www.tanbachkhoa.edu.vn

Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn VinhThời gian làm bài: 90 phút.Hình thức thi: Tự luận.Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm.

Đề luyện tập số 11.Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 2 2 2x y z y+ + ≤ , 2 2y x z≥ + .

Câu 2. Trên mặt phẳng 2 0x y z+ − = tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng 3 6 0x z+ − = và 3 2 0y z+ − = là nhỏ nhất.

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 3 21

(3 1)!

1 2 5n

n

n

∞

=

−∑

⋅ ⋅⋅⋅ ⋅

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2

1

( 5) ( 2)

3 (2 1) 2

n n

nn

x

n n

∞

=

− ++ +∑

Câu 5. Tính tích phân kép 2

DI y x dxdy= −∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới

hạn bởi 1 1,0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Câu 6. Tính tích phân bội ba ( )V

I y z dxdydz= +∫∫∫ , trong đó V là vật thể được giới hạn

bởi 2 2 2 2 2 2, 4, 2z x y x y z x y= + + = = + + .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai (2 )S

I x y dydz= +∫∫ , với S là phần mặt 2 2z x y= + bị

cắt bởi mặt 4z = , phía trên theo hướng trục Oz.

Đề luyện tập số 12.Câu 1. Tính ' (1,1)xf của hàm 2 2( , ) 2 4f x y x y= + − − và biểu diễn hình học của đạo

hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến.Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 3 3( , ) 3f x y x y xy= + − trên miền 0 2, 1 2x y≤ ≤ − ≤ ≤

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: 1

( 1)

1

n

nn n

∞

=

−∑

+

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 31

(2 1)( 3)

3 ln

n

n

n x

n n n

∞

=

+ −∑

+ ⋅

Câu 5. Tính tích phân kép max ,D

I x y dxdy= ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi 0 4,0 4x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Câu 6. Tính tích phân bội ba V

I xdxdydz= ∫∫∫ , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi

2 2 2 2 20, 4x y z x y z+ + ≤ + + ≤ .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3

SI x dydz y dxdz z dxdy= + +∫∫ với S là mặt phía

ngoài của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ,0 1x z y y+ ≤ ≤ ≤ .

Đề luyện tập số 13.Câu 1. Tính ' (0,1)yf của hàm 2 2( , ) 3 2f x y x y= − − và biểu diễn hình học của đạo hàm

riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) xyz x y e= + trên miền 2 1x y− ≤ + ≤ .

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1

( 1)

( 1)

n

nn n

∞

=

−∑

+ −

Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của 2

2 3( )

5 6

xf x

x x

+=− +

, tại 0 1x = và tìm miền hội tụ của chuỗi

này.

Câu 5. Tính tích phân kép D

I xy dxdy= ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

2 21 4.x y≤ + ≤

Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi ( ) 22 2 2 , , 0 ( 0) x y xy z x y z x+ = = + = > .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2S

I xds= ∫∫ với S là phần mặt phẳng 2x y z+ + =

nằm trong hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = .

Đề luyện tập số 14.Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 24 , 1 , 0, 2y x y x z z x≤ − ≥ − ≥ ≤ .

Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 212m bìa carton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này.

Câu 3. Tính tổng 1

1

( 1)( 2)nS

n n n

∞

== ∑

+ +

Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của 40

( )1

x dtf x

t= ∫

− và tìm miền hội tụ của chuỗi này.

Câu 5. Tính tích phân Dydxdy∫∫ với D là miền

2 22 21, 1.

16 9

x yx y+ ≤ + ≥

Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 18x y z+ + = nằm trong hình nón 2 2 2x y z+ = .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một S

I yds= ∫∫ , với S là phần mặt trụ 2 2 4x y+ = nằm

giữa hai mặt phẳng 0, 3z z= = .

Đề luyện tập số 15.

Câu 1. Cho 2(3 , )xyf f x y e= + . Tính 2

,f f

x x y

∂ ∂∂ ∂ ∂

.

Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón 2 2 2z x y= + , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0).

Câu 3. Tính tổng 1

2 3

5nn

n∞

=

+∑

Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm 3

( ) arctan3

xf x

x

+=−

và tìm bán kính hội tụ của

chuỗi này.

Câu 5. Tính tích phân max sin ,sinD

x y dxdy∫∫ với D là miền 0 ,0 .x yπ π≤ ≤ ≤ ≤

Câu 6. Tính tích phân đường ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2C

I y z dx z x dy x y dz= + + + + +∫Ñ , với C là

giao của mặt phẳng 1x y z+ + = và mặt cầu 2 2 42x y z+ + = ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai S

I zdxdy= ∫∫ với S là nửa mặt cầu 2 2 92x y z+ + = ,

phần 0y ≥ , phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy).

Đề luyện tập số 16.

Câu 1. Cho 3 2( , ) arctan , ( , ) 2 , ( , ) 2u

f f u v u u x y x y v v x y x yv

= = = = + = = + . Tính

2 f

x y

∂∂ ∂

.

Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng 2 3 6x y z+ + = . Tìm thể tích lớn nhất.

