen konkrét produktum létrehozása – mellékterméke (Falus Iván 2003. 280.).

A projektoktatás szétfeszíti a zárt oktatás, a tantárgyszerű tanítási óra kereteit, ne-hezen illeszthető be a szokásos szervezeti formák közé. Emiatt a tanárok leginkább a tanév hagyományos menetét megszakítva a projektszakaszt, a projekt- vagy témahetet, ritkábban a projektnapot illesztik a tanítási év rendjébe (M. Nádasi Mária, 2003. 27.).

Rokvić Erzsébet

Az újvidéki Petőfi Sándor Általános Iskolában dolgozom. Pár évvel ezelőtt, tizennégy kolléganőmmel együtt egy kétnapos szemináriumon vettem részt, melyen a projekt-oktatásról hallgattunk előadásokat, majd megpróbálkoztunk egy projektum összeállí-tásával is, házi feladatul pedig azt kaptuk, hogy alkossunk csoportokat, és dolgozzunk fel ezzel a módszerrel egy témát.

A téma meghatározása: Csoporttársaimmal (Bálizs Magdolna és Medvecki Ildikó tanítónőkkel) olyan témát kellett kiválasztanunk, amely egyformán érdekes lesz elsős, negyedikes, ötödikes, hatodikos és nyolcadikos diákok számára is, és ne-künk tanároknak is. Mint tudjuk, a téma meghatározásának több módja van: megha-tározhatják a tanulók maguk közös érdeklődésük alapján, születhet közös élményből is vagy pedig a pedagógus határozza meg. Mivel mi jó tanárok akartunk lenni, úgy döntöttünk, hogy előbb megkérdezzük a diákokat, hogy milyen téma érdekli őket.

Rokvić Erzsébet

Először természetesen meséltünk nekik arról, hogy voltunk egy szemináriumon, és egy új módszerrel ismerkedtünk meg, röviden ismertettük velük ezt a módszert, külön kihangsúlyoztuk, hogy majd közösen dolgozunk, kutatunk, internetezünk, cso-portokban fognak dolgozni stb. Azt is közöltük velük, hogy iskolánkban két csoport már választott projektumtémát, most nekünk, illetve nekik kellene eldönteniük, hogy mi mivel foglalkozzunk, gondolkozzanak azon, milyen téma érdekli őket, miről sze-retnének még többet megtudni. És ekkor ért bennünket, tanárokat, az első csalódás, mert a diákok nem voltak hajlandóak együttműködni, lehet, nem is nagyon értették, mit is akarunk tőlük Az első kérdés természetesen az volt, hogy erre kapnak-e majd osztályzatot. Egyesek csodálkozva néztek ránk, összesúgtak, hogy ez nagyon gyanús, most mi őket így megkérdezzük, ki tudja mi lesz ennek a vége, talán jobb is ha nem is érdekli őket semmi se. Végül mégis sikerült témát találnunk, teljesen véletlenül, az egyik magyarórán, amikor a Csodaszarvas c. mondáról beszélgettünk.

Az első lépés, a projektum témájának meghatározása után pontosan meg kell fo-galmazni, mi a célunk, és ezt ismertetni kell a projektumban résztvevő kollégákkal és diákokkal.

Szarvaslesen (rég múlt idők titkainak nyomában)

Cél: Bebizonyítani, hogy a szarvas őskori eredetű nemzetközi jelkép, mely a ma-gyaron kívül számos nép hit- és monda-világában valamint tárgyi emlékein feltűnik, és még ma is megihleti a művészeket.

I. osztály: Barangolás a régi-régi időkben (prezentáció: törzsi gyűlés eljátszása).IV. osztály: Ősi hiedelemvilág: sámánok, regösénekek (prezentáció: egy regösének

bemutatása).V. osztály: Mit tudunk a szarvasokról? A szarvas jelenléte más népek hit- és mon-

davilágában (prezentáció: társasjáték).VI. osztály: Néprajz: a szarvasmotívum jelenléte a népköltészeti alkotásokban és

különféle tárgyi emlékeken (prezentáció: poszter és naplórészlet felolvasása).VIII. osztály: Bizonyítani, hogy a csodaszarvas-motívum sok művészt megihletett

(a prezentáció számítógépen (power point) történik).A munka következő fázisa a témára és a munkamódszerre való ráhangolódás.

Miután ismertettük a diákokkal a témát, arra biztattuk őket, nézzék meg otthon, van-e valamilyen a témával foglalkozó könyvük, kutatgassanak az interneten. Igyekeztünk úgy szervezni a tanítási órákat, hogy minél többször legyen alkalmuk csoportmunkával, vagy párokban való munkával dolgozniuk, hiszen akkor ez is még újdonság volt a számukra.

A következő lépés a projektmunka megtervezése. Az első fontos dolog a részté-mák meghatározása, a projektumban résztvevő pedagógusok és diákok feladatának, valamint a munka időtartamának pontos meghatározása.

Bevallom, a tervezést nem vettük nagyon komolyan. Az első problémát az okozta, hogy nem határoztuk meg pontosan a résztémákat, nem dolgoztuk ki részletesen. Ennek a fontosságára szerencsére idejében rájöttünk. A sikeres munka érdekében még a munka elején alaposan meg kell beszélni a részleteket, írásban rögzíteni, kitűzni egy olyan helyre, ahol mindenki jól láthatja, és az esetleges változásokat, észrevételeket

IRODALOMFalus Iván szerk.: Didaktika.

Elméleti alapok a tanítás tanulásához. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003.

Hunyady Györgyné – M. Nádasi Mária: Pedagógiai tervezés. Jegyzet a tanító és tanár szakos hallgatók számára. Comenius Bt., Pécs, 2000.

M. Nádasi Mária: Projektoktatás. Elmélet és gyakorlat. Gondolat Kiadói Kör, ELTE BTK Neveléstudományi Intézet, 2003.

Projektoktatás elméletben és gyakorlatban

feltüntetheti. A következő mondatot olvastam egy tanulmányban: „A feladatkörök meghatározása után, ajánlatos az érintetteket szóban és írásban egyaránt tájékoztat-ni.” Ezt egy kicsit nevetségesnek találtam, de ahogy múlt az idő, hajlamosak voltunk elfelejteni ezt-azt (persze ez a diákokra is vonatkozik, nem csak a tanárokra), rosszul emlékezni, vagy egyáltalán nem emlékezni bizonyos feladatokra. Ez lassította a mun-kát, félreértésekre került sor, tehát azt ajánlom mindenkinek, illetve a projektum ko-ordinátorának, hogy fogadja meg ezt a jó tanácsot, és a „feladatkörök meghatározása után az érintetteket szóban és írásban egyaránt tájékoztassa.”

A legnagyobb problémát a munka idejének meghatározása okozta. A gyerekek-nek rengeteg órájuk van, zeneiskolába járnak vagy sportra, esetleg nyelviskolába. Szinte lehetetlen meghatározni egy olyan időpontot, amikor mindenki ráér. A szom-batot meg se mertük említeni. Eleinte előórákkal próbálkoztunk, de mindig hiányzott néhány tanuló. Később már feláldoztunk néhány tanítási órát is, de akkor sem jutot-tunk semire se, mert a 45 perc nagyon kevés, blokkórát viszont magyarból nem lehet tartani. Hogy hetente legalább egyszer miért nem lehetne egy blokkóra, azt még a mai napig se tudom, hiszen rengeteg olyan módszer, új technika van, amelyet eredménye-sen csak blokkórákon lehet alkalmazni. A gyerekek mire kipakolnak, megvitatják, hogy hol hagyták abba a múlt órán a munkát, már alig marad idejük a csöngetésig. Végül úgy oldottuk meg a problémát, hogy a gyerekeket behívtuk délutánonként, és felmentettük őket a felelések alól.

Rokvić Erzsébet

A munka indulásakor a tanulóknak sok kérdésük volt. Eleinte minden tanulónak külön-külön kijelöltük, hogy mivel kell foglalkoznia, többször is el kellett magyarázni, hogy konkrétan mi a feladat, hogyan kell anyagot gyűjteni stb. Kicsit nehezen ment a csoportokon belüli együttműködés, munkamegosztás, de ahogy belemelegedtek a feladatokba, egyre inkább csak rövid eligazító jellegű vagy esetenként technikai kér-déseik voltak. Az idő előrehaladtával egyenes arányban nőtt a tanulók munkakedve, újabb és újabb ötletekkel álltak elő.

A résztémák sikeres feldolgozása után a csoportok részletesen beszámoltak, hogy milyen eredményekre jutottak. Ezt követte a projektmunka legizgalmasabb része abemutatóra, a prezentációra való felkészülés. Minden csoport kiválasztotta, hogy milyen formában szeretné bemutatni kutatása eredményét. Pontosan meghatároztuk a rendelkezésükre álló időt is: egy-egy résztéma bemutatására 5–10 percet kaptak a csoportok. A prezentációra való felkészülésre ismét fel kellett áldoznunk egy szabad délutánunkat, de megérte, mert maga a prezentáció nagyon jól sikerült. Mindenki nagyon elégedett volt, a szülők is, a diákok is és mi tanárok is.

Összegzésként elmondhatom, hogy az előkészületek nagyon sok munkát köve-telnek a tanártól, a munka folyamán az oktató, előadó tanárból szakértő tanárrá, együttműködő tanárrá kell válnia, rendkívül sok türelemre, energiára van szükség. De megéri, mert ezzel a módszerrel nő a tanulók önbizalma, megtanulnak együttmű-ködni, egymással és a tanárral is, nő a felelősségérzetük, megismerkednek az önálló ismeretszerzés örömével.

Bebizonyosodott, hogy a tanulók többsége igenis szeret tanulni, új világokkal meg-ismerkedni, új ismereteket szerezni, ezt azonban csak új módszerekkel hajlandóak vég-hezvinni. Ezt bizonyítja az is, hogy szeptemberben szinte minden osztályban megkér-dezte valaki, „csinálunk-e az idén is olyasmit, aminek a vége majd a prezentáció lesz”.

Tanármelléklet

Matematika a Bolyai Tehetséggondozó Gimnáziumban

Tanármelléklet

Kedves Olvasó!

A Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium matematikatanárai által összeállított melléklet-hez szeretnénk néhány bevezető szót mondani.

Az első négy cikkben mi, az itt tanító tanárok szólunk önökhöz azáltal, hogy régi matematikai történetekről, a gimnázium első öt évének történéseiről, tanítási módsze-rekről illetve matematikaversenyekről számolunk be. Célunk az volt, hogy bemutassuk iskolánkat és megismertessük a kollégákat, szülőket és leendő diákjainkat az itt folyó tevékenységekkel, és hogy egy kis ízelítőt adjunk a Bolyai hangulatából.

