МИНСКНАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ

2019

УЧЕБНЫЕ ПРОГРАММЫ

по учебным предметам для учреждений

общего среднего образования с русским языком обучения

и воспитания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УтвержденоМинистерством образования

Республики Беларусь

IX класс

83

МАТЕМАТИКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Общая характеристика учебного предметаУчебныйпредмет«Математика»приреализацииучреждениями

образованияобразовательнойпрограммыбазовогообразованияза­нимаетведущееместовформированииключевыхинтеллектуаль­ных умений и личностных качеств учащихся, необходимых дляжизнивсовременномобществе.

Совокупностьзнаний,умений,навыков,опытадеятельности,атакжекачествличности,формируемыхвпроцессеизученияучебно­гопредмета«Математика»,необходимыкакприизучениидругихучебныхпредметов,такидляпродолженияобразования,трудовойдеятельности,успешнойсоциализациивобществе.

ВконтекстецелейобученияивоспитаниянаIIступениобщегосреднегообразованиязадачамиизученияучащимисяматематикикакучебногопредметаявляются:

в предметном направлении:zz овладениематематическими знаниями, умениями,навыка­ми,способамидеятельности,необходимымидляприменениявповседневнойжизни,приизучениидругихучебныхпред­метов;zz созданиефундаментадлядальнейшегоразвитияматемати­ческойкомпетенции,формированиямеханизмовмышления,характерных для способов деятельности, применяемых вматематикеинеобходимыхдляуспешногопродолженияоб­разованияна III ступени общего среднего образованияилинауровняхпрофессионально­технического,среднегоспеци­альногообразования,полноценнойжизнивобществе;

в метапредметном направлении:zz формированиепредставленийоматематикекакчастиобще­человеческойкультуры,означимостиматематикивразвитиицивилизацииисовременногообщества;

84

zz развитиепредставленийоматематикекакформе описанияиметоде научного познания окружающегомира, созданиеусловийдляформированияопытамоделированиясредствамиматематики;zz формирование общих способовинтеллектуальной деятель­ности,характерныхдляматематикииявляющихсяосновойпознавательной культуры, значимой для различных сфердеятельностичеловека;

в направлении личностного развития:zz развитиеправильныхпредставленийохарактереотраженияматематикойявленийипроцессоввприродеиобществе,ролиметодовматематикивнаучномпознанииокружающегомираиегозакономерностей;zz развитиелогическогоикритическогомышления,культурыустнойиписьменнойречи с применениемматематическойтерминологииисимволики,способностикэмоциональномувосприятиюидейматематики, рассуждениям, доказатель­ствам,мысленномуэксперименту;zz формированиеуменийсамостоятельноучиться,контролиро­ватьрезультатыучебнойдеятельности;zz воспитаниекачествличности,обеспечивающихсоциальнуюмобильность,способностьприниматьсамостоятельныереше­нияинестизанихответственность;zz формированиекачествмышления, необходимыхдля соци­альнойадаптациивсовременномобществе;zz развитиематематических способностей, интересак творче­скойдеятельности.

Место учебного предмета в Типовом учебном плане общего среднего образования

Типовойучебныйпланобщегосреднегообразованияустанавли­ваетнаизучениематематикивV—VIIIклассахпо5учебныхчасоввнеделю,вIXклассе—4учебныхчасавнеделювпервомполуго­дии,5учебныхчасоввнеделювовторомполугодииучебногогода.

Содержание учебного предмета «Математика» базируется наразделах математики: «Арифметика», «Алгебра», «Множества»,«Функции», «Геометрия». В свою очередь содержание данныхразделов математики выстраивается с учетом логики и целесо­образностивсодержательно­методическиелинии,пронизывающие

85

соответствующиетемы,которымипредставленосодержаниеучеб­ногопредмета.Приэтомучтенымежпредметныесвязисучебнымипредметами«География»,«Физика»,«Химия»,«Биология»идр.

