جدل املعرفة من خالل تطورالفكر الرياضي )إجناز : البشري هواري ؛ مفتش تربوي ملادة الرياضيات (

C-176

F.Engels Anti-Duhring

1877

فإ

D

D

Algèbre de Boole

Les Tenseurs

Espaces de Hilbert La

mécanique quantique

EnglesProcessus

dialectique

Duhring

(D) .

Anti-Duhring(a)

(-a)(-a)(-a)

(a)(+a)

(-a)

calcul infinitésimal

(X)différencielle infinitésimale

(dx) L’intégrale،

B-251. :b-a

-a+b

Descartes

.

Newton et Leibnitz

B-526

complémentaires

G.Cantor.

.

Points singuliers

: Ph.Gilbert

K.Weirstrass2781

F-60

Cauchy

B.Reimann

intégrables au sens de Reimann

integrables au sens de Lesbegue

(domestication de l’infini

(D).

41A

A-42.

--

C-33

ي

(C-42)

وبعبارة أخرى ف ننا نطبق مبدأ " نفي النفي " الذي هو من أهم مبادئ المنطق

الكتيكي وفيما يلي أمثلة على ذلك :الدي

يمكن تعريف العدد الطبيعي )الموجب( انطالقا من العد )أي : إنشاء األعداد النسبية .1

. إال أن الطرح ليس التعداد أو اإلحصاء ( . فهو يسمح بتعريف الجمع والطرح

ع ولذا فنحن مطالبون بتوسي دائما ممكنا في مجموعة األعداد الطبيعية الموجبة (.

هذه المجموعة وبإدراج األعداد السالبة والصفر. وبذلك نكون قد توصلنا إلى إنشاء

مجموعة األعداد النسبية حيث عمليتا الجمع والطرح ممكنتان دائما ، غير أن

الخاصية األولية التي تتمتع بها األعداد الطبيعية ، أال وهي العد واألحصاء ، يكون

فلم يعد من الممكن االستعانة باألعداد السالبة " قد تم افتقادها على العموم ،

إلحصاء األشياء" . وهكذا ، فألجل صيانة خاصية الطرح تم افتقاد خاصية العد .

، في القرن Cauchyلقد اهتم الرياضي األلماني كوشي إنشاء األعداد الحقيقية : .2

التناقضات التاسع عشر ، بتأسيس التحليل الرياضي على قاعدة صلبة تنتفي معها تلك

التي بدأت تظهر في الميدان الرياضي ويعود معها لالستدالالت الرياضية تماسكها

والذي يعتبر "الدعامة ويقينها. وقد أسس أعماله واكتشافاته على مفهوم "االتصال "

ظهر مفهوم 1782سنة Mérayالوحيدة لجميع االستدالالت" .. وبمساعدة ميراي

أي المتتاليات التي لها نهايات حقيقية . Suites convergentesالمتتاليات المتقاربة

. وهذه وقد بقيت النتيجة التي تقول: "لكل متتالية لكوشي من األعداد الجذرية نهاية

النهاية هي عدد جدري" صحيحة و مقبولة إلى أن تم اكتشاف متتالية لكوشي من

عنذئذ لم يعد بمقدور الرياضيات أن .. األعداد الجدرية التقبل أي عدد جذري كنهاية

تتطور وأن تتقدم إال بتجاوز )أي بنفي( مفهوم العدد الجدري.

" بعدد ال ويعني هذا، افتراض أن متتالية كوشي السابقة تقبل نهاية ستسمى فيما بعد

ألن كل ما نعرفه على هذه النهاية هو أنها ال جذرية .. وبعد نفي مفهوم ، جدري"

الجذري ، يجب نفي هذا النفي . ولهذا يتم منح األعداد الالجذرية )الجديدة( العدد

. أي خاصيات الجمع والضرب والتي منها التبادلية خاصيات النهايات الجذرية

والتجمعية والتوزيعية ..إلخ .

وهكذا ، ف ن اعتبار المتتاليات الجدرية أدى إلى إدخال األعداد الالجذرية، والعكس

لعكس ف ن ادخال األعداد الالجدرية يسمح ب تمام نظرية المتتاليات المتقاربة وبالتالي با

اعتبار متتاليات ذات حدود جدرية أو ال جذرية.

