BÖLÜM 4: OLASILIK

HazırlayanGülşah Başol

TOKAT - 2013

T.C.GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM FAKÜLTESİ

Konu Başlıkları

• BÖLÜM 4: OLASILIK• 4.1. Olasılığın Tanımı• 4.2. Olasılığın Temel kavramları(Rastsal Değişken,

Olasılık Evreni(örnek uzay), Olay, Basit Olay, Bileşik Olay, Eşit Olasılıklı Olaylar, Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olay, Bağımlı Olay, Bağımsız Olay)

• 4.3. Bir Olayın Olasılığı• 4.4. Olasılığın Tarihçesi• 4.5. Klasik Olasılık• 4.6. Frekans Olasılığı• 4.7. Aksiyom Olasılığı

BÖLÜM 4: OLASILIK

• 4.7.1. Olasılık Aksiyomları• 4.7.1.1. Çarpma Kuralı• 4.7.1.2. Toplama Kuralı• 4.7.1.2.1. Ayrık Olaylar için Toplama Kuralı• 4.7.1.2.2. Ayrık Olmayan Olaylar için Toplama Kuralı• 4.8. Olasılık Ağaç Diyagramı• 4.9. Permütasyon• 4.10. Kombinasyon• 4.11. Ne zaman Kombinasyon ne zaman Permütasyon?• 4.12. Koşullu (Bağımlı) Olasılık

BÖLÜM 4: OLASILIK

Kazanımlar

• KONUM ÖLÇÜLERİ• Olasılığı tanımlar.• Rastsal değişkeni tanımlar.• Olasılık uzayını tanımlar.• Olasılıkta olay terimini tanımlar.• Basit olay ile bileşik olay arasındaki farkı açıklar.• Bir olayın olasılığını hesaplar.• Farklı olasılık türlerini bilir.• Olasılık aksiyomlarını açıklar.• Çarpım kuralını uygular.• Toplama kuralını uygular.• Ayrık olayları açıklar.

BÖLÜM 4: OLASILIK

…..

• Permutasyonu hesaplar. • Kombinasyonu hesaplar.• Koşullu olasılığı açıklar.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.1. Olasılığın Tanımı

• Evrenden örneklem alınarak yapılan araştırmalarda elde edilen her değer bir tahmindir. Bu nedenle hata payı taşır. Her bir örneklemde değerler birbirinden bir miktar farklılaşacaktır.

• Olasılık, rastsal bir deney sonucunda ortaya çıkan olayların belirsizliğini ifade eder. Bu belirsizlik incelenerek olayın olma ihtimali miktar olarak bulunmaya çalışılır.

• O halde olasılık, bir olayın rastsal bir deney sonucunda ortaya çıkma ihtimalinin sayıyla ifadesidir.

• Günümüzde olasılık uygulamalı matematiğin bir dalı olarak kabul edilir.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.1. Olasılığın Tanımı• Olasılık her olaya 0 ile 1 arasında bir değer tahsis eden bir

fonksiyondur. Bu fonksiyonun belirtildiği örnek uzaya olasılık uzayı denir. Örnek uzaydaki her basit rasgele olay ve her bileşik rasgele olay olasılık uzayında bir değerle ifade edilir.

• Örnek: Hatasız bir para atıldığında yazı gelme olasılığı nedir?

• Örnek Uzay: Yazı, Tura

• A= Yazı gelme olasılığı P(A)= ½= ,5

4.2. Olasılığın Temel Kavramları• Rastsal Değişken, • Olasılık Evreni(örnek uzay), • Olay, • Basit Olay, • Bileşik Olay• Eşit Olasılıklı Olaylar• Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olay• Bağımlı Olay• Bağımsız Olay

4.2.1.Rastsal Değişken

• Rastsal bir deney sonucunda farklı değerler alan değişkenlere rastsal değişken denir. • Süreksiz (Discrete) Değişken: Sınıflama ölçeğinde

ölçülen her türlü adlandırmaya dönük belirlenen değişken bu amaçla kullanılabilir.• Çocuk sayısı, cinsiyet, etnik köken

• Sürekli (Continuous) Değişken: En az eşit aralık düzeyindeki ölçeklerden elde edilen ara değer alabilen değişkenler rastsal bir deneyin sürekli değişkeni olabilir.• Yıllık kazanç, kişi başına düşen gelir, derslerden

alınan puanlar.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.2.2. Olasılık Evreni (Örnek Uzay)

• Örnek Uzay: Rastsal bir deneyin tüm olabilir sonuçlar kümesine verilen addır ve S harfi ile gösterilir.