Время, отведенное на изучение отдельных тем в содержанииучебногопредмета,являетсяпримерным.Онозависитотиспользу­емыхучителемметодовобученияивоспитания,формпроведенияучебныхзанятий,учебныхивнеучебныхдостиженийучащихся.

Предусмотренный резерв учебных часов предназначен дляобобщенияисистематизацииучебногоматериала.

Распределение учебного материала по классам опирается навозрастныефизиологическиеипсихологическиеособенностиуча­щихсяV—IXклассов.Учет особенностейподросткового возраста(стремлениекобщениюисовместнойдеятельностисосверстника­ми,моделированиенормсоциальногоповедениявзрослогомира),успешность и своевременность дальнейшего формирования по­знавательной сферы, качества и свойства личности связываютсясактивнойпозициейучителя,атакжесадекватнымпостроениемобразовательногопроцесса.

Обновление содержания учебного предметаКаждомучеловекувсвоейжизниприходитсявыполнятьрасче­

ты,пользоватьсявычислительнойтехникой,находитьвразличныхисточниках информацию, применять нужные формулы, владетьпрактическимиприемамигеометрическихизмеренийипостроений,читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм,графиков,пониматьвероятностныйхарактерслучайныхсобытий,составлятьалгоритмы,модели,выполнятьиныедействия.

В содержаниеучебногопредмета«Математика»на II ступениобщегосреднегообразованиявключеныэлементытеориимножеств,усиленаметодологическаяипрактическаянаправленностьсодер­жаниявцеляхформированияуучащихсяумений:

zz проводить вычисления, включая округление и оценку ре­зультатов действий,использоватьдляподсчетовизвестныеформулы;zz извлекатьиинтерпретироватьинформацию,представленнуювразличнойформе (таблицы,диаграммы, графики, схемы,иныеформы);zz вычислятьдлины,площадииобъемыреальныхобъектов.

86

Методологическая и практическая направленность усиленапосредством:

zz расширенияиповышенияроли теоретическогоматериала,логическихрассуждений,доказательств;zz усиленияролии значениякомплексногоинтегрированногосочетания арифметического, алгебраического и геометри­ческогоматериалакак средстваматематического развитияучащихся;zz использования таблиц, диаграмм, графиков, схем для на­глядногопредставленияколичественнойинформации;zz моделированияреальных объектов, явленийипроцессов спомощьюматематическихмоделей;zz включениядлярешенияпрактико­ориентированныхзадач—задач, описывающих реальную или приближенную к нейситуациюнанеформально­математическомязыке, а такжезадачсмежпредметнымсодержанием.

Вопросы, отмеченные символом «звездочка», предназначеныдля самостоятельнойпоисково­исследовательскойилипроектнойдеятельности учащихся (индивидуальной или групповой), орга­низуемойучителем.

Организация образовательного процессаПриреализациипредлагаемогонастоящейучебнойпрограммой

содержания учебного предмета «Математика» образовательныйпроцесснаправленнадальнейшееформированиеуучащихсямате­матическойкомпетенции,атакжеразвитиесредствамиматематикикоммуникативной, учебно­познавательной, информационной ииныхключевыхкомпетенций;овладениеучащимисяуниверсаль­нымиучебнымидействиямикаксовокупностьюспособовдействий,обеспечивающих им способность к самостоятельному усвоениюновыхзнанийиумений(включаяиорганизациюэтогопроцесса),кэффективномурешениюразличногородажизненныхзадач.

Должноевниманиеприреализацииопределеннойучебнойпро­граммойсодержанияуделяется:

zz развитиюуучащихсялогическогоикритическогомышления;zz формированиюкультурыустнойиписьменнойречисприме­нениемматематическойтерминологииисимволики;умений

87

работатьсразличнымиисточникамиинформации;описыватьреальные объектыи явления с помощьюматематическихмоделей;zz компонентаморганизацииумственнойдеятельности:умениюставить цели, планировать и искать пути их достижения,анализироватьиоцениватьрезультаты;zz приобретениюопыта сотрудничества с учителем, одноклас­сникамипри осуществлениипоисково­исследовательской,проектной,иныхвидовтворческойдеятельности.

