第二十二讲第七章 第二节
窗函数法设计 FIR 滤波
学习目标
理解窗函数法设计 FIR 滤波器的思路 了解吉布斯效应 了解各种窗函数 掌握窗函数的设计方法
窗函数法设计 FIR 滤波的思想 一般是先给所要求的理想的滤波器的频率响
应 ,要求设计一个 FIR 滤波器频率响应 来逼近 。但是设计是在时域进行的,因而先由 的傅立叶变换导出 ,即
但一般情况下, 是逐段恒定,在边界频率处有不连续点,因而 是无限时宽的,且是非因果序列, 而我们要设计的是 FIR 滤波器,其 必然是有限长的,这时我们只有将 截取一段,用一个有限长度线 性相位滤波 器逼近无限长的 , 并保证截取的一段对 对称。设截取的一段用 表示。
即 是一个矩形序列,长度为 。
1 、设计思路分析1
0
( ) ( ) ( )N
j j n jd
n
H e h n e H e
1( )
2j j n
d dh n H e e d
( ) ( ) ( )N dh n w n h n
逼近误差取决于窗函数序列 w(n) :要选择合适的形状和长度
理想滤波器的频响
冲激响应无限长且非因果,物理
无法实现
)()( jd
j eHeH 逼近设计思想是用
以低通滤波器为例讨论:
线性相位理想低通滤波器的频率响应:
( )0 ,
jj c c
d
c c
eH e
1 sin[ ( )]( )
2 ( )
c
c
j j n c cd
c
nh n e e d
n
其理想单位抽样响应:
中心点为 的偶对称无限长非因果序列
线性相位理想低通滤波器及矩形窗函数的频率响应图解
矩形窗谱的特点, N 越大主瓣越窄,波动越密。
实现过程如图所示
以上就是用窗函数法设计 FIR 滤波器的思路。
取矩形窗: ( ) ( )Nw n R n
1sin
20 1
12
0
cc
c
Nn
n Nh n N
n
n
其它
( ) 0 1( ) ( ) ( )
0d
d
h n n Nh n h n w n
n
其它
则 FIR 滤波器的单位抽样响应:
1
2
N 按第一类线性相位条件,得
sin[ ( )]( )
( )c c
dc
nh n
n
2. 窗函数设计法的数学描述 :
加窗处理后对理想频率响应的影响:
时域乘积相当于频域卷积
1( )
2jj j
d NH e H e R e d
112
0
sin2( ) ( )
sin2
NN jj j nN N
n
N
R e R n e e
而矩形窗的频率响应:
( ) ( ) ( )dh n h n w n
sin2 ( )
sin2
N
N
R
其幅度函数: 相位函数
(0) ( )NH R 近似于 的全部积分面积
( ) 0.5 (0)cH H
2cH
N
为最大值,正肩峰
2cH
N
为最小值,负肩峰
( )H 随 , 绕零值波动
( ) (0)H H 随 , 绕 波动
0
c
2c N
2c N
2c N
2c N
1( ) ( ) ( )
2 d NH H R d
结论: 加窗处理对理想矩形频率响应产生以下几点影响。( 1 )使理想频率特性不连续点处边沿加宽,形成一个
过渡带,过渡带宽等于窗的频率响应 的主瓣宽度 。
( 2 )带内增加了波动,最大的峰值在 处。阻带内产生了余振,最大的负峰在 处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 波动愈快(加大时),通带、阻带内波动愈快, 旁瓣的大小直接影响 波动的大小。
吉布斯( Gibbs )效应
改变截取长度 N ,只能改变窗谱的主瓣宽度、 的坐标比例以及改变 的绝对值大小,但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。这个比例是由窗函数的形状来决定的。
上述用矩形窗加窗后频域的变化称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性,阻带内的波动影响阻带内的衰减,可能使最小衰减不满足技术要求。一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。
?:如何减少吉布斯效应的影响
H
降低吉布斯效应对窗函数的要求从以上讨论可看出,一般希望窗函数满足两项要求:( 1 )窗谱主瓣尽可能的窄,以获得较陡的过渡带。
(措施:加大窗长即增加 N )( 2 )尽量减小窗谱的最大旁瓣的幅度,也就是能量尽
量集中在主瓣,这样使肩峰和波纹减小,可以增大阻带的衰减。
(措施:选择合适的窗函数)
下面介绍各种常用的窗函数:
( ) ( )Nw n R n
( 1 )矩形窗 (Rectangle Window)
4
N
主瓣宽度最窄 ,旁瓣幅度大。
11
2
0
( ) ( )NN jj j n
R Rn
W e w n e W e
窗谱:
sin2( )
sin2
R
N
W
幅度函数:
特点:
3. 各种常用的窗函数
( 2 )三角形窗 (Bartlett Window)2 1
01 2( )
2 12 1
1 2
n Nn
Nw nn N
n NN
8
N
主瓣宽度宽 ,旁瓣幅度较小。
1
2( )N
jjW e W e
窗谱:
2
sin2 4( )sin
2
N
WN
幅度函数:
1N
特点:
( 3 )汉宁 (Hanning) 窗——升余弦窗
1 2( ) 1 cos ( )
