11

MaMaššinski Fakultet Univerziteta u Beograduinski Fakultet Univerziteta u Beogradu

Modeliranje oblikaModeliranje oblika

Docent Dr Aleksandar MarinkoviDocent Dr Aleksandar Marinkovićć

UvodUvodno predavanjeno predavanje

Sreda 08.10.2008Sreda 08.10.2008..

2/32/388

Modeliranje oblika Modeliranje oblika -- pojampojam

Modeliranje oblikaModeliranje oblika –– proces virtuelnog predstavljanja objekta proces virtuelnog predstavljanja objekta (modela) u cilju njegovog razvoja, transformacije, manipulacije,(modela) u cilju njegovog razvoja, transformacije, manipulacije,ččuvanja, ali i dalje primene.uvanja, ali i dalje primene.

ModelModel –– virtuelni objekat definisan skupom tavirtuelni objekat definisan skupom taččaka, a koji seaka, a koji semomožže posmatrati iz razlie posmatrati iz različčitih pravaca, presecati, uobliitih pravaca, presecati, uobliččavati itsl.avati itsl.On sadrOn sadržži određeni skup informacija koje se mogu koristiti ii određeni skup informacija koje se mogu koristiti ina osnovu kojih se mogu razvijati nove informacije.na osnovu kojih se mogu razvijati nove informacije.

ModelModel treba da omogutreba da omogućći razvoj oblika, a potom i njegovoi razvoj oblika, a potom i njegovodalje koridalje koriššććenje gde god je to neophodno.enje gde god je to neophodno.

3/33/388

Model oblika Model oblika –– formiranje i vrsteformiranje i vrste

Model oblikaModel oblika je skup taje skup taččaka u prostoru aka u prostoru ččiji se poloiji se položžaj u aj u kordinatnom sistemu mokordinatnom sistemu možže definisati vektorom e definisati vektorom pp ( (u).u).Ovaj vektor je određen projekcijama Ovaj vektor je određen projekcijama x x (u), (u), y y (u) i (u) i z z (u).(u).

→→

( ) xxxx auauauaux 012

23

3 +++=( ) yyyy auauauauy 01

22

33 +++=

( ) zzzz auauauauz 012

23

3 +++=

x

yz

rp u( )

( ) UAuuu

aaaa

aaaaaaaa

up

zzzz

yyyy

xxxx

⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

2

3

0123

0123

0123r

MatematiMatematiččki izrazi za određivanje projekcija modela mogu biti razliki izrazi za određivanje projekcija modela mogu biti različčiti, iti, pri pri ččemu u novije vreme usavremu u novije vreme usavrššavanjem modelara matematiavanjem modelara matematiččke forme ke forme postaju dosta kompleksne.postaju dosta kompleksne.

4/34/388

Model oblika Model oblika –– formiranje i vrsteformiranje i vrste

ModelModel oblika mooblika možže da bude:e da bude:

Skup taSkup taččaka na ivicama aka na ivicama –– iviiviččni model;ni model;

Skup taSkup taččaka na povraka na površšinama inama –– povrpovrššinski model iinski model i

Skup taSkup taččaka u zapremini dela aka u zapremini dela –– puni (solid) model.puni (solid) model.

5/35/388

Principi za formiranje modela oblikaPrincipi za formiranje modela oblika

Modeliranje oblika, kao jedna od faza u dizajnu proizvodaModeliranje oblika, kao jedna od faza u dizajnu proizvodamomožže se izvre se izvrššiti koriiti koriššććenjem vienjem višše razlie različčitih principa ili kriterijuma.itih principa ili kriterijuma.Kao i kod dizajna, modeliranje oblika se vrKao i kod dizajna, modeliranje oblika se vršši se na osnovu:i se na osnovu:

Estetskih svojstava;Estetskih svojstava;Funcije koju treba da obavlja;Funcije koju treba da obavlja;Svojstava razliSvojstava različčitih materijala;itih materijala;NaNaččina proizvodnje;ina proizvodnje;Ergonomskih i ekoloErgonomskih i ekološških osobina;kih osobina;Potrebnog kvaliteta, pouzdanosti Potrebnog kvaliteta, pouzdanosti …… i naravnoi naravnoCene proizvoda!Cene proizvoda!