A melléklet második részében diákjaink tollából idézünk, ezzel is kifejezve elismeré-sünket és tiszteletünket irodalmi tevékenységük iránt. Kiváló magyar szakos tanárunk dr. Katona Edit szárnya alatt az itt töltött négy évben kedvükre bontogathatják és virágoz-tathatják költői és írói hajlamaikat is. El kell mondanunk, hogy igen nagy kedvvel szaval-nak, színészkednek, írnak. És nem is akárhogyan. Olvassák el írásaikat és győződjenek meg erről saját maguk is. Kalmár Gergely a második, Kovács Zoltán pedig az első gene-rációval érettségizett gimnáziumunkban. Az átköltött versek szerzői jelenleg iskolánk második osztályos tanulói.

A harmadik részben matematikaversenyünket, a Fekete Mihály Emlékversenyt sze-retnénk részleteiben bemutatni, remélve hogy ezáltal is népszerűsíthetjük a vajdasági középiskolák körében. A verseny minden évben három fordulóból áll. Az első kettő levelezőverseny, a harmadik forduló pedig egy feladatmegoldó verseny, amit Zentán a Bolyai Gimnáziumban szervezünk meg. Ízelítőül bemutatjuk a tavalyi V. Fekete Mihály Emlékverseny feladatsorait teljes kidolgozásokkal, valamint az idei két levelezőforduló feladványait, a megjelölt határidőkkel. A résztvevő diákokat minden évben emléklap-okkal, oklevelekkel és könyvjutalmakkal díjazzuk. Ez a vajdasági jellegű verseny egyben válogató is a Nemzetközi Magyar Matematika Versenyre. A zsűri előzetes megbeszélése alapján minden olyan középiskolából, amelyből legalább öt diák részt vesz a levelezőfor-dulókon, a legjobb versenyző továbbjuthat a nemzetközi versenyre.

Tisztelt Olvasó, reméljük hogy talál magának kedvére való olvasmányt a mellékletben, és hogy e néhány oldal segít megvilágítani a matematikának és a Bolyai Gimnáziumnak azt a ragyogó világát, amelyet írásainkban szerettünk volna bemutatni.

Tanármelléklet

Péics Hajnalka

Az ősmagyarok, mint azt a nyelvészeti kutatások is igazolják, a történelmi időkben már tízes számrendszert használtak. Ez azonban az előző idők hatos és hetes szám-rendszerén át, hosszú fejlődés eredménye volt. A hetes számrendszerre következtetni lehet például a mesék hétfejű sárkányáról, a hetedhét országról, a hét sing hosszú szakállról, a hétmérföldes csizmáról, a hétpecsétes titokról, a hétszerte szebb lettről stb. A később keletkezett nyolc és kilenc számneveinkben a szóvégi c, régiesen írva z, valószínűleg a tíz számnév végződése. Ebből úgy sejtjük, hogy a nyolcat és a kilencet a tízből származtatták őseink.

Pitagorasz (vagy görögösen Püthagorasz) nevét sokan ismerik, ha másról nem, hát a róla elnevezett tételről, mely szerint derékszögű háromszög átfogója hosszának négyzete megegyezik a befogók hosszának négyzetösszegével. A szájhagyomány szerint, amikor Pitagorasz tételét tanítványainak megmutatta, azok örömükben és lelkesedé-sükben ökörsütéssel ünnepelték meg a jeles eseményt, s az akkori szokások szerint 100 ökröt áldoztak az olümposzi isteneknek azért az isteni sugallatért, ami a híres tétel felfedezéséhez vezetett. És azóta félnek az ökrök a matematikától.

Természetes, hogy Arkhimédészről, korának legnagyobb tudósáról, akire még ma is ámulattal tekintünk, csodálatos történeteket jegyeztek fel. Ezek lehetnek igazak, de ha túlzások, akkor is jellemzőek a nagy tudósra. Plutarkhosz azt írja, hogy Arkhimédész „gyakran megfeledkezett evésről, ivásról. Sokszor csak erővel lehetett megfürdetni vagy arra bírni, hogy testét illatos kenőcsökkel bekenje. Gondolataiba merülve, még akkor is mértani ábrákat rajzolt a földre vagy kenőccsel borított testére”.

Péics Hajnalka28

Az egyik elbeszélés szerint Hieron király koronát készíttetett. A szükséges aranyat az ötvösnek kiutalta. Mikor azonban a koronát a mester elkészítette, a király gyanút fogott, hogy a derék ötvös a kiutalt arany egy részét ezüsttel pótolta, bár a korona súlya az ötvösnek adott arany súlyával egyezett. A dolog kivizsgálásával Arkhimédészt bízta meg. Állítólag a nagy tudósnak akkor ötlött eszébe a megoldás módja, amikor a fürdőmedencébe lépve észrevette, hogy a vízben teste könnyebbé vált. A felfedezés mámorában kiugrott a vízből és meztelenül rohant ki az utcára, hogy mindenkinek hírül adja a nevéről elnevezett törvény megtalálását, s örömében a „heuréka” (megta-láltam) szót kiáltozta.

Egy másik elbeszélés szerint a királyt azzal a kijelentéssel lepte meg, hogy a szo-kás szerint szárazföldön épülő hadihajót az uralkodó egyedül, egymaga bocsáthatja vízre, mégpedig a hajó teljes személyzetével együtt. A kezdetben kételkedő király nagy örömére az Arkhimédész által emelőkből és csigákból összeállított szerkezet segítségével ez a művelet sikerült is. Hieron ekkor állítólag megparancsolta, hogy Arkhimédész legvalószínűtlenebb kijelentéseit is köteles mindenki elhinni, s bizo-nyára ezek közé a kijelentések közé tartozott az emelőtörvényre alapozott, szállóigévé lett mondása is: „Adjatok egy szilárd pontot, hol lábamat megvethetem és kifordítom sarkából a világot.”

A harmadik szállóigévé vált mondatot közvetlenül halála előtt mondta. A Szirakúzát elfoglaló római haderő egyik katonája a nagy matematikust gondolataiba merülve találta, amint a homokba geometriai ábrákat rajzolt. A külvilágról elfeledke-zett tudós a katona hívására így válaszolt: „Noli turbare circulos meos!” (Ne zavard kö-reimet!) A feleleten feldühödött római katona ekkor leszúrta őt, s tette ezt fővezérének, Marcellusnak határozott tilalma ellenére, aki a nagy ellenségben becsülni tudta a nagy tudóst, és ezért számára sértetlenséget rendelt el. A magán uralkodni nem tudó gyil-kos katonát Marcellus kizáratta a hadseregből. Mindez pedig a II. pun háború idején történt, amikor Karthago, Hannibal vezetésével újrakezdte a Róma elleni háborút.

kao centru sećanja koje je to slabije što se dublje ponire. Primer povezivanja matematičkih kategorija i njihovo poetsko obliko-vanje pružaju nam đaci matematičke gimnazije. Uklopljenost ljudi u stvar-nost preko stihova nepri-metan je ali se iz toga ne može izaći. Slogani u jezičkoj upo-trebi čine ukrase govora i svako ko ih razume biva razgaljen. Iz sveta mate-matike potiču brojne izreke bile one iz predanja starih Mađara ili misli likova iz grčke kulture. Takva je Pitagorina teorema o odno-su hipotenuze i kateta pa Arhimedova „heureka” ili „ne diraj mi krugove”. Ovi slogani imaju propratno istorijsko tumačenje i pred-stavljaju kulturnu baštinu čovečanstva.

Tanármelléklet

Csikós Pajor Gizella

Hosszú évek teltek el 1978-tól 2003-ig. 1978-ban zárta be kapuját Szabadkán a Mate-matikai és Nyelvi Szakgimnázium. Huszonöt év múlt el 2003-ig, amikor a vajdasági magyar diákok újra tehetséggondozó szakgimnáziumokba iratkozhattak, Zentán a Bolyai Tehetséggondozó Gimnáziumba, Szabadkán pedig a Kosztolányi Dezső Nyelvi Gimnáziumba.

A Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium matematikai szakgimnázi-um, és mint teljes nevéből kitűnik, bentlakásos, saját kollégiummal rendelkező gim-názium. Az elmúlt öt év mindegyikében egy matematikai tagozatot indítottunk, az idei hatodik generáció azonban bővült egy képzőművészeti tehetségápoló osztállyal. Ebben az iskolában kevés diákkal kis létszámú tanári kar foglalkozik, és mindenki megtesz minden tőle telhetőt azért, hogy hitelt szerezzünk a tehetséggondozó megne-vezésnek. Munkánk a diákokkal akkor kezdődik, amikor hetedikes-nyolcadikos ko-rukban meglátogatjuk őket a saját általános iskolájukban, bemutatkozunk nekik mint iskola és kollégium, és minden érdeklődőt elhívunk Zentára a Bolyaiba, vegyen részt a felvételi felkészítő tanfolyamunkon. Korosztályukhoz mérten nehéz tesztfeladatok-ból álló sikeres felvételi után iratkozhatnak be iskolánkba a végzős nyolcadikosok. A munka neheze pedig akkor kezdődik igazán, amikor szeptember elsején beköltöznek a kollégiumba. Egyrészt elszakadnak az otthontól, másrészt egész napos foglalkozások várnak rájuk. Délelőtt klasszikus tanításon, délután pedig fakultációkon, emelt színtű órákon, felzárkóztató oktatáson és különböző szakköri tevékenységen kell részt ven-niük a tanulóknak. Persze mértékkel, de senki sem maradhat ki mindenből. Egy-két

Csikós Pajor Gizella

hónap alatt megszokják ezt a „gólyák” is, és vesznek minden akadályt épp úgy, mint az idősebbek.

Mi tanárok igyekszünk minden tőlünk telhető segítséget megadni nekik a fejlődé-sükhöz, és örömmel tapasztaljuk, hogy néha egyes dolgokban fölénk nőnek. Egy ta-nárnak ettől nagyobb öröme nem is igazán lehet, elindítani a diákokat egy olyan úton, aminek csak sejthetjük, de igazából még nem látjuk a végét. Ők itt vannak velünk négy évet, ez idő alatt megpróbálunk kemény munkaszokásokat kialakítani náluk, teret hagyva a sajátos képességeik fejlődésének is. Utána elballagnak, kirepülnek a Bolyai-fészekből, mi pedig izgulunk értük, hogyan veszik a további akadályokat az egyete-men. Megtehetjük, mert kevesen vannak. Az első generációban 20-an ballagtak el, a másodikban 14-en. És örömmel tudatom, hogy minden elballagott diákunk sikeresen felvételizett valamely felsőoktatási intézménybe. A személyi jogokat védve, név szerint nem, de szám szerint szeretnék beszámolni arról, hol tanulnak tovább a két generáció diákjai. Közülük néhányan felvételiztek hazai és magyarországi egyetemen is, és miu-tán sikeres felvételit tettek itt is, ott is, akkor választottak véglegesen. Az első generáció 20 tanulója közül 12 tanul idehaza és 8 Magyarországon. A 12 tanuló közül 10-en vannak Újvidéken, 6-an matematikai szakokon, egy fizikán, egy informatikán, egy mechatronikán és egy tanuló orvosi egyetemen. Szabadkán iratkozott egy-egy tanuló az Építőmérnöki Karra, illetve a Műszaki Szakfőiskola villamosmérnöki szakára. A Szegedi Tudományegyetemen 5 tanulónk tanul tovább, közülük ketten matematikán, egy kémián, egy pedig biológián. És végül, akik társadalomtudományok felé orientá-lódtak, azok Budapesten tanulnak, közülük egy politológia, egy szociálpszichológia, egy pedig a kommunikáció és médiatudomány szakon. A második generációnk fele hazai egyetemeken, fele magyarországi egyetemeken kezdte meg továbbtanulását. Az Újvidéki Egyetem Természettudományi Karán matematika szakon két, informatika szakon egy, biokémiai szakon szintén egy tanulónk hallgató. Az Újvidéki Egyetem Műszaki Karának építőmérnöki szakára egy diákunk, a szabadkai Építőmérnöki Karra pedig két diákunk iratkozott. A Magyarországon tanulók közül hárman vannak matematikai szakon, egy informatikán, egy fizikán, egy gyógyszerészeten, egy pedig kommunikáció és médiatudományokon. Mi büszkék vagyunk mindannyiukra.

