Univerzitet u Nisu

Prirodno matematicki fakultet

Departman za matematiku

Karakteristicne krive i povrsi uHiperbolickoj geometriji

Master rad

Student: Mentor:

Vuk Vujovic dr Milan Zlatanovic

Nis, septembar 2013.

Sadrzaj

1 Motivacija 4

2 Hilbertov sistem aksioma 92.1 Pet grupa aksioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Aksioma Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Karakteristicne krive u Hiperbolickoj geometriji 133.1 Pramen pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Secica jednakog nagiba. Odgovarajuce tacke . . . . . . 163.2 Trajektorija pramena pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Ekvidistanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Oricikl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Krive koje dopustaju transformacije podudarnosti na samu sebe 46

4 Karakteristicne povrsi u Hiperbolickoj geometriji 504.1 Snop pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1 Pramenovi ravni u prostoru Lobacevskog . . . . . . . . 584.2 Povrs nivoa snopa pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Povrs nivoa eliptickog snopa - sfera . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 Povrs nivoa hiperbolickog snopa - hipersfera . . . . . . . . . . 644.5 Povrs nivoa parabolickog snopa - orisfera . . . . . . . . . . . . 674.6 Povrsi koje dopustaju slobodno kretanje u sebi . . . . . . . . . 71

5 Unutrasnja geometrija fundamentalnih povrsi 745.1 Unutrasnja geometrija ekvidistantne povrsi . . . . . . . . . . . 755.2 Unutrasnja geometrija orisfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Unutrasnja geometrija sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Neke primene 936.1 Interesantne formule u ravni Lobacevskog . . . . . . . . . . . . 93

7 Zakljucak 101

1

Uvod

Rad moze da posluzi kao bogata dopuna za pripremanje, kako usmenogtako i pismenog dela ispita, iz predmeta Neeuklidske geometrije. Sastoji seiz uvoda i sedam poglavlja. Svako poglavlje, podeljeno je na izvestan brojodeljaka. Na kraju nekih od odeljaka nalaze se zadaci (primeri), sa detaljnimobjasnjenjem i postupkom za njihovu izradu.

Prica o paralelnosti i hiperparalelnosti prozeta je odlomcima iz knjige”Euklidov prozor” Leonarda Mlodinova. Naveden je, kroz interesantnu in-terpretaciju Proklov1 pokusaj, doduse neuspesan, dokaza Petog Euklidovog2

postulata. Takodje, vraticemo se u doba osamnaestog i devetnaestog veka,doba otkrica Hiperbolickog prostora, i kroz primere uvideti kakav je to pros-tor zapravo, kao i po cemu se razlikuje od Euklidovog prostora. Na kraju oveglave, dolazimo do otkrica Eliptickog prostora - prostora povrsine Zemljinekugle o cemu ce biti vise reci u petoj glavi.

U drugoj glavi navodimo grupe aksioma u geometriji - Hilbertov3 sistemaksioma. Nakon uvodjenja aksiome paralelnosti u zavisnosti od toga da lije uvedena Plejferova 4 aksioma paralelnosti ili aksioma Lobacevskog5, Ap-solutna geometrija se razvija u dva smera tako da se dobijaju dve potpunorazlicite geometrije : Euklidska i geometrija Lobacevskog.

U trecoj glavi bavimo se Hiperbolickom ravni. Definisacemo secicu jed-nakog nagiba, i uvescemo pojam odgovarajucih tacaka kao i trajektoriju pra-mena pravih, a sve u cilju da bi u poglavljima koja slede mogli da definisemokarakteristicne krive u ravni Lobacevskog. U okviru ove glave detaljno cemoobraditi dve krive u ravni Lobacevskog: ekvidistantu i oricikl. Navescemoneke osobine ovih specijalnih tipova trajektorija pramena pravih. Pokazacemoda pored prave i kruznice, u ravni Lobacevskog, ekvidistanta i oricikl su krivekoje dopustaju transformaciju podudarnosti na samu sebe, tj. one se mogutransformacijom podudarnosti preslikati na samu sebe.

Cetvrta glava odnosi se na karakteristicne povrsi u geometriji Lobacevskog.Pricu o povrsima krecemo uvodjenjem pojma snopa pravih, ukazavsi natipove snopova pravih. Pomenucemo povrsi nivoa snopa pravih, njihove

1Prokle(grcki: Πρoκλoς),5.v.p.n.e., anticki mislilac2Euklid (grcki: Eυκλϵιδϵς ), roden oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz

Aleksandrije, anticki matematicar3David Hilbert (1862-1943), nemacki matematicar4John Playfair (1748 - 1819), skotski matematicar5Nikolaj Ivanovic Lobacevski (1793-1856), ruski matematicar

2

elemente i znacajne tacke. Izvrsicemo klasifikaciju fundamentalnih povrsi(zvacemo ih jos C-povrsima), govoricemo o dijametralnim presecima C-povrsisa ravnima, i pritom dobijati odgovarajuce C-krive. Detaljno cemo ispititatiosobine svake od fundamentalnih povrsi. Necemo se baviti detaljnim ispiti-vanjem sfere i njenih svojstava, vec cemo akcenat dati na hipersferu i orisferu.Govoricemo o elementima, znacajnim tackama, dijametralnim presecima ovihpovrsi, i dobijanju odgovarajucih C-krivih, i ukazacemo da su C-povrsi ustvari obrtne povrsi koje se dobijaju rotacijom C-krivih oko odgovarajuceose. Pokazacemo da C-povrsi dopustaju slobodno kretanje po sebi, a kaoposledicu toga imacemo da su sve orisfere medju sobom podudarne.

Sesta glava bavi se unutrasnjom geometrijom fundamentalnih povrsi. Uuvodnom delu ove glave govoricemo uopsteno o unutrasnjoj geometriji krozmotivacione primere za njeno uvodjenje. Zatim izlazemo detaljno ispitivanjeunutrasnje geometrije svake od fundamentalnih povrsi. Pokazacemo da jeunutrasnja geometrija hipersfere Hiperbolicka geometrija, dok je unutrasnjageometrija sfere Sferno-elipticka. Svakako jedan od najznacajnijih rezultatau ovoj glavi, ali i u radu inace, jeste dokaz da je unutrasnja geometrija orisfereEuklidska geometrija.

Na kraju, u sedmoj glavi ukazujemo na neke primene rezultata. Za rezul-tate iz ove glave najzasluzniji je podatak do kojeg smo dosli u petoj glavi,a to je da je unutrasnja geometrija orisfere Euklidska. To nam omogucavada za trouglove na orisferi vaze poznate trigonometrijske relacije za trougaoposmatran u Euklidskoj ravni, kao i da definisemo trigonometrijske funkcijeza uglove prostora Lobacevskog. Neki od rezultata do kojih dolazimo u ovojglavi jesu obrazac za obim kruznice, povrsinu kruga i povrsinu kruznog iseckau ravni Lobacevskog, duzinu luka oricikla, povrsinu luka oricikla ...

3

1 Motivacija

”Pre dvadeset cetiri stoleca jedan Grk stajao je na obali mora i posma-trao brodove kako nestaju u daljini. Aristotel mora da je proveo mnogovremena na tom mestu, u tisini gledajuci brojna plovila, pre nego sto muje konacno sinula neobicna pomisao. Brodovima se najpre gubio trup, pajarboli i jedra. Zapitao se kako je to moguce. Na ravnoj Zemlji brodovi bitrebalo ravnomerno da se smanjuju, sve dok na kraju od njih ne ostane samotackica. Okolnost, da najpre nestaje trup, pa tek onda jarboli i jedra, shva-tio je Aristotel u trenutku blistavog prosvetljenja, da predstavlja dokaz da jeZemlja okrugla. Do uvidjanja oblika nase planete, u velikim razmerama Aris-totel je dosao tako sto je pogledao kroz prozor geometrije” - ovako pocinjepovest o geometriji Leonard Mlodinov u svome delu ”Euklidov prozor ”.

Prvi poznati pokusaj da se dokaze postulat o paralelama preuzeo jePtolomej u drugom veku. On je pretpostavio alterantivni oblik postulata,a onda je iz njega izveo izvorni oblik. Medjutim to je bio samo ”privi-dan” dokaz, jer se ispostavilo da se neke od najbanalnijih pretpostavki, takoocigledne da cak nisu ni formulisane, u stvari prerusen postulat o paralelama.

Dve stotine godina nakon Ptolomeja Prokle Dijadoh upustio se u dokazi-vanje Petog Euklidovog postulata. Prokle je obrazovanje stekao u Alek-sandriji u petom veku, da bi potom presao u Atinu, gde je dosao na celoPlatonove akademije. Dugo je analizirao Euklidovo delo. Imao je pristup kn-jigama koje su odavno izgubljene, kao sto su Eudemova ”Istorija geometrije”(Eudem je bio Euklidov savremenik). Prokle je napisao komenatar prve kn-jige Elemenata, koji predstavlja izvor glavnine naseg znanja o geometrijiantickih Grka.

Da bi razumeli Proklov argument, primenicemo najpre alternativni oblikpostulata o paralelama, tj. njegov ekvivalent Plejferovu aksiomu paralelnostikoja glasi:

Ako su date prava i tacka izvan nje, postoji jedna i samo jedna prava kojaprolazi kroz datu tacku, a koja je paralelna sa datom pravom.

Ilustrujmo Proklov argument na sledecem primeru:

Zamislimo, na primer, Petu aveniju u Njujorku, a zatim jos jednu aveniju,uporedno s Petom, koju cemo nazvati Sesta avenija. Pod pojmom ”uporedna”

4

podrazumevamo, saglasno Euklidu, da se ove dve avenije ”ne seku”. Pret-postavimo, dakle, da Peta avenija ne preseca Sestu.

Visoko povrh prodavaca kafe i virsli na Sestoj aveniji uzdize se dicnoznanje u kome svoje prostorije ima ugledni izdavac Fri pres. Bez ikakvenamere da mu se umanji vrednost, Fri pres ce u ovom primeru igrati ulogu”spoljne tacke”.

Shodno matematickoj tradiciji, imajmo na umu, da je ovo sto smo upravoizlozili ujedno i sve sto mozemo da pretpostavimo o ovim ulicama. Iako zapotrebe konkretne ilustracije imamo u vidu da dve odredjene avenije kaomatematicari ne smemo da koristimo nikakva druga svojstva ovih ulica udokazu koji izvodimo osim ovih koja smo eksplicitno naveli.

Izlozimo sada Plejferovu aksiomu u obliku prilagodjenom nasem kontek-stu:

Ako su dati Peta avenije i izdavac Fri pres na Sestoj aveniji, ne moze bitidrugih ulica u kojima bi takodje bio Fri pres, a koje bi poput Seste avenije,

bile uporedne s Petom avenijom.

Ovaj iskaz ne odgovara bas sasvim Plejferovom aksiomu, zato sto smopoput Prokla, pretpostavili da postoji bar jedna prava, ili ulica (Sesta avenija),koja je uporedna s datom pravom, odnosno ulicom (Peta avenija). To senaime tek mora dokazati, ali je Prokle protumacio da jedna Euklidova teo-rema to jemci. Prihvaticemo ovo za sada i videcemo da li na osnovu ovogargumenta mozemo da dokazemo aksiomu u obliku u kome je prethodnoizlozen.

Da bismo postulat dokazali, odnosno da bismo ga pretvorili u teoremumoramo da pokazemo da svaki put koji prolazi pored Fri presa, osim Sesteavenije, sece s Petom avenijom. Ovo izgleda ocigledno na osnovu nasegsvakodnevnog iskustva - zato se ovakve ulice i nazivaju poprecnima. Sve stoje ovde neophodno da ucinimo jeste da dokazemo pretpostavku bez pomocipostulata o paralelama. Pocecemo tako sto cemo zamisliti trecu ulicu, cijasu jedina svojstva da ide pravo i da prolazi pored Fri presa. Neka bi se taulica zvala Brodvej.

Saglasno svom metodu dokazivanja, Prokle bi krenuo od Fri Presa i isaoBrodvejem na jug. Zamislite neku ulicu koja vodi od mesta gde se Prokle

5

zatekao do Seste avenije. Nazovimo tu ulicu Nikolajeva ulica. Situaciju imateprikazanu na narednom crtezu.

Slika 1.0.1.

Nikolajeva ulica, Brodvej i Sesta avenija obrazuju pravougli trougao.Kako Prokle nastavlja da se krece Brodvejem, pravougli trougao nastao naovaj nacin postaje sve veci. U krajnjoj liniji, strane trougla, ukljucujuci iNikolajevu ulicu, mogu da se povecaju koliko vam drago, te tako Nikolajevaulica konacno postaje duza od razmaka izmedju Pete i Seste avenije. Prematome, rekao bi Prokle, Brodvej mora da presece Petu aveniju, a upravo to jei trebalo dokazati.

6

Ovaj argument je jednostavan, ali pogresan. Pre svega, pojam ”sve veci”na izvestan nacin je zloupotrebljen. Nikolajeva ulica, naime, moze da postajesve veca a da pri tom ostane manja od jednog bloka, slicno nizu brojeva1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6... koji postaju sve veci, ali nikada ne nadmasujujedinicu. Ovaj nedostatak moze se otkloniti. No kljucni nedostatak jeste tosto je Prokle, poput Ptolomeja, upotrebio jednu neosnovanu pretpostavku.Primenio je jedno svojstvo uporednih puteva koje intuitivno izgleda tacno,ali koje nije dokazao. Koja je to pretpostavka?

Proklova greska odnosila se na ”razdaljinu izmedju Pete i Seste avenije”.Podsetimo se kako je to mesto glasilo: ”Ako slucajno znate [...] da ih razdvajatolika i tolika razdaljina [...] zaboravite slobodno na sve to.” Iako Prokle nekaze tacno kolika je to razdaljina, on podrazumeva da je ona nepromenljiva.To nam kaze nase iskustvo s uporednim pravim, odnosno s Petom i Sestomavenijom, ali se ne moze matematicki dokazati bez primene postulata o par-alelama: ne razlikuje se od samog postulata.

Isti propust promakao je i velikom bagdadskom ucenjaku Tabitu ibn Kuriu devetom veku. Detaljnije o tome videti u [3] i [5].

Vise od dve hiljade godina nijedan pokusaj da se Peti postulat izvede izdrugih Euklidovih postulata nije doveo do zeljenih rezultata.

Zamenom postulata o paralelama, tokom osamnaestog i devetnaestogveka, pretpostavkom da svaka prava ima ne samo jednu vec mnostvo upored-nih pravih koje prolaze kroz neku datu tacku izvan nje, Gaus6, Boljaj7 iLobacevski otkrili su novi prostor - Hiperbolicki prostor. Jedna od posledicaove okolnosti jeste da je zbir uglova u trouglu manji od 180 stepeni, i to zabroj koji je Gaus nazvao ugaoni defekt. Na drugu posledicu nabasao je Volis:ne postoje slicni trouglovi. Ako pak slicni trouglovi ne postoje, onda bi pre-stale da vaze mnoge pretpostavke iz naseg svakodnevnog zivota. Pogledajteodelo u nekom modnom katalogu i pretpostavite da ce vam odgovarati onosto ce vam stici postom posto ga narucite, svejedno sto ce vam mozda bitii desetinama puta vece. Letite avionom uvereni da ce oblik krila koji delujeprikladno kod modela iste letelice sto ga imate kod kuce biti podjednakodelotvoran i kod velikog vazduhoplova. U neeuklidovskom prostoru nista odovog ne bi bilo na snazi. Odelo, avion, dodatne sobe - sve bi to bilo izobliceno.

Ovakav bizaran prostor postoji, ali pitamo se da li stvarni prostor mozeimati ta svojstva. Zar ih ne bismo uocili da ih ima? Mozda i ne bismo.

6Johan Karl Fridrih Gaus (1777-1855), nemacki matematicar7Bolyai Janos (1802-1870), madarski matematicar

7

Odstupanje od 10 procenata od vaseg uobicajenog osmeha verovatno ne bipromaklo vasoj majci, ali ne i razlika od 0,0000000001 procenata. Neeukli-dovski prostori gotovo su euklidovski za male figure - a mi zivimo u srazmernomalom uglu kosmosa. A evo i razloga zbog cega je to tako: naveli smodve posledice, Gausovu i Volisovu, do kojih se doslo zamenom postulata oparalelama pretpostavkom da svaka prava ima ne samo jednu vec mnostvouporednih pravih koje prolaze kroz neku datu tacku izvan nje. Ove dve okol-nosti stoje u vezi, buduci da se ugaoni defekt menja u zavisnosti od velicinetrougla - manji trouglovi vise su gotovo euklidski. U Hiperbolickom prostoru,euklidovskom obliku moze se priblizavati, ali se on ne moze dosegnuti, kaoni brzina svetlosti, odnosno ono sto ste zamislili kao svoju idealnu tezinu.

Majusnom promenom jednog jednostavnog aksioma, preinacenjem pos-tulata o paralelama, izazvan je talas koji se sirio kroz korpus Euklidovihteorema, menjajuci sve ono sto se odnosi na oblik prostora. Kao da je Gausuklonio staklo s Euklidovog prozora i zamenio ga socivom koje izoblicuje.

Dve decenije po otkricu Hiperbolickog prostora otkriven je jos jedan tipneeuklidovskog prostora - Elipticki prostor. Elipticki prostor jeste prostorkoji dobijate ako pretpostavite jedno drugo narusavanje postulata o parale-lama: da uopste nemate paralelnih linija (odnosno da sve linije u ravni morada se seku).

U ovom radu bice dat akcenat na neeuklidovskom Hiperbolickom pros-toru, i posmatranju karakteristicnih krivih i povrsi u njemu.

8

2 Hilbertov sistem aksioma

2.1 Pet grupa aksioma

Nastavljajuci rad svojih prethodnika, tek je nemacki matematicar Hilbertzasnovao geometriju na potpunom, neprotivrecnom i nezavisnom sistemuaksioma u svom delu ”Osnove geometrije” iz 1899. godine. Za razlikuod Euklida, Hilbert ne pokusava da opise osnovne geometrijske pojmove:tacke, prave, ravni, vec ih posredno odreduje preko aksioma. Hilbertovaaksiomatika se odnosi na geometrijske objekte koji mogu imati raznovrsnaznacenja, te je ona formalnog karaktera. Hilbert u ”Osnovama geometrije”uvodi dvadeset aksioma razvrstanih u pet grupa. Danas se koristi sledecimodifikovan Hilbertov sistem:

1. AKSIOME INCIDENCIJE (9 aksioma)1.1. Svaka prava sadrzi najmanje dve tacke A i B.

1.2. Postoji najmanje jedna prava koja sadrzi dve tacke A i B.

1.3. Postoji najvise jedna prava koja sadrzi dve razne tacke A i B.

1.4. Svaka ravan sadrzi najmanje tri nekolinearne tacke A, B i C.

1.5. Postoji najmanje jedna ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke A,B i C.

1.6. Postoji najvise jedna ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke A, Bi C.

1.7. Ako dve razne tacke A i B neke prave p pripadaju nekoj ravni π,tada sve tacke prave p pripadaju ravni π.

1.8. Ako dve ravni α i β imaju jednu zajednicku tacku A, onda oneimaju najmanje jos jednu zajednicku tacku B.

1.9. Postoje cetiri nekomplanarne tacke A, B, C i D.

9

2. AKSIOME PORETKA (4 aksioma)

2.1. Ako su A, B i C tri kolinearne tacke takve da je B(A, B, C), gdeje B relacija ”izmedu”, tada su tacke A, B i C medusobno razlicite.

2.2. Ako su A i B proizvoljne tacke, postoji najmanje jedna tacka Ctakva da je B izmedu A i C tj. B(A, B, C).

2.3. Ako su A, B i C tri tacke jedne prave, najvise jedna se nalaziizmedu ostale dve.

2.4. Ako su A, B i C tri kolinearne tacke ravni π i prava l pripada ravniπ, ne sadrzi tacku A i sece pravu BC u tacki P takvoj da je B(B, P,C), tada prava l sece pravu AC u tacki Q koja je izmedu tacaka A i Cili pravu AB u tacki R koja je izmedu tacaka A i B.

3. AKSIOME PODUDARNOSTI (5 aksioma)

3.1. Ako su A i B dve tacke prave a i ako je A′tacka te iste ili neke

druge prave a′, onda se uvek na pravoj a

′sa date strane tacke A

′moze

naci tacka B′, takva da je duz AB podudarna duzi A

′B

′, sto se oznacava

(A,A) ∼= (B,B).

3.2. Ako su duzi A′B

′i A

′′B

′′podudarne jednoj istoj duzi AB, onda je

i (A′, B

′) ∼= (A

′′, B

′′).

3.3. Neka su AB i BC dve duzi prave a, koje nemaju zajednickih tacakai neka su, dalje, A

′B

′i B

′C

′dve duzi te iste ili neke druge prave a

′,

koje takode nemaju zajednickih tacaka. Ako je tada AB ∼= A′B

′i

BC ∼= B′C

′, onda je i AC ∼= A

′C

′

3.4. Neka je dat ugao ]hk u ravni α, prava a′te iste ili neke druge

ravni α′i neka je, u odnosu na pravu a

′zadana poluravan ravni α

′.

Neka je, dalje, h′poluprava prave a

′sa pocetnom tackom O

′. Tada u

ravni α′, kroz tacku O

′, u datoj poluravni s obzirom na pravu a

′, prolazi

samo jedna poluprava k′takva da je ]hk podudaran uglu ]h′

k′.

Svaki ugao je sam sebi podudaran.

10

3.5. Neka su A, B i C tri tacke koje ne pripadaju istoj pravoj i nekasu A

′, B

′i C

′takode tri tacke koje ne pripadaju istoj pravoj. Ako je

pri tome AB ∼= A′B

′, AC ∼= A

′C

′, ]BAC ∼= ]B′

A′C

′, onda je i

]ABC ∼= ]A′B

′C

′.

4. AKSIOME NEPREKIDNOSTI (1 aksioma)

4.1. (Dedekindova8 aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dvaneprazna skupa tacaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu tackuP skupa M i proizvoljnu tacku Q skupa N vazi da je tacka P ispredtacke Q (P ≺ Q), tada na pravoj p postoji tacka X takva da je za svakutacku P ∈ M \X i Q ∈ N \X vazi relacija P ≺ X ≺ Q.

