מבוא לאסטרופיזיקה.סיכום.צבי מזא''ה.תש''ע - יונתן ויינתראוב

ם, פרויקט של אגודת הסטודנטיהבנק האקדמיהסריקות בוצעו על ידי

אוניברסיטת תל אביב

ויינתראוב יונתןנתרם על ידי:

לאסטרופיזיקה מבוא

סיכום

ה''מזא צבי

ע''תש, 'ב סמסטר

מבוא היסטורי

סיבוב כדור הארץ שעות24 דקות. הסיבה שיש 4 שעות פחות 24קצב סיבוב של כיפת השמיים סביב צירה הוא •

דקות להסתובב כך שהשמש באותו המיקום בשמיים4ביממה היא כי לוקח לכדור הארץ עוד שנים26,000ציר הסיבוב של כדור הארץ עושה פרסציה במחזור של •

חוקי קפלרניתן להוכיח את חוקי קפלר באמצעות חוקי ניוטון

כוכבי הלכת נעים באליפסה כאשר השמש באחד ממוקדיה• מהירות כוכב הלכת במסלולו משתנה כך שהקו המחבר אותו עם השמש סורק שטחים שווים•

rבזמנים שווים. (החוק השני נובע משימור תנע זוויתי: 2m=Lבגלל שאין מומנט חיצוני כי כוח המשיכה הוא רדיאלי)

Pהחוק השלישי מקשר בין מסלולים שונים של פלנטות שונות. זמן ההקפה של הכוכב סביב השמש •

מקיימים: aוגודל חצי הציר הגדול: P2

a3=const 3 שאלה 1. (להוכחה ראה תרגיל בית(

P2

22=a3

GM)P ,זמן מחזור a(האורך של חצי הציר המרכזי

טלסקופ בגלל מבנה הטלסקופ יישנה הגבלה על הרזולוציה. ההגבלה נובעת מהמינימום הראשון של פונקציית בסל כדורית (הנובעת ממבנה של

כתלות באורךהאופטיקה). ההפרדה הזוויתית המינמלית

D :=1.22וקוטר הטלסקופ הגל D

בפועל על כדור הארץ לא ניתן להגיע להפרדה כזו בגלל האירבוליות של האטמוספירה.

פעולות בבבת אחת:2טלסקופ מבצע הגברה – עדשות הטלסקופ מרכזות את כמות גדולה של קרני אור לנקודה אחת ולכן עוצמת האות•

גדלההגדלה – בגלל מבנה העדשה האובייקט נראה גדול יותר.•

www.mymentor.co.il/yonatan /לסיכומים נוספים:

Object Apprise Bigger

theta

Pow

er

http://www.mymentor.co.il/yonatan/

כוכבים

מאפייניםהגדלים אשר מאפיינים כוכבים הם:

)Lבהירות ( כמות הפוטונים שהשמש פולטת בכל התדרים בכל הכיוונים בשניה אחת. הבהירות על פני הכוכב:

L=4R2 f :מניחים כי הבהירות נובעת מקרינת גוף שחור מקליפת הכוכב .L=4R2T surf4

)fשתף הפוטונים הפוגע ( כמות האנרגיה לשנייה לס"מ בריבוע (שטח) שפולט הכוכב. גודל משקף את הכמות

האור אפקטיבית שנמדוד בחישון מהאור המגיע מהכוכב (החלק היחסי מהכליפהL=4dהכדורית). 2 f)d(הוא המרחק לכוכב

fהיחס בין השתף על פני הכוכב לנקודה מרוחקת: d = f R R2

d 2 כאשר

f R ,השתף על פני השטח של השמשRרדיוס השמש –

ספקטרום הפליטהחוקי קירכהוף מגדירים אינטראקציה בין חומר לקרינה.

גז מחומם פולט בקווי פליטה בודדים.•אור עם ספקטרום רציף העובר דרך גז קר בולע את האור באותם תדרים של קוי הפליטה.•מצוק מחומם פולט אור בספקטרום רציף – קרינת גוף שחור.•

ההנחה היא כי כוכב פולט קרינת גוף שחור בכל התדרים, אבל החומרים שנמצאים באטמוספירת הכוכבבולעים חלק מהקרינה בקווי בליעה אופיינים.

=קרינת גוף שחור בתדר cבניגוד ל)=2

T היא (=2h2

c21

eh/K BT−1 (כאשר

[]=erg

Hz⋅sec⋅cm2 וכןHz= radsec(

נשתמש בקירובים:

h≪Kעבור טמפרטורה גדולה: • BT :ואז נפתח את האקספוננט בטור ונקבל=22K bT

c2

h≫Kעבור טמפרטורה נמוכה: • BT ואז=2h3

c2e−hKBT .

בעזרת אינטגרציה על הזווית המרחבית והתדר נקבל את חוק סטפן - בולצמן:f =∬ Bcos d d =T 4

פסי בליעה איך הבליעה נעשת? פוטון פוגע באלקטרון ומעלה אותה רמה, כאשר האלקטרון יורד חזרה הוא פולט את

הפוטון אבל לא בכיוון שממנו הוא נקלט ולכן נראה פחות אור בפס ספקטרלי זה.


df

L


כאשר אלקטרון (באתום המימן) נופל מרמת אנרגיה כלשהי לרמה השנייה הוא פולט פוטון בעל תדרH (באלמר) ומסומנים באות Balumerמסויים. התדרים הללו נקראים קווי

H הוא 3-2מעברים נקראים 2-4, מעברים H .וכן הלאה

כל קווי באלמר הם באור הנראה. איך נוצרים קווי בליעה באלמר? צריך שיהיה אטום המעורר לרמה השנייה ואז הוא תופס עוד פוטון – זה

מלכתכילה?2מקרה יחסית מורכב כי איך האלקטרון הגיע לרמה 2-3תשובה: יש פה יחס של טמפרטורה.. עבור גז קר מאוד באמת לא נראה קווי באלמר (בליעות בקוי

.2לדוגמה). עבור גז "קצת חם" חלק מהאלקטרונים יהיו ברמה בצורה מדוייקת משתמשים במשוואת בולצמן (מפיסיקה תרמית) לגז מעורר: שבו מסתכלים על כמה

אטומים מעוררים ברמת אנרגיה מסויימת לאומת אחרת: N n2

N n1

=gn2

gn1

e−E n2−E n1 /K BT כאשרN n1הוא

הוא פונקציית הריבוי –n1 ,gהיא האנרגיה של הרמה n1 ,En1כמות האטומים המעוררים ברמה gn=2nמשקל סטטיסטי

2 .

Hבפוטוספירה של השמש. זהו קו הבליעהn2=3,n1=2לדוגמה, נסתכל על המעבר בין הרמות . =6563עבורו A

0 נציב את האנרגיה של פוטון במעבר בין רמות(אנגסטרם), הצבה תתן (

∣E n1– E n2∣=h - (N 3

N 2=94e−hc

1KbT=0.05 2- כלומר יש כמות דיי גדולה של אטומים ברמה

המעידים על בליעה דיי רצינית.

אזי הפרש הרמות A) למשל סוג Gאגב, עבור כוכבים חמים יותר (השמש היא מסוג N 3

N 2 ולכן0.25=

תהיה בליעה גדולה יותר. (אגב נזכור כי ככל שהגז חם יותר הגז יהיה יותר מיונן).

רדיוס הכוכב אם אנחנו מניחים שהכוכב פולט קרינת גוף שחור ממש מתחת לפני השטח נוכל לחשב את הרדיוס

R – טמפרטורה מודדים בקוי פליטה, T הבהירות, L- כאשר L=4R2Tבאמצעות קרינת גוף שחור: – רדיוס הכוכב.

Magnitude מגניטודה -

∫b=a2הבהירות הניצפת מוגדרת כ: סולם למדידת בהירות כוכבים. 0

∞

f ARd כאשרa2הינו

Rהוא מקדם ההעברה של האטמוספירה בתדר הספציפי הזה, ו Aשטח האיסוף של הטלסקופ.

fהינו יעילות קליטת הפוטון בגלאי. הוא שתף הפוטונים (לדוגמה בעזור כדור הארץ השתף של השמש

1.4הוא KWm−2(

לפי סולם המגניטודות: b1b2=1001 /5 m 2−m1m2−m1≈2.5 log10b1/b2.

Absoluteכמובן שהגדרת המגניטודות היא פר גלאי, הסולם הנפוץ הוא מגניטודה בסולם של העין (נקרא

Bolometric Magnitude(M L=2.5 logLL sun

4.72 כאשר)LSun.(היא עוצמת ההערה של השמש

בבהירות הניצפת (מגניטודה קטנה רואים יותר טוב)100 מגניטודות הוא בערך פאקטור 5



מגניטודה – ניסוח אלטרנטיביm2−m1=−2.5הסולם היווני: log10 f 2/ f 1.

פרסק מהמקור:10 – זה השתף כפי שהיה נצפה אילו הצופה היה במרחק Mנגדיר מגניטודה מוחלטת m−M=5 log d

10pc המגניטודה של השמש .M sun=5



תכונות השמש שלנו1033×2מסה: • gr

L3.8×1033ergבהירות • /sec

700,000Kmרדיוס •

5,8000טמפרטורת פני השטח • K

106K×1.6טמפרטורת הליבה: •

HR – Hertzspung Russellדיאגרמת ניתן ממדידות על כוכבים קרובים להאריך את עוצמת ההארה וטמפרטורת

הכוכב ולסדר בדיאגרמה הוא החם ביותרO(טמפרטורה של כוכבים מחולקת למחלקות כאשר

OBAFGKM(על הסידרה הרשית נמצאים רוב הכוכבים רוב חייהם.

L=4בסידרה הראשית מתקיים בקירוב. משום ו r2T e r(כאשר 4

הוא רדיוס הכוכב) ניתן לראות על הסידרה הראשית יש קשר בין הרדיוסr~Tשל הכוכב לטמפרטורה: e

2

קבוצות עיקריות של כוכבים שאינם על הסידרה הראשית: ננסים2יישנן לבנים, ענקים אדומים.

מסלולים סביב כוכב

המשפט הויריאלי

E האנרגיה הפוטנציאלית: a הנע סביב לכוכב במעגל ברדיוס mעבור חלקיק בוחן g=−GM

am,

Eוהאנרגיה הקינטית: k=12mv2=1

2m a2= 1

2mGM

a3a2=1

2m GM

a

Eמקיימות יחס שנקרא המשפט הויריאלי (עבור חלקיק בשדה כבידה): k=12∣Eg∣

משמעות המשפט: נניח כי חלקיק מגיע מאינסוף ורוצה להכנס למסלול מעגלי סביב השמש. אזי האנרגיה

E: החלקיקהמסלולית הסופית של gEk=−GM2a

m ,החלקיק חייב -0 לאומת האנרגיה ההתחלתית

הכיוון ההפוך לו דווקא נכון (חלקיק המקיים את יחסלהיפתר בחצי מהאנרגיה שלו כדי להכנס למעגל.האנרגיות לו דווקא נע במעגל סביב השמש).

נקבל ללא הוכחה כי המשפט מתקיים גם עבור מסלולים אליפטיים!

