บทที่ 3ความนาจะเปน

(40 ชั่วโมง)

ตามประวัติศาสตร การหาความนาจะเปนเริ่มมาจากปญหาการไดเปรียบเสียเปรียบในการพนัน การศึกษาเรื่องนี้จะชวยใหผูเรียนสามารถคาดเหตุการณลวงหนาไดอยางมีหลักเกณฑ ซึ่งจะชวยในการตัดสินใจไดอยางมาก ซึ่งบทนี้จะกลาวถึงกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม ความนาจะเปน และกฎที่สําคัญบางประการของความนาจะเปน

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง1. แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู2. นําความรูเรื่องทฤษฎีบททวินามไปใชได3. หาความนาจะเปนของเหตุการณที่กําหนดใหได

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผลการสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตรตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

115

ขอเสนอแนะ1. ในการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับหาคําตอบของโจทยปญหานั้น ควร

อานโจทยปญหาใหเขาใจวาในปญหานั้นกําหนดเงื่อนไขอะไรบาง การพิจารณาเงื่อนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกําหนดขั้นตอนในการแกปญหา ซึ่งจะชวยใหสามารถหาคําตอบไดงายขึ้น ลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี้

ปญหาที่ 1 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักโดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันไดทั้งสิ้นกี่จํานวน

วิธีคิด จากโจทยปญหาไดกําหนดเงื่อนไข 3 ขอ คือ1) ใหใชตัวเลขโดดได 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 52) จํานวนที่ตองการ เปนจํานวนที่มีสามหลัก3) ตัวเลขในแตละหลักของแตละจํานวนที่ตองการ ตองไมซ้ํากันจากเงื่อนไขทั้งสามขอนี้ตองนํามาพิจารณาประกอบการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับ

การนับ เพื่อหาวาจะเขียนจํานวนที่ตองการไดกี่จํานวน สําหรับปญหานี้ตองพิจารณาวิธีที่จะเขียนตัวเลขในหลักตาง ๆ คือ หลักหนวย หลักสิบ และหลักรอย เนื่องจากการเขียนจํานวนที่มีสามหลักนั้น หลักรอยตองไมใชตัวเลข 0 สวนหลักอื่น ๆ นั้นจะใชตัวเลขใดก็ไดใน 6 ตัวที่กําหนด การเริ่มแกปญหาจึงควรเริ่มดวยการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลขในหลักรอยเพราะมีขอจํากัดมากกวาหลักอื่น ๆ ดังนั้น วิธีหาคําตอบปญหาจึงอาจเปนดังนี้

วิธีท่ี 1 เขียนตัวเลขในหลักรอยไดตาง ๆ กัน 5 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 4 วิธีดังนั้น จากกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จํานวนที่มีสามหลักที่เขียนโดยใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมีทั้งสิ้น 5 × 5 × 4 = 100จํานวน

วิธีหาคําตอบขางตนเปนเพียงวิธีหนึ่งเทานั้น อาจหาคําตอบโดยวิธีอ่ืน ๆ ก็ไดเชน การพิจารณาโดยเริ่มจากการเขียนหลักหนวยกอน แตเนื่องจากจะมีปญหาวาเหลือ 0 อยูหรือไม จึงแยกกรณีพิจารณาดังตอไปนี้

วิธีท่ี 2 ถาเริ่มเขียนตัวเลขในหลักหนวยกอน แยกกรณีพิจารณาไดดังนี้

116

(1) หาจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธีดังนั้น จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักหนวย และใชตัวเลข0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันได 5 × 4 = 20 จํานวน

(2) หาจํานวนสามหลักที่มี 0 อยูในหลักสิบในทํานองเดียวกับขอ (1) จะไดวาจํานวนสามหลักในขอนี้มีทั้งหมด 20 จํานวน

(3) หาจํานวนสามหลักที่ไมมี 0 ปรากฏอยูเลยจะไดทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 จํานวน

จาก (1), (2) และ (3) จํานวนสามหลักที่ไดจากการใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5เขียนโดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 20 + 20 + 60 = 100 จํานวน

ปญหาที่ 2 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคี่และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันไดกี่จํานวน

วิธีคิด เงื่อนไขของปญหานี้เหมือนของปญหาที่ 1 แตเพิ่มเงื่อนไขอีกหนึ่งขอ คือ จํานวนท่ีตองการตองเปนจํานวนคี่ เงื่อนไขนี้มีผลตอจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวย

ถาเริ่มหาคําตอบโดยพิจารณาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลขในหลักรอยกอนเชนเดียวกับการพิจารณาการเขียนตัวเลขในหลักหนวยวาทําไดกี่วิธีจะมีปญหา เพราะใน 5 วิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอยนั้นมี 3 วิธี ที่ใช 1, 3 และ 5 ไปแลว ทําใหมีผลตอจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวยซึ่งใชตัวเลขที่กําหนดใหไดเพียง 3 ตัว คือ 1, 3 และ 5เทานั้น ยิ่งถาพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักสิบตอจากการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยจะทําใหการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวยมีปญหามากขึ้น

วิธีหาคําตอบของปญหานี้จึงควรพิจารณาวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวยเสียกอนแลวพิจารณาจํานวนวิธีการเขียนตัวเลขในหลักรอย จากนั้นจึงไปพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักสิบเปนอันดับสุดทาย

วิธีทํา เขียนตัวเลขในหลักหนวยไดตาง ๆ กัน 3 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธี

117

ดังนั้น ใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคี่และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน ได 4 × 4 × 3 = 48 จํานวน

ปญหาที่ 3 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันไดกี่จํานวน

วิธีคิด ปญหาที่ 3 นี้ มีเงื่อนไขเพิ่มจากปญหาที่ 1 อีกหนึ่งขอคือ จํานวนที่ตองการเปนจํานวนคู ถาพิจารณาไมรอบคอบอาจจะสรุปวาใชวิธีการในทํานองเดียวกับที่ใชในการหาคําตอบปญหาที่ 2 คือ พิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวย หลักรอยและหลักสิบ ตามลําดับ แตวิธีดังกลาวมีปญหาเพราะตัวเลขที่อาจใชในหลักหนวยมี3 ตัว คือ 0, 2 และ 4 การที่ 0 อาจถูกใชหรือไมถูกใชในการเขียนตัวเลขหลักหนวยมีผลตอการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอย การหาคําตอบจึงอาจทําไดโดยการแยกกรณีพิจารณา เมื่อใช 0 เปนหลักหนวย และเมื่อไมไดใช 0 เปนหลักหนวย ดังนี้

วิธีทํา แยกกรณีและพิจารณาดังนี้1. เมื่อใชตัวเลขในหลักหนวยเปน 0

เขยีนตัวเลขในหลักรอยได 5 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธีดังนั้น จํานวนสามที่มีหลักที่หลักหนวยเปน 0 ที่เขียนโดยใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4และ 5 โดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมี 5 × 4 = 20 จํานวน

2. เมื่อตัวเลขในหลักหนวยไมใช 0เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธีแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธีดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูที่หลักหนวยไมเปน 0 และเขียนโดยใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน มี4 × 4 × 2 = 32 จํานวนดังนั้นการใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูโดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน ได 20 + 32 = 52 จํานวน

118

หมายเหตุ 1. ถาปญหาที่ 1, 2 และ 3 เปนปญหาที่ถามตอเนื่องกันแลว การหาคําตอบปญหาที่ 3 อาจใชคําตอบปญหาที่ 1 และ 2 ชวย โดยใชคําตอบปญหาที่ 2 ลบออกจากคําตอบปญหาที่ 1 ก็ได

2. ในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนวิธี บางกรณีก็ใชเฉพาะการคูณบางกรณีก็ใชการบวก ซึ่งผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจถึงลักษณะของโจทยที่จะตองใชการคูณหรือการบวก การกระทําใด ๆ ที่ยังไมสิ้นสุดการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้น ๆ เราใชการคูณ แตถาการกระทําใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณีและแตละกรณีสิ้นสุดลงแลว ในการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้นเราใชการบวกจํานวนวิธีในแตละกรณีเขาดวยกัน ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตนที่ใหหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู เราแยกเปนจํานวนคูที่ลงทายดวย 0 ซึ่งมี 20 จํานวน ซึ่งการคํานวณหาจํานวนวิธีในกรณีนี้สิ้นสุดลงแลวและจํานวนคูที่ไมลงทายดวย 0 ซึ่งมี 32 จํานวน การคํานวณหาจํานวนวิธีในกรณีนี้ก็สิ้นสุดลงแลวเชนกัน ดังนั้น เมื่อเราตองการทราบวาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูมีกี่จํานวนเราจึงนําจํานวนวิธีที่หาไดในแตละกรณีมาบวกกัน กลาวคือ มี 20 + 32 = 52 จํานวน และจะเห็นวา ในการคํานวณหาจํานวนคูดังกลาวในแตละกรณีนั้น แตละตอนเปนการกระทําที่ตอเนื่องกัน เราจึงใชวิธีคูณดังไดกลาวแลวในกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ หลักการที่กลาวมานี้สามารถนําไปใชกับการคํานวณหาจํานวนวิธีทั้งหมดในวิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมูไดเชนเดียวกัน

3. ในการแกโจทยปญหา ผูเรียนมักจะพบปญหาวา โจทยขอนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับวิธีเรียงสับเปลี่ยนหรือวิธีจัดหมูที่เปนดังนี้อาจเปนเพราะผูเรียนไมเขาใจวาวิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมูนั้นมีความหมายตางกันอยางไร ผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจวาวิธีเรียงสับเปลี่ยนนั้นจะเกี่ยวของกับตําแหนงที่หรืออันดับที่ สวนวิธีจัดหมูนั้นไมเกี่ยวกับตําแหนงที่หรืออันดับ เชน

1) มีจุด 4 จุด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนึ่งจะลากสวนของเสนตรงผานจุด 2 จุดไดทั้งหมดกี่เสน

จะเห็นวา สวนของเสนตรงที่ลากผานจุดที่ 1 ไปยังจุดที่ 2 และสวนของเสนตรงที่ลากผานจุดที่ 2 ไปยังจุดที่ 1 เปนสวนของเสนตรงเดียวกัน จึงไมตองคํานงึถึงอันดับใดกอนหลัง การทําโจทยประเภทนี้เปนวิธีจัดหมู

ดังนั้น จะมีสวนของเสนตรง 42⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4!2!2!

= 6 เสน

119

2) จากตัวอักษรในคําวา MONDAY ถาตองการนําอักษร 3 ตัวจากคํานี้มาเรียงเปนคําใหมโดยไมคํานึงถึงความหมายจะจัดไดทั้งหมดกี่คํา

จะเห็นวา ตําแหนงที่ตางกันของอักษรทั้ง 3 ตัวที่จัดนั้นทําใหเกิดคําใหมเสมอ จึงถือวาตําแหนงที่หรืออันดับที่ทําใหผลที่เกิดขึ้นตางกัน โจทยขอนี้จึงเปนวิธีเรียงสับเปลี่ยน

ดังนั้น จะจัดคําทั้งหมดได P6, 3 = 6 × 5 × 4 = 120 คําหรืออาจจะคิดไดอีกวิธีหนึ่งดังนี้มีอักษรทั้งหมด 6 ตัว เลือกมาทีละ 3 ตัว แลวนํา 3 ตัวนี้มาจัดเรียง

สับเปลี่ยนอีกครั้งหนึ่ง จํานวนวิธีเลือกทั้งหมดมี C6, 3 วิธี ในแตละวิธีของการเลือกนํามาจัดเรียงสับเปลี่ยนได 3! วิธี

ดังนั้น จะจัดคําทั้งหมดได C6, 3 × 3! = 120 คําและในกรณีทั่วไปจะพบวา cn,r × r! = Pn, r

4. ในการพิจารณาปญหาเกี่ยวกับจํานวนวิธีในการจัดเรียงตัวอักษรหรือตัวเลขมักจะมีปญหาวาจะจัดตัวอักษรหรือตัวเลขเหลานั้นซ้ํากันไดหรือไมในกรณีที่โจทยปญหานั้นไมบงไวอยางแนชัด ปญหาดังกลาวเปนปญหาที่เกิดจากการตีความหมายซึ่งไมมีขอตกลงหรือขอกําหนดที่แนนอน ผูสอนควรหลีกเลี่ยงไมใหเกิดปญหาเหลานั้นโดยการกําหนดใหชัดเจน(ดังตัวอยางในหนังสือเรียน) วาจะใชตัวเลขหรือตัวอักษรซ้ําไดหรือไม

ตัวอยางโจทยปญหาที่กําหนดไวชัดเจนที่ควรจะตีความหมายไดตรงกัน(1) จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักไดทั้งหมดกี่จํานวน (ในกรณีนี้

ตัวเลขในแตละหลักใชซ้ํากันได ดังนั้น คําตอบคือ 9 × 10 × 10 × 10 จํานวน)(2) จะใชบัตร 4 ใบที่เขียนตัวเลข 1, 2, 3, 4 ไวตามลําดับเรียงใหไดจํานวน

ที่มีสามหลักไดทั้งหมดกี่จํานวน (ในกรณีนี้การจัดเรียงแตละแบบใชบัตรไดบัตรละ 1 ครั้งดังนั้น คําตอบคือ 4!)

(3) จะใชตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 เขียนลงในบัตรโดยเขียนเปนจํานวนที่มีหกหลัก จะเขียนไดทั้งหมดกี่บัตร (ในกรณีนี้การจัดในแตละแบบใชตัวเลขซ้ํากันได เชนหมายเลข 666333 เปนตน ดังนั้น คําตอบคือ 66 บัตร

(4) จะมีวิธีจัดเรียงตัวอักษรในคําวา “HEAD” ไดกี่วิธีถาไมสนใจความหมายของคําที่เกิดขึ้น (ในกรณีนี้คลายกับกรณีในขอ (2) ซึ่งคลายกับวา ตัวอักษรแตละตัวเขียนอยูในบัตร นําบัตรมาจัดเรียงอันดับใหม คําตอบคือ 4!)

(5) จะมีวิธีจัดเรียงตัวเลขในเซต {0, 1, 2, 3, 4} ไดกี่วิธี (ในกรณีนี้คลาย

120

กับกรณีในขอ (4) คําตอบคือ 5!)(6) จะมีวิธีจัดเรียงตัวเลขในจํานวน “2435” ไดกี่วิธี ( คําตอบคือ 4!)(7) จะสรางจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากตัวเลข 1, 4, 6, 9 ไดกี่จํานวน

(ในกรณีนี้โดยทั่วไปจะหมายถึงวาใชตัวเลขซ้ําได แตเพื่อปองกันมิใหเกิดปญหา ควรเขียนใหชัดเจนลงไปวา ใชตัวเลขซ้ํากันได)

5. ในเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม อาจมีปญหาเกี่ยวกับการหาจํานวนวิธี เชน การรอยลูกปดเปนวงกลม หรือการรอยพวงมาลัยเปนวงกลม เปนตน

การหาจํานวนวิธีรอยลูกปด 4 ลูก ซึ่งมีสีขาว สีแดง สีฟา และสีมวงเปนวงกลม มีไดกี่วิธี

ถาการจัดเรียงเปนวงกลมนี้ จะจัดได (4 – 1)! = 6 วิธี ดังรูป

(1) (2) ให ข แทนสีขาวส แทนสีแดงฟ แทนสีฟาม แทนสีมวง

(3) (4)

(5) (6)

แตถาเรารอยลูกปดของแตละวิธีที่จัดเรียงไวเขาดวยกันเปนวงกลม จะเห็นวาเรารอยไดเพียง 3 วิธี คือ (1), (3) และ (5) เพราะในการรอยแบบ (1) ทําใหเกิดแบบ (2) ดวย

ข

ส

ฟ

ม

ข

ม

ฟ

ส

ข

ฟ

ม

ส

ข

ส

ม

ฟ

ข

ม

ส

ฟ

ข

ฟ

ส

ม

121

กลาวคือ เมื่อพลิกอีกดานหนึ่งของ (1) ข้ึน ก็จะไดการจัดเรียงแบบ (2) นั่นเอง ทํานองเดียวกัน ถาพลิกอีกดานหนึ่งของ (3) จะไดการจัดเรียงแบบ (4) และพลิกแบบ (5) ก็ไดการจัดเรียงแบบ(6)

ดังนั้น ในการรอยลูกปด 4 ลูก รอยได 3 วิธีโดยทั่วไปจํานวนวิธีจัดเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมในลักษณะที่กลาวขางตน

กลาวคือมีการพลิกกลับอีกดานหนึ่งได จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจะเปนครึ่งหนึ่งของจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมที่กลาวไวในหนังสือเรียน

6. กรณีที่วา ถามีสิ่งของอยู n สิ่ง ในจํานวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุมที่ 1 มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุมที่ 2 ... และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุมที่ k โดยที่n1 + n2 + ... + nk = n จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของทั้ง n สิ่งเทากับ

1 2 k

n!n !n ! n !L

กฎนี้บางครั้งเรียกวา “กฎการแบงกลุม” (Partitioning Law) เพราะอาจใชคํานวณจํานวนวิธีที่จะแบงคนหรือสิ่งของ n สิ่ง ออกเปน k กลุม โดยใหกลุมที่ 1 มี n1 สิ่งกลุมที่ 2 มี n2 สิ่ง ... กลุมที่ k มี nk สิ่ง และ n1 + n2 + ... + nk = n การใชกฎนี้คํานวณหาจํานวนวิธีที่จะแบงสิ่งของดังกลาวขางตนมีขอควรระวังวา จํานวนสิ่งของในแตละกลุมจะตองไมเทากัน และสิ่งของที่นํามาแบงตองแตกตางกันทั้งหมด

สมมุติวามีของ 4 สิ่ง คือ A, B, C และ D ตองการแบงออกเปนสองกลุมกลุมหนึ่งมี 3 สิ่ง อีกกลุมหนึ่งมี 1 สิ่ง จะแบงไดดังนี้

A, B, C กับ DA, B, D กับ CA, C, D กับ BB, C, D กับ Aจะเห็นวา แบงไดทั้งหมด 4 วิธีวิธีการแบงก็คือเลือกของที่จะใหเปนกลุมแรกออกมากอน ของที่เหลือก็จะ

เปนอีกกลุมหนึ่งดังนั้น จํานวนวิธีที่จะแบงของดังกลาว จะเทากับจํานวนวิธีของการเลือก

ของ 3 สิ่งจากของ 4 สิ่ง ซึ่งเทากับC4, 3 = 4!

3!1! = 4 วิธี

122

หรือจะเทากับจํานวนวิธีของการเลือกของ 1 สิ่งจากของ 4 สิ่ง ซึ่งเทากับC4, 1 = 4!

1!3! = 4 วิธี

กลาวโดยทั่วไปไดวา ถามีสิ่งของ p + q สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมดตองการแบงออกเปนสองกลุม ๆ ละ p และ q สิ่ง โดยที่ p ≠ q จะไดจํานวนวิธีแบงเทากับCp+q, p หรือ Cp+q, q

โดยที่ Cp+q, p = (p q)!p!q!+

Cp+q, q = (p q)!p!q!+

ถาตองการแบงสิ่งของ p + q + r สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมดและแบงเปน3 กลุม ๆ ละ p, q และ r สิ่ง โดยที่ p ≠ q ≠ r ก็ทําไดโดยการแบงของ p + q + r สิ่งออกเปนสองกลุมกอน โดยใหกลุมที่หนึ่งมีของ p สิ่ง อีกกลุมหนึ่งจะมีของ q + r สิ่ง

จํานวนวิธีแบงของ p สิ่ง จาก p + q + r สิ่ง เทากับ Cp+q+r, p

Cp+q+r, p = (p q r)!p!(q r)!+ +

+

ในแตละวิธีของการแบงกลุมครั้งนี้จะแบงของ q + r สิ่ง ออกเปนสองกลุม ๆ ละ q และ r สิ่งจะไดจํานวนวิธีแบงเทากับ Cq+r, q หรือ Cq+r, r

ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะแบงของ p + q + r สิ่ง ซึ่งแตกตางกันออกเปนสามกลุม ๆ ละ p, q และ r สิ่ง โดยที่ p ≠ q ≠ r จะมีทั้งหมด

p q r q rp q

+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= (p q r)! (q r)!p!(q r)! q!r!+ + +

×+

= (p q r)!p!q!r!+ +

ในทํานองเดียวกัน ถาตองการแบงของ n สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมดออกเปน k กลุม ๆ ละ n1, n2, ..., nk สิ่ง โดยที่ n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nk และ n1 + n2 + ... + nk = nจํานวนวิธีแบงทั้งหมดเทากับ

1 2 k

n!n !n ! n !L

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดแบงนักเรียน 20 คน ใหข้ึนรถยนต 3 คัน โดยที่รถยนตแตละคันบรรทุกได 5, 7 และ 8 คน ตามลําดับ

วิธีคิด การจัดแบงนักเรียน 20 คน ใหข้ึนรถยนต 3 คันนี้ก็คือ การแบงนักเรียน 20 คนออกเปนสามกลุม ๆ ละ 5, 7 และ 8 คน เมื่อแบงแลวใหแตละกลุมขึ้นรถยนต

123

ตามขนาดบรรทุกที่กําหนด เชนกลุมที่มีนักเรียน 5 คน ก็ข้ึนรถยนตคันที่บรรทุกได 5 คน จึงไมตองมีการสลับกลุมเพื่อข้ึนรถยนต และในรถยนตแตละคันนักเรียนไมตองสลับที่กันนั่ง เพราะจะสลับกันอยางไรก็อยูในรถยนตคันเดียวกันนั่นเอง

วิธีทํา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดแบงนักเรียนใหข้ึนรถยนตได 20!5!7!8!

= 99,768,240 วิธี

7. การนําเขาสูบทเรียนเรื่องปริภูมิตัวอยาง ควรใหผูเรียนเขียนผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมด ซึ่งอาจใชการเขียนแผนภาพตนไมชวย แลวจึงบอกใหผูเรียนทราบวา เซตของผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดคือปริภูมิตัวอยาง

8. ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ที่เปนสับเซตของปริภูมิตัวอยางโดยใชบทนิยาม P(E) = n

N เมื่อ n เปนจํานวนสมาชิกของเหตุการณ และ N เปนจํานวน

สมาชิกของปริภูมิตัวอยาง S จะใชไดก็ตอเมื่อ S เปนเซตจํากัดและแตละสมาชิกในปริภูมิตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน เชน

ก. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 10 ลูก สีขาว 5 ลูก หยิบลูกบอลมา 1 ลูกสนใจสีของลูกบอลที่หยิบได ปริภูมิตัวอยาง คือ

S = {สีแดง, สีขาว}ถาสนใจเหตุการณ E ที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง

E = {สีแดง}ถาใชสูตรโดยไมพิจารณาเงื่อนไขจะได P(E) = 1

2 ซึ่งผิด เนื่องจากแตละสมาชิกในปริภูมิ

ตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดไมเทากัน เพราะในถุงมีลูกบอลสีแดงมากกวาสีขาวดังนั้น โอกาสที่จะไดลูกบอลสีแดงจึงมีมากกวาโอกาสที่หยิบไดลูกบอลสีขาว แตถาเขียน Sและ E ใหมดังนี้

S = {x⏐x เปนลูกบอลในถุง}E = {x⏐x เปนลูกบอลสีแดงในถุง}

จะใชสูตร P(E) = nN

ได เพราะสมาชิกแตละตัวใน S มีโอกาสที่จะถูกหยิบไดเทา ๆ กัน

ดังนั้น จะได P(E) = 1015

124

ถา E เปนเหตุการณที่จะไดผลรวมของแตมเปน 3 จากการทอดลูกเตา 2 ลูก 1 ครั้งจะหา P(E) โดยใชปริภูมิตัวอยาง S = {2, 3, 4, ..., 12} ไมได เนื่องจากแตละ

สมาชิกในปริภูมิตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดไมเทากัน เชน การที่จะไดผลรวมเปน 2 มีโอกาสเกิดขึ้นไดวิธีเดียวคือ ลูกแรกขึ้น 1 และลูกหลังขึ้น 1 ดวย แตการที่จะไดผลรวมเปน3 มีได 2 วิธี คือ

ลกูแรกขึ้น 1 และลูกหลังขึ้น 2ลูกแรกขึ้น 2 และลูกหลังขึ้น 1จะเห็นวา การที่จะไดผลรวมของแตมเปน 3 มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นไดมากกวาที่จะ

ไดผลรวมของแตมเปน 2 ดังนั้น ในการหาความนาจะเปนโดยใชสูตร P(E) = nN

ปริภูมิตัวอยาง S จะตองประกอบดวยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กันคือS = {(1, 1), (1, 2), ...., (1, 6), ...

(6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}E = {(1, 2), (2, 1)}

9. ผูสอนควรใหผูเรียนใชกฎที่สําคัญบางประการของความนาจะเปน และชี้ใหเห็นวาปญหาบางปญหาอาจทําไดทั้ง 2 วิธี แตบางครั้งการใชกฎทําใหหาคําตอบไดรวดเร็วกวา เชน

การทอดลูกเตา 3 ลูก ใหหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตามากกวา 3 ให E1 เปนเหตุการณที่ผลบวกของแตมเปน 3

E2 เปนเหตุการณที่ผลบวกของแตมมากกวา 3 ( ){ }1E = 1,1,1

ในการทอดลูกเตา 3 ลูก 1 ครั้ง จํานวนวิธีที่จะเกิดผลลัพธมีได6 × 6 × 6 = 63 วิธี P(E1) = 3

16

แต E2 เปนคอมพลีเมนตของเหตุการณ E1

ดังนั้น P(E2) = 3

116

−

10. ในการใชสูตรP(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

125

ผูสอนควรชี้ใหเห็นวา สูตรนี้ใชไดเมื่อ E1 และ E2 เปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกันเทานั้น ผูสอนควรใหผูเรียนยกตัวอยางเหตุการณ E1, E2 แลวหาวา E1 ∩ E2 เปนเซตวางหรือไม ถา E1 ∩ E2 = ∅ แสดงวา เหตุการณ E1 และ E2 เปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน บางครั้งเปนการยากที่จะแจกแจงเซต E1, E2 ซึ่งทําใหพิจารณาจาก E1 ∩ E2 ไมไดการพิจารณาวา E1 และ E2 เปนเหตุการณที่เกิดรวมกันหรือไม จึงตองพิจารณาสมบัติของสมาชิกใน E1 วาเปนสมาชิกใน E2 ไดหรือไม ถาไดแสดงวา E1 และ E2 เปนเหตุการณที่เกิดรวมกันจึงตองใชสูตร

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)ผูสอนอาจยกตัวอยางของการพิจารณาวาเหตุการณ 2 เหตุการณเปนเหตุการณ

ที่ไมเกิดรวมกัน เชนดึงไพ 2 ใบ จากไพสํารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จงหาความนาจะเปนที่หยิบไดไพ

โพดํา 2 ใบ หรือโพแดงอยางนอย 1 ใบให E1 เปนเหตุการณซึ่งไดโพดํา 2 ใบE2 เปนเหตุการณซึ่งไดโพแดงอยางนอย 1 ใบจะหา P(E1 ∪ E2)เนื่องจากสมาชิกของเหตุการณใน E1 ไมมีสมบัติที่จะเปนสมาชิกในเหตุการณ

E2 เพราะในการหยิบไพ 2 ใบ เมื่อหยิบไดโพดํา 2 ใบ แลวจะหยิบไพโพแดงอยางนอยอีก1 ใบ ยอมเปนไปไมได ดังนั้น E1 และ E2 จึงเปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน

จะได P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ จากไพ 52 ใบ มี 52

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ และเปนโพดําทั้งคูมี 132

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

ดังนั้น P(E1) =132522

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ ใหไดโพแดงอยางนอย 1 ใบ เทากับ จํานวนวิธีที่จะหยิบไพโพแดง 1 ใบ และไพอ่ืน ๆ 1 ใบ รวมกับจํานวนวิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ ไดโพแดงทั้ง 2 ใบ

ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดโพแดงอยางนอย 1 ใบ เทากับ 131

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

391

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 132

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

126

จะได P(E2) =13 39 131 1 2

522

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ดังนั้น P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

=13 13 39 132 1 1 252 522 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

กิจกรรมเสนอแนะกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

1. ในการสอนเรื่องนี้ ผูสอนอาจใหตัวอยางโจทยปญหาที่ใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ โดยใหผูเรียนแสดงวิธีทําหลาย ๆ วิธีเชน

1.1 โดยอาศัยแผนภาพตนไม1.2 โดยอาศัยผลคูณคารทีเซียน1.3 โดยอาศัยกฎการบวก และกฎการคูณของกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

2. ผูสอนยกตัวอยางโจทยที่มีเงื่อนไขบางอยางในตัว เชน ใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูไดทั้งหมดกี่จํานวน ถา

1) ตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได2) ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันกอนที่ผูสอนจะใหผูเรียนหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูซึ่งเขียนไดโดยใช

ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 และตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได ผูสอนอาจใชคําถามเพื่อชวยใหผูเรียนหาคําตอบไดงายขึ้น ดังนี้

2.1 ผูสอนใหผูเรียนอธิบายความหมายของจํานวนที่มีสามหลักซึ่งผูเรียนอาจอธิบายไดวา หมายถึงจํานวนที่ประกอบดวยเลขโดด 3 ตัว โดยที่ตัวเลขในหลกัรอยตองไมเปน 0

2.2 ผูสอนถามผูเรียนวาคําวาตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได หมายความวาอยางไรพรอมทั้งใหผูเรียนยกตัวอยาง ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวาตัวเลขในหลักหนวยหลักสิบหรือหลักรอยอาจเหมือนกันได เชน 221, 303, 444 เปนตน

127

2.3 ผูสอนถามผูเรียนวาจํานวนคูหมายความวาอยางไร พรอมทั้งใหยกตัวอยางจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู ผูเรียนควรตอบไดวา หมายถึงจํานวนที่ 2 หารลงตัว

2.4 ผูสอนถามวา สําหรับปญหาขางตนผูเรียนคิดวาตัวเลขในหลักหนวยควรเปนตัวเลขอะไรไดบาง ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา 0, 2 และ 4 พรอมทั้งยกตัวอยางจํานวนคูที่มีสามหลัก เชน 344, 430, 552

ผูสอนถามผูเรียนตอไปวา จากตําแหนงของตัวเลขในสามหลักนี้ จะเขียนตัวเลขในหลักหนวยไดกี่วิธี นักเรียนควรตอบไดวามี 3 วิธี (คือ 0, 2 หรือ 4) ผูสอนถามตอไปวาในแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยจะเขียนตัวเลขในหลักสิบไดกี่วิธี ผูเรียนควรตอบไดวา 6 วิธี (คือตัวเลขทุกตัว) ผูสอนถามตอวา ในทํานองเดียวกันจะเขียนตัวเลขในหลักรอยไดกี่วิธี ผูเรียนควรตอบไดวา 5 วิธี (คือ 1, 2, 3, 4 หรือ 5)

ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขดังกลาว โดยเริ่มจากวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยหรือหลักสิบกอน ซึ่งผูเรียนจะเห็นวาไดคําตอบเทากัน

ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา เนื่องจากตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันไดดังนั้น การหาหลักใดกอนหลังก็ได

การหาจํานวนคูที่มีสามหลักที่แตละหลักซ้ํากันได จึงควรเปนดังนี้เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 3 วิธี (คือ 0, 2, 4)แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยเขียนตัวเลขในหลักสิบได 6 วิธี (คือ 0, 1,

2, 3, 4, 5) แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 5 วิธี(คือ 1, 2, 3, 4, 5)

ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได จึงมีทั้งหมด 5 × 6 × 3= 90 จํานวน

ผูสอนถามผูเรียนวาการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูควรเริ่มที่หลักใด เพราะเหตุใด

ผูสอนและผูเรียนลองทําโจทย โดยเริ่มจากหลักหนวยกอนซึ่งจะพบปญหาวาถาหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ที่ไมใช 0 แลวจะทําใหเกิดความยุงยากเมื่อหาจํานวนที่เขียนตัวเลขในหลักรอย เพราะการที่หลักหนวยเปน 0 หรือหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ทําใหจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยไมเทากัน การพิจารณาจึงตองแยกออกเปน 2 กรณี คือ กรณีที่ 1เมื่อหลักหนวยเปน 0 แลวหาจํานวนวิธีหลักอื่น ๆ ที่เหลือ โดยจะหาหลักใดกอนก็ไดกรณีที่ 2 เมื่อหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ตองหาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยกอน (เพื่อ

128

ไมให 0 อยูในหลักนี้) แลวจึงหาวิธีเขียนหลักสิบดังนั้น ในการหาจํานวนดังกลาวควรทําดังนี้

กรณีท่ี 1 เมื่อหลักหนวยเปน 0ตัวเลขในหลักหนวยเขียนได 1 วิธีแตละวิธีที่ตัวเลขในหลักหนวยเปน 0 เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธี(คือ 1, 2, 3, 4, 5)แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธีดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู ซึ่งหลักหนวยเปน 0 และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันได มีทั้งหมด 4 × 5 × 1 = 20 จํานวน

กรณีท่ี 2 เมื่อหลักหนวยเปน 2 หรือ 4ตัวเลขในหลักหนวยเขียนได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย จะเขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี(คือ 1, 2, 3, 5 หรือ 1, 3, 4, 5)แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธี (คือตัวเลขที่เหลือ)นั่นคือ จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูซึ่งหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันได มีทั้งหมด 4 × 4 × 2 = 32 จํานวนดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมีทั้งหมด 20 + 32 = 52 จํานวน

แฟกทอเรียล n1. ผูสอนใหความหมายของสัญลักษณ n! วา หมายถึง ผลคูณของจํานวนเต็มบวก

ตั้งแต 1 ถึง n จากนั้นผูสอนใหผูเรียนฝกหาจํานวนตาง ๆ ที่อยูในรูปแฟกทอเรียล เชน 9! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... 8 ⋅ 9

(n + 1)! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... n(n + 1) (n – 1)! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... (n – 2)(n – 1)

2. ผูสอนฝกใหผูเรียนเขียนจํานวนที่อยูในรูปแฟกทอเรียลใหอยูในรูปที่ไมมีแฟกทอเรียลปรากฏอยู เชน กําหนดจํานวน 7!3!

5!, (n 1)!

n!− ใหผูเรียนเขียนจํานวนเหลานี้

129

ในรูปที่ไมมีแฟกทอเรียลปรากฎอยู

3. ผูสอนใหผูเรียนฝกแกสมการที่มีรูปแฟกทอเรียลปรากฏอยู พรอมทั้งอาจชี้ใหเห็นดวยวา ผูเรียนอาจทําไดโดยใชอีกวิธีหนึ่งดังนี้

ถา (n 3)!(n 1)!++

= 30 จงหา n(n 3)(n 2)(n 1)!

(n 1)!+ + +

+ = 30

(n + 3)(n + 2) = 30 ---------- (1)เนื่องจากจํานวนทางซายของเครื่องหมาย “เทากับ” ในสมการ (1) เปนผลคูณ

ของจํานวนเต็มบวก 2 จํานวนที่ตางกันอยู 1 ดังนั้น เราจึงพยายามเขียนจํานวนที่อยูทางขวาของเครื่องหมาย “เทากับ” ใหอยูในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 2 จํานวน ที่ตางกันอยู 1เหมือนทางซาย

นั่นคือ จะเขียนสมการ (1) ใหมเปน (n + 3)(n + 2) = 6 × 5 จะได n + 3 = 6 และ n + 2 = 5

ดังนั้น n = 3

วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมูมีธงสีตาง ๆ อยู 5 สี ธงละหนึ่งสี จงหาจํานวนวิธีที่จะสงสัญญาณธงโดย

อาศัยการสลับที่ธง 3 ธง เรียงตามแนวดิ่ง1. ในการสอนตามโจทยตัวอยางขางตน ผูสอนอาจเตรียมอุปกรณเปนธงกระดาษสี

ตาง ๆ 5 สี เพื่อใชประกอบคําอธิบายความหมายของสัญลักษณธงตามโจทย เมื่อผูเรียนเขาใจวิธีทําแลวอาจใหทํากิจกรรมตอเนื่องจากตัวอยางตามลําดบัขั้นตอนตอไปนี้

1.1 แบงกลุมผูเรียนออกเปน 5 กลุม เรียกชื่อกลุมวา กลุมที่ 1, 2, 3, 4 และ 5ตามลําดับ แลวใหแตละกลุมตอบคําถามตอไปนี้

ก. ถาให ส1, ส2, ส3, ส4 และ ส5 แทนสีของธงแตละผืน แลวจะมีวิธีใหสัญญาณธงกี่วิธี ถากําหนดวาตองใชสีที่กํากับดวยตัวเลขเดียวกันกับชื่อของกลุมในตําแหนงที่หนึ่งของสัญญาณ

ข. ถาตองการใหแสดงสัญญาณธงที่เปนไปไดทั้งหมด จากโจทยตัวอยางขางตน ซึ่งมี 60 วิธี โดยการตัดกระดาษสี 5 สี เปนรูปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ขนาดเทา ๆ กัน ติดลง

130

บนกระดาษขาว จะตองตัดกระดาษแตละสีเปนจํานวนเทาไร ค. ถาจะแบงกระดาษสีในขอ ข ใหแตละกลุมที่แบงไวเพื่อใชแสดงสัญญาณ

ธงของแตละกลุมตามคําถามขอ ก จะตองแบงกระดาษสีใหแตละกลุมอยางไร ง. ถาใหใชกระดาษสีตามที่แบงในขอ ค ติดลงบนกระดาษขาว เพื่อแสดง

สัญญาณธงทั้งหมดที่กลุมคํานวณไดในคําถามขอ ก วิธีหนึ่งที่ทําไดคือติดกระดาษสีลงไปโดยแผนแรกเปนสีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุม แผนที่สองและสามเลือกใชกระดาษสีไมซ้ํากัน เนื่องจากจํานวนกระดาษสีที่แบงตามขอ ค พอดีกับจํานวนวิธีอยูแลวจะสามารถติดกระดาษสีแสดงสัญญาณไดครบพอดี แตถาจะติดกระดาษสีใหสอดคลองกับกฎเกณฑเบื้องตนของการนับควรจะทําอยางไร

ใหแตละกลุมรายงานผลการพิจารณาหาคําตอบปญหา ก ถึง ง เมื่อเห็นวาคําตอบถูกตองดีแลว และตองการใหผูเรียนฝกปฏิบัติ ผูสอนอาจเตรียมอุปกรณที่ตองใชเพื่อใหผูเรียนปฏิบัติจริงตามคําตอบขอ ง ก็ได ในกรณีที่จําเปนอาจใหใชวิธีระบายสีแทนการติดกระดาษลงบนกระดาษขาวก็ได

1.2 การเสนอปญหาอภิปรายรวมในหอง ก. ถาผูสอนตองการใหผูเรียนแบงกลุมกันติดกระดาษสี เพื่อแสดงสัญญาณธง

ที่เปนไปไดทั้งหมดในโจทยตัวอยางขางตน ซึ่งมีทั้งหมด 60 วิธี โดยใหเริ่มตั้งแตการตัดกระดาษสีจากแผนใหญเปนชิ้นเล็ก ๆ วิธีที่งายที่สุดคือ แจกกระดาษสีใหแตละกลุม ๆ ละ 3 แผนใหญแผนละสี กระดาษสีของแตละกลุมจะเหมือนกันทั้งหมดไมได จากกระดาษสีที่มีสีเปน ส1, ส2,ส3, ส4 และ ส5 ผูสอนถามผูเรียนวาจะจัดแบงกลุมไดทั้งหมดกี่กลุม และแตละกลุมไดกระดาษสีใดบาง

ข. ถาแบงกลุมตามขอ ก แตละกลุมจะติดกระดาษสีแสดงสัญญาณธงไดกี่สัญญาณ

หลังการอภิปรายในขอ 1.2 ผูสอนอาจนําอภิปรายเพื่อสรุปวาการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมูมีความสัมพันธกันอยางไร โดยบอกวาในปญหาขอ ก นั้น เปนการจัดหมูของ3 สิ่ง จาก 5 สิ่ง ซึ่งจํานวนวิธีเขียนดวยสัญลักษณเปน C5, 3 สวนปญหาในขอ ข นั้นเปนการนําสิ่งที่จัดหมูแลวมาจัดเรียงลําดับซึ่งแตละหมูจะจัดได 3! วิธี ทําใหไดวา

3! C5, 3 = P5, 3

และในกรณีทั่วไปจะไดวาr! Cn, r = Pn, r

131

หรือ Cn, r = n,rPr!

วิธีดังกลาวเปนการเชื่อมโยงการสอนเรื่องเดิมไปสูการสอนเรื่องใหมซึ่งเปนวิธีการเริ่มตนสอนเนื้อหาใหมวิธีหนึ่งหมายเหตุ 1. แนวตอบคําถามในกิจกรรม 1.1 และ 1.2 มีดังนี้

1.1 ก. แตละกลุมควรไดคําตอบเทากับ 1 × 4 × 3 = 12 วิธี ข. เนื่องจากตองแสดงสัญญาณทั้งสิ้น 60 สัญญาณ แตละสัญญาณใช

กระดาษ 3 ชิ้นเล็ก จึงเปนกระดาษชิ้นเล็กทั้งหมด 180 ชิ้น ดังนั้น แตละสีจึงตองตัดไว 36 ชิ้น

ค. แตละกลุมจะไดรับแบงกระดาษสีดังนี้ สีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุมจะไดรับ 12 ชิ้น สวนสี อ่ืนที่เหลือไดรับสีละ 6 ชิ้น

ง. ใชแผนภาพตนไมชวย เชน แผนภาพตนไมของกลุมที่ 1 และ 2 จะเปนไดดังนี้

ตําแหนงที่ 1 2 3

ส3 ส1 ส2 ส3

ส2 ส4 ส1 ส2 ส4

ส5 ส1 ส2 ส5

ส4 ส1 ส3 ส4

ส3 ส5 ส1 ส3 ส5

ส2 ส1 ส3 ส2

ส1

ส5 ส1 ส4 ส5

ส4 ส2 ส1 ส4 ส2

ส3 ส1 ส4 ส3

ส2 ส1 ส5 ส2

ส5 ส3 ส1 ส5 ส3

ส4 ส1 ส5 ส4

132

ตําแหนงที่ 1 2 3

ส4 ส2 ส3 ส4

ส3 ส5 ส2 ส3 ส5

ส1 ส2 ส3 ส1

ส5 ส2 ส4 ส5

ส4 ส1 ส2 ส4 ส1

ส3 ส2 ส4 ส3

ส2

ส1 ส2 ส5 ส1

ส5 ส3 ส2 ส5 ส3

ส4 ส2 ส5 ส4

ส3 ส2 ส1 ส3

ส1 ส4 ส2 ส1 ส4

ส5 ส2 ส1 ส5

จากแผนภาพตนไมจะไดวิธีติดกระดาษสีใหสอดคลองกับกฎเกณฑเบื้องตนของการนับโดยเริ่มติดกระดาษสีดังนี้

1. ติดกระดาษสีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุมในตําแหนงที่หนึ่งของสัญญาณทั้ง 12 สัญญาณ

2. ติดกระดาษสีอีกสี่สีที่เหลือในตําแหนงที่สองของสัญญาณโดยติดสีละ 3สัญญาณ (ดูแผนภาพตนไมประกอบ)

3. ติดกระดาษสีอีกสามสีที่เหลือในตําแหนงที่สามของสัญญาณโดยเลือกสีที่ไมซ้ํากับสองสีแรก

1.2 ก. 10 กลุม เชน กลุมที่ 1 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส3

กลุมที่ 2 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส4

กลุมที่ 3 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส5

กลุมที่ 4 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส3 ส4

133

กลุมที่ 5 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส3 ส5

กลุมที่ 6 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส3 ส4 ส5

กลุมที่ 7 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส3 ส4

กลุมที่ 8 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส3 ส5

กลุมที่ 9 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส4 ส5

กลุมที่ 10 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส4 ส5

จากคําตอบขอนี้จะไดวา ถาตองการเตรียมกระดาษสีแผนใหญใหทํากิจกรรมตองเตรียมไวสีละ 6 แผน

ข. 6 สัญญาณ

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. ญาดาทอดลูกเตาสองลูก 1 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่จะไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองดังนี้(1) แตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากัน(2) ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคู

2. ภากรสุมหยิบไพ 1 ใบ จากไพสํารับหนึ่ง ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ภากรจะหยิบไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา King

3. บัตรหมายเลข 1 – 50 มีบัตรที่ใหรางวัลอยู 6 ใบ ถาสุมหยิบบัตรขึ้นมา 6 ใบจงหาความนาจะเปนที่จะไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหมด

4. เอกสะสมเหรียญสิบบาทไวในกระปุกออมสินดังนี้ เปนเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539 จํานวน 10 อัน และเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2545 จํานวน 20 อัน ถาสุมหยิบเหรียญสิบบาทข้ึนมา 2 เหรียญ จงหาความนาจะเปนที่เอกจะหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539ทั้งสองเหรียญ

5. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 8 ลูก ลูกแกวสีฟา 3 ลูก ลูกแกวสีเขียว 6 ลูก และลูกแกวสีเหลือง 3 ลูก ถาอภิรดีสุมหยิบลูกแกวครั้งละ 1 ลูก โดยไมใสคืนจํานวนสองครั้งจงหาความนาจะเปนที่อภิรดีจะหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก

1346. สมาคมแหงหนึ่ง ตองการจะหาเงินชวยสถานสงเคราะหผูปวยโรคหัวใจ จึงออกสลาก

การกุศลจํานวน 500 ใบ เพื่อขายใหกับสมาชิกของสมาคมโดยขายในราคาใบละ 100 บาทและมีรางวัลพิเศษใหกับสมาชิกที่ซื้อสลาก 1 รางวัล เปนจักรยาน 1 คัน ถานวพลซื้อสลากการกุศลครั้งนี้ 10 ใบ จงหาความนาจะเปนที่นวพลจะไดรับรางวัลเปนรถจักรยาน 1 คัน

7. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/2 ของโรงเรียนแหงหนึ่ง เปนนักเรียนชาย 19 คน และนักเรียนหญิง 21 คน ถาตองการเลือกตัวแทนของนักเรียนในหองนี้โดยการสุมครั้งละ1 คน จงหาความนาจะเปนที่จะไดตัวแทนนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คน

8. ตารางตอไปนี้แสดงจํานวนนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยการขี่จักรยานและนั่งรถประจําทางมา และมีบางขอมูลขาดหายไป

พาหนะจํานวนนักเรียน จักรยาน รถประจําทาง

นักเรียนชายนักเรียนหญิง

.......38

3246

รวม 122 .........

จงหาความนาจะเปนที่จะสุมนักเรียนมา 1 คน และเปนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียน

9. จงหาความนาจะเปนที่ณัฐจะโยนเหรียญ 1 เหรียญ และตกลงบนพื้นที่สวนที่แรเงา

10. การแขงขันเตะตะกรอของทีมสองทีมที่มีความสามารถเทาเทียมกัน 5 ครั้ง ทีมชนะเลิศจะตองเปนทีมแรกที่ชนะคูแขง 3 ครั้ง ถาทีม A ชนะการแขงขันครั้งแรก จงหาความนาจะเปนที่ทีม A จะเปนทีมที่ชนะเลิศ

135

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. ให S เปนปริภูมิตัวอยางS = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

n(S) = 36ให E1 แทนเหตุการณที่ไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากันE1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}n(E1) = 6ให E2 แทนเหตุการณที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคูE2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6),

(3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

n(E2) = 18P(E1) = 6

36 = 1

6 และ P(E2) = 18

36= 1

2

ดังนั้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่จะไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากัน เทากับ 16

และความนาจะเปนของเหตุการณที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคูเทากับ 1

2

2. ไพสํารับหนึ่ง มีไพหนาหัวใจจํานวน 13 ใบ และไพหนา King 4 ใบแตในไพหนาหัวใจจะมีไพหนา King รวมอยูดวย 1 ใบดังนั้น ไพหนาหัวใจหรือไพหนา King มีจํานวน 13 + 4 – 1 = 16 ใบให S เปนปริภูมิตัวอยาง

ดังนั้น n(S) = 521

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 52

136ให E แทนเหตุการณที่ไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา King

n(E) = 161

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16

P(E) = 1652

= 413

ดังนั้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่ภากรจะหยิบไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา Kingเทากับ 4

13

3. บัตรหมายเลข 1 – 50 มีจํานวนทั้งหมด 50 ใบให S เปนปริภูมิตัวอยางดังนั้น n(S) = 50

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 50!6!44!

= 15,890,700

ให E แทนเหตุการณที่หยิบไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหกใบn(E) = 6

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6!6!0!

= 1

ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะหยิบไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหมดเทากับ 115,890,700

4. เหรียญสิบบาทมีทั้งหมด 10 + 20 = 30 อันให S เปนปริภูมิตัวอยางดังนั้น n(S) = 30

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 435

ให E แทนเหตุการณที่เอกหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539 ทั้งสองเหรียญn(E) = 10

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 45

P(E) = n(E)n(S)

= 45435

= 987

ดังนั้น ความนาจะเปนที่เอกจะหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539 ทั้งสองเหรียญเทากับ 987

5. ลูกแกวทั้งหมดมี 8 + 3 + 6 + 3 = 20 ลูกให S เปนปริภูมิตัวอยาง

n(S) = 20 191 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 380

ให E แทนเหตุการณที่อภิรดีหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกn(E) = 8 7

1 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 56

137

P(E) = n(E)n(S)

= 56380

= 1495

ดังนั้น ความนาจะเปนที่อภิรดีจะหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกเทากับ 1495

6. สลากการกุศลจํานวน 500 ใบให S เปนปริภูมิตัวอยาง

n(S) = 5001

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 500

ให E แทนเหตุการณที่นวพลจะไดรับรางวัลพิเศษn(E) = 10

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10

P(E) = 10500

= 150

= 0.02ดังนั้น ความนาจะเปนที่นวพลจะไดรับรางวัลพิเศษเปนรถจักรยานเทากับ 0.02

7. จํานวนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/2 มีทั้งหมด 19 + 21 = 40 คนให S เปนปริภูมิตัวอยาง

n(S) = 401

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

391

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1,560

ให E แทนเหตุการณที่สุมไดนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คนn(E) = 19

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

201

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 380

P(E) = 3801,560

= 1978

ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดตัวแทนนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คนเทากับ 19

78

8. จากตารางในโจทย จํานวนนักเรียนชายมี 122 – 38 = 84 คนและจํานวนนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมี 32 + 46 = 78 คนดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมด 84 + 38 + 32 + 46 = 200 คนให S เปนปริภูมิตัวอยาง

n(S) = 2001

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 200

จํานวนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียน 84 + 32 + 46 = 162 คน

138ให E เปนเหตุการณที่สุมไดนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียน

n(E) = 1621

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 162

P(E) = 162200

= 81100

= 0.81ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมนักเรียน 1 คน ที่เปนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียนเทากับ 0.81

9. รูปสี่เหลี่ยมผืนผามีดานยาว 12 หนวย และมีดานกวาง 10 หนวยพ้ืนที่ทั้งหมดเทากับ 12 × 10 = 120 ตารางหนวยพ้ืนที่สวนที่แรเงาเทากับ 1 18 3 8 5

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × + × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 12 + 20 = 32 ตารางหนวย

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ณัฐจะโยนเหรียญ 1 เหรียญ ตกบนพื้นที่สวนที่แรเงาเทากับ32

120 = 4

15

10. ความนาจะเปนที่ทีมแตละทีมจะชนะเทากับ 12

ความนาจะเปนที่ทีม A ชนะจากการแขงขัน 3 ครั้ง เทากับ 3

12

= 18

ดังนั้น ในการแขงขัน 5 ครั้ง เมื่อทีม A เปนทีมที่ชนะในการแขงขันครั้งแรกความนาจะเปนของเหตุการณที่เกิดขึ้นมีดังนี้

AA 14

ABA 18

ABBA 116

BAA 18

BABA 116

BBAA 116

ดังนั้น ความนาจะเปนที่ทีม A จะเปนทีมที่ชนะเลิศเทากับ 1 1 1 1 1 14 8 8 16 16 16+ + + + +

= 4 2 2 1 1 116

+ + + + + = 1116

139

เฉลยแบบฝกหัด 3.1

1. เสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน A มีเสนทางได 3 เสนทางเสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน B มีเสนทางได 4 เสนทางเสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน C มีเสนทางได 3 เสนทางดังนั้น มีจํานวนเสนทางจาก X ไปยัง Y ทั้งหมด 10 เสนทาง

D YA E Y

F YD YE Y

X B F YG YE Y

C F YG Y

2. จํานวนเสนทางจาก N ไปยัง S มีทั้งหมด 5 + 3 + 5 = 13 เสนทางโดยมีรายละเอียดดังแผนภาพ

S

N

1

A B C

I

D E

J

2 3

F G H

K

140จากแผนภาพขางตนสามารถเขียนเปนแผนภาพตนไมไดดังนี้

A I SA I S

1 B I SC I S

C I SD J S

N 2 E J SE J SF K S

G K S3 G K S

H K S G K S

3. (1) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก A ไป B มี 3 เสนทาง(2) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก B ไป C มี 1 เสนทาง(3) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก C ไป D มี 5 เสนทาง(4) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก D ไป E มี 6 เสนทาง(5) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก A ไป E มี 90 เสนทาง

4. (1) จุดยอด X อยูที่จุด E หรือ F จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 × 3 = 6 รูปจุดยอด Y อยูที่จุด E หรือ F จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 × 3 = 6 รูปดังนั้น จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก XCY มี 12 รูป

(2) จํานวนรูปสามเหลี่ยมโดยมีจุดยอด 3 จุด จาก A, B, C, D, E, F มี 15 รูป

5. จากรูป ชวงที่ 1 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 3 วิธี ชวงที่ 2 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 2 วิธี ชวงที่ 3 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 5 วิธี

ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด 3 × 2 × 5 = 30 วิธี

ชวงที่ 1

ชวงที่ 2

ชวงที่ 3

1416. มีจุดยอดอยูบนดาน 3 ดาน เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 2 × 3 = 18 รูป

มีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน AC เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 5 = 15 รูปมีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน BC เกิดรูปสามเหลี่ยมได 1 × 6 = 6 รูปมีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน AB เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 5 = 15 รูปดังนั้น มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 18 + 15 + 6 + 15 = 54 รูป

7. เมื่อไมมีอักษร 2 ตัวติดกันซ้ํากันอักษรตัวที่หนึ่งเลือกได 26 วิธีอักษรตัวที่สองเลือกได 25 วิธีอักษรตัวที่สามเลือกได 25 วิธีอักษรตัวที่สี่เลือกได 25 วิธีอักษรตัวที่หาเลือกได 25 วิธีดังนั้น จะสรางคําไดทั้งหมด 26 × 254 คํา

8. จํานวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว {a, b} โดยที่ a = 1, 2, 3, ... 93 เทากับ 93 × 7 = 651จํานวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว โดยที่ a = 94, 95, 96, ... 99 เทากับ6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 สับเซตดังนั้น จํานวนสับเซตทั้งหมด 651 + 21 = 672 สับเซต

9. ในการสรางจํานวน 3 หลัก ที่มีคามากกวา 300หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธี คือ 3 หรือ 4 หรือ 5หลักสิบ เลือกตัวเลขได 5 วิธีหลักหนวย เลือกตัวเลขได 4 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีสรางจํานวน 3 หลัก ที่มีคามากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4และ 5 มี 3 × 5 × 4 = 60 วิธี

10. ขอสอบขอที่ 1 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธีขอสอบขอที่ 2 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธีขอสอบขอที่ 3 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธี

M

142ขอสอบขอที่ 10 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีตอบขอสอบทั้ง 10 ขอ 210 วิธี

11. ตัวเลขที่แสดงตอนที่นั่งมี 20 วิธีอักษรที่แสดงแถวที่นั่งมี 52 วิธีตัวเลขแสดงตําแหนงที่นั่งมี 30 วิธีดังนั้น จํานวนที่นั่งทั้งหมดมี 31,200 ที่นั่ง

12. ตัวอักษรตัวแรกเปนไปได 26 วิธีตัวอักษรตัวที่สองเปนไปได 26 วิธีตัวเลข 3 ตัว เปนไปได 10 × 10 × 10 วิธีตัวอักษรอีก 1 ตัว เปนไปได 26 วิธีตัวเลขอีก 2 ตัว เปนไปได 10 × 10 วิธีดังนั้น จํานวนหนังสือทั้งหมดในระบบนี้มี 263 × 105 เลมถาตัวอักษร 2 ตัวแรก แสดงหนังสือที่จัดไวเปนตอนดังนั้น หนังสือในแตละตอนมี 1 × 10 × 10 × 10 × 26 × 10 × 10 = 2,600,000 เลม

แบบฝกหัด 3.2 ก

1. (1) 210 (2) 1680 (3) 3802. n = 63. พิสูจน Pn, 1 + Pm, 1 = Pn+m, 1

Pn, 1 + Pm, 1 = n! m!(n 1)! (m 1)!

+− −

= n + m= (n m)!

((n m) 1)!+

+ −

= Pn+m, 1

4. สรางจํานวนที่มี 4 หลัก จากเลขโดด 5 ตัวดังนั้น จะสรางได P5, 4 = 5!

(5 4)!− = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 จํานวน

1435. มีตําแหนงวางที่เปนชาย 3 ตําแหนง มีผูสมัครเปนชาย 6 คน

ดังนั้น มีจํานวนวิธีจัดชายเทากับ P6, 3 = 6!3!

= 6 × 5 × 4 = 120 วิธีมีตําแหนงวางที่เปนหญิง 2 ตําแหนง มีผูสมัครเปนหญิง 5 คนดังนั้น มีจํานวนวิธีจัดหญิงเทากับ P5, 2 = 5!

3! = 5 × 4 = 20 วิธี

จะได วิธีจัดคนที่มาสมัครเขาทํางาน 120 × 20 = 2400 วิธี

6. จัดชาย 6 คน ยืนเรียงแถวหนากระดานได 6! = 720 วิธี

ช1 ช2 ช3 ช4 ช5 ช6

จัดชาย 6 คน ยืนหนากระดานจะมีที่ใหผูหญิงแทรกได 7 ที่ผูหญิง 3 คน จะเลือกที่แทรกได 7 × 6 × 5 = 210 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีจัดทั้งหมด 720 × 210 = 151200 วิธี

7. แยกเปน 2 กรณีกรณีที่ 1 หลักรอย เปนเลขคี่ คือ 3, 5 และ 7

หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธีหลักหนวย เลือกตัวเลขได 4 วิธี หลักหนวยเปนเลขคี่และตัวเลขใน

แตละหลักไมซ้ํากันหลักสิบ เลือกตัวเลขได 8 วิธี

มีวิธีสรางจํานวนได 3 × 4 × 8 = 96 วิธีกรณีที่ 2 หลักรอย เปนเลขคู คือ 4, 6, 8

หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธีหลักหนวย เลือกตัวเลขได 5 วิธี หลักหนวยเปนเลขคี่และตัวเลขใน

แตละหลักไมซ้ํากันหลักสิบ เลือกตัวเลขได 8 วิธี

มีวิธีสรางจํานวนได 3 × 5 × 8 = 120 วิธีดังนั้น จํานวนคี่ที่มีคามากกวา 300 แตนอยกวา 900 โดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมี 96 + 120 = 216 จํานวน

1448. มีหนังสือที่แตกตางกัน 8 เลม เปนคณิตศาสตร 3 เลม

ดังนั้น เปนหนังสืออ่ืน ๆ จํานวน 5 เลม จัดเปนแถวยาวแถวเดียวได 5! วิธีจะได ที่ที่จะวางหนังสือคณิตศาสตรแทรกได จํานวน 6 ที่ดังนั้น จัดหนังสือคณิตศาสตรแทรกได 6 × 5 × 4 = 120 วิธีนั่นคือ จํานวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 8 เลม เทากับ 5! × 120 = 14400 วิธี

9. เมื่อถายรูปทีละคน จะได 5 วิธีเมื่อถายรูปทีละสองคน จะได P5, 2 = 5!

3! = 20 วิธี

เมื่อถายรูปทีละสามคน จะได P5, 3 = 5!2!

= 60 วิธี

เมื่อถายรูปทีละสี่คน จะได P5, 4 = 5!1!

= 120 วิธีเมื่อถายรูปทีละหาคน จะได P5, 5 = 5! = 120 วิธีดังนั้น จะมีภาพที่แตกตางกันทั้งหมด 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 ภาพ

10. มีหนังสือทั้งหมด 3 + 2 + 4 = 9 เลม(1) มีวิธีจัดหนังสือ 9 เลม วางบนชั้นหนังสือได 9! วิธี(2) มีวิธีจัดหนังสือคณิตศาสตรในตําแหนงหัวแถวและหางแถวได 2 วิธี

หนังสืออีก 7 เลม จัดวางสลับกันได 7! วิธีดังนั้น มีวิธีจัดไดทั้งหมด 2(7!) วิธี

(3) จัดหนังสือแตละวิชามัดรวมกัน แลวนํามาจัดวางสลับกันได 3! วิธีหนังสือเคมี 3 เลม ที่มัดไว สลับที่กันเองไดอีก 3! วิธี หนังสือคณิตศาสตร 2 เลม ที่มัดไว สลับที่กันเองไดอีก 2! วิธีหนังสือภาษาอังกฤษ 4 เลม ที่มัดไว สลับที่กันเองไดอีก 4! วิธีดังนั้น มีวิธีจัดไดทั้งหมด 3! 3! 2! 4! = 1728 วิธี

11. มีเกาอี้วาง 6 ที่ มีคน 3 คน จัดที่นั่งโดยไมมีใครนั่งติดกัน มีได 4 รูปแบบดังนี้แบบที่ 1 คนที่ 1 _____ คนที่ 2 _____ คนที่ 3 ______แบบที่ 2 คนที่ 1 _____ คนที่ 2 _____ ______ คนที่ 3 แบบที่ 3 คนที่ 1 _____ _____ คนที่ 2 ______ คนที่ 3 แบบที่ 4 _____ คนที่ 1 _____ คนที่ 2 ______ คนที่ 3

145ในแตละแบบ สลับที่คนนั่งไดอีก 3!ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด 4(3!) = 24 วิธี

แบบฝกหัด 3.2 ข

1. วิธีจัดเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นวางหนังสือคือ 9!3!2!4!

= 9 8 7 6 53 2 2

× × × ×× ×

= 1260 วิธี2. วิธีจัดเรียงหลอดไฟประดับตามรั้วในแนวเสนตรงคือ 15!

4!5!6! วิธี

3. คําวา ENTRANCE มี E 2 ตัว N 2 ตัวT 1 ตัว R 1 ตัวA 1 ตัว C 1 ตัว

จัดโดยไมมีเงื่อนไข มีวิธีจัดได 8!2!2!

= 10080 วิธี

ถาจัดให E อยูติดกันเสมอ มีวิธีจัดได 7!2!

= 2520 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีจัดเรียงโดยที่ E ไมอยูติดเทากับ 7560 วิธี

4. นําเลขโดด 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4 มาจัดเรียงอยางไมมีเงื่อนไข จะได 7!2!3!

= 420 วิธี

ถาเลขโดด 0 อยูหลักลาน เลขโดดที่เหลือนํามาจัดได 6!2!3!

= 60 วิธีดังนั้น จํานวนที่มีคามากกวาหนึ่งลานมี 420 – 60 = 360 จํานวน

5. เลือกลูกบอล 4 ลูก แยกกรณีไดดังนี้กรณีที่ 1 สีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีดํา 1 ลูก

จัดเรียงเปนแถวตรงได 4! = 24 วิธีกรณีที่ 2 สีดํา 2 ลูก สีอ่ืนอีก 2 ลูก

จัดเรียงเปนแถวตรงได 4!(3)2!

= 36 วิธี ดังนั้น มีวิธีจัดทั้งหมด 24 + 12 + 36 = 72 วิธี

กรณีที่ 3 สีดํา 3 ลูก สีอ่ืนอีก 1 ลูกจัดเรียงเปนแถวตรงได 4!(3)

3! = 12 วิธี

1466. (1) จํานวนที่สรางมีคาอยูระหวาง 400,000 ถึง 500,000

ดังนั้น หลักแสนจะตองเปนตัวเลข 4 จะสรางจํานวนทั้งหมดได 5!

3!= 20 จํานวน

(2) จํานวนที่สรางมีคามากกวา 500,000ดังนั้น หลักแสนจะตองเปนตัวเลข 5

จะสรางจํานวนทั้งหมดได 5!2!2!

= 30 จํานวน(3) จํานวนที่สรางมีคามากกวา 400,000 และเปนจํานวนคู

ดังนั้น หลักแสนจะตองเปนตัวเลข 4 หรือ 5 หลักหนวยเปนตัวเลข 0 หรือ 4หลักแสนเปน 4 หลักหนวยเปน 0 จะได 4!

3! = 4 จํานวน

หลักแสนเปน 4 หลักหนวยเปน 4 จะได 4!3!

= 4 จํานวน

หลักแสนเปน 5 หลักหนวยเปน 0 จะได 4!2!2!

= 6 จํานวน

หลักแสนเปน 5 หลักหนวยเปน 4 จะได 4!2!

= 12 จํานวนจะสรางจํานวนทั้งหมดได 4 + 4 + 6 + 12 = 26 จํานวน

7. (1) จํานวนเสนทางจาก Oไปยัง P มีทั้งหมด 15!7!8!

= 6435 เสนทาง

(2) จํานวนเสนทางจาก O ไปยัง P ที่ผาน A มี 8! 7!4!4! 3!4!

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 2450 เสนทาง

(3) จํานวนเสนทาง O ไป P โดยไมผาน A มี 6435 – 2450 = 3985 เสนทาง

แบบฝกหัด 3.2 ค

1. นักเรียนชาย 3 คน ติดกัน นักเรียนหญิง 3 คน ติดกัน นั่งรอบโตะกลมจัดได 1 วิธีแตนักเรียนชาย 3 คน ติดกัน สลับที่กันได 3! วิธีนักเรียนหญิง 3 คน ติดกัน สลับที่กันได 3! วิธีจะไดวิธีจัดทั้งหมด 3!3! = 36 วิธี

2. (1) จัดคน 6 คน นั่งโตะกลมได 5! = 120 วิธี(2) ถาพอและแมนั่งติดกัน คิดพอแมรวมกันเปน 1 กลุม

147จัด 4 คน กับอีก 1 กลุม นั่งโตะกลมได 4! วิธีแตพอแมสลับที่กันได 2 วิธีวิธีทั้งหมดจัดได 2(4!) = 48 วิธี

(3) พอและแมนั่งตรงขามกันเสมอใหพอหรือแมนั่งคงที่ ลูก 4 คน สลับที่กันได 4! วิธีวิธีทั้งหมดจัดได 4! = 24 วิธี

(4) จัดลูก 4 คน นั่งโตะกลมกอน จัดได 3! วิธีมีที่ใหพอและแมนั่งแทรกได 4 ที่ดังนั้น จัดใหพอแมตองแยกกันได 4 × 3 = 12 วิธีวิธีทั้งหมดจัดได (3!)(12) = 72 วิธี

3. จัดเด็กชาย 4 คน นั่งโตะกลมกอน จะจัดได 3! วิธีมีที่ใหเด็กหญิง 3 คน แทรกได 4 ที่ดังนั้น จัดเด็กหญิงนั่งแยกกันได 4 × 3 × 2 = 24 วิธีวิธีทั้งหมดที่จัดได (3!)(24) = 144 วิธี

4. จัดธงของชาติตาง ๆ 5 ผืน ประดับรอบวงเวียนกอน จะจัดได 4! วิธีมีที่ใหธงไทยผืนแรกแทรกได 5 วิธีมีที่ใหธงไทยผืนที่สองแทรกได 4 วิธีดังนั้น จัดธงไทย 2 ผืน แยกกันได 5 × 4 = 20 วิธีวิธีทั้งหมดที่จัดได (4!)(20) = 480 วิธี

แบบฝกหัด 3.3

1. จํานวนวิธีที่เลือกนักเรียนชาย 2 คน จาก 20 คน เทากับ 202

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

จํานวนวิธีที่เลือกนักเรียนหญิง 2 คน จาก 25 คน เทากับ 252

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

จํานวนวิธีที่เลือกครู 1 คน จากครู 7 คน เทากับ 71⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด 202

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

252

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

71⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 399000 วิธี

1482. (1) สมชายไดรับเลือกเปนกรรมการ

ดังนั้น จะเลือกกรรมการไดอีก 2 คน จากสมาชิก 19 คนที่เหลือเทากับ 19

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 171 วิธี

(2) ถาสามีเปนกรรมการจะเลือกกรรมการอีก 2 คน จากสมาชิก 18 คน ไดเทากับ182

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

ถาภรรยาเปนกรรมการจะเลือกกรรมการอีก 2 คน จากสมาชิก 18 คน ไดเทากับ182

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

ถาภรรยาและสามีไมไดเปนกรรมการทั้งคู จะเลือก 3 คน จาก 18 คน ไดเทากับ183

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

ดังนั้น เลือกกรรมการไดทั้งหมด 18 182

2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 1122 วิธี

3. เลือกจุด 2 จุด เพื่อลากเสนตรงจากจุดทั้งหมด 10 จุด ไดเทากับ 102

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 45 เสน

4. (1) หยิบสีแดง 1 ลูก จากสีแดง 5 ลูก ได 51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

หยิบสีขาว 1 ลูก จากสีขาว 3 ลูก ได 31⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

หยิบสีน้ําเงิน 1 ลูก จากสีน้ําเงิน 3 ลูก ได 31⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธี

วิธีหยิบไดครบทุกสี (5)(3)(3) = 45 วิธี

(2) หยิบสีแดง 1 ลูก สีอ่ืน 2 ลูก ได 51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

62⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 75 วิธี

หยิบสีแดง 2 ลูก จากสีอ่ืน 1 ลูก ได 5 62 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 60 วิธี

หยิบสีแดง 3 ลูก ได 53⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10 วิธี

วิธีหยิบไดสีแดงอยางนอย 1 ลูก 75 + 60 + 10 = 145 วิธี

(3) หยิบสีน้ําเงิน 1 ลูก สีอ่ืนที่ไมใชสีขาวอีก 2 ลูก ได 3 51 2⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 30 วิธี

149

หยิบสีน้ําเงิน 2 ลูก สีอ่ืนที่ไมใชสีขาวอีก 1 ลูก ได 3 52 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 15 วิธี

หยิบสีน้ําเงิน 3 ลูก ได 33⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 วิธี

วิธีหยิบไดสีน้ําเงินอยางนอย 1 ลูก แตไมไดสีขาว 30 + 15 + 1 = 46 วิธี

5. เลือกชาย 1 คน เลือกหญิง 2 คน ได 4 51 2⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 40 วิธี

เลือกชาย 2 คน เลือกหญิง 1 คน ได 4 52 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 30 วิธี

เลือกชาย 3 คน ได 43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 วิธี

วิธีเลือกผูแทนโดยมีชายอยางนอย 1 คน มี 40 + 30 + 4 = 74 วิธี

6. ผูสมัคร 2 คน อุดมพร และเกศราภรณ ไมถูกเลือกทั้งคูดังนั้น เลือกกรรมการ 5 คน จาก 9 คนได 9

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 126 วิธี

ผูสมัคร 2 คน อุดมพร และเกศราภรณ จะไมถูกเลือกพรอมกันเลือกกรรมการ 4 คน จาก 9 คน ได 9

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 126 วิธี

และเลือกกรรมการอีก 1 คน จาก 2 คน ที่กําหนดได 21⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 วิธี

ดังนั้น เลือกกรรมการ 5 คน ได 2(126) = 252 วิธีจะได จํานวนวิธีเลือกกรรมการทั้งหมด 126 + 252 = 378 วิธี

7. กรณีที่ 1 เลือกมังคุดกับละมุดดังนั้น ผลไมอีก 1 ชนิด จะเลือกจากผลไม 4 ชนิดที่เหลือ จะได 4

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 วิธี

กรณีที่ 2 ไมเลือกมังคุดกับละมุดดังนั้น เลือกผลไม 3 ชนิด จากผลไม 4 ชนิดที่เหลือ จะได 4

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 วิธี

จํานวนวิธีเลือกทั้งหมด 4 + 4 = 8 วิธี

1508. กรณีที่ 1 สรางรูปสามเหลี่ยม

จะเลือกจุด 3 จุด จากจุด 6 จุด ได 63⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 20 วิธี

กรณีที่ 2 สรางรูปสี่เหลี่ยมจะเลือกจุด 4 จุด จากจุด 6 จุด ได 6

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 15 วิธี

กรณีที่ 3 สรางรูปหาเหลี่ยมจะเลือกจุด 5 จุด จากจุด 6 จุด ได 6

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6 วิธี

กรณีที่ 4 สรางรูปหกเหลี่ยมจะเลือกจุด 6 จุด จากจุด 6 จุด ได 6

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 วิธี

ดังนั้น จะสรางรูปเหลี่ยมไดทั้งหมด 20 + 15 + 6 + 1 = 42 วิธี

แบบฝกหัด 3.4

1. (1) (2x2 – y)5 = (2x2 + (–y))5

= 50⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2x2)5 + 51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2x2)4(–y) + 52⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2x2)3(–y)2 + 53⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2x2)2(–y)3

+ 54⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2x2)(–y)4+ 55⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(–y)5

= 32x10 – 80x8y + 80x6y2 – 40x4y3 + 10x2y4 – y5

(2) 72(3x )y

− = 72(3x ( ))y

+ −

= 7 6 5 27 7 72 2(3x) (3x) ( ) (3x) ( )0 1 2y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 3 3 4 2 57 7 72 2 2(3x) ( ) (3x) ( ) (3x) ( )3 4 5y y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 77 72 2(3x)( ) ( )6 7y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=6 5 4 3

72 3 4

x x x x2187x 10206 20412 22680 15120y y y y

− + − +

2

5 6 7

x x 1286048 1344y y y

− + −

151

(3) (2x + 3y)5 = 5 4 3 2 2 35 5 5 5(2x) (2x) (3y) (2x) (3y) (2x) (3y)

0 1 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 55 5(2x)(3y) (3y)

4 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 32x5 + 240x4y + 720x3y2 + 1080x2y3 + 810xy4 + 243y5

(4)4

x 32 y

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠= 4 3 2 24 4 4x x 3 x 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 22 2 y 2 y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 44 4x 3 3( )( ) ( )3 42 y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=4 3 2

2 3 4

x 3x 27x 54x 8116 2y 2y y y

+ + + +

2. อาศัยทฤษฎีบททวินาม พจนที่มี x6y4 ของการกระจาย (2x + 3y)10 คือ 6 410(2x) (3y)

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6 4210(64x )(81y )

= 1088640x6y4

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x6y4 คือ 1088640

3. อาศัยทฤษฎีบททวินาม พจนที่ x5y16 ของการกระจาย (x + 2y2)13 คือ 5 2 813(x) (2y )

8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1287 x5 (256y16)= 329472x5y16

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x5y16 คือ 329472

4. อาศัยทฤษฎีบททวินาม พจนที่มี x9y14 ของการกระจาย (x3 – 3y2)10 คือ 3 3 2 710(x ) ( 3y )

7⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 120x9 (–2187y14)= –26 2440 x9y14

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x9y14 คือ –262440

5. อาศัยทฤษฎีบททวินาม พจนที่มี x7 ของการกระจาย (2x – 3)10 คือ 7 310(2x) ( 3)

3⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 120(128x7)(–27)= –414720x7

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x7 คือ –414720

152

6. อาศัยทฤษฎีบททวินาม พจนที่ไมมี x ของการกระจาย 2

6x 3( )4 x− คือ

22 46 x 3( ) ( )

4 4 x⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

=4

4

x 8115( )( )16 x

= 121516

เฉลยแบบฝกหัด 3.5 ก

1. (1) ให S แทนปริภูมิตัวอยางลูกบอลสีแดงลูกที่หนึ่งแทนดวย ด1 ลูกบอลสีแดงลูกที่สองแทนดวย ด2

ลูกบอลสีขาวลูกที่หนึ่งแทนดวย ข1 ลูกบอลสีขาวลูกที่สองแทนดวย ข2

S = {(ด1,ด1), (ด1,ด2), (ด1,ข1), (ด1,ข2), (ด2,ด1),( ด2,ด2), (ด2,ข1), (ด2,ข2), (ข1,ด1),(ข1,ด2), (ข1,ข1), (ข1,ข2), (ข2,ด1), (ข2,ด2), (ข2,ข1), (ข2,ข2)}

(2) ให E แทนเหตุการณที่ไดลูกบอลทั้งสองลูกเปนสีขาวE = {(ข1,ข1), (ข1,ข2), (ข2,ข1), (ข2,ข2)}

2. (1) ให S แทนปริภูมิตัวอยางที่สนใจการขึ้นหนาของเหรียญS = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)}

(2) ให E1 แทนเหตุการณที่ออกหัวอยางนอยหนึ่งครั้งE1 = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H)}

(3) ให E2 แทนเหตุการณที่ออกหัวเพียงหนึ่งครั้งE2 = {(H,T,T), (T,H,T), (T,T,H)}

(4) ให E3 แทนเหตุการณที่ออกหัวสามครั้งE3 = {(H,H,H)}

(5) ให E4 แทนเหตุการณที่ไมออกหัวเลยE4 = {(T,T,T)}

3. (1) ให E1 แทนเหตุการณที่เหรียญออกกอยและลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่E1 = {(T, 1), (T, 3), (T, 5)}

(2) ให E2 แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวE2 = {(H, 3), (H, 6), (T, 3), (T, 6)}

153 (3) ให E3 แทนเหตุการณที่เหรียญออกหัว และลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคู

E3 = {(H, 2), (H, 4), (H, 6)}

4. (1) ให S แทนปริภูมิตัวอยางS = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)}

(2) E1 = {(H,H,H), (T,T,T)}(3) E2 = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H)}(4) E3 = {(H,T,T), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)}(5) E1 ∪ E2 = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H), (T,T,T)}(6) E1 ∪ E3 = {(H,H,H), (H,T,T), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)}(7) E2 ∪ E3 = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H), (H,T,T), (T,H,T), (T,T,H),

(T,T,T)}(8) E1 ∩ E2 = {(H,H,H)}(9) E1 ∩ E3 = {(T,T,T)}(10) E2 ∩ E3 = ∅(11) E′1 = {(H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H)}(12) E′2 = {(H,T,T), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)}(13) E′3 = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H)}

เฉลยแบบฝกหัด 3.5 ข

1. ให S แทนปริภูมิตัวอยางE แทนเหตุการณไดลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีเหลือง 1 ลูก ตามลําดับn(S) = 30 29 28

1 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

n(E) = 10 9 101 1 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ดังนั้น P(E) = 10 9 1030 29 28

× ×× ×

= 15406

1542. ให S แทนปริภูมิตัวอยาง

E แทนเหตุการณที่ปารมี และภูผา นั่งติดกันn(S) = 9!n(E) = 2⋅8!

ดังนั้น P(E) = 2 8!9!⋅ = 2

9

3. ให S แทนปริภูมิตัวอยางE แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนบัตรมากกวา 10n(S) = 5

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10

E = {245, 345}n(E) = 2

ดังนั้น P(E) = 210

= 15

4. ให S แทนปริภูมิตัวอยางE แทนเหตุการณที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงยืนสลับกันคนตอคนn(S) = 8! n(E) = 2⋅4! ⋅4!

ดังนั้น P(E) = 2 4! 4!8!⋅ ⋅ = 1

35

5. ให S แทนปริภูมิตัวอยาง E แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีตางกันทั้ง 3 ลูก

n(S) = 133

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 × 11 × 13

n(E) = 6 4 31 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 6 × 4 × 3

ดังนั้น P(E) = 6 4 313 22× ××

= 36143

6. (1) ให S แทนปริภูมิตัวอยาง E1 แทนเหตุการณที่สุมหยิบไดหนังสือคณิตศาสตร

155

n(S) = 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรือ 26 – 1

= 63n(E1) = 3 3 3

1 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 7ดังนั้น P(E1) = 7

63 = 1

9

(2) E2 แทนเหตุการณที่สุมหยิบไดหนังสือเคมีn(E2) = 2 2

1 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 3ดังนั้น P(E2) = 3

63 = 1

21

(3) E3 แทนเหตุการณที่สุมหยิบไดหนังสือฟสิกสn(E3) = 1ดังนั้น P(E2) = 1

63

(4) E4 แทนเหตุการณที่สุมหยิบไดหนังสือครบทุกวิชาถาหยิบ 3 เลม ไดครบทุกวิชา จะได 3 2 1

1 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 6 วิธี

ถาหยิบ 4 เลม ไดครบทุกวิชา จะได 3 2 1 3 2 12 1 1 1 2 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 9 วิธี

ถาหยิบ 5 เลม ไดครบทุกวิชา จะได 3 2 1 3 2 13 1 1 2 2 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 5 วิธี

ถาหยิบ 6 เลม ไดครบทุกวิชา จะได 3 2 13 2 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 วิธี

n(E4) = 6 + 9 + 5 + 1 = 21 วิธีดังนั้น P(E4) = 21

63 = 1

3

7. ให S เปนปริภูมิตัวอยาง E แทนเหตุการณที่สวมเสื้อและกางเกงสีตางกัน

n(S) = 5 × 4 = 20

156

ถาสวมเสื้อสีขาวตองเลือกกางเกงสีเทา จะเลือกได 3 31 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 9

ถาสวมเสื้อสีฟา เลือกกางเกงสีขาวหรือสีเทาก็ได จะเลือกได 2 41 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 8

จะได n(E) = 9 + 8 = 17ดังนั้น P(E) = 17

20

8. มีจํานวนสมเปน 2 เทาของจํานวนมังคุด และมีมะมวง 1 ลูกจะไดจํานวนสมมี 6 ลูก จํานวนมังคุดมี 3 ลูก มะมวงมี 1 ลูกS เปนปริภูมิตัวอยาง จะได n(S) = 10

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 120

E แทนเหตุการณที่ไดผลไมชนิดละ 1 ลูกn(E) = 6 3 1

1 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 18

ดังนั้น P(E) = 18120

= 320

9. P(A) เปนความนาจะเปนที่นายธงชัยสอบผานวิชาคณิตศาสตร เทากับ 0.6P(B) เปนความนาจะเปนที่นายธงชัยสอบผานวิชาภาษาอังกฤษ เทากับ 0.5P(A ∪ B) เปนความนาจะเปนที่ผานอยางนอย 1 วิชา เทากับ 0.8P(A ∩ B) เปนความนาจะเปนที่ผานทั้งสองวิชาจาก P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)ดังนั้น P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 – 0.8

= 0.3

10. P(A) เปนความนาจะเปนที่นักเรียนชอบวิชาคณิตศาสตร เทากับ 60120

= 12

P(B) เปนความนาจะเปนที่นักเรียนชอบวิชาภาษาอังกฤษ เทากับ 50120

= 512

P(A ∩ B) เปนความนาจะเปนที่นักเรียนชอบทั้งสองวิชา เทากับ 20120

= 16

(1) P(A ∪ B) เปนความนาจะเปนที่ชอบเรียนอยางนอย 1 วิชาจาก P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 1 5 12 12 6+ −

= 34

157(2) P(A ∪ B)′ เปนความนาจะเปนที่ไมชอบทั้งสองวิชา

จาก P(A ∪ B)′ = 1 – P(A ∪ B)= 31

4−

= 14

(3) P(A – B) เปนความนาจะเปนที่ชอบคณิตศาสตรแตไมชอบภาษาอังกฤษจาก P(A – B) = P(A) - P(A ∩ B)

= 1 12 6−

= 13

(4) P(A ∩ B)′ เปนความนาจะเปนที่ชอบอยางมาก 1 วิชาจาก P(A ∩ B)′ = 1 – P(A ∩ B)

= 116

−

= 56

11. P(A) แทนความนาจะเปนที่มีอาชีพทนายความ เทากับ 160300

= 1630

P(B) แทนความนาจะเปนที่มีอาชีพขายประกัน เทากับ 90300

= 930

P(A ∩ B) แทนความนาจะเปนที่มีอาชีพทนายความและขายประกัน เทากับ 40300

= 430

P(A ∪ B)′ แทนความนาจะเปนที่ไมเปนทนายความและไมขายประกันจาก P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 16 9 430 30 30

+ −

= 710

ดังนั้น P(A ∪ B)′ = 1 – P(A ∪ B)= 71

10−

= 310