5. AKSIOME PARALELNOSTI (1 aksioma)

5.1. (Plejferova aksioma paralelnosti) Ako je p proizvoljna pravai A tacka van nje, tada u ravni π(p,A) postoji najvise jedna prava a,koja sadrzi tacku A i nema zajednickih tacaka sa pravom p.

Prva grupa aksioma zasnovana je na relacijama pripada i sadrzi se (∈,⊂)koje jednim imenom nazivamo relacijama incidencije (veze). Prve cetiri ak-siome odnose se na geometriju ravni (planimetrijske aksiome incidencije), aostalih pet aksioma odnosi se na geometriju prostora (stereometrijske ak-siome incidencije).

2.1.1 Aksioma Lobacevskog

Prve cetiri grupe aksioma dopustaju zasnivanje analiticke geometrije. Ap-solutna geometrija je zasnovana na ove cetiri grupe aksioma.

Ukoliko sistemu aksioma Apsolutne geometrije pridruzimo Plejferovu ak-siomu paralelnosti, dobijamo Euklidsku geometriju. Ali ako sistemu aksiomapridruzimo aksiomu Lobacevskog:

Teorema 2.1.1. (Aksioma Lobacevskog) Za svaku pravu a i svaku tackuA van nje, u njima odredenoj ravni, postoje dve razlicite prave a1 i a2 kojesadrze tacku A i sa pravom a nemaju zajednickih tacaka.

8Julius Wilhem Richard Dedekind (1831-1916), nemacki matemticar

11

dobijamo Hiberbolicku geometriju. Ravan i prostor u kojima vaze oveaksiome se nazivaju redom Hiperbolicka ravan ili ravan Lobacevskog iHiperbolicki prostor ili prostor Lobacevskog i obelezavaju se sa L2 iL3.

12

3 Karakteristicne krive u Hiperbolickoj

geometriji

3.1 Pramen pravih

U ovom poglavlju razmotricemo neka pitanja koja su od vaznog teori-jskog interesa za geometriju Lobacevskog i za njen polozaj prema ostalimgeometrijskim sistemima.

U Euklidskoj ravni, pod pramenom pravih podrazumevamo takav besko-nacan skup pravih te ravni, pri cemu sve prave tog skupa prolaze jednomtackom ili su medjusobno paralelne. U prvom slucaju kazemo da je to pra-men konkurentnih pravih ili elipticki pramen, a u drugom slucaju imamoortogonalan ili hiperbolicki pramen pravih (Slika 3.1.1.).

Slika 3.1.1. a) Elipticki pramen b) Pramen paralelnih pravih

Uvodjenjem pojma paralelnosti u geometriji Lobacevskog u mogucnostismo da definisemo jos jedan pramen pravih - parabolicki, za koji u Apso-lutnoj geometriji ne moze da se ustanovi da li se razlikuje od hiperbolickogpramena ili se od njega ne razlikuje. U Euklidskoj geometriji ti pramen-ovi se ne razlikuju, pa je prema tome, svaki hiperbolicki pramen ujedno iparabolicki. Kako se u geometriji Lobacevskog paralelne prave razlikuju odhiperparalelnih to se i parabolicki pramen razlikuje od hiperbolickog. Stogau Hiperbolickoj geometriji razlikujemo tri tipa pramena pravih (Slika 3.1.2.):

13

Definicija 3.1.1. Elipticki pramen je skup pravih ravni, koje prolaze krozistu tacku. Ta tacka se naziva srediste pramena.

Definicija 3.1.2. Parabolicki pramen je skup pravih ravni, koje su par-alelne u istom smeru.

Definicija 3.1.3. Hiperbolicki pramen je skup pravih ravni koje su nor-malne na istu pravu. Ta prava naziva se bazisna prava pramena.

Slika 3.1.2. a) Elipticki pramen b) Parabolicki pramen c) Hiperbolicki pramen

Svaki pramen ravni Lobacevskog jednoznacno je odredjen sa ma koje dveprave tog pramena. Takodje, svakom tackom ravni osim sredistem pramena,prolazi jedna i samo jedna prava tog pramena.

Posmatrajmo u ravni Lobacevskog dva razna pramena pravih ℵ i ℵ′ isteravni. Razmotrimo sledece :

1. Ako je jedan od tih pramenova elipticki, tada postoji jedinstvena pravakoja pripada tim dvama pramenovima pravih, bez obzira na to da li jedrugi pramen elipticki, parabolicki ili hiperbolicki.

2. Ako je ℵ hiperbolicki, a ℵ′ parabolicki pramen pravih, postojace jedin-stvena prava koja pripada tim dvama pramenovima pravih ako i samoako osnovica pramena ℵ nije paralelna pravama pramena ℵ′ , jer postojijedinstvena prava upravna na zadatoj pravoj, a paralelna polupravojkoja nije paralelna toj pravoj.

14

3. Ako su oba pramena hiperbolicka, postojace jedinstvena prava kojapripada tim dvama pramenovima pravih ako i samo ako su osnovicetih dvaju pramenova medjusobno hiperparalelne prave.

Slucaj kada su zadati pramenovi pravih parabolicki iskazacemo u vidusledece teoreme :

Teorema 3.1.1. Neka su ℵ i ℵ′ dva razna parabolicka pramena. Tada postojijedinstvena prava koja pripada pramenovima ℵ i ℵ′.

Dokaz: Poznato je da dva razna pramena mogu imati najvise jednu za-jednicku pravu. S toga je dovoljno dokazati da postoji prava koja pripadapramenovima ℵ i ℵ′.

Oznacimo sa p′ i q′ dve poluprave kojima su paralelne prave redom pra-menova ℵ i ℵ′. Tada poluprave p′ i q′ ne sadrze jedna drugu, jer bi se usuprotnom pramenovi ℵ i ℵ′ poklapali. Ako bi te dve poluprave pripadalejednoj pravoj, onda bi ta prava bila zajednicka prava pomenutih pramenovapravih.

Slika 3.1.3.

Neka poluprave p′ i q′ pripadaju dvema razlicitim pravama p i q i neka jeQ tacka koja ne pripada tim dvema pravama (Slika 3.1.3.). Oznacimo sa p′′

i q′′ poluprave sa pocetkom u tacki Q koje su paralelne redom polupravamap′ i q′. Ako poluprave p′′ i q′′ pripadaju jednoj pravoj, onda je ta pravazajednicka prava pramenova ℵ i ℵ′.

15

Neka su p′′ i q′′ kraci nekog konveksnog ugla. Tada bisektrisa s tog uglarazlaze taj ugao na dva ostra ugla, pa postoji jedinstvena prava r normalnana pravu s i paralelna polupravama p′′ i q′′. Prava r pripada svakom odpramenova ℵ i ℵ′ jer je paralelna obema polupravama p′ i q′.

Pokazacemo teoremu koja govori o tome da se pri transformaciji po-dudarnosti ravni na tu istu ravan, parabolicki pramen pravih prevodi uparabolicki pramen pravih.

Teorema 3.1.2. Parabolicki pramen se preslikava na sebe translacijom duzbilo koje prave koja mu pripada.

Slika 3.1.4.

Dokaz: Neka je dat parabolicki pramen pravih ℵ i neka je a proizvoljnaprava zadatog pramena. Neka je prava a razlozena na poluprave a′ i a′′

nekom svojom proizvoljnom tackom, ali tako da su prave pramena ℵ paralelnepolupravoj a′ (Slika 3.1.4.). Oznacimo sa p i q dve razlicite proizvoljne praveupravne na pravu a. Osnom refleksijom Sp svaka prava pramena ℵ preslikavase u pravu paralelnu polupravoj a′′. Medjutim, osnom refleksijom Sq se taprava preslikava u neku pravu paralelnu pravoj a′, tj. u pravu pramena ℵ.Odavde zakljucujemo da kompozicija Sp Sq pramen ℵ preslikava na sebe.

3.1.1 Secica jednakog nagiba. Odgovarajuce tacke

Definicija 3.1.4. Prava AB je secica jednakog nagiba pravih AA′ iBB′ ako ona sa iste strane obrazuje sa tim pravama podjednake uglove(Slika 3.1.5.).

16

Slika 3.1.5.

Teorema 3.1.3. U svakom pramenu pravih , kroz proizvoljnu tacku ma kojeprave, prolazi jedna i samo jedna secica jednakog nagiba ka ma kojoj drugojpravoj istog pramena.

Dokaz: Neka su a ≡ A′′A′ i b ≡ B′′B′ dva elementa pramena pravih.Izaberimo na pravoj a tacku A, i obelezimo sa A1 tacku u kojoj normala iz Ana b sece pravu b. Uocimo tacku P izmedju A i A1 i sa PQ oznacimo njenoodstojanje od prave a.

Kada tacka P opisuje duz AA1 od A prema A1, rastojanje PA1 se stalnoi neprekidno smanjuje. S druge strane, posto je ∠A1AA

′ ostar, to odstojanjaPQ stalno i neprekidno rastu. Zbog toga postoji tacka O, duzi AA1 tako daje OA1

∼= OC , gde je C podnozje normale spustene iz O na a (Slika 3.1.6.).

Slika 3.1.6.

17

Obelezimo sa B tacku na pravoj b, tako da se ona nalazi sa one straneprave AA1 sa koje nije tacka C i BA1

∼= CA. Tada su trouglovi OAC i OBA1

podudarni, pa je OA ∼= OB i ∠OBA1 = ∠OAC. Iz prvog uslova (OA ∼= OB)sledi da je trougao OAB jednakokrak, sto znaci da je ∠OBA = ∠OAB.Dakle, imamo, ∠A1BA = ∠BAC, a to pokazuje da je prava AB secicajednakog nagiba pravih a i b.

Ostaje nam da pokazemo da je AB jedina takva secica koja prolazi kroztacku A. Zaista, neka postoji jos jedna takva secica AB1. Pretpostavimo daje ona takva da je ∠B1AC > ∠BAC. Kako je ∠BAC ∼= ∠ABA1 i ∠B1AC =∠AB1A1, to je ∠AB1A1 > ∠ABA1. Medjutim, ∠ABA1 je spoljasnji ugaotrougla ABB1 i prema teoremi 9 iz Apsolutne geometrije mora biti veci odunutrasnjeg neuporednog ugla ∠AB1B tog trougla. Dobijena protivrecnostpokazuje da poluprava AB1 ne moze biti takva da je ∠B1AC > ∠BAC, stoznaci da se ona mora poklapati sa polupravom AB.

Time je teorema u potpunosti dokazana.

Definicija 3.1.5. Neka tacka A pripada pravoj a, a tacka B pripada pravojb. Ako je AB secica jednakog nagiba pravih a i b, za tacke A i B kazemo dasu odgovarajuce tacke pravih a i b.

Teorema 3.1.4. Ako su A i B odgovarajuce tacke elemenata a i b nekogpramena pravih, normala na duz AB u njenom sredistu C, pripada istompramenu pravih.

Dokaz: Razlikovacemo tri slicaja, prema tome da li tacke A i B pripadajueliptickom, hiperbolickom, ili parabolickom pramenu pravih (Slika 3.1.7.).

Slucaj eliptickog pramena: Dakle, ako je pramen elipticki, onda postojisrediste O pramena, kome pripadaju i prave a i b. Trougao OAB je jed-nakokrak, i normala podignuta na osnovicu AB u njenom sredistu C, jevisina trougla, tj. prolazi kroz tacku O. A to upravo znaci, da i ta normalapripada tom pramenu pravih.

Slucaj hiperbolickog pramena: Ako je pramen hiperbolicki, obelezimo re-spektivno sa A′ i B′ tacke bazisne prave x, koje pripadaju pravama a i b. Ucetvorouglu AA′B′B su, dakle, uglovi koji nalezu na stranicu A′B′ pravi,dok su uglovi koji nalezu na stranicu AB podudarni. Ovakav cetvorougaoje Sakerijev10. Kako je srednja linija t Sakerijevog cetvorougla normalna

9 Teorema: Spoljasnji ugao trougla, veci je od unutrasnjeg neuporednog ugla togtrougla.

10Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), italijanski matematicar

18

na svaku od osnovica tog cetvorougla, to je teorema dokazana i u slucajuhiperbolickog pramena pravih.

Slucaj parabolickog pramena: Neka prave a i b pripadaju parabolickompramenu pravih. Normala na duz AB u njenom sredistu C ne moze seci,zbog podudarnosti uglova sa temenima u tackama A i B, ni jednu od praviha i b, pa kako se nalazi izmedju njih, to je, s obzirom na teoremu 11 paralelnasvakoj od njih u istom smeru. Drugim recima, i u ovom slucaju pripadaistom pramenu kome i prave a i b.

Slika 3.1.7. 1) Elipticki pramen 2) Hiperbolicki pramen 3) Parabolicki pramen

Vazi i obrnuta:

Teorema 3.1.5. Ako tacke A i B pripadaju elementima a i b nekog pramena,a normala c na duz AB u njenom sredistu C pripada tom istom pramenu,tacke A i B su odgovarajuce tacke pravih a i b.

Dokaz: Kao i u dokazu prethodne teoreme razlikovacemo tri slicaja, prematome da li tacke A i B pripadaju eliptickom, hiperbolickom, ili parabolickompramenu pravih (Slika 3.1.8.).

Slucaj eliptickog pramena: U ovom slucaju, uslov teoreme izrazava cinjenicuda simetrala osnovice AB trougla OAB gde je O srediste pramena, prolazikroz teme O. Ona je, dakle, visina tog trougla, koji je, s toga, jednakokrak,a to pokazuje da je AB secica jednakog nagiba pravih a i b.

Slucaj hiperbolickog pramena: Obelezimo sa A′, B′, C ′ tacke bazisneprave x, koje pripadaju, respektivno, pravama a, b, c. Lambertovi12 cevorougli

11Teorema: Ako se prave−−→AB i

−−→CD, koje su paralelne u istom smeru, nalaze sa raznih

strana prave PQ, i prava PQ ne sece ni jednu od njih, onda je ona paralelna sa svakomod njih u istom smeru.

12Johann Heinrich Lambert (1728-1777), svajcarski matematicar, fizicar, astronom

19

ACC ′A′ i BCC ′B′ imaju zajednicku osnovicu CC ′ i podudarne visine ACi CB. S obzirom na teoremu 13 ta dva cetvorougla su podudarna. Iz njihovepodudarnosti, sledi podudarnost ostalih elemenata, pa je ^A′AB ∼= ^B′BA,a to pokazuje da je AB secica jednakog nagiba pravih a i b.

Slucaj parabolickog pramena: Neka su prave a, b, c paralelne u istomsmeru. Tada je ^A = Π(AC) i ^B = Π(BC), obzirom da je c normala naAB. Medjutim kako je AC = BC, tj. Π(AB) = Π(AC), to su uglovi ^A i^B podudarni. Dakle, AB je secica jednakog nagiba pravih a i b .

Slika 3.1.8. 1) Elipticki pramen 2) Hiperbolicki pramen 3) Parabolicki pramen

Teorema 3.1.6. Ako tacke A i B odgovaraju jedna drugoj na pravama a i bnekog pramena, a tacke B i C odgovaraju jedna drugoj na pravama b i c togsnopa istog pramena, onda tacke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravamaa i c.

Dokaz: Prema upravo dokazanoj teoremi, normala e duzi AB u njenojsredini E, pripada uocenom pramenu. Tom pramenu pripada i normala fduzi BC u njenoj sredini F . No, prave e i f su simetrale stranica trouglaABC. Prema teoremi 14 iz Apsolutne geometrije , simetrala g trece straneAC tog trougla, pripada istom pramenu kome pripadaju i simetrale e i f .Dakle, normala g duzi AC u njenom sredistu G pripada onom pramenu, komepripadaju i prave a i c (Slika 3.1.9.). Na osnovu prethodne teoreme, tacke Ai C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c, sto je i trebalo dokazati.

13Teorema: Dva Lambertova cetvorougla su podudarna ako su osnovica i odgovarajucavisina jednog podudarne osnovici i odgovarajucoj visini drugog.

14Teorema: Medijatrise stranica trougla pripadaju jednom pramenu pravih.

20

Slika 3.1.9.

Primer 3.1.1. Posmatracemo u Hiperbolickoj ravni prave a, b i n. Ispita-jmo da li postoji prava koja pripada pramenu X (a, b) i koja je normalna napravoj n.

Resenje : Razlikovacemo tri slucaja, prema tome da li je X (a, b) elipticki,parabolicki ili hiperbolicki pramen pravih.

1 Pretpostavimo da se prave a i b seku u nekoj tacki S. Dakle, oneodredjuju elipticki pramen. Na osnovu teoreme 15, postoji (jedinstvena)prava p, koja sadrzi tacku S i normalna je na pravoj n (Slika 3.1.10.).Prava p, pripada pramenu X (a, b) i normalna je na pravoj n.

Slika 3.1.10.

15Teorema: Ako tacka P i prava p, pripadaju ravni π, tada u ravni π postoji jedinstvenaprava koja sadrzi tacku P i upravna je na pravoj p.

21

2 Pretpostavimo da su prave a i b paralelne, tj. pretpostavimo da oneodredjuju parabolicki pramen pravih.

Slika 3.1.11.

(a) Pretpostavimo da prava n, ne pripada pramenu X (a, b). Neka je Cproizvoljna tacka prave n. Na osnovu teoreme 16, postoji jedinstvenaprava c koja sadrzi tacku C, i pripada pramenu X (a, b). Razlikujemo:

i) ako je prava c normalna na pravoj n, onda je c prava koja zadovoljavatrazena svojstva (slika 3.1.11.i);

ii) ako prava c nije normalna na pravoj n, onda na osnovu teoreme 17

postoji prava c′ koja je normalna na pravoj n i paralelna pravoj c uistom smeru kao i prava a (prava c′, dakle, normalna je na pravoj n ipripada pramenu X (a, b)) (slika 3.1.11.ii).

(b) Pretpostavimo da prava n pripada pramenu X (a, b). Pretpostavimo dapostoji prava c koja je normalna na pravoj n i pripada pramenu X (a, b).Ako je C presecna tacka prave n i c, onda postoje dve razlicite prave (n ic) koje sadrze tacku C i pripadaju pramenu X (a, b), sto je u suprotnostisa teoremom navedenom u (2.a). Dakle, kako prava n pripada pramenuX (a, b), onda ne postoji prava koja pripada tom pramenu i normalnaje na pravoj n.

16Teorema: Ako su a′ i c′ dve razne prave neke ravni i B tacka te ravni koja im nepripada, tada postoji jedinstvena prava b′ te ravni, koja sadrzi B, takva da prave a′, b′ ic′ pripadaju jednom pramenu.

17Teorema: U Hiperbolickoj ravni postoji jedinstvena prava upravna na jednom kraku,a paralelna drugom kraku ostrog ugla.

22

3 Pretpostavimo da su prave a i b hiperparalelne, tj. da one odredjujuhiperbolicki pramen pravih. Neka je m bazisna prava tog hiperbolickogpramena (slika 3.12).

Slika 3.1.12.

Postoji prava koja pripada tom pramenu i normalna je na pravu n,akko postoji prava koja je normalna i na pravoj m i na pravoj n, tj.akko m i n imaju zajednicku normalu. Na osnovu teoreme 18, pravem i n imaju zajednicku normalu akko su hiperparalelne ili identicne.Razlikujemo:

(i) Ako je m hiperparalelna sa n, njihova zajednicka normala p pripadapramenu X (a, b) i normalna je na pravoj n.

(ii) Ako su prave m i n identicne, svaka prava p normalna na pravoj n,pripada pramenu X (a, b).

Dakle, trazena prava ( prava koja pripada pramenu X (a, b) i normalnaje na pravoj n) postoji uvek, osim ako su prave a i b paralelne iprava n pripada pramenu X (a, b), ili ako su prave a i b hiperparalelnei njihova zajednicka normala m, nije hiperparalelna niti identicna sapravom n.

18Teorema: Ako je prava c hiperparalelna pravoj b, tada je prava b hiperparalelnapravoj c.

23

3.2 Trajektorija pramena pravih

Definicija 3.2.1. Posmatrajmo pramen pravih, tako da kroz svaku tackuravni prolazi element pramena, i uocimo tacku A ravni; skup svih tacakakoje, u uocenom pramenu, odgovaraju tacki A je trajektorija tog pramenapravih. Tacka A, koja pripada trajektoriji - jer odgovara sama sebi - nazivase pocetna tacka trajektorije .

Trajektorija pramena pravih je, dakle, odredjena svojom pocetnom tackom.

Teorema 3.2.1. Svaka tacka trajektorije pramena pravih, moze se uzeti zapocetnu tacku trajektorije.

Dokaz: Neka je T trajektorija pramena pravih u odnosu na pocetnu tackuA, a T ′ trajektorija istog pramena u odnosu na pocetnu tacku B. Ako tackaB pripada i trajektoriji T , to znaci da je B ona tacka elementa b pramena,koja odgovara tacki A, elementa a tog pramena. Ali tada i tacka A elementaa odgovara tacki B elementa b, tj. ako tacka B pripada trajektoriji T , ondai tacka A pripada trajektoriji T ′.

Neka je, zatim, C proizvoljna tacka trajektorije T . To znaci da je tacka C,elementa c pramena, odgovarajuca tacka tacki A, elementa a. Ali na osnovuTeoreme 3.1.6. sledi da su i tacke B i C odgovarajuce tacke, sto znaci datacka C pripada i trajektoriji T ′. Jasno je da vazi i obrnuto - svaka tackatrajektorije T ′ pripada i trajektoriji T tj. trajektorije T i T ′ se poklapaju.Dakle, trajektorija pramena pravih je odredjena ma kojom svojom tackom.

Na osnovu rezultata prethodnog paragrafa, slede teoreme:

Teorema 3.2.2. Svaka tetiva trajektorije pramena pravih je secica jednakognagiba onih elemenata pramena, koji prolaze kroz krajnje tacke tetive.

Teorema 3.2.3. Normala na tetivu trajektorije pramena pravih u njenomsredistu, pripada tom pramenu pravih.

Teorema 3.2.4. Svaka trajektorija sece pramen pravih ortogonalno.