DfX - Design for …

Function

Stress

Safety

Ergonomics

DfProduction

Controlling

Assembly

Disassembly

Quality

Transport

Use

Costs

Service

Environment

6/36/388

Formiranje modela Formiranje modela -- neki univerzalni principineki univerzalni principi

MatematiMatematiččki i geometrijski principi ki i geometrijski principi zasnovani na tzv. zlatnom odnosuzasnovani na tzv. zlatnom odnosu::

Zlatni presek, pravougaonik i trougao;Zlatni presek, pravougaonik i trougao;Keplerov trougao i zlatna piramida;Keplerov trougao i zlatna piramida;Pentagram;Pentagram;FibonaFibonaččijev niz;ijev niz;Zlatna i FibonaZlatna i Fibonaččijeva spirala;ijeva spirala;Zlatni ugao;Zlatni ugao;DinamiDinamiččki balans;ki balans;GeneralizacijGeneralizacijaa ……

7/37/388

Zlatni odnosZlatni odnos

• Za dve veličine a i b kaže se da su u zlatnom odnosu ako zadovoljavaju proporciju: (a+b) : a = a : b = φ;

• Iz proporcije neposredno sledi da je φ = 1,61803...• Broj φ je iracionalan!• Ako se ove veličine odnose na dužine duži, onda se grafička

interpretacija zlatnog odnosa naziva zlatni presek ili božanski presek.

Zlatni presek (sectio aurea), ili – božanski presek (sectio divina): tačka C je zlatni presek duži AB. (cela prema dužoj, kao duža prema kraćoj!) a b

(a+b):a=a:bA BC

Zlatni presek Zlatni presek –– zlatni odnoszlatni odnos

8/38/388

Zlatni presek Zlatni presek –– zlatni odnoszlatni odnos

Kroz celokupnu istoriju Evrope zlatni presek je tumačen izrazitopozitivnim estetskim sudom - proglašen obrascem skladnosti:primeri: Stonehenge, Velike piramide u Gizi, Partenon, Apolonov hram, KaterdralaNotre Dame, dela Renesanse, a posebno kreacije Leonarda Davinčija i Mikelanđela

Zlatni pravougaonik, zlatni trougao

9/39/388

Ljudsko teloLjudsko telo –– zlatne proporcijezlatne proporcije

10/310/388

Zlatna Zlatna -- Keopsova piramidaKeopsova piramida

11/311/388

Zlatne proporcije violineZlatne proporcije violine

12/312/388

Zlatni odnosi Zlatni odnosi -- avionavion

13/313/388

Zlatni odnosi Zlatni odnosi –– Ferrari GoldFerrari Gold

14/314/388

Zlatni odnosi Zlatni odnosi –– automobil i automobil i ččovekovek

15/315/388

Zlatni odnosi Zlatni odnosi –– Frontalni izgled automobila Frontalni izgled automobila (Toyota Lexus)(Toyota Lexus)

16/316/388

Zlatni odnosi Zlatni odnosi –– dizajn dizajn ććupaupa

17/317/388

FibonaFibonaččijev nizijev niz

FibonaFibonaččijev niz ijev niz je je niz Fniz Fnn brojeva definisanih sledebrojeva definisanih sledeććom rekurentnom om rekurentnom relacijom:relacijom:

FF00=0, za n=0; F=0, za n=0; F11=1, za n=1; F=1, za n=1; Fnn=F=Fnn--11+F+Fnn--22, za n, za n>1.>1.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 9870, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, , 1597, 2584, 4181, 4181, ……Osnovno svojstvo: svaki treOsnovno svojstvo: svaki trećći i ččlan niza je paran, a svaki klan niza je paran, a svaki k--ti je deljiv sa ti je deljiv sa ččlanom lanom FFkk..Niz je dobio ime po italijanskom matematiNiz je dobio ime po italijanskom matematiččaru Leonardu Fibonacciaru Leonardu Fibonacci--ju (1170.ju (1170.--1250), u 1250), u ččijoj knjizi Liber Abaci se ovaj niz prvi put spominje u zapadnoijoj knjizi Liber Abaci se ovaj niz prvi put spominje u zapadno--evropskoj matematici (1202. godine).evropskoj matematici (1202. godine).FibonaFibonaččijev niz predstavlja jedan model prirodnog rasta i razviijev niz predstavlja jedan model prirodnog rasta i razvićća koji se svuda a koji se svuda sresrećće. Na toj osnovi je, po svemu sudee. Na toj osnovi je, po svemu sudećći, zasnovna i povezanost ovog niza sa i, zasnovna i povezanost ovog niza sa oseoseććajem skladnosti odnosno, pozitivnim estetskim sudom. Fibonaajem skladnosti odnosno, pozitivnim estetskim sudom. Fibonaččijev niz je ijev niz je simbol bujanja simbol bujanja žživota!ivota!

18/318/388

FibonaFibonaččijev niz i zlatni odnosijev niz i zlatni odnos

•• Kepler je prvi uoKepler je prvi uoččio io ččinjenicu da koliinjenicu da količčnik dva susedna nik dva susedna ččlana lana FibonaFibonaččijevog niza teijevog niza težži ka zlatnom odnosu kada indeks niza i ka zlatnom odnosu kada indeks niza beskonabeskonaččno raste: no raste: lim(Flim(Fn+1n+1/F/Fnn)= )= φφ, n, n→∞→∞

•• 3/2=1,5; 5/3=1,666... ; 8/5 =1,6; 13/8=1,625; 21/13=1,615384...;3/2=1,5; 5/3=1,666... ; 8/5 =1,6; 13/8=1,625; 21/13=1,615384...;34/21=1,619047...; 55/34=1,617647...; 89/55=1,61818...; 34/21=1,619047...; 55/34=1,617647...; 89/55=1,61818...; 144/89=1,6179775...; itd...144/89=1,6179775...; itd...

•• Ovo pokazuje da je FibonaOvo pokazuje da je Fibonaččijev niz dobra racionalna aproksimacija ijev niz dobra racionalna aproksimacija iraconalnog broja iraconalnog broja φφ. Od koli. Od količčnika dva susedna Fibonanika dva susedna Fibonaččijeva ijeva ččlana jolana jošš bolju bolju aproksimaciju zlatnog odnosa daje njihova aritmetiaproksimaciju zlatnog odnosa daje njihova aritmetiččka ili geomertrijska ka ili geomertrijska sredina.sredina.

•• FibonaFibonaččijeva i zlatna spiralaijeva i zlatna spirala::kriva linija formirana od nizakriva linija formirana od nizaččetvrtina kruetvrtina kružžnicanicaupisanih u niz kvadrata kojiupisanih u niz kvadrata kojipripadaju beskonapripadaju beskonaččnom nizunom nizuzlatnih pravougaonikazlatnih pravougaonika

19/319/388

Zlatna sprala puZlatna sprala pužžaa

20/320/388

Zlatne spirale suncokretaZlatne spirale suncokreta

21/321/388

Pokretna garaPokretna garažža motociklaa motocikla

22/322/388

Buba Buba –– spiralne konturespiralne konture

23/323/388

SpaSpačček ek –– spiralne konturespiralne konture

24/324/388

Savremeni dizajn automobila Savremeni dizajn automobila –– masovna masovna primena spiralnih konturaprimena spiralnih kontura

25/325/388

Kaciga i Kaciga i ššlem lem –– kontura Zlatne spiralekontura Zlatne spirale

26/326/388

Formiranje modela Formiranje modela -- neki univerzalni principineki univerzalni principi

Principi zasnovani na nekim geometrijski Principi zasnovani na nekim geometrijski transformacijamatransformacijama::

SimetrijSimetrijaaHomotetijaHomotetija, , slisliččnostnost,, proporcijaproporcija i podudarnosti podudarnostFraktali Fraktali ……