Образовательныйпроцессорганизуетсянаосновепедагогическиобоснованноговыбораформ,методовисредствобученияивоспита­ния,современныхобразовательныхиинформационныхтехнологий,повышающихстепеньактивностиучащихся.

Наряду с традиционными средствами обучения и средствамидиагностирования результатов учебной деятельности учащихсяцелесообразноиспользоватьэлектронныесредства,ккоторымот­носятсяэлектронныеучебныепособия,интерактивныекомпьютер­ныемодели,электронныеобразовательныересурсы(электронныесправочники, энциклопедии, тренажеры, контрольно­диагности­ческиематериалы)идр.Ихприменениеспособствуетповышениюстепенинаглядности,конкретизацииизучаемыхпонятий,развитиюинтереса, созданию положительного эмоционального отношениякучебнойинформациииформированиюмотивациикуспешномуизучениюматематики.

Вразделе«Основныетребованиякрезультатамучебнойдеятель­ностиучащихся» указанырезультаты,которыхдолжныдостигнутьучащиесяприосвоенияпредъявленного содержания.Квопросамсоответствующейтемы,выделеннымзвездочкой,основныетребо­вания к результатам учебной деятельности учащихся не предъ­являются.

Основные требования к результатам учебной деятельностиструктурированыпокомпонентам:правильноупотреблятьтерминыииспользоватьпонятия;знать;уметь.

Требование «правильно употреблять термины и использоватьпонятия» означает, что учащийся соотносит понятие с обознача­ющимеготермином,распознаетконкретныепримерыпонятияпохарактернымпризнакам,выполняетдействиявсоответствиисопре­делениямиисвойствамипонятий,конкретизируетихпримерами.

88

Требование«знать»означает,чтоучащийсязнаетопределения,правила,теоремы,алгоритмы,приемы,методы,способыдеятель­ностииоперируетими.

Требование «уметь» фиксирует сформированность навыковприменениязнаний,способовдеятельностипоихосвоениюипри­менению, ориентированных на комптентностную составляющуюрезультатовучебнойдеятельности.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»

Предметные:z� представление оматематике как частимировойкультурыи ееместе в современнойцивилизации, способах описаниясредствамиматематикиявленийипроцессовокружающегомира;z� владениепонятийнымаппаратомматематики;представлениеоб основныхизучаемыхпонятиях (число, геометрическаяфигура, уравнение,функция)как важнейшихматематиче­скихмоделях,позволяющихописыватьиизучатьреальныепроцессыиявления;z� умениеработатьсматематическимтекстом(анализировать,извлекать необходимую информацию), точно и грамотновыражатьсвоимысливустнойиписьменнойречисприме­нениемматематическойтерминологииисимволики,правиль­ноклассифицироватьматематические объекты, проводитьлогические обоснованияи доказательстваматематическихутверждений;z� представлениеочислеичисловыхсистемахотнатуральныхдодействительныхчисел;овладениенавыкамиустных,пись­менных,инструментальныхвычислений;z� владение приемами выполнения тождественных преобра­зований рациональных выражений, решения уравнений,системуравнений,неравенстви системнеравенств; умениеиспользовать систему координат на плоскости для интер­претацииуравнений,неравенств,систем;умениеприменятьалгебраическиепреобразования,аппаратуравненийинера­венствдлярешенияпрактико­ориентированныхзадач,задачсмежпредметнымсодержанием;

89

z� владениенавыкамимоделированияприрешениитекстовых,практико­ориентированных задач, задач смежпредметнымсодержанием;z� усвоение систематических знаний о плоскихфигурахиихсвойствах, на наглядном уровне— о простейшихфигурахителах;z� умение распознавать на чертежах, моделях и в реальноммирегеометрическиефигуры,выполнятьгеометрическиепо­строения,применятьзнанияогеометрическихфигурахдлярешениягеометрическихзадач,практико­ориентированныхзадач,задачсмежпредметнымсодержанием;измерятьдли­ныотрезков,величиныуглов,находитьпериметр,площадь,объемгеометрическихфигур.