Szólnék még néhány szót a matematika oktatásáról és a matematika-versenyekről ebben az iskolában. A délelőtti tanításban analízis és algebrát, geometriát, lineáris al-gebra és analitikus geometriát, valószínűségszámítás és statisztikát valamint numeri-kus matematikát oktatunk. Ezeken a tantárgyakon négy-öt tanár dolgozik. A délutáni foglalkozások megtartásában minden matematikatanár részt vesz, és beosztás szerint versenypéldákat, tesztfeladatokat, érettségi vagy felvételi feladatokat oldunk meg. Részt veszünk minden jellegű szerbiai matematikai versenyen, néhány magyarországi versenyen és mi magunk is szervezünk két versenyt. A hazai megmérettetések közül részt veszünk A-kategóriában az oktatási minisztérium által kiírt versenyek mindegyi-kén, a Kenguru tesztversenyen (amelynek az utolsó szervezője most már a szerbiai ma-tematikusok egyesülete volt), valamint a szerbiai középiskolák között zajló Archimedesnevét viselő csapatversenyen, természetesen ezen is A-kategóriában. Mindig eljutunk néhány diákkal az országos fordulókra, és szép eredményekkel térünk haza. A Kenguru versenyen évek óta elhozunk néhány első, második, harmadik díjat, illetve dicsérő oklevelet. A NMMV (Nemzetközi Magyar Matematika Verseny) versenyein

Öt év távlatából a Bolyai Tehetséggondozó Gimnáziumról

is ott vagyunk és elmondhatjuk, hogy egyre jobban figyelnek ránk. Ennek a vándor versenynek 2006-ban mi voltunk a szervezői. A NMMV-re Vajdaság minden évben 20 diákot küldhet, és ennek a válogató versenyét szervezi a Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium, amely Fekete Mihály Emlékverseny néven került a köztudatba. Az idén a VI. Fekete Mihály versenyt szervezzük, amelynek minden évben van két levelező, és egy feladatmegoldó fordulója. Ezeken a fordulókon bármely középiskola magyar nyelven versenyezni tudó diákja részt vehet. A három versenyen a versenyzők pon-tokat gyűjthetnek, amelyeket összegezve alakul ki a 20 legsikeresebb tanuló névsora. Ők képviselhetik a délvidéki magyarságot a nemzetközi versenyen. Ezen kívül a mi iskolánk szervezi a magyarországi Gordiusz tesztverseny délvidéki megyei fordulóját. A legjobbak részt vesznek a döntőn, amelyet mindig más városban szerveznek, és ahonnan tavaly a négy meghívott vajdasági diák öt díjjal térhetett haza.

A felvételi felkészítők megszervezésében és anyagi támogatásában már két éve részt vesz a zentai székhelyű Bolyai Farkas Alapítvány a Magyarul Tanuló Tehetségekért is. Segítségükkel és támogatásukkal az Alapítvány Matematikai és Informatikai Szakosztálya a Bolyai Gimnázium és Kollégium épületében tavaly ősszel megszervezte a Bolyai Matematikai Tehetséggondozó Iskola három hétvégét betöltő matematikai foglalkozásait. Ezekre bejelentkezhettek és eljöhettek ingyenesen az érdeklődő vajda-sági magyar középiskolások és nyolcadikosok, hogy kiváló előadóktól néhány érde-kességet halljanak, és a tanórák mellett valami újat és többet megtanuljanak. Ezeken a hétvégéken 55-85 tanuló vett részt, Szabadkától Újvidékig több magyar nyelven is oktató közép- és általános iskolából.

A jövőbe tekintve remélem, hogy a Bolyai gimnáziumnak hosszú élete lesz. Szeretném megérni, hogy oklevéllel a zsebükben visszatérjenek iskolánkba elballagott diákjaink, és néhányan közülük átvegyék helyünket a katedrán, hiszen mi sem va-gyunk már fiatalok.

Tanármelléklet

R. Sípos Elvira

A középiskolai matematika tanításának egyik legnehezebb, illetve tanári szempontból a legizgalmasabb része a síkgeometria axiomatikus felépítésén alapuló geometriai tételek felismerése, megsejtése, bizonyítása. A bizonyítás az a folyamat, amely során a kevésbé hihető állítások egyre hihetőbbé válnak, majd igazként elfogadhatóak lesznek. A matematikából kiinduló folyamat visszahatott a matematikára, megszületett az interaktív valószínűségi bizonyítás fogalma, kialakult az igény a bizonyítások ellenőr-zésének gépesítésére is.

Mint a matematikai tehetségekkel foglalkozó gimnázium geometria szakos tanára, 2004-ben újításként bevezettem a geometriai szerkesztőprogramok iskolai használa-tát. Ez az alkalmazás nem korlátozódik a tanár személyes bemutatójára (a tanári gép képe kivetített a fehér táblára), hanem minden tanulónak saját számítógépén kell elké-szítenie az adott problémához csatlakozó rajzot, szerkesztést, ábrázolást, hogy azután bizonyos „mozgatásokkal” sejtések fogalmazódjanak meg a csoportos tanítási mód-szer keretei közt. Ekkor a bizonyításhoz vezető út is világosabbá válik, bonyolultabb bizonyítási eljárások érthetőbbek lesznek. Euklidész az Elemekben különválasztja az axiómákat és a posztulátumokat. Ez látszólag a matematikától idegen, pszichológiai szempont beépítése a műbe. Valójában ennek igen nagy jelentősége van. Az Elemeknem azt mondja: ilyen a világ, hanem azt állítja: ha elfogadjuk az adott kiinduló kije-lentéseket, abból ezek a tételek következnek.

Munkácsy Katalin, az ELTE TFK tanára ezt írja: „Véleményünk szerint tudniuk kell, a geometria (és általában a matematika) nem a hagyományos értelemben vett természettudomány. Tudniuk kell, hogy semmilyen garanciánk nincs arra, hogy a bebizonyított matematikai tételek tökéletes biztonsággal igazak – de a gyakorlatban az elmúlt évezredekben jól beváltak.”

Geometria tanítása a zentai Bolyaiban 33

A „klasszikus” geometria bemutatása és tanulása idején megismerkedünk 21 axiómával David Hilbert Grundlagen der Geometrie című könyvéből, ami 1899-ben jelent meg a geometria axiomatizálását tűzve ki célul maga elé. Hilbert egy formális axiómarendszert javasolt a hagyományos euklideszi axiómák helyett, megpróbálva kiküszöbölni az euklideszi axiómarendszer hibáit. Hilbert elgondolása a modern axi-omatikus eljárás megjelenését jelentette. Az axiómákat nem tekintette magától értető-dő igazságoknak. A geometria olyan dolgokkal foglalkozik, amelyekről igen erős intu-íciónk van, de nem kötelező jelentést hozzárendelni a definiálatlan fogalmakhoz. Az olyan elemeket, mint amilyen a pont, egyenes és sík, helyettesíthetnénk, ahogy Hilbert mondta, asztalokkal, székekkel, söröskorsókkal és más tárgyakkal is. A köztük lévő definiált kapcsolatok azok, amik a vizsgálat tárgyát képezik. Ebben a könyvben az axiómákat öt csoportba sorolta: illeszkedési, rendezési, egybevágósági és a párhuza-mossági axióma, amely ekvivalens Euklidész ötödik (parallel) posztulátumával. De a tanár kötelessége, feladata, hogy bemutassa a három különböző párhuzamossági axió-mát: Plaiyfair, Bolyai-Lobaszevszkij és Riemann axiómát a párhuzamos egyenesek lé-tezéséről. A mindennapi életünk „síkbeli” geometriája az euklideszi vagy parabolikus geometria, és a nem euklideszi geometriákat hiperbolikus (vagy Bolyai-Lobacsevszkij) illetve elliptikus (vagy Riemann) geometriának nevezzük. A gömbi geometria két-dimenziós nem euklideszi geometria. Szilassi Lajos, a Szegedi Tudományegyetem tanára által készített Poincaré modellt, a Bolyai.exe (az internetről ingyenesen letölt-hető) programot használjuk a nem euklideszi geometriák tárgyalására. Kísérletezéseik közben a tanulók felfedezik és megértik az egyenes fogalmát. Nagy meglepődéssel találnak kettő, majd több párhuzamost az adott „egyenes”-hez. Izgalmas a végtelen fogalmának felfedezése, ahogy megértik, amint az abszolúta, a Poincaré modell főköre nem tartozik a „Világunk”-hoz. Ilyent mutat be a következő ábra:

A tanulók következő feladata háromszög szerkesztése, belső szögösszegének kiszá-mítása. Nagy segítség ezen a modellen, hogy kapcsolókkal és dinamikus mozgatások-kal kapott bármely háromszög belső szögeit felmutatja, és kiszámolja a defektust is, ami a 180°-os egyenes szög és az adott háromszög belső szögösszegének különbsége. Viszont ezt a tanulók nem tudják előre, ekkor fogalmazódik meg az állítás, hogy a hiperbolikus geometriában a háromszög szögösszege kisebb az egyenesszögnél.

R. Sípos Elvira

Különösen érdekes az a háromszög, amelynek mindhárom csúcsa a fő körvonalon van, tehát nem is tartozik a „Világ”-hoz, ekkor a háromszög szögösszege nulla, oldalai mind párhuzamosak egymással.