Dokaz: Primetimo da ova teorema, u stvari, izrazava cinjenicu da tangentatrajektorije u svakoj tacki stoji normalno na onom elementu pramena, kojiprolazi kroz uocenu tacku pramena.

Razmotrimo, posebno slucaj eliptickog, parabolickog i hiperbolickog pra-mena.

24

• U slucaju eliptickog pramena, sve tacke trajektorije su podjednakoudaljene od sredista pramena, tj. ta trajektorija je kruznica. Ali zakruznice ova teorema pripada Apsolutnoj geometriji.

• U slucaju parabolickog pramena, neka je AB tetiva trajektorije, a

CC ′ normala te tetive u njenom sredistu C. Tada je−−→AA′∥

−−→CC ′, pa

je ∠A′AC = Π(AC), gde smo sa A′ oznacili tacku elementa pramenakoji prolazi kroz tacku A, a nalazi se sa one strane prave AB sa koje jesmer paralelnosti (Slika 3.2.1.). Medjutim funkcija Lobacevskog, Π(x)monotono raste kada argument opada, i pri tome Π(AC) → π/2, kadaAC → 0. S sruge strane, kada AC → 0 tetiva AB postaje tangentatrajektorije u tacki A.

Slika 3.2.1.

• Ako je pramen hiperbolicki, posmatrajmo tetivu AB trajektorije i oneelemente a i b pramena koji prolaze, respektivno, kroz tacke A i B.Obelezimo sa A′ i B′ tacke preseka pravih a i b sa bazisnom pravompramena x (Slika 3.2.2.). U Sakerijevom cetvorouglu ABB′A′, kaoi u slucaju parabolicnog pramena, ∠A′AB → π/2 kada AB → 0, azajedno s tim i A′B′ → 0.

Teorema 3.2.5. Prava moze seci trajektoriju pramena najvise u dve tacke.

25

Slika 3.2.2.

Dokaz: Iz Apsolutne geometrije je poznato da prava ne moze seci kruznicuu vise od dve tacke, pa je tvrdjenje jasno u slucaju eliptickog pramena (uslucaju eliptickog pramena trajektorija je kruznica).

Ako je u pitanju parabolicki ili hiperbolicki pramen pravih, uocimo tackeA, B i C trajektorije tog pramena. Neka je tacka B izmedju tacaka A i C natoj trajektoriji, i AA′, BB′ i CC ′ odgovarajuci elementi pramena. Tada suuglovi ∠ABB′ i ∠CBB′ ostri, odakle sledi da ∠ABC ne moze biti opruzen,tj. tri tacke trajektorije ne mogu biti kolinearne, sto je i trebalo dokazati.

§

U ravni Lobacevskog postoje vazne krive koje su u uskoj vezi s pramenom.Zbog svog velikog znacaja zovu se fundamentalne ili C-krive. To su ortogo-nalne trajektorije, tj. takve krive koje presecaju prave pramena pod pravimuglom.

U prvom odeljku govorili smo o pramenovima pravih u ravni Lobacevskog,pa shodno tome, moze se govoriti o ortogonalnoj trajektoriji svakog od spo -menuta tri tipa pramena. Prema tome razlikujemo sledece tri vrste funda-mentalnih ili C-krivih :

a) Ortogonalna trajektorija eliptickog pramena je kruznica ili cikl. Svakatacka kruznice podjednako je udaljena od sredista eliptickog pramenapravih (O). Tacku O nazivamo sredistem tog cikla (Slika 3.2.3.a).

26

b) Ortogonalna trajektorija parabolickog pramena naziva se granicnakruznica ili oricikl (Slika 3.2.3.b). Oricikl se moze posmatrati kaogranicni slucaj kruga (odatle i sledi naziv granicna kruznica). Sredistetog kruga bila bila bi infinitna tacka O∞ u ravni Lobacevskog, u kojojse seku prave parabolickog pramena pravih. Oricikl je kriva koja celalezi s jedne strane svoje tangente, a konkavna strana joj je okrenutaprema onoj tacki kojoj paralelne prave konvergiraju.

c) Ortogonalna trajektorija hiperbolickog pramena naziva se ekvidis-tanta ili hipercikl (Slika 3.2.3.c). Naziv ”ekvidistanta” ova C-krivadobila je po tome sto ima svojstvo da su sve njene tacke podjednakoudaljene od prave n koja je zajednicka normala svih pravih toga pra-mena. Ta prava n naziva se baza (osnova) ekvidistante. U ravniLobacevskog ekvidistanta nije prava, nego kriva. Medjutim, u Eukli-dovoj ravni ekvidistanta je prava (sledi iz V Euklidovog postulata).

Slika 3.2.3. a) Kruznica ili cikl b) Oricikl c) Ekvidistanta

Sve prave pramena u svakom od ova tri slucaja zovu se ose odgovarajucefundamentalne krive. Svaka od pomenutih krivih je simetricna u odnosu nasvaku svoju osu.

Krug, ekvidistanta i oricikl imaju zajednicko svojstvo - to su krive stalnekrivine u L2. Stavise, moze se dokazati da su to jedine krive konstantnekrivine (-1) u ravni Lobacevskog. U Euklidskoj ravni E2 postoje dve vrstelinija konstantne krivine: krug i prava, dobijene kao trajektorije eliptickog ihiperbolickog pramena pravih.

Fundamentalne krive, pre svega oricikl i ekvidistanta, bice predmet nasegrazmatranja u poglavljima koja slede.

27

3.3 Ekvidistanta

Definicija 3.3.1. Trajektorija hiperbolickog pramena pravih zove se ek-vidistantna linija ili ekvidistanta, a bazisna prava pramena - bazisnaprava ekvidistante. Svaki element pramena u odnosu na koji je ekvidis-tanta definisana je osa ekvidistante (Slika 3.3.1.).

Slika 3.3.1.

Naravno, definiciju ekvidistante, mozemo dati i u terminima secice jed-nakog nagiba kao u narednoj definiciji:

Definicija 3.3.2. Neka je prava a iz hiperbolickog pramena pravih i neka jeA proizvoljna tacka prave a. Tada geometrijsko mesto tacaka B, pri cemuje B ∈ b i b je iz istog pramena, i AB je secica jednakog nagiba, naziva seekvidistanta.

Teorema 3.3.1. Tacke ekvidistante su podjednako udaljene od njene bazisneprave. Obrnuto, geometrijsko mesto tacaka podjednako udaljenih od te praveje ekvidistantna linija.

Dokaz: (:⇒) Neka su A, B i C tacke ekvidistante e, a A′, B′ i C ′ projekcijetih tackaka na njenu bazisnu pravu (Slika 3.3.2.). Tacke A i B su, dakle,odgovarajuce tacke na elementima AA′ i BB′ posmatranog hiperbolickogpramena. Zato je ∠BAA′ ∼= ∠ABB′. Kako je, po konstrukciji, ∠AA′B′ ∼=∠A′B′B = R , to je cetvorougao AA′B′B Sakerijev, tj. AA′ ∼= BB′.Analognim rasudjivanjem, cetvorougao BB′C ′C je Sakerijev, pa je AA′ ∼=BB′ ∼= CC ′.

28

(⇐:) Posmatrajmo sada normale u tackama A′, B′ i C ′ date prave, ina njima, sa iste strane uocene prave, respektivno tacke A, B i C, takoda je AA′ ∼= BB′ ∼= CC ′. Tacke A, B i C pripadaju geometrijskom mestutacaka podjednako udaljenih od date prave. Primetimo, uocene normalesu elementi hiperbolicnog pramena pravih za koje data prava predstavljabazisnu pravu. Takodje cetvorougli AA′B′B i BB′C ′C su Sakerijevi.Stoga ∠A′AB ∼= ∠ABB′ i ∠B′BC ∼= ∠BCC ′ . Dakle, tacke A, B i C suodgovarajuce tacke na elementima pramena i stoga pripadaju trajektoriji togpramena, sto je i trebalo dokazati.

Slika 3.3.2.

Definicija 3.3.3. Konstantno odstojanje AA′ ∼= BB′ ∼= CC ′ ∼= h tacakaekvidistante od njene bazisne prave, naziva se parametar ekvidistante ilivisina ekvidistante.

Specijalno, ako je visina ekvidistante jednaka nuli, sledi da je ekvidistantaprava linija. Stoga prave linije mozemo smatrati ekvidistantama visine nula.

U sekciji 3.2 pokazali smo da prava moze seci trajektoriju pramena pravih.Shodno tome, ona sece i ekvidistantnu liniju, najvise u dvema tackama. Alivazi sledeci rezultat:

29

Teorema 3.3.2. Prava koja sece bazisnu pravu, sece svaku granu ekvidis-tante u jednoj tacki.

Dokaz: Pretpostavimo da prava AB sece bazisnu pravu A′B′ ekvidistante utacki C. Uocimo ostar ugao ∠ACA′. Koristeci se teoremom 19 zakljucujemoda rastojanja tacaka njegovog kraka AC od drugog kraka CA′ neprekidnorastu, ukoliko se po kraku AC udaljujemo od njegovog temena C. Zato natom kraku postoji tacka A1 cije je rastojanje od kraka CA′, tj. od bazisneprave A′B′ jednako visini ekvidistante h (Slika 3.3.3.). Dakle, tacka A1 pri-pada ekvidistanti (ona je presecna tacka prave i ekvidistante). Analogno sepokazuje da druga poluprava CB , date prave, sece drugu granu ekvidis-tante.

Slika 3.3.3.

Teorema 3.3.3. Prava koja je paralelna sa bazisnom pravom ekvidistante,sece ekvidistantu u jednoj tacki.

Dokaz: Poznato je da se odstojanje tacke koja se pomera po jednoj od dvejuraznih medjusobno paralelnih pravih, od druge prave strogo i neogranicenosmanjuje kada se tacka pomera u smeru paralelnosti, a strogo i neogranicenopovecava kada se tacka pomera u smeru suprotnom od smera paralelnosti.Zato, ako uocimo pravu koja je paralelna bazisnoj pravoj ekvidistante, nanjoj postoji jedna i samo jedna tacka, cije je rastojanje od bazisne praveekvidistante jednako visini ekvidistante h. Ta tacka prave, zbog toga, pripadaekvidistanti, i prema tome, data prava sece ekvidistantu u jednoj tacki, stoje i trebalo dokazati.

19Teorema: Odstojanje tacke koja se nalazi na jednom kraku ostrog ugla od drugogkraka neograniceno raste pri neogranicenom udaljavanju te tacke od temena tog ugla.

30

Teorema 3.3.4. Prava koja je mimoilazna sa bazisnom pravom ekvidistante,sece jedni granu ekvidistante u dvema tackama ako je najkrace rastojanjete dve prave manje od visine ekvidistante; dodiruje je, ako je to rastojanjejednako visini ekvidistante, a nema zajednickih tacaka sa ekvidistantom, akoje to rastojanje vece od visine ekvidistante.

Dokaz: Oznacimo sa AB datu pravu, a sa A′B′ bazisnu pravu ekvidis-tante. Neka su prave AB i A′B′ mimoilazne. Neka je CC ′ njihova zajednickanormala. Duz CC ′ je najkrace rastojanje te dve prave (jer od svih duzi kojespajaju tacke dveju mimoilaznih pravih, najmanja je ona koja spaja podnozjazajednicke normale tih mimoilaznih pravih), i pocev od nje mimoilazne pravese neprekidno i neograniceno udaljavaju jedna od druge.

Razmotrimo svaki slucaj ponaosob (Slika 3.3.4.):

(1) Neka je duz CC ′ manja od visine ekvidistante. Primetimo, da na pravojAB sa svake strane tacke C postoji po jedna tacka, cije je odstojanjeod bazisne prave jednako duzi h. Te dve tacke pripadaju i ekvidistanti(jer ekvidistantna linija je sastoji iz dve grane, od kojih se svaka nalazisa jedne strane bazisne prave), pa, prema tome, data prava sece jednugranu (onu granu ekvidistante sa koje se nalazi) u dvema tackama.

Slika 3.3.4.

(2) Neka je duz CC ′ jednaka visini ekvidistante. U tom slucaju tacka Cpripada ekvidistanti. Ako se pocev od tacke C, sa obe strane te tackeprava AB udaljuje od prave A′B′, onda ta prava nema vise zajednickihtacaka sa ekvidistantom, pa je zato dodiruje samo u tacki C.

(3) Neka je duz CC ′ veca od visine ekvidistante. U tom slucaju tacka C senalazi izvan ekvidistante. Nego, to vazi i za ostale tacke prave AB, jersu i njihova odstojanja od A′B′ veca od CC ′, pa prema tome i od h.Zato, u ovom slucaju, prava AB nema zajednickih sa ekvidistantom.

31

U Euklidskoj geometriji ekvidistanta je prava, pa su svake dve ekvidis-tante podudarne. U ravni Lobacevskog ekvidistanta je razlicita od prave ivazi sledeca teorema:

Teorema 3.3.5. Da bi u ravni Lobacevskog dve ekvidistante bile podudarne,potrebno je i dovoljno da im visine budu podudarne.

Dokaz: Posmatrajmo u ravni L2 ekvidistante e i e′ redom sa bazisnimpravama s i s′. Neka su Q i Q′ redom tacke ekvidistanti e i e′ a A i A′

podnozja normala redom iz tacaka Q i Q′ na prave s i s′. Oznacimo sa B iB′ tacke pravih s i s′ redom, takve da je AB ∼= A′B′, a ℵ i ℵ′ hiperbolickipramenovi kojima su ekvidistante e i e′ definisane (Slika 3.3.5.).

(:⇒) Pretpostavimo da su visine QA i Q′A′ podudarne. Tada u ravniLobacevskog postoji jedinstvena izometrija I koja trougao QAB prevodiu trougao Q′A′B′. Izometrija I pramen ℵ prevodi na pramen ℵ′ pa samimtim ekvidistantu e na ekvidistantu e′.

(⇐:) Neka su ekvidistante e i e′ podudarne. Tada postoji izometrija I,takva da je I(e) = e′. Nego, tada je I(ℵ) = ℵ′, I(A) = A′′, I(B) = B′′

i I(Q) = Q′. Ukoliko bi bilo I(s) = s′, onda bi svaka prava pramena ℵ′

bila upravna na dvema pravama s′ i A′′B′′, sto je nemoguce. Dakle, visineekvidistanti e i e′ su podudarne.

Slika 3.3.5.

Primer 3.3.1. Pokazimo da ako je visine ekvidistante u Hiperbolickoj ravniveca od nule, onda ta ekvidistanta nije prava.

Resenje: Neka je data ekvidistanta e, i oznacimo sa s njenu bazisnupravu. Neka su P , Q i R proizvoljne razlicite tacke koje pripadaju ekvidis-tanti, a P ′, Q′ i R′ podnozja normala iz tacaka P , Q i R na pravoj s. Pret-postavimo, bez umanjenja opstosti dokaza, da vazi raspored B(P ′, Q′, R′)

32

(Slika 3.3.6.). Po pretpostavci, visina ekvidistante e je razlicita od nule, patacke P i P ′ se ne poklapaju (razlicite su i tacke Q i Q′, i tacke R i R′).Vazi PP ′ ∼= QQ′ ∼= RR′. Posto se radi o ekvidistanti, prava s je zajednickanormala pravih PP ′ i QQ′. Dakle, prave PP ′ i QQ′ se ne seku. Analogno, neseku se prave PP ′ i RR′′ i praveQQ′ i RR′. Takodje, ∠PP ′Q′ = ∠QQ′P ′ = π

2

i ∠QQ′R′ = ∠RR′Q′ = π2, pa suPP ′Q′Q iQQ′R′R Sakerijevi cetvorougli.

Na osnovu teoreme 20 je ∠P ′PQ = ∠Q′QP . Zbir uglova u cetvorougluPP ′Q′Q manji je od zbira cetiri prava ugla, i jednak je:

∠PP ′Q′ + ∠P ′Q′Q+ ∠Q′QP + ∠QPP ′ = 2π

2+ 2∠Q′QP

odakle zakljucujemo da je ∠Q′QP ostar. Analogno, se pokazuje da je i ugao∠Q′QR ostar.

Slika 3.3.6.

Ugao ∠PQR jednak je zbiru uglova ∠Q′QR i ∠Q′QP , odakle zakljucujemoda je ∠PQR manji od opruzenog. Ugao ∠PQR manji je od opruzenog, pasledi da tacke P , Q i R nisu kolinearne. Dakle, ekvidistanta e nije prava.

Primer 3.3.2. Nikoje tri razne tacke ekvidistante ne pripadaju jednoj pravoj.

20Teorema: Uglovi na protivosnovici Sakerijevog cetvorougla medjusobno su podu-darni.

33

Resenje: Posmatrajmo u ravni Lobacevskog ekvidistantu e sa bazisnompravom s i visinom razlicitom od nule. Pokazacemo da nikoje tri razne tackete ekvidistante ne pripadaju jednoj pravoj.

Pretpostavimo da postoji prava p koja sa ekvidistantom e ima tri za-jednicke tacke A, B, C. Oznacimo sa A′, B′, C ′ podnozja upravnih iz tacakaA, B, C redom na pravu s (Slika 3.3.7.). Cetvorougli A′B′BA i B′C ′CBsu Sakerijevi (imaju po dva prava ugla i dve jednake bocne stranice) odaklezakljucujemo da je:

∠B′BC = ∠C ′CB = α · · · (∗).

S druge strane imamo da je ∠B′BC + ∠B′BA = 2R. Iz jednakostiostrih uglova Sakerijevih cetvorougla A′B′BA i B′C ′CB zakljucujemoda je ∠B′BA = α, pa je prema (∗) 2α = 2R, odakle zakljucujemo da jeα = R. Dobili smo da je σ(B′BC ′C) = 4R, sto je u geometriji Lobacevskognemoguce.

Slika 3.3.7.

Primer 3.3.3. Neka su h i h′ dve ekvidistante koje imaju istu visinu, a nalazese sa raznih strana njihove zajednicke osnove (bazisne prave) s. Pokazacemoda prava s sadrzi sredinu duzi AB ciji su krajevi na ekvidistantama e i e′.

Resenje: Posmatrajmo dve ekvidistante h i h′, sa visinama respektivnoh1 i h′

1, koje su medju sobom jednake (h1 = h′1). Neka tacka A pripada

34

ekvidistanti h′ a tacka B ekvidistanti h, i neka su A′ i B′ podnozja normala,redom iz tacaka A i B na pravu s. Uocimo tacku S ∈ AB za koju jeAS = SB. Pokazacemo da u tom slucaju tacka S pripada pravoj s.

Razlikujemo sledece slucajeve :

1. Neka je AB⊥s. Pri uslovu, da su jednake visine h1 i h′1 zakljucujemo

da vazi AS = SB = h1 = h′1 odakle direktno sledi da S ∈ s.

2. Neka sada vazi AB ⊥ s (Slika 3.3.8.). Oznacimo sa P presecnu tackubazisne prave s i duzi AB. Posmatrajmo trouglove APA′ i PBB′.Za ove trouglove vazi :

- AA′ = BB′

- ∠AA′P = ∠BPB′ = π

- ∠A′PA = ∠BPB′ (unakrsni uglovi).

Slika 3.3.8.

Na osnovu izlozenog zakljucujemo da je APA′ ∼= PB′B, premaPetom stavu o podudarnosti trouglova. Iz podudarnosti ovih trouglova,sledi jednakost ostalih elemenata, tj. AP = PB i AS = SB.

Primer 3.3.4. Pokazacemo da skup vrhova svih trouglova koji imaju za-jednicku osnovu i nalaze se sa iste strane prave odredjene tom zajednickom

35

osnovom i u kojima je zbir unutrasnjih uglova svuda isti, obrazuje jednuekvidistantu.

Resenje: Posmatrajmo u ravni Lobacevskog trougao ABC. Tada pos-toji tacka P sa svojstvom da P ∈ AB, B(A,P,B) i AP = PB. Slicno,postoji tacka Q, tako da Q ∈ AC, B(A,Q,C) i AQ = QC (Slika 3.3.9.).

Oznacimo sa l pravu odredjenu tackama P i Q. Neka su B′, C ′ i A′

podnozja normala iz tacaka B, C i A na pravu l. Primetimo da su praveBB′, CC ′ i AA′ jedinstvene sa svojstvom da su normalne na pravu l - usuprotnom, postojao bi trougao sa dva prava ugla, sto je nemoguce.

Posmatrajmo trouglove AA′P i BB′P . Za njih vazi :

- AP = PB

- ∠AA′B = ∠BB′A′ = π

- ∠A′PA = ∠BPB′ (unakrsni uglovi).

Na osnovu izlozenog zakljucujemo da jeAA′P ∼= BB′P , prema Petomstavu o podudarnosti trouglova. Iz podudarnosti ovih trouglova, sledi jed-

nakost ostalih elemenata, tj. ∠A′AP = ∠B′BP kao i AA′ = BB′.

Slicno, vazi AA′P ∼= CC ′Q, iz cega sleduje da je ∠A′AQ = ∠C ′CQkao i AA′ ∼= CC ′. Kako je BB′ = AA′, to imamo AA′ = BB′ = CC ′.

Slika 3.3.9.

Posmatrajmo cetvorougao BCC ′B′. Kako je ∠BB′A′ = ∠CC ′Q = Ri BB′ = CC ′, zakljucujemo da je cetvorougao BCC ′B′ Sakerijev. Kako

36

su uglovi na protivosnovici Sakerijevog cetvorougla jednaki, to je ∠B′B′C =∠C ′CB.

Sada imamo :

σ(ABC) = ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC

= ∠ABC + ∠ACB + ∠BAA′ + ∠CAA′

= ∠ABC + ∠ACB + ∠B′BA+ ∠ACC ′

= ∠B′BC + ∠C ′CB = 2∠C ′CB.

Uocimo, jos jedan trougao iz skupa trouglova sa navedenim svojstvomu uslovu zadatka. Neka je to trougao A1BC i oznacimo sa n pravu kojaje odredjena sredinama stranica A1B i A1C pomenutog trougla. Za uocenitrougao vazi, prema dokazanom delu :

σ(A1BC) = ∠B′1BC + ∠C ′

1CB = 2∠B′1BC.