إن محاوالت بعض علماء الرياضيات : (Complxes)إنشاء األعداد العقدية .3

عادلة ( إليجاد صيغ لحلول أية م H .Cardanو Huddeو Tartaglieأمثال (

من الدرجة الثالثة ، أدت إلى اكتشاف تناقض صارخ ) ال يمكن شرحه هنا ألسباب

تقنية ( . وكان من الممكن اعتبار أن هذا التناقض ، يكمن في الطريقة المتبعة لحل

هذه المعادالت ، وليس في طبيعة األشياء التي تستعمل في الحساب .غير أن

م يكن في الطريقة المستعملة هذا التناقض ل التطور المستقبلي للرياضيات بين أن

كان في طبيعة األشياء نفسها. ولكنه

وهكذا تابع الرياضيون حساباتهم بتطبيق نفس القواعد الخاصة بألعداد الحقيقية

دون التوقف عند كون الجذر التربيعي لعدد سالب ال يحمل أي داللة وال معنى له ،

إلى صيغ على شكل متساويات يتكون H. Cardan et R.Bomdelliفتوصل

أحد طرفيها من كميات متخيلة ) ال معنى لها في الحياة العامة ( والطرف اآلخر

Huyghensصديقه G.leibinitzمن كمية حقيقية ..وفي القرن السابع عشر نبه

إلى صيغة رياضية من نفس النوع.

لحساب على بعض الكمياتومن المالحظ ، أو قل من الغريب في األمر ، أن ا

"المتخيلة " يؤدي إلى نتائج واقعية وصحيحة ومضبوطة . وهذا ما أدى

بالرياضيين إلى محاولة تعميم مفهوم العدد الحقيقي ، بتطبيق الطريقة الديالكتيكية

اآلنفة الذكر والتي أدت إلى اكتشاف األعداد النسبية واألعداد الجذرية أيضا. وذلك

معنى للصيغ الرياضية التي تحتوي على جدر وتربيعية ألعداد سالبة يمنح داللة و

، أي يتجاوز ذلك التناقض ونفيه... وبعدها يتم نفي هذا النفي ، وذلك بتطبيق نفس

وهكذا تم ...قواعد الحساب الخاصة باألعداد الحقيقية على هذه األعداد الجديدة

األعداد التخيلية" والتي ماهي "ارت أو كما يقول ديك، التوصل إلى األعداد العقدية

إال تركيب حقيقي وصحيح ألنها تضم في نفس الوقت األعداد الحقيقية ...وبهذا

أصبح لكل عدد حقيقي، موجبا كان أم سالبا ، جدران مربعان وثالثة جذور

جذر نوني على العموم .. ومن هنا أيضا المبرهنة المشهورة : "كل nمكعبة...و

من الحلول )حقيقية أو تخيلية ، متساوية nتتوفر على n ن الدرجة معادلة جبرية م

أو متمايزة(.

ورغم أن لألعداد العقدية تطبيقات مهمة من الجبر والهندسة )نظرية الدوال

التحليلية لكوشي( ، فإن إدخالها في مجال الحساب قد اصطدم ببعض الرفض

ظرية األعداد العقدية ن Hamltonوالمعارضة، وخاصة عندما قدم هاملتون

فقد طلب منه مؤكدا على بقاء وثبات قواعد تبادلية وتجميعية الجمع والضرب .

البعض سبب التأكيد على هذا الثبات، وقد كان باإلمكان مالحظة نفس الشيء

بالنسبة لألعداد الجذرية والحقيقية ، ذلك ألن األعداد الجذرية تصلح للقسمة

والزمان مثال بينما األعداد العقدية تمتاز بأنه إبداع خالص وبالتالي لقياس األطول

في الكون .

تسهل -بكون تطبيقاتها محسوسة وملموسة -وهكذا، فبينما األعداد الحقيقية

استيعاب الميزة الجدلية الكامنة وراء اكتشافها . فإنه بالعكس ، ففهم الميزة

ية ،هو الذي يمكنه أن يسهل استيعاب الديالكتيكية لسيرورة اكتشاف األعداد العقد

هذه األعداد وتطبيقاتها .

لقد كان التساؤل المطروح بعد اكتشاف األعداد العقدية هو : " هل تم الوصول

R. Weirstrassإلى حد تعميم مفهوم العدد؟ " وذلك قبل أن يأتي ويرستراس

إذا ما أريد على أنه اليمكن الحصول على أعداد أخرى 1783ليبرهن سنة

االحتفاظ لعمليتي الجمع والطرح بنفس الخاصيات التي تتميز بها مجموعات

. وبالتالي فإن نفي مفهوم العدد العقدي يشترط نفي األعداد األخرى المعروفة

إحدى خاصيات عمليتي الجمع والضرب على األقل . وفعال فقد أسس هاملتون بعد

لخاصيات وذلك بتجاوزه )بنفيه( quaternions ذلك نظرية األعداد الرباعية

تبادلية الضرب.