Minden alkalommal egy kiruccanást teszünk a csillagászat világába, és megis-merkedünk Albert Einstein relativitás-elméletének néhány pontjával, hogy 1919-ben Arthur Stanley Eddington brit csillagásznak sikerült igazolnia az elméletet. A nap-fogyatkozás során képeket készített a Nap körüli csillagokról. Az általános relativi-táselmélet szerint a Naphoz közel látszó csillagok képei kissé más irányban látszanak, mivel a fényüket a Nap gravitációs tere elhajlítja. Ez a hatás csak napfogyatkozáskor észlelhető, hisz egyébként a nap fénye kivehetetlenné teszi a csillagokat. A newtoni gravitáció csak fele akkora elhajlást jósolt meg, mint a relativitás elmélete. Azóta sok megfigyelés és kísérlet igazolta Einstein általános relativitás elméletének helyességét, mint a bináris pulzárok (a pulzár gyorsan forgó neutroncsillag, mely erős mágneses térrel rendelkezik és párja fehér törpe, vagy másik neutron csillag) vizsgálata, rádióje-lek áthaladásának megfigyelése a Nap koronáján, vagy a GPS rendszerek alkalmazása. Egy történelmi jelentőségű fénykép, amit Arthur Stanley Eddington készített 1919 május 29-én a napfogyatkozásról:

A gömbi geometria, a Földünk geometriája kétdimenziós nem euklideszi geomet-ria, amit már az általános iskolában is megismernek a gyerekek földrajz órákon. A gömbi geometria tanításához a vajdasági zentai Bolyai Farkas Alapítvány jóvoltából, adományozásból kaptunk hat Lénárt Gömböt, amit a feltaláló Lénárt István szemé-lyesen hozott el hozzánk, tavaly, 2007 novemberében. Ekkor előadást is tartott a Bolyai Matematikai Iskolában a kis matematikusok és az érdeklődő tanárok számára. Ebben a készletben a gömbön kívül gömbi vonalzó és gömbi körző is van, ami hatalmas segít-ség az „egyenesek” és körök szerkesztéséhez. A tanulók gyorsan elsajátítják a szerkesz-tési lehetőségeket, megértik a párhuzamossági axióma adta feltételeket. Csodálatos kísérleteket lehet elvégezni, Lénárt István tankönyve ehhez nagy segítség, lépésenként felfedeztetni a gyerekekkel ezt a világot. A tavalyi munkáról egy fénykép:

Geometria tanítása a zentai Bolyaiban

Legtöbb időt mégis a klasszikus euklideszi geometria tárgyalásával, vizsgálatá-val töltünk. Ehhez a magyar fejlesztésű „Euklidesz” dinamikai geometriai szoftvert használjuk, mivel a fejlesztő László Istvántól 2004-ben kaptunk licenszet. A DGS elsajátítása az első négy-öt óra után várható minden tanulótól. Ezután térünk rá a transzformációk alkalmazására, bemutatva az animáció és a nyomvonal lehetőségeit, ami klasszikus szerkesztéssel csak néhány száz igen pontosan megszerkesztett rajzzal lenne elérhető. Például a következő szerkesztés a Simson-Wallace egyenesek serege, animációval a fázisok egyidejű mutatásával.

Természetesen ezek a fajta vizualizációk nagyban elősegítik a térlátás fejlődését, az intuitív képességeket, a szabályok, tulajdonságok megsejtését, a divergens gondolko-zás fejlesztését, az ötletek megjelenését, leellenőrzését, a „látható” bizonyítások felis-merését, és növeli a tanulók lelkesedését is, és a körülöttünk lévő világ megismerését.

FELHASZNÁLTIRODALOM:

Munkácsy Katalin: Amatematikai bizonyítás-fogalom változásának hatása a tanításra, http://tandem.lauder.hu/ujsag/cikkek/20000209.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/History_of_general_relativity, 07.10.2008

F. W. Dyson, A. S. Eddington, and C. Davidson, „A Determination of the Deflection of Light by the Sun’s Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919” Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character (1920): 291-333, on 332.

Tanármelléklet

Szabó Magdolna

Ezt mondta Ptolemaiosz az uralkodónak, mert az kompikáltnak találta a geometria megértését és tanulását. Pedig játék az élet! Játszunk a kamerák előtt, a tv képernyők mögött, játszunk az interneten és a számítógépeken. Gyűjtjük a pontokat és tapaszta-latokat, mindannyian nyerni szeretnénk.

Ahhoz, hogy sikeresek legyenek az ifjak, mint ahogyan a sportolóknak, edzeni kell rendszeresen és kitartóan. Ezt a célt szolgálják a matematikaversenyek is. Igen kevés tanuló szeret és tud sikeres lenni a különböző versenyeken, de tréningként a felvételi-hez is jó szolgálatot tesznek a matekversenyek, ezért ösztönözzük őket a megmérette-tésre, mert az egyúttal jó pszichikai felkészülés is.

A magyar ajkú tanulóknak már 1992-ben lehetőségük nyílt a különböző nem-zetközi matematikai versenyeken való részvételre, ugyanis ekkor szervezték meg először középiskolásoknak a Nemzetközi Magyar Matematikaversenyt a szlovákiai Révkomáromban, és azóta minden második évben újra megrendezik Magyarországon illetve a határontúli magyarok lakta régiókban.

Ezenkívül 1998-tól veszünk részt a nemzetközi matematikai tesztversenyeken: a Zrínyi Ilona Matematikaversenyen, a középiskolások Gordiusz versenyén. Ezek igen jó tehetség-kibontakoztató versenyek, mert 90 perc alatt 30 feladatból kell kiválasztani a felkínált 5 válasz közül a helyeset – így ezen a megmérettetésen előbukkanak a jó logikai gondolkodású tanulók. 2005-től a hasonló jellegű feleletválasztós Kenguru verseny nálunk is elterjedt. Ezt a versenyt nagyon szeretik a diákok, mert érdekesek a feladatok és mindenkinek sikerül valamennyi pontot összegyűjteni.

Ahhoz, hogy felkészült versenyzőkkel képviseljük régiónkat, szükséges volt a szervezett tehetséggondozás, itt, a Délvidéken is. Ezeket a tehetségfejlesztő foglalko-zásokat Szabadkán 1996-ban kezdtük el matematikából és fizikából. Ennek keretében ismerkedhettek meg a tanulók a különböző versenyek jellegével és követelményeivel, így felkészülten vettek részt azokon, majd a zentai Bolyai gimnáziumban folytatódik a középiskolások foglalkoztatása, amelyeknek eredményességét a díjak igazolják. (Ezek megtalálhatók a Debrecenben kiadott Nemzetközi Magyar Matematikaversenyek című könyvben, valamint a Mozaik kiadó által megjelentetett Matematikai versenytesztek című könyvekben).

2oo4-től elindítottuk a középiskolások válogató versenyét matematikából, a Fekete Mihály Emlékversenyt, azzal a céllal, hogy a legjobbak képviseljék régiónkat a nemzetközi versenyen. A döntőt kétfordulós levelezőverseny előzi meg, amelynél a

Összefoglaló a Nemzetközi Magyar Matematikaversenyekről... 37

versenyzők a szakirodalomban való búvárkodással is bővítik tudásuk, valamint meg-tanulják a megoldás és a bizonyítás leírásának módját, ugyanakkor a különböző esetek elemzésével is megbirkóznak.

A névválasztáskor két fontos szempontot vettünk figyelembe: – elsősorban, hogy egy neves matematikatanárt válasszunk példaképül. – másodsorban, hogy a névadó délvidéki kötődésű legyen,

Fekete Mihály (eredeti családi nevén Schwarz)1886. július 19-én született Zentán, a középiskolát szülővárosában, míg az egye-

temi tanulmányait Budapesten és Göttingenben végezte. Hazatérte után a neves Beke Manó matematikatanár mellett dolgozott, de 1920-ban a Tanácsköztársaság idején megfosztották állásától. Közben Neumann János matematikatanára ajánlására Neumann Jánost is „korrepetálta” .

1928-ban két egyetemtől is kapott meghívást. A jeruzsálemi egyetem meghívását el fogadta, amelynek később dékánja is volt.

Jeruzsálemben hunyt el 1957. május 13-án. A Nemzetközi Magyar Matematikaversenyeket minden második évben Magyar-

or szágon szervezik meg nevezetes tehetséggondozó középiskolákban, a közbülső években pedig a Kárpátmedence magyarok lakta régióiban: Felvidéken, Erdélyben, Kárpátalján és Délvidéken (a többi régióban nincs magyar középiskolai matematika-tanítás, mint például Burgenland, Horvátország és Szlovénia).

Az induláskor a zsűri elnöke a világhírű Reiman István matematikatanár, akinek nagy sikere volt a magyar matematikai olimpiai csapat felkészítésében, és az általa ajánlott versenyszabályzat megfelelőnek bizonyult. Ugyanis a négy órára kitűzött 2 egyszerűbb, 2 közepes nehézségű és 2 nehéz feladat reális képet ad a versenyezők felkészültségéről. Később Urbán János vette át ezt a nehéz feladatot. Az utóbbi időben minden helyszínen választanak zsűrielnököt. Ezeken a rendezvényeken 50-70 mate-matikatanár van jelen, a versenyző diákok száma 150-250 fő.

Az I. Nemzetközi Magyar Matematikaversenynek 1992-ben a szlovákiai Révko-má romban a Selye János Magyar Gimnázium adott otthont. A II. NMMV Vá con volt, majd a III. NMMV a kárpátaljai Ungváron (ahova a rezsimhű igazgatóink nem engedték el a tanulókat és a tanáraikat), a IV. NMMV Pakson, V. NMMV az erdélyi Székelyudvarhelyen, majd a VI. NMMV Kaposvárott lett megszervezve. 1998-ban a VII. NMMV nagy nehézségek árán Szabadkán került megrendezésre, de a Svetozar Marković Gimnázium nem biztosított helyet a rendezvénynek, majd a VIII. NMMV Debrecenben volt, de a délvidéki csapat a bombázások miatt nem tudott résztvenni. A továbbiakban a felvidéki Dunaszerdahelyen, majd Nagykanizsán, utána az erdélyi Sepsiszentgyörgyön, a következő évben Egerben volt megtartva. A továbbiakban a kár-pátaljai Nagydobronyban, majd Miskolcon. A XV. NMMV szervezését a zentai Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium vállalta fel. Ezután Szegeden majd ismét indult a harmadik körben a felvidéki Kassán, a jövő évi XVIII. NMMV Gyulán lesz.

Minden ilyen rendezvénynek, a versenyen nyert tapasztalatok mellett nagyon sok más hasznos hozadéka van, többek között a kísérő szaktanárok szakmai tapasztalat-

Szabó Magdolna

cseréje és kapcsolatok fenntartása, ugyanúgy a diákok is életreszóló barátságokat köt-nek, és ismeretet szereznek a vendéglátó ország földrajzi és történelmi nevezetességei-ről. Minden ilyen összejövetel egy nagy családi ünnepre hasonlít, mert testvéreinknek érezzük hogy egymáshoz tartozunk.

Tehát mi, matamatikatanárok a matematika által próbáljuk az „ötágú sípot” ösz-szehangolni azáltal, hogy a Kárpátmedencében felkutatjuk a tehetséges magyar diá-kokat!

„Székelyek, ott a bérces szikla-mellén, üljetek mellém! Magyarok ott a Tisza partján Magyarok ott a Duna partján, Magyarok ott a tót hegyek közt, üljetek mellém!”

