View
364
Download
12
Category
Preview:
DESCRIPTION
不定积分的概念和性质 换元积分法和分部积分法 定积分的概念和性质 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的应用和推广. 第三章 一元积分学. 不定积分的计算. 一、第一换元法(“ 凑 ”微分法). 二、第二换元法 ( 变量替换法 ). 三 、分部积分法. 定理 1 ( 定积分的凑微分法 ) 已知变换函数 在区间 上有连续的导函数,函数 在变换函数 的值域区间上连续,且 ,则. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
• 不定积分的概念和性质• 换元积分法和分部积分法• 定积分的概念和性质• 定积分的换元积分法和分部积分法• 定积分的应用和推广
第三章 一元积分学
不定积分的计算
一、第一换元法(“凑”微分法)二、第二换元法 (变量替换法 )
三、分部积分法
§4 定积分的换元积分法和分部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 1 (定积分的凑微分法)已知变换函数 在区间 上有连续的导函数,函数 在变换函数 的值域区间上连续,且 ,则
( )u φ x=
( )f u
[ , ]a b
( )u φ x=( ) ( )u uf d F Cu
(
)
)
(( ) d
a
bu uf
'( ) ( )a
bdxxf x
) ( )(b
adf x x
)( .
))(
(bF
au
定积分“换元必换限 换元必换限 , , 不换元不换限不换元不换限”.所以是否换元一般可根据计算的复杂程度来判断。
42
0cos cosdx x
1
0
5 11 1.
5 0 5u
42
0I dcos cosx x
51 1cos .25 5
0x
42
0sin cos dI x x x
例 1
(令 )cosu x
或者直接地
4du u
4
4
lnd
e
e
xx
x例 2
4
4d( )ln ln
e
ex x
43
24
2ln
3
ex
e
33 22
2 1 214 .
3 4 4
é ùæöê úç ÷= - =ê úç ÷ç ÷ê è ø ú
ê úë û
1
4
20
1d
1 4
xx
x
例 31 1
4 4
2 20 0
1d d
1 4 1 4
xx x
x x
1/ 41
arcsin(2 )2 0
x1
24
20
1d 1 4
1 4x
x
1
8
2 1/ 411 4
12 4 0x
1 31 .
12 4 2
2ln2
ln2
1d1x x
e 例 4 2ln2
ln21 d
1x
xex
e
2ln2ln 1 ln2ln2
xe
3ln3 ln1 ln2 ln .
2
2ln2
ln2
2ln2d(
11)
1 ln2xx
ee x
2ln2 ln4 4e e
定理 2 (定积分的变量替换法)已知函数 在区间 上,变换函数 ( 1)在区间 或 上有连续的导函数;( 2) 时 ;( 3) 。则
( )x φ t=( )f x [ , ]a b
( ) , ( )φ α a φ β b= =
[ , ]α β
( ) [ , ]φ t a bÎ
[ , ]β α
[ , ] [ , ]t α β β αÎ 或
( ) da
bxf x ( )d t
( )f t
( ) '( )tf t dt
( )x t
注意
(1) 不定积分必回代原变量,定积分第二换元 “换元 必换限换元 必换限”。(2) 换元后定积分 的上、下限分别是
1 1( ), ( ).ba
2
0I
2
0
12 1
1t dt
t
2 22 2ln 1
0t t t
xx
xI d
1
4
0
例 5
2t dt 1
t
t
2ln3.
令 ,则x t 2 , 2 .x t dx t dt 时 ; 时0x 0t 4x 2.t
1
2I
32
2
20 1
tdt
t
321 1
ln2 1 0
tt
t
ln22
01 dxI e x 例 6
2ln(1 )d t 32
0t
32ln(2 3) .=- - -
令 ,则21 xe t-- = 21ln(1 ).2
x t
时 ; 时0x 0t 2x 32 .t
0 0(sin ) = (sin ) .