Kako je σ(ABC) = σ(A1BC) to je : ∠CBB′ = ∠B′1BC, ∠BCC ′ =

∠BCC ′1. Sakerijevi cetvorougli BCC ′B′ i BCC ′

1B′1 imaju i jednu za-

jednicku stranicu, BC, pa koristeci upravo dokazanu jednakost uglova, za-kljucujemo da su podudarni. Iz dokazane podudarnosti, sledi jednakost os-talih elemenata, tj. BB′ = CC ′ = BB1 = CC1, kao i l ≡ n.

Dakle AA′ = A1A′1, AA

′⊥l i A1A′1⊥n. Za neki drugi trougao A2BC

vazice : AA′ = A1A′1 = A2A′

2 i A2A′2⊥n.

Slika 3.3.10.

Dakle, AA′, A1A′1, A2A′

2 pripadaju hiperbolickom pramenu pravih (cetvorougli

37

AA′A1A′1 i AA′A2A

′2 su Sakerijevi) pa zakljucujemo da su AA1 i AA2

secice jednakog nagiba (Slika 3.3.10.), odakle sledi tvrdjenje zadatka.

38

3.4 Oricikl

Definicija 3.4.1. Trajektorija parabolickog pramena pravih zove se oricikl.Svaki element pramena, u odnosu na koji je oricikl definisan naziva se osaoricikla (Slika 3.4.1.).

Slika 3.4.1.

U nastavku dajemo definiciju oricikla u terminima secice jednakog nagiba:

Definicija 3.4.2. Neka je prava a iz parabolickog pramena pravih i neka jeA proizvoljna tacka prave a. Tada geometrijsko mesto tacaka B, pri cemuje B ∈ b i b je iz istog pramena, i AB je secica jednakog nagiba, naziva seoricikl.

Kako se svaka tacka trajektorije moze uzeti za pocetnu tacku trajektorijeto sledi da je svaki oricikl odredjen ma kojom svojom tackom i osom kroz tutacku. Medjutim moze se pokazati da vazi opstija teorema:

Teorema 3.4.1. Oricikl je odredjen ma kojom svojom tackom i ma kojomsvojom osom.

39

Dokaz: Neka ja data tacka A oricikla o i neka je−−→BB′ njegova osa. Prime-

timo, postoji jedna i samo jedna orijentisana prava−−→AA′, koja prolazi kroz

tacku A, i paralelna je pravoj−−→BB′ u istom smeru. Kako je svaki oricikl

odredjen ma kojom svojom tackom i osom kroz tu tacku, time je oricikl o

pravom−−→AA′ i tackom A jednoznacno odredjen.

Definicija 3.4.3. Kroz svaku tacku P ravni prolazi jedna i samo jedna osaoricikla. Ako se tacka P nalazi sa one strane oricikla, sa koje je smer par-alelnosti njegovih osa, kazemo da je P unutrasnja tacka oricikla. Ako je,pak, P sa one strane oricikla, sa koje nije smer paralelnosti osa, tacka P jespoljasnja tacka oricikla.

Teorema 3.4.2. Prava koja prolazi kroz unutrasnju tacku oricikla, a nijenjegova osa, sece oricikl u dvema tackama.

Teorema 3.4.3. Kroz ma koje dve tacke ravni prolaze dva oricikla koja susimetricna u odnosu na pravu odredjenu tim dvema tackama.

Dokaz:

Slika 3.4.2.

Neka su A i B dve proizvoljne tacke ravni Lobacevskog. Neka je pravaCC ′ normala duzi AB u njenom sredistu C (Slika 3.4.2.). Ako prave AA′ i

40

BB′ prolaze, respektivno, kroz tacke A i B, tako da je−−→AA′∥

−−→BB′ i

−−→BB′∥

−−→CC ′,

onda je ∠A′AC ∼= Π(AC) i ∠B′BC ∼= Π(BC). Obzirom da je tacka Csrediste duzi AB to je AC ∼= BC, a kako jednakim duzima odgovaraju jed-naki uglovi paralelnosti to je ∠A′AC ∼= ∠B′BC. Tacka B pripada oriciklu,

koji je odredjen tackom A i pramenom paralelnih pravih−−→AA′,

−−→BB′ i

−−→CC ′.

Primetimo da normalu na duz AB u njenom sredistu C mozemo ori-

jentisati i u suprotnom smeru−−→CC ′′. Na taj nacin dobijamo novi pramen

paralelnih pravih. Taj pramen pravih i tacka A odredjuju jos jedan oricikl.Na isti nacin kao i u prethodnom slucaju se pokazuje da tacka B pripada itom oriciklu.

Teorema 3.4.4. Dva oricikla, koja imaju jednu zajednicku tacku, a ne dodirujuse, imaju jos jednu zajednicku tacku.

Dokaz: Neka su data dva oricikla o i o′ koji imaju zajednicku tacku A.

Oznacimo sa−−→AA′ i

−−→AA′′ ose pomenutih oricikala u tacki A (Slika 3.4.3.). Po

pretpostavci oricikli o i o′ se ne dodiruju, pa su zato ose−−→AA′ i

−−→AA′′ razlicite,

tj. obrazuju neki ugao ∠A′AA′′. Neka je AC simetrala toga ugla, a duz ACduz paralelnosti za ugao ∠A′AC. Neka je C ′CC ′′ normala konstruisana utacki C na pravu AC. Prema konstrukciji ona predstavlja granicnu pravu

ugla ∠A′AA′′, i shodno tome−−→AA′∥

−−→CC ′ i

−−→AA′′∥

−−→CC ′′.

Slika 3.4.3.

41

Obelezimo sa B tacku prave AC, tako da je AC ∼= CB, a sa−−→BB′ i

−−→BB′′

orijentisane prave, tako da je−−→BB′∥

−−→CC ′ i

−−→BB′′∥

−−→CC ′′. Tada je ∠A′AB ∼=

∠ABB′′ odakle sledi da tacka B pripada svakom od uocena dva oricikla.

Definicija 3.4.4. Uocimo tetivu AC oricikla. Odstojanje AD tacke A odone ose oricikla, koja prolazi kroz drugu krajnju tacku C uocene tetive, zovese visina luka AC oricikla (Slika 3.4.4.).

Slika 3.4.4.

Teorema 3.4.5. Luk oricikla odredjen je tetivom ili visinom.

Dokaz: Pokazali smo da kroz ma koje dve tacke ravni prolaze dva ori-cikla koja su simetricna u odnosu na pravu odredjenu tim dvema tackama.Odavde direktno sledi da je luk oricikla odredjen tetivom. Iz istog razloga,zakljucujemo da je luk oricikla odredjen visinom, posto udvostrucena visinaodredjuje tetivu dvostrukog luka, a shodno tome i sam luk.

Teorema 3.4.6. Svaka dva oricikla u ravni L2 su medjusobom podudarna.

Dokaz: Neka su ℵ i ℵ′ parabolicki pramenovi pravih u odnosu na koje sudefinisani oricikli o i o′, i neka je s zajednicka prava tih pramenova. Oznacimosa A i A′ zajednicke tacke prave s redom za oricikle o i o′.

Ukoliko se pramenovi ℵ i ℵ′ poklapaju, prava s je proizvoljna prava togpramena (Slika 3.4.5.a). Translacija τ −→

AA′preslikava pramen ℵ na sebe, tacku

A oricikla o u tacku A′ oricikla o′, pa je τ −→AA′

(o) = o′.

Ako su pramenovi ℵ i ℵ′ razliciti (Slika 3.4.5.b), onda je prema teoremi 21

21Teorema: Neka su ℵ i ℵ′ dva razlicita parabolicka pramena. Tada postoji jedinstvenaprava koja pripada pramenovima ℵ i ℵ′.

42

prava s jedinstvena, pa se osnom refleksijom u odnosu na proizvoljnu pravukoja je upravna na pravu s pramenovi ℵ i ℵ′ preslikavaju jedan na drugi.Ukoliko se tacke A i A′ ne poklapaju, oznacimo sa n medijatrisu duzi AA′, aako se poklapaju sa n cemo oznaciti pravu koja sadrzi tacku A ≡ A′ i upravnaje na pravu s. Osnom refleksijom Sn pramenovi ℵ i ℵ′ se preslikavaju jedanna drugi, a tacka A u tacku A′, sto znaci da je Sn(o) = o′.

Slika 3.4.5.

Kako se u oba slucaja oricikl o izometrijom preslikava na oricikl o′, sledida su oricikli o i o′ podudarni.

Istaknimo jos jednom, da se oricikl, moze posmatrati kao granicni slucajkruga. Centar tog kruga bila bi infinitna tacka O∞ u ravni L2 u kojoj seseku prave nekog pramena. O tome detaljnije govori sledeca teorema:

Teorema 3.4.7. Granicni polozaj kruznice, koja prolazi kroz utvrdjenu tackui ima u toj tacki utvrdjenu tangentu, a cije se srediste neograniceno udaljava,je oricikl.

Dokaz: Posmatrajmo skup kruznica koje su medjusobno tangentne u tackiA, a cija su sredista S1, S2, S3, . . . (Slika 3.4.6.). Svaka od tih kruznica jeortogonalna trajektorija elipticnog pramena pravih. Sredista tih pramenovasu, respektivno, tacke S1, S2, S3, . . . U granicnom slucaju kada AS → ∞,

43

elipticki pramen pravih postaje parabolicki. Odgovarajuca kruznica, koja jegranicna kruznica svih posmatranih, je ortogonalna trajektorija parabolickogpramena pravih, sto u stvari predstavlja oricikl.

Slika 3.4.6.

Primer 3.4.1. Date su dve tackeA iB na oriciklu i neka je C proizvoljna tackakoja pripada oriciklu, tako da vazi raspored tacaka B(A,C,B). Pokazacemoda je ∠A + ∠B − ∠C = const, pri cemu su ∠A, ∠B, ∠C uglovi trouglaABC.

Resenje :

Slika 3.4.7.

Neka je dat oricikl o i tacke A i B koje mu pripadaju. Neka je tackaC ∈ o i neka ispunjava uslove zadatka. Neka su jos AA′, BB′ i CC ′ prave

44

parabolickog pramena pravih koje su odredjene tackama A, B i C datogoricikla o (Slika 3.4.7.). Koristeci svojstvo secice jednakog nagiba imamo :

L = ∠BAC + ∠ABC − ∠ACB

= ∠A′AC − ∠A′AB − ∠B′BC − ∠ABB′ − ∠ACC ′ − ∠C ′CB

= −2∠A′AB = const.

jer su A i B fiksirane tacke.

Primer 3.4.2. Nikoje tri razne tacke oricikla ne pripadaju jednoj pravoj.

Resenje : Posmatrajmo oricikl o u ravni Lobacevskog. Pokazacemo danikoje tri tacke tog oricikla ne mogu biti na istoj pravoj.

Pretpostavimo da postoji prava p koja sa oriciklom o ima tri zajednicketacke A, B, C. Tada su AB i AC secice jednakog nagiba (Slika 3.4.8.).Prema tome vaze sledece jednakosti medju uglovima: ∠A′AB = ∠B′BAi ∠A′AC = ∠C ′CA. Iz ovoga proizilazi da je spoljasnji ugao ∠B′BA uC ′CBB′ sa jednim infinitnim temenom, jednak finitnom uglu ∠C ′CB kojinjemu nije suplementan, sto je nemoguce jer spoljasnji ugao u trouglu sajednim infinitnim temenom veci je od finitnog ugla koji njemu nije suple-mentan.

Slika 3.4.8.

45

3.5 Krive koje dopustaju transformacijepodudarnosti na samu sebe

Poznato je da u Euklidskoj ravni postoje dve krive koje se transforma-cijom podudarnosti mogu preslikati na same sebe, a to su prava linija ikruznica. Prilikom rotacije ravni oko utvrdjene tacke, svaka se tacka kruznicesa sredistem u toj tacki, preslikava u neku drugu tacku te iste kruznice.Takodje prilikom translacije ravni, svaka tacka prave prelazi u neku drugutacku te iste prave.

U ravni Lobacevskog, pored prave i kruznice, postoje jos dve krive koje setransformacijom podudarnosti mogu preslikati na same sebe. To su ekvidis-tantna linija i oricikl. Pokazacemo da svaka od ovih krivih dopusta slobodnokretanje po samoj sebi, tj. da se prilikom transformacije podudarnosti svakatacka pomenutih krivih preslikava u tacku iste krive.

Slika 3.5.1.

1 Neka je data ekvidistanta e, i neka su A i B dve tacke ekvidistante.Neka su zatim, A′ iB′ odgovarajuce tacke na bazisnoj pravoj tackamaAi B (Slika 3.5.1.). U tom slucaju uglovi ∠AA′B′ i ∠BB′A′ pravi, a duziAA′ i BB′ podudarne. Na datu ekvidistantu e, primenimo transforma-ciju podudarnosti u Hiperbolickoj ravni, koja bazisnu pravu uoceneekvidistante preslikava na tu istu pravu. Prilikom ove transformacijetacke A′ i B′ prelaze u tacke A′

1 i B′1 kao na slici, i pri tom duzi A1A

′1,

B1B′1, AA

′ i BB′ ostaju podudarne. Prema tome, tacke A1 i B1 pri-padaju uocenoj ekvidistanti e.

Zakljucujemo da se pri opisanoj transformaciji podudarnosti Hiper-bolicke ravni svaka tacka ekvidistante preslikava u tacku te iste ek-

46

vidistante. Odavde sledi da ekvidistanta dopusta kretanje po samojsebi.

2 Posmatrajmo u Hiperbolickoj ravni oricikl o. Pokazali smo da se makoja dva oricikla transformacijom podudarnosti mogu dovesti do pokla-panja. Takodje smo razmotrili i slucaj kada se dva oricikla poklapaju.Tada postoji kretanje oricikla po samom sebi, pri cemu proizvoljnatacka moze preci u ma koju drugu tacku tog oricikla.

Kruznice se medju sobom razlikuju po poluprecniku, dok se ekvidistanterazlikuju po visini (pod pretpostavkom da je visina ekvidistante razlicita odnule). Ukoliko je, pak, visina ekvidistante jednaka nuli, onda govorimo opravoj liniji, za koje znamo da se, posmatrajuci ih u ravni, razlikuju samopo polozaju. Takodje, kako su svaka dva oricikla podudarna, i oni se medjusobom razlikuju samo po polozaju.

Podsetimo se poznatog tvrdjenja iz Apsolutne geometrije - Simetralestranica trougla pripadaju jednom pramenu pravih. U Euklidskoj geometrijisimetrale stranica trougla seku se u jednoj tacki, centru opisanog kruga okotrougla, tj. pramen pravih odredjen simetralama stranica je elipticki.

U geometriji Lobacevskog simetrale stranica trougla se ne moraju seci.Naime, one mogu pripadati svakom od razmatranih pramenova pravih uovom poglavlju: eliptickom, hiperbolickom ili parabolickom.

(i) Ukoliko se simetrale stranica trougla seku, onda se kao sto smo kazali,oko datog trougla moze opisati kruznica cije je srediste presek simetralastranica.

(ii) Neka su sada simetrale stranica trougla mimoilazne medju sobom. Dakle,one pripadaju hiperbolickom pramenu pravih, pa postoji prava kojapredstavlja zajednicku normalu sve tri simetrale. U ovom slucajutemena trougla pripadaju ekvidistanti. Prava koja je podjednako udal-jena od sva tri temena uocenog trougla, i koja predstavlja zajednickunormalu simetrala njegovih stranica u stvari je bazisna prava uoceneekvidistante.

Dokaz da temena trougla pripadaju jednoj ekvidistanti: Popretpostavci, u slucaju (ii), simetrale stranica trougla pripadaju hiper-bolickom pramenu pravih. Dakle sb ∥

h

sc. Odavde zakljucujemo da pos-

toji prava p koja je zajednicka normala pravih sb i sc. Takodje, postoje

47

prave AA1, BB1, CC1 sa svojstvom da su normalne na pravoj p. Za-kljucujemo da prave AA1, BB1, CC1, sb, sc pripadaju hiperbolickompramenu pravih (imaju zajednicku normalu, pravu p).

Slika 3.5.2.

Uocimo Lambertove cetvorougle B1PMB i PA1AM (Slika 3.5.2.).Primetimo da ova dva cetvorougla imaju po jednu zajednicku stranicu(stranica PM), a prema konstrukciji je MB = MA. Na osnovu jednogod stavova za podudarnost Lambertovih cetvorougla zakljucujemo daje B1PMB ∼= PA1AM . Iz navedene podudarnosti, sledi jednakostostalih elemenata, pa je tako ∠B1BM = ∠A1AM .

Slicno se pokazuje da jeQC1CN = A1QNA, pa je ∠NAA1 = ∠C1CN .

Dakle, AB i AC su secice jednakog nagiba, pa temena trougla ABCpripadaju jednoj ekvidistanti.

(iii) Na kraju, neka su simetrale stranica trougla medjusobno paralelne.Tada prave koja prolaze kroz temena trougla, a paralelne su sime-tralama u istom smeru, pripadaju istom parabolickom pramenu pravih.Na osnovu teoreme koju smo dokazali u prvom delu ove glave, za-kljucujemo da su temena trougla odgovarajuce tacke na elementimatog pramena, sto znaci da sva tri temena pripadaju istom oriciklu.

Na kraju uopstimo zakljucke iz ovog odeljka sledecom teoremom:

48

Teorema 3.5.1. Kroz ma koje tri tacke ravni prolazi jedna i samo jednakriva, koja dopusta slobodno kretanje po samoj sebi.

49

4 Karakteristicne povrsi u Hiperbolickoj

geometriji

4.1 Snop pravih

Upoznali smo skup pravih ravni koji se zove pramen pravih, a u vezi stim i tri vrste pramena: elipticki, parabolicki i hiperbolicki.

Na slican nacin proucava se beskonacan skup pravih prostora koje nazi-vamo snop pravih. Preciznije, vazi sledeca definicija:

Definicija 4.1.1. Pod snopom pravih podrazumevamo skup svih pravihu prostoru, koji ima osobine:

- kroz svaku tacku prostora prolazi jedna i samo jedna prava snopa,

- ma koje dve prave snopa su komplanarne.

U Apsolutnoj geometriji nije moguce ustanoviti u kakvom su odnosu dvedisjunktne prave, pa stoga ne mozemo utvrditi ni razliku izmedju parabolickogi hiperbolickog snopa. U Euklidskoj geometriji ti snopovi se nisu medjusobnorazlikovali, pa su postojale samo dve vrste snopova: snop koaksijalnih pravihi snop paralelnih pravih. U Hiperbolickoj geometriji dve disjunktne pravejedne ravni mogu da budu paralelne ili hiperparalelne, pa stoga u Hiper-bolickoj geometriji razlikujemo tri vrste snopova pravih:

1. Skup svih pravih prostora koji prolaze jednom tackom u konacnostizove se konvergentni ili elipticki snop. Ta zajednicka tacka svihpravih snopa zove se vrh ili centar snopa (Slika 4.1.1.).

Slika 4.1.1.

50

2. Skup svih pravih prostora koji su paralelni s jednom te istom pravomzove se parabolicki snop (Slika 4.1.2.). Prava sa cijim se pravcemparalelnosti uporedjuju ostale prave snopa, moze se odabrati na bilokojoj pravoj toga snopa.

Slika 4.1.2.

3. Skup svih pravih prostora koje su normalne na istoj ravni zove sehiperbolicki snop (Slika 4.1.3.). Ta ravan se naziva baza ili os-novica snopa.

Slika 4.1.3.

Za neku ravan kazemo da pripada snopu ako prolazi jednom njegovompravom. Primetimo da sve prave nekog snopa, koji lezi u ravni koja pripadatom snopu, cine pramen, i to iste vrste koje je i sam snop. To drugim recimaznaci da npr. paralelni snop sadrzi u nekoj ravni koja mu pripada paralelnipramen. Analogno vazi i za ostale vrste snopa pravih.

51

Posmatrajmo u prostoru Lobacevskog dva snopa pravih X i X ′. Razmot-rimo sledece :

1. Ako je jedan od zadatih snopova pravih elipticki, tada postoji jedin-stvena prava koja pripada tim dvama snopovima, bez obzira na to dali je drugi snop elipticki, parabolicki ili hiperbolicki.

2. Ako je jedan od zadatih snopova pravih hiperbolicki, a drugi parabolicki,postojace jedinstvena prava koja pripada tim dvama snopovima pravihako i samo ako prave parabolickog snopa nisu paralelne osnovi hiper-bolickog snopa, obzirom da postoji jedinstvena prava upravna na zada-toj t ravni, a paralelna polupravoj koja nije paralelna toj ravni.

3. Ako su oba snopa hiperbolicka, postojace jedinstvena prava koja pri-pada tim dvama snopovima pravih ako i samo ako su osnove tih snopovamedjusobno hiperparalelne ravni.

4. Ako su oba snopa parabolicka, onda vazi tvrdjenje koje se potpunoanalogno dokazuje kao u prethodnom odeljku:

Teorema 4.1.1. Postoji jedinstvena prava koja pripada dvama raznim para-bolickim snopovima pravih.

I sledeca teorema se analogno pokazuje kao u prethodnom odeljku :

Teorema 4.1.2. Translacijom duz bilo koje prave koja mu pripada parabolickisnop se preslikava na sebe.

Teorema 4.1.3. Presek snopa sa ravni koja prolazi kroz jedan element snopaje pramen pravih; taj pramen pravih je, u zavisnosti od prirode snopa, parabo-licki, hiperbolicki ili elipticki.

Dokaz: Pokazimo da tvrdjenje vazi za elipticki snop pravih, dok se za ostalesnopove pravih pokazuje analogno.

Ako se iz eliptickog snopa pravih izdvoje oni elementi koji pripadaju istojravni, ti elementi se i dalje seku u istoj tacki O, a kroz svaku tacku ravniprolazi po jedna takva prava. Dakle, u datoj ravni imamo elipticki pramenpravih.

U slucaju hiperbolickog snopa pravih, bazisna prava pramena pravih jeprava preseka ravni α sa bazisnom ravni snopa.

52

Teorema 4.1.4. Ako ravan α sece neki element parabolickog snopa pravih,onda u tom snopu postoji prava koja ravan sece ortogonalno.