• Hatasız bir zarın tek sayı gelmesi olasılığını bulunuz?

• Örnek uzay:• S={1,2,3,4,5,6}

• A= Tek gelme olayı A= {1,3,5}• P(A)= 3/6= 1/2

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.2.3. Olay ve Olay Türleri

• Olay: Olasılık evreninin (örnek uzayın) her alt kümesi bir olaydır.

• Basit Olay: A S’nin sadece bir elemanını içeriyorsa basit olaydır. Örnek uzaydaki her bir olay bir basit olaydır.

• Bir deste kağıttan çekilen bir kağıdın sinek gelmesi. Yazı tura atıldığında yazı gelmesi.

• Bileşik Olay: A S’nin birden çok elemanını içeriyorsa bileşik olaydır. 52’lik desteden çekilen bir kağıdın hem sinek hem kız olması. İki zar atıldığında toplamlarının 6 olması. Örnek uzaydaki birden çok olay söz konusu olduğunda ise bileşik olay söz konusudur.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.2.4. Eşit Olasılıklı Olaylar:

• Eşit Olasılıklı Olaylar: Örnek uzaydaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığının eşit olduğu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Bir zar atıldığında gelen rakamlar, bir desteden çekilen bir kağıdın as olması olasılığı, yazı ya da tura gelmesi olasılığı, tesadüfi cevaplanan bir sorunun doğru olması olasılığı.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.2.5. Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olaylar:

• Bağdaşmaz (Ayrık) Olay: İki olayın birlikte ortaya çıkması mümkün değilse bağdaşmaz olay denir. Birinin olması diğerinin olmasına engel olduğu durumlarda söz konusudur. Kadın ya da erkek olma buna örnek olabilir.

• Bağdaşır (Ayrık Olmayan) Olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından bağımsızsa, yani birbirini engellemiyorsa, iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. Kartın karo kızı olması yani karo ve kız olması.

BÖLÜM 4: OLASILIK

14

Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa

52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51.

4.2.6. Bağımlı Olaylar:

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.2.7.Bağımsız (Ayrık) Olaylar

• Bağımsız (Ayrık) Olaylar: S kümesinde yer alan iki olay birlikte meydana gelemiyorsa ayrık olay olarak adlandırılır. Başka bir deyişle kesişimleri boş küme olan olaylara bağımsız(ayrık) olaylar denir.

• Eğer bir A olayının ortaya çıkması B olayının çıkmasına bağlı değilse A ve B olayları ayrık(bağımsız) olaylardır.

Bu durumda A’nın olasılığı P(A)

B’nin olasılığı ise P(B)’dir.

BÖLÜM 4: OLASILIK

16

Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise aşağıdaki şekilde gösterilir.

Örnek: Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez.

6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor. Toplar torbaya iade edilirse bağımsız olaydır.

NOT: BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN ÇARPMA YÖNTEMİ KULLANILIR!

( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =

4.2.7. Bağımsız (Ayrık) Olaylar:

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 1: Bir torbada 20 top vardır. Bu toplardan 12’si mavi 8’i kırmızıdır. Torbadan bir top çekiliyor. Bu top mavi olduğuna göre torbadan çekilen ikinci topun;

• a) Mavi olma olasılığı nedir?• 11/19• b) Kırmızı olma olasılığı nedir?• 8/19

Not: Toplar torbaya geri atılırsa bağımsız, geri atılmazsa bağımlı olaydır.