דיון בתנע זוויתיL=mGMaהתנע הזוויתי של החלקיק הנע באליפסה: 1−e2 כאשר)e(היא האקסצנטריות

צריך לקטון:aמה יקרה עבור חלקיק המעבד אנרגיה אבל השומר תנע זוויתי?החלקיק מעבד אנרגיה ולכן E=−GM

2am אם ,a קטן אזי e צריך לקטון כדי לשמר את L L=mGMa 1−e2


L

O B A F G K M

Main SequanceWhite Dowarfs

Gaints


. כלומר החלקיק המעבד אנרגיה יעבור למסלול יותר ויותר מעגלי

כוכבים כפולים כוכבים הם קרובים או במקרה באותו מקום בשמיים?2איך כוכבים כפולים התגלו? ראשית איך ידעו אם

כוכבים יהיו2במקור ניסו לחשב את ההתפלגות של כוכבים בשמיים וראו שמאוד לא סביר סטטיסטית ש-כלכך קרובים במקרה (ג'ון מיטשל). לאחר מכן מצאו שיטות יותר "תצפיתיות"

.10 ל-1 מהכוכבים בשמיים הם כוכבים כפולים כאשר יחס המסות הוא בערך 20%קיום יודעים כי כוכבים כפולים הם כלי למדידת מסה ורדיוס של כוכבים, בעזרתם ניתן לסווג את הכוכבים על הסידרה

הראשית לפי תכונות אילו ולבדוק את המודלים למבנה הכוכבים

דינמיקהrהממוקמות בm1,m2 מסות פחות או יותר באותו סדר גודל 2עבור 1, r2ביחס

rלראשית צירים אינרציאלית. כמו כן נגדיר 1−r 2=r. היא מערכתrמקיים את חוקי קפלר (למרות שrניתן לפתח ולראות כי

צירים מדומיינת).

=Rואם זאת, נלך צעד אחד קדימה ונגדיר את מערכת מרכז המסה. מרכז המסה יוגדר כ m1 r1m2 r2m1m2

=R1. קל להראות כי: R1=r1−Rביחס למרכז המסה m1ונגדיר את מיקום m2

m1m2rובצורה .

=R2דומה: −m1

m1m2r.

ולכן ניתן לכתוב את משוואותR=0משום ומרכז המסה אינו מאיץ מערכת מרכז המסה היא אינרציאלית

=m1:R1התנועה במערכת זו. לדוגמה עבור m2

m1m2

r=−G m2

r3r=−m2

3 Gm2m1

2

R1R1 - וקיבלנו כי3

R1.מקיים משוואה של כוח מרכזינע בשדה כוח מרכזי כאשר המסה המרכזית נמצאת במרכז המסה של המערכת.m1כלומר הגוף

.m2כנ"ל לגבי

כל גוף בנפרד עושה אליפסה אשר עוברת דרך מערכת מרכז המסה הגופים מבצעים את התנועה הבאה סביב מרכז המסה2בסה"כ

(כאשר הם תמיד בכיוונים מנוגדים למרכז המסה):

=1נגדיר מסות "שכולה" m23

m1m2; 2=

m13

m1m2 . כל אחד מהם מבצע מסלול קפלריאני בעל אורך

i) ומהירות זוויתית ממוצעת a1,a2)Semi major axisחצי אליפסה 2=

Gi

a i3.

(המסה הקטנה עושה את המסלול הגדול יותר)a1,a2כאשר יחס המסות קובע את היחס בין

הנוסחאות החשובות הן:

a3חוק קפלר •

G m1m2= p2

22)p(הנו זמן המחזור


m1 m2

X

Y r

r2r1

a1 a2


a=v1v2נציב קשר בין מהירות לזמן מחזור ונקבל: •p2 ,m1m2=v1v 2

3 P2G

רוב הפעמים, האליפסות לא תמיד נמצאות "מולינו" אלא מותות. מגדיריםוהיא הזווית בין קו הריאה לניצב למישור התנועהiאת זווית ההתייה

.i=90edge on ולמצב face onנקרא i=0למצב

במידה ואנחנו מסוגלים למדוד באמצעות טלסקופ את המהירות שלv1Obs∣=v1sin∣הכוכב אנחנו נמדוד למעשה את הרכיב הטנגנסיאלי: i.

סוגי כוכבים כפוליםכוכבים כפולים נבדלים ביכולת התצפיתית שלנו לזהות אותם.

Visual Binariesכוכב כפול נראה - הכוכבים אל מרכז המסה שלהם2במערכות אילו נתן למדוד ישירות על השמיים את ההפרדה הזוויתית בין

1 ,2

מאיתנו אזי: d הכוכבים נמצאים במרחק 2בגלל ש-1d2d

=r 1r 2=

m1

m2.

משוואות2 – המרחק מאיתנו, נוכל לקבל d ממדידת a, וניתן לקבל את pכמו כן מודדים את זמן המחזור ולפתור עבורן.m1,m2עבור

=GMכמו כן, נוכל למדוד את המסה הכוללת של המערכת לפי a3

הוא המסה הכוללת Mכאשר

הכוכבים.2 המרחק בין aזמן המחזור ו

Spectroscopic Binariesaבמקרה זה לא ניתן למדוד את , r1,r יישירות בגלל המרחק, אולם ניתן להסיק את האמפליטודה של2

−=01המהירויות בקו הראייה באמצעות אפקט דופלר vc נשתמש בקשר בין . זמן המחזור ,p

=והרדיוס: vr

; = 2p לקבלתv1 p=2 r1 ; v2 p=2 r2ואז מתקיים .

∣v1Obs∣∣v2Obs∣

=12

=r 1r 2=m2

m1.

m1m2sinונקבל: 3i=

2G∣v1Obs∣∣v2Obs∣ו)i.(הוא נעלם נוסף

במקרים רבים, ניתן זהות את הספקטרום של אחד הכוכבים משום והשני חייור מדיי. ולכן יהיה בידינו רק

V∣את 1Obs∣ :נוכל להציב ולקבל .m1m2sin3i= p

2G∣v1Obs∣31m1

m2 3

כמו כן במקרים רבים

m2≪m1 :(וזו הסיבה שהוא חיוור) ולכן נקבלm2 sin i≈ p2G

13∣V 1Obs∣m1

2/3.

V, אמפליטודת המהירות של הכוכב הראשי Pכלומר ע"י מדידה של זמן המחזור 1Obsוהמסה שלו. נוכל


i


sin (מסה מינימלית ע”י הצבה תחתוןלקבל חסם i=1(למרות שהוא לא נראה) למסת הכוכב המישני כלל)

Eclipsing Binaries במידה ואחד הכוכבים לוקה ביחס לשני, נקבל עקומת אור

מהצורה:

rנסמן pרדיוס הכוכב הגדול, ובr sרדיוס הכוכב קטן.

.vנניח כי הכוכבים נעים זה ביחס לזה במהירות יחסית v=∣v1∣∣v2∣

tמהפרש הזמנים 2−t =v(התחלת הליכוי) ניתן להשיק את רדיוס הכוכב הקטן 12 r s

t 2−t1 - זהו הזמן

2rשהכוכבים חולפים s - זה ביחס לזהr s=v2t 2−t 1

tמשך הליקוי המלא ( 2tt3 :נקבע ע"י הזמן שלוקח לעבור את הפרש הרדיוסים (v=2r p−2 r s

t 3−t 2

rולכן: p=2 r sv2t 3−t 2=

v2 [ t3−t 22 t2−t1] כלומרr p=

v2 [t 3−t 22t 2−t 1 ].

. 90 שלו קרובה ל-i כי הזוית spectroscopic נשים לב כי כוכב לוקה לעיתים קרובות יהיה גם


t

L

t1 t2 t3 t4


מבנה כוכבמודל לכוכב הינו כדור גז המוחזק תחת השפעת הכובד העצמי שלו והפולט אנרגיה ממקור עצמי שלו.

הנחות המודלבידוד – הכוכב עומד לבד ביקום, הכוחות האחרים קטנים יותר•סימטריה ספרית (אם נראשה לכוכב להסתובב הסימטריה הספרית תישבר והכוכב יהיה פחוס יותר.• שיווי משקל תרמו דינמי מקומי – הכוכב עשוי מגז אידיאלי ויישנו שיווי משקל בין הקרינה לחומר. -•

במציאות לא קיים שיווי משקל כי קרינה כל הזמן בורחת מהכוכב אבל קצב בריחת האנרגיה עיתימזניחים לחץ קרינה• הליום והשאר.25% מימן, 70%דעים שהוא הרכב כימי התחלתי אחיד – כיום יו•

המשתנים שאותם נרצה למדל צפיפות הכוכב כתלות ברדיוס r הלחץ,P r טמפרטורה, T r והמסהM r

משוואות הכוכבR=P 0תנאי השפה הם שברדיוס הכוכב (כשהכוכב נגמר) הלחץ והצפיפות הם • R=0.

4 קרינת גוף שחורתנאי שפה עבור הטמפרטורה והבהירות באמצעות• R2T 4R=LR.

רציפות המסה:•dMdr

=4r 2r בהנחה שהכוכב כדורי חייב להתקיים קשר בין המסה עד -

לבין הצפיפות, הקשר צריך להיות במבנה של ספרה כדורית זוהמסה של הכוכב מנסה לגרום לו לקרוס, הכוח הנוגד את הקריסה הוא גרדיאנט הלחץ בכוכב. •

המשוואה ההידרוסטטתי:היא GM r

r 2r =−dP

dr(בהזנחת לחץ קרינה)

dL משוואת ייצור האנרגיה (קרינה):•dr

=4 r 2r r האנרגיה שקליפה כדורית מפיקה -

תלוייה בצפיפות בקליפה זו וכן בפונקציית ייצור האנרגיה ליחידת מסה ,T זו היא פונקציה - מפיזיקה גרעינית

. בגלל שהשמש עשויה מגז אידיאלי כדי שיהיה גרדיאנט בלחץ (שיחזיק את גרדיאנט הטמפרטורה• השמש מלקרוס) צריך להיווצר גרדיאנט בטמפרטורה. נשאלת השאלה עם כן איך גרדיאנט זה נוצר.

בלבד (ולא באמצעות הסעה או הולכה).Lנניח כי החום עובר בכוכב באמצעות קרינה r ובעובי rבנפנוף יידים נאמר כי אנרגיית הקרינה הנמצאת בתוך קליפה כדורית דקה ברדיוס

4היא: r2ru כאשרuהינה צפיפות האנרגיה. משך הזמן

rשהאנרגיה הזו נמצאת בתוך הקליפה הוא 2

lc הוא העומקlכאשר

מהירות האור. לכן זרם האנרגיה שיוצא מהקליפה הואcהאופטי בקליפה ו 4 r2ru3 r 2/ lc

כי משום מה).1/3(נוסף פאקטור

Lמתקיים שיוויון בין הקרינה שנכנסת r לזו שיוצאת (בהזנחת ייצור אנרגיה בקליפה) ולכן Lr 4 r2

=−cl3

dudr .:מפיסיקה תרמית אנחנו יודעים קשר בין אנרגיית הקרינה לטמפרטורה

u=a T . נציב זאת ונקבל 4d Tdr

=−3 L r r r 4 r24 acT 3r כאשר) הינה אתימותopacity(


u

u+L


פתרון כוכב באמצעות אנרגיותאת משוואות הכוכב קשה לפתור. יותר פשוט לקבל עומדנים מתוך הסתכלות על האנרגיות.

המשפט הויריאלי של הכוכב בגלל שקיים שיווי משקל תרמו דינמי מקומי בכוכב. הגז האידיאלי מקיים את בולצמן. צפיפות האנרגיה

התרמית: E th

V= 32nk BT)n צפיפות החלקיקים בגז), הלחץ P=n KbT ולכןP=2

3E th

V

P=1לקרינה גם כן יש תמרפרטורה מסויימת וכן לחץ קרינה: 3E rad

V ,P=1

3a T 4 ,

E rad

V=aT 4.

משום והפוטונים נמציאם בשיווי משקל עם החומר אזי הטמפרטורה של הקרינה היא אותה הטמפרטורה) כמו החומר.T(אותו

4נכפול את המשוואה ההידרוסטטית ב r3-האגפים:2ונבצע אינטגרציה ל

∫0

R

4 r3GM r r2

r d r=−∫0

R

4 r3 dpdr

dr.

∫אגף שמאל:0

R

4 r 3GM r r 2

r dr =dM=4r 2dr

− ∫0

M R GMr

dM=−E gr

∫−אגף ימין, נשתמש באינטגרציה בחלקים:0

R

4r 3 dpdr

dr=−4 r3 P r ∣r=0R 3∫

0

R

4r 2 Pdr

P 0 בשפה הוא Pאיבר השפה נופל כי r=R=0 בעוד שבמרכז הכוכבr=0.

P=nעתה נניח גז אידיאלי K T)n צפיפות חלקיקים) עבורו מתקיים – P=23E th

V.

∫3נציב זאת ונקבל:0

R

4 r2 P dr=3∫ 23E th

v⋅42dr=2∫ E th

vdv=2 E th)∫ E th

vdv=E thאינטגרל-

על צפיפות אנרגיה תרמית לכל הנפח הוא בדיוק האנרגיה התרמית)

E משפט הויריאלי עבור כוכבים: האגפים ונקבל את ה 2 נשווה את - th=−12EG

Eכדי להשתמש במשפט הויראלי נציב gr=−GM 2

R) M ,מסת הכוכב R ,(רדיוסו E th=

31n k BTכאשר

T .היא הטמפרטורה הממוצעת בכוכב

משוואת האנרגיה של הכוכב בכוכב שנמצא בטמפרטורה, צפיפות והרכב כימי קבועים. אזיdmנסתכל על אלמנט

dm=dv=4 r2dr אם .uהוא האנרגיה ליחידת מסה, ו Pהוא החלץ

הקבועה מחוקי תרמודינמיקה:dmנסתכל על שינוי בזמן של האנרגיה במסה u dm =dmu=QW

Q ,הינה כמות החוםשנפלטת או נקלטתW היא העבודה שמבוצעת על אלמנט המסה בזמן t

W=−Pdהעבודה היא: V=P dVdm

dm=−p 1dm.



הוא קצב פליטת אנרגיה גרעינית ליחידתqוהחום – החום יכול להגיע מאנרגיה גרעינית שמשתחררת(Fמסה) , או משטף החום הנע דרך אלמנט המסה (במאונך למשטח הספרי r נשים לב שהגדרנו - (

Fאת שטף האנרגיה היוצא מהכוכב: R=Lובסה"כ .

Q=qdm tF M r t−F mdmt :כאשר נזכור כי) .F mdm=F mFm

dm(

qמורכב מהאנרגיה שנוצרת Q(פרשנות: סה"כ האנרגיה dm tועוד האנרגיה שנכנסת מהשכבות Fשמתחת M r r פחות האנרגיה שיוצאת לשכבות שמעלF mdm t(

נציב את כל אילו ונשאיף את t 0 :u−P qq2=q−F

m.

q=Fבשיווי משקל תרמי הנגזרות הזמניות מתאפסות ולכן m-כלומר בשיווי משקל תרמי הכוכב מקרין

בקצב שבו נוצרת האנרגיה בליבתו (מקרין הכל).

uPבסימנים של השיעור המשוואה הופכת ל ˙

1=− LMכאשר בצענו שינוי סימונים

q= , L=F

uPהמשוואה הדינמית של הכוכב כאמור: ˙

1=− LM כאשר בצענו שינוי סימוניםq= , L=F

Eונקבל: dmנבצע אינטגרציה לאורך tot=UE kE gr=Lnucliar−L.

.Lnucliar=Lבנקודת שיווי המשקל הנגזרות הזמניות מתאפסות ו

ייציבותE˙בשיווי מקל תרמי מתקיים total=0 נניח כי זזנו מאט משיווי משקל ולכן למשל .LnucLהכוכב)

.E0מייצר יותר אנרגיה גרעינית ממה שהוא פולט). אזי יורד.∣E∣אבל משום והאנרגיה הכוללת היא שללית אזי נוכל לאמר כי

E∣מהמשפט הויריאלי אנו מקבלים כי אם האנרגיה הכוללת אזי גם האנרגיה הגרוויטציונית g∣תרד, כדי צריך לגדול ולכן הצפיפות צריכה לרדת.Rשהאנרגיה הגרוויטציונית תקטן רדיוס הכוכב

אזי קצב האקציה יורד ולכן~nמשום וראקציות גרעיניות פרופרוציוניות לצפיפות בחזקה כלשהי Lnucיורד. כלומר הגדלה של קצב הראקציות לאומת ההארה שומר ייציבות

משוואות סטנדרטיות של לחץ אטימות ויצור אנרגיה משוואות כדי לתאר את המערכת – משוואות אילו תלוייות במודל שנבחר.3בנוסף נצטרך

במקרה הפשוט הנוכחי נבחר:•P=bT

•=const(כוכבים חמים שבהם הפיזור הוא פיזור תומפסון)

•=0T(בערה של מימן)4





לערוך (להוסיף לאנקדוטון על מבנה כוכב)Tבהינתן שהטמפרטורה בליבת השמש היא c=15×10

6Kובהתחשב כי הטמפרטורה המינימלית , Tmin=4×10לבערה גרעינית היא

6 kמהי המסה המינימלית של כוכב, ומהי בהירותו -

T~Mנוכל לקבל מהמשוואות הפרופורציה: 4 . עתה נקבל:7

T c

T min=15×10

6

4×106= M sun

M min47M min~0.1M sun.

בהירות אדינגטון

P ובעזרת חוק סטפן בולצמן: 3 ו-2ממשוואות rad=13aT נקבל 4

dP rad

dP= L4 cGM

(השינוי בלחץ

הקרינה לחלק בשינוי בלחץ הכולל).

P=Pמשום ובמקרה הפשוט: radP gradומשום וכאשר מתקרבים לשפה שניי הלחצים קנטנים מתקיים .

signכי [dP rad ]=sign [d P rad . ולכן ברור כי [d P rad

dP1:ולכן מקבליים את חסם לדינגטון לבהירות

L4cGM.



אנקדוטות על מבנה כוכב פיתחנו נוסחא לזמן שיקח לקליפה כדורית ליפול חופשית אל הכוכב בהנחה שגרדיאנט7בשיעור •

(ע"י משוואות0החלץ מפסיק מסיבה מסויימת כתלות בצפיפות הממוצעת מתחת לקליפה זו

tשימור אנרגיה) ff= 332 1G 0

. עבור כוכב כמו השמש זמן הקריסה של השכבה החיצונית הוא

מליארד שנות חייה 5 במהלך חצי שעה – זה מגדיר את סידר הגודל של דיוק התהליכים בשמש. .של השמש הפרטובציות בלחץ היו צריכות להיות קטנות מחצי שעה

=lmfpמהלך חופשי של פוטון בשמש מוגדר כ •1nכאשר הפיזור נשלט ע"י פיזור פוטונים .

=0.67⋅10באמצעות אלקטרונים (פיזור תומסון) ולכן −24cm2 גרם1.4. צפיפות השמש היא

לס"מ מעוקב (כמו מים) השמש מורכבת ברובה ממימן ולכן צפיפות החלקיקים היאn= 1.4

1.67⋅10−24 . (בפועלlmfp=2cm(צפיפות לחלק למסת הפרוטון) ומקבלים לבסוף כי

ס"מ). כמו כן נחשב את הזמן שיקח לפוטון להגיע0.1המהלך החופשי הממוצע בשמש הוא פיזורים בכל פיזורNמהמרכז אל השפה (באמצעות מהלך שיכור – מהלך מקרי) הפוטון מבצע

lהוא מתקדם i :נחשב את המרחק של הפוטון מהמרכז.D=∑ li:ונרצה לחשב את המרחק d=D2 ידוע מתוצאה של הילוך שיכור כי . d = D2 =N lבמקרה שלנו, אנחנו .

כרדיוס השמש: dיודעים את המרחק d =7⋅1010כדי לעבור את רדיוס הזה עליו יהיה לעבור .

N=dl 2

=7⋅1010

0.1l הוא n. הזמן שעובר כדי לבצע את הצעד

cולכן זמן הבריכה של הפוטון.

Tמהשמש: poton=lc R sun

l 2

≈50,000 years.נוכל להסתכל על כל חלק בשמש כאילו הפוטונים

נשארים בו – הזרימה החוצה של הפוטונים היא מאוד מאוד איטית! ההרכב ההתחלתי של הכוכב (מסה + הרכב) קובע חד חד ערכית את – Russell -Vogt משפט •

מיקומו בסידרה הראשית. (בהינתן מסה כללית כל שאר הפרמטרים נפתרים מהמשוואה ומתקבלכוכב)

L~M עבור כוכבים חמים Mבהינתן • L~Mועבור כוכבים קרים 3 - כלומר ככל שכוכב יותר5חם הוא מכלה את האנרגיה שלו מהר יותר.

H-Rשיפוע הסידרה הראשית בדיאגרמת log מקשרת בין H-Rדיאגרמת L :לבין הטמפרטורה בשפת הכוכב ,logT eff.

T לבין Lחוק סטפן – בולצמן מקשר בין eff :עבור גוף שחורR2T eff4 ~Lנציב את ייחסי .

T שקיבלנו ונקבל: L בTהפרופורציה של eff4 ~L

1−2n−13n3

=0T מגיע מn(כאשר - בצענו הכללה לא עבור מימן אלא עבור חומר כללי4

=0Tn(



תהליכים אופטיים בשמשפוגעת בחומר בעובי I – כאשר קרינה עומק אופטי• Xחלקה

I :נבלא. ולכן כמות הקרינה שמועברתI =I 0e−העומק

מקיים את הנוסחא:(גודל חסר יחידות). האופטי הינו = l כאשרl ,היא עובי הדגימההיא האטימות וצפיפות

הוא מקדם אטימות החומר (ביחידות שלOpacity - אטימות •cm2

gr ), אנחנו מניחים כי חלקיקי החומר אינם משפיעים זה על זה, אם מכפילים את כמות

, מקדם האטימות הוא תלוי2החלקיקים אזי כמות הפוטונים כתוצאה מהאטמות שיבלעו תגדל פי בפיסיקה של החומר, כמה האטומים מסוגלים לתפוס פוטונים.

מודל לפיזור \ בליעה של אנרגיה. נניח צילנדר בעל – פעולהךחת• לתוכו נכנס שטף. נניח כי בתוך הצילנדר יש חלקיקיSשטח

בודד שמסוגל לבלוע או לפזר את הפוטון – חתך הפעולה של החלקיק.(במידע והפוטון פגע בחלקיק הוא לא יצא בצד השני).הוא

חלקיקים החלק היחסי של האנרגיהNועבור S≫בהנחה כי י

שיעבור הוא − II

= NS עבור שכבה הומוגנית ותוך שימוש בצפיפות נפחית .n

N=nS x :אזי נקבל= n l כלומר האטימות היא .=m כי) =mn (

=n:1 - האורך עבורו האומק האופטי הוא מהלך החופשי של הפוטון• l ולכןlmfp=1/n.

ראקציות הגרעיניות שבשמש

אטומי מימן לאטום הליום4HH פורוטנים הופכים לדאוטריום (שמתנהג כמו מימן): 2בשלב ראשון • H2 e+האנטי)

אלקטרון עושה אנהליזציה עם אלקטרון שהוא מוצא בדרך)

He3 :H2לאחר מכן דאוטריום יתמזג עם מימן נוסף לייצירת • H He3

He3: 4 מתנגשים לייצירת הליום 3 הליום 2לבסוף • He3 He4 HH

He2 אטומי מימן לאטום הליום 4הראקציה המרכזית היא הפיכה של אטומי מימן כבדים4. נשים לב ש-4

. תהליך זה ממיר אנרגיהE=mc2יותר מאטום הליום. הפרש המסות הוא זה שהפך לאנרגיה:

בצורה יעילה מאוד:mm

=0.007.

פרוטונים להגיע קרוב מאוד אחד לשני (קרוב עד סדר גודל של2כדי שראקציה זו תתרחש, ראשית על rהרדיוס של הפרוטון: n=10

−15 cm :לייצירת דאוטריום (H1 H1 H12 הניוטרינו נפלט כדי)

לשמר מטען לפטוני). פרוטונים קלאסים יתחברו הם יצטרכו אנרגיה מאוד גבוהה כדי לעבור את מחסום הפוטנציאל2כדי ש-

MeV)Vשבינהם המחסום האנרגטי הוא מסדר גודל של r = e2

r E) לפרוטון צריך להיות אנרגיה

rמסדר גודל n=e2

E.

=כדי לעקוף את בעיה זו יש להשתמש במנהור. נסתכל על אורך גל ברנולי: hpעבור פרוטון חופשי


Delta X

I -Delta I

I

Delta S


E= p2

2m=ולכן אורך גל ברנולי יהיה : h

2m E

=dבנקודה שבה המרחק הקלאסי שעליו יגיעו חלקיקים קלאסיים זה לזהי: e2

E היא מסדר גודל של אורך

=גל ברנולי h2m E

יתאפשר מנהור.

T כ=dנגדיר את הטמפרטורה כש q טמפרטורה זו מתקבלת עבור -E=2m z1 z 2 e

22

h2 (עבור

,z1חלקיקים עם כמות z =z1 פרוטונים זה עם זה 2של פרוטונים בגרעין, עבור תגובה של 2 z2=1(

=Eהטמפרטורה (לפי גז אידיאלי 32k BT q :היא (T q=

43m p z1 z2 e

22

k Bhm- כאשר 2 pהינה מסת

106×15הפרוטון. טמפרטורה זו היא מסדר גודל של Co.סדר גודל סביר לשמש -

קצב ייצירת האנרגיה בליבת השמש (ביחידות של erg

sec⋅gramבסה"כ אחרי כל החישובים (

=25 /323

X A X B

mH2 AA AB

QS 0EG1 /6

K BT 2/3 e

−[e EG 1/3

4 K BT 1/3 - נוסחא זו היא כללית לכל נוסחא גרעינית[

כאשר•.הינה הצפיפות (בגרם לסמ"ק) של הכוכב -

• X A , X B הינה השיכוחת היחסית של הגרעיןAו B(מספר חסר יחידות) למשל אם אנחנו מדברים על אינטראקציות של מימן ומימן ואם השמש מכילה חצי מימן וחצי הליום אזי

X A=X B=0.5 אם כל הגז היה מימן אזי .X A=X B=1

•AA , ABהינו המספר האטומי של כל גרעין

• הליומים המסה המצומצמת היא2 הגרעינים (לדוגמה עבור 2הינה המסה המצומצמת של 12m p 0- כי המסה הממוצעת של פרוטון ואלקטרון היא חצי מסת פרוטון (מסת אלקטרון היא(

•Qכמות האנרגיה המשתחררת מריאקציה אחת -

•S0 :הינו חתך הפעולה לראקציה הגרעינית (ביחידות של ס”מ בריבוע לאנרגיה -cm2

erg(

•mH(או מסת ההליום) מסת הפרוטון -

בחזרה לשמש. עבור אינטראקציה של פרוטון – פרוטון:

g=150 grcc

; x=0.5 ; S 0=4⋅10−46 cm2

Kev; Q=26.2Mev ; K BT=1Kev l A=1 l =

12m p

CNOשרשרת פרוטונים וממיר אותם להליום (ופחמן) דרך4 ו-C משמשת קטליזטור הלוקח פחמן CNOשרשרת

נפלטיםCNO. בניגוד לשרשרת P-P לתגובת CNOשרשרת. ניתל להשוות את היעילות של שרשרת (אני חושב שבשניהם נפלט ניוטרינו) P-Pנויטרינו בתגובת



– לפי ספקטרוסקופיה. שמש שהיא דור שני תהיה בה תגובתP-P או CNOאיך יודעים מה יש בשמש? CNOוהיא הרבה יותר מהירה \ יעילה מ P-P

איך השמש מתחילה את חייה? לוקחים ענן גז קר (ענן מולקולרי) ומקווצים אותו, חצי האנרגיה הגרוויטציונית שמשתחררת הופכת לפי

המשפט הוריאלי לחום ומדליקה את השמש. מהרגע שהכוכב נדלק מקומו על הסידרה ראשית נקבע והוא שומר על מקומו בסידרה הראשית עד סוף חייב

(תלוי במסה ההתחלתית של הענן שקרס)

סוף חייו של כוכב כאשר המימן הופך להליום הוא לא מתפנה החוצה מהליבה אלא שוקע למרכז (כי הוא יותר כבד) בסופו של

דבר לא נשאר מימן בליבה. מימן (ולכן צריך4ראקציה גרעינית של הליום עם הליום יותר קשה ממימן כי הדחייה החשמלית גדולה פי

טמפרוטרה גדולה יותר. מה שיקרה הוא שליבת ההליום מתחילה להתכווץ, בהתכווצות משתחררת חום. החום הזה מחמם את שיכבת המימן (קפילת המימן) מאט מעל הליבה וגורמת לבעירה גרעינית של קליפת

המימן.בפועל הכוכב יתנפח לענק אדום (הטמפרטורה יורדת כי הבעירה לא יעילה כמו בכוכב רגיל). לבסוף, ליבת ההליום נדלקת סורפת הליום לפחמן. כשנגמר ההליום – ליבן הפחמן מתכווצת ונדלקת לייצור

חמצן וכן הלאה עד ברזל (אם הכוכב מסיבי מספיק)

ומה קורה בסוף המר?כשנגמר הפחמן החמצן וכו... והכוכב לא יצליח להדליק את הליבה מחדש.

הכוכב יתכווץ עד שהוא יגיע לננס לבן – והא פולט מאט מאוד אור כתוצאה מהטמפרטורה שלו, והואמתקרר לעיתו עד שהוא מגיע לטמפרטורה של היקום

106הצפיפות של ננס לבן היא gr /cm3 כשגילו את -SeriusBהננס הלבן הראשון שהתגלה זה הפתיעה את התצפיתנים מאוד – איך יכול להיות עצם כלכך צפוף.

קצב איבוד החום של ננס הלבן הוא איטי מאוד – בגלל שהצפיפות שלו ענקית (השטח שלו קטן מאוד ביחסלמסה שלו)

בנוסף – הכוכב משיל את שכבות המימן החיצוניות (עננה פלנטרית) ונשאר הננס הלבן מאחור.

במידה והכוכב מסיבי עוד יותר (נראה בהמשך) הוא יהפוך לכוכב ניוטרונים ואם אף יותר כבד אזי יהפוךלחור שחור.



מודל ננס לבןלאחר שנגמרה האנרגיה הגרעינית בכוכב, הליבה קורסת לייצירת גז אלקטרונים מנוון.

בגלל שהאלקטרונים הם פרמיונים הם לא נותנים זה להכנס לתווך של זה ולכן "לא יכולים להיות שניים במקום של אחד" וזה מה שמחזיק את הכוכב מלקרוס. (למה דווקא התנוונות של אלקטרונים? כי פרוטונים

=מתנוונים בצפיפות גדולה יותר – אורך גל דבורלי hp(

=pqunאם לכל אלקטרון יש פרוטון, אזי הצפיפות של הכוכב המנוון: m p

e /2 . אורך הגל של האלקטרונים3

= hp= h2meE

≈ h3meK T ולכן .qun=

23m p

e3 =8⋅33/2mpme K

h 3

T 3 /2.

T≈10⋅106לדוגמה: עבור מרכז השמש: K אזיqun=640 gr /cc:צפיפות השמש במרכז כיום) =150 gr /cc

לחץ של גז (אלקטרונים) מנוון (חישוב אצבע)נראה את הלחץ של האלקטרונים המתנגד לכוח הכבידה (ללא צורך בטמפרטורה או ייצירת אנרגיה)

נסתכל על תיבה באורך x :(המאכלסת אלקטרון אחד). צפיפות האלקטרונים היאne=1

X 3.

מעיקרון אי הוודאות נקבל כי x p=h ולכן התנע של החלקיק הוא מסדר גודל שלp≈ h X.

≈Eeולכן האנרגיה (מבחינת סדרי גודל): p2

me2≈

1me

h2ne2 ≈Pe. כמו כן, הלחץ: 3/

EVוקיבלנו עומדן

P e≈1me

h2ne5/ 3

- כלומר בגלל שהאלקטרונים מוגדרים במקום קטן יש להם תנע גדול ולכן הם מפעילים

לחץ גדול.

Pכאשר עושים את החישוב במדוייק מקבלים: e=83 −2/3 1

5h2

mene5 /3=0.0485 h2

mene)/0(עבור טמפ' 5/3

P=kמצב זה נקרא גז פוליטרופי (גז שהלחץ בו אינו תלוי בטמפרטורה):

נבנה כוכבעתה משוואות הכוכב יהי:

•dPdr

=−GMr2

•dMdr

=4 r 2

•P=K



כוכב זה מייצר גרדיאנט של לחץ לא באמצעות טמפרטורה, אלא אך ורק מתוך גז מנוון.

=5פתרון המשוואות עבור Pc=0.77במרכז הכוכב: 3/GM 2

R4 ,c=1.43

MR3

mצפיפות גז אלקטרונים מנוון (במידה ועל כל אלקטרון יש פרוטון) יהיה pne , וכן במטען (מספר הפרוטוניםAאבל בגלל שיש גם ניוטרונים נשתמש במספר האטומי (הממוצע בכוכב)

=ne: ונקבלzהממוצע בכוכב) mp

A/Z

Pעתה נציב זאת ל e=83 −2/3 1

5h2

mene5 /3=0.0485 h2

meneP ונקבל5/3 e=0.0435

h2

me

1m p5 /3 z /A

5/35 /3

Pכלומר e=k 5/3

Pבמרכז הכוכב נקבל: c=0.77GM 2

R4=K 5 , ואז נקבל3/

0.77GM2

R4=K⋅1.43M /R35/3

R~Mוקיבלנו כי −1 – זה נוגד את האינטואציה ככל שהכוכב כבד יותר כך הרדיוס שלו קטן יותר3/

בניגוד לכוכב "פעיל" שבו ככל שהמסה גדולה יותר הרדיוס גדול יותר



10.5.10

16שיעור

משוואות הננס הלבןנחשב את משוואות המודל של הננס הלבן.

הלחץ של גז אלקטרונים מנוון

צפיפות המצבים של גז אלקטרוניםנסתכל על תיבה X ,Y , Z.האלקטרונים "לא יכולים לצאת" מהקופסא למשל .

hהמקומות במרחב התנע שהחלקיק יכול להמצא בהם הם: X

, hY

, h Z

, 2hX

, (קוונטיזציה של...

חלקיקים.2האנרגיות הקינטיות הקוונטיות). נשים לב שבגלל הספין ניתן לשים בכל מקום ותנע

Vכמו כן נגדיר את מרחב התקיפה: p= px p y pz.

=Nכמות החלקיקים שיש במצב מסויים במקום מסויים: 2h3

X Y Z px py pz.

=neולכן צפיפות המצבים ליחדת נפח לחידת נפח במרחב התקיפה הוא: 2h3



איכלוס הרמותpלחלקיק בעל תנעים: x , py , pz:מקבל אנרגיה

p2= px2p y

2 pz2 ; E= p2

2mכאשר במרחב התקיפה משטח שווה אנרגיה (אקווי – אנרגתי) הינו כדור

האלקטרונים ירצו לאכלס את רמות האנרגיה הראשונות (תוך התחשבותEבאיסור פאולי) עד לרמת אנרגיית פרמי f (בדומה לתרמית) והתנע המתאיםP f.

fנוכל להסתכל על פונקציית האכלוס E = 2s1

eE−E f

K BT 1 .

Eאיך זה נראה? כך – עד לרמה fכל רמות האנרגיה מאוכלסות ) 0והחל ממנה אין איכלוס (עבור טמפרטורה

הקשר שבין אנרגיית פרמי וצפיפות החלקיקים

=N. אזי V=1נסתכל על תיבה בנפח 2h343

p f3

p(החישוב עבור כדור ברדיוס fכלומר (

p f=83 −1/ 3

hne1 /3.


px

pz

py

epsilon

f

Ef

T>0

T=0

KbT


חישוב הלחץ – אותו תנע לכולם אבלpכידוע מתרמודינמיקה, בהינתן גז אנטרופי שבו כל החלקיקים אחידים בעלי תנע

.v) ומהירות Pבכיוונים אקראיים (לחץ

P= 13p v n כאשר)n ,הוא צפיפות החלקיקים p(הוא גודל התנע האחיד שיש לכל החלקיקים

כדי לחשב את לחץ האלקטרונים עתה נבחר כליפה שוות תנע במרחב התקיפה (כדור פרמי) - לכל האלקטרונים בקליפה הכדורית אותו תנע כולל ולכן תרומת הלחץ של כליפה זו הוא:

P=13p v 2

h34 p2dp

4 ומשם מגיע הפאקטור: p לכדוריות במרחב n(נשים לב שעברנו מקורדינטות קרטזיות של p2(

∫=Pעתה נוכל לחשב את הלחץ הכולל: 0

p f

dP.

=v: עתה נעשה את הקירוב עבור מהירויות נמוכות pme

Pונקבל: e=83 1n3 1me∫0

p f

p4dp

pומקבלים לבסוף (לאחר הצבת f :ומקבלים (P e=83 −1 /3 1

5h2

mene5 /383

−1 /3 15=0.0485

Eהלחץ הזה לא תלוי בטמפרטורה אלא רק בצפיפות האלקטרונים! (כל זאת בהנחה ש f ≫Tכלומר שהחומר כלכך צפוף שהטמפרטורה בסדר גודל של כמה אלפי קלווין עדיין יותר קטנה מאנרגיית פרמי ולכן

תופס)0הקירוב של טמפרטורת

במקרה היחסותי רוב האלקטרונים באנרגיות המתקרבות למסת עבור מהירויות גבוהות (מקרה יחסותי):

P(ללא קשר בתנע) במקרה הזה v=cהמנוחה שלהם e=83 1n3 c∫0p f

p3dpונקבל לבסוף

P e=83 −1 /3 1

4hc ne

4 /383 −1 /3 1

4=0.123

מעבר מצפיפות אלקטרונים לצפיפות החומר

ne]בהינתן צפיפות האלקטרונים ]=1cm3 :ונרצה את צפיפות המסה[]= gr

cm3איך עוברים בין זה

לזה? n p

=neנותן את מספר הנוקליאונים, ולכן נוכל לקבל את הצפיפות של המאסה: m p

zA הוא מספר הפרוטונים בגרעין (ממוצע).A הוא המספר האטומי, zכאשר

אנחנו מניחים כי כוכב הניוטרונים הוא ניטרלי כי הכוח החשמלי הוא כוח חזק ומושך עליו אלקטרונים.

Pועתה נקבל כי: e=0.0485h2

me

1m p5 /3

zA 5/3

5/3 :ובמקרה היחסותיP e=0.123 c h1

m p4/ 3

zA 4/3

4 /3

P=Kנוכל להגדיר שוב את הפוליטרופה: 5/3P=Kובמקרה היחסותי: 5/3 4 /3

4 /3.



Chandrasekharמסת צ'נדרסקה R~Mבסוף שיעור שעבר קיבלנו כי −1 - כלומר ככל שהמסה גדלה הרדיוס קטן.3/

ככל שהרדיוס קטן אזי צפיפות האלקטרונים צריכה לעלות ואז רמות האנרגיה של האלקטרונים הופכותלהיות יותר ויותר יחסותיות ואז מה קורה?

P=Kנניח כי הננס הלבן סופח יותר ויותר חומר אזי הלחץ הופך בבת אחת מ- 5/3P=Kל 5/3 4 /3

4 /3

מה שוקרה הוא שככל שמוסיפים עוד אלקטרונים המהירות לא מצליחה לגדול (הגענו לגבול היחסותי) ואזP=1

3p v n הלחץ לא יכול לגדול מספיק מהר כיv.לא גדל יותר – ישנה נפילת לחץ והכל קורס

=עבור פוליטרופה שבה 4PC=11.0פיתרון נורמלי נותן כי הלחץ במרכז הכוכב: 3

GM 2

R4

c=12.9והצפיפות במרכז הוא: MR3

.

PC=Kמצד שני אנחנו יודעים כי 4 /3c4 R וM משוואות הנ"ל למשוואה זו ונקבל קשר בין 2נציב את 3/

Mמצטמצם, ומתקבל: Rעבור פוליטרופה זו, רצה הגורל ו- 2 /3= 12.94 /3

11K 4 /3

G.

Chandrasekharכלומר עבור גז אלקטרונים יחסותי יישנה רק מסה אחת אפשרית והיא מסת

M ch=0.2 hcGm p

2 3/2 zA

2

mp

Zנוכל להציב / A=0.5שזה פחות או יותר נכון לרוב האטומים (בהם יישנה כמות שווה של פרוטונים Mוניוטרונים): ch≈1.4M sun=1.610

57m p

כוכב נויטרונים מה קורה לאחר מכן? לכל אלקטרון יש מספיק אנרגיה כדי לחדור לפרוטון וליצור ניוטרון (האנרגיה הדרושה

pe-לבצע את הראקציה: n e ,0.78MeVומסיבה מסויימת הניוטרון לא מתפרק חזרה לפרוטון ואלקטרון) – ואז כוכבים כבדים יותר יהפכו לאטום ניוטרונים ענקי! מה יחזיק את הכוכב הזה? לחץ הניוון

של הניוטרוןהחישוב ללחץ הניוון דומה מאוד לאלקטרון.

Zובמקום memnיש להפוך את / A כי על כל ניוטרון המסה הרלוונטית היא ניוטרון1נציב

Pn=0.0485ואז במקרה הלא יחסותיh2

mn2 /3

5 /3,

R=0.114מתקבל: 5/3עבור פוליטרופה h2

Gmn8 /3 M

−1 - עבור כוכב במסה הקריטית להפוך לכוכב3/

M=1.4Mניוטרונים: sun 15הרדיוס המתקבל הואKmוהצפיפות הממוצעת של כוכב הניוטרונים !!! NS=210היא

14gr /cc.זה מסדר גודל צפיפות גרעיני-

GMבתהליך הקריסה של ננס לבן לכוכב ניוטרונים צריכה להשתחרר אנרגיה 2

R של ננס לבןRכאשר

10Km~(עבור מסת השמש) וכוכב ניוטרונים: 1000Km~הוא

הערה לגבי הפיתוח: ההנחה היא כי הכוכב הוא איזוטרופי ולא מסתובב סביב צירו (אחרת שימור תנע זוויתי)105ידרוש כי קצב הסיבוב יגדל בפקטור של



17.5.10

17שיעור

כוכבי ניוטרונים וסופר נובות כאשר ננס לבן מתמוטת לכוכב ניוטרונים רדיוסו חייב לקטון מאוד. תהליך זה קורה במשך מספר אלפיות

שנייה ונקרא סופר נובה.

שניות)1022(מה שהשמש פולטת ב31053ergהאנרגיה המשתחררת בקריסה היא בערך

לאן האנרגיה הולכת? רוב רובה של האנרגיה מומר לנויטרינים (כתוצאה מהאינטראקציה של פרוטוןואלקטרון ליצירת ניוטרון).

נפלטת מהליבה אל הכוכב בגל הדף ומפרק את הכוכב בפיצוץ ענק.1051שאר האנרגיה

LSNנפלט בקרינה – הקרינה נפלטת במשך חודש (כלומר 1049וחלק מאנרגיה זו 1043 erg / secכלומר

LSN≈3×109Lsun!הסופר נובה מאירה בעוצמה של גלקסיה שלמה לאורך חודש (

ייצירת יסודות נוספים הכוכב המפורק שהתפוצץ מחזיק בתוכו את כל היסודות שנוצרו בכוכב (חמצן, פחמן וכו) והוא מה שמעשיר

את הגלקסיה ביסודות הכבדים.

2 ה מסוג זו היא סופר נוב

פולסרים הפולסרים הם מקור מחזורי של קרינת רדיו מחוץ למערכת השמש. הכוכבים שאנחנו מכירים לא יכולים

לפלוט באזור הרדיו באמצעות קרינת גוף שחור. אז מה כן יכול לפלוט בתחום הרדיו? אלקטרונים בשדה מגנטי וכו.

מחזוריות הרדיו של כוכב הפולסר היא ראשית קצרה מאוד (כל מספר שניות) ושנית מדוייקת מאוד (יותרטוב מכל שעון אחר שיש לנו).

מה יכול לבצע פליטה כזו? אך ורק כוכב מסתובב. כוכב המסתובב חייב לקיים בקו המשווה:

2RGMR2

2T(כדי שהכוח הצנטרפוגלי לא יקרע את הכוכב) כלומר: 2

GMR2

T 3G

המקסימלי הוא מסדר גודל של אלפי שניות. עבור ננס לבן עשרותTעבור הצפיפות הממוצעת של השמש שניות.

של מספר אלפיות שנייה כמו שמודדים בפולסרים.Tאבל כוכב ניוטרונים דחוס מספיק בשביל לקיים

המודל של פולסר כאשר השמש קורסת היא משמרת תנע זוויתי ושדה מגנטי. ולכן כתוצאה מהקריסה הכוכב מסתובב מהר

מאוד ושנית בשפת הכוכב יש שדה מגנטי חזק מאוד שיכול לקרון.במידה והקוטב המגנטי לא מתלקד עם ציר הסיבוב נקבל "מגדלור" שמקרין בקצב מדוייק בכיוון מדוייק.



מאיפה האנרגיה מגיעה?T≈10−15וקיבלו Tמדדו את השינוי בזמן המחזור: . הזמן האופייני של הכוכב10−12,

t =אופייניTT≈107 year כלומר לאחר -t .2קצב הסיבוב של כוכב הניוטרונים יקטן פי אופייני

Eהאנרגיה הסיבובית של הכוכב: rot=12I 2 :וקצב איבוד האנרגיה ,

dE rot

dt=I .

=L נקבל: Lאם בנוסף נמדוד את הקרינה היוצאת מהכוכב dE rot

dt=I ובהנחה שהכוכב כדורי

I= 25M R2.נוכל למדוד את הרדיוס או המסה של הכוכב

מדידת מסה של כוכב ניוטרוניםבאמצעות מערכת כפולה.

במידה והכוכב המלבא הוא ענק אדום חלק מהחומר בשפת הענק האדום עוזב את הענק ונופל אל כוכב הכוכבים ואת המסה2הניוטרונים. בזמן הנפילה הוא מאיר ואז ניתן למדוד את המהירות הסיבובית של

).57שלהם. (שקף

כוכבים הקרובים מאוד זה לזה הם ייצטרכו לפלוט גלי כבידה ואוליי ניתן למדוד2כמו כן, לפי תורת היחסות אותם

1Aסופר נובה מסוג במידה וכוכב סיים את חייו כננס לבן ומסיבה כלשהי ספח עוד מסה ועבר את מסת צ'נדרסקה הוא יהיה

חייב לקרוס לכוכב ניוטרונים וליצור סופר נובה – אבל בסופר נובה הזאת אין את ענני הפיצוץ שיש בסופר.2נובה מסוג

ולכן ניתן למדוד באמצעותו מרחק לגלקסיות. זהה הוא 1Aכנראה שפרופיל הפיצוץ של סופרנובה מסוג



24.5.10

18שיעור

חורים שחורים)Stellar Black holeכאשר כוכב כבד מספיק הוא קורס מכוכב ניוטרונים לחור שחור (

(חור שחור במסה מסדר גודל של כוכב).בשביל לטפל בחורים שחורים נעשה הקמה ליחסות כללית.

חזרה על יחסות פרטית(יש ספר של צבי מז"ה בספרייה)

מערכות אינרציאליות חוקי ניוטון כאמור פועלים רק במערכות אינרציאליות. לטענת ניוטון ביקום יש מערכת אינרציאלית הידועה

גם כ"המערכת האינרציאלית". ייתר על כן, כל צופה הנע במהירות קבועה ביחס "למערכת האינרציאלית" יכול למדוד את חוקי ניוטון.

ואף הוא ניסח זאת כחוק גליליי טרנספורמציית "גליליי"צופה הנע ביחס למערכת האינרציאלית מקיים אתשאומר שאין ניסוי שיכול לאמר האם אנחנו נעים במהירות קבועה או עומדים.

המכליל אתעיקרון השקילות ואז בא איינשטיין ואמר, אבל רגע מה עם מהירות האור? ואז הוא ניסח את העיקרון של גליליי והוא אומר כי עבור כל המערכות האינרציאליות (השכולות לפי גליליי) גם מהירות האור

זהה!

Vעקרון השקילות שובר את חיבור המהירויות: B=V AV ABולכן טרנספורמציית גלילילי לא נכונה ויש (טרנספורמציית לורנס עוברת בין מערכתds2=c2dt2−[dx2dy2dz2]: טרנספורמציית לורנץלעשות

אינרציאלית אחת לשנייה הנעות במהירויות שונות ועדיין משמר את מהירות האור) אינווריאנטי תחת טרנספורמציית לורנץ – כל הצופים בכל המערכות האינרציאליות ימדדו אתdsהגודל .dsאותו

=V v במהירות B ל Aאיך זה בא לידי ביטויי? נניח חלקיק נע בין dxdt

ds2=c2dt2−dx2מה שכל הצופים ימדדו הוא

ds2=c2dt2−v2dtצופה חיצוני ימדוד 2=c2dt 21− v2

c2

ולכןdx=0 נמצאים באותו המקום B ו Aצופה שיעמוד על החלקיק עבורו ds2=c2dt ' 2

dt המערכות נשווה בין הביטויים ונקבל: 2שווים ב-dsבגלל ש '=dt 1− v2

c2.

נהוג להגדיר גודל: = 1

1− v2

c2

≥1dtולכן '=dt

.


X

t

A

BX’

t’


dtלאיטים קוראים ל ( d הזמן העצמי של החלקיקי והוא מסומן ב' (מה קיבלנו? קיבלנו שהזמן תלוי במערכת היחוס!



פרדוקס התאומים נשארהAlice נוסע קרוב למהירות האור וחוזר כאשר Bobאחד התאומים

שנסע יותרBob (הזמן העצמי) של proper timeבכדור הארץ. מתקבל כי ה מדדה – ולכן לאחר חזרתו של האח הנוסע הואAlinceקצר מאשר הזמן ש

צעיר יותר מהאח שנשער. היא זאת שנסעה קרוב Alice , האחות Bob איפה הפרדוקס? מבחינת

למהירות האור בעוד שהוא עמד ולכן היא צריכה להיות יותר צעירה ממנו היא צריך להאיץ כדי להגיע למהירות הזו ואליסBobאיך הפרדוקס נפתר?

לא..


X

t

C


אפקט דופלר היחסותי ביחס לכיוון הרדיאלי. מקור האור משדר באורך גל בזווית Vמקור אור נע במהירות

s.

הוא השיאB הוא שיא הגל וA. אירוע B ו-A אירועים 2במקום על אורכי גל נסתכל על .=c⋅tB−tAהשני (ולכן אורך הגל הוא

צריך לעבור עוד דרך עד שהוא מגיע לצופה.Bבמערכת הצופה האור שנפלט בנקודה tB−tAv הוא: Bהדרך הנוספת של אירוע cos.

t−קליטהtBולכן Aקליטה=t B−t AtB−T Avccos=tB−t A1 v cos

c 1פליטה=קליטהובעצם קיבלנו (כרגע ללא יחסות פרטית) v cos

c .

קצר יותר ולכן מבחינתו אורך הגל ארוך יותר ולכן היינו צריכיםproper timeאבל זה לא נכון, כי למקור יש

לכתובtBקליטה−t Aקליטה=

tB−t A

1− v2

c21 vcos

c

obs=sourceולכן אפקט דופלר הוא למעשה:

1 vcos c

1− v2

c2

למה זה כלכך קריטי? ללא התיקון היחסותי

היחסותי מאורך הגל הנפלט. אבל בגלל תיקון ה 2 פרטי אורך הגל המדוד יכול להיות לכול היותר פי פרטי אין גבול לכמה אורך הגל הנקלט גדול יותר מהנפלט...

קיבלנו משהו עוד עמוק הרבה יותר, אם החלקיק הפולט נע בניצב למישור הצפייה גם אז נקבל אפקט

−1דופלר (בגלל פאקטור v2

c2) שנקרא גם אפקט דופלר הרוחבי

Zגודל

=Z : z נהוג להגדיר באסטרופיזיקה גודל obs−src

src=1V cos

c

1− v2

c2

. והוא היחס בין ההזכות1−

יחסות כללית (על רגל אחת)הבסיס ליחסות הכללית: אדם שנופל בנפילה חופשית לא מרגיש את המשקל של עצמו.

מערכת אינרציאלית הינה מערכת הנופלת בנפילהעתה נוכל להגדיר מערכת אינרציאלית בצורה שונה: (מערכת ששום כוח לא פועל עליה פרט לגרביטציה) חופשית

למשל בחללית גופים נעים בקוים יישרים אם לא מפעילים עליהם כוח (ביחס למערכת החללית)


V

Viewer

A

B


עיקרון השקילות אומר שאין ניסויים בעולם שיכולים להבחין האם המערכת נופלת חופשית או שהיא נעהבמהירות קבועה רחוק בחלל.

עקרון שכילות נוסף: לא ניתן להבחין בין מערכת מואצת ומערכת נחה שיש בה גרוויטציה

לדוגמה חללית שנצאת על כדור הארץ לאומת חללית נופלט חופשית. למשל: עוזבים גוף בתוך החללית והוא נופל כלפי מטה לא נוכל להבדיל האם המערכת מאיצה כלפי מעלה

או שאנחנו נמצאים על כדור הארץ



מסקנותמעלית נופלט בפיר בזמן הנפילה שולחים פוטון מקצה אחד של המעלית לקצה השני.

בגלל שהמערכת נופלט היא אינרציאלית לפי איינשטיין הצופה צריך לדווח כך: לאומתו צופה מחוץ למעלית על בניין:

כלומר צופה חיצוני יראה כי האור מתעקם!

=rמהו רדיוס העקמומיות? c2

g

ונשים דטקטור בתיקרתsourceניסוי נוסף, נשלח קרן אור מתחתית המעלית באורך גל .detהמעלית:

sorce=detבמערכת המעלית מתקיים

אבל עבור צופה מבחוץ, למרות שברגע שהפוטון יצא התיקרה הייתה נייכת ביחס לפוטון,v=gברגע שהפוטון נקלט בדיטקטור, מהירות הדטקטור ביחס לפוטון הייתה: tולכן

הייתה צריכה להיות הזחה לכחול בגלל המהירות. אבל כדי שאורך הגל יהיה זהה לפוטון הנפלט נדרוש כי שדה הגרויטציה יבצע הזחה לאדום בדיוק באותו

v=gהשיאור של ההזחה לכחול כתוצאה מ t

ניבויים לתורת היחסות הכללית 2 לסיכום: אור בקירבת מקור גריבטציוני יתעקם• אור בקירבת מקור גריבטציוני יעבור הזחה לאדום•


fL

1/2g l^2/c^2


הערה: נשים לב שההזחות לאדום וההתעקמות "לא קוראים באמת" אילו רק אינטרפטציות שצופה מחוץ למעלית צריך לתת לתופעה המוזרה שהוא מודד. ההזחה וההתעקמות הם מה שרואים כשלא נמצאים

במערכת אינרציאלית אמיתית.

∞=01−2GMהחישוב המדוייק של הזחה לאדום: r c2

התדירות באינסוף רחוק מכלinfכאשר

הוא המרחק ממקור הגרביטציה שממנה נפלט הפוטון.rמקור גרביטציה,

Schwartshildרדיוס שוואטשילד . Cמהוא הרדיוס שעבורו מהירוח הבריחה הניוטונית תהיה שווה ל

משוויון אנרגיה פוטנציאלית גרוויטנציונית וקנטית: GMr sch

=12c2.

rכלומר אם גוף יהיה מקווץ לרדיוס rch=2GMc2

גוף הנפלט משפת הכוכב לא יצליך לברוח מהכוכב.

רדיוס שוואטשילד הוא דרך להמיר יחידות של מסה ליחידות של אורך

−∞=01ניתן לראות כי R sch

r

Rלמשל עבור השמש רדיוס שוורצילד הינו sch≈3Kmעבור פוטון הנפלט משפת כוכב כזה נקבל כי . כלומר לא נקבל פוטון בצד באינסוף – זה חור שחור.∞=o1−1=0התדירות שלו היא:

קצת מספרים

עבור השמש: •rRsch

= 700,0003

עבור ננס לבן: •rRch

=3,0003

עבור כוכב ניוטרונים ההזחה לאדום רצינית מאוד •rRch

= 103≈3

כדי לטפל מתמטית בהזחה הזאת שוורטשילד ניסח את המטריקה:

ds2=c2dt2 1−Rs

r−[ dr 2

1−R s

r

r2d 2r2sin2d 2]זו היא המטריקה המתאימה מחוץ למסה.



24.5.10

19שיעור

השיוויון המסתורי בין מסה גרוויטציונית למסה אינרציאלית(ההתנגדות לתאוצה)F=maמסה אינרציאלית נובעת מהמשוואה:

Fואילו יישנה מסה גרויטציונית : G=GMmr 2

(מטען גרויטציוני הדומה באופייה למטען אלקטרומגנטי)

קורה נס והמסה הגרוויטציונית היא עצמה אותה המסה האינרציאלית. איינשטיין טען כי עיקרון השקילות למעשה אומר שלא ניתן להבדיל בין מסה גרוויטציונית למסה אינרציאלית

לא ניתן להבדיל בין מערכת מאיצה למערכת העומדת בשדה גרויטציוני.

המשך יחסות כללית על קצה המזלג

השדה הגרוויטציוני לפי ניוטון ההפעלה של כוח המשיכה היא מידית, אם המסה "נעלמת" מסה בצד השני מרגישה את זה מיד

בסתירה ליחסות פרטית! איינשטיין נותן צעד אחד קדימה ואומר כי כבידה מועברת ע"י שדה גרוויטציונישעושה פרופוגציה במרחב והמסה מגיבה איתו.



הזחה של קרן האור ממסלולה זווית הסתייה של קרןbכאשר קרן אור מתקרבת לשמש עד כדי מרחק

=האור מהמסלול המקורי: ברדיאנים - 2 R sch

b

המטריקה של שוורטשילד התפלגות המסה במרחב קובעת עקמומיות של המרחב, עקמומיות זו באה לידי ביטוי ע"י שיניו המרחקים

במרחב (מסה מעקמת את המרחב והמרחב בתורו משפיע על מהלך המסה במרחב)

איך נראה את העקמומיות?

נחזור למטריקה של שוורטשילד: ds2=c2dt21−

R s

r−[ dr 2

1−R s

r

r2d 2r 2sin 2 d2]פתרון עבור -

גוף בעל רדיוס שווארשילד בעל סימטריה כדורית בתחום שמחוץ לגוף

נסתכל רגע על החלק הזה:dr2

1−Rs

r

r2d 2r2 sin2d 2

. המטריקה (המרחק) המוכר לנו מחיי היום

drיום בקורדינטות רגילות 2r 2d 2r 2sin2 d2

עבור מטריקה זו נוכל לעשות פעם אחת אינטגרציה לאורך הרדיוס בלבד ולקבל כי2, ופעם אחת לאורך ההיקף ולקבל rהרדיוס rכלומר היחס בין ההיקף .

2לרדיוס הוא

אבל במרחב עקום (במטריקה של שוורטשילד) כשאנחנו צועדים ממרכז המעגל לרדיוסו חלק מהמרחק מבוזבז על העקמומיות של המרחב ולכן נמדוד היקף קטן

2יותר מאשר r

dובאמצעות הצבה: =0 , d =0 , dt=0:נחשב את המרחק ממהיקף אל המרכז

ds= dr1−R sch /r

∫=lוכן 0

R

ds.

dr=0 אירועים: 2הסתכלות נוספת: נעמוד במקום אחד ונסתכל על ; d =0 ; d =0אזי הזמן

dהעצמי: = ds=dt1−R sch/r,d העירועים במערכת הצמודה לעירוע ומצוייה2הזמן בין

האירועים כאשר נמדוד אותם באינסוף (ככל שנמצאים קרוב לכוכב ככה2הינו הזמן בין dt, וכן rבמרחק הזמן עובר יותר לאט).

חור שחור איך נראה הקריסה לחור שחור לצופה הנמצא באיסוף? צופה כזה יראה את פני הכוכב מתקרבים לפני

וצופה מחוץ יחשוב שהכוכב עוצר את∞=dtהכוכב יותר ויותר אבל כשהוא מגיע לרדיוס הכוכב אזי קריסתו – הכוכב קופא.

כמובן שבפעול עבור צופה הנמצא על הכוכב הקריסה, מתבצעת כהרף עין אבל מבחוץ לא ניתן לראות את


X

Y

r2pi r

Sunb alpha


החומר מגיע לסינגולריות.

למעשה יישנו אופק מאורעות שלא מאפשר לנו לראות את המאורעות שאחרי רדיוס שוורטשילד יישנו בעצםמיסוך\ צנזורה על הסינגולריות.



27.05.10

20שיעור

גלקסיות איך הוכיחו כי קיימת גלקסיה – גלקסיה היא מבנה גרוויטציוני רחוק מאוד מאיתנו. האבל מדדת כוכבים

מתנדנדים באנדרומדה – לכוכבים מתנדנדדים יש קשר בין זמן המחזור לעוצמת ההארה (נר סטנדרטי).

=Fניתן למדוד את המרחק לכוכב המתנדנד לפי L4 d 2

Fכאשר עוצמת האור הנמדדת בכדור הארץ

.d של הכוכב והמרחק Lכתלות בוגילו שהכוכב המתנדנד רחוק מאוד מאוד מסקלאת המרחק בגלקסיית שביל החלב.

צבירי גלקסיות כל הכוכבים מסודרים בשכונות גדולות הנקראות גלקסיות. קיים מבנה גדול יותר שנקרא צבירי-גלקסיות.

רוב הגלקסיות נמצאות בצבירי גלקסיות. , במקום שבו "אין שום דבר" (אין גלקסיה במרכז) קיים בתווחComaגילו כי במרכז צביר הגלקסיות בשם

)X-rayהבין גלקטי אובייקט מאוד מאוד חם (הוא פולט הרבה קרינה ב

מדידות מרחקים באסטרונומייהפרלקסה (כוכבים קרובים)••Main Sequance(בגלקסיית שביל החלב) ספעידים (כוכבים פועמים) (גלקסיות שכנות)• (גלקסיות רחוקות)Type 1Aסופר נובות •

צפיפות של הגלקסיות הגדולות ביקום: 1100

M pc−3(מאית מגה פרסק בשלישית)

בין גלקסיה לגלקסיה.5Mpcהמרחק הממוצע הוא

החומר האפל כאשר מודדים את מהירות הסיבוב של הכוכבים סביב מרכז הגלקסיה היינו מצפים שככל שנתרחק ממרכז

(לפי חוקי קפלר \ המשפט הויריאלי – האנרגיהV~Mrהגלקסיה המהירות צריכה ללכת ולקטון:

)r הוא המסה שברדיוס הקטן מMהקינטית היא חצי מהאנרגיה הפוטנציאלית) (

אבל מסתבר שמהירות הסיבוב לא קטנה כמו 1rכאשר מתרחקים מהמרכז אלא נשארת קבועה. איך

יכול לגדול הרי לא רואים כמותM גדל כשמתרחקים מהגלקסיה, אבל איך Mזה יכול להיות?? כנראה שגדלה של כוכבים כשמתרחקים במרכז יותר כוכבים?? זה מה שנקרא החומר האפל או המסה האפלה.

החומר האפל מבצע אך ורק אינטראקציה גרוויצטצונית – הוא אינו מאיר.



31.5.10

21שיעור

קוסמולוגיה

חוק האבל ככל שגלקסיה רחוקה יותר מאיתנו ההסתה שלה לאדום יותר גדולה כלומר היא מתרחקת מאיתנו מהר

Hיותר. קבוע הבל הוא 0=72km

secMpc ק"מ לשנייה לכל מגה פרסק). היקום72(כלומר המהירות גדלה

קורע את הגלקסיות זו מזו.

v=Hחוק האבל עם כן הוא (בצורה איזוטרופית, הוא מתקיים לכל כיוון) 0r

מסכנה אם הגלקסיות "בורחות מאיתנו" אזי בעבר הם התקרבו אלינו.

איך זה יכול להיות? ייתכן מצב שבו כל גלקסיה בהתחלה קיבלה מהירות אחרת,

ולכן בזמן שעבר מהמפץ הגדול כל גלקסיה התרחקה מאיתנובשיעור הפרופרוציוני למהירות שלה (בהנחה שאנחנו במרכז).

Hנשים לב כי לפי התיאור הזה, קבוע האבל צריך להשתנות עם הזמן 0=H 0t ברגע ,t מתקיים0v=H 0r וברגע .t אזיr גדל אבלv.(מרגע הפיצוץ) נשאר קבוע

גיל היקוםtאת גיל היקום נוכל לחשב עם קבוע האבל: 0=H 0

−1=13.6Ga כאשר)Ga=109 year.(

t הוא: WMAPבפועל, יודעים כיום כי גיל היקום ממדידות 0=13.96±0.13Ga

התפשטות הייקום לפי העיקרון הקוסמולוגי (כל הצופים ביקום רואים אותו הדבר) ניתן לאמר כי הגלקסיות לא בורחות מאיתנו

אלא הייקום מתפשט. "נוצר עוד מקום" בין הגלקסיות כמו שזיפים בעוגת בצק. לפי העיקרון הקוסמולוגי ובהנחה שהיקום שטוח על היקום להיות בגודל אין סופי (כי אחרת יש משהו

נמצאות במרחקיםA,B נקודות בייקום 2בקצה). ביקום אין סופי כל צופה בייקום ימדוד את חוק האבל. נניח r A , r B :מאיתנו. לפי חוק האבל המהירויות שלהם יהיוv B=H 0

r B ; vA=H 0r Aנחסר בין המשוואות

vונקבל: B− vA=H 0 r B−r A vB , A=H 0 r B , A כלומר גם צופה בגלקסיה -Aימדוד את חוק האבל כלפי .Bגלקסיה

אבל יש בעיה, בגלל שהיקום הוא אינסופי כמות החומר שבו אין סופית, ולכן במפץ הגדול צפיפות החומרהיא אין סופית



קוסמולוגיה ניוטוניתנתאלם לרגע מאין סופיות היקום.

בהנחה שהגלקסיות מפוזרות אחיד ביקום אזי גלקסיה הנמצאת r מאיתנו נמשכת ע"י המסה של הגלקסיות בכדור ברדיוס rבמרחק

אינה משפיעה לפיrכלפינו (כי המסה שמחוץ לקליפה הכדורית ברדיוס חוק גאוס).

כלומר על הגלקסיות "להאית" את מהירות הבריחה שלהם ממנו.

נרשום משוואת שימור אנרגיה 12mv 2−GMm

r=E כאשרmהיא

.r היא מסת הגלקסיות בכדור ברדיוס Mמסת הגלקסיה,

1נציב את חוק האבל ונקבל: 2mH 0

2 r 2−Gr43

r3m=E)צפיפות החומר בסקאלות גדולות

ביקום).


r


22שיעור העקרון הקוסולוגי – על סקאלה קוסמולוגית, היקום נראה אותו הדבר מכל כיוון – אין שום מקום מיוחד



קוסמולוגיה ניוטוניתננסה לראות מה יהיה על היקום שלנו.

מאיתנוrבהנחה כי הייקום עגול סביבינו וסופי, אזי מחוק גאוס גלקסיה במרחק (המסה המוכלת בכדור)Mתרגיש את הכבידה של המסה בכדור עד לרדיוס שלה –

האנרגיה היא: 12mv 2−GMm

r=Eבגלל חוק האבל מה שנמצא בתוך הקליפה .

יישאר בפנים (כי גלקסיות מחוץ לכדור נעות מהר יותר מהגלקסיות שבתוך הכדור). - ולכן המשוואה דומהלמצב שבו זורקים כדור מפני השטח של כוכב.

v=Hנציב 0r ,:צפיפות הממוצעת ביקום ונקבל -

E=12mH 0

2 r2−Gr [ 43 r3]m= 12 m H 0

2r 2[1− 8G3H 0

]=critנגדיר צפיפות הקריטית:

H 02

83

G. ואז

12 mH 0

2 r 2[1− crit ]=E.

והמסה תיפול חזרה. - זה נכון לכלE0גדולה מהצפיפות הקריטית אזיאם הצפיפות ביקום הגלקסיות ביקום כלומר כל היקום יקרוס.

=פרמטר הצפיפות נגדיר את crit

1ואז 2mH 0

2 r 2[1−]=E כאשר∣E grav∣=E k.

פרמטר הצפיפות הוא זה שיגזור את גורל היקום.

האנרגיה הכוללת תהיה שלילית והיקום יקרוס, בזמן הקריסה הצפיפות תעלה ולכן1עבור

t∞∞

האנרגיה הכוללת תהיה חיובית, הגלקסיות ילכו ויתרחקו זו מזו יותר ויותר ולכן הצפיפות1עבור ביקום תלך ותקטן ולכן

t∞0.

)1ישאר קבוע והגלקסיות יתרחקו עד שהן יעצרו באינסוף (כלומר 0האנרגיה היא =1עבור

תצפיות.=0.04אם סופרים את כל החומר הבריוני (הנראה) מקבלים

השנים15. אם מוסיפים את האנרגיה האפלה שנתגלתה ב-7גדל פי אם מוסיפים את החומר האפל - האם זו תוצאה מיקרית?=1האחרונות מקבלים

Scale Factor נרצה להחליף את חוק האבל בגודל המייצג את התפשטות היקום לא רק בצורה מקומית (ביחס אלינו) אלא

ביחס לייקום כולו.


r

m

M


מסות במרחקים שונים ביחס אלינו.2נסתכל על

בגלל חוק האבל: v1v2=r1r2

.

scale factor (Rt קורדינטות. כזו התלוייה בזמן (2 ל- ) proper distance (הנקרא גם rנפריד את .rוקורדינטה שאינה משתנה בזמן

r=Rt r וכן v= R r.

נוודא קונסיסטנטיות עם חוק האבל: v1v2=R r1R r2

=r1r2

, ומצד שני: r1r2=

R r1R r1

=r1r 2

- קיבלנו

קונסיסטנטיות בחוק האבל.

Hעתה נוכל לנסח את קבוע האבל באופן גלובלי ליקום: 0=vr= R

R

נציב זאת למשוואת האנרגיה של היקום 12mH 0

2 r 2[1−]=E:ונקבל

RR 2

1−=2 E /m r 2

R2

משוואות התנועה של היקום

r=a=−GMמשוואת התנועה של היקום: r2

=−Gr243

r3=−43

G r.

נציב את הקשר crit

= :ונקבלr=−12

H 02 r נציבr=Rt r ונקבלR r=−12

H 02 r

Rונקבל משוואת תנועה שנייה ליקום R=−1

2H 0

2.


r1

r2


7.6.10

23שיעור

הצפיפות הקריטית

=. כאשר =1הצפיפות שעבורה c

) ,הינו צפיפות הייקום כיוםc(הצפיפות הקריטית -

crit=H 0

2

83

G≈10−29 grm/cc-אטומי מימן למטר מעוקב.5כלומר כ

אבל החומר הבריוני + חומר אפל + אנרגיה=0.04כאמור החומר הבריוני (החומר הנראה) בלבד נותן .=1אפלה

הסחה לאדום ניתן לחשוב על ההסחה לאדום של הגלקסיות הרחוקות כנובע מהתרחבות הייקום ולכן ניתן לנסח אותה

=1zשל הקיום: scale factor Rבאמצעות הobserved

emittion=Robserved

Remittion - כלומר יחס אורכי הגל הינו

) בפליטה לאומת הקליטה.scale factorלמעשה רדיוס הייקום (

איפה הנוטציה הזאת שונה מהנוטציה של אפקט דופלר? לא נראה הזחהRפוטון שנפלט ונקלט באותו 1עבור ייקום שבו

לאדום.

קרינת הרקע הקוסמי בגיל הצעיר של היקום הוא עבר תהליך שנקרא רקומבינציה שבה האלקטרונים והפרוטונים התחברו

לייצירת אטומים והיקום נהיה שקוף. בשלב זה פוטונים הפסיקו לעשות פיזור טומפסון עם האלקטרונים שבייקום והיקום נעשה שקוף. מנקודה זו

והלך נוצר שדה קרינה אלקטרומגנטי הנפרד מהחומר – קרינה זו קרוייה קרינת הרקע הקוסמי.קרינה זו הינה הזחר של שלב הרקומבינציה.

3 מעלות, קיום קרינת הרקע מתאימה לגוף שחור בטמפרטורה 3000מודלים חוזים שהרקומינציה היא z≈1000מעלות ולכן היא מיוחסת ל


t

R

emiton

observed


איך זה שאנחנו עדיין רואים קרינת רקע הקוסמית למה הפוטונים לא עברו אותנו?היינו מצפים שהרקומבינציה קרתה בכל מקום ובפרט במקום שבו אנו אומדים.

הפוטונים שנפלטו מפה היו עוברים אותנו ממזמן ולא היינו רואים אותם. איך זה שאנחנו עדיין רואים קרינה?

מה קרה? בהנחה שהייקום הוא אין סופי אזי הרקומבינציה שאנחנו רואים היום

קרתה מאוד רחוק מכאן בדיוק עכשיו אנחנו רואים את פוטונים אילו. בעוד שנים אנחנו נראה את הפוטונים של הרקומבינציה ממקום אחר1000

קוסמולוגיה יחסותיתביחסות כללית הכי חשוב לכתוב את המטריקה, נשתמש במטריקה של פרידמן – רוברטסון – ווקר:

ds2=c2dt2−R2[ dr2

1−k r2r2d 2r 2sin 2d2]

קיבלנו את המטריקה הרגילה)k=0נשים לב שמטריקה זו מאוד דומה לקורדינטות כדוריות (ב הרציונל הוא להפריד את קצב התרחקות של הגלקסיות אחת מהשנייה בקצב קבוע ולהכניס את הראיון של

scale factor :R=Rtהתרחבות הייקום ב .

.k=0,±1 שלוש אפשרויות: k יש לFRWבמטריקה של היקום הוא שטוח, אוקלידי.k=0עבור •היקום הוא סגור ככדור המשוכן במימד הרביעי. k=1עבור •

סביב הראשית:rונצייר מעגל ברדיוס =/2נניח כי אנחנו נמצאים בds2=c2dt2−Rr d ואז ההיקף הואl=Rr 2ומה הוא האורך של .

∫Rהרדיוס? 0

r dr1−r2

=R sin−1r .

היחס בין הרדיוס להיקף לא קבוע והוא משתנה בהתאם לרדיוס. וRהעולם במקרה זה הוא סופי, לא ניתן להתרחק מנקודה עד אינסוף. רדיוס העקמומיות הוא

r=1.הוא המרחק הגדול ביותר האפשריהיקום הוא פתוח, עוקף.k=−1עבור •

יישנו קשר בין גופים כבדים עם רדיוס שוורטשילד לבין הטיפול כאן (רק שבגופים כבדים העקמומיות היאמקומית, כאן העקמומיות היא של כל היקום)

השונים הם אך ורק בסקאלות מרחק מאוד מאוד גדולות: kנזכור כי ההבדלים בין הH0

c מליארד14(

שנות אור).


R

t

Recombination

Today

Tommrow

r


Proper DistanceRtנניח ייקום נשלט ע"י חומר עבורו נקבל בתרגיל כי ~R3/2נרצה לדעת עבור ייקום שטוח מהוא ה .

proper distance.שנראה d, וכמו כן נע בקווים יישרים ds=0נשתמש בפוטון המקיים =d =0.

c2dt=0לכן, המטריקה מקיימת: 2−R2dr ∫נפריד משתנים ונאנטגרל: 2t

t 0

c dtR t

=∫0

r

dr כאשר -tהינו

tהזמן שבו נפלט הפוטון, 0 הוא המרחק שהפוטון עבר מהמיקום ההתחלתי rהוא הזמן היום. 0

משוואות פרידמן משוואות אילו הם תוצאות של יחסות כללית עבור יקום הומוגני איזוטרופי – לא נוכיח אותן כאן (נוסחאות

אילו אינן מלאות) באמצעות קבוע האבלk לגיאומטריה שלו נוסחא זו קושרת בין צפיפות החומר והאנרגיה ביקום:

RR=H 0 : RR

2

=8G3

− kc2

R2= RR

2

−k c2

R2

- הצפיפות הממוצעת של היקום.scale factor , הוא R הוא אותו קבוע היקום, kכאשר

Rנשים לב כי R=H 0.

משוואה זו מפרידה בין יקום שבו שולחים קרן אור והיא חוזרת אלינו (יקום כדורי) לבין יקום שבו קרן האוראינו חוזר.

הקבוע הקוסמולוגי

. קבוע זהR=0כשאיינשטיין כתב את משוואות התנועה של היקום הוא הניח שהיקום הוא סטטי כלומר 2=4G∇והיא הופכת 2=4G∇נכנס למשוואת פואסון: .

במקור איינשטיין הכניס את הקבוע הקוסלמולוגי בשביל לאזן את הכבידה, קיום אדויות לכך שהיקום מאיץהחוצה החיו את הקבוע הקוסמולוגי.

כאשר מחלחלים את הקבוע הזה בתוך המשוואות אזי משוואת פרידמן הופכת ל:

RR 2

=83

G−k c2

R23=83

G−k c2

R2

=כאשר

8G.צפיפות הקבוע הקוסמולוגי -

~matterהקבוע הקוסמולוגי הזה בעצם נוגד את כוח המשיכה וגורר דחייה. בגלל ש 1R5

עבור יקום שטוח

נשאר רק אם הקבוע הקוסמולוגי:∞Rכאשר k=0 גדל) R(צפיפות החומר הידוע יורדת כאשר



RR 2

=3

R~ekולכן t!כלומר היקום יתפוצץ -

פנייה 2 ניתן לראות כאן את האנרגיה האפלה ב-k=0 מצד אחד אנרגיה האפלה לוקחת חלק חשוב במאזן האנרגיה של הייקום השטוח עבורו •

ולכן RR 2

=83

G matter בגלל שמודדים=1= crit

=matter

crit ניתן להאריך את

.

אזי נקבל ייקום הגדל אקספוננציאלית בזמן – היקום∞R מצד שני האנרגיה האפלה עבור •R~ekנקרע t העובדה שהקבוע הקוסמולוגי לא דואך כאשר) R (גדל יקרא את היקום בסוף



סולם מדידות מרחקים ביקוםמרחקים מודדים בשיטות שונות בהתאם למרחקם מאיתנו.

מרחק לשמש מדידות עוקבות של מעבר נוגה סביב השמש – זו היא2את המרחק לשמש מדדו לפי מודל של האלי ב-

1AUהיחידה האסטרונומית

מרחק עד לכוכבים קרובים כדי למדוד מרחק לכוכב קרוב משתמשים בפרלקסה – מסתכלים על מיקום הכוכב בזמן מסויים וחצי שנהלאחר מכן. תזוזת הכוכב בשמיים מעידה על מרחקו.

:מחצית זוית הפרלסקה -⋅D=1AU

כמרחק שבו1parsecניתן להגדיר מרחק כך: ) והיא206265AUהפרלקסה היא שניית קשת אחת (

שנות אור3.3בערך


Dtheta

1AU


Documents

מבוא לאסטרופיזיקה.סיכום.צבי מזא''ה.תש''ע - יונתן ויינתראוב