2xf x dx f x dx
例 7 已知 在 上连续,试证:( )f x [ 1,1]
.d x d t证明:
分析:注意到两定积分的积分区间没有变动,被积函数中含有共同的 。我们要寻找的变换函数必须满足这些要求。
(sin )f x
令 ,则x π t= -
时 ; 时0x t x 0.t
0( ) (sin )t f t dt
0 0= (sin ) (sin )f t dt t f t dt
0 0= (sin ) (sin ) .f x dx x f x dx
0(sin )xf x dx
移项并化简后即得结论。
此例说明:定积分的变量替换法可以用来证明积分恒等式。
0( ) (sin )t f t dt
0
( )d ( ) ( ) da a
af x x f x f x x
0( )d
af x x
例 8
在 上连续,试证:( )f x [ , ]a a
证明: 令 ,则x t 时 ; 时x a t a 0x 0.t
0( )d
af t t 0
( )daf x x
0( )d( )
af t t
左边0
0( d)d ( )
a
axf fx xx
0 0( )d)d (
a af x xf x x
0
( ) ( ) daf x f x x = 右边。
( )d 0a
af x x
; 为连续奇函数奇函数时,( )f x
0( )d 2 ( )d .
a a
af x x f x x
为连续偶函数偶函数时,( )f x
特别地 :
1
21
sin
1
xdx
x
01 2
02 arctan (arctan )x d x
3 12arctan3 0
x3
.12
21
21
sin arctan
1
x xdx
x
例 9
21
21
arctan
1
xdx
x
2
1
20
arctan2
1
xdx
x
2
0
2 dsin
xx
2
0d
2
2cos1
xx
2
0
)2sin4
1
2(
xx
.4
22 2
0si sinn d
x
x x
x
x x
ex
e ex x
e
e e
( )
22
2
dsinx
x x
exx
e e
例 10
定理 3 (定积分的分部积分法)已知函数 都可导,则( ) , ( )u u x v v x
(( ) ( ) ( () ) ( ) .)b
aa
bv x v xu x u x u x
bd d
av xx
二、 定积分的分部积分法
l21
n1x
x2
1ld( )
1nx
x
1ln22
2
21d
ln xx
x例
112
1d1
ln xx
2
21
1dx
x
1ln22
21
1x 1 1
ln2.2 2
ln3
0xxe
ln3
0dx xe
1ln33
ln3
0dxxe x例
12ln3
0d xx e
ln3
0xe
1(2 ln3).3
3
0tandx x
tan( ) 30
x x
3
0dtan xx
3
3 3
0||cos|ln
x
3
0 2d
cos
xx
x例 13
23
0dsec xx x
3ln2
3π= -
在 上可积,且 求(1) 3, (3) 1,f f
1
0(2 1) 3,f x dx
3
1( ) .x f x dx
( )f x [1,3]例 14
3 3
1 1( ) ( )x f x dx x d f x
3
1
3( ) ( )
1x f x f x dx
3
10 ( )f x dx
令 ,则2 1x u 1 3
0 1
13 (2 1) ( ) ,
2
uf x dx f u d
3
1( ) 6.f u du
3
1( ) 6.f u du
2
0sin dn
n x xI
例 15 12
0sin sin dn x x x
2
0
1sin cosn x d x
1 2
0
1/ 2
0s cos cosin sinn nx x xdx
1 22
0( 1) sin cosnn x xdx
1
0
22( 1) sin 1 sinnn x xx d
2( 1) ( 1)n nn I In
所以2
1.n n
n
nI I
又 2
00 1 d ,2
xI
012 sin d 1.I x x
所以 22 40
1 1 3sin d
2 nn
n n
n nx x II
n n
nI
n
n为偶数时,1 3 1
2 2.
2
n n
n n
2
0
1 3 2sin d .
2 31n n n
x xn n
为奇数时。n
这就是所谓的 WallisWallis 公式公式。
Recommended