)أو األعداد المتجاوزة Nombres transfinis إنشاء األعداد الموغلة.4

Euclideلقد اكتشف الرياضيون عدم صحة مسلمة أقليدس لألعدادالالمتناهية (:

( الذي 1684/1842"الكل أكبر من أي جزء من أجزائه" وخاصة مع جاليلي )

م صحة هذه المسلمة بالنسبة للمجموعات الالمتناهية ، إذ قال بأن قطعة أظهر عد

( التتضمن أكثر مما تتضمنه قطعة أصغر من النقط .. وهذا un segmemtما )

معناه عدم إمكانية إجراء العمليات الحسابية )المعتادة ( في المجموعات

تضمنه مجموعة األعداد الالمتناهية. فمجموعة األعداد الطبيعية التتضمن أقل مما ت

النسبية من العناصر رغم أن هذه الثانية تتضمن األولى وبالقطع. وألجل تجاوز

التناقضات التي من هذا النوع ، كان من الضروري إدراج أعداد جديدة ستسمى

فيما بعد باألعداد الالمتناهية إلى جانب األعداد المتناهية . وكان أول من فكر في

الذي استعان بالمبدأ الديالكتيكي "نفي النفي" G.cantorور هذا هو جورج كانت

ليتقدم بالرياضيات خطوات إلى األمام فيتجاوز المتناهي ) أي نفي األعداد

الطبيعية( تم إدراج األعداد الالمتناهية وبتجاوزهذه األخيرة )نفي ماهيتها وتطبيق

ا( تم إثبات صالحيتها ..وحتى العمليات الحسابية التي تقبلها األعداد المتناهية عليه

ال أدخل في تفاصيل يضيق المجال لشرحها هنا ، وهي تخص متسلسالت فوريي

Séries de Fourier والمجموعات المشتقة من مجموعة ما ، التي انطالقا منها

استطاع جورج كانتور أن يحدد مفهوم األعداد الموغلة )المتجاوزة لالنهائي(

: إن متتالية األعداد ريقة بإيجازوينوع من التبسيطسأحاول توضيح هذه الط

إلى أي عدد محدد سابقا L’unitéالطبيعية ترتكز أساسا على عملية إضافة الوحدة

.....إلى ماالنهاية. وهي "أعداد من الصنف 1،2،3،4، وانطالقا من الواحد سنجد

لسلسلة تسمى األول" كما سماها الرياضيون. والطريقة التي تم بها تكوين هده ا

، فبنفي هذا المبدأ Premier Principe de Formationالمبدأ األول لإلنشاء

Laسيحد هذه السلسلة )أي سيكبرها Wاعتبر كانتور أن هناك عدد ، األول

majorer ( ثم يقوم بنفي آخر ) أي يتجاوز هذا الكابر( ويطبق عليه " المبدأ األول

W,1+W,W+2..… خير إلى السلسلة(، ويخلص في األW ىلإلنشاء" )أي عل

إلى ماالنهاية. وهذه أعداد تسمى "أعدادا من الصنف الثاني " والطريقة التي تم

باألعداد سميت هذه األعداد بها تكوينها تسمى "المبدأ الثاني لإلنشاء"..وهكذا

.( F - 82الموغلة )ص

مجال " العدد" فقط ، وختاما، أود أن أشير إلى أنني اخترت هذه األمثلة من

نظرا ألنها أسهل وأبسط وأقرب إلى ذهن القارئ ..فهناك مجاالت متعددة يتبلور

فيها المنهج الديالكتيكي ، وأخص بالذكر منها مجال الهندسة . فالهندسات

الالأوقليدية المتعددة نشأت في األصل انطالقا من نفي )وتجاوز( المسلمة الخامسة

بطرق متعددة ) نفي لوباتشفسكي ، متوازيان ال يلتقيان أبدا "" مستقيمان ألوقليس

نفي ريمان ...إلخ (.

: المراجع المتعددة

(A )– المبادئ والمسائل –ز. أرودجيف ، "المنطق الديالكتيكي –ف . كومين

.1181األساسية" ترجمة وتقديم الدكتور أحمد قسيم برقاوي ، دار دمشق ،

(Bفريدريك إ ) نجلز. " ديالكتيك الطبيعة "، ترجمة د. توفيق سلوم، دار الفرابي

. 1177بيروت لبنان

(C ، "د. محمد عابد الجابري. "تطور الفكر الرياضي والعقالنية المعاصرة )

. 1188دار النشر المغربية

(D) - J. Dhombres ; « Nombre ,mesure et Episténologi- continue

et histoire »,Publication de L’IREM de Cedic / Natures –

Fernand, Nathan Pris 1978 .

(E)-Amtat Mohammed , leçons de Mathématiques , Centre

National de Formation des Inspecteurs ; Rabat 1990

(F) -A. Delachet . « L’analyse Mathematique », que sais-je 378 ,

1977.