BÖLÜM 4: OLASILIK

Bağımsız (Ayrık) Olaylara Örnek

Bileşik Olay Ayrık Olay

BÖLÜM 4: OLASILIK

Tümleyen Olay

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.3. Bir Olayın Olasılığı

• Olasılığı hesaplamak istememizin nedeni rastsal bir durumun söz konusu olmasıdır. Buna göre gözlenmesi mümkün olmayan ancak ölçülebilen değişkenlerin etkilerini ortaya koymak mümkün olur. Mevcut ilişkilerden yola çıkarak geleceğe dönük tahmin yapılabilir. Olası sonuçlardan olması ihtimali en yüksek olan belirlenebilir (Maximum likelihood estimation).

• .

BÖLÜM 4: OLASILIK

21

Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,

Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıttan en az birinin karo olması olasılığı,

Dersi geçme olasılığı?

Hastanın iyileşme olasılığı?

Yeni bir aracın kazaya karışma olasılığı.

4.3. Bir Olayın Olasılığı

BÖLÜM 4: OLASILIK

22

17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanmıştır. 1650 li yıllarda kumar Fransız toplumunda yaygındır. Zar atma, kart oyunları, yazı tura, ve rulet oynanmaktadır. Kumarbazların Pascal, Fermat, De Moive, D’Alembert gibi matematikçilerden bu konuda yardım istemesiyle olasılılık serüveni başlar. Öncesinde Aristo tarafından bir gerçeğin rasgelirliğinin nicelleştirilmesi şeklinde tanımlanmış olmakla birlikte, olasılığın ilk istatistiksel tanımı 1654’te Pascal ve Fermat’ın yazışmalarında kendini bulur.

4.4. Olasılığın Kısa Bir Tarihçesi

BÖLÜM 4: OLASILIK

23

Öncelikle bir olayın aynı şartlar altında meydana gelebilecek bütün olanaklı sonuçları “elverişli” ve “elverişsiz” şeklinde iki gruba ayrılır. Ardından elverişli grubundakilerin sayısını “a” ve elverişsiz grubundakilerin sayısını “b” ile gösterilir. Burada a’nın olması olasılığı yani “elverişli sonucun ortaya çıkması olasılığı” a/a+b dir. b’nin yani “elverişsiz sonucun ortaya çıkması olasılığı” ise b/a+b’ dir.

Klasik olasılık gözlem sayısı ile sınırlı olduğundan ve tekrarlı ölçümleri hesaba katmadığından yetersizdir. Klasik olasılık TÜMDENGELİM’e dayanır. Örnek: Bir kapta 5 kırmızı, 5 beyaz ve 5 mavi bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı nedir?A: Çekilen bir bilyenin mavi olmasın(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 Çözüm: P(A)=n(A)/n(S) =5/15

4.5. Klasik Olasılık

BÖLÜM 4: OLASILIK

24

•Örnek uzaydaki eleman sayısı sınırsızken, eşit olasılıklı olay varsayımı sağlanamadığında ve tümdengelimle çıkarıma gidilemediğinde klasik olasılık yetersiz kalır. •Frekans olasılığı bir olayın oluş sayısının toplam olay sayısına bölünmesi ile bulunur.

P(A) = n(A) / n

Büyük Sayılar Kanunu: Deney sayısı arttırıldıkça frekans olasılığı gerçek olasılığa yaklaşır.

4.6. Frekans Olasılığı

BÖLÜM 4: OLASILIK

25

•Aynı deneyi sonsuz sayıda tekrarlamak mümkün değildir. Frekans olasılığı yetersiz kaldığında aksiyom olasılığı kullanılır.

4.7. Aksiyom Olasılığı

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1. Olasılık Aksiyomları

)AP(1)AP( −=

1) Herhangi bir A olayı için olasılık değeri 0 ile 1 arasında değer alır. 0 ≤ P(A) ≤ 1. İmkansız bir olayın olasılığı 0, kesin bir olay içinse 1’dir.2) Örnek uzayın elemanları için toplam olasılık değeri 1’e eşittir. P(S)=13) A ile B ayrık olmayan (bileşik) iki olaysa P(AUB)= P(A) + P(B)-P(A∩B)4) A ile B ile ayrık iki olaysa P(AUB)= P(A) + P(B)(ayrık iki olay ise (A∩B)= Ø’dir ve P(A∩B)=0’dır.) 5) A olayı S örnek uzayının bir alt kümesi olduğunda A olayının tümleyeninin olasılığı:

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1. Olasılık Aksiyomları

• P(A) A’nın olma olasılığı,

• P(AUB)= P(A) + P(B) (A veya B’nin olma olasılığı)

• P(A∩B)= P(A) x P(B) (A ve B’nin olma olasılığı)

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1. Olasılık Aksiyomları

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1.1. Çarpma Kuralı • k farklı sonuç veren bir deney n kere tekrar edilse ortaya çıkan

durum sayısı; kn’dir. Eşit olasılıklara sahip durumlardan birinin olması

olasılığı ise1/kn’dir. Örneğin iki soruyu tesadüf eseri doğru yapma

olasılığı 1/52=1/25. Örnek uzayın eleman sayısı 25’tir.

Örnek1: Çarpma kuralına göre A olayının olma olasılığı P(A), b’nin olma olasılığı P(B) ise bu iki olayın aynı anda oluşmaları olasılığı A ve B’nin ayrı ayrı oluşma olasılıklarının çarpımı kadardır.

•P(A∩B)= A ile B’nin kesişimi (A ve B), A ve B’nin ayrı ayrı olma

olasılıklarının çarpımı kadardır.•P(A∩B)= P(A) x P(B)Örnek2: Bir desteden çekilen iki kağıttan birinin karo diğerinin sinek olması olasılığı nedir? 1/13 * 1/13 =.077*.077= .005

ÇARPMA YÖNTEMİ BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN KULLANILIR!

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1.2. Toplama Kuralı

• İki olayın birlikte olma olasılığıdır.• A ile B ayrık olmayan (bileşik) olaysa • P(AUB)= P(A) + P(B) –P(A∩B).

• A ile B ayrık iki olaysa• P(AUB)= P(A) + P(B).

BÖLÜM 4: OLASILIK

• İki ayrık olayın bileşik fonksiyonları 0 olduğuna göre bunların birlikte olma olasılığını sadece toplayarak elde etmemiz mümkündür.

• P(AUB)= P(A)+ P(B)

4.7.1.2.1.Ayrık Olaylar için Toplama Kuralı

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1.2.2.Ayrık Olmayan Olaylar için Toplama Kuralı• Ayrık olmayan iki olayın birlikte olma olasılığını sadece

toplayarak elde etmemiz mümkün değildir. Bu nedenle toplamdan iki olayın aynı anda olma olasılığının çıkarılması gereklidir.

• P(AUB)= P(A)+ P(B) – P(A∩B)

• Örnek2: 52 lik bir desteden bir as veya bir karo çekme olasılığı nedir?

• P(AUB)= P(A)+ P(B) – P(A∩B)

• P(A)=4/52 P(B)= 13/52 P(A∩B)=1/52• 4/52+13/52-1/52

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.7.1.2.2.Ayrık Olmayan Olaylar için Toplama KuralıÖrnek3: Fenerbahçe’nin önümüzdeki beş yılda şampiyonlar liginde şampiyon olması ihtimali P(A)= .05, aynı beş yılda Galatasaray’ın Avrupa Şampiyonu olması olasılığı ise P(B)= .20 olarak hesaplanmaktadır. Buna göre önümüzdeki beş yılda bu iki durumdan A veya B olaylarının gerçekleşme ihtimali nedir?

P(AUB)=? P(A)=0.05

P(B)=0.20

P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B) P(A∩B) = (0.05).(0.20)=0.01

= 0.05+0.20-0.01=0.24

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek4: P(A)=1/4, P(B)=p, P(AUB)=1/3 tür. Buna göre• a) A ve B ayrık iki olaysa p’yi bulunuz. (Toplama kuralı-

ayrık)• b) A ve B ayrık olmayan iki olaysa p’yi bulunuz. (Toplama

kuralı-ayrık olmayan)• a) A ve B ayrıksa A∩B=Ø ve P(A∩B)=0• P(AUB)= P(A)+P(B) dir.• 1/3= (¼)+p • P= 1/12• b) A ve B iki ayrık olmayan olaysa• P(AUB)= P(A) + P(B)-P(A∩B)• P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A)xP(B)• 1/3= ¼+p-(1/4)xp=>1/3=1/4+(3/4)xp= (¾)p=1/12=> p=1/9

