第十一章 复变函数

第一节 、 复平面第二节、复变函数第三节、解析函数

第一节、复平面

• 一、复数的概念• 二、复数的各种表示、模与辐角• 三、复平面上的点集与区域

一、复数的概念

• 定义；设 x,y 为两个任意实数，称形如 x+yi 的数为复数，记为 z= x+yi ，其中 i 满足 i2 =-1 ，i 称为虚数单位 . 实数 x 和 y 分别称为复数 z 的实部和虚部，记为 x=Rez,y=Imz.

• 各数集之间的关系可表示为

•

有理数实数

无理数复数

纯虚数虚数

非纯虚数

复数的代数运算

• 设复数 , 定义 z1 与 z2 的四则运算如下：

• 加法： • 减法： • 乘法： • 除法：

1 1 1z x iy 2 2 2z x iy

1 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x i y y

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z x x y y i x y x y

1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 222 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( 0)z x iy x x y y x y x y

i zz x iy x y x y

1 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x i y y

复数四则运算规律：

• （ 1 ）加法交换律 : • (2 ）乘法交换律 • （ 3 ）加法结合律 • （ 4 ）乘法结合律 • （ 5 ）乘法对于加法的分配律 • 复数运算的其它结果：• （ 1 ） （ 2 ） • （ 3 ）若 ，则 Z1 与 Z2 至少有一个为零，反

之亦然 .

1 2 2 1z z z z

1 2 2 1z z z z

1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z

1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z

1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z

0 , 0 0z z z 1

1 , 1z z zz

1 2 0z z

共轭复数的运算性质： • （ 1 ） • （ 2 ） • （ 3 ） • （ 4 ） • （ 5 ） • • （ 6 ） 为实数

z z

1 2 1 2z z z z

1 12

2 2

( 0)z z

zz z

2 2[Re ] [Im ]zz z z

Re , Im2 2

z z z zz z

i

z z z

例 1 化简2(2 3 )

2

i

i

2(2 3 ) 4 9 12

2 2( 5 12 )(2 ) 10 12 29

(2 )(2 ) 4 1

2 29

5

i i

i ii i i

i i

i

解：

例 2 1 2 2( ) Re , Im

3 4 5

i iz z z zz

i i

设 ，求 及

1 2 2 (1 2 )(3 4 ) 2

3 4 (3 4 )(3 4 ) 55

11 2 (2 )( 5 ) 11 2 5 10 16 8

25 5 ( 5 ) 25 25 25 25

16 8Re , Im

25 2516 8 16 8 64( )( )25 25 25 25 125

i i i i iz

i i i ii

i i i i ii

i i

z z

zz i i

解：

所以 ，

二、复数的各种表示、模与辐角

• 1. 复数的几何表示• 由复数 z=x+iy 的定义可

知，复数是由一对有序实数 (x,y) 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 x ，纵坐标为 y 的点 表示复数 （如图），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 P 与数 看作同义词 .

2. 复数的向量表示复数 还可以用起点为原点，终点为 P(x,y) 的向量 来表示（如图）， x 与 y 分别是实部和虚部分 .• 3. 复数的模与辐角• 复数的模 Z≠0 对应的向量 的长（如图） , 与实

轴正方向所夹的角 ，称为复数 Z 的辐角 , 记作 argz ，即

• θ=argz+2kπ , k 为整数• 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负 .• 4. 复数的的三种表示式 .• 复数的表示式 称为复数 的三角表示式 .• 复数的表示式 称为复数 的指数表示式• 复数的表示式 称为复数 的代数表示式

z x iy

iz re (cos sin )z r i

OP��������������

OP��������������

OP��������������

3 Arg(2 2 ) Arg( 3 4 )

Arg(2 2 ) arg(2 2 ) 2

2arctan 2 2 ( 0, 1, 2, )

2 4

i i

i i k

k k k

例 求 和解：

2

3

4 1 3

Re 1 Im 3

3Arg an 3

1

1 3

2arg 1 3

3

2 22(cos sin ) 2

3 3

i

z i

x z y z

z t

z i

z z i

i e

例 求 的 三角表示式与指数表示式

解：因为 ，

设 ，则

又因为 ，位于第二象限，所以

，于是

三、复平面上的点集与区域

• 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 .• 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面 .• 邻域 平面上以 z0 为心 ， δ>0 为半径的圆：

• 内部所有点 z0 的集合称为点 z0 的 δ— 邻域，记为 N(z0,δ) . 称集合 (z0 - δ , z0 + δ) 为 z0 的去心 δ — 邻域 记作

• 开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内点，则称 D 为开集 .• 闭集　如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为闭集 .• 连通集 设是 D 开集，如果对 D 内任意两点，都可用折线连接起来，

且该折线上的点都属 D 则称开集是连通集 .• 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域 .• 闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .

0x z

D

第二节、复变函数

• 一、复变函数的概念

一、复变函数的概念：

• 定义 1 设 D 为给定的平面点集，若对于 D 中每一个复数 z=x+iy ，按着某一确定的法则 f ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的复变函数（复变数 是复变数 Z 的函数），简称复变函数，记作 =f(z) 其中 Z 称为自变量 , 称为因变量，点集 D 称为函数的定义域 .