Dokaz: Pretpostavimo da ravan α sece u tacki A pravu AA′ iz parabolickogsnopa. Razlikujemo dva slucaja:

Slika 4.1.4.

1. AA′⊥α (Slika 4.1.4.). Tada je dokaz zavrsen.

Slika 4.1.5.

2. AA′ ⊥ α (Slika 4.1.5.). Onda prava AA′ obrazuje sa svojom projekci-jom (postoji ravan β takva da AA′ ∈ β i β⊥α ) na ravan α sa jednestrane tacke A ostar ugao, a sa druge strane te tacke tup ugao. Neka

53

je ∠BAA′ < R. Neka je tacka C na polupravoj AB, takva da je∠A′AB = Π(AC). U tacki C konstruisemo normalu CC ′ na ravan α.Ona ce ujedno biti i normala na AB. Prema konstrukciji sledi da je−−→CC ′∥

−−→AA′, tj. da CC ′ pripada parabolickom snopu pravih.

Pokazimo sada da je CC ′ jedina prava uocenog snopa koja je normalna naravan α. Pretpostavimo da postoji jos jedna takva prava DD′. Kako su CC ′

i DD′ normalne na ravan α, onda su one normalne na svaku pravu te ravnikoja prolazi kroz tacku C i tacku D (Slika 4.1.6.). Odavde je CD⊥DD′ iCD⊥CC ′, pa zakljucujemo da prave CC ′ i DD′ imaju zajednicku normalu,te su stoga hiperparalelne, tj. DD′ ne pripada parabolickom pramenu pravih.Dakle, prava CC ′ je jedinstvena sa navedenim svojstvom.

Slika 4.1.6.

Definicija 4.1.2. Tacka C, koja se pominje u dokazu prethodne teoremenaziva se srediste ravni u odnosu na uoceni parabolicki snop.

Definicija 4.1.3. Za tacku B ∈ b kazemo da je odgovarajuca tacki A ∈ aiz istog snopa, ako je AB secica jednakog nagiba za prave a i b. Kako elementia i b snopa, uvek pripadaju istoj ravni, to je, takodje tacka A odgovarajucatacki B, tj. tacke A i B su uzajamno odgovarajuce.

54

Teorema 4.1.5. U eliptickom snopu dve odgovarajuce tacke su podjednakoudaljene od sredista snopa.

Teorema 4.1.6. U hiperbolickom snopu dve odgovarajuce tacke su podjed-nako udaljene od bazisne ravni snopa.

Teorema 4.1.7. Ako tacke A i B odgovaraju jedna drugoj na pravama a i bsnopa, a tacke B i C odgovaraju jedna drugoj na pravama b i c istog snopa,onda tacke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c.

Dokaz: Razlikovacemo tri slucaja, prema tome da li se radi o eliptickom,parabolickom ili hiperbolickom snopu pravih.

1 Posmatrajmo prvo elipticki snop sa sredistem O. Kako su A i B odgo-varajuce tacke na elementima a i b tog snopa, to je trougao AOBjednakokrak, odakle je AO ∼= OB (Slika 4.1.7.). Iz istog razloga, jersu B i C odgovarajuce tacke jedna drugoj na elementima b i c togsnopa, trougao BOC jednakokrak, pa je OB ∼= OC. Zakljucujemoda je OA ∼= OC. Dakle, OAC je jednakokrak, odakle sledi da je∠OAC ∼= ∠OCA, tj. prava AC je secica jednakog nagiba za prave a ic snopa, odnosno tacke A i C su odgovarajuce tacke tih pravih.

Slika 4.1.7.

2 Neka je sada snop pravih hiperbolicki i neka je α njegova bazisna ravan.Neka su A′, B′ i C ′ preseci pravih a, b i c sa ravni α (Slika 4.1.8.). Kakosu A i B odgovarajuce tacke na pravama a i b to je AA′ ∼= BB′. Takodje

55

je BB′ ∼= CC ′. Na osnovu navedenih podudarnosti zakljucujemo daje AA′ ∼= CC ′. Prema tome cetvorougao AA′C ′C je Sakerijev, pa je∠A′AC ∼= ∠C ′CA, tj. AC je secica jednakog nagiba za prave a i c, atacke A i C su odgovarajuce tacke na elementima a i c snopa.

Slika 4.1.8.

3 Na kraju posmatrajmo parabolicki snop pravih (Slika 4.1.9.). Neka

su a ≡−−→AA′, b ≡

−−→BB′ i c ≡

−−→CC ′ prave paralelne u istom smeru.

Obzirom da prave a, b i c nisu komplanarne, to tacke A, B i C nisukolinearne. Obelezimo sa O srediste ravni trougla ABC u odnosuna uoceni parabolicki snop i neka je OO′ normala te ravni u tackiO. Malopre smo pokazali da ako odredjenu ravan sece neki elementparabolickog snopa, onda u tom snopu postoji prava, koja tu ravansece ortogonalno. Prema tome vazi:

OO′⊥α(A,B,C) i−−→OO′∥

−−→AA′∥

−−→BB′∥

−−→CC ′.

Konstruisimo iz tacke O normale redom na stranice trougla ABC.Neka su to tacke F , D i E redom na stranice AB, BC i AC. DakleOF⊥AB, OD⊥BC i OE⊥AC.

Ravan α1(O′OF ) sece ravan β1(A

′ABB′) po FF ′. Sada koristeci teo-

56

remu 22 zakljucujemo da je,

−−→FF ′∥

−−→AA′∥

−−→BB′∥

−−→CC ′.

Slika 4.1.9.

Dakle,−−→FF ′ pripada uocenom parabolickom pramenu. Slicno i svaka od

pravih−−→DD′ i

−→EE ′ pripadaju istom parabolickom snopu pravih. Kako

je OO′⊥α(A,B,C) onda i svaka ravan koja sadrzi OO′ je normalna naα(A,B,C). Dakle, α1(O

′OF )⊥α, α2(O′OD)⊥α i α3(O

′OE)⊥α.

S druge strane BC⊥OD. Takodje BC ∈ α, OD ∈ α2 i α2⊥α. Dakle,BC ∈ α pa je u tacki prodora normalna na svaku pravu iz ravni α2.Zakljucujemo da je BC⊥α2(O

′OD), pa ce biti normalna i na svakupravu te ravni. Specijalno, BC⊥DD′. Slicno je i FF ′⊥AB i EE ′⊥AC.

Posmatrajmo prave−−→AA′ i

−−→FF ′. One su paralelne u istom smeru, a prava

FF ′ je normalna na pravu AF . Zato je ∠A′AF = Π(AF ). Prava−−→FF ′ je

takodje paralelna pravoj−−→BB′ u istom smeru, a normalna na pravu BF ,

22Teorema : Ako su a i b dve razne medjusobno paralelne prave neke ravni π prostoraLobacevskog i tacka C van ravni π, tada se ravni α(a,C) i β(b, C) seku po izvesnoj pravojc koja sadrzi tacku C i paralelna je sa pravama a i b u istom smeru.

57

pa je ∠B′BF = Π(BF ). Tacke A i B su odgovarajuce, pa je AB secicajednakog nagiba za elemente a i b snopa, i zato je ∠A′AF = ∠B′BF .Iz poslednje jednakosti je Π(AF ) = Π(BF ) sto nam zapravo govori daje AF ∼= BF . Slicno je Π(BD) = Π(DC) odakle sledi BD = DC.Znaci F i D su sredista stranica AB i BC trougla ABC.

Prave OD i OF su simetrale dveju stranica trougla ABC i seku seu tacki O. Kako simetrale stranica trougla pripadaju istom pramenu,to kroz tacku O prolazi i simetrala trece stranice tog trougla, i vaziOE⊥AC. Dakle, tacka E je srediste stranice AC trougla ABC.

Posmatrajmo sada prave−−→AA′∥

−−→EE ′ i

−−→CC ′∥

−−→EE ′. Kako je prava EE ′

normalna na pravu AC, to je, ∠A′AE = Π(AE) i ∠C ′CE = Π(CE).Obzirom da jednakim duzima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti,to je ∠A′AE = ∠C ′CE, sto pokazuje da je AC secica jednakog nagibaelemenata a i c snopa, a A i C odgovarajuce tacke tih elemenata.

Primetimo, da u dokazanoj teoremi tackeA, B i C pripadaju istoj kruznici.Naime, vazi sledeca :

Teorema 4.1.8. U parabolickom snopu, tri tacke, koje odgovaraju jedna dru-goj na trima pravama tog snopa, pripadaju istoj kruznici, cije je srediste -srediste ravni te tri tacke u odnosu na uoceni snop.

4.1.1 Pramenovi ravni u prostoru Lobacevskog

Kako u ravni Lobacevskog postoje tri vrste pramenova pravih (elipticki,parabolicki i hiperbolicki), u prostoru Lobacevskog ce postojati tri vrste pra-menova ravni : elipticki, parabolicki i hiperbolicki. O postojanju navedenihtipova ravni svedoci sledeca teorema :

Teorema 4.1.9. Skup ℵ pravih neke ravni π je pramen pravih ako i samo akoje skup Ω ravni koje sadrze prave skupa ℵ i upravne su na ravan π, pramenravni.

Navescemo jos dve teoreme, ne dokazujuci ih, kojima se iskazuju izvesnasvojstva pramenova ravni, a koje ce nam biti potrebne za poglavlja kojaslede:

58

Teorema 4.1.10. Ako su α i β dve ravni koje se seku, koje su medjusobnoparalelne ili su hiperparalelne, tada je skup Λ svih ravni upravnih i na ravniα i na β, redom, hiperbolicki, parabolicki ili elipticki.

Kako je ravan koja je upravna na dvema ravnima, uprvana na svakojravni pramena koji je tim dvema ravnima odredjen, svaka ravan pramena Λupravna na ravnima α i β bice upravna na svim ravnima pramena Λ′(α, β),pa s toga mozemo reci da su Λ i Λ′ medjusobno upravni pramenovi ravni.

Teorema 4.1.11. Pramen ravni upravan, redom, na eliptickom, parabolickomi hiperbolickom pramenu ravni bice redom, hiperbolicki, parabolicki ili elipticki.

59

4.2 Povrs nivoa snopa pravih

Definicija 4.2.1. Uocimo snop pravih i tacku A. Skup svih tacaka prostorakoje, u posmatranom snopu odgovaraju tacki A, nazivamo povrs nivoa togsnopa. Svaki element snopa je osa povrsi, a tackaA je njena pocetna tacka.

Primetimo, povrs nivoa je, za dati snop, potpuno odredjena pocetnomtackom A. Zaista, na svakom elementu snopa postoji jedna i samo jednatacka koja je odgovarajuca tacki A. S druge strane, ma koje dve ovako dobi-jene tacke su par odgovarajucih tacaka u odnosu na one elemente snopa ko-jima pripadaju, prema teoremi iz prethodne glave. Prema tome, vazi sledeca:

Teorema 4.2.1. Svaka tacka povrsi nivoa snopa moze se uzeti za pocetnu tacku.

Teorema 4.2.2. Presek povrsi nivoa snopa sa ravni, koja prolazi kroz osupovrsi, je kriva koja dopusta slobodno kretanje po samoj sebi.

Dokaz: U prethodnoj glavi smo pokazali da presek snopa sa ravni, kojaprolazi kroz jedan element snopa, je pramen pravih. Dakle, ravan koja pro-lazi kroz osu povrsi nivoa snopa, sece taj snop po pramenu pravih. Tackepovrsi koje pripadaju i presecnoj ravni su odgovarajuce tacke u odnosu naone elemente snopa, kojima pripadaju. Medjutim ti elementi su i elementidobijenog pramena pravih, pa su tacke preseka odgovarajuce tacke i u odnosuna taj pramen pravih. Obzirom da je kriva koje dopusta slobodno kretanjeu sebi u stvari skup odgovarajucih tacaka pramena pravih, to je teoremadokazana.

Teorema 4.2.3. Svaka osa povrsi nivoa snopa je u isto vreme i normala tepovrsi.

Dokaz: Neka je l osa povrsi u njenoj tacki A. Tada kroz pravu l prolazibeskonacno mnogo ravni, pri cemu svaka od njih sece povrs po nekoj krivoj,koja dopusta slobodno kretanje po samoj sebi i sve te krive prolaze kroztacku A. Prava l je osa svake od njih. Prema tome prava l je normala svakeod tih krivih u tacki A, pa je i normala cele povrsi u tacki A.

60

§

Na slican nacin, kao sto smo u prethodnom poglavlju na pramenu defin-isali fundamentalne krive, sada cemo na snopu definisati fundamentalne iliC-povrsi. To su takve povrsi koje presecaju sve prave snopa pod pravimuglom. Postoje tri vrste fundamentalnih povrsi (Slika 4.2.1.):

a) C-povrs konvergentnog (eliptickog) snopa je sfera. Sve tacke sferepodjednako su udaljene od sredista koje se poklapa s vrhom snopa.I obratno, sve tacke prostora podjednako udaljene od centra snopapripadaju jednoj sferi.

b) C-povrs parabolickog snopa zove se granicna kugla ili orisfera. Oris-fera se moze smatrati granicnim slucajem sfere cije je srediste infinitnatacka posmatranog parabolickog pramena pravih O∞.

c) C-povrs hiperbolickog snopa je povrs koja se zove hipersfera. Ovapovrs ima svojstvo da su joj sve tacke jednako udaljene od baze snopa,tj. od ravni na kojoj su normalne sve prave snopa. Pomenutu ravannazivamo bazisna ravan ili osnova snopa. Zato hipersferu nazivamoi ekvidistantna povrs. Osnovu odgovarajuceg snopa pravih nazivamoosnovom ekvidistantne povrsi, a duz, tj. udaljenost bilo koje tacke odosnove visinom te ekvidistantne povrsi.

Slika 4.2.1.

Sve prave snopa u svakom od ova tri slucaja zovu se ose odgovarajucefundamentalne povrsi.

Napomenimo jos jedno vazno svojstvo fundamentalnih povrsi. Pomenutetri povrsi se cesto nazivaju i povrsima konstantne krivine. Osobina da povrs

61

u svakoj svojoj tacki ima konstantnu krivinu omogucuje toj povrsi da se krecesama po sebi. To svojstvo omogucuje da se na svakoj od tih povrsi izgradielementarna geometrija. Euklidska geometrija moze se izgraditi iskljucivo napovrsima konstantne krivine.

Teorema 4.2.4. U prostoru Lobacevskog postoje iskljucivo tri povrsi stalneili konstantne krivine. To su sfera, orisfera i hipersfera (ekvidistantna povrs).

Svaka ravan koja pripada snopu zove se dijametralna ravan odredjeneC-povrsi i sece je u dijametralnom preseku.

Svaki dijametralni presek C-povrsi je C-kriva i to :

a) dijametralni presek sfere je kruznica (naziva se jos i glavna kruznicasfere);

b) dijametralni preseci hipersfera su hipercikli, a

c) dijametralni preseci orisfere su oricikli.

Presek dveju C-povrsi je C-kriva. Presek C-povrsi i ravni koja je upravnana nekoj pravoj snopa je krug ili tacka. S obzirom da postoji jedinstvenaprava snopa upravna na zadatu ravan, presek proizvoljne ravni koja ne sadrzipravu kojom je orisfera definisana i orisfere je krug. Ako ravan sece osnovuekvidistantne povrsi, tada je presek ravni i ekvidistantne povrsi ekvidistanta.

U narednim glavama cemo detaljnije razmotriti neke preseke ravni i C-povrsi.

Rotacijom C-krive oko bilo koje svoje ose nastaje odgovarajuca C-povrs.Recimo, rotacijom oricikla oko neke svoje ose nastaje orisfera.

Predjimo na ispitivanje osobina fundamentalnih povrsi.

62

4.3 Povrs nivoa eliptickog snopa - sfera

Kazali smo da u eliptickom snopu dve odgovarajuce tacke su podjednakoudaljene od sredista snopa. Dakle, povrs nivoa elipticnkog snopa ima os-obinu da su sve njene tacke podjednako udaljene od sredista snopa odaklezakljucujemo da je povrs nivoa eliptickog snopa sfera.

Teorema 4.3.1. Svaka ravan koja sadrzi pravu eliptickog snopa sece odgo-varajucu sferu po krugu.

Dokaz: Neka je dat elipticki snop pravih prostora Lobacevskog, sfera S iravan α koja sadrzi pravu a ∈ S. Neka je O centar sfere S (Slika 4.3.1.).Ravan α mora da sadrzi tacku O (ravan α po pretpostavci sadrzi pravueliptickog snopa, a sve prave eliptickog snopa sadrze tacku O).

Uocimo u ravni α jos jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih (uα je pramen). Oznacimo sa A i B presecne tacke u kojima prave a i b prodirusferu S. Tacke A i B nalaze se na sferi S pa je (po definiciji povrsi nivoaeliptickog snopa) AB secica jednakog nagiba za elipticki pramen pravih uravni α. Dakle, u preseku ravni α i sfere S dobija se krug.

Slika 4.3.1.

63

4.4 Povrs nivoa hiperbolickog snopa - hipersfera

Definicija 4.4.1. Povrs nivoa hiperbolickog snopa zove se ekvidistantntapovrs (hipersfera). Bazisna ravan uocenog hiperbolickog snopa naziva sebazisna ravan ekvidistantne povrsi.

Ekvidistantnu povrs mozemo formulisati i u obliku sledece teoreme :

Teorema 4.4.1. Ekvidistantna povrs je geometrijsko mesto tacaka podjed-nako udaljenih od bazisne povrsi.

Definicija 4.4.2. Rastojanje tacaka ekvidistantne povrsi od bazisne ravnipovrsi, zove se parametar ili visina ekvidistantne povrsi.

Ekvidistantne povrsi se medju sobom, osim po polozaju, razlikuju i poparametru. U specijalnom slucaju kada je parametar nula, ekvidistantnapovrs je ravan.

Na osnovu prethodne teoreme, zakljucujemo da se ekvidistantna povrssastoji iz dva dela, od kojih se svaki nalazi sa po jedne strane bazisne ravni.

Teorema 4.4.2. Ravan koja je mimoilazna sa bazisnom ravni ekvidistantnepovrsi, ne sece tu povrs, ako je najkrace rastojanje izmedju te ravni i bazisneravni, vece od parametra povrsi; dodiruje je ako je to rastojanje jednakoparametru ekvidistantne povrsi, a sece je po kruznici, ako je to rastojanjemanje od parametra povrsi.

Dokaz: Neka je π bazisna ravan ekvidistantne povrsi, a β ravan koja jesa π mimoilazna. Oznacimo sa MN zajednicku normalu pomenutih ravni.Po pretpostavci, MN je manja od parametra ekvidistantne povrsi. Kako se,pocev od normale MN ravni π i β neprekidno udaljavaju jedna od druge, topostoje tacke ravni β cija su rastojanja od ravni π jednaka parametru povrsi.Te tacke su tacke preseka ravni β i ekvidistantne povrsi.

Oznacimo sa A i B presecne tacke ravni β i ekvidistantne povrsi, asa A′ i B′ njihove projekcije na bazisnu ravan. U tom slucaju je AA′ ∼=BB′. Lambertovi cetvorougli MNAA′ i MNBB′ imaju zajednicku os-novicu MN , pri cemu su im suprotne visine AA′ i BB′ podudarne. Premajednom od stavova za podudarnost Lambertovih cetvorougla, sledi podu-darnost cetvorougla MNAA′ i MNBB′. Iz njihove podudarnosti slediMA ∼= MB.

64

Dakle, ma koje dve tacke preseka ravni β i ekvidistantne povrsi podjed-nako su udaljene od utvrdjene tacke ravni β. Odavde zakljucujemo da jepresek ravni β i ekvidistantne povrsi, pri datim uslovima, kruznica.

Teorema 4.4.3. Ekvidistantna povrs je obrtna povrs oko svake svoje ose.

Dokaz: Navedeno tvrdjenje je neposredna posledica prethodne teoreme.Zaista, na svakoj osi ekvidistantne povrsi, u tacki koja je izmedju povrsi ibazisne ravni, mozemo postaviti ravan, koja je normalna na uocenu osu. Taravan prema prethodnoj teoremi sece ekvidistantnu povrs po kruznici.

Vazi i sledece tvrdjenje :

Teorema 4.4.4. Ravan koja prolazi kroz osu ekvidistantne povrsi, sece tupovrs po ekvidistantnoj liniji.

Dokaz: Neka je dat hiperbolicki snop pravih prostora Lobacevskog, ekvidis-tantna povrs E i ravan α koja sadrzi pravu a ∈ E (Slika 4.4.1.).

Slika 4.4.1.

65

Neka je jos i β bazisna ravan ekvidistantne povrs. Oznacimo sa β∩α = p.Tada je a⊥p. Neka je A tacka u kojoj prava a prodire ekvidistantnu povrsE . Ravan α takodje sadrzi i tacku A.

Uocimo u ravni α jos jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih(u α je pramen pravih). Neka je B presecna tacka prave b sa ekvidistant-nom povrsi. Tada, AB je secica jednakog nagiba (po definiciji ekvidistantnepovrsi) i a ∥

h

b.

Uocimo u ravni α jos jednu pravu c koja pripada datom snopu pravih.Neka je C presecna tacka prave c sa ekvidistantnom povrsi. Sada je ACsecica jednakog nagiba (jer je ekvidistantna povrs po definiciji povrs nivoahiperbolickog snopa pravih) i a ∥

h

c.

Nastavljajuci postupak dolazimo do ekvidistantne povrsi (vidi definicijuekvidistantne povrsi ).

Dakle, pokazali smo da ako ravan sece osnovu ekvidistantne povrsi, ondaje presek te ravni i ekvidistantne povrsi - ekvidistanta. Sledecom teoremomcemo odgovoriti na pitanje sta se dobija u preseku ekvidistantne povrsi iravni paralelne njenoj osnovi.

Teorema 4.4.5. Presek ravni α koja je paralelna osnovi π neke ekvidistantnepovrsi E i pripada poluprostoru sa rubom π kojem pripada i E, je oricikl.

Teorema 4.4.6. Dve ekvidistantne povrsi su podudarne ako i samo ako suim podudarne visine.

