怎样应用 “三线合一基本图形”解决问题

怎样应用“ 三线合一基本图形”解决问

题

2009.10.30

某地地震后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？

OA

C

B

等腰三角形三线合一性质是怎么叙述的 ?等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合 .

1. 等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线 .

2. 等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、底边上的高线 .

3. 等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线 .

还记得吗

A

B D C

∠BAD=∠CAD

BD=CDAD⊥BC

△ABC 中 ,AB=AC,----------------------

------------- ----------------∴

∵

△ABC 中 ,AB=AC,----------------------

------------- ----------------∴

∵

△ABC 中 ,AB=AC,----------------------

------------- ----------------∴

∵

BD=CD

∠BAD=∠CAD AD⊥BC

AD⊥BC

∠BAD=∠CAD BD=CD

三线合一的简单应用

（ 1）如图，已知 AB=BC， D是 AC的中点，∠A=34°，则∠ DBC= 度 .

（ 2 ）△ ABC中， AB=AC， AD是 BC上的高 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 E、F. 指出图中各对相等的线段，且说明理由 .

56

(3) 如图，∠ A= D=90°,AB=CD∠ ， AC与 BD 相交于点 F ， E 是 BC 的中点 .求证：∠ BFE= CFE.∠

证明：∵∠1= 2∠ （对顶角相等）∠A= D=90°∠

AB=CD∴△ABF DCF≌△ （ AAS ）∴BF=CF

∴ △BCF 是等腰三角形 .

又 E 是 BC 的中点，∴EF 是∠ BFC 的角平分线 .

∴ ∠BFE= CFE.∠ ( )三线合一

（ 4 ）已知，等边三角形 ABC， D是 AC的中点，点 E在 BC的延长线上，且 CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是 BE的中点，请说明理由。 DM⊥BC

只要证 DB=DE 即可

　练习：如图 3，△ ABC中， AB＝ AC， BD⊥AC交 AC于 D.

求证：∠ DBC＝1

2∠BAC.

D

C B

A

①AB=AC 或（∠ B= C∠ ） ② ∠BAD= CAD∠ ③ AD BC⊥ ④ BD=CD

A

B D C

在△ ABC 中 , 对于以下四个条件

我们已经知道了 ① ② ③

① ④ ② ① ③ ④

思考： ② ③ ①

② ④ ①

③ ④ ①

在△ ABC 中 A

B D C


已知 :

求证 :

② ∠BAD= CAD∠ ③ AD BC⊥ ④ BD=CD

①AB=AC 或（∠ B= C∠ ）

A

B D C


已知 :

求证 :


在△ ABC 中 ①AB=AC 或（∠ B= C∠ ）

E

证明 : 延长△ ABC 的中线 AD 至 E 点 , 使 DE=AD, 连接 CE.

A

B D C


已知 :

求证 :


在△ ABC 中 ①AB=AC 或（∠ B= C∠ ）

例：如图，在等腰△ ABC 中，∠ C=90° ，如果点 B 到∠ A 的平分线 AD 的距离为5cm, 求 AD 的长。

A

B

C

D

5cm

F

E 10cm

练习：已知：如图，在△ ABC 中， AD 平分∠BAC ， CD AD,D⊥ 为垂足， AB>AC 。

求证：∠ 2= 1+ B∠ ∠A

B

CED

21

3

思考：已知：线段 m ，∠ α及∠ β，求作△ABC ，使∠ ABC=∠α, ACB=∠ ∠β，且 AB+BC+CA=m

α β

m

1 、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质，但表达要规范；2 、当题目中没有出现等腰三角形时，要善于发现“补形”的条件：是否能产生“两线合一”的情境？

3 、应用“三线合一基本图形”是一个重要的解题策略，为我们解决问题又提供了一种手段。

三线合一基本图形

Documents

怎样应用 “三线合一基本图形”解决问题