Click here to load reader

Relasi dan Fungsi

  • View
    46.927

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Relasi dan fungsi beserta sifat-sifatnya secara lengkap.

Text of Relasi dan Fungsi

  • 1. R ELASI

2. Misalkan A dan B suatu himpunan. Jika anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. Ditulis R : AB. Misalnya Lebih dari Setengah dari Faktor dari Kurang dari dll 3. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi kurang dari , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 1 . 2 . 3 . 4 . .1 .2 .3 BA Kurang dari Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah kurang dari 4. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara . DIAGRAM PANAH DIAGRAM CARTESIUS HIMPUNAN PASANGAN BERURUTAN 5. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan Faktor Dari . . 2 . 4 . 6 . 8 1 . 2 . 3 . 4 . QP Faktor dari Jawab: 6. Himpunan A = { 1, 2, 3, , 25} dan B = { 1, 2, 3, , 10 } .Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : kuadrat dari. R={ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5 Jawab: 7. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, , 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : Satu lebihnya dari . 1 1 2 3 4 5 6 7 98 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 HimpunanB Himpunan A Jawab: 8. Daerah asal atau biasa disebut dengan domain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan. Daerah kawan atau biasa disebut dengan kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan. Daerah hasil atau biasa disebut dengan range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan. 9. 1. Sifat ReflektifMisalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p P berlaku (p, p) R. Contoh: Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri. 10. Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) R berlaku (y, x) R. 2. Sifat Simetris Contoh : Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) R, berlaku (y,x) R. 11. 3. Sifat TransitifMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif, apabila untuk setiap (x,y) R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R. Contoh: Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R. 12. 4. Sifat AntisimetrisMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) R dan (y,x) R berlaku x = y. Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) a kelipatan b, a,b C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris. Contoh: 13. 5. Sifat EkuivalensiMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi. Contoh: 14. FUNGSI 15. Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut . 16. . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . B A Daerah kawan/ kodomain Daerah asal/ Domain Daerah hasil/ Range 17. Dari contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ). 18. Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x . 19. Sama halnya dengan Relasi, suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan 3 cara. yaitu : Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan. 20. Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . . 1 . 2 . 3 . 4 a . i . u . e . o . BA a. Jawab: Diagram panah 21. b. 1 a i u e o0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Diagram cartesius 22. { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) } c. Himpunan pasangan berurutan