Na kraju, napomenimo jos jednom da je ekvidistantnu povrs mogucerazmatrati i kao dvojnu ekvidistantnu povrs, tj. kao dva disjunktna skupatacaka podjednako udaljenih od zajednicke bazisne ravni pri cemu svaki odovih skupova tacaka pripada po jednom poluprostoru odredjenim bazisnomravni.

66

4.5 Povrs nivoa parabolickog snopa - orisfera

Definicija 4.5.1. Povrs nivoa parabolickog snopa pravih zove se orisfera.

Kroz svaku tacku A prostora, prolazi uvek jedna i samo jedna osa orisfere.

Definicija 4.5.2. Kazemo da je tacka A unutrasnja tacka orisfere, akose nalazi sa one strane orisfere, sa koje je smer paralelnosti njenih osa.

Definicija 4.5.3. Kazemo da je tacka A spoljasnja tacka orisfere, ako senalazi sa one strane orisfere, sa koje nije smer paralelnosti njenih osa.

Teorema 4.5.1. Ravan koja prolazi kroz osu orisfere, sece tu povrs po ori-ciklu.

Dokaz: Neka je dat parabolicki snop pravih prostora Lobacevskog, orisferaO i ravan β koja sadrzi pravu a ∈ O. Neka je A tacka u kojoj prava aprodire orisferu O (Slika 4.5.1.). Ravan β takodje sadrzi i tacku A.

Uocimo u ravni β jos jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih (uβ je pramen pravih). Neka je B presecna tacka prave b sa orisferom. Tada,AB je secica jednakog nagiba (po definiciji orisfere) i a∥b.

Slika 4.5.1.

67

Uocimo u ravni β jos jednu pravu c koja pripada datom snopu pravih.Neka je C presecna tacka prave c sa orisferom. Sada je AC secica jednakognagiba (jer je orisfera po definiciji povrs nivoa parabolickog snopa pravih) ic∥a.

Nastavljajuci postupak dolazimo do oricikla (vidi definiciju oricikla ).

Teorema 4.5.2. Orisfera je obrtna povrs oko svake svoje ose.

Dokaz: Orisfera je granicni slucaj sfere, u slucaju kada poluprecnik sfereneograniceno raste. Iskazana cinjenica se pokazuje na isti nacin na koji smopokazali da je oricikl granicni polozaj kruznice, kada poluprecnik kruzniceneograniceno raste.

Teorema 4.5.3. Ako ravan ne prolazi kroz osu orisfere, a njena sredisnjatacka u odnosu na parabolicki snop osa pripada spoljasnjosti orifere, ona nesece orisferu. Ako sredisnja tacka pripada povrsi, ravan dodiruje orisferu, aako sredisnja tacka pripada unutrasnjosti orisfere, ravan je sece po kruzniciciji je centar sredisnja tacka ravni u odnosu na snop orisfere.

Dokaz: Razmotrimo svaki slucaj ponaosob :

(1) Neka srediste ravni α pripada spoljasnjosti orisfere (Slika 4.5.2.). Nekaje to tacka M .

Slika 4.5.2.

68

Na osnovu rezultata, da ukoliko ravan sece neki element parabolickogsnopa, onda u tom snopu postoji ravan koja taj snop sece ortogonalno,

zakljucujemo da prava−−−→MM ′ pripada parabolickom snopu koji odred-

juje orisferu i−−−→MM ′⊥α. Neka osa orisfere, koja prolazi kroz tacku M

sece orisferu u tacki C. Posmatrajmo sada tangentnu ravan na orisferu

u tacki C. Na osnovu teoreme 23, prava−−→CM ′ je normalna na tangentnu

ravan u tacki C. Tangentna ravan i ravan α imaju zajednicku normalupa su one hiperparalelne, to sve njene tacke pripadaju spoljasnjostiorisfere. Dakle ravan α nema zajednickih tacaka sa orisferom.

(2) U slucaju kada sredisnja tacka ravni pripada orisferi, ravan je normalna

na osu−−−→MM ′ orisfere u njenoj tacki (Slika 4.5.3.). Sve ostale tacke te

ravni pripadaju spoljasnjosti orisfere, pa je to tangentna ravan orisfere.

Slika 4.5.3.

(3) Neka je C0 sredisnja tacka date ravni u odnosu na snop orisfere, i neka

pripada unutrasnjosti orisfere (Slika 4.5.4.). Sledi da je−−→C0C

′⊥α, pa jenormalna i na svaku pravu ravni α u tacki C0.

Obelezimo sa C presecnu tacku orisfere i njene ose, koja prolazi krozC0. Tada ce svaka ravan, kao sto smo pokazali u jednoj od prethod-

nih teorema, koja prolazi kroz pravu−−→CC0 seci orisferu po oriciklu, a

23 Teorema: Svaka prava nekog snopa pravih prostora L3 upravna je na povrs kojaodgovara tom snopu pravih.

69

datu ravan po pravoj koja je normalna na osu−−→CC0 orisfere i presecnog

oricikla. Kako ta prava prolazi kroz unutrasnju tacku C0 presecnogoricikla ona ga sece u dvema tackama A i A1, koje pripadaju orisferii to su odgovarajuce tacke parabolickog snopa pravih, koje pripadajuistoj kruznici.

Prema tome svaka ravan koja je normalna na osu orisfere, a sece je uunutrasnjoj tacki, sece orisferu po kruznici (jer je orisfera obrtna povrsoko svake svoje ose).

Slika 4.5.4.

70

4.6 Povrsi koje dopustaju slobodno kretanje u sebi

U glavi o karakteristicnim krivama u ravni Lobacevskog videli smo dafundamentalne krive dopustaju slobodno kretanje po samoj sebi. Sada cemorazmatrati isti problem, ali za fundamentalne povrsi. Pokazacemo da i onedopustaju slobodno kretanje u sebi, i opisacemo transformacije podudarnostikojima se to postize.

Uocimo u ravni Lobacevskog sledece elemente: tacku A i pravu a kojaprolazi kroz tu tacku, kao i tacku B i pravu b koja prolazi kroz tacku B.Uvek postoji transformacija podudarnosti, koja ravan preslikava na samusebe, tako da se tacka A preslikava na tacku B , a prava a na pravu b. Sadacemo opisati kako se ova podudarnost moze realizovati.

Najpre, primenimo translaciju za duz AB. Translacija preslikava ravanna samu sebe, tako da se tacka A preslikava na B, dok se prava a preslikavana pravu a′, koja prolazi kroz tacku B. Sada primenimo rotaciju ravni okotacke B. Ona takodje preslikava ravan na samu sebe, i pri tom se tacka Bpreslikava na samu sebe. Rotacija se uvek moze izabrati tako da se pravaa′ preslikava na pravu b. Konacno, proizvod translacije i ove rotacije jetransformacija podudarnosti, sa osobinama koje smo napred naveli.

Posmatrajmo sferu. Uocimo na njoj tacku A i veliku kruznicu a, kojaprolazi kroz tu tacku. Dalje, uocimo veliku kruznicu b, koja prolazi kroztacku B. Rotacija oko nekog precnika sfere preslikava sferu na samu sebe.Ako se radi o precniku koji je normalan na ravni velike kruznice OAB, gdeje O srediste sfere, a za ugao rotacije se uzme ∠AOB, velika kruznica OABse preslikava na samu sebe, tako da se tacka A preslikava na tacku B, dokse kruznica a preslikava na veliku kruznicu a′, koja prolazi kroz tacku B.Rotacijom sfere oko njenog precnika OB moze se kruznica a′ preslikati nakruznicu b. Proizvod ove dve rotacije je transformacija podudarnosti, kojasferu preslikava na sebe, tako da se tacka A preslikava na tacku B, a kruznicaa koja je u unutrasnjoj geometriji sfere prava - na kruznicu (pravu) b.

Uvodimo sledecu definiciju :

Definicija 4.6.1. Za povrs koja se moze transformacijom podudarnosti pres-likati na samu sebe, tako da se tacka i prava kroz tu tacku preslikavaju naproizvoljnu, ali unapred zadatu tacku i proizvoljnu, ali unapred datu pravukroz tu tacku, kazemo da dopusta slobodno kretanje u sebi.

U Euklidskom prostoru jedine povrsi koje dopustaju slobodno kretanjeu sebi su ravan i sfera. (Proizvoljna obrtna povrs, ne dopusta slobodno

71

kretanje u sebi.). Pokazacemo da, u prostoru Lobacevskog pored ravni isfere, ekvidistantna povrs i orisfera dopustaju slobodno kretanje u sebi.

Posmatrajmo najpre u prostoru Lobacevskog ekvidistantnu povrs, i nekasu M i N dve proizvoljne tacke te povrsi. Oznacimo sa M ′ i N ′ njihoveprojekcije na bazisnu ravan. Neka je a ekvidistantna linija povrsi, koja imaosobinu da prolazi kroz tacku N i pripada ravni, koja je normalna na bazisnuravan, a b ekvidistantna linija iste povrsi, koja prolazi kroz tackuM , i pripadaravni normalnoj na bazisnu ravan (Slika 4.6.1.).

Slika 4.6.1.

Posmatrajmo transformaciju podudarnosti koja bazisnu ravan preslikavana samu sebe. Pri tom se svaka normala na bazisnu ravan preslikava nanormalu na bazisnu ravan, pa se prema tome ekvidistantna povrs preslikavana samu sebe. Ukoliko se radi o transformaciji podudarnosti, takvoj da seprava M ′N ′ preslikava na samu sebe, i to tako da se tacka N ′ preslikava natacku M ′, ekvidistantna povrs se preslikava na samu sebe, tako da se ekvidis-tanta NM preslikava na samu sebe, a tacka N na tacku M . Ekvidistanta ase preslikava na ekvidistantu a′, koja prolazi kroz tacku M . Obrtanjem ek-vidistantne povrsi oko ose MM ′, transformisemo ekvidistantu a′ u b. Dakle,ekvidistantna povrs dopusta slobodno kretanje u sebi.

Slicno se moze pokazati da je i orisfera povrs koja dopusta slobodno kre-

tanje u sebi. Tacnije, ako su A i B tacke orisfere, a−−→AA′ i

−−→BB′ odgovarajuce

ose, transformisemo osu−−→AA′ u

−−→BB′, a tacku A u B. Zatim obrtanjem orisfere

oko njene ose BB′ mozemo oricikl orisfere koji prolazi kroz tacku B, trans-formisati u drugi takav oricikl. Odavde sledi da orisfera dopusta slobodno

72

kretanje u sebi.

Kao posledicu poslednjeg razmatranja dobijamo sledecu teoremu :

Teorema 4.6.1. Sve orisfere su medjusobom podudarne.

Dokaz: Neka je orisfera O odredjena tackom A i osom−−→AA′ a orisfera L

tackom B i osom−−→BB′. Kretanjem se prava

−−→AA′ moze dovesti do poklapanja

sa pravom−−→BB′. Pri tom se tacka A moze dovesti do poklapanja sa tackom

B1 prave−−→BB′. Novim kretanjem, duz prave

−−→BB′, tacka B1 se transformise

u tacku B.

73

5 Unutrasnja geometrija fundamentalnih

povrsi

Sistem osnovnih pojmova, aksioma kao i njihovih posledica koje karak-terisu figure neke povrsi, kao i medjusobne odnose tih figura, zove se un-utrasnja geometrija te povrsi. Drugim recima, pod unutrasnjom geometrijompovrsi podrazumeva se skup svih onih osobina njenih figura, koje se dobijajusredstvima same povrsi, ne pozivajuci se na okolni prostor u koji je ta povrssmestena.

Tako, na primer, euklidska planimetrija je unutrasnja geometrija euk-lidske ravni. Slicno, sferna trigonometrija pripada geometriji loptine povrsi.

Unutrasnja geometrija povrsi zasniva se i izgradjuje na isti nacin kao iunutrasnja geometrija ravni. Utvrdjuje se izvestan broj osnovnih objekatai izmedju njih uspostavljaju izvesni uzajamni odnosi. Zatim se ispitujekakav je sistem aksioma koje, na toj povrsi, ti osnovni objekti zadovoljavaju.Napomenimo, da u stvari, taj sistem aksioma i karakterise unutrasnju ge-ometriju posmatrane povrsi.

U svakoj od do sada proucavanih fundamentalnih povrsi moze se razvitinjena unutrasnja geometrija. Pokazuje se da analogne figure u svakoj od tihpovrsi pokazuju razlicita svojstva. Moze se na primer posmatrati trougao usvakoj od fundamentalnih povrsi. Pokazacemo da se ti trouglovi razlikuju pomnogim svojstvima.

U poglavljima koja slede, prelazimo na ispitivanje unutrasnje geometrijesvake od fundamentalnih povrsi.

74

5.1 Unutrasnja geometrija ekvidistantne povrsi

Razmotricemo pitanje unutrasnje geometrije ekvidistantne povrsi u pros-toru Lobacevskog. Pri deduktivnoj izgradnji geometrije neke povrsi sledi seisti put kojim se ide i pri izgradnji Euklidske planimetrije u obicnoj ravni. Na-jpre uspostavljamo osnovne pojmove i osnovne teoreme. Polazeci od pomenu-tih osnova izvode se raznovrsni zakljucci, teoreme i izgradjuje se geometrija.

U obicnoj planimetriji medju osnovne pojmove ubrajamo tacku i pravu.Analogni osnovni pojmovi uvode se i na ekvidistantnoj povrsi. Pod tackomcemo podrazumevati bilo koju tacku ekvidistantne povrsi. Ulogu prave u un-utrasnjoj geometriji ekvidistantne povrsi ima kriva koja se naziva geodezijskaekvidistanta. Naime, vazi sledeca definicija :

Definicija 5.1.1. Geodezijska ekvidistanta je kriva po kojoj ravan stoprolazi kroz osu ekvidistantne povrsi sece ekvidistantnu povrs.

Uvedimo sada relaciju pripadnosti, izmedju i podudarnosti medju os-novnim pojmovima.

Za ovako definisane osnovne pojmove kazacemo da, u unutrasnjoj ge-ometriji ekvidistantne povrsi, pripadaju jedan drugom, ako oni pripadajujedan drugom u obicnom smislu.

Uvedimo sada relaciju izmedju: za tackuB ekvidistantne povrsi, kazacemoda se nalazi izmedju tacaka A i C te povrsi, ako se projekcija tacke B, u oz-naci B′ na bazisnu ravan ekvidistantne povrsi, nalazi izmedju projekcija A′ iC ′ tacaka A i C.

Na kraju, ostaje nam da uvedemo i relaciju podudarnosti. Za dve figureekvidistantne povrsi kazacemo da su podudarne medju sobom, ako se onekretanjem povrsi po samoj sebi, mogu dovesti do poklapanja, a takodje i akosu simetricne u odnosu na bilo koju ravan.

U daljem proucavanju unutrasnje geometrije ekvidistantne povrsi poka-zacemo da ovako izabrani osnovni objekti i njihovi uzajamni odnosi, zado-voljavaju sve zahteve aksioma veze I1−3, aksioma rasporeda II1−4, aksiomapodudarnosti III1−5, aksioma neprekidnosti IV1−2 Hilbertovog sistema ak-sioma i aksiomu Lobacevskog VL.

75

Provericemo, redom, aksiome Hilbertovog sistema aksioma.

Aksiome veze

Aksioma I 1: Za ma koje tacke A i B postoji geodezijska ekvidistanta akojoj pripada i tacka A i tacka B.

Obelezimo sa A′ i B′ projekcije tacaka A i B na bazisnu ravan α uoceneekvidistantne povrsi. Kroz prave A′B′, AA′ i BB′ uvek prolazi jedna i samojedna ravan β koja uvek sece ekvidistantnu povrs i to po geodezijskoj ek-vidistanti. Odavde zakljucujemo da je na ekvidistantnoj povrsi zadovoljenai aksioma I1 ali i aksioma I2 Hilbertovog sistema aksioma koja glasi :

Aksioma I 2: Za ma koje dve tacke A i B, postoji najvise jedna geodez-ijska ekvidistanta, koja pripada i tacki A i tacki B.

Ostaje nam da proverimo da li vazi aksioma I3, tj. aksioma :

Aksioma I 3: Geodezijskoj ekvidistanti pripadaju najmanje dve tacke.Postoje najmanje tri tacke koje ne pripadaju istoj geodezijskoj ekvidistanti.

Neka je a geodezijska ekvidistanta uocene povrsi. Ravan γ kojoj ona pri-pada stoji normalno na bazisnu ravan α povrsi i sece je po pravoj a′. Ugeometriji Lobacevskog vazi aksioma I3 (obzirom da vaze sve aksiome Apso-lutne geometrije). S toga na pravoj a′ postoje najmanje dve tacke A′ i B′, atakodje u bazisnoj ravni α postoji najmanje jos jedna tacka C ′, koja ne pri-pada pravoj a′. Podignimo u tackama A′, B′ i C ′ normale na bazisnu ravan.Prve dve normale ujedno su i ose ekvidistantne povrsi i pripadaju ravni γ.One, dakle, seku povrs u tackama A i B koje pripadaju ekvidistanti a. Prematome, na proizvoljnoj geodezijskoj ekvidistanti povrsi postoje najmanje dvetacke, A i B.

Normala u tacki C ′ je osa povrsi, ali ne pripada ravni γ. Stoga ta nor-mala sece povrs u tacki C, koja ne pripada ekvidistanti a. To znaci dana ekvidistantnoj povrsi postoje najmanje tri tacke, koje ne pripadaju istojgeodezijskoj ekvidistanti.

Dakle, na ekvidistantnoj povrsi su zadovoljene sve tri aksiome prve grupeHilbertovog sistema aksioma, tj. aksiome I1−3.

76

Prelazimo, na ispitivanje da li vazi druga grupa aksioma.

Aksiome rasporeda

Aksioma II 1: Ako se tacka B nalazi izmedju tacaka A i C, onda su A,B i C tri razne tacke jedne iste geodezijske ekvidistante, i tacka B se, takodjenalazi izmedju C i A.

Posmatrajmo projekciju a′ geodezijske ekvidistante a na bazisnu ravan αekvidistante povrsi. Tacke A, B i C ekvidistante a, projektuju se na tackeA′, B′ i C ′ prave a′. Kako je na pravoj a′ Hiperbolicke ravni α zadovoljenaaksioma II1, to imamo sledece. Podignimo u tackama A′, B′ i C ′ normale nabazisnu ravan α. Sve tri normale pripadaju ravni γ , koja stoji normalno nabazisnu ravan α povrsi i sece je po pravoj a′. Pomenute normale pripadajuravni γ, a pri tom su i ose ekvidistantne povrsi. Stoga one seku ekvidistantnupovrs u tackama A, B i C koje pripadaju geodezijskoj ekvidistanti a, pri cemuse tacka B nalazi izmedju tacaka A i C.

Analogno se proveravaju i ostale aksiome rasporeda.

Aksiome podudarnosti

Da bi verifikovali aksiome podudarnosti, primetimo da se uspostavlja uza-jamno jednoznacna korespondencija, izmedju tacaka povrsi i bazisne ravni,ukoliko se izvrsi ortogonalno projektovanje ekvidistantne povrsi na njenubazisnu ravan. Kako ekvidistantna povrs i ravan dopustaju slobodno kre-tanje u sebi, to ma koje kretanje bazisne ravni α, koje dovodi do poklapanjanekih figura te ravni, indukuje kretanje povrsi, koje dovodi do poklapanjaodgovarajucih figura na povrsi. Dakle, figure ekvidistantne povrsi se nalazeu istim odnosima uzajamne podudarnosti, u kakvim se nalaze odgovarajucefigure njene bazisne ravni.

Prema tome, zakljucujemo da su u unutrasnjoj geometriji ekvidistantnepovrsi zadovoljeni svi zahtevi aksioma podudarnosti Hilbertovog sistema ak-sioma, jer su te aksiome zadovoljene u geometriji bazisne ravni α.

Aksiome neprekidnosti

Na isti nacin, kao kod provere da li vaze aksiome podudarnosti, ortogo-nalnim projektovanjem ekvidistantne povrsi na njenu bazisnu ravan, mozemose uveriti da su u unutrasnjoj geometriji ekvidistantne povrsi, zadovoljene iaksiome neprekidnosti Hilbertovog sistema aksioma.

Naime, vaze sledece dve aksiome :

77

Aksioma IV 1: Ako su AB i CD dve proizvoljne duzi, tada na geodez-ijskoj ekvidistanti AB postoji konacan niz tacaka A1, A2, ..., An takvih da jeB(A1, A2, ..., An), pri cemu je svaka od duzi AA1, A1A2, ..., An−1An podudarnaduzi CD i B(A,B,An).

Aksioma IV 2: Ako je A1B1, A2B2, ..., AnBn, ... niz zatvorenih duzijedne iste geodezijske ekvidistante, takvih da svaka od tih duzi sadrzi sledecu,tada postoji tacka X koja pripada svakoj duzi tog niza.

Videli smo, da prilikom razvijanja geometrije na ekvidistantnoj povrsi,na njoj vaze sve aksiome Apsolutne geometrije, pri cemu ulogu pravih imajugeodezijske ekvidistante. Ostaje jos da se pokaze da u unutrasnjoj geometrijiekvidistantne povrsi vazi :

Aksioma Lobacevskog

Da bi pokazali da vazi Aksioma Lobacevskog, posmatrajmo tacku C kojapripada ekvidistantnoj povrsi, a ne pripada geodezijskoj ekvidistanti AB tepovrsi. Neka je CD geodezijska ekvidistanta povrsi, koja prolazi kroz tackuC. Ona sece ekvidistantu AB ako i samo ako njena projekcija C ′D′ seceprojekciju A′B′ ekvidistante AB na bazisnu ravan α povrsi. Kako je naravni α zadovoljena Aksioma Lobacevskog VL , tj. kroz tacku C ′ van praveA′B′ prolazi beskonacno mnogo pravih, koje ne seku pravu A′B′, to je, zboguzajamno jednoznacne korespondencije izmedju tacaka povrsi i bazisne ravni,isti slucaj i na ekvidistantnoj povrsi, tj. kroz tacku C prolazi beskonacnomnogo geodezijskih ekvidistanti, koje ne seku ekvidistantu AB.

