Различные виды уравнения Различные виды уравнения прямойпрямой

презентацию подготовилапрезентацию подготовилаученица 7 «Б» классаученица 7 «Б» классаМОУ «Гимназия №1»МОУ «Гимназия №1»

Распарина ОльгаРаспарина Ольга

Общее уравнение прямойОбщее уравнение прямой

УравнениеУравнение Ax+By+C=0 ( Ax+By+C=0 (гдегде A, B A, B и и C C могут принимать любые значения, лишь могут принимать любые значения, лишь бы коэффициенты бы коэффициенты A, BA, B не были не были равны равны нулю оба сразу) представляет прямую нулю оба сразу) представляет прямую линию.линию.

Всякую прямую можно представить Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его уравнением этого вида. Поэтому его называют называют общим уравнением прямойобщим уравнением прямой..

Ах+Ву+С=0Ах+Ву+С=0

1) Если 1) Если AA=0, то =0, то уравнение представляет уравнение представляет прямую, параллельную прямую, параллельную

оси Охоси Ох (у(у= ).Пример 1.

Графиком уравнения Графиком уравнения у=-10 является прямая, у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и параллельная оси Ох и проходящая через точку проходящая через точку (0;-10).(0;-10).

В

С

ОО

-10-10

хх

уу

Ах+Ву+С=0Ах+Ву+С=0

2) Если В=0, то 2) Если В=0, то уравнение представляет уравнение представляет прямую, параллельную оси прямую, параллельную оси Оу (х= ).Оу (х= ).

Пример 2..

Графиком уравнения Графиком уравнения х=6 является прямая, х=6 является прямая, параллельная оси Оу и параллельная оси Оу и проходящая через точку проходящая через точку (6;0).(6;0).

А

С

ОО 66

уу

хх

Ах+Ву+С=0Ах+Ву+С=0

3) Когда В=0, то у=3) Когда В=0, то у=

Уравнение у=кх+Уравнение у=кх+mm, где к= , где к= , а , а mm= = называется уравнением прямой с угловым называется уравнением прямой с угловым коэффициентом к.коэффициентом к.

4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 не содержит свободного члена, то оно не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через представляет прямую, проходящую через начало координат.начало координат.

В

Сх

В

А

В

А

В

С

Ах+Ву+С=0Ах+Ву+С=0

(у=(у= , , то есть у=кх – где к – угловой то есть у=кх – где к – угловой коэффициент прямой. Ясно, что к= коэффициент прямой. Ясно, что к= , , где где ХХ00 и и УУ00 координаты произвольной точки прямой, координаты произвольной точки прямой, ХХ00=0). =0).

хВ

А

Хо

Уо

хх

уу

уу00

хх00

11

00 11

Пример 3.

Составить уравнение прямой, Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. изображенной на рисунке.

Решение.Решение.

Так как прямая проходит через начало Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением координат, то она задается уравнением у=кх. Определим угловой коэффициент у=кх. Определим угловой коэффициент этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой, тогда к= , то есть к= . этой прямой, тогда к= , то есть к= . Значит, к=-2 и уравнение данной прямой Значит, к=-2 и уравнение данной прямой имеет вид: у=-2х.имеет вид: у=-2х.

А

А

Х

У

0

уу

хх-1

1

1-1

А

1

2

2

Пример 4.Пример 4.

Составить уравнение прямойСоставить уравнение прямой, , изображенной на рисунке.изображенной на рисунке.

Решение.Решение.Данная прямая получена из прямой у=кх смещением Данная прямая получена из прямой у=кх смещением

последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент данной прямой равен -2. А так как данная прямая данной прямой равен -2. А так как данная прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении данной прямой (у=кх+данной прямой (у=кх+mm), к=-2, ), к=-2, m=m=3. Искомое уравнение 3. Искомое уравнение имеет вид у= =-2х+3.имеет вид у= =-2х+3.

у=кх

у

х

А

А

А

Х

У

ТеоремыТеоремы

Уравнение изображенной прямой можно Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения.следующие утверждения.

Теорема 1.Теорема 1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и Если прямая отсекает на осях отрезки а и

в (не равные нулю), то ее можно представить в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1.уравнением =1.в

у

а

х

Теорема 2.Теорема 2.

Уравнение =1 представляет прямую, Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в.координат) отрезки а и в.

Уравнение Уравнение =1=1 называется уравнением называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0). прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0).

в

у

а

х

в

у

а

х

Вывод уравнения прямой в Вывод уравнения прямой в отрезках.отрезках.

Уравнение прямой в отрезках легко Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. угловым коэффициентом.

Пусть у=кх+Пусть у=кх+m – m – уравнение прямой с уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1.виду =1.в

у

а

х

у=кх+у=кх+mm

Для этого перенесем слагаемое кх в левую Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части противоположный и разделим обе части полученного равенства на полученного равенства на mm. Получим . Получим следующее уравнение =1. Перепишем следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1.это уравнение в виде =1.

Учтем, что = . Следовательно, = . Учтем, что = . Следовательно, = . Обозначив буквой «а», а Обозначив буквой «а», а mm – буквой «в» – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в получим искомое уравнение прямой в отрезках =1.отрезках =1.

m

кх

m

у

m

ух

m

к

m

к

кm

1 х

m

к

кmХ

к

m

в

у

а

х

Рассмотрим следующий примерРассмотрим следующий пример

Пример 5.Пример 5.

Составить уравнение прямой, Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке.изображенной на рисунке.

Решение.Решение.

Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом. прямой с угловым коэффициентом.

23 ух

уу

-1-1хх

11

11-1-1 00 33

-2-2

23

ух

Пример 5.Пример 5.

2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0.

3) =1. = 1 2. у= -2.3) =1. = 1 2. у= -2.

В ответе можно записать любое из В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). уравнений 1), 2) или 3).

Кроме того, уравнение прямой в отрезках Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.прямой на чертеже.

23

ух

23

ух

2

у

3

х х3

2

Уравнение прямой, проходящей Уравнение прямой, проходящей через две точки.через две точки.

Теперь, допустим, нужно записать Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решения этой задачи надо составить и решить систему уравненийрешить систему уравнений

относительно к иотносительно к и m m, где х, где х11=1, у=1, у11=-2,=-2, хх22=-1, у=-1, у22=4. И, найдя значения к и =4. И, найдя значения к и mm, ,

подставить их в уравнение у=кх+подставить их в уравнение у=кх+mm. Всякий . Всякий раз решать подобные задачи таким способом раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально.довольно-таки нерационально.

уу22=кх=кх22++mm..

уу11=кх=кх11++mm,,

Решим эту задачу в общем виде.Решим эту задачу в общем виде.

Пусть требуется составить уравнение Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две прямой, проходящей через две различные точки (хразличные точки (х11;у;у11) и (х) и (х22;у;у22) такие, ) такие, что хчто х11=х=х22, у, у11=у=у22..

Так как прямая проходит через эти Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+уравнению прямой у=кх+mm..

Решим эту задачу в общем виде.Решим эту задачу в общем виде.

Решим систему уравненийРешим систему уравнений

относительно к и относительно к и mm. Найдя . Найдя

значения к изначения к и m m, подставим их в уравнение у=кх+, подставим их в уравнение у=кх+mm. . Итак, Итак,

Уравнение прямой примет вид: у= х+уУравнение прямой примет вид: у= х+у11- х- х1.1.

уу22=кх=кх22++mm..

уу11=кх=кх11++mm,,

mm=у=у11-кх-кх11,,

уу22=кх=кх22+у+у11-кх-кх11..

mm=у=у11-кх-кх11,,

уу22=кх=кх22++mm..

уу11=кх=кх11++mm,,

к= .к= .(у(у22-у-у11)=к (х)=к (х22-х-х11).).12

12

хх

уу

mm=у=у11-кх-кх11,,

mm=у=у11- х- х11,,

к= .к= .

12

12

хх

уу

12

12

хх

уу

12

12

хх

уу

12

12

хх

уу

Преобразуем егоПреобразуем его

у-уу-у11= х- х= х- х1,1,

у-уу-у11= (х-х= (х-х11). ).

(у-у(у-у11) (х) (х22-х-х11)=(у)=(у22-у-у11) (х-х) (х-х11) (х) (х22-х-х11) (у) (у22-у-у11),),

Мы получили Мы получили уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две различные точки проходящей через две различные точки (х(х11;у;у11) и (х) и (х22;у;у22), причем х), причем х11=х=х2, 2, уу11=у=у22..

12

12

хх

уу

12

12

хх

уу

12

12

хх

уу

12

1

12

1

хх

хх

уу

уу

21

1

21

1

хх

хх

уу

уу

,,21

1

21

1

хх

хх

уу

уу

,,

(у-у(у-у11) (х) (х22-х-х11)=(у)=(у22-у-у11) (х-х) (х-х11))

А что если А что если хх22=х=х11 (при условии, что (при условии, что уу22=у=у11) или ) или уу22=у=у11 (при условии, что (при условии, что хх22=х=х11)? )?

В этом случае уравнение ( ) будет выглядеть так:

(у(у22--у1) (х-х1)=0 или (у-у1) (х2-х1)=0. Откуда получим уравнения: х=х1 или у=у1. То есть уравнения прямых, параллельных координатным осям.

В первом случае – уравнение В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох.параллельной оси Ох.

ОО-1-1

-1-1

11

11

уу

ОО-1-1

-1-1

11

11

хх

уу

);( 12 ух);( 11 ух

хх

Пример 6.Пример 6.

Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4).и В (-1;4).

Решение.Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. различные точки.

Перепишем его в виде Перепишем его в виде

Теперь подставим в него координаты данных точек:Теперь подставим в него координаты данных точек:

Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4).А(1;-2) и В (-1;4).

Ответ:Ответ: у=-3х+1 у=-3х+1

ВА

А

ВА

А

хх

хх

уу

уу

42

)2(

)1(1

1

ух

6

2

2

1

ух (-6)(-6) -3(х-1)=у+2.-3(х-1)=у+2. у=-3х+1.у=-3х+1.

Рассмотрим задачу:Рассмотрим задачу:

«Лежат ли точки А«Лежат ли точки А11 (-2;5), А (-2;5), А22 (4;3), А (4;3), А33 (16;-1) на (16;-1) на одной прямой?».одной прямой?».

Решить ее можно так:Решить ее можно так:

1) Составить уравнение прямой, проходящей, 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки Анапример, через точки А11 и А и А22..

2) Подставить координаты точки А2) Подставить координаты точки А33 в полученное в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка Аточка А33 прямой, проходящей через точки Апрямой, проходящей через точки А11 и А и А2.2.

Итак: «Лежат ли точки АИтак: «Лежат ли точки А11 (-2;5), А (-2;5), А22 (4;3), (4;3), АА33 (16;-1) на одной прямой?» (16;-1) на одной прямой?»

Использование уравнения прямой, проходящей Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в процесс поиска решения данной задачи. Положив в

уравнении х=хуравнении х=х33, у=у, у=у33 и, подставив и, подставив координаты данных точек в равенство ,координаты данных точек в равенство ,

получим: . Полученное получим: . Полученное равенство верное, следовательно, точки Аравенство верное, следовательно, точки А11, А, А22 и А и А33 лежат на одной прямой .лежат на одной прямой .

Итак, использование различных видов уравнений Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач.решения ряда задач.

21

1

21

1

хх

хх

уу

уу

21

13

21

13

хх

хх

уу

уу

,35

51

42

)2(16

,2

6

6

18

33

Спасибо за Спасибо за внимание!!!внимание!!!