Dsida Jenő

Tanármelléklet

Kalmár Gergely

Azt mondják, ez egy nagyon embertelen dolog. Egy elvont, érthetetlen, már-már töké-letesen értelmetlen valami, ami csak arra jó, hogy ne legyen mindig minden olyan könnyű. Én most meg fogom mutatni, hogy ezeknek az embereknek nincs igazuk.

Kezdjük egészen az elején! Üljünk le az asztalhoz, és együnk mazsolát. Fogjuk az első szemet, emeljük föl, és tegyük a szánkba. Aztán fogjuk meg a második szemet, és vágjuk azt is be. Aztán fogjuk meg a harmadik szemet...

Állj! Kinek tűnt föl, hogy az imént a számolásról volt szó? Számolgattuk a mazso-lákat: egy, kettő, három... Na, tessék! Íme, az első fölismerés: a számok már annyira életünk részei, hogy észre sem vesszük őket. Pedig ott vannak az óra számlapján, a naptáron, a cipődön, mindenfelé. A mazsola csomagolásán is ott volt, persze, az más lapra tartozik, hogy Te nem vetted észre: az állt rajta, hogy száz. De mi is ez a száz?

Hát persze. Azt jelenti, hogy száz szem van a zacskóban. Ha elkezdenéd őket szá-molni, akkor pontosan százig jutnál. Föltéve, hogy a gyártó nem csalt, ami manapság könnyen megtörténhet, de ettől most tekintsünk el. Így tehát megállapíthatjuk: a száz a számlálással függ össze. A számok egyáltalán nem elvont, hülye dolgok, hanem na-gyon is hasznos, trükkös bigyók. Ha tudni szeretnéd hány mazsola van a zacskóban, nem kell elkezdened számolgatni őket egyenként, egyszerűen csak ránézel a számra, és kész. Trükkös, nem?

Azt kell mondjam, a matematika éppen olyan, mint a költészet. A magyartanárok bizonyára frászt kapnának, ha ezt hallanák, de ez így igaz. Hiszen mivel foglalkozik a költészet? Valami időtlen igazsággal. „Te jól tudod, a költő sose lódit: az igazat mondd, ne csak a valódit.” Nem csak a máról vagy a holnapról ír, hanem a létről magáról. De ez nem csak az irodalomra igaz, hanem minden művészetre. A művész elvonatkoztat a valóságtól, úgy alkot. Egy elképzelt világban, ami tulajdonképpen nem is létezik, csu-pán fikció. De miért nem elég pusztán a valóság tükrözése? – kérdezhetnénk. A válasz nyilvánvaló: azért, mert csak elvonatkoztatással lehet megfogni az örökkévalóságot.

És mit tesz a matematika? Elvonatkoztat a valóságtól, ugyanúgy, mint a költészet. Miért ne használhatnám a százat a percek, az órák, a napok számlálására, miért ra-gadjak le a mazsolánál? Így jutunk el addig, hogy létrejön a száz, mint szám maga, egy önálló valami, egy különös dolog, ami már nem is a mazsolákat jelenti, hanem valami egészen mást, egy nagyobb igazságot. A matematika lecsupaszít, mint a költé-szet. A számoknak saját nyelvük van, mint a költészetnek. Ezek után már nyugodtan kimondhatjuk: bizony a matematika és a költészet egyáltalán nem olyan távoli fogal-mak, mint elsőre gondolnánk.

Szó esett a számok nyelvéről is. Nyilván ez az egyik legsúlyosabb probléma: hogy a matematikát nem nagyon lehet emberi nyelven elmondani. Furcsa jeleket kell kitalál-ni, meg új szavakat, amiknek nincs is jelentésük. Alapvetően a hieroglifák is értelme-sebbnek tűnnek első pillantásra. A matematika jelei olyanok, mintha nem is az ember találta volna ki, hanem valami földönkívüli civilizáció.

De azért nem kell kétségbe esni, a helyzet nem teljesen reménytelen. Mint minden nyelvet, a matematika nyelvét is egyszerű megtanulni, semmivel sem nehezebb, mint

Kalmár Gergely

mondjuk a finn vagy a japán nyelvet. Sőt. Van egy óriási előnye a többi nyelvvel szem-ben: a számok világa ugyanis hibátlan logika és nagyon pontos szabályok szerint épül föl. A matematikában nincsenek kivételek, mint a többi nyelvben.

Akinek még ez sem elég, annak álljon itt egy utolsó bizonyíték, ami engem igazol. A történet megint nagyon egyszerű, nem lesz más dolgunk, mint számolgatni egy kicsit, az eredmény azonban döbbenetes.

Kezdetnek mindjárt távolodjunk is el a Földtől, egészen a világűrig. Ha már ilyen különös helyen vagyunk, igazán csinálhatnánk is valamit, mondjuk elkezdhetjük számolni, hány meteor csapódik a Földnek. De hogy érdekesebb legyen, válasszuk is mindjárt külön a becsapódó meteorokat nagyságuk szerint! Csináljunk különböző méretű fiókokat, először egy egészen kicsit, aztán egy kicsivel nagyobbat, aztán egy még nagyobbat, és így tovább. Amikor ezzel elkészültünk, elkezdhetünk figyelni. Valahányszor nekicsapódik a Földnek egy meteor, fogjuk, és beletesszük a méretének megfelelő fiókba. Így aztán szépen lassan elkezdenek töltődni a fiókok is, és mi is jól elvagyunk.

Egy idő után különös jelenségre figyelünk föl: a legkisebb fiókban nagyon sok a meteorit, de minél távolabb haladunk, a nagyobb fiókokban egyre kevesebb követ találunk. Észrevesszük, hogy az egy centis meteoritokból még ezer van, a tíz centis meteoritokból már csak száz, ezer centis meteoritból meg már csak egy. Persze, ez nyilvánvaló, hiszen kicsi meteorból nagyon sok van a világűrben, nagyobbakból pedig egyre kevesebb. Egyszerű dolog, de mivel ez a jelenség számtalan helyen előfordul, a matematikusok elnevezték skálafüggetlen eloszlásnak.

Ez még nem túl érdekes, és már rá is untunk a világűrre, vizsgáljunk meg valami érdekesebb dolgot, mondjuk a saját emlékeinket! Számoljuk meg, hogy hány dologra emlékezünk tegnapról: arra jutunk, hogy ezer apró eseményre is emlékezünk. Hát tíz nappal ezelőttről? Azt tapasztaljuk, hogy már csak száz emlékünk van abból az időszakból. Száz nappal ezelőttről pedig már alig emlékszünk néhány dologra. Ez is nyilvánvaló, hiszen minél mélyebbre merülünk a múltban, annál kevesebb emléket tu-dunk felidézni. Itt megint valami hasonlóval találkoztunk, mint a meteorok esetében: a skálafüggetlen eloszlással. De mi ebben az érdekes?

És itt ugrik a majom a vízbe. Van egy tudományterület, amelyben ezeknek a furcsa, skálafüggetlen eloszlásoknak nagyon fontos szerepük van. Ezt a tudományt hálózat-kutatásnak nevezik, így aztán amikor a tudósok valahol találkoznak a skálafüggetlen eloszlással, azonnal elkezdenek gyanakodni: biztos már megint valami hálózat van a dologban.

Az emlékeknek tehát valami közük van a hálózathoz. De melyik hálózathoz? Nyilván van az emberi testben valami hálózat, és ehhez van az emlékeknek közük. Hát persze, az agy! Az agy is egy nagyon nagy hálózat, neuronok hálózata. Eljutottunk tehát arra a következtetésre, hogy az agynak alapvető szerepe lehet az emlékezés folya-matában. Összekötöttük az emlékeinket és az agyat.

És tényleg. Biológiából már ismerjük a történetet az idegsejtek felépítéséről és az emlékezés folyamatáról, de hogy is jutottunk el idáig? Vegyük észre, hogy nem kellett bonyolult biokémiai reakciókkal bajlódnunk, pusztán matematikai úton jöttünk rá, amire rájöttünk, mi csak az emlékeinket számolgattuk. De ez már aztán tényleg na-gyon különös. Matematika az emberi testben!

FELHASZNÁLTIRODALOM:1. Csermely Péter: Rejtett

hálózatok (Vince Kiadó, 2004.)

2. József Attila válogatott ver-sei (Holnap Kiadó, 2005.)

3. Mark Buchanan: Itt és mindenütt (Akkord Kiadó, 2004.)

4. Péter Rózsa: Játék a végtelennel (Typotex Elektronikus Kiadó, 2004.)

ELHASZNÁLT

Ragyog egy másik világ 41

A számok világa bizony ilyen ragyogó világ, egy végtelenül misztikus és furcsa valami. A matematika az emberi gondolkodás színtiszta kivonata, épp olyan tökéletes, mint a már idézett József Attila-sor. Hadd álljon itt még egyszer, egy kicsit átfogal-mazva, de igazságában sértetlenül:

Te jól tudod, a matematikus sose lódit: az igazat számold, ne csak a valódit.

Kovács Zoltántöhötöm vEzérrEl EgY napon szülEtEtt lánY

Fogaim mögé akkor nézett Legmerészebben a ligeti törpe Akkor tépte hátulgombolósFelöltőmet vadul egy citromlepke Az én tiszteletemre aznap Sárgába öltözött a türelemAkkor lúdbőrözött leginkábbSudárkék, kifordított süvegemMár akkor lapult egy méla púpKét vonalkód közé ékelt fejemenAkkor egy traktor fésült olyanBarázdát, mi máig virít kezemenEgy parányi barackmag aznapKétrét gurult egy tökvirág levelénAkkor hervadt el alaktalanKalácsom egy karácsonyfa tetejénLemászott almafámról akkorA fogtündér, megszagolni tollamatAkkor szövődött össze mindenÁrnyék, mint lombok a legyezőm alattTöhötöm fogant aznap, mikorZölden pislogott rám egy felhőfoszlányAkkor született – Shakespeare-módi –Április tizenhatodikán egy lány.

Tanármelléklet42

6 soros

Borús képekVillódzó élekNégyet lépekFejemen lékekKajánul csordogálKi a lélek.

a végtElEn dicsérEtE(Balassi Bálint után)

Emberek, mi lehet ez széles föld felett szebb dolog az végtelennél?Holott szerkesztéskor az ember sok szép szögének koszinuszt mér;A képlet szinuszt, majd koszinuszt ád, mi pontosabb mindennél.

Az eredmény hírére sok számoló esze gyakorta ott felbuzdul,Sőt azon kívül is kezük s HB ceruzájuk egyre gyorsabban mozdul,Holott sebesedik, ír, mér, számol, homlokán izzadság lecsordul.

Szerzők: Kecskeméti Árpád, Vrbáski Iván, Mátéffy Kornél

EgY gondolat Bánt EngEmEt(Petőfi Sándor után)

Egy gondolat bánt engemetSzögek és szinuszok közt halni meg.Gyorsan nőni, mint a parabola,Amelyen Pitagorasz háromszöge áll.És növekedni lassan, mint a Fibonacci-szám,Mely egy derékszögű üres halmazban áll.Ne ily halált adj, istenem!Ne ily halált adj énnekem.