Ovo je jedan od nacina da se pokaze da u unutrasnjoj geometriji ekvidis-tantne povrsi vazi Aksioma Lobacevskog. Navedimo jos jedan.

Najpre, ugao izmedju dve geodezijske ekvidistante definisimo kao ugaokoji grade tangente tih dveju geodezijskih ekvidistanti, u tacki njihovog pre-seka.

Na osnovu tako definisanih uglova izmedju geodezijskih ekvidistanti naekvidistantnoj povrsi moze se resiti problem paralela na toj povrsi. U tomcilju posmatrajmo trougao ABC na ekvidistantnoj povrsi σ i njegovu pro-jekciju trougao A′B′C ′ u bazisnoj ravni ρ ekvidistantne povrsi σ.

Projektovanje je izvedeno pomocu osa AA′, BB′ i CC ′ ekvidistantnepovrsi (Slika 5.1.1.). Pomenute ose su normalne na ravan ρ. Zato su uglovi∠B′A′C ′ i ∠BAC medjusobno jednaki, jer se radi o uglovima jednog istog

78

prostornog ugla koji obrazuju ravni AA′B′B i AA′C ′C. Iz istog razloga je :

∠A′B′C ′ = ∠ABC, ∠A′C ′B′ = ∠ACB.

Slika 5.1.1.

Odavde proizilazi da je zbir uglova trougla A′B′C ′ jednak zbiru uglovatrougla ABC na ekvidistantnoj povrsi. Ali kako je zbir uglova trouglaA′B′C ′ manji od zbira dva prava ugla (jer je to trougao ravni ρ Lobacevskog),prema tome je i zbir uglova trougla na ekvidistantnoj povrsi manji od 180.

Znamo da je teorema o zbiru uglova trougla ekvivalentna s aksiomom oparalelama. Stoga zakljucujemo da na ekvidistantnoj povrsi vazi aksioma oparalelama geometrije Lobacevskog, pa imamo teoremu :

Teorema 5.1.1. Unutrasnja geometrija ekvidistantne povrsi je Hiperbolickaplanimetrija, pri cemu ulogu pravih imaju geodezijske ekvidistante.

Zato se geometrija na ekvidistantnoj povrsi moze dobiti neposrednoiz planimetrije Lobacevskog ako se u ovoj rec prava zameni saekvidistanta a rec ravan sa ekvidistantna povrs.

79

5.2 Unutrasnja geometrija orisfere

Za geometriju Lobacevskog kao i za njenu izgradnju veliko znacenje imaunutrasnja geometrija orisfere. Osnovni stavovi geometrije na orisferi, kojise ugradjuju u temelje te geometrije, potpuno su analogni aksiomama obicneEuklidske planimetrije.

Tako npr. poznatoj aksiomi Euklidske planimetrije, da dvema raznimtackama ravni prolazi jedna i samo jedna prava, odgovara u geometriji naorisferi osnovna teorema - dvema tackama orisfere prolazi jedan i samo jedanoricikl. Pokazacemo, da se na slican nacin uspostavljaju osnovne teoremegeometrije na orisferi analogne aksiomama prve cetiri grupe u Euklidskojravni. Uporedjivanjem analognih osnovnih teorema geometrije jedne i drugepovrsi doci cemo do sledeceg vaznog zakljucka: Svi osnovni stavovi geometrijena orisferi dobijaju se iz aksioma Euklidske planimetrije ako se u ovima recprava zameni recju oricikl, a rec ravan sa orisfera.

Dakle, da bi razvili unutrasnju geometriju orisfere, uvedimo osnovne ob-jekte. Kao osnovne objekte unutrasnje geometrije orisfere posmatrajmo sjedne strane njene tacke, a s druge strane oricikle, koji se dobijaju presekomorisfere ravnima koje prolaze kroz njene ose. Za navedene osnovne objektereci cemo da u unutrasnjoj geometriji orisfere pripadaju jedan drugom, akooni pripadaju jedan drugom u obicnom smislu.

Oznacimo sa o oricikl, koji u unutrasnjoj geometriji orisfere ima uloguprave, a A, B i C tri razne tacke oricikla o. Ose a, b i c orisfere, koje odgo-varaju tim tackama, pripadaju istoj ravni π. Za tacku C kazemo da se nalaziizmedju tacaka A i B oricikla o, u oznaci Bo(A,B,C), ako se odgovarajucaosa c orisfere nalazi, u ravni π izmedju osa a i b.

Za dve figure orisfere kazemo da su podudarne, u oznacio∼=, ako se te figure

kretanjem orisfere po samoj sebi, mogu dovesti do poklapanja.

Dokazimo da ovako uvedeni pojmovi tacke, prave, izmedju i podudarnostizadovoljavaju sve aksiome Apsolutne planimetrije.

Aksiome veze

Neka su A i B dve proizvoljne tacke orisfere, a a i b ose orisfere, kojeprolaze kroz te tacke. Obzirom, da ma koje dve ose orisfere pripadaju istojravni, to prave a i b uvek odredjuju jednu i samo jednu ravan π. Medjutim,ravan π uvek sece orisferu po jednom oriciklu. Kako tacke A i B pripadajui ravni π i orisferi, one pripadaju i presecnom oriciklu. Dakle, kroz ma koje

80

dve tacke orisfere uvek prolazi jedan i samo jedan oricikl, sto nam govori davaze aksiome I1 i I2, tj. :

Aksioma I 1: Za ma koje tacke A i B uvek postoji oricikl o kome pripadasvaka od tacaka A i B.

Aksioma I 2: Za ma koje dve tacke A i B, postoji najvise jedan oricikl,kome pripada svaka od tacaka A i B.

Pokazacemo da vazi i aksioma I3, tj. :

Aksioma I 3: Na svakom oriciklu postoje najmanje dve tacke. Postojenajmanje tri tacke koje ne pripadaju istom oriciklu.

Zaista, u svakoj ravni π, koja prolazi kroz neku osu n orisfere, postojinajmanje jedna prava m tako da je −→m∥−→n . Tacka M preseka ose m i orisfere,mora pripadati onom oriciklu, koji je presek orisfere i ravni π. Dakle, na tomoriciklu postoje najmanje dve tacke N i M , gde je N presek ose n i orisferei za koju se na isti nacin pokazuje da pripada presecnom oriciklu. Takodje,van ravni π postoji najmanje jos jedna osa s orisfere, sto sledi iz definicijeorisfere, kao povrsi nivoa snopa paralelnih pravih u prostoru Lobacevskog.Oznacimo sa S presecnu tacku ose s i orisfere o. Kako tacka S ne pripadaravni π, to ona ne pripada ni oriciklu u toj ravni. Dakle, postoje najmanjetri tacke, koje ne pripadaju istom oriciklu.

Ako tacke koje pripadaju jednom oriciklu nazovemo o-kolinearnim, atacke koje ne pripadaju jednom oriciklu (oricikl ima ulogu prave u un-utrasnjoj geometriji orisfere) nazovemo o-nekolinearnim, tada o-ravan (or-isfera ima ulogu ravni u njenoj unutrasnjoj geometriji) sadrzi najmanje trio-nekolinearne tacke, jer postoji tacka orisfere koja ne pripada zadatom ori-ciklu te orisfere. Stoga je zadovoljena i poslednja planimetrijska aksiomaprve grupe, tj.

Aksioma I 4: Neka su A, B i C tri tacke, koje ne pripadaju istomoriciklu. Tada postoji ravan α kojoj pripada svaka od tih tacaka. Svakojravni pripada najmanje jedna tacka.

Dalje proveravamo da li su orisferi zadovoljene :

Aksiome rasporeda

Obzirom na uvedenu definiciju pojma izmedju, primetimo da su za tackena orisferi zadovoljene prve tri aksiome rasporeda jer :

- ako je Bo(A,B,C), tada su A, B i C tri o-kolinearne tacke;

81

- ako je Bo(A,B,C), tada je Bo(C,B,A);

- ako je Bo(A,B,C), tada nije Bo(A,C,B),

- ako su A i B dve razne tacke na jednom oriciklu o, tada postoji tackaC takva da je Bo(A,B,C);

- ako su A, B i C tri razne o-kolinearne tacke, tada je Bo(A,B,C) iliBo(B,C,A) ili Bo(C,A,B).

Ostaje da pokazemo da u unutrasnjoj geometriji orisfere vazi i Pasova 24

aksioma, tj. :

Aksioma IV 4 - Pasov stav: Neka su A, B i C tacke orisfere koje nepripadaju istom oriciklu i neka je p oricikl orisfere, koji ne prolazi ni krozjednu od tacaka A, B i C. Ako oricikl p sadrzi tacku D koja je izmedju A iB, onda on, takodje sadrzi tacku E koja je izmedju A i C ili izmedju B i C.

Obelezimo sa a, b, c, d ose orisfere koje prolaze kroz tacke A, B, C iD, i izaberimo na njima respektivno, tacke A′, B′ i C ′ u smeru paralelnostipravih a, b i c. Neka je δ ravan koja je odredjena tackama A′, B′ i C ′, doksa π oznacimo ravan koja sadrzi oricikl p (Slika 5.2.1.).

Slika 5.2.1.

Prava d nalazi se u ravni odredjenoj osama a i b oricikla, pri cemu je dizmedju a i b. Oznacimo sa D′ presecnu tacku pravih d i A′B′. Tada tacka

24Moritz Pasch (1843-1930), nemacki matematicar

82

D′ zadovoljava sledece uslove: B(A′, D′, B′), D′ ∈ δ, D′ ∈ π. Ravni δ i πimaju zajednicku tacku D′ pa samim tim i zajednicku pravu, oznacimo je sap′.

Kako je u hHiperbolickoj ravni δ zadovolena Pasova aksioma za trougaoA′B′C ′ i pravu p′ iz uslova B(A′, D′, B′) sledi da prava p′ sadrzi tacku E ′

takvu da je B(B′, E ′, C ′) ili B(A′, E ′, C ′). Neka je zadovoljena prva od ovedve relacije. Tada tacka E ′ pripada ravni π i ravni BCC ′B′. To znaci date dve ravni imaju zajednicku pravu e. Svake dve od tri prave b, e i DD′

komplanarne su, pa pripadaju istom pramenu pravih. Kako su prave b i DD′

paralelne to je i e paralelna u istom smeru sa njima dvema pa predstavljaosu orisfere. Prema tome, prava e sece orisferu. Oznacimo sa E presecnutacku prave e sa orisferom. Tada tacka E pripada oriciklu p. Kako je prava eparalelna sa pravama b i c i sadrzi tacku E ′ koja je izmedju pravih b i c to je iprava e izmedju pravih b i c a to upravo znaci da je B(B,E,C). Na potpunoisti nacin ako pretpostavimo da vazi B(A′, E ′, C ′) dobijamo B(A,E,C).

Prelazimo sada na:

Aksiome podudarnosti

Neka su na orisferi date dve tacke A i B, zatim oricikl a′ i tacka A′ togoricikla. Medjutim, kako sfera dopusta slobodno kretanje u sebi, to se takvimkretanjem, oricikl AB uvek moze dovesti do poklapanja sa oriciklom a′ i to nataj nacin da se tacka A poklopi sa tackom A′, a tacka B sa nekom tackom B′

koja je sa unapred odredjene strane tacke A′. Odavde zaklucujemo (premaunapred datoj definiciji) da su duzi AB i A′B′ pududarne, tj. u unutrasnjojgeometriji orisfere zadovoljena je aksioma III1, tj. :

Aksioma III 1: Ako su A i B dve tacke oricikla o i ako je A′ tacka togistog ili nekog drugog oricikla a′, onda se uvek na oriciklu a′ sa date stranetacke A′ moze naci tacka B′, takva da je duz AB podudarna duzi A′B′, u

oznaci ABo∼= A′B′.

Kretanjem orisfere po samoj sebi mozemo pokazati da na orisferi, sa datestrane datog oricikla, postoji jedan i samo jedan oricikl, koji sa datim zaklapaugao, koji je podudaran uglu sto ga na orisferi obrazuju neka druga dvaoricikla. Drugim recima, na orisferi je zadovoljena i aksioma III4 .

Na osnovu osobina figura koje se dobijaju jedna iz druge kretanjem, za-klucujemo:

- ako su A i B bilo koje dve tacke nekog oricikla, tada je ABo∼= BA;

83

- ako su A, B, C, D, E i F tacke nekog oricikla, takve da je ABo∼= CD

i ABo∼= EF , tada je CD

o∼= EF ;

- ako su C i C ′ tacke duzi AB i A′B′ takve da je ACo∼= A′C ′ i BC

o∼= B′C ′,

tada je i ABo∼= A′B′

Odavde sledi da su na orisferi zadovoljene i ostale aksiome podudarnostiHilbertovog sistema aksioma.

Dalje, treba proveriti da li vaze aksiome neprekidnosti, tj. treba pokazatida su za oricikle na orisferi zadovoljene Arhimedova 25 i Kantorova 26 aksiomakoje u ovom slucaju glase:

Arhimedova aksioma: Ako su AB i CD bilo koje dve duzi, tada napolupravoj AB postoji konacan niz tacaka A1, A2, ..., An takvih da jeBo(A1, A2, ..., An), pri cemu je svaka od duzi AA1, A1A2, ..., An−1An podu-darna duzi CD i Bo(A,B,An).

Kantorova aksioma: Ako je A1B1, A2B2, ..., AnBn, ... niz duzi na nekomoriciklu, takvih da svaka od tih duzi sadrzi sledecu, tada postoji tacka X kojapripada svakoj od duzi toga niza.

Poznato je da su ove dve aksiome ekvivalentne Dedekindovom principu,pod uslovom da su prve tri grupe aksioma Apsolutne geometrije zadovoljene.Kako je kod orisfere to slucaj, to ce, dakle na orisferi aksiome neprekidnostibiti zadovoljene, ako za svaki oricikl orisfere bude zadovoljen Dedekindovprincip.

U tom cilju posmatrajmo oricikl m orisfere. Neka je u skupu tacaka togoricikla izvrsena neka Dedekindova podela na klase. Uzmimo u prvoj klasitacku A, a u drugoj klasi tacku B. Obelezimo sa a i b ose orisfere, kojeprolaze kroz tacke A i B, i izaberimo na njima, respektivno, tacke A′ i B′.Prava m′ koja je odredjena tackama A′ i B′ i oricikl m, pripadaju istoj ravniπ i stoga osa n oricikla, koja prolazi kroz tacku M ′ prave m′ sece orisferu utacki M uocenog oricikla m.

Na taj nacin je uspostavljena jednoznacna korespondencija izmedju tacakaprave m′ i tacaka oricikla m. Stoga tacke prave m′ mozemo podeliti u dveklase, tako da tacka pripada prvoj klasi ako njoj odgovarajuca tacka na ori-ciklu pripada prvoj klasi, a pripada drugoj klasi ako njoj odgovarajuca tacka

25Arhimed(grcki:Aρχιµηδηζ), oko (287. - 212.) p.n.e., grcki matematicar i fizicar26Georg Cantor (1845 - 1918), nemacki matematicar

84

na oriciklu pripada drugoj klasi. Dakle, sve tacke na pravoj m′ poodeljene suna dve klase, tako da svaka tacka pripada jednoj i samo jednoj klasi i svakatacka prve klase stoji ispred svake tacke druge klase, tj. ova podela tacakana pravoj m′ zadovoljava sve uslove Dedekindovog preseka (Slika 5.2.2.).

Slika 5.2.2.

Na pravama Hiperbolickog prostora Dedekindov princip je zadovoljen.Stoga jedna od dve pomenute klase tacaka na pravoj m′ ima krajnji ele-ment. Pretpostavimo, odredjenosti radi, da druga klasa tacaka prave m′ imapocetnu tacku i obelezimo je sa X ′. Ako tacke A′ i B′ pripadaju raznimklasama, onda je tacka X ′ izmedju A′ i B′, ili se u granicnom slucaju, pok-lapa sa B′. Tacka X, koja na oriciklu odgovara tacki X ′ pripada drugojklasi tacaka Dedekindovog reza na oriciklu, i takodje je izmedju A i B, ili sepoklapa sa B.

Ako tacka X nije prva tacka druge klase, na oriciklu m postoji tacka Y ,koja se nalazi izmedju A i X, a pripada drugoj klasi. Osa y orisfere, kojaprolazi kroz tacku Y , je takodje izmedju osa a i x tacaka A i X i stoga secepravu m′ u tacki Y ′, koja je izmedju A′ i X ′. Dakle, tacka Y ′ koja odgovaratacki Y , je izmedju A′ i X ′, a pripada drugoj klasi na pravoj m′, jer tackaY pripada drugoj klasi. Odavde zakljucujemo da na pravoj m′ tacka X ′

nije prva tacka druge klase, a to je u protivrecnosti sa pretpostavkom. Taprotivrecnost nam govori da na uocenom oriciklu tacka X mora biti prva

85

tacka druge klase. Analogno, pokazuje se da je X poslednja tacka prve klasena pravoj m′.

Dakle, ma kakva god bila Dedekindova podela tacaka oricikla m na klase,jedna od klasa te podele ima krajnji element. To znaci da u unutrasnjojgeometriji orisfere vazi Dedekindov princip, sto je ekvivalentno s tim da suzadovoljene obe aksiome neprekidnosti Hilbertovog sistema aksioma.

Do sada smo razmatrali aksiome geometrije na orisferi koje su analogneaksiomama iz Apsolutne planimetrije. Ostaje nam da razjasnimo jos pitanje:

Aksiome paralelnosti

Na orisferi σ uocimo oricikl BC i tacku A koja pripada orisferi, ali ne iuocenom oriciklu. Postavlja se pitanje, da li kroz tacku A prolaze oricikliorisfere koji nemaju zajednickih tacaka sa oriciklom BC, i ako ih ima, kolikoih je. U tom cilju, u datoj tacki A postavimo oricikl AD (Slika 5.2.3.).

Slika 5.2.3.

Potrebno je i dovoljno da se oricikli AD i BC ne seku, da se u stvari neseku dijametralne ravni AA′D′D i BB′C ′C. Pri tome dijametralna ravanAA′D′D koja sadrzi oricikl AD sadrzi i osu AA′ orisfere, dok dijametralnaravan BB′C ′C koja sadrzi oricikl BC, sadrzi i ose BB′ i CC ′. Imajmona umu da su prave AA′, BB′ i CC ′ medjusobno paralelne jer pripadajuparabolickom snopu na kome razmatramo orisferu σ.

86

Znamo da je prava paralelna s nekom ravni ako je paralelna s bilo kojompravom te ravni. Zbog toga je osa AA′ paralelna s ravni BB′C ′C jer ta ravansadrzi pravu (BB′, a isto tako i CC’ ) koja je paralelna s pravom AA’.

Medjutim, postoji samo jedna ravan koja ne sece zadatu ravan BB′C ′Ca sadrzi tacku AA′. To je upravo dijametralna ravan AA′D′D koja sadrzioricikl AD. Dakle, tackom (A) orisfere koja lezi van nekog oricikla (BC)prolazi jedan i samo jedan oricikl (AD) koji zadati oricikl ne cece. Timedolazimo do osnovne teoreme geometrije na orisferi :

Teorema 5.2.1. Unutrasnja geometrija orisfere prostora Lobacevskog je Eu-klidska geometrija, pri cemu ulogu pravih imaju oni oricikli orisfere, kojipripadaju ravnima sto prolaze kroz ose orisfere.

Ova teorema je od izvanredne vaznosti. S jedne strane zato sto ima vaznuulogu u daljem izgradjivanju Hiperbolicke geometrije. S druge strane, zatosto pokazuje da, iako je pri izgradjivanju Hiperbolickog geometrijskog sistemaodbacena Hilbertova aksioma paralelnosti, Euklidska planimetrija je sacuvalasvoju egzistenciju; razlika je samo u tome sto se ona sada realizuje na jednojsasvim drugoj povrsi - na orisferi.

Iz prethodnih razmatranja zaklucujemo da se sve osnovne teoreme ge-ometrije na orisferi mogu dobiti iz aksioma euklidske planimetrije ako se unjima zamene rec prava sa oricikl, a rec ravan sa orisfera.

Ova vazna cinjenica bila je poznata i Lobacevskom i igrala je vaznu ulogupri izgradnji Neeuklidske geometrije. Ako bismo iz bilo kojih razloga utvrdilida Euklidov postulat nije valjan, to jos uvek ne bi znacilo da je Euklidskageometrija izgubila svoj razlog postojanja. Ona bi i dalje vazila ako ne zaravan, onda svakako za orisferu, tj. za jednu povrs prostora Lobacevskog.

Na osnovu svega sto smo utvrdili za medjusobne odnose Euklidske ge-ometrije i geometrije na orisferi, lako je sada izgraditi geometriju na orisferi.Zbog analogije koju smo otkrili mozemo se sluziti sa vec ranije poznatimrezultatima Euklidske geometrije i u njima zameniti reci prava i ravan saanalognim osnovnim pojmovima oricikl i orisfera, pa odmah dobijamo odgo-varajuce teoreme geometrije na orisferi.

Navedimo, neke znacajnije cinjenice do kojih bismo dosli izgradjujuci nataj nacin geometriju na orisferi :

1. Zbir unutrasnjih uglova trougla koga cine tri luka oricikla na orisferiiznosi dva prava ugla.

87

2. Za dva trougla na orisferi kazemo da su slicni ako su im odgovarajuciuglovi jednaki. Odgovarajuce stranice takvih trouglova su jednake.

Da na orisferi postoje slicni trouglovi, moze se zakljuciti po tome stoanalogni stav vazi u Euklidskoj ravni.

3. Izmedju stranica i uglova trougla na orisferi postoje isti odnosi kojipostoje i za trouglove Euklidske ravni. To drugim recima znaci daza trouglove na orisferi vaze poznate trigonometrijske relacije trouglaEuklidske ravni.

88

5.3 Unutrasnja geometrija sfere

Prilikom izgradnje unutrasnje geometrije na sferi, dolazi se do sasvimdrugacijih rezultata, nego li u slucaju unutrasnje geometrije prethodnih dvejufundamentalnih povrsi.

Ulogu pravih u ovom slucaju imaju dijametralni preseci sfere, tj.njene najvece ili glavne kruznice (nazivamo ih i geodezijskim linijamasfere).