2 1 N
nw n R n
N
8
N
主瓣宽度宽 ,旁瓣幅度小。
2 2( ) 0.5 ( ) 0.25R R RW W W W
N N
幅度函数: 1N
特点:
( 4 )哈明 (Hamming) 窗——改进的升余弦窗
2( ) 0.54 0.46cos ( )
1 N
nw n R n
N
8
N
主瓣宽度宽: ,旁瓣幅度更小。
2 2( ) 0.54 ( ) 0.23R R RW W W W
N N
幅度函数: 1N
特点 :
( 5 )布莱克曼( Blackman )窗——(二阶升余弦窗)
2 4( ) 0.42 0.5cos 0.08cos ( )
1 1 N
n nw n R n
N N
12
N
主瓣宽度最宽: ,旁瓣幅度最小。
2 2( ) 0.42 ( ) 0.25R R RW W W W
N N
4 4
0.04 R RW WN N
幅度函数: 1N
特点 :
(6) 凯塞—贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
:第一类变形零阶 贝塞尔函数
0 ( )I
改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度
旁瓣幅度
但主瓣宽度
五种窗函数的波形
( a )矩形窗;( b )巴特利特窗(三角形窗);( c )汉宁窗;
( d )哈明窗;( e )布莱克曼窗
五种窗函数的幅度特性
N
c
理想低通加不同类型窗后频谱幅度特性比较
= 51 ,
= 0.5
)
N
c
= 51 ,
= 0.5
)
( a )矩形窗;( b )巴特利特窗(三角形窗);( c )汉宁窗;( d )哈明窗;( e )布莱克曼窗
六种窗函数的基本参数
此表是设计过程中选择的主要依据!
4 、窗函数法的设计步骤
1) 给定理想的频率响应函数及技术指标
( )jdH e
2 ,
2) 求出理想的单位抽样响应 ( )dh n
3) 根据阻带衰减选择窗函数 ( )w n
6) 计算频率响应 ,验算指标是否满足要求( )jH e
/N A 4) 根据过渡带宽度确定 N 值
( ) ( ) ( )dh n h n w n 5) 求所设计的 FIR 滤波器的单位抽样响应
公式法:
( )jdH e ( )dh n
, ( ) ( )d MM N h n h n当 时
IFFT 法:
1( )
2j j n
d dh n H e e d
( ) ( )M dr
h n h n rM
计算其 IFFT ,得:
对 M 点等间隔抽样:( )jdH e
2
( )j k
MdH e
由 的方法
例 7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR 低通滤波器,设 N=11,ωc=0.2πrad 。
解 用理想低通作为逼近滤波器
sin( ( ))( ) ,0 10
( )
1( 1) 5
2sin(0.2 ( 5))
( ) ,0 10( 5)
cd
d
nh n n
n
N
nh n n
n
用汉宁窗设计:( ) ( ) ( ),0 10
2( ) 0.5(1 cos )
10
d Hn
Hn
h n h n n n
nn
用布莱克曼窗设计:
11
( ) ( ) ( )
2 2( ) (0.42 0.5cos 0.08cos ) ( )
10 10
d Bl
Bl
h n h n n
n nn R n
图 7.2.7 例 7.2.1 的低通幅度特性
/ 2 / 0.2p p s p sf
/ 2 / 0.4st st s st sf
2 50dB
解:1 )求数字频率
补充例题:设计一个线性相位 FIR 低通滤波器,给定抽样频率为 ,42 1.5 10 ( / sec)s rad
32 1.5 10 ( / sec)p rad 通带截止频率为 ,32 3 10 ( / sec)st rad 阻带起始频率为 ,
阻带衰减不小于 -50dB ,幅度特性如图所示
2 )求 hd(n)
( )0 ,
jj c c
d
c c
eH e
cc
sf
( )1 1( )
2 2
c
c
j j n j ndh n e e d e d
1sin[ ( )]
( ) c
c
n nn
n
1
2
N
1/ 22 0.3
p st
s
2( ) 0.54 0.46cos ( )
1 N
nw n R n
N
2 0.2st p
s
6.633
0.2
AN
116
2
N
4 )确定 N 值
2 50dB 3 )选择窗函数:由 确定海明窗( -53dB )
6.6
N
海明窗带宽:
5 )确定 FIR 滤波器的 h(n)
( ) ( ) ( )dh n h n w n
33
sin 0.3 160.54 0.46cos ( )
16 16
n nR n
n
6 )求 ,验证( )jH e
若不满足,则改变 N或窗形状重新设计
窗函数算法计算中的主要问题:( 1 )当 很复杂或不能直接计算积分时,则
必须用求和代替积分,以便在计算机上计算。( 2 )窗函数设计法的另一个困难就是需要预先
确定窗函数的形状和窗序列的点数 ,以满足给定的频率响应指标。这一困难可利用计算机采用累试法加以解决。
窗函数法的优点是简单,有闭合形式的公式可循,因而很实用。缺点是通带、阻带的截止频率不易控制。