Szerzők: Kecskeméti Árpád, Vrbáski Iván, Mátéffy Kornél, Guzsvány Szandra

Ragyog egy másik világ

(Zrínyi Miklós után)

Véghöz vittem immár nagyhírű összeadásomat,Melyet sem kivonás, sem osztás fel nem bonthat,Sem a magasztos köb, sem a gyök el nem ronthat.Melynek sem Descartes, sem tétele nem árthat.

S mikor az a szám kijön, mely eredményem,Csak akkor jó, ha tartalmazza képletem.És ha jó, akkor bizonyítja elméletem,Mely szerint csakis én vagyok a négyzeten.

S a múltból a görög Pitagorasz visszanéz,Ki munkájában folyton csak a-b-c-z,Folyton csak négyzet, hol itt az ész,Az egész egy csodálatos háromszög lész.

De szögeimet nemcsak keresem agyammal,Hanem befogóm gyönyörű szinuszával,Míg élek, harcolok a kitalált móddal,A háromszögben mindent véghezvihetek akaratommal.

Szerzők: Kecskeméti Árpád, Vrbáski Iván, Mátéffy Kornél

Tanármelléklet

9. évfolyamFeladatok és megoldások

1. Két házaspár érkezik egy folyóhoz. Az átkeléshez olyan csónak áll rendelkezésre, amelyben legfeljebb két személy részére van hely. A férjek féltékenyek, feleség nem maradhat férfitársaságban a férje jelenléte nélkül sem a folyóparton, sem átkelés közben. Megoldható-e az átkelés, ha mind a négy személy tud evezni?

Megoldás. Jelölje F1, N1 az első, F2 , N2 a második házaspárt, férj-nej sorrendben.

Egyik oldal Másik oldalI. Alaphelyzet F1, N1,F2, N2 –

II. N1 és N2 átevez F1, F2 N1, N2

III. N1 visszatér F1, F2 , N1 N2

IV. F1 és F2 átevez N1 F1, F2 ,N2

V. N2 visszatér N1, N2 F1, F2

VI. N1 és N2 átevez, az átkelés megtörtént F1, N1,F2, N2

2. Határozzuk meg az x és y számjegyeket úgy, hogy az szám osztható legyen 72-vel.

Megoldás: osztható 72-vel, ha osztható 8-cal és 9-cel. Ahhoz hogy a szám osztható legyen 9-cel, számjegyeinek összege is osztható kell legyen 9-cel. Mivel 1+9+8+4 =18+4, az x és y számjegyekre igaz lesz, hogy x+y=5 vagy x+y=14.

Mivel ,

ezért a 8|(2x+y) feltételnek igaznak kell lennie.

Tanármelléklet 45

1. eset: Legyen x+y=5. Ekkor 2x+y=x+5, amiből az következik, hogy a 8|(x+5) feltételnek kell teljesülnie, amelynek egyetlen megoldása x=3, y=2.

2. eset: Legyen x+ y=14. Ekkor 2x+y=x+14=x+6+8, amiből az következik,

hogy a 8|(x+6) feltételnek kell teljesülnie, amiből x=2, y=12 megoldás következik, de ez lehetetlen, mivel x és y számjegyek, tehát egyik sem lehet 12.

A keresett megoldás tehát egyedül az x=3, y=2.

3. Mennyivel egyenlő az n természetes szám, ha n+S(n)=1988, ahol S(n) jelenti az n számjegyeinek összegét?

Megoldás: n≤1988, így S(n)≤1+9+9+8=27. Ezért n≤1998-27=1971. Ekkor S(n)≥1+9+7+1=18, így n≤1980. Tehát 1971≤n≤1980. Mivel n és S(n) 9-cel

osztva ugyanazt a maradékot adja és 1998 osztható 9-cel, ezért n is osztható 9-cel. Tehát csak 1971 vagy 1980 lehet. Ellenőrzés:

1971+1+9+7+1=1989 nem jó, 1980+1+9+8=1989 jó. Tehát n=1980 az egyetlen megoldás.

4. Az ABCD téglalap B csúcsából húzott szögfelezője és a B-ből induló átló 15°-os szöget alkot, a B csúcsból húzott szögfelező az AC átlót P-ben, a CD oldalt E pontban metszi. Jelöljük O-val az ABCD átlóinak metszéspontját. Igazoljuk, hogy COE és PEO háromszögek egyenlő szárúak.

Megoldás:

BOC háromszög egyenlő oldalú (egyenlő szárú BO=CO és van 60°-os szöge), a BCE háromszög egyenlő szárú derékszögű ( ECB∠ derékszög és egyik hegyesszöge 45°), tehát CE=BC=BO=CO. Ebből következik, hogy COE háromszög egyenlő szárú, azaz COE∠=CEO∠=75°. Ennek alapján OPE∠=EOP∠=75°, vagyis OPE háromszög egyenlő szárú.

Tanármelléklet46

10. évfolyamFeladatok és megoldások

1. Három házaspár érkezik egy folyóhoz. Az átkeléshez olyan csónak áll rendel-kezésre, amelyben legfeljebb két személy részére van hely. A férjek féltékenyek, feleség nem maradhat férfitársaságban a férje jelenléte nélkül sem a folyóparton, sem átkelés közben. Megoldható-e az átkelés, ha mind a hat személy tud evezni?

Megoldás. Jelölje F1, N1 az első, F2, N2 a második, F3, N3 a harmadik házaspárt, férj–nej sorrendben. Ekkor a feladat megoldható: N1 és N2 átevez, N1 visszatér, N1 és N3 átevez, N1 visszatér, F2, F3 átevez, F2, N2 visszatér, F1, F2 átevez, N3 vissza-tér, N2 és N3 átevez, N2 visszatér, N1 és N2 átevez.

2. Oldjuk meg a következő egyenletet: .

Megoldás: A feladat csak 2x-1≥0 esetén értelmezett, azaz x≥１／２ esetén. Az egyen-let átalakítható a következő ekvivalens formára:

Vezessük be a helyettesítést. Mivel a gyök mindig nemnegatív, ezért t≥0 érvényes. Most az egyenletünk:

|t-1|+|t-2|=3. Mivel

felírható, ezért három eset lehetséges:

1. 0≤t<1 .

2. 1≤t<2 t-1+2-t=3 ⇔ 1=3, azaz nincs megoldás.

3. 2≤t .

A keresett megoldások tehát: x=1/2 és x=5.

Tanármelléklet

3. Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet: x2+26x+69=5y.

Megoldás: Az egyenletet átrendezve adódik x2+26x+69-5y=0, aminek megoldása .

Mivel 100+5y pozitív négyzetszám, legyen ez a2, vagyis 100+5y= a2. Ebből adódik, hogy 5y= a2-100=(a-10)(a+10).

Mivel 5y-nak csak az 5 hatványai lehetnek tényezői, legyen a+10= 5u, a-10=5v,ahol u+v=y és 5v(5u-v-1)=5.4. Ez csak akkor állhat fenn, ha v=1, u-v=1, úgyhogy u=2, y=u+v=3. Ennélfogva

Így x1=2, x2=-28, y1=y2=3.

4. Egy körnek az átmérője AB szakasz. A körbe olyan AC és BD húrokat húzunk, amelyek a kör belsejében egy P pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy AC.AP+BD.BP=AB 2.

Megoldás: Legyen az E pont a P pont AB szakaszra eső merőleges vetülete. Ekkor az APE és ABC háromszögek hasonlóságából ( derékszögűek és van közös szögük az A csúcsnál) következik az oldalaik arányossága:

hasonlóan a PEB és BAD háromszögek hasonlóságából (derékszögűek és van közös szögük B csúcsnál) következik az oldalaik arányossága:

.

Tanármelléklet48

Ha átírjuk őket szorzatokként és összeadjuk, akkor .

11. évfolyam Feladatok és megoldások

1. 24 liter bor van egy 24 literes edényben. Osszuk három egyenlő részre ezt a mennyiséget, ha a huszonnégy literes edényen kívül van még egy 5, egy 11 és egy 13 literes üres edényünk. Megoldás: A két – legkevesebb lépésből álló – mód: 24 13 11 5

24 0 0 00 8 11 516 8 0 016 0 8 03 13 8 03 8 8 58 8 8 0

24 13 11 524 0 0 08 0 11 58 11 0 58 13 0 38 13 3 08 8 3 58 8 8 0

2. Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletrendszert:

22

259 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− zx ,

22

216 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− xy ,

22

23415 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− yz .

Megoldás: A három egyenletet összeadva és rendezve a következőt kapjuk:

025159

2364

21 2

22

22

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+− zzyyxx .

teljes négyzetté való átalakítások után kapjuk, hogy

0253

232

21 222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − zyx .

Tanármelléklet

Ennek az egyenletnek a valós számhármasok halmazában csak akkor lehet megoldása, ha a három zárójeles kifejezés mindegyike nullával egyenlő. Ez akkor teljesül, ha :

21x ,

43y ,

65z .

Ezeket a számokat az eredeti egyenletrendszer egyenleteibe helyettesítve megál-lapíthatjuk, hogy azokat nem elégítik ki. Tehát az adott egyenletrendszernek a valós számhármasok halmazán nincs megoldása.

3. Bizonyítsuk be, hogy ha és 2-vel osztható, de néggyel nem osztható természetes szám, akkor osztható 3840-nel.

5n nnnn 6420 35

Megoldás: Legyen . Ekkor elemi átalakítással adódik, hogy nnnA 6420 35

)4)(4)(2)(2()16)(4()6420( 2224 nnnnnnnnnnnA .

Mivel és , de n nem osztható 4-gyel, ezért 5n n|2 24kn alakú, ahol . Nk

)32)(22)(12(2)12(32)64)(24)(44(4)24( kkkkkkkkkkA .

Mivel )32)(22)(12(2)12( kkkkk öt egymást követő természetes szám szorzata, ezért a tényezői között van 5-tel osztható, és van 3-mal osztható is, így

. A|15

Viszont )32)(12)(12)(1(128 kkkkkA és )1(kk mindig páros, tehát . A|256

Mivel 15 és 256 relatív prímek, ezért A|384025615 .

4. A négyzet alakú kert oldala 12 méter és 8 méter átmérőjű henger alakú gödröt ásunk benne. A kiásott földet egyenletesen lehengereljük. Hány méter mélyre kell ásni, hogy a gödör 3 méter mély legyen?

Tanármelléklet

4. A négyzet alakú kert oldala 12 méter és 8 méter átmérőjű henger alakú gödröt ásunk benne. A kiásott földet egyenletesen lehengereljük. Hány méter mélyre kell ásni, hogy a gödör 3 méter mély legyen?

Megoldás:

Legyen a kiásott része a gödörnek x magasságú, akkor a henger alapsugara 4 méter, az elhengerelt föld magassága 3-x, vagyis xx 16316122 tehát:

953,1144

48432x méter mélyre kell ásni.