Pokazali smo da na orisferi vazi aksioma koja kaze da kroz bilo koje dvetacke orisfere prolazi jedan i samo jedan oricikl. Videli smo da slicna aksiomavazi i za ekvidistantnu povrs. Tacnije, i njene bilo koje dve tacke spaja jednai samo jedna geodezijska ekvidistanta.

Na trecoj fundamentalnoj povrsi - sferi - ne vazi u opstem slucaju nave-dena aksioma. Naime, dvema dijametralnim tackama sfere ne prolazi samojedna, vec beskonacno mnogo geodezijskih linija (glavih kruznica sfere). Po-kazuje se i da neke druge aksiome koje vaze za unutrasnju geometriju orisferei ekvidistantne povrsi, ne vaze na sferi, o cemu ce biti reci kasnije. Iz ovakvihrazloga, na sferi gube opstost teoreme iz Apsolutne geometrije. Stoga pri-likom izgradnje unutrasnje geometrije na sferi ne moze se ici istim putemkojim smo izgradjivali ostale geometrije, tako sto bi menjali reci prava saglavna kruznica, a ravan sa sfera.

Nemacki matematicar Riman 27 pokazao je da je geometriju na sferimoguce izgraditi aksiomatski na slican nacin kao sto su aksiomatski izgrad-jene i geometrije Euklida i Lobacevskog.

Riman je izucavao unutrasnju geometriju sfere u pravcu, da se zamislitakva geometrija u kojoj su sve prave bezgranicne, ali same u sebe zatvorene,s tim da sve imaju jednu istu, ali konacnu duzinu. Primetimo da slicnosvojstvo imaju glavne kruznice neke sfere. One su bezgranicne u smislu stose na njima ne moze naci tacka koja bi bila krajnja, granicna. S druge stranesve glavne kruznice neke sfere imaju konacnu i medjusobno jednaku duzinu.

U Rimanovoj ravni ne moze se tackom van prave povuci ni jedna par-alelna prava s tom pravom. U toj ravni uopste ne postoje paralelne prave.Upravo tu se vidi slicnost s glavnim kruznicama sfere: na sferi ne postojedve medjusobno paralelne glavne kruznice.

Za Rimanovu geometriju karakteristicno je da se na njoj realizuje:

27George Fridrih Bernhard Riman (1826 - 1866), nemacki matematicar

89

Hipoteza tupog ugla: U cetvorouglu s tri prava ugla cetvrti ugao jetup.

Iz tog razloga u Rimanovoj geometriji vaze svi rezultati do kojih su dosliSakeri i Lambert uz tu hipotezu. Istaknimo da je zbir uglova u ovoj geometrijiveci od dva prava ugla, a povrsina trougla proporcionalna ekscesu (visku zbirauglova iznad 180).

Primer 5.3.1. Zbir uglova u trouglu cije bi strane bile deo polutara i delovilinija geografske duzine koje polutar spajaju sa Severnim polom iznosio bi270. Kao i Hiperbolicki prostor, ovaj prostor izgledao bi sve slicniji Eukli-dovskom sto su razmere manje. Primera radi, sto se trougao smanjuje, takose njegov zbir priblizava vrednosti od 180.

Rimanova geometrija dobila je naziv i Elipticka geometrija.

Slika 5.3.1.

Kako u Rimanovoj geometriji ne postoje paralelne prave, to se bilo kojedve prave Elipticke geometrije seku. U ovom pogledu, pokazuje se da zadalji razvoj te geometrije postoje dve mogucnosti. U jednom obliku oveNeeuklidske geometrije seku se bilo koje dve prave uvek u istoj tacki. Udrugoj formi Elipticke geometrije dve prave seku se uvek u dve tacke kojesu medjusobno udaljene za polovinu duzine pravih. Zbog analogije ovogoblika Elipticke geometrije s geometrijom na sferi sledi naziv Sferno - eliptickageometrija.

90

Na sferi, bilo koje dve glavne kruznice k1 i k2 seku se uvek u dve tackeA i B koje su medjusobno uzdaljene za polovinu duzine cele kruznice (Slika5.3.1.). Onaj oblik Rimanove geometrije u kojoj se prave seku samo u jed-noj tacki zove se Elipticka geometrija. Sto su manji likovi u obe Eliptickegeometrije, to se njihova svojstva manje razlikuju od analognih svojstavaodgovarajucih likova Euklidske geometrije. Upravo u tome je Elipticka ge-ometrija slicna geometriji Lobacevskog.

Sferno - elipticku geometriju mozemo preslikati na sferu. To nam daje zapravo da je smatramo unutrasnjom geometrijom sfere. Pri tom preslikavanjupravama Sferno - elipticke geometrije odgovaraju najvece kruznice sfere. Svistavovi Sferno - elipticke geometrije prelaze pri tom preslikavanju u analognestavove euklidske Sferne geometrije.

§

Rezimirajmo rezultate dosadasnjih razmatranja o unutrasnjoj geometrijifundamentalnih povrsi. Videli smo da uz Euklidsku geometriju postoje dveNeeuklidske geometrije. Euklidska geometrija je nazvana i Parabolicka ge-ometrija, dok se Rimanova geometrija naziva Elipticka, a geometrija Lobace-vskog naziva se Hiperbolicka geometrija.

Videli smo da pomenute tri geometrije predstavljaju unutrasnje geometrijetriju fundamentalnih povrsi prostora Lobacevskog. Unutrasnja geometrijasfere je Elipticka, orisfere Parabolicka, a ekvidistantne povrsi Hiperbolickageometrija.

Te tri geometrije bitno se razlikuju po aksiomi o paralelama koje se mogupovuci tackom van prave, odnosno geodezijske linije odredjene fundamen-talne povrsi. Tackom van geodezijske linije ne prolazi nijedna paralela uEliptickoj geometriji. U Parabolickoj geometriji prolazi jedna paralela, a uHiperbolickoj geometriji mogu se povuci kroz jednu tacku van geodezijskelinije dve paralele s tom linijom.

Videli smo da se te geometrije razlikuju izmedju ostalog i prema zbiruuglova trougla. U Hiperbolickoj geometriji zbir uglova trougla iznosi manjeod 2R, zbir uglova trougla Parabolicke geometrije jednak je 2R, dok je utrouglu Elipticke geometrije zbir uglova veci od 2R.

Sakeri i Lambert su u svojom istrazivanjima postavili, pored navedenehipoteze tupog ugla, i hipotezu ostrog ugla: U cetvorouglu s tri pravaugla cetvrti ugao je ostar. Znamo da se njihova hipoteza ostrog ugla real-

91

izuje u geometriji Lobacevskog. Razvijajuci tu hipotezu, oba istazivaca nisumogla otkriti bilo kakvu neprotivrecnost, sto je i jasno jer ni u Hiperbolickojgeometriji, u kojoj se ta hipoteza realizuje, ne postoje protivrecnosti. Inace,Sakeri i Lambert su dosli do protivrecnosti pri razvijanju hipoteze tupogugla. Na protivrecnost se nailazi ako se usvoji pretpostavka koja se u nji-hovo doba smatrala sama po sebi razumljiva da prave treba shvatiti kao linijebeskonacne duzine.

Da su Sakeri i Lambert vec tada dosli na ideju da odbace takvo svo-jstvo pravih i zamene ga onim koje je predlozio Riman pri razvijanju svojeElipticke geometrije, pokazalo bi se da ni u hipotezi tupog ugla ne moze bitiprotivrecnosti. U tom slucaju oni bi vec tada, znatno pre Rimana, otkriliElipticku geometriju.

Kao sto je Lobacevski dao pravi odgovor na pitanje geometrije koja usvajahipotezu ostrog ugla, tako je Riman nasao pravilan odgovor i na problemhipoteze tupog ugla. I jedna i druga hipoteza realizuju se u dve Neeuklidskegeometrije, od kojih je svaka u sebi neprotivrecna i logicna, kao sto je toEuklidska geometrija.

92

6 Neke primene

6.1 Interesantne formule u ravni Lobacevskog

U ovoj glavi, ukazacemo na neke primene dosadasnjih razmatranja. Docicemo do nekih interesantnih formula u ravni Lobacevskog. Podrazumevase da je citalac upoznat sa rezultatima koji se odnose na trigonometrijuHiperbolicke ravni, posebno trigonometriju pravouglog trougla Hiperbolickeravni, sto je neophodno u daljem radu. Vise o tome videti u [6], [8], [9].

U prethodnoj glavi pokazali smo da orisfera poseduje Euklidsku geometriju,sto implicira da za trouglove na orisferi vaze poznati trigonometrijski odnosieuklidskog trougla. Ovo je posebno vazna cinjenica jer pruza mogucnost dase definisu trigonometrijske funkcije za uglove prostora Lobacevskog.

Kao uglovi na orisferi smatraju se uglovi izmedju lukova oricikala. Pritome se kao luk izmedju takvih lukova uzima luk izmedju njegovih tangenatau preseku krivih. Znamo da se na isti nacin definise ugao izmedju izmedjubilo kojih krivih u tacki njihovog preseka.

Napomena: U primerima koji slede sa R cemo oznacavati parametar Hiper-bolickog prostora (poluprecnik krivine Hiperbolickog prostora).

Primer 6.1.1. Izvesti formulu za obim kruznice poluprecnika r, posmatrajucikruznicu kao granicu pravilnih upisanih mnogouglova, kada broj strana mno-gougla neograniceno raste, a duzine im se smanjuju.

Resenje: Neka je AB = an duzina jedne od stranica pravilnog n-tougla,upisanog u kruznicu sa centrom u tacki O i poluprecnika OA = OB = r(Slika 6.1.1.).

Slika 6.1.1.

93

Imamo:

^AOB =2π

ni OD⊥AB.

Za stranicu pravouglog trougla OAD vazi DB = AD = an2, dok na

osnovu formule Hiperbolicke trigonometrije je

ctg Π(an2) = ctg Π(r) · sin π

n.

Ali, kako je ctgΠ(x) = shxrto je,

sh(an2) = shr · sin π

n. (1)

Kada broj stranica n mnogougla neograniceno raste (n → ∞), tadaduzine stranica takvog mnogougla teze nuli (an → 0), pa je na osnovu Mak-Lorenovog razvoja funkcije shx, funkcija sh an

2R”ekvivalentna” funkciji an

2R, a

πnje ”ekvivalentno” sa π

n. Zamenjujuci te vrednosti u (1), dobijamo:

an2R

=π

n· sh

r

R. (2)

Mnozeci obe strane relacije (2) sa 2Rn. Dobijamo,

2Rnan2R

= n shr

R· πn· 2R, tj.

nan = shr

R· π · 2R. (3)

Neka sada u (3) n → ∞. Tada dobijamo:

Ok = 2Rπ · sh rR

sto predstavlja obim kruznice u Hiperbolickoj ravni.

Kada parametar Hiperbolickog prostora R neograniceno raste, Hiper-bolicki prostor prelazi u Euklidski, i obim kruznice Ok postaje:

Ok = limR→∞

shr

R· 2Rπ = 2π lim

R→∞rsh r

RrR

= 2rπ.

94

Primer 6.1.2. Izvesti formulu za povrsinu kruga poluprecnika r u ravni L2,znajuci da je povrsina trougla u ravni Lobacevskog P = R2(π − σ(δ)), gdeje R parametar prostora Lobacevskog.

Resenje: Povrsina pravouglog trougla AOD (Slika 6.1.2.), prema for-muli navedenoj u formulaciji zadatka, iznosi :

PAOD = R2[π − (

π

n+ ^A+

π

2)], tj.

PAOD = R2[(π

2− ^A)− π

n)]. (1)

Slika 6.1.2.

S druge strane, na osnovu poznate formule Hiperbolicke geometrije :

sinΠ(c) = tg ^A · tg ^B,

gde su ^A i ^B ostri uglovi pravouglog trougla, a c hipotenuza, primenomna pravougli trougao AOD, dobijamo

sinΠ(r) = tgπ

n· tg ^A

Kako je sinΠ(x) = 1ch x

Rto imamo:

1

ch rR

= tgπ

n· 1

ctg ^A, ili

95

ctg ^A = tgπ

n· ch

r

R, ili

tg (π

2− ^A) = tg

π

n· ch

r

R. (2)

Kada n → ∞, tada ^A → π2, a an → 0, dok π

2− ^A kao i π

npostaju

beskonacno mali. Obzirom da je limx→0th xx

= 1, tj th x ∼ x, iz (2) sedobija:

π

2− ^A =

π

n· ch

r

R.

Zamenjujuci to u formulu (1), dobijamo:

PAOD = R2(π

n· ch

r

R− π

n), tj.

PAOD = R2(πn· ( ch r

R− 1)

). (3)

Primetimo sledece: kako je ch2x + sh2x = ch2x i ch2x − sh2x = 1, tooduzimanjem druge relacije od prve dobijamo 2sh2x = ch2x− 1. Zamenomu (3) dobijamo:

PAOD = 2R2 · πn· sh 2 r

2R. (4)

Povrsina upisanog n- tougla sastoji se iz 2n trouglova, jednakoh trougluAOD i zato, kada n → ∞, za povrsinu kruga poluprecnika r dobijamo:

Pr = limn→∞

2n · R2π

n( ch

r

R− 1) = 4πR2 sh 2 r

2R, tj.

Pr = 4πR2 sh 2 r2R

Kada parametar R prostora Lobacevskog tezi beskonacnosti, tada Hiper-bolicki prostor prelazi u Euklidski, i dobijamo formulu za povrsinu kruga uE2:

Pk = limR→∞

4πR2 sh 2 r2R

r4R2

· r2

4R2= r2π.

96

Primer 6.1.3. Izracunati povrsinu Ps kruznog isecka za duzinu luka l.

Resenje: Poznato je da je povrsina kruznog isecka proporcionalna lukuisecka. Naime, vazi sledeci odnos :

Ps

Pk

=l

Ok

.

Zamenom odgovarajucih formula iz prethodna dva primera, dobijamo :

Ps

4πR2 · ctg2Π( r2)=

l

2πR · ctgΠ(r), odakle je :

Ps =2lR · ctg2Π( r

2)

ctg Π(r).

Primenom adicionih formula dobijamo :

Ps =2lR · ctg2Π( r

2)

2 ctg Π( r2)

sinΠ( r2)

, odakle je :

Ps = l ·R cosΠ( r2)

Kada parametar R prostora Lobacevskog tezi beskonacnosti, tada Hiper-bolicki prostor prelazi u Euklidski, i dobijamo formulu za povrsinu kruznogisecka u E2:

Ps = limR→∞

lRth r

2Rr2R

· r

2R=

lR

2=

2rπαr

2 · 360=

r2πα

360.

Primer 6.1.4. Koristeci stav prema kome se na orisferi realizuje Euklidskagemetrija, izvesti formulu za duzinu luka oricikla odredjenog tetivom duzine2a.

Resenje: KruznicaABMN na orisferi, moze se posmatrati ili kao kruznicasa centrom u tacki O, opisana poluprecnikom a, ili kao kruznica sa centrom utacki C, opisana lukom oricikla duzine 2l (Slika 6.1.3.). Kako na orisferi vaziEuklidska geometrija, gde ulogu pravih imaju oricikli, obim kruznice bice :

O = 2lπ. (1)

S druge strane, koristeci formulu iz Primera 6.1.1. za obim kruznicepoluprecnika a, imamo :

97

O = 2Rπ sha

R. (2)

Izjednacavanjem desnih strana jednakosti (1) i (2) dobijamo :

2lπ = 2Rπ sha

R, odakle je

l = R sha

R= R ctg Π(a), tj.

l = R ctg Π(a)

Slika 6.1.3.

Primer 6.1.5. Izracunati povrsinu isecka oriciklicke povrsi za dati luk l kojiodgovara tom isecku, i za datu tetivu t koja odgovara tom luku.

Resenje: Oznacimo sa S povrsinu isecka oriciklicke povrsi koju treba daodredimo. Prema Primeru 6.1.3. povrsina kruznog isecka Ps za datu duzinuluka s je Ps = s·R cos Π( r

2), a kako je cosΠ(x) = th x

R, to poslednja formula

postaje :

Ps = s ·R th Π(r

2R).

Kada r → ∞, tada povrsina kruznog isecka Ps prelazi u povrsinu iseckaoriciklicke povrsi S (podsetimo se da je oricikl granicni slucaj kruga), a duzinaluka s kruznog isecka u duzinu luka l oricikla odredjenog tetivim duzine t.Prema tome imamo :

S = limr→∞

Ps = lR th ∞ = lR,

98

ali kako je l = 2R sh t2R

to imamo :

S = 2R2 sh t2R

Primer 6.1.6. Izracunati povrsinu S oriciklickog odsecka kome odgovaratetiva t.

Resenje:

Slika 6.1.4.

Sa slike (Slika 6.1.4.) vidimo da je povrsina S oriciklickog odsecka jednakasledecoj povrsina :

S = Pi − Ps

gde smo sa Pi oznacili povrsinu odgovarajuceg oriciklickog isecka, a sa Ps

povrsinu trougla ABO∞ sa jednim nesvojstvenim temenom (osencani deo naslici).

Znamo da se povrsina trougla u ravni Lobacevskog racuna po formuliP = R2(π − σ(δ)), pa u nasem slucaju imamo:

PABO∞ = Ps = R2(π − σ(δ)

)= R2

(π − 0− 2Π(

t

2))= R2

(π − 2Π(

t

2)).

Prema tome imamo :

99

S = Pi−Ps = 2R2 sht

2R−R2

(π−2Π(

t

2))= 2R2

(sh

t

2R− π

2+Π(

t

2)), tj.

S = 2R2(sh t

2R− π

2+Π( t

2))

Na kraju navedimo jos jedan interesantan rezultat koji se odnosi naokolinu tacke u Hiperbolickoj geometriji. Naime, vazi sledece:

Primer 6.1.7. Okolina tacke u Hiperbolickoj ravni sadrzi vecu povrsinu negookolina istog poluprecnika u Euklidskoj ravni.

Resenje: Ako sa PH obelezimo povrsinu kruga u Hiperbolickoj ravni, asa PE povrsinu kruga u Euklidskoj ravni, primenjujuci formulu za razvijanjeu red funkcije sh r

2R, transformisacemo obrazac za povrsinu kruga:

PH = 4πR2 sh 2 r

2R= 4πR2

r

2R+

r3

3!(2R)3+

r5

5!(2R)5+· · ·

2

> 4πR2· r2

4R2= PE.

100

7 Zakljucak

U radu su detaljno obradjene karakteristicne krive, i to ekvidistanta ioricikl. Formulisane su i dokazane teoreme koje opisuju njihova bitna svo-jstva kao i njihove uzajamne odnose sa paralelnim i hiperparalelnim pravama.Primeri navedeni posle obrade svake od krivih dati su sa namerom da seukaze na neke interesantne osobine obradjivanih krivih. Posebno je zanimljivprimer, koji daje odgovor na pitanje pod kojim uslovima vrhovi trouglova sazajednickom osnovom, opisuju jednu ekvidistantu.

Sto se tice karakteristicnih povrsi, one su opisane u cetvrtoj glavi. Slikovitoje prikazano koje se od C-krivih dobijaju prilikom presecanja C-povrsi ravn-ima sto sadrze njihove ose. Nakon toga ispitana je unutrasnja geometrijasvake od C-povrsi i kratkim pregledom na kraju te glave, da se videti kako semenjaju osobine jedne iste figure, u zavisnosti na kojoj od povrsi se posmatra.

Rad zavrsavamo formulama, vezanim za izvesna izracunavanja nekih param-etara fundamentalnih krivih.

Naravno, prica o karakteristicnim krivama i povrsima u Hiperbolickojgeometriji, ne zavrsava se ovde. Recimo njihovo vidjenje u Poenkareovom ilinekom drugom modelu Hiperbolicke geometrije u ovom radu je izostavljeno,ali detaljno o tome mozete videti u [2].

101

Literatura

[1] Z. Lucic, Euklidska i hiperbolicka geometrija, Total design i Matematickifakultet, Beograd 1997.

[2] A. Milovanovic, Poenkareov model u Hiperbolickoj geometriji, master rad,PMF Nis 2012.

[3] S. Mintakovic, Neeuklidska geometrija Lobacevskog, Izdavacko preduzece”Skolska knjiga” Zagreb, 1972.

[4] P. Janicic, Zbirka zadataka iz Geometrije, Matematicki fakultet Beograd,http://poincare.matf.bg.ac.rs/~marijana/og_zbirka.pdf

[5] L. Mlodinov, Euklidov prozor - Naslov originala: Leonard Mlodinow, Euclid’sWindow, 2005. za srpsko izdanje Laguna, Beograd

[6] M. Prvanovic, Neeuklidske geometrije, Novi Sad 1971.

[7] M. Stankovic, Osnovi geometrije, PMF Nis 2006.

[8] M. Stankovic, M. Zlatanovic, Geometrija Lobacevskog, preprint

[9] M. Zlatanovic Trigonometrija Hiperbolicke ravni, diplomski rad, PMF Nis2006.

[10] R. Tosic, Zbirka resenih zadataka iz neeuklidske geometrije, Univerzitet uNovom Sadu, 1971.

[11] R. Tosic, V. Petrovic, Problemi iz geometrije - metodicka zbirka zadataka,Prirodno-matematicki fakultet Univerziteta u Novom Sadu 1995.

[12] http://www.wikipedia.org/

102

Biografija

Vuk Vujovic je rodjen 20.10.1989. godine u Leskovcu, Republika Srbija. Os-novnu skolu ”Vuk Karadzic” je zavrsio u Lebanu kao nosilac Vukove diplomei djak generacije. Srednju Medicinsku skolu, smer farmaceutski tehnicar,zavrsio je u Leskovcu kao nosilac Vukove diplome.

Osnovne akademske studije Matematike upisao je na Prirodno-matematickomfakultetu u Nisu, na Odseku za matematiku i informatiku skolske 2008/2009.godine. Master studije na departmanu za matematiku, Prirodno-matematickogfakulteta u Nisu, smer matematika, upisao je oktobra 2011. godine i zavrsioseptembra 2013. godine sa prosecnom ocenom 9,31 .

103