• 例 1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数 .

• 解 设

2 1w z

2

2 2 2

2 2

, , 1

( ) 1 1 2

1

z x iy w u iv w z

w u iv x iy x y ixy

u x y

代入

得

比较实部虚部得

4

0 42

1 42

2 1

3 31 2 cos( ) sin( )

4 4

3 32 2

4 41 2 cos sin ( 0,1)2 2

3 32(cos sin )

8 85 5

2(cos sin )8 8

i

i i

k ki i k

w i

w i

例 计算

解：因为

所以

即

第三节、解析函数

• 一、复变函数的导数• 二、解析函数的定义• 三、柯西—黎曼条件

一、复变函数的导数• 1. 导数的定义• 定义 1 设函数 f(z) 在包含 z0 的某区域 D 内有

定义，当变量 z 在点 z0 处取得增量 时，相应地，函数 ω 取得增量

• 若极限（ ） 存在，则称 f(z) 在点 z 处可导，

• 此极限值称为 f(z) 在点 z 处的导数，记 或 ，即

z0

0

0

( ) ( )limz z

f z f z

z z

0( )f z

0z z

dw

dz

0

0 00 0

( ) ( )( ) lim

zz z

f z z f zdwf z

dz z

如果函数f (z)在区域D内每一点都可导，则称f (z)在D内可导。

3

3 32 2 2

0 0 0

2

3 ( )

( ) ( ) ( )lim lim lim 3 3 3

( ) 3

x x x

f z z

f z z f z z z zz z z z z

z z

f z z

Δ Δ Δ

例 求复变函数 的导数

Δ Δ解：因为 Δ ΔΔ Δ

所以

1

2

2.

(1)( ) 0,

2 ,

3 ( ) ( ) ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 ( ( ) 0)

( ) [ ( )]

6 { [ ( )]}

n n

C C

z nz n

f z g z f z g z

f z g z f z g z f z g z

f z f z g z f z g zg z

g z g z

f z f

导数运算法则复变函数的求导法则(以下出现的函数均假设可导) :

其中 为复常数；

（）（ ） 其中 为正整数；

（）

（）

（）

（） ( ) ( ), ( )w z w z 其中

2 42 5

2

2 4 2 4

2 3 3 2 42 3 2

4 3

3

(1 )1 ( ) (2 ) 2 ( ) ( 0)

( ) 5(2 ) 4 20 (2 )

4(1 ) 2 2 (1 ) 22 ( ) (1 ) (3 1)

zf z z i f z z

z

f z z i z z z i

z z z zf z z z

z z

例 求下列函数的导数

（） ，（）

解：（1）

（）

2

2

( ) 2( 2 4) (2 2)

( ) 2[( ) 2( ) 4] [2 ( ) 2]

4(3 2 )(1 ) 4 20

f z z z z

f i i i i

i i i

解：因为

所以

二、解析函数的定义

• 定义 3 如果函数 f(z) 不仅在点 z0 处可导，而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f(z) 在点 z0 处解析，并称点z0 是函数的解析点；如果函数 f(z) 在区域 D 内每一点都解析，则称 f(z) 在区域 D 内解析或称 为区域 D 内的解析函数，区域 D 称为 的解析区域 .

• 如果 f(z) 在点 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点 , 则称 z0 为 f(z) 的奇点 .

例 5 讨论函数 f(z)=z2 的解析性 .

• 解 由例 2 知， f(z)=z2 在整个复平面内处处可导且 ，则由函数在某区域内

• 解析的定义可知，函数 f(z)=z2 在整个复平面上解析。

( ) 2f z z

三、 柯西—黎曼条件

• 定理１ 设函数 在区域 D 内有定义，则 在 D 内解析的充分必要条件为 在 D 内任一点 处

• （ 1 ）可微； • （ 2 ）满足• • 上式称为柯西—黎曼条件（或方程），简称 C—R 条件（或方程） . • 定理２ 函数 在区域

• D 内解析的充要条件为 • （ 1 ） 在 D 内连续；

• （ 2 ） 在 D 内满足 C—R 条件 ，•

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y

,u v u v

x y y x

, , ,u u v v

x y x y

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y

,u v u v

x y y x

2

2 2 2 2

2 2

2 2

6 ( )

( ) ( ) 2

( , ) , ( , ) 2

( , ) , ( , ) 2

( , ) ( , )

2 , 2

( , ) ( , )

f z z

f z z x iy x y i xy

u x y x y v x y xy

u x y x y v x y xy

u x y v x y

u v u vx y

x y y x

u x y v x y C R

2

例 讨论函数 的可导性，并求其导数

解：由

得 则

显然，在复平面内 和 的偏导数处处连续，

且

即 和 处处满足 条件且处处可微，

所以, f（z)=z在复平 面内处处可导且f (z)=2z

第四节、初等解析函数

• 一、指数函数• 二、对数函数• 三、幂函数• 四、三角函数

一、 指数函数

• 定义 3 复变量的指数函数定义为

• 指数函数的一些重要性质：• （ 1 ）指数函数 ez 在整个 Z 的有限平面内都有

定义，且处处不为零 . • （ 2 ） ez1+z2 =ez1ez2 • （ 3 ）指数函数是以 2πi 为周期的周期函数．• （ 4 ）指数函数 ez 在整个复平面上解析，且

有 (ez)'=ez

(cos sin )z x iy xe e e y i y

二、对数函数 定义 4 对数函数定义为指数函数的反函数 .• 若 ，则称 是 Z 的对数函数，记

• 作 ．• 对数函数是一个多值函数，每一个 Z 对应着多个 LnZ 的值 .• 若令 k=0 ，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函

数为多值函数 LnZ 的主值 . 记作 lnz • 例 1 求 .

• 解 因为 -1 的模为 1 ，其辐角的主值为 π ，• 所以

• 而

• 又因为 iii 的模为 1 ，而其辐角的主值为 ，• 所以

( 0, )wz e z wLnw z

ln( 1),Ln( 1), ln Lni i 和

ln( 1) ln1 i i

Ln( 1) 2 (2 1) ( 0, 1, 2, )i k i k i k

1ln ln1 Ln 2 (2 )

2 2 2 2( 0, 1, 2, )

i i i i i k i k i

k

复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：

（ 5 ）对数函数的解析性• 可以证明 Lnz 在除去原点与负实轴的 Z 平面内解析，

所以 Lnz 的各个分支也在除去原点与负实轴的 Z 平面内解析。

Ln

11 2 1 2 1 2

2

(1) 0 ln ln

(2) 0 Ln ln (2 1) , ( 0, 1, 2, )

(3) , Ln 2 , ( 0, 1, 2, )

(4)Ln( ) Ln Ln ,Ln( ) Ln Ln

z z

z x z x

z x x x i k k

e z e z k i k

zz z z z z z

z

时，

，

三、幂函数

定义 5 设 α 为任意复常数，定义一般幂函数为

它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数( 因 对数函数是多值的 ).

• 幂函数的几种特殊情形：• （ 1 ）当 α 为整数时，

• 是与 K 无关的单值函数（ α>0,n 为正整数）时， f(z)=zn 为 Z 的 次乘方，

• （ 2 ）当 α 为有理数 时（为既约分数， n>0 ），

Ln ( 0)zz e z

2 ln1,i k ze w z e

Ln (ln 2 )m m m

z z i kn n nz z e e

只有 n 个不同的值，即当 K 取 0,1,2,……n-1 时的对应值 .

（ 3 ）当 α 为无理数或复数时， zα 有无穷多个值 . 此时的 zα 与根式函数 的区别 是无穷多值函数 .而后者的值是有限的。

1

nz

（ 1 ）当 α=n （ n 为正整数）时， zn 在整个复平面内单值解析，且

（ 2 ）当 α=-n （ n 为正整数）时，

在除原点的复平面内解析，且

1( )n nz nz

1nn

zz

2

2 2 Ln( 1) 2 (2 1) 2 2 2

1(ln1 2 ) (2 )Ln 2 2

2

3

2 2 2Ln ( 2 )

3 3 3 2

2

3

2 ( 1)

( 1) ( 0, 1, 2, )

3

( 0, 1, 2, )

4

4 4cos( ) sin( ), 0,1,2

3 3 3 3

1 3,

2 2

k i i k i

i

i i i k ki i i

i k i

e e e e k

i

i e e e k

i

i e e k i k k

i i

例 求

解：

例 求

解：

例 求

解：

所以 的三个值分别为1 3

, 12 2i

四、三角函数• 定义 7 设 Z 为任一复变量，称

• 与 • 分别为复变量 Z 的正弦函数与余弦函数，分别记为 sinz 与 cosz • 正弦函数与余弦函数的性质：• （ 1 ） sinz 与 cosz 都是以 2π 为周期的周期函数 • （ 2 ） sinz 为奇函数， cosz 为偶函数，即对任意的 Z 有 （ 3 ）

1( ) ( )

2iz izf z e e

i

1( ) ( )

2iz izg z e e

i

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

sin( ) cos ,sin cos 12

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

z z z z

z z z z z z

z z z z z z

（ 4 ） 和 都是无界的 .

• 因为

• 可见，当 无限增大时， 趋于无穷大，同理可知， 也是无界的 .

( ) ( ) 1 1cos

2 2 2

i x iy i x iyy ix y ix y ye e

z e e e e e e

y

sin z cos z

sin z

cos z

5 sin cos

(sin ) cos , (cos ) sin

sin cos

sin costan , cot ,

cos sin1 1

sec , csc .cos sin

z z

z z z z

z z

z zz z

z z

z zz z

（） ， 在复平面内均为解析函数，且 ，其它四个三角函数，利用 和 来定义：

1

(1 2 ) (1 2 )

2 2

2 2 2 2

5 sin(1 2 )

cos2 2

sin(1 2 )2

(cos1 sin1) (cos1 sin1)

2

sin1 cos12 2

i i i i

i i i i

i

e e e ei

e ei

e i e i

i

e e e ei

例 ，求 的值

解：根据定义，有