Метапредметные:z� первоначальныепредставленияобидеяхиметодахматема­тикикак универсальномязыкенаукии техники, средствемоделированияявленийипроцессов;z� умениевидетьматематическуюзадачувконтекстепроблем­нойситуациивдругихучебныхпредметах,реальнойжизни;z� развитиеуниверсальныхучебныхдействий (регулятивных,учебно­познавательных,коммуникативных)средствамима­тематики.

Личностные:z� умениеясно,точно,грамотноизлагатьсвоимысливустнойиписьменнойречи, понимать смыслпоставленной задачи,выстраивать аргументацию, приводить примерыи контр­примеры;z� креативностьмышления,инициатива,находчивость,актив­ность;z� умениеконтролироватьрезультатыучебнойдеятельности;z� способностьк эмоциональномувосприятиюидейматемати­ки,рассуждениям,доказательствам,мыслительномуэкспе­рименту.

90

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА157 ч (I четверть — 4 ч в неделю: 2 чалгебра + 2 чгеометрия,

II четверть — 4 ч в неделю: 3 чалгебра + 1 чгеометрия, III и IV четверти — 5 ч в неделю: 3 чалгебра + 2 чгеометрия)

Алгебраический компонент — 94 чГеометрический компонент — 63 ч

Рациональные выражения (25 ч)Рациональная дробь. Основное свойство дроби. Сокращение

дробей.Приведениедробейкновомузнаменателю.Приведениедробейк

общемузнаменателю.Сложение,вычитание,умножениеиделениерациональныхдробей.

Преобразованиерациональныхдробей.Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметным

содержанием,ихрешение.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминиис­пользоватьпонятие:

z� рациональнаядробь.Учащиесядолжнызнать:z� правиласокращениядробей;z� правила сложения, вычитания, умноженияи деления ра­циональныхдробей.

Учащиесядолжныуметь:z� выполнятьоперациисрациональнымидробями;совместныедействиясрациональнымидробями;z� решатьпрактико­ориентированные задачии задачи смеж­предметнымсодержанием,анализироватьиисследоватьпо­лученныерезультаты.

Функции (17 ч)Функция числового аргумента. Способы задания функции.

Свойствафункции(областьопределения,множествозначений,нулифункции, промежутки знакопостоянства, четность и нечетность,возрастаниеиубывание).

91

Построениеграфиковфункций:y = f(x ± a), y = f(x) ± b, a, b ∈ R спомощьюпреобразованияграфикафункцииy = f(x).

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

*Построение графиков функций: y = kf(x), y = f(kx), k ∈ R,y = f(׀x׀), y = ׀f(x)׀ с помощью преобразования графика функции y = f(x).

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

z� областьопределенияфункции;z� множествозначенийфункции;z� нулифункции;z� промежуткизнакопостоянствафункции;z� четностьинечетностьфункции;z� возрастаниеиубываниефункции.

Учащиесядолжнызнать:z� определениефункциичисловогоаргумента;z� правилапостроенияграфиковфункцииспомощьюпреобра­зований.

Учащиесядолжныуметь:z� находить: областьопределенияимножествозначенийфунк­ции;нулифункции;промежуткизнакопостоянствафункции;промежуткивозрастанияиубыванияфункции;z� описыватьреальныепроцессыспомощьюфункций;z� применятьсвойствафункцийдлярешениязадачспомощьюграфическихмоделей;z� решатьпрактико­ориентированные задачии задачи смеж­предметнымсодержанием,анализироватьиисследоватьпо­лученныерезультаты.

