第八章 函 数

8.1 函数的定义与性质8.2 函数的复合与反函数

8.1 函数的定义与性质

函数是一种特殊的二元关系

设 为二元关系，若 都存在唯一的使 成立，则称 为函数。F x domF y ranF

FxFy

由集合相等的条件知，对函数 ， 有

F G F G G F

F G

设 A 、 B 为集合，如果 f 为函数， dim=A,ranB

则称 f 为从 A 到 B 的函数，记作:f A B

所有从 到 的函数的集合记作 ，读作“ B 上 A” ，即 { | : }AB f f A B

A B AB

若 ，且 则| | ,| |A m B n , 0m n | |A mB n

例 设 求{1,2,3} { , }A B a b AB

设函数 f:AB A1A B1 B

（ 1 ）令 f(A1)= {y|xA1,f(x)=y } ，称 f(A1) 为 A1 在 f 下的像 , 特别地当 A1=A 时，称 f(A1) 为函数的像。

（ 2 ）令 ，称 为 在 下的完全原像。

11 1( ) { | ( ) }f B x x A f x B 1

1( )f B1B

f

设函数 :f A B

（ 1 ）若 则称 是满射的。:f A Branf B

（ 2 ）若 都存在唯一的 使得 则称 是单射。

y ranf x A ( )f x y:f A B

（ 3 ）若 既是满射又是单射的，则称 是双射的。

:f A B f

: , ( ) 2 1f R R f x x

2 1: , ( )

xf R R f x

x

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

（ 4 ）

（ 5 ）

2: , ( ) 2 1f R R f x x x

: , ( ) lnf Z R f x x

例 8.4

为正实数集合其中 R

x

xxfRRf ,

1)(,:

2

判断下列函数是否为单射、满射、双射，为什么？

例 对给定的 A ， B 和 f ，判断是否构成函数，如果是，说明是单射，满射，还是双射，并按要求计算。

（ 1 ） {1,2,3,4,5}, {6,7,8,9,10}A B { 1,8 , 3,9 , 4,10 , 2,6 , 5,9 }f

（ 2 ） ， 同 (1)A B

{ 1,7 , 2,6 , 4,5 , 1,9 , 5,10 }f

（ 3 ） ， 同 (1)A B

{ 1,8 , 3,10 , 2,6 , 4,9 }f

2, ( ) ( )

1

xA B R f x x R

x

（ 5 ）

（ 4 ） 3, ( ) ( )A B R f x x x R

2 2, , ( , ) | |A N N B N f x y x y （ 7 ）计算 1( {0}), ({0})f N f

（ 6 ）令 ，计算

{ , | , 1}L x y x y R y x ( )f L

, ( , ) ,A B R R f x y x y x y

例 对于给定的集合 和 构造双射函数A B :f A B

(1) {1,2,3}({1,2,3}), {1,0}A P B

(2) 1 1[0,1], [ , ]

4 2A B

(3) ,A Z B N

(4)3

[ , ], [ 1,1]2 2

A B

常用函数

(1) 常函数

设 ，如果存在 使得对所有的都有

:f A B y B x A( )f x y

(2) 恒等函数

称 上的恒等关系 为 上的恒等函数，对所有的 都有x AA

AI A( )AI x x

(3) 单调函数

设 为偏序集， ，如果对任意的 ，则称 为单调递增的；

, , ,A B :f A B

f

1 2 1 2, ,x x A x x 1 2( ) ( )f x f x

f

如果对任意的 就有

则称 为严格单调递增的。

)()( 2121 xfxfxx 就有

(4) 特征函数设 为集合，对于任意的 的特征函数 定义为A ' , 'A A A

' : {0,1}A A

'

1 '( )

0 'A

a Aa

a A A

(5) 自然映射

设 是 上的等价关系，令: /g A A R( ) [ ],g a a a A

AR

称 为从 到商集 的自然映射Ag /A R

8.2 函数的复合与反函数

函数的复合

(1) ( ) { | ( ) }dom F G x x domF F x domG

TH1 设 是函数，则 也是函数，且满足,F G F G

(2) 有( )x dom F G ( ) ( ( ))F G x G F x

推论 1 设 为函数，则 和都是函数，且

, ,F G H ( )F G H ( )F G H

( ) ( )F G H F G H

推论 2 设 ，则 且 都有

: , :f A B g B C :f g A Cx A

( ) ( ( ))f g x g f x

TH2 设 : , :f A B G B C

:f g A C(1) 若 都是满射的， 则 也是满射的。

: , :f A B G B C

:f g A C(2) 若 都是单射的， 则 也是单射的。

: , :f A B G B C

:f g A C(3) 若 都是双射的， 则 也是双射的。

: , :f A B G B C

TH3 设 则有:f A B

B Af f I I f

反函数

TH4 设 是双射的，则 也是双射的

:f A B 1 :f A B

f 1f 一个双射函数 的逆 是它的反函数。

一个函数 的逆 不一定是函数。一个函数 的逆 不一定是函数。一个函数 的逆 不一定是函数。一个函数 的逆 不一定是函数。一个函数 的逆 不一定是函数。f 1f

定理 8.5

设 f:AB 是双射，则AB IffIff 1

,1

例 设:f R R :g R R

2 3( )

2 3

x xf x

x

( ) 2g x x

求 若 和 存在反函数，求出它们的反函数。

,f g g f f g