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 5. Bir üniversitenin rektörü öğrenci ve öğretim üyelerinin bağıl değerlendirmeye geçilmesi konusunda görüşlerini toplamak üzere bir anket yaptırmıştır. Ankette Bağıl değerlendirmeye geçilmesini istiyorum maddesine verilen cevaplar aşağıdaki şekildedir.

• Katılıyor Karşı Çekimser Toplam• Öğretim Elemanı 15 160 25 200• Öğrenci 245 15 40 300• 260 175 65 500• Bu gruptan rasgele seçilen birinin öğretim elemanı olma

veya katılıyor olma olasılığını bulunuz.• P(AUB)= 200/500+260/500 - 15/500=.89

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 6: Yapılan bir çalışmada peynir yemeyen 100 kişiden 70’inin kadın olduğu görülmüştür. Araştırma sonuçları aşağıdaki gibidir.

• P.Yiyor P.Yemiyor Toplam• Erkek 270 30 300• Kadın 130 70 200• Toplam 400 100 500• Bu gruptan rasgele seçilen bir bireyin erkek veya peynir

yiyor olma olasılığını bulunuz (Ayrık olmayan olaylar için toplama kuralı).

BÖLÜM 4: OLASILIK

•Ayrıca E / (AUB) kümesi peynir yemeyen kadınları temsil etmektedir. •Eleman sayısı 70’tir.

• Örnek 7: Kamuoyunun dershanelerin kaldırılması konusunda görüşünü ortaya koymak amacıyla yapılan bir araştırmada çocuklu ve çocuksuz olanların görüşleri aşağıdaki şekildedir. (Ayrık olmayan olaylar için toplama)

• Katılıyor Karşı Toplam• Çocuksuz 55 15 70• Çocuk sahibi 120 110 230• Toplam= 175 125 300• Bu örneklemden rasgele seçilen birinin dershanelerin

kapanmasına karşı (A) veya çocuk sahibi olma (B) olasılığı nedir?

• P(AUB)= P(A)+ P(B)-P(A ∩ B)• = 125/300 + 230/300- 110/300• = 245/300

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 8: Sınıftaki 40 öğrencinin 25’i kız 15’i erkektir. Kız öğrencilerin 10’u erkek öğrencilerin ise 5’i devlet yurdunda diğerleri evde kalmaktadır.

• Devlet Yurdu Ev Toplam• Kız 10 15 25• Erkek 5 10 15• 15 25 40 • Öğrencilerin devlet yurdunda kalma veya kız olma

olasılığı nedir?• P(D)= 15/40 P(K)= 25/40 • P(AUB)= P(D)+ P(K) – P(D ∩ K)=15/40 + 25/40 -10/40• =30/40

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Her birinin sonucu sonlu sayıda olan birden fazla deneyin tüm olası sonuçlarını görmemizi mümkün kılan bir diyagramdır. Bu diyagramdaki dalları takip ederek farklı olasılık hesaplarını kolayca yapmak mümkündür.

4.8.Olasılık Ağaç Diyagramı

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.8.Olasılık Ağaç Diyagramı• Bir sınıftaki 100 öğrenciden 30’u Fen Lisesine 70’i düz

liseye yerleşmiştir. Deneyin ağaç diyagramını çiziniz. İki öğrenciden en az birinin Fen Lisesine yerleşme ihtimali nedir?

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.9. Permütasyon

• Sıraya konulacak n adet nesne varken ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabileceğinin hesabıdır.

............

n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:

n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.9. Permütasyon (Sıralama)

( ) !!

xn

nPxn −

=

n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı nPx …..olarak ifade edilir. Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.9. Permütasyon

( ) !!

xn

nPxn −

=

2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur?6*5*4*3=360

Sekiz rakamdan üç basamaklı ve rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? (Rakamlar bir kez tekrar edecek)8*7*6=336

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.10. Kombinasyon (Seçme)

( ) !!