Дробно-рациональные уравнения и неравенства (32 ч)Дробно­рациональныеуравнения.Решениедробно­рациональ­

ных уравненийи уравнений, сводящихсяк ним.Моделированиереальныхпроцессовспомощьюдробно­рациональныхуравнений.

Формула длины отрезка с заданными координатами концов.Уравнениеокружности.

92

Системынелинейныхуравнений.Решениясистемнелинейныхуравнений.Геометрическаяинтерпретациясистемыдвухуравне­нийсдвумяпеременными.Моделированиереальныхпроцессовспомощьюсистемнелинейныхуравнений.

Дробно­рациональныенеравенства.Методинтерваловдляреше­ниярациональныхнеравенств.Системыисовокупностинеравенств.Решениесистемисовокупностейнеравенств.

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

*Уравнения и неравенства, содержащие выражения под знаком модуля.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

z� дробно­рациональноеуравнение;z� дробно­рациональноенеравенство;z� уравнениеокружности.

Учащиесядолжнызнать:z� условиеравенствадробинулю;z� алгоритмпримененияметодаинтервалов;z� формулудлиныотрезкасзаданнымикоординатамиконцов.

Учащиесядолжныуметь:z� решать: некоторые видыдробно­рациональныхуравнений;дробно­рациональныенеравенстваметодоминтервалов; си­стемыисовокупностирациональныхнеравенств;z� записывать уравнение окружности с заданнымцентромирадиусом;z� находитьдлинуотрезка,знаякоординатыегоконцов;z� решать задачинамоделирование реальных ситуаций с по­мощью:дробно­рациональныхуравнений;системуравнений;дробно­рациональныхнеравенств.

Прогрессии (20 ч)Функция натурального аргумента. Числовая последователь­

ность.Способызаданиячисловойпоследовательности.Арифметическая и геометрическая прогрессии, их свойства.

Формулыn­гочленаисуммыnпервыхчленоварифметическойи

93

геометрической прогрессий. Характеристические свойства ариф­метической и геометрической прогрессий. Применение свойствпрогрессийкрешениюзадач.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Суммабесконечноубывающейгеометрическойпрогрессии.Представлениебесконечнойпериодическойдесятичнойдробиввидеобыкновеннойдроби.

Моделированиереальныхпроцессовспомощьюсвойствариф­метическойигеометрическойпрогрессий.

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

z� функциянатуральногоаргумента;z� числоваяпоследовательность;z� арифметическаяигеометрическаяпрогрессии;z� членпрогрессии;z� разностьарифметическойпрогрессии;z� знаменательгеометрическойпрогрессии;z� бесконечноубывающаягеометрическаяпрогрессия.

Учащиесядолжнызнать:z� формулыn­гочленаисуммы nпервыхчленоварифметиче­скойигеометрическойпрогрессий;z� характеристические свойства арифметическойи геометри­ческойпрогрессий;z� формулу суммы бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии.

Учащиесядолжныуметь:z� применять:формулыn­гочленадляопределениячленапро­грессиипо его номеруи номера членапрогрессии; опреде­ленияразности арифметическойпрогрессиии знаменателягеометрическойпрогрессии; характеристические свойствадля определения вида последовательности, решения задачнаотысканиеэлементовпрогрессий;z� выводитьформулы n­гочленаарифметическойигеометриче­скойпрогрессийисуммыnпервыхчленоварифметическойигеометрическойпрогрессий;

94

z� решать задачи наформулыn­го члена и суммыn первыхчленоварифметическойигеометрическойпрогрессий;z� находитьсуммучленовбесконечноубывающейгеометриче­скойпрогрессии;z� представлятьбесконечнуюпериодическуюдесятичнуюдробьввидеобыкновеннойдроби;z� решатьпрактико­ориентированные задачии задачи смеж­предметным содержанием, анализировать и исследоватьполученныерезультаты.