12. évfolyam Feladatok és megoldások

1. sakkjátékos különleges rendszer versenyt vívott. Bármely játékos bárme-lyik társával legfeljebb egyszer játszott, döntetlen mérk zés nem volt (ha kellett, sorsolással döntöttek arról, hogy ki gy zött, ki vesztett). A versenyvezet megál-lapította, hogy bármely két játékoshoz található egy harmadik, aki mindkett t legy zte. Legalább hány résztvev s volt a verseny?

n

Megoldás: Nyilvánvaló, hogy legalább három játékos volt: A, B és C. A biztosan kikapott valakit l (legyen ez B), és C A-t és B-t is legy zte. A-t és C-t nem gy zhette le B, az csak az eddigiekt l különböz D lehetett. Az A játékost B, C, D mindegyike legy zte; szimmetria alapján A akármelyik játékos lehetett, így bármelyik játékosnak legalább három veresége volt. Ennek alapján versenyz esetén legalább mérk zés volt. Mivel minden versenyz

minden versenyz vel legfeljebb egyszer mérk zött, fennáll a

k k3

2)1(3 kkk

egyenl tlenség. , a versenyen legalább 7 játékos volt.7kKonstruktív módon bizonyítjuk, hogy 7 versenyz vel meg is oldható a probléma:

Tanármelléklet 51

12. évfolyam Feladatok és megoldások

1. sakkjátékos különleges rendszerű versenyt vívott. Bármely játékos bárme-lyik társával legfeljebb egyszer játszott, döntetlen mérkőzés nem volt (ha kellett, sorsolással döntöttek arról, hogy ki győzött, ki vesztett). A versenyvezető megál-lapította, hogy bármely két játékoshoz található egy harmadik, aki mindkettőt legyőzte. Legalább hány résztvevős volt a verseny?

n

Megoldás: Nyilvánvaló, hogy legalább három játékos volt: A, B és C. A biztosan kikapott valakitől (legyen ez B), és C A-t és B-t is legyőzte. A-t és C-t nem győzhette le B, az csak az eddigiektől különböző D lehetett. Az A játékost B, C, D mindegyike legyőzte; szimmetria alapján A akármelyik játékos lehetett, így bármelyik játékosnak legalább három veresége volt. Ennek alapján versenyző esetén legalább mérkőzés volt. Mivel minden versenyző

minden versenyzővel legfeljebb egyszer mérkőzött, fennáll a

k k3

2)1(3 −

≤kkk

egyenlőtlenség. , a versenyen legalább 7 játékos volt. 7≥kKonstruktív módon bizonyítjuk, hogy 7 versenyzővel meg is oldható a probléma:

A B C D E F GA - o o o + + + B + - o + o o + C + + - o o + o D + o + - + o o E o + + o - o + F o + o + + - o G o o + + o + -

2. Oldjuk meg a 11

23log2 <−−

xx egyenlőtlenséget.

Megoldás: Az egyenlőtlenség értelmezett, ha

01

23>

−−

xx és 0

123log2 ≥

−−

xx , azaz 1

123

≥−−

xx , amiből adódik, hogy

012

≥−−

xx . (1)

Ugyanakkor

11

23log2 <−−

xx , amiből következik, hogy 2

123

<−−

xx , azaz

01

1<

− x. (2)

(1) és (2) egyenlőtlenség közös megoldása adja az eredeti egyenlőtlenség megoldását:

2≥x .

3. Ha minden valós x és y számra igaz, hogy: ( ) ( ) ( )f xy f x f y= ⋅ és ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy+ = + + ,

akkor határozzuk meg az ( )f x függvényt. Megoldás: Legyen az 0y = , ekkor a második egyenletből kapjuk, hogy:

( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x+ = + + ⋅ ( ) ( ) ( )0f x f x f= +

( )0 0f = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 1 2 1f f f f= = − + = − + + − 1 ( ) ( )1 1f f 2− + = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2f f x x f x f x x= = − + = − + + − x

( ) ( ) 22f x f x x− + = .

( ) ( ) 21 1 2f x f x x− ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 2f f x f f x x− ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )[ ] 21 1 2f x f f x− + = ( ) 22 2f x x= ( ) 2f x x= .

Könnyen leellenőrizhető, hogy az ( ) 2f x x= függvényre fennállnak a fenti összefüggések.

Tanármelléklet52

Ugyanakkor

11

23log2 <−−

xx , amiből következik, hogy 2

123

<−−

xx , azaz

01

1<

− x. (2)

(1) és (2) egyenlőtlenség közös megoldása adja az eredeti egyenlőtlenség megoldását:

2≥x .

3. Ha minden valós x és y számra igaz, hogy: ( ) ( ) ( )f xy f x f y= ⋅ és ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy+ = + + ,

akkor határozzuk meg az ( )f x függvényt. Megoldás: Legyen az 0y = , ekkor a második egyenletből kapjuk, hogy:

( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x+ = + + ⋅ ( ) ( ) ( )0f x f x f= +

( )0 0f = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 1 2 1f f f f= = − + = − + + − 1 ( ) ( )1 1f f 2− + = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2f f x x f x f x x= = − + = − + + − x

( ) ( ) 22f x f x x− + = .

( ) ( ) 21 1 2f x f x x− ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 2f f x f f x x− ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )[ ] 21 1 2f x f f x− + = ( ) 22 2f x x= ( ) 2f x x= .

Könnyen leellenőrizhető, hogy az ( ) 2f x x= függvényre fennállnak a fenti összefüggések.

4. Egy háromszög oldalai 13 cm, 14 cm és 15 cm. Mekkora a távolság a háromszög súlypontja és a köré írt kör középpontja között? 1.Megoldás:

A Stewart-képlet következménye: 9

22222 cbaROT ++−= , tehát

576265

9151413

865 2222

2 =++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=OT , ami TO=

24265 ≈0,6783 adja.

2.Megoldás:

Az AF súlyvonal kiszámítható 5052115142132

21 222 =−⋅+⋅⋅=AF , akkor

AT=3505505

21

32

=⋅ . Vizsgáljuk az AHO háromszöget, amelyben AT

szakaszra alkalmazhatjuk a Stewart képletet, vagyis , jelölje x=TO, akkor HT=2x,

ezért

HOTOHTHOATHTAOTOAH ⋅⋅+⋅=⋅+⋅ 222

xxxxxx 32335052

865

425

222

⋅⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , ebből

5762652 =x , azaz

x=TO=24265 ≈0,6783.

3.Megoldás:Legyen az adott ABC háromszögben AB=13 cm, AC=14 cm, BC=15 cm. O a köré írt kör középpontja, T a háromszög súlypontja, H a magasságpontja. Ha a háromszöget egy T középpontú és k=2 arányú homotéciával leképezzük, akkor minden oldal a vele párhuzamos és a szemben fekvő csúcson áthaladó oldalba képeződik le, melynek felezőpontja az adott háromszög csúcsa lesz. De ekkor az

Tanármellékletszakaszra alkalmazhatjuk a Stewart képletet, vagyis

, jelölje x=TO, akkor HT=2x,

ezért

HOTOHTHOATHTAOTOAH 222

xxxxxx 32335052

865

425

222

, ebb l5762652x , azaz

x=TO=24265 0,6783.

3.Megoldás:Legyen az adott ABC háromszögben AB=13 cm, AC=14 cm, BC=15 cm. O a köré írt kör középpontja, T a háromszög súlypontja, H a magasságpontja. Ha a háromszöget egy T középpontú és k=2 arányú homotéciával leképezzük, akkor minden oldal a vele párhuzamos és a szemben fekv csúcson áthaladó oldalba képez dik le, melynek felez pontja az adott háromszög csúcsa lesz. De ekkor az oldalfelez mer legesek O metszéspontja a H magasságpontba képez dik le, miközben TH=2 TO. Kiszámítjuk a HO távolságot, annak harmada lesz a kere-sett távolság. A háromszög területe Heron képletéb l: 8487621t .

A köré írt kör sugara 865

844151413

4 tabcR .

Az AM magasság 5

5615

8422atAM .

Az AMB háromszögben:533

251089

55613

22BM .

Az OPFM téglalapban 109

533

215FMOP .

Az OFC derékszög háromszögben

825

64625

215

865 22

222 OFFCOCOF ,

mivel a homotéciából: AH=2 OF, ezért 425AH .

Ezután4073

825

425

556PMAHAMHP .

Most HPO derékszög háromszögb l:

8265

402655

16006625

109

4073 22

HO .

Végül TO=24265 0,6783.

Tanármelléklet

9. évfolyam

1. Az ABC háromszögben AD magasságvonal és AM súlyvonal. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha a BAD, DAM és MAC szögek egyenlők (a BC szakaszon a pontok elhelyezkedési sorrendje B, D, M, C).

2. Az ábrán vastagon húzott szakaszok egyenlők. Mekkora a β szög, ha α=15°?

3. Adott a 2008x2008-as négyzetrács. Behúzunk egy a négyzetrácsot metsző egye-nest. Legfeljebb hány mező belsején haladhat át ez az egyenes?

4. Egy matematika órán a tanár felírt egy pozitív egész számot a táblára. Az egyik diák így szólt: a szám osztható 31-gyel. A másik diák azt mondta, hogy a szám osztható 30-cal, a harmadik pedig azt, hogy a szám osztható 29-cel. Ezt a felsoro-lást addig folytatták a diákok, amíg a harmincadik is megszólalt: a szám osztható 2-vel. A tanár ezek után közölte, hogy a fenti harminc állítás közül csak kettő hamis és a két hamis állítás közvetlenül egymás után hangzott el. Melyik volt a két hamis állítás?

10. évfolyam

1. Az ABCD paralelogramma A csúcsán áthaladó egyenes a BD átlót E pontban, a BC és CD egyeneseket a G pontban, illetve az F pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy .

2. A Föld felszínének hány százalékát láthatják az űrhajósok 300 km magasságból?

3. Néhány egész szám összege 0. Bizonyítsd be, hogy a számok ötödik hatványainak összege osztható 15-el!

4. Bizonyítsd be, hogy az olyan egész számok közül, amelyek tízes számrendszerben felírt alakja csupa 1-es számjegyből áll – tehát az 1, 11, 111, 1111, . . . számok közül – az első kivételével egyik sem lehet pozitív egész szám négyzete!

Tanármelléklet 55

11. évfolyam

1. Az ABC háromszög AB<AC oldalán a B és C csúcsból kiindulva két egyen-lő szakaszt mérünk fel (DB=EC), amely rövidebb, mint az AB oldal hossza,

. Legyen M pont a DE és BC egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy .

2. Legyenek az ABC hegyesszögű háromszögben a P és Q pontok rendre az A és C csúcsokból húzott magasságok talppontjai. Ha az ABC háromszög területe 18, a BPQ háromszög területe 2 és , akkor mekkora az ABC háromszög körülírt körének sugara?

3. Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán az adott egyenletet!

.