Ostali principiOstali principi::PrPravilo 80/20avilo 80/20Okamova britvaOkamova britvaHijerarhije korisniHijerarhije korisniččkih kih

potreba potreba ……

27/327/388

Ravanska simetrija u prirodiRavanska simetrija u prirodi

28/328/388

Centralna simetrijaCentralna simetrija

29/329/388

Osna simetrija turbineOsna simetrija turbine

30/330/388

Frontalna simetrijaFrontalna simetrija

31/331/388

Principi sliPrincipi sliččnosti i podudarnostinosti i podudarnosti

Osnovna ali i najvažnija primena principa SLIČNOSTI i PODUDARNOSTIu dizajnu svih mašinskih proizvoda jeste STANDARDIZACIJA!

Potreba za standardizacijom i klasifikacijom(na osnovu simetrije i sličnosti)

32/332/388

SliSliččnost funkcije i oblika nost funkcije i oblika –– standardizacija standardizacija kotrljajnih lekotrljajnih ležžajevaajeva

33/333/388

SliSliččnost funkcije i oblika nost funkcije i oblika –– standardizacija standardizacija kotrljajnih lekotrljajnih ležžajevaajeva

34/334/388

Simetrija i sliSimetrija i sliččnost kod zupnost kod zupččanikaanika

35/335/388

Pravilo 80/20Pravilo 80/20Pravilo tvrdi: u kompleksnim sistemima, ~80% efekata realizovano je sa ~20% funkcija. (konkretni procenti nisu bitni; reč je o simboličkoj predstavi)

Drugim rečima: najveći deo učinka sistem ostvarije dejstvom malog broja najznačajnijih funkcija. Ostale funkcije imaju tek neznatan uticaj na ukupnu efikasnost sistema.

Pravilo 80/20 se odnosi na rad velikih sistema, počev od složenih proizvoda za svakodnevnu upotrebu, preko različitih elektro-mašinska postrojenja, pa sve do kompleksnih kompjuterskih sistema i njihovih programskih aplikacija. Univerzalno je prisutna, gotovo bez izuzetaka! Iz tih razloga ona ima prvorazrednu ulogu u izboru optimalnih strategija modeliranja i dizajniranja proizvoda.

36/336/388

Pravilo 80/20Pravilo 80/20Primeri:Primeri:

• ~80% od ukupnog broja fotografija snimljeno je sa ~20% funkcija foto-aparata.

• ~80% upotrebnih vrednosti mobilnog telefona počiva na ~20% od ukupnog broja ugrađenih funkcija.

• ~80% svojstava 3D solid-modela generisano je sa ~20% operacija aplikacije Catia (SolidWorks i sl.)

• ~80% funkcionalnosti bilo koje kompjuterske aplikacije realizuje se sa ~20% ukupnog broja ponuđenih funkcija korisničkog interfejsa.

• ~80% inovacija kreira ~20% ljudi.• ~80% ukupnog učinka u proizvodnji realizovano je sa ~20% uloženog

truda.• ~80% od ukupnog broja otkaza nekog uređaja izazvala je neispravnost

~20% ukupnog broja njegovih komponenata.• Itd...

37/337/388

Pravilo 80/20 Pravilo 80/20 –– znaznaččaj u primeniaj u primeni

Strategija izbora funkcija i optimizacijeStrategija izbora funkcija i optimizacije

Od svih mogućih funkcija koje jedan proizvod može potencijalno da obavlja, konstruktor (dizajner, projektant) vrši izbor na primarne i sekundarne, po pravilu 80/20. Broj primarnih funkcijane treba da premaši 20% od ukupnog broja predviđenih. Ako je potrebno vršiti optimizaciju, fokusiraju se prevashodno tih 20% primarnih funkcija. Nihovom optimizacijom se postiže ~80% povećanja evikasnosti uz ~20% alteracija!Optimizacija sekundarnih funkcija nije celishodna jer ima slab učinak na ukupnu efikasnost proizvoda. (~80% poboljšanja ima će učinak od samo ~20%!)

38/338/388

Modeli koji se koriste u dizajnuModeli koji se koriste u dizajnu

hand sketches plastilin models drawings

CAD models FEM models fast prototyping