靖江外国语学校　 wgy

（ 2 ）我们采用什么操作方法研究轴对称图形？

(1) 把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 对称图形，这条直线叫做 ．

折叠

轴对称轴

　圆是轴对称图形，过圆心的直线（直径所在的直线）是它的对称轴，有无数条对称轴．

　　圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能

找到多少条对称轴？

( 一)

如何确定圆形纸片的圆心？说说你的想法。

将圆纸片对折 , 确定出圆的一条直径 ; 用同样的方法 , 再确定出圆的另一条直径 . 两条直径的交点即为圆形纸片的圆心 .

（ 1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

① ② ③ ④ ⑤

O

C

O

D

A B

C

① ② ③ ④ ⑤

OA B

C

D

C

BA

① ③

O

D

C

B

A

O

如果一个对称图形与圆具有相同

的对称中心或对称轴，那么它和

圆组成的新图形也是对称图形．

　　如图， CD 是⊙ O 的弦，画直　　　　径 AB CD⊥ ，垂足为 P ；将圆形纸片沿 AB 对折 . 通过折叠活动，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ PC＝ PD;

AC=AD;

BC=BD

⌒

⌒⌒

⌒O

DPC

B

A

O

P(D)C

B

A

( 二)

垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

上述操作过程中 , 当圆的直径与弦垂直的时候 ,

你会得出什么结论？ O

DPC

B

A

证明：连接ＯＣ、ＯＤ．∵ ＯＣ＝ＯＤ，ＯＰ⊥ＣＤ，∴ ＣＰ＝ＤＰ，∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ．

∵∠ ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ，∴∠ ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ．

BC=BD ; AC=AD⌒ ⌒⌒⌒∴

O

DPC

B

A

你能证明定理吗？

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，

ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ垂足为Ｐ。

BC=BD ,AC=AD⌒ ⌒⌒⌒

求证： PC ＝ PD ，

例１：如图，以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于点 C、D.AC与 BD相等吗？为什么？

DCBA

o

E

例 2 ．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为 60cm ，水面至管道顶部距离为 10cm ，问修理人员应准备半径多大的管道？

10cm

60cm

A B

O

O

BAＥ

Ｆ

解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，

并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ　

222 )10(30 RR

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，把圆的问题化归为直线形问题解决。

10cm

60cm

A B

O

四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是 一种研究数学的重要思想

二、垂径定理：

一、圆是轴对称图形，其对称轴是

　　　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

三、垂径定理和勾股定理相结合，构造　　　　　　　　　　　　直角三角形，可解决计算弦长、半　　　　　　　径、圆心到弦的距离等问题．

　　　　　　　　　　　　　任意一条过圆心的直线（或直径所在直线．）

思考 : 在例 2 中 , 我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０ cm, 如果水面宽度由 60cm 变为 80cm, 那么污水面下降了多少 cm?

10cm

60cm

A B

OC D

两弦在圆心同旁

两弦在圆心两旁

ＤＣO·

ＢＡ F

E

O·

ＢＡ

ＤＣ

F

E

Ｒ＝５０ cm ；

ＣＤ＝８０ cm

C D

作垂径，连半径，构造

直角三角形注意圆的对称性

如图，⊙ O 的直径是 10 ，弦 AB 的长为 8 ， P 是 AB 上的一个动点，① 则 OP 的求值范围是 。② 使线段 OP 的长度为整数值的 P点

位置有 个。O

BA p1 p2PC

注意圆的轴对称性

3≤OP≤5

5

１．以矩形 ABCD 的边ＡＢ为直径的⊙Ｏ交ＣＤ于 E 、 F ， DE=1cm,EF=3cm, 则 AB=___

FE CD

O BA

练习：

2 ．如图，过⊙ O 内一点 P ，作⊙ O 的弦 AB ，使它以点 P 为中点。

O

PＡ Ｂ

　　如上图，⊙ O 的直径是 10 ，　　线段 OP 的长为 3 ，则过点 P的所有弦中，①最大弦长为 ，② 最短弦长为 ，③弦长为整数的有 条？

P

O

Ａ

Ｂ

Ｃ Ｄ

连半径，构造

直角三角形

3.CD 为⊙ O 的直径 , 弦 AB CD⊥于点 E,CE=1,AB=10, 求 CD 的长 .

C

D

A BE

O.

4.如图， OA=OB， AB交⊙ O与点 C、 D， AC与 BD是否相等？为什么？

５ .在直径为 650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。