Соотношения в прямоугольном треугольнике (15 ч)Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Решение

прямоугольноготреугольника.Основноетригонометрическоетож­дество:sin2α+cos2α=1.

Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс и котангенс

одногоитогожеугла:tgα=sinαcosα,ctgα=cosαsinα.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°,45°,60°.

Синус,косинус,тангенсикотангенсугловот0°до180°.Формулы:sin(180°–α)=sinα;cos(180°–α)=–cosα.Формулаплощадитреугольникаподвумсторонамиуглумежду

ними:S= 12 absinγ,формулаплощадипараллелограммапосторонам

иуглумеждуними:S=absinα.Среднеепропорциональное (среднее геометрическое) в прямо­

угольномтреугольнике.Практико­ориентированныезадачи,задачисмежпредметным

содержаниемиихрешение.*Формула площади выпуклого четырехугольника: S= 12 d1

d2sinϕ.

Теорема Менелая.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

z� синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла; проекциякатетанагипотенузу;z� решениепрямоугольноготреугольника.

95

Учащиесядолжнызнать:z� основноетригонометрическоетождество:sin2α+cos2α=1;z� значениясинуса,косинуса,тангенсаикотангенсауглов30°,45°,60°;z� формулы:связывающиесинус,косинус,тангенсикотангенс

одногоитогожеугла:tgα=sinαcosα,ctgα=cosαsinα;связывающие

синусыикосинусыуглов,дополняющихдругдругадо180°:sin(180°–α)=sinα;cos(180°–α)=–cosα;площадитреуголь­

ника:S= 12 absinγ;площадипараллелограмма:S=absinα;

z� алгоритмырешенияпрямоугольноготреугольника;z� теоремуо среднемпропорциональном (среднем геометриче­ском)впрямоугольномтреугольнике.

Учащиесядолжныуметь:z� доказывать теорему о среднемпропорциональном (среднемгеометрическом)впрямоугольномтреугольнике;

z� выводитьформулуплощадитреугольникаS= 12 absinγ;

z� находить:значениятригонометрическихфункцийугловот0°до180°,кратных30°,45°и60°;стороныиуглыпрямоуголь­ноготреугольникапоизвестнымсторонамиуглам;z� решатьпрактико­ориентированные задачии задачи смеж­предметнымсодержанием,анализироватьиисследоватьпо­лученныерезультаты.

Вписанные и описанные окружности (16 ч)Окружность,описаннаяоколотреугольника.Окружность,впи­

саннаявтреугольник.Вписаннаяиописаннаяокружностипрямо­угольноготреугольника.Вписанныеиописанныечетырехугольники.

Формулаплощадитреугольника(описанногомногоугольника)черезпериметрирадиусвписаннойокружности(S = pr).

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

*Вневписанные окружности.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

96

z� вписаннаяиописаннаяокружности;z� вписанныйиописанныймногоугольники.

Учащиесядолжнызнать:z� определения:описаннойивписаннойокружностейтреуголь­ника (многоугольника); вписанногои описанногочетырех­угольников (многоугольников);z� формулы:радиусаокружности,описаннойоколопрямоуголь­ноготреугольника;радиусаокружности,вписаннойвпрямо­угольный треугольник;площади треугольника (описанногомногоугольника)S = pr;z� свойстваипризнакивписанногочетырехугольника,описан­ногочетырехугольника;z� теоремы: об окружности, описанной около треугольника;обокружности,вписаннойвтреугольник.

Учащиесядолжныуметь:z� доказывать теоремы: об окружности, описанной около тре­угольника;обокружности,вписаннойвтреугольник;освой­стве вписанного четырехугольника; о свойстве описанногочетырехугольника;z� выводитьформулы:радиусаокружности,вписаннойвпрямо­угольный треугольник;площади треугольника (описанногомногоугольника)S =pr;z� применятьтеоремыкрешениюзадачнавычислениеидоказа­тельство;z� строить вписаннуюи описаннуюокружности треугольникаприпомощициркуляилинейки;z� решать: задачина построение, практико­ориентированныезадачи, задачисмежпредметнымсодержанием,анализиро­ватьиисследоватьполученныерезультаты.