Câu 3. Tính tổng 11

( 2)

( 2) 7

n

nn n n

∞

+=

−∑

+ ⋅

Câu 4. Tìm chuỗi lũy thừa của hàm ( )2( ) ln 1f x x x= + + và tìm bán kính hội tụ của

chuỗi này.

Câu 5. Tính tích phân kép 2 2

16 9D

x yI dxdy

= + ∫∫

, trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi [ ]0, 0, 4sin , 3cos , 0, / 2x y x t y t t π= = = = ∈ .

Câu 6. Tính tích phân đường 3 2C

I zdx xdy ydz= + +∫Ñ , với C là giao của mặt phẳng

2x z+ = và mặt cầu 2 42x y+ = theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3

SI x dydz y dzdx= +∫∫ , với S là mặt ngoài của nửa

trên ellipsoid ( )2 2

2 1, 016 9

x z

y z+ + = ≥ .

Đề luyện tập số 17.

Câu 1. Cho ( )23( , ) ln 3f x y y x y= + + . Tìm (0,0), (0,0)f f

x y

∂ ∂∂ ∂ .

Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 3 3( , ) ; 16xyf x y e x y= + = .

Câu 3. Tính tổng 1

( 1)

2 4 6 (2 )n

n

n

∞

=

−∑

⋅ ⋅ LCâu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính

0 1x

xdx

e

+∞∫

+

Câu 5. Tính tích phân ( )2 2

02sign x y dxdy− +∫∫ với D 0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Câu 6. Tính tích phân đường ( ) ( ) ( )2 2 2

CI y z dx z x dy x y dz= + + + + +∫Ñ , với C là giao

của mặt nón 22y z x+ = và mặt cầu 2 2 42x y z+ + = ngược chiều kim đồng hồ theo

hướng trục Ox.

.Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3

SI x dydz y dzdx z dxdy= + +∫∫ , với S là mặt trong

của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 21 4,x y z y x z≤ + + ≤ ≥ + .

Đề luyện tập số 18.

Câu 1. Cho

2 2

2 2, ( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

x yxy x y

f x y x y

x y

− ≠= + =

. Tìm

2 2 2 2

2 2(0,0), (0,0), (0,0), (0,0)f f f f

y x x yx y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

.

Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , ) 4 6f x y x y= + với điều kiện 2 2 13x y+ = .

Câu 3. Tính tổng 1

( 2)

3 1 3 5 (2 1)

n

nn

Sn

∞

=

−= ∑⋅ ⋅ ⋅ +L

Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1

0

1ln

1dxx

∫ −Câu 5. Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 23 1, 0,x y y y x+ ≤ ≥ ≥ .

Câu 6. Tính tích phân ( ) ( )3 2xy xy

CI x ye dx y xe dy= + + +∫ , trong đó C là phần elip

2 2

116 9

x y+ = từ điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ.

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3( 1) 3 5

SI x dydz ydzdx zdxdy= − + +∫∫ , với S là mặt

ngoài của nửa dưới mặt cầu 2 2 2 , 02x y z x z+ + = ≤ .

Đề luyện tập số 19.Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 2 24 , 2 , 2z x x y y x y z= + + = + + = .

Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 6 10f x y z x y z= + + với điều kiện 2 2 2 35x y z+ + = .

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2

1

( 1)nn n n

∞

=∑

+ −

Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của 0

ln(1 3 )( )

x tf x dt

t

+= ∫ và tìm bán kính hội tụ của chuỗi

này.

Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 22 6 , 3, 0x x y x y x y x≤ + ≤ ≤ + ≥ .

Câu 6. Tính tích phân đường 2

CI y dl= ∫ , C là cung Cycloid

( sin ), (1 cos ),0 2x a t t y a t t π= − = − ≤ ≤ .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 2

SI z dxdy= ∫∫ , S là mặt trong của nửa mặt cầu

( ) ( )2 2 21 2 4, 0x y z z− + − + = ≥ .

Đề luyện tập số 20.Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm ( , )z z x y= là hàm ẩn xác định từ phương trình

zx y z e+ + = .

Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 3f x y z x y z= + + với hai điều kiện 1x y z− + = và 2 2 1x y+ = .

Câu 3. Tính tổng ( ) 221

2 1

1n

n

n n

∞

=

−∑

+

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ( ) 1 2

1

1 ( 2)

1

n n

n

x

n n

−∞

=

− +∑

+ +

Câu 5. Tính tích phân kép ( )D

I x y dxdy= −∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới

hạn bởi đường astroid 3 3cos , sin ,0 / 2x a t y a t t π= = ≤ ≤ , và các trục tọa độ.

Câu 6. Tính tích phân đường loại một ( )C

I x y dl= +∫ , C là cung bên phải của đường

Lemniscate có phương trình trong tọa độ cực 2 2 cos 2 , 0 r a aϕ= > .

Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai S

I yzdydz zxdxdz xydxdy= + +∫∫ , với S là biên của vật

thể giới hạn bởi 1, 0, 0, 0x y z x y z+ + ≤ ≥ ≥ ≥ , định hướng phía trong.