הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 2-2: נוסחת הסתברות שלמה

Igor Kleiner (M.Sc.) igkleiner@gmail.com

2016

הסתברות מותנה

תזכורת

)()|()()|()(

0)(,)(

)()|(

APABPBPBAPBAP

BPBP

BAPBAP

נוסחת הסתברות שלמה היא כלי חשוב לחישוב הסתברויות

נוסחת הסתברות שלמה

נוסחת הסתברות שלמה היא כלי חשוב לחישוב הסתברויות

משפט :

כלומר, של מרחב מדגם חלוקה יהיו :

אזי

נוסחת הסתברות שלמה

,...,, 321 BBB

ji BBji

BBB

:

...,...321

)()|()(1

ii

i BPBAPAP

משפט :

כלומר, של מרחב מדגם חלוקה יהיו :

אזי

הוכחה:

נוסחת הסתברות שלמה

,...,, 321 BBB

ji BBji

BBB

:

...,...321

)()|()(1

ii

i BPBAPAP

)()|()(...)()(

...)(...))(()()(

11

21

2121

i

i

i

i

i BPBAPABPABPABP

ABABPBBAPAPAP

נוסחת הסתברות שלמה היא כלי חשוב לחישוב הסתברויות

כך שיהי קל לחשב אם נוכל להגדיר חלוקהאזי נוכל להשתמש בנוסחת הסתברויות מותנות

P(A)הסתברות שלמה לשם חישוב

נוסחת הסתברות שלמה

,...,, 321 BBB

)|( iBAP

נוסחת בייס

)()|(

)()|(

)(

)()|(

)(

)()|(

1

i

i

i

iiiiii

BPBAP

BPBAP

AP

BPBAP

AP

ABPABP

שאלה:

?מהי התסברות שעבור בן אדם אקראי הבדיקה תהיה חיובית

דיאגנוזה רפואית –דוגמא

P(positive)=?

דיאגנוזה רפואית –דוגמא

P(positive)=0.045+0.1425

דיאגנוזה רפואית –דוגמא

בכד , כדורים לבנים 3-כדורים שחורים ו 5יש 1בכד מספר : שאלה

הכדים 2-בוחרים אחד מ. כדורים לבנים 2-שחור ו 1יש כדור 2מספר באופן אקראי אחיד ואז מהכד שנבחר מוציאים כדור אחד באופן

.אקראי

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

2בכד מספר , כדורים לבנים 3-כדורים שחורים ו 5יש 1בכד מספר : שאלה

הכדים באופן 2-בוחרים אחד מ. כדורים לבנים 2-שחור ו 1יש כדור .אקראי אחיד ואז מהכד שנבחר מוציאים כדור אחד באופן אקראי

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

2בכד מספר , כדורים לבנים 3-כדורים שחורים ו 5יש 1בכד מספר : שאלה

הכדים באופן 2-בוחרים אחד מ. כדורים לבנים 2-שחור ו 1יש כדור .אקראי אחיד ואז מהכד שנבחר מוציאים כדור אחד באופן אקראי

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

מהי הסתברות שהוצא כדור שחור?

אם ידוע שהוצא כדור שחור, מהי הסתברות שהצאנו כדור מכד ראשון?

כדורים וכדים –דוגמא

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

מטבעות שונות –דוגמא

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

נעזר בנוסחת הסתברות שלמה :פתרון

מטבעות שונות –דוגמא

)()|(...)()|()()|()( 2211 nn CPCHPCPCHPCPCHPHP

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

פתרון:

מטבעות שונות –דוגמא

nCHP

nCHP

nCHPHP

CPCHPCPCHPCPCHPHP

n

nn

1)|(...

1)|(

1)|()(

)()|(...)()|()()|()(

21

2211

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH ?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

פתרון:

מטבעות שונות –דוגמא

n

i

inn

n

nn

pn

pppnn

pn

pn

pHP

nCHP

nCHP

nCHPHP

CPCHPCPCHPCPCHPHP

1

2121

21

2211

1...

11...

11)(

1)|(...

1)|(

1)|()(

)()|(...)()|()()|()(

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH ?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

נעזר בנוסחת בייס: פתרון

מטבעות שונות –דוגמא

n

i

inn pn

pppnn

pn

pn

pHP

HP

CPCHPHCP

1

2121

111

1...

11...

11)(

?)(

)()|()|(

בכד : שאלהn הסתברות לקבל , מטבעותH על מטבעi 'שווה ל-𝑝𝑖 . בוחרים

. מטבע באופן אקראי אחיד ומטילים אותו פעם אחד

מהי הסתברות לקבלH ?

ידוע שקיבלנו עץאם 1מהי הסבתרות שזרקנו מטבע?

פתרון:

מטבעות שונות –דוגמא

n

i

inn

n

i

i

n

i

i

pn

pppnn

pn

pn

pHP

p

p

pn

np

HP

CPCHPHCP

1

2121

1

1

1

111

1

1...

11...

11)(

1

1*

)(

)()|()|(