Теорема синусов. Теорема косинусов (16 ч)

Теорема синусов:α

sinα =b

sinβ =c

sinγ =2R. Формула площади

треугольника:S=abc4R .

Теорема косинусов: a2=b2+c2–2bccosα. Следствия из теоре­мы косинусов: нахождение косинуса угла треугольника, задан­ного тремя сторонами, свойство диагоналей параллелограмма:d12+d

22=2a2+2b2.ФормулаГерона.

Решениетреугольников.

97

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

*Формула медианы треугольника: ma= 12 √2b2+2с2–а2, формула

биссектрисы треугольника: lc2=ab–a

1b1.

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминиис­пользоватьпонятие:

z� решениетреугольника.Учащиесядолжнызнать:

z� формулы:a

sinα=2R,S=abc4R длятреугольника;

d12+d

22=2a2+2b2дляпараллелограмма

иформулуГерона ( )( )( )S p p a p b p c= − − −

длянахожденияплощадитреугольника;z� теоремы:синусов;косинусовиследствияизтеоремыкосинусов.

Учащиесядолжныуметь:z� доказыватьтеоремусинусовитеоремукосинусов;z� находитькосинус угла треугольника, заданного тремя сто­ронами;z� применять указанные теоремыкрешению задачна вычис­лениеидоказательство;z� решатьпрактико­ориентированные задачи (нанахождениерасстояниядонедоступной точки, высотыобъектаииные)и задачи смежпредметным содержанием, анализироватьиисследоватьполученныерезультаты.

Правильные многоугольники (16 ч)Правильный многоугольник. Окружность, описанная около

правильногомногоугольника,иокружность,вписаннаявправиль­ныймногоугольник.Правильныетреугольник,четырехугольник,шестиугольник.

Длинаокружностииплощадькруга.Числоπ.Секторисегменткруга.Длинадуги,площадьсектораисегмента.

Практико­ориентированныезадачиизадачисмежпредметнымсодержанием,ихрешение.

*Золотое сечение.

98

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Учащиесядолжныправильноупотреблятьтерминыиис­пользоватьпонятия:

z� правильныймногоугольник;z� окружность,круг,сектор,сегмент.

Учащиесядолжнызнать:z� определения: правильногомногоугольника; сектора и сег­ментакруга;z� формулы: для нахождения радиуса описанной и радиусавписанной окружностей по заданной стороне правильноготреугольника, четырехугольника,шестиугольника; длиныокружностииплощадикруга;z� теорему об окружности, описанной около правильногомногоугольникаиобокружности,вписаннойвправильныймногоугольник;z� алгоритмынахождения:длиныдугиданнойокружностипоградусноймере этой дуги; площади сектора данногокругапо градусноймере его дуги; радиуса описаннойи радиусавписаннойокружностейправильногоn­угольника,заданногоегостороной;z� алгоритмыпостроенияследующихправильныхмногоуголь­ников, вписанных в даннуюокружность: правильного тре­угольника, правильного четырехугольника, правильногошестиугольника.

Учащиесядолжныуметь:z� находить:радиусокружности,описаннойоколоправильного

n­угольника;радиус окружности, вписаннойвправильныйn­угольник;длинудугизаданнойокружности;площадьсек­торазаданногокруга;z� применятьуказанныетеоремыиформулыкрешениюзадачнавычислениеидоказательство;z� строитьприпомощициркуляилинейкивписанные в дан­нуюокружностьправильныетреугольник,четырехугольник,шестиугольник;z� решатьпрактико­ориентированные задачии задачи смеж­предметнымсодержанием,анализироватьиисследоватьпо­лученныерезультаты.