!

xxn

nC

xn −=

n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nCx ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Şu şekilde hesaplanır:

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.10. Kombinasyon

Beş kişilik bir gruptan üç kişi kaç farklı şekilde seçilir?

( ) 10!3!35

!553 =

−=C

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.10. Kombinasyon

• 10 erkek ve 5 kadın arasından 2 erkek ve 1 kadın üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur?

( ) 5!1!15

!551 =

−=C

( ) 45!2!210

!10102 =

−=C

Çarpım kuralı uygulanarak 45*5=225 farklı şekilde olduğu bulunur.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.11.Ne zaman Permütasyon ve Kombinasyon kullanılır?

• Örnek uzayı ve olay sayısı çok olduğunda permütasyon ve kombinasyona başvurulur.

BÖLÜM 4: OLASILIK

4.12. Koşullu (Bağımlı) Olasılık

• Bir olayın, başka bir olayın gerçekleşmesi koşulunda ortaya çıkması olasılığıdır.

• P(A/B)= P(A∩B)/P(B) B olayı verilmişken A olayının koşullu olasılığı

• P(B/A)= P(A∩B)/P(A) A olayının olasılığı verildiğinde B olayının ortaya çıkma olasılığı

• Bu durumda• P(A/B)= P(A∩B)/P(B)= (P(A) x P(B)) / P(B) = P(A)• P(B/A)= P(B∩A)/P(A)= (P(A) x P(B)) / P(A) = P(B)

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 9: A ve B iki olay olsun. Öyle ki• P(A)= ½, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4 olmak üzere aşağıdaki

olasılıkları hesaplayınız.• a) P(A/B)=? (Koşullu) • b) P(B/A)=? (Koşullu)• c) P(AUB)=? (Toplama kuralı) veya (Ayrık olmayan)• P(A)= ½, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4 olmak üzere aşağıdaki

olasılıkları hesaplayınız.• a) P(A/B)=P(A∩B)/P(B)=(1/4)/(1/3)= 3/4• b)P(B/A)= P(A∩B)/P(A)=(1/4)/(1/2)= 2/4=1/2• c) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/4=7/12

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek 10: Bir sınıftaki öğrenciler keman ve piyano çalabilmektedir. Bu öğrencilerin %80’ı keman, %40’ ı ise piyano çaldığına göre;

• a) Rasgele seçilen bir öğrencinin hem keman hem piyano çalma olasılığı nedir?

• Öğrenciler içinden rasgele seçilen bir öğrenci, • b) Bir öğrenci keman çalıyorsa piyano da çalma olasılığı nedir?

(Koşullu olasılık)• c) Bir öğrenci piyano çalıyorsa keman da çalma olasılığı nedir?

(Koşullu olasılık)• A: Keman çalma olayı • B: Piyano çalma olayı• a) P(AUB) = P(A) +P(B) - P(A∩B)= %100= %80+%40 - P(A∩B)• P(A∩B )= %120-%100= %20 →P(A∩B )= .20• b) P(B/A)=P(A∩B)/P(A)= .20/.40= .50 • c) P(A/B)=P(A∩B)/P(B)= .20/.80=.25

BÖLÜM 4: OLASILIK

• Örnek11 : Bir çalışmada hastaların 0.30’u hem etolforte, hem de voltoren, 0.50’si sadece etolforte ve 0.20’si de sadece voltoren kullanmaktadır. Rasgele seçilen bir hastanın etolforte kullandığı biliniyorsa, bu hastanın voltoren de kullanması olasılığı nedir? (Koşullu olasılık)

• A: Etolforte kullanma olayı • B: Voltoren kullanma olayı • P(A)= .50, P(B)=.20 ve P(A∩B)=.30• O halde• P(B/A)=P(A∩B)/P(A)= .30/.50= .60• =.30/.80 • P(A)=.30+.50=.80 • P(B)=.30+.20=.50

BÖLÜM 4: OLASILIK