4. Oldjuk meg a valós számhármasok körében az adott egyenletrendszert! .

12. évfolyam

1. Az ABCD téglalapban AB>BC, a D pontból az AC átlóra húzott merőleges az AC oldalt M pontban, az AB oldalt E pontban metszi. Igazoljuk, hogy ME, MA, MD, MC szakaszok hossza ebben a sorrendben egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

2. Az ABC háromszögben az A csúcsnál lévő külső szögfelező a szemközti oldal hordozóegyenesét D pontban metszi, az E pont pedig e csúcsból húzott magas-ságvonal talppontja. Ha tudjuk, hogy AE fele az AD szakasz hosszának, mekkora a B és C csúcsban lévő belső szögek különbsége?

3. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! .

4. Keressünk két, egymástól különböző pozitív egész számot, amelyek köbeinek összege egyenlő összegük négyzetével?

Tanármelléklet

9. évfolyam

1. Egy négyszög területét felezik az átlói. Igazold, hogy a két átló a négyszöget négy egyenlő területű részre bontja.

2. Egy téglatest minden élének mérőszáma egész. A téglatest térfogatának, fél felszí-nének és az egyik csúcsba befutó élek hosszának mérőszámait összeadva 2005-öt kapunk. Mekkorák a téglatest élei?

3. Lehetséges-e, hogy 8 egymást követő természetes szám között ugyanannyi prím-szám van, mint összetett szám? Ha igen, melye ezek a számok, ha nem miért nem?

4. A valós számokon értelmezett és valós értékeket felvevő f függvény teljesíti az

Függvényegyenletet. Határozd meg az függvényt!

10. évfolyam

1. Oldd meg a valós számok halmazán az ||x – 2| – |x + 2|| = 4 egyenletet.

2. Mely egész számokra igaz, hogy n3 – 4n osztható 48-cal ?

3. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M, és teljesül, hogy |AC| = |BC|és |AB| = |CM|. Mekkorák a háromszög szögei?

4. Az ABC háromszögnek P egy belső pontja, továbbá PACS = 10°, ACPS = 20°, PABS = 30°, CBAS = 40°. Mekkora a CPB szög?

11. évfolyam

1. Van-e olyan pozitív egész n szám, amely kétféleképpen is felírható N = n! + y!(x<y) alakban?

2. Az ABCD konvex négyszög AC átlójának P belső pontjából párhuzamost húz-tunk az AB oldallal, mely a BC oldalt az M pontban metszi, továbbá párhuzamost húztunk a CD oldallal, mely az AD oldalt az N pontban metszi.

Határozd meg az kifejezés értékét!

3. Oldd meg az egész számok halmazán az alábbi egyenletrendszert:

Tanármelléklet 57

.

4. Legyen x olyan valós szám, amelyre . Számítsd ki ekkor

értékét!

12. évfolyam

1. Egy természetes számot sikeresnek nevezünk akkor, ha tízes számrendszerbeli alakjában szereplő számjegyeit két csoportra lehet úgy osztani, hogy a csopor-tokban levő számjegyek összege megegyezzen. Keresd meg azt a legkisebb N természetes számot, amelyre N és N+1 is sikeres szám!

2. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

3. Anna a fagylaltosnál egy gombóc fagylatot vásárolt. A gömb alakú fagylaltgom-bócot egy egyenes körkúp alakú tölcsérbe tették bele. A fagylaltgömb átmérője megegyezett a tölcsér átmérőjével. A fagylalt lágy volt, ezért egy negyede meg-olvadt, és belefolyt a tölcsérbe. Milyen magasan töltötte meg az olvadt fagylalt a tölcsért, ha annak magassága 8 cm és alapkörének átmérője 4 cm ?

4. Egy ABC háromszög α β γ szögeire teljesül, hogy sin2 α + sin2 β = sin2 γ. Határozd meg a háromszög szögeit, ha tudjuk, hogy a háromszög egyenlőszárú! Milyen alakú lehet a háromszög?

Hírkosár

Ökumenikus teológiai szótár jelent meg a Vajdasági Keresztény Ifjúság gondo-zásában. A keresztény teológiai kifeje-zések és szócikkek mellett zsidó szak-szavakat is tartalmaz a könyv. Az A5-ös formátumban és 167 oldalon megjelent kiadvány célja, hogy a teológiai (elő)tudással nem rendelkezőknek nyújtson segítséget a teológiai kifejezések világá-

ban. Az Ökumenikus teológiai szótár megjelentetéséhez hozzájárult az Apáczai Közalapítvány és a Tartományi Oktatási Titkárság is.

A Vajdasági Keresztény Ifjúság ter-vei szerint a kiadvány minden vajdasá-gi magyar iskolának ingyenesen el lesz juttatva. A kiadvány ára 100,00 dinár, megrendelhető a Vajdasági Keresztény Ifjúság Központi Irodában: Szabadka, Age Mamužić utca 13/2, telefonszám: 024/554-184, e-mail cím: office@christianus.org.

„Az európai integrációs folyamatban fontos szerepe van a multikulturális és többvallású közegek egymás megisme-résére irányuló törekvéseinek. A jelen ismeretterjesztő jellegű kis ökumenikus szótár ezt a célt szolgálja. Röviden és áttekinthetően ismertet alapvető vallási fogalmakat: katolikus, református, evan-gélikus, zsidó és más vallások tanaiból. Ennek köszönhetően bárki könnyen in-formálódhat a különféle keresztény és nem keresztény vallási jelenségek világát illetően. A könyv nem a tudományos akadémiai hallgatóságot, hanem elsősor-ban az átlagpolgár ismeretre szomjas ér-deklődését tartotta szem előtt. A könyv nyelvezete azonban mégis magas szintű, ugyanakkor közérthető és könnyen ol-vasható. Külön érdeme, hogy a témát illetően röviden, szintetikusan és lényeg-re törően minden fontosabb információt tartalmaz, a lexikonokra jellemző tudo-mányos apparátus leterhelő utalásainak zsúfoltsága nélkül.”

Dr. Csizmár Oszkár plébá-nos, Szent Kereszt felmagasz-talása, Szabadka

Az illusztációk szerzőinek jegyzéke:

Csernik Attila 1 (feldol-gozás), 3, 4, 5, 9, 12Arnaldo Pomodoro 17Parmigianino 21Kandinsky 23Gerald Murphy 25Rembrandt 27Raffaello 29-38

Hírkosár 59

contEnts and summarY

Miroslav Jovančić: Eight Questions for Attila Csernik (p. 3)

On the occasion of his solo exhibition, Attila Csernik gives us quick answers to eight questions. He talks about art in Vojvodina, his preference of televi-sion and the Internet to galleries as spaces for present-ing art and reaching potential audience, also the substi-tution of colours with texts, (not only artistic) work as his motivation, and the role of fine arts to answer the questions of the contemporary world – reflecting to the wonders, grime, wrinkles of the 21st century.

Izabella Papdi: An Addition to the Bibliography of Zmaj-Translations (p. 6)

Jovan Jovanović Zmaj was born in Novi Sad. 2008 is the 175th anniversary of his birth. Zmaj is one of the most outstanding Serbian poets who also translated several Hungarian masterpieces, eg. those of Madách, Arany and Petőfi. He was also one of the few foreign-ers who had been elected as members of the Kisfaludy Society, the great literary association of Hungary. However, the bibliography focuses on the Hungarian language translations of Zmaj’s works and aims to show the years when (because of anniversaries) Zmaj’s poetry was more intensely dealt with by Hungarian poets.

Aranka Amstadt: A Report about the 11th Tantárgy-háló (p. 15)

On 4 October, the finale of the traditional contest Tantárgyháló in the organization of Uj Kep was held in Subotica. One of the members of the contest panel reflects on the events, emphasising the quality, crea-tivity and inventiveness of the student presentations, which contributed to the success of the contest. Both the editorial and the panel have great appreciation for the work of the mentors who helped their students in the preparation process.

Tibor Tátyi, PhD: The Scandalous Results of a Re-search among Slovakian Youth (p. 17)

The Fund for an Open Society has recently con-ducted a research among the Slovakian youth as a

part of a project on multicultural education. The most shocking results are related to the Hungarian and Roma minority and the revulsion expressed towards them. The author believes that the scandalous views and opinions of the Slovakian youth can be traced back to the nationalist government and various instances of intolerance and verbal attacks manifested by the lead-ing political party in Slovakia.

Hargita Horváth Futó, Erzsébet Rokvić: The Project Method in Theory and Practice (p. 20)

Horváth gives a brief overview of the history, theory and criteria of the project method. The slogan of the method could be `Learn by Doing! ,̀ since one of its main requirements is active student participation in all stages of the project: planning, exploring, elaboration, realisation and reflection. Rokvić presents her experi-ence in the implementation of the method, hence we learn about the difficulties at various stages and their possible solutions. The result of the project, a presenta-tion lesson, was such a success with both students and parents, that students from each class expressed their wish for more.

Teachers’ Supplement – Mathematics (p. 25)The Supplement deals with teaching mathematics

to secondary school students and training mathemati-cally gifted children. The Bolyai Grammar School s̀ mathematics teachers and their five-year activity in teaching mathematics, various contests and former task sheets with solutions and students’ mathematic reinpretations of famous poems are presented here.

Magdolna Szabó: A Summary about the International Mathematics Contests and the Preparation Process

Gizella Csikós Pajor: A Five-Year Perspective on the Bolyai Grammar School for Gifted Students

Hajnalka Péics, PhD: Curiosities in the History of Mathematics

Elvira R. Sípos: Teaching Geometry in the Bolyai School in Senta

Gergely Kalmár: The Glow of Another WorldStudent Poems

CIP-Katalogizacija u publikacijiBiblioteka Matice Srpske, Novi Sad

37 (05)

Új Kép : pedagógusok és szülők folyóirata / felelős szerkesztő Soós Edit. – 1. évf., 1.sz. (1997) – . – Szabadka : Vajdasági Módszertani Központ, 1997-. – Ilustr. ; 23 cm

Deset puta godišnje. – Rezimei na srpskom jeziku.ISSN 1450-5010

a TARTOMÁNYI OKTATÁSI ÉS MŰVELŐDÉSI TITKÁRSÁG

a SZÜLŐFÖLDALAP

a MAGYARNEMZETITANÁCS

a SZEKERES LÁSZLÓ ALAPÍTVÁNY

és MAGYAR-KANIZSA ÖNKOR-MÁNYZATA

Amstadt Aranka, Jovan Jovanović Zmaj Általános Iskola, Szabadka

Csikós Pajor Gizella, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

Hicsik Dóra, Városi Könyvtár, Szabadka

Horváth Futó Hargita,Újvidéki Egyetem, Magyar Tanszék, Újvidék

Jovančić Miroslav,Képzőművészeti Találkozó, Kosztolányi Dezső Neylvi Gimnázium, Szabadka

Papdi Izabella, Városi Könyvtár, Szabadka

Dr. Péics Hajnalka, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

R. Sípos Elvira, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

Rokvić Erzsébet, Petőfi Sándor Általános Iskola, Újvidék

Szabó Magdolna, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta