บทท 3ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

(20 ชวโมง)

ผลการเรยนรทคาดหวง1. เขาใจความหมายของการสรางความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยสองตวแปร 2. สรางความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยสองตวแปรทอยในรปอนกรมเวลาโดย

ใชเครองคานวณ3. ใชความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลพยากรณคาตวแปรตามเมอกาหนดตวแปรอสระให

ขอเสนอแนะ1. ขอมลทนามาศกษาความสมพนธอยในรปของคอนดบ ไมสามารถสลบสมาชกตวแรก

หรอสมาชกตวหลงของขอมล ถามการสลบทกนจะทาใหความสมพนธเปลยนไป ตวอยางเชน ขอมลรายได (X) และรายจายของครอบครว (Y) (หนวยเปนพนบาท) ในทองทแหงหนงในรปคอนดบคอ

ครอบครวท 1 2 3 4 5 6 7 8(x, y) (1,1) (3,2) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,9)

ไมสามารถสลบคาของ Y ระหวางครอบครวท 1 กบ 2 ไดเชนครอบครวท 1 2 3 4 5 6 7 8 (x, y) (1,2) (3,1) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,9)

แมวาในการหาคาเฉลยเลขคณตของรายไดและรายจายจะคงเดมเมอมการสลบทระหวางครอบครวท 1 กบ ครอบครวท 2 และในการคานวณสมการความสมพนธ ตองพจารณาความสมพนธระหวางตวแปรโดยการหาคา ผลบวกของผลคณระหวางตวแปรทงสอง (

n

i ii 1

x y=∑ ) การสลบคาระหวาง

ครอบครวท 1 กบครอบครวท 2 จะทาใหคาผลบวกผลคณนเปลยนแปลงไป และมผลถงคาสมประสทธตางๆ ในสมการความสมพนธ ตลอดจนทาใหแผนภาพการกระจายเปลยนแปลงดวยเนองจากขอมลของคลาดบเปลยนแปลงคนละจดจากจดเดม

93

2. ความสมพนธจรงทคาดหมายคอ Y f (X) X= = α +β สวนความสมพนธจากขอมลทสงเกตมา จะไมเทากบทคาดหวงไว โดยจะมความคลาดเคลอนรวมอยดวย กลาวคอความสมพนธระหวางขอมลทสงเกตมาจรงคอ i i iy x= α +β + ε โดยท i คอ 1,2,3,...n

สาหรบการประมาณคา α และ β ดวยวธกาลงสองนอยทสด จะไดความสมพนธโดยประมาณคอ i iy a bx= + โดยท i คอ 1,2,3,...n เมอ a และ b เปนคาประมาณของ α และβ ตามลาดบ

อนงคาวา “กาลงสองนอยทสด” หมายถง ผลรวมของความคลาดเคลอนยกกาลงสองมคานอยทสด การประมาณคาของ α และ β ดวยวธหรอสตรแบบนทาใหผลรวมของความคลาดเคลอนทยกกาลงสองนมคานอยทสด และนนหมายความวา ถาตองการความสมพนธในรปX f (Y) Y= = γ + δ หรอความสมพนธจรงของขอมลคอ *

ii ix y= γ + δ + ε โดยท i คอ1,2,3,...n จงตองใชผลรวมของความคลาดเคลอนตวใหมยกกาลงสอง คาประมาณของ γ และ δจงตองคานวณใหม ไมสามารถใชการแทนคาในสมการ i iy a bx= + ได

3. เมอให X แทนเวลา เพอใหงายในการคานวณจงใหคา ผลรวมของ X เปนศนยสาหรบขอมลอนกรมเวลา คาทไดโดยวธการกาลงสองนอยทสดเปนเพยงคาประมาณของแนวโนมในอนกรมเวลาเทานน เนองจากขอมลอนกรมเวลาประกอบไปดวยสวนตางๆ คอ แนวโนม ความผนแปรตามฤดกาล ความผนแปรตามวฏจกรและความผนแปรแบบผดปกต ในทนเปนการศกษาในขนตนจงประมาณเฉพาะคาแนวโนมของอนกรมเวลาเทานน

กจกรรมเสนอแนะกจกรรมท 1 การใช Microsoft Excel ชวยในการหาความสมพนธเชงฟงกชน

เนองจากการวเคราะหขอมลในปจจบนใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถตหรอโปรแกรมชวยคานวณในรปแบบอนๆ ดงนนควรใหผเรยนไดทราบถงการวเคราะหขอมลดวยเครองคอมพวเตอรโดยเฉพาะโปรแกรมทไดตดตงมากบเครองคอมพวเตอร เชน Microsoft Excel เปนตน

การหาความสมพนธเชงฟงกชนโดยใช Microsoft Excel นนทาไดไมยากนก โดยเฉพาะกบผใชทคนเคยกบการใช Excel ในการสรางแผนภาพการกระจาย วธการใหดาเนนการตามขนตอนตอไปน

หลงจากปอนขอมล ของตวแปรทงสองในแผนทางานของ Excel แลว ใหคลกท ตวชวยสรางแผนภม ทอยดานบน ในรปน

94

จากนนจะปรากฏกลองขอความของตวชวยสรางแผนภม ใหเลอก ชนดแผนภม XY (กระจาย)

95

เมอเลอก XY (กระจาย) จากนนเลอกรปแบบแผนภมทตองการ (ภาพบนสด) แลวคลก ตอไป

หลงจากคลกตอไปจะปรากฏ ชองใหเตมชวงขอมลดงน ใหคลกทลกศรแดง ดานขวาสดของชองทเขยนวา ชวงขอมล

96

จากนนใหลากทวบรเวณตวแปรทงสองทตองการหาความสมพนธ รวมทงชอตวแปร แลวคลกลกศรแดงอกครงหนง

เมอกลบมายงกลองขอความเดมจะปรากฏรปแบบของแผนภมตามทเลอก ใหคลกทตอไป

ใสชอเรองแผนภมแกนคา (X ) และแกนคา (Y) แลวคลก ตอไป จากนนคลก เสรจสน

97

หลงจากคลกท เสรจสน จะไดแผนภมดงกลาวบนแผนงาน ผใชสามารถตกแตงใหมขนาดทเหมาะสมได

ความสมพนธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

98

การกาหนดใหแสดงเสนแนวโนมซงเปนสมการแสดงความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรทงสองทาไดโดย การคลกขวาทจด จากนนเลอก เพมเสนแนวโนม

เลอกชนดของแนวโนมทตองการ (เชงเสน) แลวคลกท ตกลง

99

จากนนจะปรากฏเสนแนวโนมบนแผนภาพ

คลกขวาทเสนอกท แลวเลอก รปแบบเสนแนวโนม

ความสมพนธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

ความสมพนธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

100

ความสมพนธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)

y = 0.6364x + 0.5455

02468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16รายได

รายจาย

เมอปรากฏกลองขอความใหเลอก ตวเลอก แลวคลกเลอก (เครองหมายถก) แสดงนพจนบนแผนภม จากนน คลกท ตกลง

จะไดสมการความสมพนธเชงฟงกชนบนแผนภม Y = 0.6364 X + 0.5455 หรอY = 0.5455 + 0.6364X

101

กจกรรมท 2 การเกบขอมลจากแหลงปฐมภมและทตยภมเมอผเรยนสามารถทาการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรสองตวดวย

คอมพวเตอรไดแลว ใหแบงกลมผเรยนเพอศกษาและวางแผนเกบรวบรวมขอมลในเรองทผเรยนสนใจศกษาความสมพนธ โดยใหสมมตวาขอมลทไดมาเปนตวอยางหรอตวแทนทดจากประชากร ขอมลทรวบรวมมานอาจมาจากแหลงปฐมภมโดยการสอบถาม สมภาษณ หรอจากแหลงขอมลทตยภมเชน หนงสอพมพ อนเทอรเนต เปนตน ขอมลจะตองเปนขอมลเชงปรมาณทงสองตวแปร เชนความสมพนธระหวางขนาดของรอบคอและขนาดของรอบเอวหนวยเปนเซนตเมตร (ใหสงเกตเวลาวดขนาดกางเกงทซออาจใชวธพนรอบคอด) หรอความสมพนธระหวางคะแนนสอบกลางภาคและคะแนนสอบปลายภาค ความสมพนธระหวางระดบคะแนนเฉลยสะสมของชน ม.4 กบ ระดบคะแนนเฉลยสะสมในเทอมปจจบน ความสมพนธระหวางจานวนปในการทางานและอตราเงนเดอนสาหรบครทมวฒการศกษาสงสดเทากน ความสมพนธระหวางระดบคะแนนเฉลยสะสมและจานวนชวโมงในการอานหนงสอโดยเฉลยตอวน เปนตน จากนนใหผเรยนใชโปรแกรม Microsoft Excel ในการสรางแผนภาพแสดงความสมพนธ เสนแนวโนม และสมการแสดงความสมพนธตามตวอยางในกจกรรมท 1

อนงความสมพนธทศกษา อาจเปนขอมลอนกรมเวลากได เชน ขอมลอนกรมเวลาของคาไฟฟาทผปกครองตองจายในแตละเดอน (เกบขอมล 12 เดอนยอนหลง เปนตน) ขอมลจานวนนกเรยนทมาสมครสอบชน ม. 1 ในแตละป ขอมลจานวนผมาใชบรการหองสมดในชวงเวลาหนงของแตละวนขอมลปรมาณการขายของรานคาในโรงเรยนในแตละวน หรอแตละสปดาห เปนตน

การประเมนผลเนองจากในการเรยนการสอนเรอง ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ใหความสาคญ

กบความหมายของการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรเชงปรมาณสองตว ซงอาจอยในรปอนกรมเวลากได นอกจากนนยงสามารถใชความสมพนธนในการพยากรณคาตวแปรตามเมอกาหนดคาของตวแปรอสระทอยในชวงพสยของคาทเปนไปไดของตวแปรอสระทใชในการคานวณความสมพนธ ดงนนในการประเมนผลผสอนอาจประเมนจากแบบฝกหด ขอสอบทเนนการเลอกคของตวแปรทคาดวาจะมความสมพนธกน หรอมความสมเหตสมผลในการใชตวแปรหนงเพอทานายคาของตวแปรอกตวหนงซงโดยปกตวดคาไดยากกวา การสรางความสมพนธไดโดยใชเครองคานวณและการคาดทานายคาของตวแปรโดยอาศยสมการความสมพนธทได ความสมพนธอาจเปนเสนตรงหรอเสนโคงในรปแบบอนตามทเสนอในหนงสอเรยน ผสอนไมควรเนนการวดผลในเรองของการใชสตรคานวณทยงยาก เชน ขอมลมจานวนมาก หรอ สมการความสมพนธแบบอนทไมใชเสนตรง เชน สมการพหนามทมกาลงสง เปนตน

นอกจากนนอาจประเมนผลโดยพจารณาจากผลงานทผเรยนแตละกลมทากจกรรมโดยพจารณาจากวตถประสงคของการศกษาความสมพนธ การเกบรวบรวมขอมล ความถกตองนาเชอถอของขอมล การคานวณสมการความสมพนธ การนาเสนองาน การสรปผลและการสอสารใหเปนทเขาใจงายตอผฟงทวไป

102

ตวอยางแบบทดสอบประจาบท1. ในการศกษาความสมพนธระหวางตวแปรสองตวในแตละขอตอไปน ควรกาหนดใหตวแปร

ใดเปนตวแปรอสระและตวแปรใดเปนตวแปรตาม1.1 จานวนชวโมงตอวนโดยเฉลยทนกเรยนใชอานหนงสอหรอเตรยมตวสอบกบ

คะแนนสอบทจะไดในการสอบ 1.2 นาหนกและสวนสงของนกเรยน 1.3 ปรมาณฝนตกเฉลยตอปและปรมาณผลผลตทางการเกษตรในปนนๆ 1.4 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรและคะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยน 1.5 ระดบการศกษาของบดาและของบตร (พจารณาจากจานวนปทใชศกษาในการไดรบ

วฒการศกษาสงสด)2. ขอมลตอไปนแสดงจานวนตวพะยนทถกฆาเพราะเรอเรว และจานวนเรอเรวทจดทะเบยน

(หนวยเปนพนลา) ในแตละปของรฐฟลอรดาในชวง ป ค.ศ. 1977 ถง 1990

ป ค.ศ. เรอเรวทจดทะเบยน (1,000) พะยนทถกฆา1977 447 131978 460 211979 481 241980 498 161981 513 241982 512 201983 526 151984 559 341985 585 331986 614 331987 645 391988 675 431989 711 501990 719 47

103

2.1 ถาตองการศกษาความสมพนธระหวางจานวนเรอเรวและจานวนตวพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ตวแปรอสระคอตวแปรใด

2.2 จงสรางแผนภาพการกระจายแสดงความสมพนธระหวางตวแปรทงสองและความสมพนธทไดสามารถประมาณไดวาเปนความสมพนธเชงเสนตรงหรอไม

2.3 ทศทางของความสมพนธเปนเชนไร สามารถพยากรณจานวนพะยนทถกฆาดวยจานวนเรอเรวทจดทะเบยนไดหรอไม

2.4 จงหาสมการแสดงความสมพนธระหวางจานวนเรอเรวและจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ในกรณทตองการพยากรณจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวในแตละป

2.5 จากสมการทไดในขอ 2.4 คาความชนทไดหมายความวาอยางไร 2.6 พยากรณจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวถามจานวนเรอเรวจดทะเบยนในปหนง 716,000 ลา

ถามขอมลเพมเตม ดงน

ป ค.ศ. เรอเรวทจดทะเบยน (1,000) พะยนทถกฆา1991 716 531992 716 381993 716 351994 735 49

นนคอรฐฟลอรดาไดหามาตรการปองกนจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรว ซงจะเหนวาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนใน 3 ปตอไปไมเพมขน

2.7 มาตรการปองกนจานวนพะยนทถกฆาโดยเรอเรวของรฐฟลอรดานไดผลหรอไม 2.8 ใหเปรยบเทยบจานวนพะยนทถกฆาททานายใน 2.5 กบคาเฉลยของจานวนพะยนทถกฆาจรง

ในป ค.ศ. 1991 ถง 1993 2.9 หากเพมขอมล ในป ค.ศ. 1991 ถง 1994 เขากบขอมลเดม ใหคานวณสมการความสมพนธ

ใหมทได3. ขอมลตอไปนแสดงระยะเวลา(นาท)ทใชในการวายนาระยะทาง 2,000 หลาของนกวายนา

คนหนงและอตราการเตนของหวใจ (ครงตอนาท) หลงวายนาเสรจจากการเกบขอมลจานวน 23 ครง

104

ครงท ระยะเวลา การเตนของหวใจ ครงท ระยะเวลา การเตนของหวใจ1 34.12 152 13 34.85 1482 35.72 124 14 34.70 1443 34.72 140 15 34.75 1404 34.05 152 16 33.93 1565 34.13 146 17 34.60 1366 35.72 128 18 34.00 1487 36.17 136 19 34.35 1488 35.57 144 20 35.62 1329 35.37 148 21 35.68 12410 35.57 144 22 35.28 13211 35.43 136 23 35.97 13912 36.05 124

3.1 จงหาสมการแสดงความสมพนธระหวางอตราการเตนของหวใจและเวลาทใชในการวายนา เพอใชในการพยากรณอตราการเตนของหวใจ

3.2 ถาในครงตอไป นกวายนาผนใชเวลา 34.30 นาท ในการวายนาระยะทางเดยวกนนอตราการเตนหวใจของเขาหลงการวายนาควรเปนเทาใด และถาอตราการเตนของหวใจจรงๆ คอ152 ครงตอนาท การพยากรณของทานใกลเคยงเพยงใด

3.3 ถาทานทราบวาอตราการเตนของหวใจหลงวายนาคอ 152 ครงตอนาท และตองการพยากรณเวลาทใชในการวายนาครงน จงหาสมการความสมพนธเพอใชในวตถประสงคครงน ทานจะพยากรณวาเวลาทใชในการวายนาครงนเปนเทาใด แมนยาเพยงใด

3.4 จงอธบาย เหตใดสมการทไดสองสมการ (ใน 3.1 และ 3.3) จงแตกตางกน4. ขอมลตอไปนแสดงจานวนประชากร (หนวยเปนลานคน) ทอาศยในฟารมประเทศ

สหรฐอเมรกา

ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980จานวน 32.1 30.5 24.4 23.0 19.1 15.6 12.4 9.7 8.9 7.2

4.1 จงหาสมการความสมพนธเพอทานายจานวนประชากรทอาศยในฟารมจากขอมลรายป 4.2 จากสมการทได จงหาวาในแตละปประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลยปละเทาใด 4.3 จงใชสมการทไดพยากรณจานวนประชากรทอาศยในฟารมในป ค.ศ. 1990 และวจารณ

ผลจากการพยากรณทได

105

เฉลยแบบทดสอบประจาบท1. 1.1 ตวแปรอสระ คอ จานวนชวโมงตอวนโดยเฉลยทนกเรยนใชอานหนงสอหรอเตรยมตวสอบ

สวนตวแปรตามคอ คะแนนทไดจากการสอบ 1.2 ไมสมเหตสมผลทจะกาหนดใหตวแปรใดตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ และอกตวแปร

หนงเปนตวแปรตาม ทาการศกษาความสมพนธระหวางตวแปรทงสองได แตไมตองใช ตวแปรหนงเพอพยากรณคาของอกตวแปรหนง

1.3 ตวแปรอสระคอ ปรมาณฝนตกเฉลยตอป สวนตวแปรตามคอ ปรมาณผลผลตทางการ เกษตรในปนน ๆ 1.4 ไมสมเหตสมผลทจะกาหนดใหตวแปรใดตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ และอกตวแปรหนง

เปนตวแปรตาม ควรศกษาความสมพนธระหวางตวแปรทงสองโดยไมตองใชตวแปรหนงเพอพยากรณคาของอกตวแปรหนง

1.5 ตวแปรอสระคอ ระดบการศกษาของบดา สวนตวแปรตามคอ ระดบการศกษาของบตร

2. 2.1 ตวแปรอสระคอ จานวนเรอเรวทจดทะเบยน 2.2 สามารถประมาณไดวาเปนความสมพนธเชงเสนตรง 2.3 มทศทางไปในทางเดยวกนหรอความสมพนธเชงบวก ความสมพนธระหวางตวแปรทงสองอย

ในระดบกลาง สามารถทานายไดดพอควร2.4 สมการทไดคอ Y 41.43 0.1249X= − +

2.5 คาความชน 0.1249 หมายความวา ถาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนเพม 1,000 ลา โดยเฉลย แลวพะยนจะถกฆาตายโดยเรอเรว .125 ตว หรอ ถาจานวนเรอเรวทจดทะเบยนเพม

10,000 ลา โดยเฉลยแลวพะยนจะถกฆาตายโดยเรอเรว 1.25 ตว2.6 จานวนพะยนทถกฆาประมาณ 48 ตว

2.7 มาตรการนไดผลเนองจาก จานวนพะยนทถกฆานอยกวา 48 ตว ซงเปนคาพยากรณจากสมการความสมพนธ แมวาในป ค.ศ. 1991 จะมพะยนถกฆาตาย 53 ตวกตาม แตในป

ตอๆ มา ลดลงเปน 38 และ 35 ตวตามลาดบ2.8 คาเฉลยของจานวนพะยนทถกฆาจรงคอ 42 ตว สวนคาทพยากรณคอ 48 ตว

2.9 สมการใหมทไดคอ Y 34.568 0.11115X= − +

106

3. 3.1 สมการทไดในกรณทให Y แทนอตราการเตนของหวใจ และ X แทน ระยะเวลา คอ Y 479.93 9.695X= − 3.2 การเตนของหวใจประมาณ 147.39 ครงตอนาท การพยากรณตากวาจรงประมาณ 4.6 ครง 3.3 สมการทไดในกรณทให Y แทนระยะเวลา และ X แทนอตราการเตนของหวใจ คอ Y 43.097 0.0574X= − และพยากรณวาเวลาทใชในการวายนาครงนคอ 34.37 นาท

ซงสงกวาคาจรงเลกนอย (คาจรง คอ34.30 นาท) 3.4 สมการทไดขนกบวาตองการพยากรณคาตวแปรใดซงจะใชหลกการใหความคลาดเคลอน

(ความแตกตางระหวางคาจรงกบคาพยากรณ) ในการพยากรณคาตวแปรนนมคานอยทสด

4. 4.1 สมการความสมพนธเพอพยากรณจานวนประชากรทอาศยในฟารมจากขอมลรายปคอ (1) Y 1166.9 0.5868X= − ถาไมไดมการแปลงคาป ค.ศ. หรอใชคาจรงของป ค.ศ. (2) Y 18.29 0.2934X= − ถามการแปลงคาป ดงน

ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980คาทแปลง -45 -35 -25 -15 -5 5 15 25 35 45

4.2 ประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลย 0.5868 ลานคนตอ 5 ป จากสมการท (1) หรอ0.5868 ลานคน หรอ 586,800 คนตอป หรอจากสมการ (2) ประชากรทอาศยในฟารมลดลงโดยเฉลย 0.2934 ลานคนตอ 0.5 ป ซงเทากบ 0.2934/0.5 = 0.5868 ลานคน หรอ

586,800 คนตอป 4.3 จานวนประชากรทอาศยในฟารมในป ค.ศ. 1990 จากสมการ (1) คอ –0.832 ลานคน ซง

เปนไปไมไดทไดคาตดลบ ดงนนการพยากรณนอกชวงของขอมลทเกบรวบรวมมา (ค.ศ.1935 ถง 1980) ออกไปไกลๆ จงไมควรใช

107

เฉลยแบบฝก 3.4

1. (1) และ (2) แผนภาพการกระจายของขอมล และกราฟทใชแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาแตละชนดทจบไดในป พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2543

(3) เนองจากความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาแตละชนดทจบไดอยในรปเสนตรงใหปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 (Y) เปนตวแปรตามและปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542 (X) เปนตวแปรอสระสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bx คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X พ.ศ. 254220 40 8060 1000

20406080

*

*

*

*

*

*

**

*

*

พ.ศ. 2543

120 140 160 200180

100120140

200180160

Y

108

ตารางพจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

xi yi 2ix xiyi

164.147.951.659.910.114.144.3182.8134.7206.0

152.935.258.253.411.012.842.6164.0143.1197.9

26928.812294.412662.563588.01102.01198.811962.4933415.8418144.0942436.00

25090.891686.083003.123198.66111.10180.481887.1829979.2019275.5740767.40

10

ii 1

x=∑ = 915.50

10

ii 1

y=∑ = 871.10

102i

i 1x

=∑ = 131733.03

10

i ii 1

x y=∑ = 125179.68

แทนคา n

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ในสมการปกตดวยคาในตาราง จะได

871.10 = 10a + 915.50b ---------- (1)125179.68 = 915.50a + 131733.03b ---------- (2)(1) × 91.55, 79749.205 = 915.5a + 83814.025b ---------- (3)(2) – (3) 45430.475 = 47919.005b

b = 0.948และ a = 0.321จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาแตละชนดทจบไดในป พ.ศ.2542 และป พ.ศ. 2543 คอ Y

∧

= 0.948 X∧

+ 0.321 ถาปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542เทากบ 50,000 ตน (x = 50.00) จะได

Y∧

= 0.948(50.00) + 0.321 = 47.72นนคอ ปรมาณสตวนาชนดนถาป พ.ศ. 2542 จบได 50,000 ตน ในป พ.ศ. 2543 จะจบได47,720 ตน

109

(4) ถาตองการทานายปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542ใหปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2542 เปนตวแปรตาม (X)และปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 เปนตวแปรอสระ (Y)สมการของความสมพนธ X = a + bY คอ

10

ii 1

x=∑ =

10

ii 1

an b y=

+ ∑

และ10

i ii 1

x y=∑ =

n 102

i ii 1 i 1

a y b y= =

+∑ ∑

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

xi yi 2iy xiyi

164.147.951.659.910.114.144.3182.8134.7206.0

152.935.258.253.411.012.842.6164.0143.1197.9

23378.411239.043387.242851.56

121163.841814.7626896

20477.6139164.41

25090.891686.083003.123198.66111.10180.481887.1829979.2019275.5740767.40

10

ii 1

x=∑ = 915.50

10

ii 1

y=∑ = 871.10

102i

i 1y

=∑ = 119493.87

10

i ii 1

x y=∑ = 125179.68

แทนคา n

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n

i ii 1

x y=∑ ,

n2i

i 1y

=∑ ดวยคาในตาราง จะได

915.50 = 10a + 871.10b ---------- (1)125179.68 = 871.10a + 119493.87b ---------- (2)(1) × 87.11, 79749.205 = 871.10a + 75881.52b ---------- (3)(2) – (3),45430.475 = 43612.35b

b = 1.042และ a = 0.78

110

จะไดสมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 กบป พ.ศ. 2542 คอ X

∧

= 1.042 Y∧

+ 0.78ถาปรมาณสตวนาทจบไดในป พ.ศ. 2543 เทากบ 85,000 ตน (Y = 85) จะได

X∧

= 1.042(85) + 0.78 = 89.35นนคอ ปรมาณสตวนาชนดนทจบไดในป พ.ศ. 2542 เทากบ 89,350 ตน

2. แผนภาพการกระจายของราคายางพาราแผนดบทขายไดในป พ.ศ. 2546

พจารณาจากแผนภาพการกระจายจะไดความสมพนธระหวางเวลากบราคายางพาราแผนดบอยในรปเสนตรง

ตองการทานายราคายางพาราแผนดบ ใหเวลา (X) เปนตวแปรอสระและราคายางพาราแผนดบ (Y) เปนตวแปรตาม

สมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX คอn

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X เดอน

48

40424446

0

363432

38*

*

** **

*

*

* *

ราคา (บาท/กก. )Y

ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.

*

*

111

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณหาคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

เดอน xi yi 2ix xiyi

ม.ค.ก.พ.ม.ค.เม.ย.พ.ค.ม.ย.ก.ค.ส.ค.ก.ย.ต.ค.พ.ย.ธ.ค.

–11–9–7–5–3–11357911

32.4136.3240.0037.2936.6438.0336.5938.2239.4145.4143.3941.36

1218149259119254981121

–356.51–326.88–280.00–186.45–109.92–38.0336.56114.66197.05317.87390.51454.96

รวม 12

ii 1

x=∑ = 0

12

ii 1

y=∑ = 465.07

122i

i 1x

=∑ = 572

12

i ii 1

x y=∑ = 213.82

แทนคาn

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตารางจะได

465.07 = 12a ---------- (1)213.85 = 572b ---------- (2)

จาก (1) จะได a = 38.76จาก (2) จะได b = 0.37จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบราคายางพาราแผนดบคอ

Y∧ = 38.76 + 0.37 X

∧ เมอ x = 1 แทนเดอนกรกฎาคม และ 2 หนวยของ xเทากบ 1 เดอน ในป พ.ศ. 2547 เดอน ม.ค., x = 13 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(13) = 43.57 เดอน ก.พ., x = 15 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(15) = 44.31 เดอน ม.ค., x = 17 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(17) = 45.05 เดอน เม.ย., x = 19 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(19) = 45.79 เดอน พ.ค., x = 21 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(21) = 46.53 เดอน ม.ย., x = 23 จะได Y

∧ = 38.76 + 0.37(23) = 47.27

112

เดอน ก.ค., x = 25 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(25) = 48.01

เดอน ส.ค., x = 27 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(27) = 48.75

เดอน ก.ย., x = 29 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(29) = 49.49

เดอน ต.ค., x = 31 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(31) = 50.23

เดอน พ.ย., x = 33 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(33) = 50.97

เดอน ธ.ค., x = 35 จะได Y∧ = 38.76 + 0.37(35) = 51.71

นนคอ ราคายางพาราแผนดบในป พ.ศ. 2547 ตงแตเดอนมกราคมถงเดอนธนวาคม โดยประมาณเทากบ 43.57, 44.31 45.05, 45.79, 46.53, 47.27, 48.01, 48.75, 49.49, 50.23, 50.97และ 51.71 บาทตอกโลกรม ตามลาดบ

3. แผนภาพการกระจายของปรมาณการนาเขาขาวทประเทศหนงในทวปเอเชยนาเขาจากประเทศไทยระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545

พจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสมพนธระหวางเวลากบปรมาณนาเขาขาวอยในรปพาราโบลาตองการทานายปรมาณการนาเขาขาวใหเวลา (X) เปนตวแปรอสระและปรมาณนาเขาขาว (Y) เปนตวแปรตาม

X พ.ศ.

25380

23

24

25

26

**

*

**

*

* *

ปรมาณขาว (หมนตน)Y

2539

2540

2541

2542

2543

2544

2545

113

สมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX + cX2 คอn

ii 1

y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

an b x c x= =

+ +∑ ∑n

i ii 1

x y=∑ =

n n n2 3

i i ii 1 i 1 i 1

a x b x c x= = =

+ +∑ ∑ ∑n

2i i

i 1x y

=∑ =

n n n2 3 4i i i

i 1 i 1 i 1a x b x c x

= = =

+ +∑ ∑ ∑

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1), (2) และ (3)

พ.ศ. xi yi 2ix 3

ix 4ix xiyi 2

i ix y

25382539254025412542254325442545

–7–5–3–11357

23.723.924.825.525.224.623.123.5

492591192549

–343–125–27–1127125343

24016258111816252401

–165.9–119.5–74.4–25.525.273.8115.5164.5

1161.3597.5223.225.525.2221.4577.51151.5

รวม 0 194.3 168 0 6216 –6.3 3983.1

แทนคาn

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ ,

n3i

i 1x

=∑ ,

n4i

i 1x

=∑ ,

n

i ii 1

x y=∑ และ

n2i i

i 1x y

=∑

ดวยคาในตาราง จะได194.3 = 8a + 168c ---------- (1)–6.3 = 168b ---------- (2)3983.1 = 168a + 6216c ---------- (3)จาก (2) จะได b = –0.038 (1) × 21 4080.3 = 168a + 3528c ---------- (4)(4) – (3) 97.20 = –2688c

c = –0.036และ a = 25.04จะได สมการพาราโบลาทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบปรมาณนาเขาขาว คอ

Y∧

= 25.04 – 0.038 X∧

– 0.0362

X∧

เมอ x = 1 แทน พ.ศ. 2542และ 2 หนวยของ x เทากบ 1 ป

114

ในป 2550, x = 17 จะได Y = 25.04 – 0.038(17) – 0.036(17)2

= 13.99นนคอ ปรมาณการนาเขาขาวของประเทศนจากประเทศไทยในป พ.ศ. 2550 เทากบ 13.99 หมนตนหรอประมาณ 139,900 ตน

4. แผนภาพการกระจายของตนทนการผลตสนคาตอหนวย (บาท) กบจานวนสนคาทผลตได

พจารณาจากแผนภาพกระจาย จะไดความสมพนธระหวางตนทนการผลตกบจานวนสนคาอยในรปเสนตรงตองการทานายตนทนการผลต ใหจานวนสนคา (X) เปนตวแปรอสระ

และ ตนทนการผลตสนคาน (Y) เปนตวแปรตามสมการปกตของความสมพนธ Y = a + bX คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

ตนทนตอหนวย (บาท) Y

X จานวนทผลต0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50* * *

**

*

**

60

9 10

**

115

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

xi yi2ix xiyi

12345678910

58565550454037302620

149162536496481100

58112165200225240259240234200

55 417 385 1933

แทนคา n

ii 1

x=∑ ,

n

ii 1

y=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตาราง

จะได417 = 10a + 55b ---------- (1)1933 = 55a + 385b ---------- (2)

(1) × 5.5, 2293.5 = 55a + 302.5b ---------- (4)(3) – (2), 360.5 = –82.5b

b = –4.37และ a = 65.73

จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางตนทนการผลตสนคาตอหนวยกบจานวนสนคาทผลตได คอ Y

∧

= –4.37 X∧

+ 65.73ถาจานวนสนคาทผลตไดเปน 7 หนวย (x = 7) จะได

Y∧

= 65.73 – 4.37(7) = 35.14นนคอ ถาจานวนสนคาทผลตไดเปน 7 หนวย ตนทนการผลตสนคาตอหนวยมคาประมาณ 35.14 บาท

116

5. (1) กราฟแสดงความสมพนธระหวางแตมทไดจากการทอดลกเตาสองลกในแตละครง

จากกราฟ ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางแตมทไดจากการทอดลกเตาสองลก ควรอยในรปเสนตรง

(2) โดยแทจรงแลวแตมทไดจากการทอดลกเตาทงสองในแตละครงไมควรมความสมพนธกน

แตมจากลกเตาลกท 2 Y

X แตมจากลกเตาลกท 1

6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

*

*

* *

*

* *

*

*

*

117

6. แผนภาพการกระจายของมลคาของสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาจากตางประเทศระหวางป พ.ศ.2536 – 2545

(1) พจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสมพนธระหวางเวลากบมลคาสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาจากตางประเทศอยในรปเสนตรงตองการทานายมลคาของสนคาใหเวลา (X)เปนตวแปรอสระ และ มลคาของสนคา (Y) เปนตวแปรตามสมการปกตของความสมพนธY = a + bX คอ

n

ii 1

y=∑ =

n

ii 1

an b x=

+ ∑

และn

i ii 1

x y=∑ =

n n2

i ii 1 i 1

a x b x= =

+∑ ∑

X พ.ศ.

25360

10

15

20

30

*

*

***

*

**

มลคาสนคา (พนลานบาท)Y

2537

2538

2539

2540

2541

2542

2543

25

2544

2545

* *

118

พจนตาง ๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกต (1) และ (2)

พ.ศ. xi yi 2ix xiyi

2536253725382539254025412542254325442545

–9–7–5–3–113579

11.7113.6918.3518.5719.2417.7419.1024.9427.5527.75

8149259119254981

–105.39–95.83–91.75–55.71–19.2417.7457.30124.70192.85249.75

รวม 0 198.64 330 274.42

แทนคา n

ii 1

y=∑ ,

n

ii 1

x=∑ ,

n2i

i 1x

=∑ และ

n

i ii 1

x y=∑ ดวยคาในตาราง จะได

198.64 = 10a ----------(1)274.42 = 330b ----------(2)

จาก (1) จะได a = 19.8จาก (2) จะได b = 0.832จะได สมการเสนตรงทแสดงความสมพนธระหวางเวลากบมลคาของสนคาขาเขาทประเทศไทยนาเขาคอ Y

∧

= 19.8 + 0.832 X∧

เมอ x = 1 แทน พ.ศ. 2541 และ 2 หนวยของ x เทากบ 1 ป(2) ในป พ.ศ. 2546, x = 11 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(11) = 28.95 พ.ศ. 2547, x = 13 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(13) = 30.62 พ.ศ. 2548, x = 15 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(15) = 32.28 พ.ศ. 2549, x = 17 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(17) = 33.94 พ.ศ. 2550, x = 19 จะได Y

∧

= 19.8 + 0.832(19) = 35.61นนคอ มลคาของสนคาโดยประมาณทประเทศไทยนาเขาระหวางป พ.ศ. 2546 – 2550 เปน28.95, 30.62, 32.28, 33.94 และ 35.61 พนลานบาท ตามลาดบ

119

0 2 4 6 8 10 12 14

8

7. (1) ถาขอมลประกอบดวยตวแปรสองตวแลว ตวแปรทงสองนนอาจจะมความสมพนธเชงฟงกชนหรอไมมกได

(2)(3)(4) คาทไดจากการทานายสวนใหญ จะเปนเพยงคาประมาณ ซงอาจจะไมเทากบคา

ทควรเปนจรง(5) ถาขอมลมจานวนนอย ไมควรนามาสรางความสมพนธ เพราะความสมพนธทสรางขน

อาจจะไมสามารถแทนความสมพนธทควรจะเปนจรงได(6) ขอมลอนกรมเวลาจะตองประกอบดวยตวแปรอยางนอย 2 ตว โดยทมตวแปรตวหนง

ใชแทนเวลา(7) การกาหนดคาของตวแปรทใชแทนเวลา จะกาหนดคาเปนบวกหรอเปนลบกได(8) เพราะสมการ y = 0.85x จะใชทานายรายจายโดยเฉลยตอเดอนของครอบครวทอาศยอย

ในจงหวดชลบรเทานน ไมสามารถนาไปใชทานายรายจายของครอบครวทจงหวดอนได(9)(10)

8. (1) แผนภาพการกระจายของขอมล Y และ X

(2) จากสมการ Y∧

= 35.57 – 1.40 X∧

ทใชประมาณจานวนของเสย (ชนงานทคนงานทาไมสาเรจ)จากระยะเวลาฝกทกษะคนงาน พบวา เมอเรานาขอมลระยะเวลาฝกทกษะของคนงานแทนในสมการขางตน ทาใหสามารถวเคราะหขอมลไดวา

เมอระยะเวลาฝกงานของคนงานเพมมากขนจานวนของเสยจะลดนอยลง ในทานองเดยวกน ถาระยะเวลาฝกงานของคนงานนอยจานวนของเสยจะมคามาก

24

*

*

*

* *

40

16

32

X ระยะเวลาฝกงาน (สปดาห)

Y จานวนชนงานทคนงานทาไมสาเรจ

**

*

*

**

**

120

(3) จากสมการ Y∧

= 35.57 – 1.40 X∧

จะไดคา Y∧

และคา Y – Y∧

ดงน

ระยะเวลาฝกงาน

(สปดาห)7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8

Y∧ 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77

Y – Y∧ 0.23 –2.97 0.83 0.03 –1.37 –0.77 2.43 –3.97 5.23 1.83 –2.17 0.63

(4) ผลตางของ Y – Y∧

ควรมคาตา เพราะนนหมายความวา สมการ Y∧

ทใชประมาณจานวนของเสย มคาใกลเคยงกบความเปนจรงหากคาของ Y – Y

∧

มคาสง แสดงวา สมการ Y∧

นน ไมเหมาะสมใชประมาณจานวนของเสย

9. (1) แผนภาพการกระจายของขอมลปรมาณนาหนกทลดลง (DX) และปรมาณไทรกลเซอไรดทเปลยนแปลงเมอคนไขลดนาหนกเปนเวลา 8 สปดาห (DY)

(2) จากแผนภาพไมมขอมลผดปกต และลกษณะกราฟแสดงความสมพนธระหวาง DX และ DYเปนกราฟรปเสนตรง

-10 -5 0-200

-100

0

100

200

300

400

DX

DY *

*** *

****

*

*

**

* **

** **** **

* * *

* **

*

** *

121

(3) สามารถใชสมการปกต และผลรวมของขอมลจากตาราง ดงน34

ii 1

(DY)=∑ =

34

ii 1

an b (DX)=

+ ∑34

i ii 1

(DX) (DY)=∑ =

34 342

i ii 1 i 1

a (DX) b (DX)= =

+∑ ∑

แทนคา 34

ii 1

(DX)=∑ = –139.2,

34

ii 1

(DY)=∑ = –747,

34

i ii 1

(DX) (DY)=∑ = 4,545.7

342i

i 1(DX)

=∑ = 798.76

จะได สมการปกต คอ –749 = a (34) + b(–139.20) ---------- (1)4,545.7 = a(–139.20) + b(798.76) ---------- (2)

จะได a = 4.42, b = 6.46ดงนน สมการทใชประมาณคาของ DY จากคาของ DX คอ

DY∧

= 4.42 + 6.46 DX∧

หรอถานาหนกเพมขน 1 หนวย อาจทาใหปรมาณไทรกลเซอไรดเพมขนโดยเฉลย 6.46 หนวยหรอ ถานาหนกลดลง 1 หนวย อาจทาใหปรมาณไทรกลเซอไรดลดลงโดยเฉลย 6.46 หนวย

(4) จากสมการทใชประมาณคา DY ในขอ 3เมอ DX

∧

= -5 จะไดDY∧

= 4.42 + 6.46(-5)= -27.88

ดงนน DY ทพยากรณไดเมอ DX = -5 คอ -27.88หมายความวา ถานาหนกลดลง 5 กโลกรม ปรมาณไทรกลเซอไรดจะลดลงโดยเฉลย 27.88มลลกรมตอเดซลตร

หมายเหต จะเหนวาการรวมและไมรวมคาผดปกตใหผลลพธทตางกน ในบางกรณอาจใหผลลพธทตางกนมากโดยเฉพาะกรณทรวมคาผดปกตหลายคา ซงอาจมผลกระทบมากตอสมการความสมพนธจนอนตรายหรอใชในความหมายทผดได อยางไรกตามในการศกษาในระดบทสงขนเราสามารถตรวจสอบหาคาผดปกตโดยใชวธการทางสถตไดตอไป